FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - maths et tiques

⎛ t ⎞
⇔ ln ⎜1+ ⎟ = ln1,3
⎝ 100 ⎠
⎛ t ⎞
⇔ 6ln ⎜1+ ⎟ = ln1,3
⎝ 100 ⎠
⎛ t ⎞ 1
⇔ ln ⎜1+ ⎟ = ln1,3
⎝ 100 ⎠ 6
1
⎛ t ⎞ ⎛ ⎞
6
⇔ ln ⎜1+ ⎟ = ln ⎜1,3 ⎟
⎝ 100 ⎠ ⎝ ⎠
6
1
t 6
⇔ 1+ = 1,3
100
1
⎛ ⎞ 6
⇔ t = 100⎜1,3 −1⎟ ≈ 4,5
⎝ ⎠
Une augmentation globale de 30 % correspond à 6 augmentations successives
d'environ 4,5 %.
III. Etude de la fonction logarithme népérien
1) Continuité et dérivabilité
Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur ⎤⎦ 0;+∞ ⎡⎣ .
- Admis -
Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur ⎤⎦ 0;+∞ ⎡⎣ et
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr
(ln x)' = 1
x .
Démonstration :
Nous admettons que la fonction logarithme népérien est dérivable sur ⎤⎦ 0;+∞ ⎡⎣ .
Posons f (x) = eln x .
Alors f '(x) = (ln x)'eln x = x(ln x)'
Comme f (x) = x , on a f '(x) = 1.
Donc
Exemple :
x(ln x)' = 1 et donc
(ln x)' = 1
x .
Dériver la fonction suivante sur l'intervalle ⎤⎦ 0;+∞ ⎡⎣ :
f '(x) =
1
× x − ln x × 1
x
x 2 = 1− ln x
x 2
f (x) =
ln x
x