N - Laboratoire d'Optique Atmosphérique

Optique Cristalline
Propagation des ondes E.M. dans les
milieux anisotropes
Applications à l'étude des minéraux
Muscovite
Olivine
Pyroxene
LPnA LPA
J. Riedi
jerome.riedi@univ­lille1.fr
Laboratoire d'Optique Atmosphérique
B. 320 – Bat P5

Préambule
Ce support de cours est destiné à des étudiants de 2 ème
année de Licence SVT parcours Géologie.
L'objectif est de fournir aux étudiants en géologie les
bases « physiques » des interactions ondes/matières
permettant de comprendre le fonctionnement d'un
microscope polarisant, au­delà de la simple
interprétation des observations.
Cependant, certains aspects théoriques ou formels ont
été volontairement « arrondis » pour permettre au
public concerné de se concentrer sur la compréhension
des phénomènes et de faire le lien entre la structure des
minéraux et les observations en lumière polarisée
(analysée ou non).
Merci de me signaler (jerome.riedi@univ­lille1.fr)
toute erreur ou approximation trop grossière qui serait
de nature à introduire des erreurs de compréhension ou
d'analyse.

Introduction
Différentes méthodes peuvent être utilisées pour
l'identification des minéraux (microscopie
électronique, diffraction par rayons X, microscopie
optique). Parmi celles­ci, la microscopie optique
présente l'avantage d'être peu coûteuse et permet de
distinguer les polymorphes.
Ce cours a pour but de vous fournir les
connaissances en physique nécessaires à la
compréhension et à l'interprétation d'observations
de minéraux en lame minces, en lumière transmise,
polarisée (ou non) et analysée (ou non).
Il contient les éléments de base qui vous
permettront de comprendre comment la lumière
interagit avec les minéraux et à partir de là de les
étudier et de les identifier.

Problématique du cours
Comprendre le fonctionnement d'un microscope
optique polarisant pour l'observation des roches
Objectifs
● Chap I : Propagation d'une onde E.M. plane
polarisée rectilignement dans un milieu
anisotrope, transparent, homogène
● Chap II : Action d'une lame cristalline sur une
onde plane – Production de lumière elliptique
à la sortie d'une lame cristalline
● Chap III : Interférences produites par les
lames cristallines
● Chap IV : Polarisation rotatoire

Problématique du cours
Comprendre le fonctionnement d'un microscope
optique polarisant pour l'observation des roches
Exemples
source
lumineuse
analyseur
oculaire
objectifs
lame mince
polariseur
Muscovite en lumière polarisée non analysée LPnA
Muscovite en lumière polarisée analysée LPA

Chap I : Propagation d'une onde E.M. plane
polarisée rectilignement dans un milieu
anisotrope, transparent, homogène
A) Rappels sur les propriétés de la lumière et des
ondes électromagnétiques
– Les modèles de lumière
– la lumière, onde électromagnétique
– Polarisation de la lumière
– Classification des O.E.M. en fonction de la
longueur d'onde
– Description d'une O.E.M : les équations de
Maxwell

Théorie des rais :
Les modèles de lumière
Descartes, 17 ème siècle
La lumière est décrite un vecteur (rayon lumineux)
correspondant au trajet parcouru par la lumière entre 2
points
Chaque milieu est caractérisé par un indice de réfraction
(positif), responsable de la déviation des rayons lumineux
aux interfaces entre 2 milieux
Théorie ondulatoire :
Maxwell, Fresnel, 18 ème siècle – fin 19 ème siècle
La lumière est une onde électromagnétique qui correspond à
la propagation d'un champ électrique et d'un champ
magnétique transverse. Elle est formulée par l'ensemble des
4 équations de Maxwell et permet d'expliquer en partie les
interactions lumière/matière
Théorie corpusculaire
De Broglie, Einstein, 20­21 ème siècle
La lumière est formée d'un ensemble de « particules »
(photons) traitées chacune individuellement.
Cette théorie permet d'expliquer complètement les
interactions de la lumière avec la matière mais est
relativement lourde à mettre en œuvre la plupart du temps.

La lumière, onde électromagnétique
La lumière visible est une onde électromagnétique au
même titre que les rayons X ou les ondes radio.
Elle correspond à la propagation conjointe :
­ d'un champ électrique
­ d'un champ magnétique
Ces 2 vecteurs sont orthogonaux entre eux et vibrent en phase
(amplitude maximale en même temps)
Ils sont orthogonaux à la direction de propagation de l'onde, et
en général, leur direction varie à l'intérieur du plan
perpendiculaire à (polarisation)
k
Les équations de Maxwell relient le champ magnétique au
champ électrique. On peut donc se contenter de décrire
uniquement le champ électrique
Enfin, la vitesse v de propagation de l'onde dans un milieu
varie avec la nature de celui­ci
E
B

Polarisation de la lumière
La polarisation d'une O.E.M. décrit la modification de
la direction de vibration du champ électrique au cours
de sa propagation.
Pour la microscopie, 3 types de polarisation sont
importantes :
a) Polarisation circulaire
b) Polarisation elliptique
c) Polarisation rectiligne
a) b) c)

Classification des O.E.M. en fonction de
la longueur d'onde
La distinction entre les différents types d'O.E.M. est
liée aux domaines de fréquence des vibrations.
Dans le vide, ces fréquences sont associées à des
longueurs d'onde caractéristiques.
La lumière visible ne représente qu'une petite
fraction du spectre des O.E.M..

Description d'une O.E.M :
les équations de Maxwell
Maxwell a proposé dès la fin du 19ème siècle un
ensemble de 4 équations permettant de décrire la
propagation des O.E.M
Ces équations relient et décrivent :
● champ électrique E (vide)
déplacement /excitation électrique D (matière)
● champ magnétique B (vide)
champ auxiliaire / excitation magnétique H (matière)
dans tout milieu (vide ou matière) caractérisé par :
● sa permittivité diélectrique r
● sa perméabilité magnétique r
● sa densité de charges interne
● sa densité de courant
j

Ces équations relient entre elles les variations
spatiales ( ) aux variation temporelles ( ∂
∇
) des
divers champs
∂t
1 ∇ .E=
o
2 ∇×E=− ∂B
3 ∇ .B=0
∂t
4 c 2 ∇×B= j
o
∂E
∂t c2
avec et permittivité diélectrique et perméabilité
magnétique du vide :
Description d'une O.E.M :
les équations de Maxwell
c= 1
o o

Dans le vide :
Description d'une O.E.M :
Equation de Laplace
On peut à partir des équations de Maxwell établir
l'équation de propagation des OEM (éq. de d'Alembert)
o o
D=E , H=B et r= r=1, =0, j=0
∂ 2 E
∂ t 2 = ∇ 2 .E ou
1
c 2
∂ 2 E
∂ t 2 = ∇ 2 .E
Une solution de l'équation de Laplace est de la forme :
k
i t−k.r E=E oe k
Et peut se réduire en prenant un repère approprié à :
E=E o e it−k. z u x
(repère cartésien, onde polarisée selon x et se
propageant dans la direction des z croissants.)

Description d'une O.E.M :
Solution de l'Equation de Laplace
E=E o e it−k. z u x
avec : pulsation de l'onde
=
2
T
k= 2
=2
: déphasage arbitraire correspondant à un
choix d'origine (de temps ou d'abscisse)
En t = 0, l'amplitude est maximale tous les kz = 2,
soit z =
On retrouve la notion de longueur d'onde (en m)
En z = 0, l'amplitude de l'onde varie périodiquement
au cours du temps et est maximale tous les t = 2,
soit t = T (en s)
On retrouve la notion de période temporelle T
A cette périodicité temporelle est associée la
fréquence
= /2 (en s ­1 )

Chap I : Propagation d'une onde E.M. plane
polarisée rectilignement dans un milieu
anisotrope, transparent, homogène
B) Interaction lumière­matière / classification
optique des cristaux
– Interactions des O.E.M avec la matière –
Absorption – Réfringence
● réfringence dans les amorphes
● réfringence dans les milieux anisotropes
● symétrie des propriétés optiques – Tenseur
des indices
● Représentation du tenseur des indices :
Ellipsoïde des indices
– Classification optique des matériaux
● Classe des matériaux isotropes
● Classe des cristaux uniaxe
● Classe des cristaux biaxes
– Propagation de la lumière dans un cristal –
Utilisation des ellipsoïdes des indices.

B­I : Interaction des O.E.M avec la matière
Absorption ­ Réfringence
● Dans le vide : pas d'interaction – propagation à la
vitesse de la lumière 300 000 km/s
( 299 792 458 m. sˉ¹ pour être précis)
● Dans la matière : la propagation est ralentie v < c
– la fréquence reste constante
– la longueur d'onde diminue (rappel : = v . T)
La modification de v s'explique par les interactions
entre l'O.E.M et les électrons du milieu traversé. Cette
interactions donnent lieu à 3 phénomènes importants
pour l'identification des minéraux :
­ la couleur et le pléochroïsme (spectre d'absorption
optique)
­ la (bi)réfringence (classification optique des
minéraux)
Comment se traduit de manière macroscopique
l'interaction entre l'O.E.M et le milieu traversé ?
Quelles sont les raisons microscopiques de ces
interactions ?

B­I­1 : Réfringence dans les milieux
amorphes
Du point de vue macroscopique, dans un milieu
transparent, le champ électrique externe E induit une
polarisation P qui s'ajoute à E pour donner le champ D
interne au matériau :
D= o EP avec P= o E
D= o 1E ⇔ D= o r E
: susceptibilité
électrique du matériau
r : permitivité
diélectrique relative du
matériau
La polarisation a son origine microscopique dans les
moments dipolaires atomiques ou moléculaires p
P= ∑
matériau
Les moments individuels p
sont eux­mêmes issus :
1­ d'un terme de polar. ext p induit par le champ externe
2­ d'un terme de polar.
loc p induit par l'environnement
local
p

B­I­1 : Réfringence dans les milieux
amorphes
1­ Terme de polar. ext p induit par le champ externe
Barycentre du
nuage électronique
o
e­
E E
Polarisation électronique
Noyau (barycentre
des charges positives)
o
e­
­Ze +Ze
p ext
Les électrons des couches externes, moins attirés par le noyau,
sont plus fortement polarisés :
pour chaque atome ext p =E où = la polarisabilité
atomique est proportionnelle au volume atomique
Les minéraux composés de “gros” atomes. ie ayant un numéro
atomique élevé, présenteront une réfringence élevée.
Polarisation dipolaire : lorsque les molécules polaires ou polarisables
s'alignent avec le champ électrique
­
+
­
­
­
+
+
­
+
+
+
­
+
­
E
­
­
­
­
+
+
+
+
­
E
­
­
+
+
+

B­I­1 : Réfringence dans les milieux
amorphes
2­ Terme de polar. loc p induit par l'environnement local
Barycentre du
nuage électronique
o
e­
­Ze +Ze
p ext
o
e­
­Ze +Ze
p ind = p ext p loc
Attraction
entre
Noyau (barycentre des
charges positives)
o
e­
E
E
­Ze +Ze
o
e­
p ext p loc
voisins
p ext
­Ze +Ze
p ext
p loc
La polarisation induite locale dépend de la charge totale Ze et
de la distance entre atomes voisins : elle dépend donc
intrinsèquement de la répartition des atomes dans le matériau, d'où
l'apparition de la biréfringence dans les matériau cristallin où
l'organisation des atomes dépend de la direction considérée dans le
cristal

B­I­1 : Réfringence dans les milieux
amorphes
Bilan (1) :
● la polarisation induite par le champ externe est
responsable de la partie isotrope de la réfringence des
matériaux. Les minéraux possédant des éléments de
numéro atomique élevé ont une réfringence élevée
● la polarisation induite locale dépendant de l'organisation
des atomes est la source de la bi­réfringence des
matériaux cristallin
● la permitivité diélectrique et l'indice de réfraction sont
proportionnel à la densité du matériau
● l'indice de réfraction n dépend au premier ordre du
matériau mais également (au second ordre) de la
longueur d'onde selon la loi de Cauchy (empirique) :
n =n o A
2
Cette dépendance en longueur
d'onde se traduit par un pouvoir de
dispersion des matériaux.
Cette dispersion est responsable des
teintes de polarisation anormales en
LPA

B­I­1 : Réfringence dans les milieux
amorphes
Bilan (2) :
● Dans les milieux amorphes n et r sont des scalaires :
D ne varie ni avec la direction d'incidence ni avec l'état
de polarisation du champ électrique E .
vitesse del ' onde : v= c
n =c
r
=c o
indice de réfraction: n= r=
o
D = o r E = n 2 o E = E

B­I­2 : Réfringence dans les milieux
anisotropes
Contrairement aux milieux amorphes, les cristaux présentent
généralement des rangées d'atomes plus ou moins denses. La
polarisation locale induite sera donc plus ou moins importante en
fonction de l'alignement de la direction de polarisation du champ
électrique E avec l'une ou l'autre des directions remarquables X,
Y ou Z.
Si est polarisée selon X, Y ou Z, l'onde se propagera avec la
même polarisation que l'onde incidente avec une vitesse
V = c/N < V = c/N < V = c/N
z z y y x x
Si est polarisée de manière quelconque, on observe alors 2
ondes distinctes polarisées se propageant dans le milieu. La
propagation de ces ondes se fait selon des directions de plus forte
et plus faible densités (avec donc des vitesses de propagation
différentes) et les polarisations de ces 2 ondes sont orthogonales
entre elles.
Z
E
E
X
faible
dense
modéré
Y
E 1
V 1 =
c/N 1
k z
E
E 2
V 2 =
c/N 2
Les expressions reliant E
et D dans le cas d'un milieu isotrope vont
donc en partie devoir être modifiées pour prendre en compte les
variations de et n avec la direction d'incidence de l'onde.

B­I­2 : Réfringence dans les milieux
anisotropes
En fait, les expressions reliant E
et D dans le cas
d'un milieu isotrope restent valident à condition de
prendre en compte la dépendance directionnelle de
la permittivité.
On introduit pour cela le tenseur permittivité
diélectrique (tenseur de rang 2 : matrice 3x3).
Dans une base quelconque, E et D ne sont plus
colinéaires on aura :
[
D=
11 12
]
13
21 22 E 23
31 32 33 Dans la base (O, X, Y, Z) , E et D ne sont pas
colinéaires mais le tenseur est diagonal :
[
x 0 0
] D= 0 y 0 E avec x yz 0 0 z

B­I­2 : Réfringence dans les milieux
anisotropes
Les axes X, Y et Z sont les axes principaux ou axes
de symétrie électrique du milieu.
Les constantes x , y et z sont les constantes
diélectriques principales. On définit également les
indices principaux du milieu par :
n x= x
0
Et on peut récrire :
[
2
n x
D=
n y= y
0
0 0
] 2
0 n y 0
2
0 0 nz 0 E
n z= z
0

B­I­3 : Symétrie des propriétés optiques
Réduction du tenseur des indices
De manière générale (principe de Curie), le tenseur de permittivité
diélectrique (et donc celui des indices) doit respecter et refléter la
symétrie du cristal.
Il doit donc rester invariant vis à vis des opérations de symétrie
applicables au cristal (voir cours de cristallo).
La réduction du tenseur des indices consiste à identifier les éléments du
tenseur qui sont égaux entre eux ou nuls afin de réduire le nombre
d'éléments à considérer lorsqu'on manipule la matrice.
Sans rentrer ici dans le détail de cette réduction, on verra qu'on pourra
établir une classification optique des milieux en fonction du nombre
d'éléments non nuls subsistant dans le tenseur après réduction.
On distinguera :
la classe des matériaux isotropes :
le tenseur de permitivité diélectrique est
diagonal dans la base cristallographique et
les constantes principales sont triplement
dégénérées
la classe des matériaux uniaxes :
le tenseur de permitivité diélectrique est
diagonal dans la base cristallographique et
une des constantes principales est
doublement dégénérée
la classe des matériaux biaxes : le
tenseur de permitivité diélectrique est
diagonal dans la base principale
D=[ x 0 0
0 x 0
] E
0 0 x D=[ x 0 0
0 x 0
] E
0 0 z D=[ x 0 0
0 y 0
] E
0 0 z

B­I­4 : Interprétation des solutions des équations
de Maxwell dans les milieux anisotropes
La résolution des équations de Maxwell montre que :
–
B ,H et D sont dans le plan d'onde de normaleN
– B ,H et D sont ⊥N ­> l'onde est transversale par rapport à ces
vecteurs
– Par contre l'O.E.M. n'est pas transversale par rapport à E !!
Donc on représentera l'O.E.M par D (et non plus E )
D
x
D D y
Dz 2
Dx =n1 o E x se propageà la vitesse v1 = c
n1 2
Dy =n2 o E y . . . . . . v2 = c
n2 2
Dz =n3 o E z . . . . . . v3 = c
r
D=cos t− n.
c En un point quelconque M, repéré par le vecteur r
n = indice dans la direction r
H
D
E
B
R N
milieu isotrope
D etH = plan d ' onde
H
D
B
E
R
N
D
E
milieu anisotrope
D et N = plan de polarisation
n 3
H R
N

B
Plan
d'onde
D etH = plan d ' onde
D
Plan de
vibration
E
R
N
D et N = plan de polarisation

B­I­4 : Interprétation des solutions des équa.
de Maxwell dans les milieux anisotropes
faibl
e
Z
X
D'
modéré
Y
dense
V' = c/n'
N
D
D' '
V'' = c/n''
Si le plan d'onde est orienté de manière quelconque par
rapport au cristal, on observe alors 2 ondes distinctes
polarisées se propageant dans le milieu.
La propagation de ces ondes se fait selon des directions de
plus forte et plus faible densités (avec donc des vitesses de
propagation différentes) – La propagation se fait avec deux
indices n' et n'' avec :
n 1 < n' < n 2 et n 2 < n'' < n 3
Si le plan d'onde est // à un des plan principaux (ex Y0X)
alors les indices n' et n'' correspondent aux indices
principaux.
Dans ce cas, la normale au plan d'onde coïncide avec un axe
de symétrie électrique du milieu.

P 1
P
D
1
D''
D'' 1
La propagation de ces ondes se fait avec des
vitesses de propagation différentes.
L'état de polarisation de l'onde en sortie du
milieu sera donc modifié.
D' 1
D
'
D

B­I­5 : Représentation du tenseur des indices
Ellipsoïde des indices
Le but est de représenter géométriquement les
variations d'indice du milieu en fonction de la
direction de vibration.
On introduit pour cela l'ellipsoïde des indices :
C'est la surface obtenue en portant à partir d'une
origine donnée O, et dans la direction
correspondant à la direction de vibration, une
longueur égale à l'indice n=c/v, v étant la
vitesse de propagation normale (vitesse de
propagation suivant la normale à l'onde, qui, en
général n'est pas le rayon).

B­I­5 : Représentation du tenseur des indices
Ellipsoïde des indices
Le but est de représenter géométriquement les
variations d'indice du milieu en fonction de la
direction de vibration.
On peut montrer que l'indice n pour une
direction quelconque de vibration D est donnée
par :
D .D=n 2 o E .D=D 2
⇒1= n2
D 2
D 2
x
n1 2 D 2
y
2
n2 D 2
z
2
n3 ⇒ si on pose: X= n Dx D Y = n D y
D Z= n Dz D
on obtient :
X 2
2
n1 Y2 2
n2 Z 2
2
n3 =1
C'est l'équation d'une ellipsoïde d'axes
principaux n1, n2, n3 : l'ellipsoïde des indices.

X
O
Z
n
Ellipsoïde des indices
n 1 ,n 2 ,n 3 indices
principaux de
réfraction
H
N 1
R
D
N 1
X
E
D
n 1
Construction :
On porte sur la droite
colinéaire à D, une distance n
à partir de l'origine telle que
ON 1 = n
X, Y et Z : axes principaux ou
axes de symétrie électrique
Y
Z
n 3
n 2
Position du champ électrique
Le plan ( H , R ) est tangent à la
surface de l'ellipsoïde en N . est
1
perpendiculaire à ce plan en N 1 .
D
E
E
R
H Plan tangent à l'ellipsoïde
Y

Plan d'onde de normale
quelconque
N
D
N
n'
Les directions de vibration qui
peuvent se propager sans altération
(pour une direction du plan d'onde)
sont les directions correspondant aux
axes de l'ellipse d'intersection du
plan d'onde avec l'ellipsoïde des
indices. Les indices correspondants
sont égaux aux demi­longueurs des
axes de l'ellipse
H
Ellipse d'intersection entre
le plan d'onde et
l'ellipsoïde des indices
D '
N
D ' '
D' et D'' se propagent dans le milieu anisotrope sans altération
n''
H

B­I­6 : Représentation du tenseur des indices
Surface des indices
Le but est de représenter géométriquement les
variations d'indice du milieu en fonction de
l'orientation du plan d'onde.
On introduit pour cela la surface des indices :
C'est la surface obtenue en portant à partir d'une origine
donnée O, et dans la direction correspondant à la
normale au plan d'onde, deux longueurs ON' et ON''
égale à n' et n''.
En répétant cette opération pour toutes les directions du
plan d'onde, l'ensemble des points N' et N'' décrivent
une surface à 2 nappes appelées surface des indices.
X
n 1
Z
n 3
n 2
Y
X
Ellipsoïde des indices Surface des indices n 1 > n 2 > n 3
n 2
n 3
Z
n 1
n 2
n 3
n 1
Y

L'intersection de la surface des indices avec un des
plans de symétrie optique se compose :
­ d'un cercle, dont le rayon est égal à l'indice principal
de l'axe normal au plan principal considéré,
­ d'une ellipse, dont chaque demi­axe est égal à l'indice
principal correspondant à l'autre (demi­axe)
X
n 2
I
J'
n 3
Z
n 1
n 2
O
I'
J
n 1 > n 2 > n 3
OI et OI' : axes optiques du milieu anisotrope
Définition des axes optiques : l'intersection des 2
nappes de la surface des indices se produit en des
points I et I' isolés.
Les directions OI et OI' définissent les axes optiques du
milieu anisotrope.

Propriétés des axes optiques :
Lorsque la normale N au plan d'onde coïncide avec un
axe optique, les indices n'et n'' sont égaux : les 2
vibrations privilégiées D'et D'' se propagent alors à la
même vitesse (la traversée du milieu n'induit pas de
déphasage entre ces 2 vibrations).
=> Une vibration quelconque D dont la normale au plan
d'onde coïncide avec l'axe optique se propage alors sans
altération quelque soit son état de polarisation : l'onde
se conserve au cours de sa propagation.
X
n 2
I
J'
n 3
Z
n 1
n 2
O
I'
J
n 1 > n 2 > n 3
OI et OI' : axes optiques du milieu anisotrope

Nombre d'axes optiques :
On ne définit pas d´axe optique pour un milieu isotrope bien
évidemment.
Si l'un des indices principaux est dégénéré (2 valeurs
identiques dans le tenseur des indices) on obtient un cas
particulier pour lequel un seul axe optique est défini : on
parle de milieu uniaxe. Dans ce cas, l'ellipsoïde des indices
présente une symétrie axiale. Ex : son intersection avec le
plan XOY est un cercle si on considére un axe OZ pour la
symétrie.
On retrouve cette notion d'axe unique à la fois dans
l'ellipsoïde et dans surface des indices.
Dans les autres cas, on parle de milieu bi­axes.
X
I
n 2
J'
Biaxe
n 3
Z
n 1
n 2
O
I'
J
n 1 > n 2 > n 3
X
I
n 2
n 3
Uniaxe
Z
n 1
n 2
O
n 1 > n 2 = n 3
J

X
R
n 1 > n 2 > n 3
n' = n 3
n 1 > n'' > n 2
n 2
n 3
Z
H'
E''
D
'
R'
n 3
R''
H''
D''
Orientation des vecteurs E.M. à la surface des
indices
H
O n O n' n''
N
ellipsoïde des indices
Orientation des vecteurs E.M.
à la surface des indices
E
D
O
H '
D'
D ' '
n 1
E''
N
H ' '
surface des indices
Différences entre ellipsoïde et surface des indices
E
Y
R
N

B­II­1 : Classification optique des
matériaux
Nous avons vu qu'en fonction du nombre d'éléments
différents subsistant aprés réduction du tenseur des
indices, on distinguera :
la classe des matériaux isotropes :
le tenseur des indices est
diagonal dans la base
cristallographique et les indices
principaux sont triplement
dégénérées
la classe des matériaux
uniaxes :
le tenseur des indices est
diagonal dans la base
cristallographique et un des
indices principalaux est
doublement dégénérée
la classe des matériaux biaxes :
le tenseur des indices est
diagonal dans la base principale
2
nx 0 0
D=[ ] 2
0 nx 0
2
0 0 nx 2
nx 0 0
D=[ ] 2
0 nx 0
2
0 0 nz 2
nx 0 0
D=[ ] 2
0 ny 0
2
0 0 nz o E
o E
o E

B­II­1 : Classification optique des matériaux
a) Ellipsoïde des indices et axes optiques pour les
milieux isotropes
la classe des matériaux isotropes :
le tenseur des indices est diagonal
dans la base cristallographique et
les indices principaux sont
triplement dégénérées
N
N
N
2
nx D=[
Milieu ISOTROPE
0 0
] 2
0 nx 0 E o
2
0 0 nx Les amorphes et les cristaux cubiques ne peuvent être
différenciés par leurs propriétés optiques. Ils forment
la classe des matériaux isotropes et n'ont qu'1 indice
de réfraction.

B­II­1 : Classification optique des matériaux
b) Ellipsoïde des indices et axes optiques pour les
milieux uniaxes
la classe des matériaux uniaxes :
le tenseur des indices est diagonal
dans la base cristallographique et
un des indices principaux est
doublement dégénérée
UNIAXE
POSITIF
No
No
Ne
Ne
N
o
No
Ne
No
Section circulaire contenant No
No
No
Ne
2
nx D=[
0 0
] 2
0 nx 0 E o
2
0 0 nz Ne
UNIAXE
NEGATIF
No
N
o
Section elliptique
contenant No et Ne
Ne
No

B­II­1 : Classification optique des matériaux
b) Ellipsoïde des indices et axes optiques pour les
milieux uniaxes
la classe des matériaux uniaxes :
2
nx 0 0
le tenseur des indices est diagonal
D=[ ] 2
dans la base cristallographique et 0 nx 0 E o
2 un des indices principalaux est 0 0 nz doublement dégénérée
Les cristaux hexagonaux, trigonaux et quadratiques
forment ensemble la classe des matériaux uniaxes et
ont 2 indices de réfraction No et Ne.
No
Ne
No
Ne
No
Section circulaire contenant No
No
Ne
No
Section elliptique
contenant No et Ne
Ne
No

B­II­1 : Classification optique des matériaux
c) Ellipsoïde des indices et axes optiques pour les
milieux biaxes
la classe des matériaux biaxes :
le tenseur des indices est diagonal
dans la base principale
Y
n = Nm
n = Nm
Nm
Z
Ng
n = Nm
2
nx D=[
n = Nm
0 0
] 2
0 ny 0 E o
2
0 0 nz Np
X
Sections circulaire de
l'ellipsoïde des indices
de rayon n = Nm
Les cristaux orthorhombiques, monocliniques et
tricliniques forment ensemble la classe des matériaux
biaxes et ont 3 indices de réfraction principaux Np, Nm
et Ng.

B­II­1 : Classification optique des matériaux
c) Ellipsoïde des indices et axes optiques pour les
milieux biaxes
Axe
Optique
X
Y
2V
Z
Biaxe POSITIF
Axe Optique
X
Y
Z
Biaxe NEGATIF
Axe
Optique
2V
Axe
Optique

B­II­1 : Classification optique des matériaux
d) Relation entre systèmes cristallins et propriétés
optiques
Système
cristallin
Cubique
Quadratique
Hexagonal
Trigonal
Orthorhombique
Monoclinique
Triclinique
Notation française
Classe
Optique
Indices
Forme et
orientation de
l'ellipsoïde
Isotrope N Sphére
Uniaxe
U + ou U ­
Uniaxe
U + ou U ­
Uniaxe
U + ou U ­
Biaxe
B + ou B ­
Biaxe
B + ou B ­
Biaxe
B + ou B ­
N o , N e
N o < N e ou N o >
N e
N o , N e
N o < N e ou N o >
N e
N o , N e
N o < N e ou N o >
N e
N p , N m , N g
N p < N m < N g
N p , N m , N g
N p < N m < N g
N p , N m , N g
N p < N m < N g
Notation anglosaxonne
N p
N m
N g
Ellipsoïde de
révolution
N e // c
Ellipsoïde de
révolution
N e // c
Ellipsoïde de
révolution
N e // c
Ellipsoïde générale
N p // a, b ou c
N m // b, c ou a
N g // c, a ou b
Ellipsoïde générale
N p , N m ou N g // b
Ellipsoïde générale
Pas d'orientation
privilégiée
N o
N e

Quelques exemples de matériaux
biréfringents
Matériau no ne n
● béryl 1.602 1.557 ­0.045
● calcite CaCO3 1.658 1.486 ­0.172
● calomel Hg2Cl2 1.973 2.656 +0.683
● glace H2O 1.309 1.313 +0.014
● niobate de lithium LiNbO3 2.272 2.187 ­0.085
● fluorure de magnésium MgF2 1.380 1.385 +0.006
● quartz SiO2 1.544 1.553 +0.009
● rubis Al2O3 1.770 1.762 ­0.008
● rutile TiO2 2.616 2.903 +0.287
● péridot 1.690 1.654 ­0.036
● saphir Al2O3 1.768 1.760 ­0.008
● nitrate de sodium NaNO3 1.587 1.336 ­0.251
● tourmaline 1.669 1.638 ­0.031
● zircon (max) ZrSiO4 1.960 2.015 +0.055
● zircon (min) ZrSiO4 1.920 1.967 +0.047

Chap II : Production de lumière elliptique
à la sortie d'une lame cristalline
A) Construction de Descartes
B) Lignes neutres de la lame
C) Nature de la vibration résultante
D) Lame onde, demi­onde, quart d'onde
On étudiera la polarisation induite par une lame
cristalline :
– taillée dans un cristal uniaxe (no, ne)
– à face parallèles
– d'axe optique parallèle aux faces de la lame

A) Construction de Descartes
On considère une onde plane incidente qui arrive
sous incidence normale à la lame; le plan d'onde est
parallèle à la face d'entrée.
Dans le cas d'un uniaxe positif on obtient le schéma
suivant :
air
n 1
onde incidente
normale à la
lame
n o
n 1
x
y
cristal uniaxe
Les rayons réfractés ne sont pas déviés. Les plans d'onde
réfractés sont toujours parallèles à la face d'entrée (xOy).
l
Do
n e
De
N
Axe optique
air
n 1
z

B) Lignes neutres de la lame
Définition des lignes neutres
● Si la lumière incidente est polarisée rectilignement
avec ses vibrations // à D o :
– l'onde incidente transmise est polarisée
suivant D o
– on a extinction de D e
● La réciproque est vraie
D o D e
et sont les lignes neutres de la lame
Définition des axes lent et rapide
Cas d'un uniaxe positif : comme n e > n o => v o > v e
L'onde ordinaire se propage plus rapidement que
l'onde extraordinaire. On peut donc définir des axes
lent et rapide :
axe lent :
axe rapide :
Oy D e
Ox D o

C) Nature de la vibration résultante
● Pour une vibration incidente polarisée
rectilignement quelconque
b
O
y
d
O x ∥D o
a
O y ∥D e
D incidente
x
D x=a cost
D y =b cost
a=d cos
b=d sin
d=∣D∣
● Aprés traversée de la lame, il va y avoir un
déphasage entre les 2 vibrations car elles ne
se propagent pas dans la lame avec la même
vitesse. En effet :
D o ⇒ Do=a cost− z
suivantO x
vo D e⇒ De=b cost− z
suivantO y
ve

C) Nature de la vibration résultante
D o ⇒ Do=a cost− z
suivantO x
vo D e⇒ De=b cost− z
suivantO y
ve ● Pour un z donné, la différence de phase est :
=e− o = z 1
−
ve 1
=
vo 2
z ne− no ● Soit à la sortie d'une lame d'épaisseur e :
=
2
en e− n o
● En fixant judicieusement l'origine des temps, on
peut écrire :
D o=a cost
D e =bcost−
C'est une vibration elliptique comme on va le détailler
dans la suite. L'intensité de cette vibration est égale
l'intensité de la vibration incidente. :
a 2 b 2 2
=ao

C) Nature de la vibration résultante
● Étude de la vibration elliptique :
On pose : x = Do et y = De
⇒ x
y
=cos t [1] et =cos t−
a b
y
=cos t cossin t sin
b
y
b =x cossin t sin
a
y x
− cos=sin t sin [2]
b a
x
a
sin 2
y
b
x 2
[1]×sin 2 [2 ] 2
− x
a
sin 2
= cost sin 2 sin t sin 2
2xy
− 2
a ab
cos y2
b 2 = sin 2

C) Nature de la vibration résultante
x 2
2xy
− 2
a ab
cos y2
b 2 = sin 2
● Equation d'une ellipse centrée sur O, dont les
axes ne coïncident pas avec les axes Ox et Oy.
­a
ligne neutre
y
b
D A
C
­b
b sin
a sin
B
a
x
ligne
neutre
● L'extrémité des vecteurs D se trouve sur l'ellipse
● va déterminer l'état de polarisation de l'onde

Polarisation linéaire
y
O
Polarisation elliptique gauche
y
x
=0 ou =2 =
O
0
2
y
O
=
2
y
O
2
x
x
x
y
O
Polarisation elliptique droite
y
O
3
2
y
O
= 3
2
y
O
3
2
2
x
x
x
x

D) Lame onde, demi­onde, quart d'onde
● Lame onde
le retard entre les 2 vibrations privilégiées est égal à
un multiple de la longueur d'onde
la vibration émergente est identique à la vibration
incidente
=2 k =2
=k.
e n e − n o =k.
● Lame Demi­onde
la lame introduit un retard d'une demi­longueur
d'onde
la vibration émergente est rectiligne et symétrique
de la vibration incidente par rapport aux lignes
neutres de la lame
=2k 1
= 2k1
=k
2 2
en − n =k e o
2

D) Lame onde, demi­onde, quart d'onde
● Lame Quart d'onde
la lame introduit un retard égal à un quart de
longueur d'onde
la vibration émergente est elliptique, l'ellipse a pour
axes les lignes neutres de la lame
=2k 1
2
=2k1
4
en e − n o =2k1
4