FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - maths et tiques

1) Sur ⎤⎦ 0;+∞ ⎡⎣ , on a f '(x) = −1+ 2 2 − x
= .
x x
Comme x > 0 , f '(x) est du signe de 2 − x .
La fonction f est donc strictement croissante sur ⎤⎦ 0;2⎤⎦
et strictement décroissante
sur ⎡⎣ 2;+∞ ⎡⎣ .
On dresse le tableau de variations :
x 0 2 +∞
f '(x) ⎪⎪ + 0 -
f (x)
f (2) = 3− 2 + 2ln 2 = 1+ 2ln 2
1+ 2ln 2
( )
− 1× x − 2 − x × 1 −x − 2 + x 2
2) Sur ⎤⎦ 0;+∞ ⎡⎣ , on a f ''( x)
= = = − < 0.
2 2 2
x x x
La fonction f ' est donc décroissante sur 0;+∞ ⎤⎦ ⎡⎣ . On en déduit que la fonction f est
concave sur ⎤⎦ 0;+∞ ⎡⎣ .
IV. Positions relatives
Propriété : La courbe représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de la
droite d'équation y = x .
La droite d'équation y = x est au-dessus de la courbe représentative de la fonction
logarithme népérien.
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr