FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - maths et tiques

Démonstration :
- On considère la fonction f définie sur ℝ par f (x) = ex − x .
f '(x) = ex − 1.
f '(x) = 0
⇔ e x − 1 = 0
⇔ e x = 1
⇔ x = 0
On a également f (0) = e0 − 0 = 1 > 0 .
On dresse ainsi le tableau de variations :
x −∞ 0 +∞
f '(x) - 0 +
f (x)
On en déduit que pour tout x de ℝ , on a f (x) = ex − x > 0 soit e x > x
- On considère la fonction g définie sur ⎤⎦ 0;+∞ ⎡⎣ par
g '(x) = 1− 1 x − 1
= .
x x
Comme x > 0 , f '(x) est du signe de x − 1.
On a également g(1) = 1− ln1 = 1 > 0 .
On dresse ainsi le tableau de variations :
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr
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g(x) = x − ln x .
x 0 1 +∞
g '(x) - 0 +
g(x)
On en déduit que pour tout x de ⎤⎦ 0;+∞ ⎡⎣ , on a g(x) = x − ln x > 0 soit x > ln x .
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