FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - maths et tiques

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- Au point d'abscisse 1, l'équation de la tangente est y ( x ) - Au point d'abscisse e, l'équation de la tangente est ( ) 6) Courbe représentative 1 = 1 − 1 + ln1 soit : y = x − 1. 1 y = e x − e + ln e soit : y = 1 x . e On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien : Valeurs particulières : x 0 +∞ ln'(x) ⎪⎪ + +∞ ln x −∞ ln1 = 0 lne = 1 Méthode : Etudier les variations d'une fonction 1) Déterminer les variations de la fonction f définie sur ⎤⎦ 0;+∞ ⎡⎣ par f (x) = 3 − x + 2ln x . 2) Etudier la convexité de la fonction f. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr
1) Sur ⎤⎦ 0;+∞ ⎡⎣ , on a f '(x) = −1+ 2 2 − x = . x x Comme x > 0 , f '(x) est du signe de 2 − x . La fonction f est donc strictement croissante sur ⎤⎦ 0;2⎤⎦ et strictement décroissante sur ⎡⎣ 2;+∞ ⎡⎣ . On dresse le tableau de variations : x 0 2 +∞ f '(x) ⎪⎪ + 0 - f (x) f (2) = 3− 2 + 2ln 2 = 1+ 2ln 2 1+ 2ln 2 ( ) − 1× x − 2 − x × 1 −x − 2 + x 2 2) Sur ⎤⎦ 0;+∞ ⎡⎣ , on a f ''( x) = = = − < 0. 2 2 2 x x x La fonction f ' est donc décroissante sur 0;+∞ ⎤⎦ ⎡⎣ . On en déduit que la fonction f est concave sur ⎤⎦ 0;+∞ ⎡⎣ . IV. Positions relatives Propriété : La courbe représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de la droite d'équation y = x . La droite d'équation y = x est au-dessus de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr
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Page 5 and 6: ln ( 3 5) ln ( 3 5) ( )( ) A = −
Page 7: 2) Variations Propriété : La fonc

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