Logique molle et paradoxes - Gilles Josse

Gilles Josse
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Présentation
Qu'est-ce qui peut bien pousser un auteur de romans à
écrire un ouvrage tel que celui-ci, si ce n'est l'amour des
mathématiques et du langage : ainsi, si j'ai rêvé de devenir
écrivain dès mon plus jeune âge, je n'aurais pas dédaigné non
plus pouvoir gagner ma vie comme mathématicien
professionnel.
Faute de quoi j'ai dû me contenter de faire une école
d'ingénieur, prestigieuse certes, mais qui porte le même nom
qu'une prison, tout là-bas, chez les ch'tis, une profession que
j'ai abandonnée pour devenir plus modestement professeur de
mathématiques dans l'éducation nationale. Et jamais cette
passion conjointe pour les mathématiques et le langage ne
m'a fait défaut, à tel point que j'ai fini par me lancer dans
l'aventure, à écrire cet opuscule qui, je l'espère, contient
quelques idées originales, présentées sous une forme que j'ai
souhaitée plaisante, et même au besoin humoristique, à
certains moments.
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Sommaire
Introduction p. 5
Le paradoxe de la carte retournée p. 17
Égalité, inégalité et logique I p. 30
Disjonction, somme et produit logique p. 36
Interprétation de la règle de distributivité p. 45
Un peu de logique câblée p. 47
Affirmation contraire et négation p. 51
Machines à beurre élémentaires, universelles p. 63
Les syllogismes et la logique I p. 75
Logique I et relation de cause à effet p. 83
Relations de cause à effet particulières p. 95
Le paradoxe du menteur et la normalité p. 98
Explicitation d'une relation logique p. 106
Généralisation du paradoxe de la carte retournée p. 118
Le paradoxe du barbu et les états logiques flous p. 125
Ensembles mous et distance p. 130
Le modèle soustractif des couleurs p. 141
Expression analytique de la disjonction p. 146
Expression analytique de la somme et du produit p. 148
Simplification d'une affirmation générique p. 157
Retour à la normalité p. 159
Le paradoxe des catalogues p. 179
Le paradoxe de Grelling-Nelson p. 181
Le dilemme du crocodile et l'indécision p. 190
Il y aura une bataille navale demain p. 196
Logique I et principe de non-contradiction p. 204
Le mystère de la reformulation assertive p. 208
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Interprétation des valeurs de vérité de la logique I p. 215
Les trois modèles de la logique I p. 225
Affirmations dérivées d'une affirmation générique p. 229
Les paradoxes de Moore et de Fitch p. 233
Le connu, le méconnu, le déconnu... p. 246
Le paradoxe de Berry et les méta-affirmations p. 256
Logique I et implication p. 262
Retour à la logique H p. 272
La valeur logique de ce qui n'existe pas p. 277
Le chat de Schrödinger p. 281
Conclusion p. 283
Glossaire p. 294
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Introduction
« Ce n'est pas parce qu'en hiver on dit « Fermez la porte,
il fait froid dehors », qu'il fait moins froid dehors quand la
porte est fermée. »
Pierre Dac
A la base, je nourris une véritable passion pour tout ce qui
est paradoxal, non-conforme, que l'on baptise aisément de
mal-formé, et que l'on écarte partant de là du cadre habituel
dans lequel on traite la « réalité logique », d'où l'idée
concomitante de chercher à adapter ce cadre, de le déformer,
de l'élargir, pour donner leur place à ces éléments
dérangeants et un peu monstrueux que sont les paradoxes.
Voilà pourquoi, depuis quelques années déjà, je me
penche régulièrement sur les paradoxes logiques les plus
courants, dont le paradoxe du menteur et celui de la carte
retournée, et j'ai eu l'occasion de constater qu'ils étaient
habituellement résolus d'une manière qui ne me convenait
pas vraiment, et que je me suis lancé dans la rédaction de
« logique et langage », pour y exposer mes propres idées sur
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la question, soit mettre mon grain de sel sur un sujet
largement débattu.
Mon approche a été la suivante : m'abstenir de tout a
priori, de tout parti pris, pour pouvoir étudier sereinement les
conséquences auxquelles nous entraînent ces paradoxes eux-
mêmes, même si elles peuvent sembler déconcertantes au
premier abord.
Dans un premier temps, l'examen de la célèbre affirmation
du menteur, disant A = « cette phrase est fausse », ou bien de
la situation de la « carte retournée », ce qui revient au même,
nous amène naturellement à devoir considérer une réalité
indéniable du langage, qui échappe à la dualité vrai-faux, et
donc à introduire une nouvelle valeur de vérité i, comme
indéterminée. La confrontation avec la réalité des choses
elles-mêmes nous force à reconnaître que la situation n'est
pas si extraordinaire que cela : un saucisson n'est pas
nécessairement entier ou coupé en tranche, il peut l'être à
moitié. De même, quand il ne fait que pleuviner, on ne peut
pas dire qu'il pleut, ni qu'il ne pleut pas.
D'où l'idée de rendre compte par la même valeur de vérité
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i de ces situations intermédiaires de la vie courante. Voilà,
l'idée est lancée : il s'agira de traiter dans un même cadre
logique aussi bien les situations que nous dirons « triviales »
ou soit une chose une vraie et son contraire faux, et
inversement, que les situations que nous dirons « molles »,
où il existe un état intermédiaire, et encore les situations
paradoxales du type affirmation du menteur. Que je sache, on
ne parle pas des langues différentes pour aborder ces
différentes choses ! Il y a une unité qui demande à être
respectée, qui dépasse la simple utilisation de procédures ad
hoc, pour rendre compte d'un paradoxe tel celui de la carte
retournée ou du menteur, qu'elle généralise.
Partant de là, il vient alors naturellement à l'esprit de
formaliser une logique à trois valeurs de vérité v, i et f, ce qui
nous est dicté par nos constatations précédentes.
Mais alors, il apparaît encore clairement que si les choses
du monde et du langage peuvent prendre trois valeurs de
vérités distinctes, ce que l'on peut affirmer à leur sujet se
décline en 2 3 = 8 combinaisons, correspondant à notre état
de connaissance à leur sujet, dans la situation S, à savoir :
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• Je sais que la chose X est à l'état extrême 1.
• Je sais que la chose X est à l'état intermédiaire 2.
• Je sais que la chose X est à l'état extrême 3.
• Je sais que la chose X n'est pas à l'état extrême 1.
• Je sais que la chose X n'est pas à l'état intermédiaire 2.
• Je sais que la chose X n'est pas à l'état extrême 3.
• Je sais que la chose X est dans l'un des états 1, 2 ou 3.
• Je sais que la chose X n'est dans aucun des états 1, 2
ou 3.
Seule la dernière affirmation pose un problème
d'interprétation, les autres étant parfaitement claires : elle
revient à affirmer que l'état de X dans la situation S n'a pas
de sens. Par exemple, affirmer « il pleut » quand on est sur la
lune n'a pas de sens, puisque la lune ne possède pas
d'atmosphère, et que le phénomène de la pluie lui est de ce
fait étranger.
C'est cette déclinaison qui nous amène à compléter
l'ensemble de nos trois valeurs de vérité par les cinq valeurs
supplémentaires que nous dénotons – v , – i , – f , T et Φ,
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correspondant dans l'ordre à chacune des cinq dernières
situations de la liste précédente. La chose est en effet rendue
nécessaire par un cas particulier de la carte retournée, où la
valeur de vérité de chacune des affirmations qu'elle porte au
recto et au verso peut aussi bien être vrai que faux, ce qui
correspond à la valeur de vérité que nous notons – i.
Alors, on peut se demander si notre logique, que nous
appellerons logique I, est précisément trivaluée ou bien
octovaluée. A cette question, nous donnerons une réponse de
normand, qui consiste à dire que dans les faits, notre logique
est trivaluée, dans la mesure où nous possédons une
connaissance certaine des choses auxquelles elle s'applique,
et qu'elle est octovaluée, du point de vue des discours que
nous pouvons mener à leur sujet, traduisant notre état de
connaissance, qui n'est pas nécessairement certain, ou bien
encore la possibilité d'un choix à réaliser.
Autrement dit, la logique I avec ses huit valeurs de vérité
est plus ou moins une logique modale épistémique construite
sur un monde où les choses peuvent prendre trois états
distincts.
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A part cela, je n'avais aucun préconçu présidant à la
réalisation de cet ouvrage, et même si j'y développe certaines
notions, c'est toujours en vue de résoudre l'une ou l'autre des
questions que posent les paradoxes courants et le souci de
rendre compte de la réalité du langage, envisagé d'un point
de vue descriptif, et de son rapport à la vérité et à l'erreur.
C'est donc une pensée « au fil de l'eau » qui s'exprime dans
ces pages. A certains, cette manière de baguenauder d'une
idée à une autre plaira, quand elle insupportera les gens
éminemment rationnels, toujours un peu angoissés, et qui
aiment savoir par avance à quelle sauce ils vont être mangés.
De fait, même si cela rend parfois la lecture un peu
difficile, dans ce sens où à aucun moment le lecteur ne se
sentira vraiment dirigé vers un but précis, c'est peut-être bien
tout de même la bonne méthode pour traiter des paradoxes de
manière ouverte et disponible, qui nous emmènent parfois
sans qu'on le veuille sur des terrains aventureux.
Le meilleur exemple que je puisse donner à ce propos est
celui de la table de vérité de l'égalité entre deux valeurs
logiques, où l'on trouve que V( « v = i » ) = i, où i signifie
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tantôt ni-vrai ni-faux ou mi-vrai mi-faux, là où l'on s'attend à
trouver f ou – v = i ˅ f = i ou f . Cela en surprendra plus d'un,
y compris également le fait que l'égalité et l'inégalité puissent
avoir une table de vérité non triviale. Comme je l'ai dit, cela
provient ni plus ni moins de l'étude généralisée du paradoxe
de la carte retournée, qui en quelque sorte nous « impose la
chose », plutôt que d'une quelconque volonté d'être original à
tout prix.
Mais l'étude des paradoxes, même si elle est intéressante
en soi, ne suffit pas à elle seule à justifier l'emploi de cette
logique alternative I, que je souhaitais être une extension
naturelle de la logique habituelle, ou logique H. Encore
fallait-il donc utiliser cette logique I pour rendre compte de
situations concrètes rencontrées tous les jours.
C'est d'ailleurs de l'examen d'une telle situation,
nommément l'état du sol susceptible d'être sec ou plus ou
moins mouillé par la pluie et/ou un arroseur automatique à
trois états que j'ai tiré la table de vérité du « ou » logique, une
opération que j'appelle « somme logique », réservant l'emploi
du mot disjonction à une autre opération entre valeurs
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logiques.
La table de vérité du « et » logique, appelé « produit
logique », s'en déduit naturellement, par « symétrie », une
notion intuitive fondamentale qui guide bien des
raisonnements conduits dans cet ouvrage.
Une idée en appelant une autre, il vient ensuite
naturellement celle d'étudier en toute généralité une relation
du type A × B => C, donnée par ce que j'appelle son tableau
de valeurs principales, soit la valeur de vérité de la sortie
V(C) en fonction du couple de valeurs d'entrées ( V(A) ,
V(B) ), quand V(A) et V(B) sont des valeurs certaines. Nous
arrivons à la conclusion qu'elle peut être matérialisée par une
situation de type « machine à beurre », permettant de
maintenir un morceau de beurre à l'état dur, mou ou
intermédiaire, quelque soit le temps qu'il fait, celui-ci
pouvant être chaud, froid, ou bien frais/doux.
Évidemment, prenant conscience de ce que cette situation
n'a été étudiée que d'un point de vue pratique, il convenait
d'en rendre compte d'un point de vue logique, en faisant
intervenir les OLE, objets logiques élémentaires de la
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logique I, ce que nous réalisons dans le chapitre intitulé
« explicitation d'une relation logique ».
Dans l'entre-deux, nous nous sommes permis au passage
de montrer brièvement en quoi les variables logiques de cette
logique I permettaient de modéliser le raisonnement
syllogistique, et de retrouver les syllogismes concluants
d'Aristote, via simplement quatre tables de vérité, faisant
intervenir seulement quatre de nos huit valeurs de vérité.
Bien que satisfaits par la tournure que prennent les choses,
une question lancinante subsiste, qui consiste à se demander
s'il n'est pas possible de faire surgir une situation paradoxale
pour la logique I, au même titre que l'affirmation du menteur
l'est pour la logique H, par le biais d'affirmations auto-
référentes. Nous répondons par la négative à cette question,
en plusieurs temps, en présentant un modèle d’enchâssement
des affirmations du langage, méta-affirmations, méta-méta-
affirmations, etc. Nous démontrons ainsi ce que nous
appelons notre « théorème de normalité ».
Il nous aura ce-faisant fallu introduire ce que nous
appelons les ensembles mous, qui ne sont bien sûr pas de
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notre invention, qui matérialisent le support d'une affirmation
générique telle que « il a fait beau le jour X de l'année
2011 », soit la réunion de l'ensemble des jours où il a fait
chaud, et de celui où il a fait frais/doux : comme d'habitude,
nous n'envisageons que deux états extrêmes et un état
intermédiaire.
Notre théorème de normalité s'énonce alors ainsi : toute
méta-affirmation générique, … , se révèle soit normale, soit
anormale, une méta-affirmation générique étant normale
quand elle elle répond par vrai ou par faux sur son ensemble
de définition, et anormale quand elle peut aussi prendre la
valeur i. Autrement dit, nous affirmons qu'il n'est pas
possible de faire resurgir le paradoxe auto-référent du
menteur dans le cadre de la logique I, ce qui est assez
gonflé !
Par la suite, envisageant le cas des futurs contingents et le
paradoxe de Fitch, via celui de Moore, il nous est nécessaire
de nous pencher sur le principe de non-contradiction et celui
du tiers exclus, et de reconnaître que ceux-ci ne sont pas
respectés en l'état par notre logique I. Mais le premier l'est
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tout de même, moyennant ce que nous appelons procédure de
reformulation assertive (en gros, s'il pleuvine, V(« il pleut »)
= f et V(« il pleuvine ») = v), et le deuxième devient un
principe du quart exclus, en utilisant cette même procédure.
Au passage, nous constatons aussi qu'il nous faut
abandonner le principe de vérifonctionnalité dans certains
cas particuliers ennuyeux, nommément ceux ou une
affirmation est considérée de concert avec sa négation, soit
par exemple celle des futurs contingents.
Toujours au passage, nous résolvons sans difficulté le
paradoxe de Grelling-Nelson et celui de Berry, qui
s'entendent de façon très naturelle dans le cadre de la logique
I. Nous assumons également le fait que celle-ci rend compte
de manière bien moins satisfaisante du paradoxe sorite du
barbu (ou du tas de sable). Là, nous touchons du doigt un
point fondamental de notre propos, puisque c'est de cette
dialectique de la continuité et de la discontinuité que procède
véritablement notre logique I, comme nous nous efforçons de
l'expliquer par la suite, et comme nous vous invitons à le
découvrir par vous-même.
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Accessoirement, on finira par découvrir que les valeurs
principales des tables de vérité de la logique I ne sont autres
que celles de la logique trivaluée K3 étudiée par Kleene en
son temps, même si bien sûr notre interprétation sémantique
de la valeur i n'est pas la même.
Migennes, le 15 novembre 2012
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Le paradoxe de la carte retournée
Considérons une carte à deux faces A et B, sur lesquelles
sont inscrites les affirmations correspondantes :
A = « ce que dit B est vrai »
B = « ce que dit A est faux »
• Si A dit vrai, c'est que B est vrai, ce qui implique que
A est faux, d'où contradiction.
• Si A dit faux, c'est que B dit faux, donc que le
contraire de ce qu'elle affirme est vrai, donc que A est
vraie : nouvelle contradiction.
• Si B dit vrai, c'est que le contraire de ce qu'affirme A
est vrai, donc que B dit faux : contradiction.
• Si B dit faux, c'est que A dit vrai, et donc que B dit
vrai : contradiction.
A ne peut donc être ni vraie ni fausse, sans contradiction
logique, ce qui provient bien évidemment de ce que A et B
font référence l'une à l'autre de manière contradictoire. C'est
la même chose pour B.
La logique habituelle dichotomique, que nous appellerons
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« logique H », est donc incapable d'affecter une valeur de
vérité à A et à B parmi les deux seules qu'elle accepte, à
savoir v ou f, pour vrai ou faux.
Partant de là, la situation de la carte retournée peut être
considérée comme anormale, illogique, puisque la logique H
ne sait pas en rendre compte « normalement ».
On peut décider d'adopter une autre démarche, qui
consiste à considérer une troisième valeur de vérité
logique, qui sera attribuée aux affirmations qui ne sont ni
vraies, ni fausses pour la logique H, que l'on dira
« indéterminées de première espèce », et que nous
noterons i.
Si la fonction V dénote la fonction valeur de vérité, on
peut alors écrire : V(A) = V(B) = i. Mais on a d'autre part : A
= « V(B) = v » et B = « V(A) = f ». Ayant posé V(A) = V(B)
= i , il s'ensuit, par simple substitution dans les affirmations
de départ :
V(A) = V(« i = v ») = i
V(B) = V(« i = f ») = i
On retiendra donc ces deux derniers résultats, qui
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proviennent directement de l'introduction d'une nouvelle
valeur de vérité i. Évidemment, on s'étonne de ce que V( « i =
v » ) ne vaille pas f, mais après tout, pourquoi pas ! C'est là
l'exemple même de notre attitude attentiste, comme nous en
avons parlé dans notre introduction, qui concerne en
l’occurrence un point fondamental de tout notre
développement, sur lequel nous aurons l'occasion de revenir à
plusieurs reprises. Nous verrons tout de même une
justification « empirique » de ce résultat au chapitre suivant,
qui nous permettra de nous en accommoder plus aisément, si
besoin est.
Considérons maintenant une autre carte, portant cette fois-
ci sur chacun de ses côtés :
A = « ce que dit B est indéterminée de première espèce » =
« V(B) = i »
B = « ce que dit A est indéterminée de première espèce » =
« V(A) = i »
• Si l'on suppose A vraie et B vraie, alors on obtient
V(« v = i ») = v, ce qui contredit le résultat précédent.
• Si l'on suppose A vraie et B fausse, alors d'après A on
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obtient V(« f = i ») = v, alors qu'on a vu que V(« i =
f ») = i : contradiction.
• A et B jouant des rôles symétriques, Si l'on suppose A
fausse et B vraie, on aboutit à une nouvelle
contradiction.
• Si enfin l'on suppose A fausse et B fausse, alors on
obtient V(« f = i ») = f , ce qui contredit là encore le
résultat précédent.
C'est donc que V(A) = V(B) = i, d'où l'on tire comme
conséquence que : V(« i = i ») = i. Évidemment, il semblerait
que nous nous enfoncions dans le paradoxe, puisque notre
relation d'identité semble prendre des valeurs logiques
auxquelles on ne s'attend pas ! Peu importe, avançons voulez
vous…
Considérant nos trois valeurs de vérité v, i et f, on constate
naturellement que l'on peut les combiner entre elles par un
ou, que nous noterons ˅ ou « oû », une opération que nous
appellerons « disjonction ». Ainsi :
• v ˅ i désigne ce qui n'est pas faux, que l'on notera – f
• i ˅ f désigne ce qui n'est pas vrai, que l'on notera – v
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• v ˅ f désigne ce qui est vrai ou faux, que l'on notera –
i
• v ˅ i ˅ f = f ˅ – f = v ˅ – v = i ˅ – i = T désigne
une valeur logique quelconque.
• Φ désigne l'absence de valeur logique possible
On a aussi bien sûr : v ˅ v = v , f ˅ f = f , i ˅ i = i , – v ˅ –
v = – v , etc. Illustrons cela par un exemple concret, avec
l'affirmation U = « il fait chaud » :
• V(U) = v il fait chaud
• V(U) = f il fait froid
• V(U) = i il fait frais/doux
• V(U) = – i => il fait chaud ou bien froid,
mais pas les deux, bien sûr !
• V(U) = – v => il ne fait pas chaud il
fait froid ou frais/doux
• V(U) = – f => il ne fait pas froid il fait
chaud ou frais/doux
• V(U) = T il fait un temps quelconque
• V(U) = Φ le temps qu'il fait n'a aucun
sens dans la situation considérée
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On appellera les valeurs de vérité – v , – i ou – f les
« indéterminées de seconde espèce ». Une valeur – v sera
dite « non vraie ». Une valeur – f sera dite « non fausse ».
Revenons alors à la carte retournée, avec :
A = « ce que dit B est vrai » = « V(B) = v »
B = « ce que dit A est vrai » = « V(A) = v »
• Si A et B sont supposées vraies, il n'y a pas de
contradiction, pourvu que V(« v = v ») = v , ce qui ne
nous choque pas.
• Si A est supposée vraie et B fausse, alors V(« f = v »)
= v et V(« v = v ») = f, ce qui heurte le sens commun,
et idem si l'on suppose A fausse et B vraie.
• Si A et B sont supposées fausses, on en déduit V(« f
= v ») = f, ce qui nous semble plus adéquat.
• Si A est supposée indéterminée de première espèce,
alors V(B) = i et B l'est aussi, sans que cela pose de
problème. On ne retiendra pas cette solution, pour la
raisons qui suit.
On pourrait en effet penser que A et B peuvent être vraies
toutes deux ou bien fausses ou bien indéterminées de
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première espèce, sans contradiction. On en déduirait donc
que V(A) = V(B) = v ˅ f ˅ i = T. Mais dans cette situation,
cela soulève effectivement une contradiction, car attribuer à
A ou B la valeur i suppose que celles-ci ne peuvent être ni
vraies ni fausses, ce qui n'est pas le cas ici.
On posera donc V(« v = v ») = v et V(« f = v ») = f , en
vertu de quoi A et B peuvent être vraies toutes deux ou bien
fausses toutes deux, sans contradiction. On en déduit donc
que V(A) = V(B) = v ˅ f = – i, ce qui implique V(« – i = v »)
= – i. Reprenons la carte retournée, avec :
A = « ce que dit B est faux » = « V(B) = f »
B = « ce que dit A est faux » = « V(A) = f »
• Si A et B sont supposées vraies, on obtient V(« v =
f ») = v : impossible.
• Si A et B sont supposées fausses, on obtient V(« f =
f ») = f : impossible.
• Si A est supposée vraie et B fausse, ou A fausse et B
vraie, alors pas de contradiction.
• Si on suppose V(A) = i, alors V(B) = i, sans
contradiction non plus. On ne retiendra pas cette
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solution, pour la même raison que précédemment.
On en déduit donc que V(A) = V(B) = v ˅ f = – i , et que
V(« – i = f ») = – i.
Après quoi l'on pose :
A = « ce que dit B est vrai» = « V(B) = v »
B = « ce que dit A est indéterminé de type – i » = « V(A) = –
i »
• Si A et B sont supposées vraies, on obtient V(« v = –
i ») = v : impossible.
• Si A et B sont supposées fausses, on obtient V(« f = –
i ») = f, alors qu'on attend la valeur – i.
• Si A est supposée vraie et B fausse, on obtient V(« v
= – i ») = f , alors qu'on attend la valeur – i.
• Si A est supposée fausse et B vraie, on obtient V(« v
= v ») = f : impossible.
On en déduit donc que V(A) = V(B) = i, et donc que V(« i
= – i ») = i. On pourrait continuer sans problème la résolution
du « paradoxe » P de la carte retournée, qui n'en n'est plus un
dans notre logique inhabituelle I, que l'on peut formuler de
manière générale :
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A = « V(B) = a »
B = « V(A) = b »
Avec ( a , b ) pris dans K × K, où K = { Φ , f , – v , i , – i , –
f , v , T }. Si S = ( V(A) , V(B), on peut dresser la table de
vérité partielle de P ( a , b ) = S :
S v – i i f
v ( – i , – i ) ( i , i ) ( i , i ) ( i , i )
– i ( i , i ) ( i , i ) ( i , i ) ( i , i )
i ( i , i ) ( i , i ) ( i , i ) ( i , i )
f ( i , i ) ( i , i ) ( i , i ) ( – i , – i )
Nous avons eu trop souvent l'occasion de lire que
l'adjonction d'une valeur de vérité telle que i ne fait que
déplacer le problème, et que l'on se retrouve confronté au
paradoxe, pour a = v ˅ i = – f et b = f , par exemple. Qu'en
est-il exactement ? La situation s'énonce ainsi :
A affirme que B est vraie ou indéterminée
B affirme que A est fausse
Le raisonnement fallacieux est alors le suivant :
• Si A est supposée fausse, B est donc vraie (par B).
Mais alors B est bien vraie ou indéterminée, et A est
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donc vraie : contradiction.
• Si A est supposée vraie, B est vraie ou indéterminée
(par A). Mais si B est vraie, alors c'est que A est
fausse (par B), d'où contradiction. C'est donc que B
est indéterminée. Mais, si A est supposée vraie, B est
également fausse (par B). On en conclurait donc que i
= f, ce qui n'a pas de sens.
• A ne pouvant être ni vraie ni fausse, on en déduit
qu'elle est indéterminée.
• Supposons alors que B est vraie : A serait donc fausse
(par B). C'est impossible.
• Supposons que B est fausse. Alors A serait fausse (par
A). c'est également impossible.
• B ne pouvant être ni vraie ni fausse, on en déduit
qu'elle est indéterminée.
Jusque là, le raisonnement semble se tenir, même s'il n'est
pas formalisé. La suite du raisonnement consiste à dire que B
étant démontrée indéterminée, on en déduit que A serait vraie
(par A), ce qui n'est pas possible. Comme on va le constater,
la formalisation des énoncés permet de lever cet écueil :
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A = « V(B) = v ˅ i = – f »
B = « V(A) = f »
• Si A est supposée vraie, B ne peut être que fausse, par
B, puisque V( « v = f » ) = f. On en déduit V(« f = –
f ») = v : absurde.
• Si A est supposée fausse, B ne peut être que vraie, par
B, puisque V( « f = f » ) = v. On en déduit V(« v = –
f ») = f : absurde également. On attend en effet V(« v
= – f ») = – f, pour la raison suivante : on souhaite
que l’égalité soit distributive par rapport au ou.
Alors, il vient en effet V(« v = – f ») = V(« v = v ˅
i ») = V(« v = v » ˅ (« v = i ») = v ˅ i = – f.
• A ne pouvant être ni vraie ni fausse, on en déduit
qu'elle est indéterminée : V(A) = i. Il vient alors V(B)
= V(« i = f ») = i, c'est-à-dire que B est également
indéterminée.
On en déduit donc que V(A) = V(B) = i, une fois encore,
sans que cela n'implique de contradiction, pour peu que l'on
accepte en conséquence que V(« i = – f ») = i , qui respecte
bien la distributivité demandée, puisque : V(« i = v ») ˅ V(« i
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= i ») = i ˅ i = i.
Dans la résolution du paradoxe de la carte retournée, on se
doit de remarquer à ce point de notre énoncé une différence
fondamentale entre logique H et logique I : pour la logique H,
il nous suffit de montrer que l'affirmation A n'est pas vraie,
pour décider qu'elle est fausse, et si un raisonnement parallèle
supplémentaire nous l'affirme vraie, c'est soit qu'il y a une
erreur dans nos raisonnements, soit que la situation est du
type illogique, ce qui est sa conclusion avec la carte retournée
dans de nombreux cas. Pour la logique I, il nous faut
examiner les conséquences des deux hypothèses « A est
vraie » et « A est fausse » : Si A peut être vraie sans
contradiction mais non fausse, alors V(A) = v, si c'est
l'inverse, V(A) = f, si les deux mènent à une contradiction,
V(A) = i, et si aucune des deux ne mène à une contradiction,
alors V(A) = – i.
Dans la pratique, on n'a pas besoin d'examiner de cas
supplémentaires, car si par exemple l'affirmation A était
de type – v = i ˅ f , alors cela voudrait dire qu'elle peut
être fausse, alors que d'un autre côté, elle ne peut être ni
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vraie ni fausse.
Une autre façon de dire la chose est que la valeur
indéterminée i est une valeur donnée par défaut d'adéquation
des deux autres valeurs : de ce fait, elle ne possède donc pas
exactement le même statut que le vrai et le faux. Quand on
méconnaît cela, on en déduit de manière erronée que
l'introduction de la valeur i n'empêche pas la réapparition du
paradoxe, dans la situation de la carte retournée. Nous avons
bien vu qu'en raisonnant correctement, ça n'est pas le cas, ce
qui constitue déjà un apport important du présent ouvrage à la
littérature sur le sujet. Bien sûr cela se paye au prix de
l’introduction d'une relation d'égalité qui prend des valeurs
non triviales, qui peuvent nous sembler un peu étranges, mais
dont nous allons apprendre à nous accommoder.
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Égalité, inégalité et logique I :
D'après les résultats acquis grâce à l'étude de la carte
retournée (en gris), et compte tenu de la distributivité
supposée de l'égalité par rapport au oû, on peut facilement
établir la table de vérité de l'égalité entre valeurs logiques.
Avec U = « A = B », on obtient :
U T v – f – i i – v f Φ
T T T T T i T T Φ
v T v – f – i i – v f Φ
– f T – f – f T i – v – v Φ
– i T – i T – i i T – i Φ
i i i i i i i i Φ
– v T – v – v T i – f – f Φ
f T f – v – i i – f v Φ
Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
Insistons bien sur le fait que cette distributivité n'est pas
une nécessité en soi, mais un choix délibéré, visant à faciliter
les calculs, d'une part, et à assurer la cohérence de cette table
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de vérité, d'autre part. C'est une sorte de principe d'économie
qui aura pour conséquence de nous faciliter les calculs, et de
ne faire dépendre l'ensemble des valeurs de sortie d'une
relation que d'un nombre plus limité de valeurs. On a alors,
par exemple :
V( « v = – v » ) = V( « v = i ˅ f » )
= V( « v = i » ˅ « v = f » )
= V( « v = i » ) ˅ V( « v = f » )
= i ˅ f = – v
Concrètement, on peut se demander comment on peut
interpréter une valeur de vérité telle que V(« v = i ») = i ou
V(« i = i ») = i. Reprenons alors notre affirmation U = « il fait
chaud », et modélisons la situation.
Supposons que la température en deux endroits A et B ne
peut varier qu'entre – 6 °C et 26 °C, et convenons qu'il fait
« froid » quand la température θa ou θb est comprise entre –
6 °C et 0 °C, qu'il fait chaud quand la température est
comprise entre 20 °C et 26 °C, et qu'il fait frais/doux entre
ces deux limites.
• Si θa = 1 °C, alors l'écart entre cette température et le
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froid vaut 1 °C, alors qu'avec le chaud, il vaut 19 °C.
• Si θb = 19 °C, alors l'écart entre cette température et
le froid vaut 19 °C , alors qu'avec le chaud, il vaut 1
°C.
• L'écart entre θa et θb vaut lui 18 °C.
Si Ua = « il fait chaud en A » et Ub = « il fait chaud en
B », on constate alors que dans les deux cas V(Ua) = V(Ub) =
i , alors que Ua est presque fausse et Ub presque vraie, ce qui
légitime « par l'exemple » V(« i = i ») = i , V(« v = i ») = i et
V(« f = i ») = i. Plus précisément :
• L'écart moyen entre le chaud et le froid vaut 26 °C.
• L'écart moyen entre le chaud et le frais/doux égale
celui entre le froid et le frais/doux et vaut 13 °C. Ces
deux situations correspondent à V(« Ua = Ub ») =
V(« v = i ») = i ou V(« f = i ») = i.
• L'écart moyen entre deux températures comprises
dans le frais/doux vaut 10 °C, qui n'est pas très
éloigné du nombre précédent. Cette situation
correspond à V(« i = i ») = i.
• L'écart moyen entre deux températures comprises
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dans le froid égale celui entre deux températures
comprises dans le chaud et vaut 3 °C, qui se
rapproche de 0 comparé aux deux autres nombres.
Plus la plage de valeur réservée à la valeur indéterminée
est grande, et plus nos valeurs de vérité un peu étranges a
priori s'en trouvent empiriquement « justifiées ».
On retiendra pour finir ce qu'on appellera « tableau
racine » de la relation d'égalité, à partir duquel toutes les
autres valeurs se déduisent, du fait de la distributivité entre
l'égalité et le ou : V(( a ˅ b ) = c ) = V( a = c ) ˅ V( b = c )
A = B v i f
v v i f
i i i i
f f i v
Étudions maintenant la relation d'inégalité grâce à une
version généralisée du paradoxe du menteur, qui dit M =
« V(M) = f », en notant M1 = « V(M1) ≠ v ».
• Si V(M1) = v, on obtient V(« v ≠ v ») = v, ce qui n'est
guère raisonnable. Si, comme cela paraît
indispensable, V(« v ≠ v ») = f, on obtient cette fois
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une contradiction.
• Si V(M1) = f, on obtient V(« f ≠ v ») = f, ce qui ne
convient pas. Si on pose plus raisonnablement V(« f
≠ v ») = v, on obtient une contradiction.
En conclusion, M1 est indéterminée de première espèce, et
V(M1) = i = V(« i ≠ v »). Notons maintenant M2 = « V(M2)
≠ f » : par une discussion analogue, on obtient V(M2) = i =
V(« i ≠ f »). Enfin, on prend M3 = « V(M3) ≠ i » : on obtient
alors V(M3) = i = V(« i ≠ i ». Voici donc le tableau racine de
l'inégalité :
A ≠ B v i f
v f i v
i i i i
f v i f
On donne maintenant le tableau complet de l'égalité. Pour
obtenir ce tableau complet, on a là encore utilisé la
distributivité du oû, par rapport à l'inégalité, cette fois. Par
exemple :
V( « v ≠ – f » ) = V( « v ≠ v » ˅ « v ≠ i » ) = f ˅ i = – v
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≠ T v – f – i i – v f Φ
T T T T T i T T Φ
v T f – v – i i – f v Φ
– f T – v – v T – f – f – f Φ
– i T – i T – i i T – i Φ
i i i i i i i i Φ
– v T – f – f T i – v – v Φ
f T v – f – i i – v f Φ
Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
Dans le chapitre suivant, où l'on définit la somme et le
produit logique de deux variables, on utilisera encore ce que
nous pouvons donc appeler notre « règle de distributivité ».
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Disjonction, somme et produit logiques
Considérons une relation logique R, du type A × CD => B,
ce qu'on lira « A implique B sous condition CD », où V(A),
V(CD) et V(B) sont pris dans K = { Φ , f , – v , i , – i , – f , v ,
T }, S = V(B) = z dépendant du couple d'entrée E = ( V(A),
V(CD) ) = ( x , y ).
Partons de la situation concrète d'un morceau de terrain en
plein air, où un arroseur est installé qui peut fonctionner ou
pas, indépendamment du fait qu'il pleuve ou pas ou même
pleuvine, avec :
A = « il pleut »
CD = « l'arroseur fonctionne »
B= « le sol est mouillé »
x = v « il pleut »
x = i « il pleuvine »
x = f « il ne pleut pas »
y = v « l'arroseur fonctionne à plein régime »
y = i « l'arroseur fonctionne doucement »
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y = f « l'arroseur ne fonctionne pas »
z = v « le sol est bien mouillé »
z = i « le sol est légèrement mouillé »
z = f « le sol est sec »
Évidemment, on a encore les valeurs logiques dérivées,
indéterminées du second type. Par exemple, quand il pleuvine
et que l'arroseur fonctionne doucement, on peut poser que le
sol est seulement légèrement mouillé, soit z = i. Dès que x =
v ou y = v , on a z = v. Quand x = f , z = y et quand y = f , z =
x. Etc.
On peut alors établir le tableau de vérité de la relation R,
qui est celle de la somme entre deux valeurs logiques de
même nature, puisque l'arroseur et la pluie ont le même
fonctionnement. Nous conviendrons que ce tableau est celui
de la « somme logique », notée « + ». Les valeurs grisées
sont les valeurs « principales », dont tous les autres
découlent, par l'application de notre règle de distributivité.
Nous la faisons suivre de la table de vérité du « produit
logique », noté « & » :
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+ T v – f – i i – v f Φ
T T v – f T – f T T T
v v v v v v v v Φ
– f – f v – f – f – f – f – f Φ
– i T v – f – i – f T – i Φ
i – f v – f – f i i i Φ
– v T v – f T i – v – v Φ
f T v – f – i i – v f Φ
Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
& T v – f – i i – v f Φ
T T T T T – v – v f Φ
v T v – f – i i – v f Φ
– f T – f – f T i – v f Φ
– i T – i T – i – v – v f Φ
i – v i i – v i – v f Φ
– v – v – v – v – v – v – v f Φ
f f f f f f f f Φ
Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
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Les valeurs grisées sont les valeurs « principales », dont
toutes les autres découlent. Par exemple : v & – f = v & ( i oû
v ) = ( v & i ) oû ( v & v ) = i oû v = – f.
En examinant les tables de vérité du « et » et du « ou », on
peut alors remarquer que si l'on pose v ≥ – f ≥ i ≥ – v ≥ f , on
a les formules :
V( U + W ) = Max ( V(U) , V(W) )
V( U & W ) = Min ( V(U) , V(W) )
Ces formules ne sont valables que pour V(U) et V(W)
prises dans K' = { v , – f , i , – v , f }. On a alors les sous-
tableaux suivants :
U + W v – f i – v f
v v v v v v
– f v – f – f – f – f
i v – f i i i
– v v – f i – v – v
f v – f i – v f
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U & W v – f i – v f
v v – f i – v f
– f – f – f i – v f
i i i i – v f
– v – v – v – v – v f
f f f f f f
Revenons à notre relation R = « A × CD => B ». Dans la
pratique, seules les valeurs prises par la sortie S = z quand
l'entrée E = ( x , y ) est prise dans K0 × K0, avec K0 = { v , i ,
f }, sont « importantes » : les autres s'en déduisent par
combinaison de valeurs, par l'application de la règle de
distributivité. Autrement dit, le comportement du système est
complètement déterminé par la donnée d'un tableau 3 × 3.
Voyons cela sur un exemple :
R v i f
v v i i
i v f i
f i f i
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Pour calculer S ( – v , – i ) = S ( i ˅ f , v ˅ f ) , on n'a qu'a
appliquer le oû logique entre les 4 cases du tableau qu'on a
grisé : c'est v ˅ i = – f.
Ce tableau sera appelé « tableau racine » et K0 = { v ,
i , f } sera appelé le « cœur » de l'ensemble des valeurs
logiques K. Les valeurs de sortie du tableau racine seront
dites « valeurs principales » de la relation R.
La relation R = « A × CD => B » sera dite
« déterministe » ou « certaine » si son tableau racine ne
comporte que des valeurs appartenant au cœur, ou
valeurs logiques « certaines ».
Évidemment, il n'échappera à personne que i est une
valeur « certaine », qu'on a pourtant appelée indéterminée de
première espèce : elle n'est en fait indéterminée que pour la
logique H. Reprenons alors le tableau racine de l'égalité entre
V(A) et V(CD) :
V(A) = V(CD) v i f
v v i f
i i i i
f f i v
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La relation d'égalité est donc une relation déterministe, ce
qui signifie que l'on peut la modéliser par un système
physique dont l'état de sortie est complètement déterminé par
l'état des deux entrées, pourvu qu'elles correspondent à des
valeurs logiques de cœur.
On peut en effet programmer un circuit électrique à deux
entrées A et CD, dont la tension peut prendre la valeur 0 V,
2,5 V ou 5 V, tel que la sortie prenne l'une de ces valeurs, en
respectant la table de vérité ci-dessus.
Pour ceux qui ne seraient pas convaincus de cette
« vérité », nous allons développer dans un prochain chapitre
le concept de machine à beurre universelle, qui réalisera une
implémentation de cette relation, comme de toute autre
relation déterministe ou pas.
Mais avant de terminer ce chapitre-ci, nous donnons le
tableau racine, puis le tableau complet de ce que nous avons
appelé « disjonction », notée « ˅ »ou « oû », qui nous sera
utile par la suite. On remarquera que la relation z = x ˅ y n'est
pas déterministe : elle indique ni plus ni moins la manière
dont les valeurs logiques de cœur se combinent entre elles
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pour donner naissance aux autres valeurs logiques – f , – i , –
v et T.
z = x ˅ y v i f
v v – f – i
i – f i – v
f – i – v f
˅ T v – f – i i – v f Φ
T T T T T T T T Φ
v T v – f – i – f T – i Φ
– f T – f – f T – f T T Φ
– i T – i T – i T T – i Φ
i T – f – f T i – v – v Φ
– v T T T T – v – v – v Φ
f T – i T – i – v – v f Φ
Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
On notera bien que x ˅ Φ = Φ, tout comme x + Φ = Φ et x
& Φ = Φ. Cela revient à considérer qu'un système logique à
deux entrées ne prendra aucun état logique connu quand l'une
d'entre elle ne prend aucune valeur logique reconnue.
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La valeur i ˅ i = i nous indique bien que cette opération n'a
de sens concret que pour la valeur de sortie d'une relation, ou
bien deux valeurs d'entrée de même nature. Ainsi, si A = « il
pleut » et B = « Jean est de bonne humeur », on voit que
V(A) = i veut dire qu'il pleuvine, que V(B) = i veut dire que
Jean est d'humeur neutre, mais que i ˅ i = i n'a aucun sens
ici.
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Interprétation de la règle de distributivité
Nous avons introduit notre « règle de distributivité »
quand nous avons posé le tableau complet des relations
binaires d'égalité et d'inégalité. Nous avons indiqué qu'à ce
moment, cela nous apparaissait un moyen commode d'assurer
la cohérence de ce tableau. Nous l'avons de fait utilisée de
nouveau pour construire les tableaux complets de la somme
et du produit logique, et de ce que nous avons appelé
« disjonction ». Ainsi, si u1 et u2 désignent deux valeurs
logiques non nulles de K*, éventuellement égales, on peut
poser :
u1 = x1 ˅ y1 ˅ z1
u2 = x2 ˅ y2 ˅ z2
Avec x1, x2 , y1, y2, z1 et z2 éventuellement égales, prises
dans K0 = { v , i , f }. Si × désigne l'une des relations binaires
= , ≠ , + , & ou ˅, on a donc :
u1 × u2 = ( x1 ˅ y1 ˅ z1 ) × ( x2 ˅ y2 ˅ z2 ) = ( x1 × x2 ) ˅ (
x1 × y2 ) ˅ ( x1 × z2 ) ˅ ( y1 × x1 ) ˅ ( y1 × y2 ) ˅ ( y1 × z2 )
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Cette décomposition n'est véritablement utile que lorsque
u1 ou u2 sont des valeurs « composées », nommément – v , –
i , – f ou T, qui correspondent à une « superposition d'états ».
Considérant la relation logique × comme système
logique à deux entrées et une sortie, notre règle de
distributivité s'interprète simplement en affirmant que la
valeur de sortie possible du système est la disjonction des
au plus neuf états de sortie effectivement réalisables.
Dans ce sens, elle perd tout son mystère et tout son
caractère arbitraire, pour devenir une « évidence », ce qui
n'était pas forcément le cas, quand on l'a introduite avec la
relation d'égalité.
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Un peu de logique câblée :
Voyons comment réaliser la disjonction entre deux valeurs
logiques. On injecte les valeurs suivantes aux deux bornes
d'un sommateur de tension :
U = 0 V correspond à la valeur de vérité Φ
U = 5 V correspond à la valeur de vérité f
U = 7 V correspond à la valeur de vérité i
U = 11 V correspond à la valeur de vérité v
cas :
Alors, on récupère les valeurs suivantes en sortie, selon les
U = 0 V correspond à la valeur de vérité Φ
U = 5 ou 10 V correspond à la valeur de vérité f
U = 7 ou 14 V correspond à la valeur de vérité i
U = 11 ou 22 V correspond à la valeur de vérité v
U = 12 V correspond à la valeur de vérité – v
U = 16 V correspond à la valeur de vérité – i
U = 18 V correspond à la valeur de vérité – f
Si U = 10, 14 ou 22 V, on divise la tension par deux, et
dans les autres cas, on n'y touche pas. Si on a deux dispositifs
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de ce genre, on génère ainsi deux entrées x et y, prenant leur
valeur dans K/{T}, correspondant à l'une des tensions parmi
les valeurs 0, 5 , 7 , 11 , 12, 16, 18. U = 23 V correspondra à
la valeur de vérité T. On combine alors ces deux entrées dans
un nouveau sommateur de tension, à peu près identique au
précédent, et on obtient cette fois un signal de sortie valant :
U = 0 V correspondant à Φ
U = 5 ou 10 V correspondant à f
U = 7 ou 14 V correspondant à i
U = 11 ou 22 V correspondant à v
U = 17, 19, 12 ou 24 V correspondant à – v
U = 21, 27, 16 ou 32 V correspondant à – i
U = 25 , 29, 18 ou 36 V correspondant à – f
U = 28, 30, 34, 23 ou 46 V correspondant à T
On ramène cette valeur de sortie S à l'une parmi 0, 5, 7,
11, 12, 16, 18 ou 23 V, correspondant à l'une des valeurs de
vérité de K. On constate qu'on a bien réalisé l'opération S = x
˅ y.
Partant de là, on considère maintenant un multiplicateur
de tension à deux entrées prenant leur valeur parmi 1, 5, 7,
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11, 12, 16, 18 ou 23 V, correspondant à l'une des valeurs de
vérité de K, la valeur 1 étant maintenant affectée à Φ. On a le
tableau suivant :
× T v – f – i i – v f Φ
T 529 253 414 368 161 276 115 23
v 121 198 176 77 132 55 11
– f 324 288 126 216 90 18
– i 256 112 192 80 16
i 77 49 84 35 7
– v 144 60 12
f 55 35 25 5
Φ 1
Par construction, ce tableau respecte la règle de
distributivité, et il est symétrique par rapport à sa première
diagonale, signalant la commutativité de la relation. On peut
alors choisir de traduire chacune des six valeurs principales
distinctes 121, 77, 55, 49, 35, 25 V en l'une des tensions
parmi 1, 5, 7, 11, 12, 16, 18 ou 23 V, et on réalise ainsi par
exemple la somme « + » ou le produit logique »& », l'égalité
ou l'inégalité.
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Du fait que toutes les cases portent des nombres différents,
hormis la symétrie déjà mentionnée, on peut même modéliser
de cette manière une relation arbitraire qui ne respecterait pas
le principe de distributivité, soit la superposition d'états, à
condition qu'elle soit commutative.
Pour modéliser une relation non commutative, on pourrait
diviser les tensions, au lieu de les multiplier, ou en tout cas
utiliser une opération non commutative entre valeurs de
tension : par exemple S = x × ( y + 1000 ) ou x × ( y + 30 ),
avec x pris entre 1 et 8, correspondant à chacune des valeurs
logiques.
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Affirmation contraire et négation
Nous intercalons ce chapitre pour introduire la différence
entre deux notions que nous appellerons le contraire et la
négation d'une affirmation. Si nous reprenons l'exemple de la
pluie qui tombe et que nous posons A = « il pleut », le
contraire ou affirmation contraire de A, c'est ce que nous
noterons « –* A », qui dit « il pleut n'est pas vrai » = « il pleut
est faux », alors que la négation de A, notée « – A », affirme,
elle, « il pleuvine ou ne pleut pas du tout ».
La relation contraire est involutive, mais pas la négation :
le contraire du contraire de A donne A. Cela fait du contraire
une « négation », au sens habituel que les logiciens lui
donnent, alors que notre négation n'en n'est pas une. On a
donc, suivant nos définitions :
• V(–* A) = V( « V(A) ≠ v » ) = V( « V(A) = f » ) et on
peut se reporter à la table de vérité de l'égalité ou de
l'inégalité, page 30 et suivantes.
• V(– A) = V( « V(A) = i ˅ V(A) = f » )
D'où les deux tables de vérité en parallèle :
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A T v – f – i i – v f Φ
–* A T f – v – i i – f v Φ
– A T – v – v T i – f – f Φ
La relation « contraire » nous sera utile pour rendre
compte des relations de symétrie par rapport à la ligne ou la
colonne médiane d'une table de vérité : par exemple, si R
( A , B ) à la même table de vérité que R ( A , –* B ), alors
celle -ci est symétrique par rapport à la colonne médiane, et
réciproquement. Les lois de De Morgan sont vérifiées avec
les deux relations, comme on peut aisément le vérifier à la
main :
–* ( A & B ) = ( –* A + ( –* B ) )
–* ( A + B ) = ( –* A & ( –* B ) )
– ( A & B ) = ( – A + ( – B ) )
– ( A + B ) = ( – A & ( – B ) )
On s'aperçoit alors qu'il y a une dissymétrie entre les
affirmations que l'on peut faire au sujet de la situation
concrète du temps qu'il fait, par exemple. En effet, affirmer
« il pleut » « équivaut » à affirmer son contraire, « il ne pleut
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pas », dans le sens où ces deux affirmations peuvent prendre
trois valeurs de vérités distinctes, contraires deux à deux,
puisque le contraire de v est f, et inversement, et que le
contraire de i est i : on dira que « il pleut » et « il ne pleut
pas », son contraire, sont deux affirmations « molles »
« extrêmes ».
Quand « il pleut » vaut i, « il ne pleut pas » vaut aussi i, et
c'est alors qu'il pleuvine. S'il ne pleuvine pas, l'une vaut f
quand l'autre vaut v, et inversement. On dira que « il
pleuvine » est une affirmation « molle » « intermédiaire »,
puisque le fait qu'il pleuvine correspond à une situation
intermédiaire entre la pluie et l'absence de pluie.
En revanche, quand j'affirme « il pleuvine »,
correspondant justement à cet état intermédiaire, l'affirmation
contraire « il pleuvine n'est pas vrai » = « il pleuvine est
faux » = « il ne pleuvine pas » peut prendre différentes
valeurs de vérité quand il pleut ou ne pleut pas du tout, selon
un choix que l'on peut effectuer et que nous allons expliciter.
On a en effet un premier choix, qui consiste à poser
simplement une alternative : il pleuvine effectivement ou
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ien il ne pleuvine pas. Autrement dit, « il pleuvine » est cette
fois une affirmation que nous qualifierons de « triviale ».
Tableau 1 V ( « il pleut » )
v i f
Il pleut v i f
Il pleuvine f v f
Il ne pleut pas f i v
L'inconvénient de ce premier choix, c'est que V(« il
pleut ») = i quand il pleuvine, alors que V(« il pleuvine ») = f
quand il pleut, par exemple : il y a là une dissymétrie qui
choque la raison. Nous ne retiendrons donc pas cette solution.
Mais, en poursuivant cet exemple, si A = « il pleut », on
pourrait poser que sa négation – A = « il pleuvine ou ne pleut
pas du tout » vaut v quand il pleuvine ou ne pleut pas du tout,
et f quand il pleut, et de même pour l'affirmation contraire –*
A. Cette façon de faire revient à effectuer ce que nous
appellerons la « reformulation assertive » de A. On aurait
alors :
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Tableau 2 V ( « il pleut » )
v i f
Il pleut v f f
Il pleuvine f v f
Il ne pleut pas f f v
Alors, la dissymétrie dont nous parlions disparaît en effet,
mais on perd en contrepartie le bénéfice qu'il y a à rendre
compte de manière graduée de l'affirmation A ou son
contraire.
Aussi, pour des raisons de cohérence et de simplicité,
comme nous allons le voir un peu plus loin, nous devons
nous résoudre à adopter le tableau suivant :
Tableau 3 V ( « il pleut » )
v i f
Il pleut v i f
Il pleuvine i i i
Il ne pleut pas f i v
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Nous retiendrons donc le tableau 3, même s'il nous sera
parfois par la suite nécessaire d'envisager la manière du
tableau 2 de présenter les choses, de façon à « coller » au
mieux à la situation étudiée. Ainsi, comme nous le verrons
plus loin, c'est bien celle-ci qui permet seule d'énoncer que
V( « il pleut » et « il pleuvine » et « il ne pleut pas du tout » )
= f, quelque soit le temps qu'il fait, soit de traduire le principe
de non-contradiction de la logique H dans la logique I par une
antilogie.
Alors, avec cette façon de voir, s'il pleuvine effectivement,
on n'a pas tout à fait tort d'affirmer qu'il pleut, ni tout à fait
tort d'affirmer qu'il ne pleut pas, et évidemment aussi pas tout
à fait raison d'affirmer qu'il pleuvine, ce qui représente
l'aspect paradoxal de cette approche.
Poursuivons alors notre discussion en détaillant les
affirmations énoncées par le contraire et la négation des
affirmations A = « il pleut », B = « il pleuvine » et C = « il ne
pleut pas » :
Commençons par le contraire :
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De manière générale, le contraire –*P d'une
affirmation P affirme que P n'est pas vraie ou bien encore
que P est fausse : V( –*P ) = V( V( P ) = f )
Le contraire de A, –*A , affirme « il pleut n'est pas vrai »,
soit « V(A) ≠ v » ou encore « V(A) = f ». Alors, avec les
conventions du tableau 2 vu ci-dessus :
• S'il pleut, V(A) = v et V(–*A) = f
• S'il pleuvine, V(A) = f et V(–*A) = f
• S'il ne pleut pas, V(A) = f et V(–*A) = v
Si l'on adopte plutôt les conventions du tableau 3 :
• S'il pleut, V(A) = v et V(–*A) = f
• S'il pleuvine, V(A) = i et V(–*A) = i
• S'il ne pleut pas, V(A) = f et V(–*A) = v
Le contraire de B, –*B , affirme « il pleuvine n'est pas vrai »,
soit « V(B) ≠ v » ou encore « V(B) = f ».
Alors, avec les conventions du tableau 2 :
• S'il pleut, V(B) = f et V(–*B) = v
• S'il pleuvine, V(B) = v et V(–*B) = f
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• S'il ne pleut pas, V(B) = f et V(–*B) = v
Avec les conventions du tableau 3 :
• S'il pleut, V(B) = i et V(–*B) = i
• S'il pleuvine, V(B) = i et V(–*B) = i
• S'il ne pleut pas, V(B) = i et V(–*B) = i
Le cas de l'affirmation C = « il ne pleut pas » est
symétrique de celui de l'affirmation A et ne pose pas de
difficultés : que l'on adopte le tableau 2 ou le tableau 3, on
s'aperçoit que la table de vérité du contraire est bien
respectée.
Voyons maintenant la négation :
La négation de – P d'une affirmation P affirme quant à
elle que P est fausse ou indéterminée, soit, compte tenu de
la distributivité de l'égalité par rapport à la disjonction :
V( – P ) = V( V( P ) = – v ) = V( V( P ) = i ˅ f ) = V( V( P ) =
i ) ˅ V( V(P) = f )
La négation –A de A affirme donc qu'il pleut est fausse ou
bien qu'il pleut est indéterminée.
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Alors, avec les conventions du tableau 2 :
• S'il pleut, V(A) = v et V(–A) = V( « v = i ˅ v = f » ) =
i ˅ f = – v
• S'il pleuvine, V(A) = f et V(–A) = V( « f = i ˅ f = f » )
= i ˅ v = – f
• S'il ne pleut pas, V(A) = f et V(–A) = – f
Avec les conventions du tableau 3 :
• S'il pleut, V(A) = v et V(–A) = – v
• S'il pleuvine, V(A) = i et V(–A) = V( « i = i ˅ i = f » )
= i ˅ i = i
• S'il ne pleut pas, V(A) = f et V(–A) = – f
La négation –B de B affirme qu'il pleuvine est fausse ou bien
qu'il pleuvine est indéterminée.
Alors, avec les conventions du tableau 2 :
• S'il pleut, V(B) = f et V(– B) = V( « f = i ˅ f = f » ) = i
˅ v = – f
• S'il pleuvine, V(B) = v et V(– B) = V( « v = i ˅ v = f »
) = i ˅ f = – v
• S'il ne pleut pas, V(B) = f et V(–B) = – f
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Avec les conventions du tableau 3 :
• S'il pleut, V(B) = i et V(–A) = i
• S'il pleuvine, V(B) = i et V(–B) = i
• S'il ne pleut pas, V(B) = i et V(– B) = i
Le cas de l'affirmation C = « il ne pleut pas » est symétrique
de celui de l'affirmation A et ne pose pas de difficultés :
Que l'on adopte le tableau 2 ou le tableau 3, on
s'aperçoit que la table de vérité de la négation est là
encore respectée.
On remarquera bien que nos deux relations « contraire » et
« négation » coïncident avec la négation habituelle de la
logique H quand l'affirmation à laquelle elle s'applique ne
peut prendre que les valeurs de vérité v ou f.
C'est clair pour le contraire, mais cela demande une petite
explication pour la négation. Cela vient de ce que la valeur –
v = i ˅ f est en pratique égale à f, et – f = v ˅ i à v quand la
valeur i disparaît.
Notons aussi au passage le fait important suivant :
notre contraire et notre négation respectent la règle de
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distributivité.
Le contraire d'une affirmation telle que A = « il pleut »
peut être énoncé de manière univoque par l'affirmation « il ne
pleut pas est vrai », qui a donc un sens « simple » dans le
langage courant, qui n'est pas le même de celui que nous
avons donné à « il ne pleut pas » = « il pleuvine ou ne pleut
pas du tout ». On constate donc au passage la difficulté qui se
présente d'interpréter sans ambiguïté les énoncés du langage
courant, tant nous sommes habitués à raisonner de manière
dichotomique, sans pour autant nous interdire de considérer
les énoncés intermédiaires.
C'est ce qui fait la principale difficulté de lire un ouvrage
tel que celui-ci, qui se propose de formaliser ce « rapport à
l'intermédiaire » de manière assez empirique, pour ne pas
perdre l'honnête homme qui s'intéresse à la logique sans en
être spécialiste par des notations et des considérations trop
abstraites : une position que nous pouvons qualifier elle-
même d'intermédiaire, plutôt que de « paradoxale », puisque,
rappelons-le, notre propos consiste à nous accommoder de ce
qui est de prime abord souvent rejeté comme mal-formé, car
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mal compris.
C'est notre position, qui consiste à affirmer et à
conceptualiser le fait que l'anormal possède pour ainsi dire un
statut équivalent à celui du normal, qu'il participe à délimiter
pour former une totalité close, en premier examen.
On rappellera pour terminer l'application de la relation
« contraire » qui permet de passer de la somme au produit, et
inversement, par les lois de De Morgan :
A + B = –* (( –* A ) & ( –* B ))
A & B = –* (( –* A ) + ( –* B ))
C'est cela même qui nous permet de justifier a posteriori la
table de vérité du produit &. On a encore les relations
suivantes :
( A ≠ B ) = –* ( ( –* A ) = ( –* B ) )
( A = B ) = –* ( ( –* A ) ≠ ( –* B ) )
Ainsi, ce que nous avons appelé le « contraire » d'une
affirmation permet de symétriser les relation + et & d'une
part, = et ≠ d'autre part.
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Machines à beurre élémentaires, universelles
Partons du problème pratique suivant : on veut garder une
provision de beurre toujours bien dure, qu'il fasse chaud,
doux ou froid, et la dureté du beurre ne dépend que de la
température à laquelle il est maintenu. Le beurre est de ce fait
soit dur soit tendre soit carrément mou. On se demande quelle
« machine » utiliser pour cela, la machine en question
n'agissant que sur la température du beurre. La machine, dans
un premier temps, ne fonctionnera qu'en réfrigérateur, selon
trois modes au plus parmi ceux-ci : arrêtée, à moyen ou à
plein régime.
On voit bien qu'il existe une première machine, pas très
maligne, répondant au problème : c'est celle qui ne connaît
que le mode de fonctionnement à plein régime, qu'on
appellera MBi. Le beurre est alors toujours bien dur, quelque
soit le temps qu'il fait.
Une machine plus intelligente solutionnant le problème est
celle qui fonctionne à plein régime quand il fait chaud,
doucement quand il fait doux et pas du tout quand il fait
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froid : on l’appellera MBo. Une variante de cette machine
MBo peut fonctionner de la même manière quand il fait
chaud ou froid et à plein régime aussi quand il fait doux : on
l'appellera Mbx. On se rend compte que toutes les machines
ne permettent pas de résoudre le problème. Celle qui est
toujours arrêtée, appelée MBI est de celles-ci.
En fait, le problème étant relativement simple, on peut
dresser le petit tableau suivant, indiquant les modes de
fonctionnement possibles pour la machine, en fonction du
temps qu'il fait :
Chaud Doux Froid
Max Max Max
Moyen Moyen
Min
On compte 3 × 3 × 3 = 27 machines possibles distinctes,
dont 6 seulement résolvent le problème. Parmi ces 6, Mo le
résout de manière optimale, en minimisant l'énergie
dépensée, et MBi le résout de la manière la plus coûteuse. S'il
fait chaud, froid ou doux à proportions égales, on s'aperçoit
que la dépense énergétique n'induit pas une relation d'ordre
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totale entre les solutions, puisque les machines ( Max ,
Moyen , Max ) et ( Max , Max , Moyen ) sont égales de ce
point de vue. L'ordre induit n'est donc pas une relation de bon
ordre, ce qui ne garantit pas l'unicité de la machine ayant le
minimum de consommation en énergie, ni de celle qui a le
maximum, même si c'est le cas dans cette situation.
Mais l'optimisation de la dépense énergétique n'est pas
notre principal souci.
• Posons B = « le beurre est dur », avec V(B) = v s'il est
dur, i s'il est tendre, et f s'il est carrément mou.
• Posons T = « il fait chaud », avec V(T) = v s'il fait
chaud, i s'il fait doux et f s'il fait froid.
• Posons enfin MBU = « la machine fonctionne », avec
V(MBU) = v si elle fonctionne à fond, i si elle est à
régime moyen, et f si elle ne fonctionne pas.
La machine dont il s'agit ici est la « machine à beurre
universelle » qui peut avoir sont état à v , i ou f, quel que soit
le temps qu'il fait. Une machine particulière telle que MBx ou
MBo est une instance particulière de la MBU, équivalente à
la donnée d'un triplet donnant ses trois états de
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fonctionnement, quand il fait chaud, doux ou froid. D'où le
tableau présentant V(B) en fonction de V(M) et V(T) :
V(B) V(T) = v V(T) = i V(T) = f
V(MBU) = v v v v
V(MBU) = i i v v
V(MBU) = f f i v
Ce tableau permet de retrouver les résultats déjà acquis
d'une part, mais d'autre part, il nous permet de répondre à un
autre problème, que l'on pourrait appeler dual. On constate
par exemple que notre machine est incapable de maintenir le
beurre à l'état mou quelque soit la température, puisque la
valeur f n’apparaît que dans la colonne correspondant à V(T)
= v, soit « il fait chaud ».
Cela étant, passons maintenant à la « machine à soupe
universelle » MSU, qui maintient la soupe à température,
quand V(MSU) = f, la tiédit, quand V(MSU ) = i, et la rend
chaude, quand V(MSU) = v. Posons S = « la soupe est
chaude », et donnons le tableau de fonctionnement de la
MSU :
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V(S) V(T) = v V(T) = i V(T) = f
V(MSU) = v v v v
V(MSU) = i v v i
V(MSU) = f v i f
Que se passe-t-il quand on soumet du beurre à la MSU ?
Voyons le tableau :
V(B) V(T) = v V(T) = i V(T) = f
V(MSU) = v f f f
V(MSU) = i f f i
V(MSU) = f f i v
On imagine alors une machine composite MC, composée
d'une MBU et d'une MSU et d'un commutateur. Le
commutateur possède trois positions : sur la première, la
MBU fonctionne alors que la MSU est éteinte, et c'est
l'inverse pour la deuxième : on parlera par la suite de mode
MB ou MS. Sur la troisième, les deux machines sont éteintes.
Si l'on programme le commutateur C de manière adéquate,
en fonction du temps qu'il fait et de l'état du beurre souhaité,
on obtient 2 machines à beurre universelles MBU1, MBU2
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possédant les 27 triplets de sortie distincts possibles, telles
que :
• MBU1 et MBU2 fonctionnent en mode MB quand le
temps est chaud.
• MBU1 et MBU2 fonctionnent en mode MS quand le
temps est froid.
Quand le temps est doux, MBU1 fonctionne en mode MB
max, pour obtenir un beurre dur, ou MS max pour obtenir un
beurre mou, ou bien est éteinte pour obtenir un beurre
légèrement ramolli. Toujours quand le temps est doux, MBU2
quant à elle fonctionne en mode MB moyen pour obtenir un
beurre dur et MS moyen pour obtenir un beurre mou et
éteinte pour obtenir un beurre légèrement ramolli. C'est le
programmateur P qui permet de fixer le mode de
fonctionnement de la machine composite MC en MBU1 ou
MBU2, c'est-à-dire de commander le commutateur C.
On constate donc sur notre exemple que notre machine
composite permet d'implémenter une machine universelle
pour le beurre, c'est-à-dire de prendre l'un quelconque des 27
triplets de sortie possibles, donnant l'état du beurre selon la
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température.
Cette implémentation n'étant pas unique, on réalise encore
qu'il existe différentes manières d'obtenir un fonctionnement
de machine universelle, à partir d'un réfrigérateur, d'un
réchauffeur, d'un commutateur et d'un programmateur, par
exemple.
Cela étant, notre machine universelle MU ayant été
implémentée de manière particulière à partir de ces quatre
éléments, quand la programmation de P a été réalisée, le
beurre est dans l'état désiré, quelle que soit la température, ce
qui équivaut à la donnée du triplet t = ( a, b , c ), où a, b et c
prennent l'une des trois valeurs v, i ou f. Par exemple ( v , f, v
) équivaut à dire que MU a été programmée de manière à ce
que le beurre soit dur quand il fait chaud ou froid, et mou
quand il fait doux.
Imaginons alors la machine MU² composée de trois
machines à beurre universelles MU1, MU2 et MU3 et un
commutateur C² à trois positions, tel que pour chacune de ces
positions une seules des trois machines composant MU²
fonctionne. Alors, la sortie S(T) vaut :
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• Quand C² est en position 1, S(T) = t1
• Quand C² est en position 2, S(T) = t2
• Quand C² est en position 3, S(T) = t3
Nous assimilons alors l'état d'entrée C²1 à v, C²2 à i et C²3
à f. Notre machine MU² matérialise donc tout problème
logique abstrait du type A × CD => B, où A, CD et B
peuvent prendre les valeurs logiques de cœur v, f ou i,
c'est-à-dire toute relation déterministe ou certaine.
Si la relation n'est pas déterministe, nous décidons alors de
coupler MU² avec deux autres machines universelles du
même type, MU²' et MU²'', avec deux « ou », pour obtenir
une machine MUU, que nous appellerons « universellement
universelle ».
Voici plus précisément comment MUU fonctionne : les
trois commutateurs C² des machines MU², MU²' et MU²'' sont
reliés entre eux de telle manière qu'ils soient tous trois dans le
même état au même moment. Un quatrième commutateur CC
décide quelle est laquelle des trois machines en
fonctionnement, ce qui fait que pour un couple d'entrée E =
( x , y ) , la sortie S vaut S1 ou S2 ou S3, où Si correspond à
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l'état de sortie de la machine MU²i pour la même entrée.
Les valeurs de sortie S = V(B) = z représentant l'état du
beurre ne se limitent alors pas aux valeurs logiques de cœur
v, f ou i, mais peuvent aussi valoir :
• v oû i oû f = « le beurre est dans un état indéterminé
quelconque » = T
• v oû i = « le beurre est au moins légèrement ferme » =
– f
• f oû i = « le beurre est tout au plus légèrement
ferme » = – v
• v oû f = « le beurre n'est pas légèrement ferme » = – i
On constate alors que tout problème logique abstrait
correspondant à une relation du type A × CD => B , même
incertaine, peut être concrétisé ou matérialisé par le biais
de la machine MUU, et pas seulement les relations
déterministes ou certaines.
Si le tableau de vérité d'une relation R de type A × CD =>
B contient la valeur T, alors la machine MUU correspondante
nécessite le couplage de trois machines de type MU². S'il ne
contient que les valeurs de cœur v, f et i, MUU est une simple
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machine de type MU². En dehors de ces deux cas, MUU
demande le couplage de seulement deux machines MU². On
notera bien que la machine MUU, quand elle ne se réduit pas
à une simple machine MU², peut être bien souvent
implémentée de différentes manières, c'est-à-dire que la
décomposition en machines MU² n'est pas unique. Exemple :
V(B) V(CD) = v V(CD) = i V(CD) = f
V(A) = v v ou f v f
V(A) = i f v ou i f
V(A) = f i i i
R peut être décomposée en :
V(B) V(CD) = v V(CD) = i V(CD) = f
V(A1) = v v v f
V(A1) = i f v f
V(A1) = f i i i
V(B) V(CD) = v V(CD) = i V(CD) = f
V(A2) = v f v f
V(A2) = i f i f
V(A2) = f i i i
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Concrètement, cela veut dire que Si B est à v, et si le
commutateur de la machine MU est sur v, celui de la machine
MU' l'est aussi, et alors, selon l'état du commutateur CC, la
sortie vaut v oû f. On aurait pu décomposer R en :
V(B) V(CD) = v V(CD) = i V(CD) = f
V(A'1) = v f v f
V(A'1) = i f v f
V(A'1) = f i i i
V(B) V(CD) = v V(CD) = i V(CD) = f
V(A'2) = v v v f
V(A'2) = i f i f
V(A'2 )= f i i i
Pour être précis, dans ce cas, on a 4 manières de
décomposer R. On peut alors écrire : {V(« A1 × CD => B »)
ou V(« A2 × CD => B ») ou V(« A3 × CD => B »)} = V(« A
× CD => B ») , pourvu que V(A1) = V(A2) = V(A3) quel que
soit l'état de CD, ce qui est bien le cas puisque l'état des trois
machines MU² est le même, les commutateurs C² étant
couplés.
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En conclusion de quoi, répétons nous, tout problème
logique abstrait dont une sortie dépend de deux entrées peut
être matérialisé par un peu de ferraille, un peu d'électronique,
un morceau de beurre et le temps qu'il fait.
Nous pouvons donc nous permettre d'affirmer de
manière un peu abusive que la logique I est superposable
à la logique concrète du beurre ramolli. Il en va ainsi de la
question des syllogismes d'Aristote, que nous allons
maintenant examiner.
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Les syllogismes et la logique I
Voilà ce que nous apprend Wikipédia : en logique
aristotélicienne, le syllogisme est un raisonnement logique
à deux propositions (également appelées prémisses)
conduisant à une conclusion, ce qu'Aristote a été le
premier à formaliser. Par exemple, « Tous les hommes sont
mortels, or Socrate est un homme, donc Socrate est mortel »
est un syllogisme ; les deux prémisses (dites « majeure » et «
mineure ») sont des propositions données et supposées vraies,
le syllogisme permettant de valider la véracité formelle de la
conclusion. La science des syllogismes est la syllogistique, à
laquelle, entre autres, se sont intéressés les penseurs de la
scolastique médiévale, mais aussi Antoine Arnauld, Gottfried
Leibniz et Emmanuel Kant. Elle est l'ancêtre de la logique
mathématique moderne et a été enseignée jusqu'à la fin du
XIXe siècle.
Le syllogisme qui est peut-être le plus célèbre est celui
qu'on appelle BARBARA, qui affirme que « tous les
philosophes sont des hommes » et que « tous les hommes
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sont mortels », ce qui implique que « tous les philosophes
sont mortels ».
Un syllogisme présente donc la conjonction entre deux
rapports « d'inclusion », le premier mettant en jeu deux
ensembles X et A, et le deuxième deux ensembles A et B, la
conclusion portant alors sur le rapport de X à B. Précisons ce
que nous appelons rapport ou relation d'inclusion : soit X est
inclus dans A, soit X est disjoint de A, soit quelque x de X est
dans A, soit quelque x de X n'est pas dans A, ce qui donne 4
types de rapport ou de relation.
X r A & A r B peut donc prendre 4 × 4 = 16 couples de
valeurs distinctes, suivant la valeur de la relation r, qui est
d'un des 4 types vus précédemment.
X et A pouvant être interchangés d'une part, mais aussi A
et B, cela donne 4 × 16 = 64 quadruplets distincts en valeur
d'entrée de l'implication.
La conclusion présente toujours le rapport de X à B, sous
condition du rapport entre X et A et du rapport entre X et B :
elle peut donc prendre simplement 4 valeurs parmi celles
permises.
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On en déduit donc l'existence formelle de 256 syllogismes
distincts, et l'on peut constater, Aristote l'a fait le premier, que
parmi ceux-ci, seuls 24 sont concluants, c'est-à-dire que
l'implication correspondante est vraie d'une part, et que cette
conclusion n'est pas un truisme, d'autre part. Revenons au
syllogisme BARBARA. Il peut se formaliser en :
« Tous les M sont P » & « Tous les S sont M » => « Tous les
S sont P », que nous préférons écrire sous la forme « A & CD
=> B », avec M = A, P = B, S = X :
A = « tous les x de X sont dans A »
CD = « tous les a de A sont dans B »
B = « tous les x de X sont dans B »
Si V'(A ) = v et V'(CD) = v , alors V'(B) = v, ce qui
implique que le syllogisme est concluant. Mais A, CD et par
conséquent B peuvent prendre d'autres valeurs de vérité.
• V'(A) = v se dit « tous les x sont dans A »
• V'(A) = f se dit « aucun x n'est dans A »
• V'A) = i se dit « quelques x sont dans A mais pas
tous »
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• V'(A) = – i se dit « aucun x n'est dans A ou bien tous
le sont »
Idem pour B et CD. Alors :
• V'(A) = v X < A( X inclus dans A )
• V'(A) = f X ∩ A = Φ
• V'(A) = i X ∩ A ≠ Φ et X – < A ( X non
inclus dans A )
• V'(A) = – i X ∩ A = Φ ou X < A ( ou est le ou
exclusif )
La valeur de vérité – i ne nous servira à rien pour le
moment, mais on peut remarquer que les affirmations
constituant les syllogismes correspondent aux valeurs de
vérité suivantes :
• « Tout x est A » V'(A) = v
• « Quelque x est A » V'A ) = v ˅ i = – f
• « Quelque x n'est pas A » V'A) = f ˅ i = – v
• « Aucun x n'est A » V'(A) = f
En posant X r A le rapport de X à A, etc. et R = {« X r A »
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& « A r B » => « X r B »}, on peut alors établir le tableau de
vérité suivant :
R v ˅ i v i f f ˅ i
v ˅ i T v ˅ i T f ˅ i T
v T v T f T
i T v ˅ i T f ˅ i T
f T T T T T
f ˅ i T T T T T
On trouve ainsi 4syllogismes concluants, c'est-à-dire dont
la valeur de sortie n'est pas la tautologie T. Le triplet ( v , v , v
) correspond au syllogisme de la forme BARBARA, ( v , f ,
f ) = CELARENT, ( v ou i , v , v ˅ i ) = DARII, ( v ˅ i , f , f ˅
i ) = FERIO.
Ce sont les 4 modes concluants de ce qu'Aristote
appelle la première figure, dits modes parfaits.
On intervertit maintenant B et A par rapport au premier
tableau, de sorte que maintenant R = {« A r X » & « B r A »
=> « X r B »} :
R v ˅ i v i f f ˅ i
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v ˅ i T T T f ˅ i T
v T T T f T
i T f ˅ i T f ˅ i T
f T f T T T
f ˅ i T f ˅ i T T T
On trouve alors 4 nouveaux syllogismes concluants :
dans ce cas, ( f , v , f ) = CAMESTRES, ( f ˅ i , v , f ˅ i ) =
BAROCO , ( v , f , f ) = CESARE , ( v ˅ i , f , f ˅ i ) =
FESTINO.
Ce sont les 4 modes concluants de ce qu'Aristote
appelle la deuxième figure.
On peut alors intervertir A et X par rapport au premier
tableau, de sorte que maintenant R = {« A r X » & « A r B »
=> « X r B »} :
R v ˅ i v i f f ˅ i
v ˅ i T v ˅ i T f ˅ i T
v v ˅ i v ˅ i i f ˅ i f ˅ i
i T v ˅ i T f ˅ i T
f T T T T T
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f ˅ i T T T T T
On trouve 6 autres syllogismes concluants. Dans ce cas, (
v ˅ i , v , v ˅ i ) = DATISI, ( v ˅ i , f , f ˅ i ) = FERISON,
( v , v ˅ i , v ˅ i ) = DISAMIS, ( v , v , v ˅ i ) = DARAPTI,
( v , f , f ˅ i ) = FELAPTON, ( v , f ˅ i , f ˅ i ) = BOCARDO.
Ce sont les 6 modes de ce qu'Aristote appelle la
troisième figure. On inverse finalement A et X par rapport à
notre précédent tableau, de sorte que maintenant R = {« A r
X » & « B r A » => « X r B »} :
R v ˅ i v i f f ˅ i
v ˅ i T T T f ˅ i T
v i i i f ˅ i f ˅ i
i T T T f ˅ i T
f T f T T T
f ˅ i T T T T T
Dans ce cas, ( v , f ˅ i , f ˅ i ) = BOCARDO ( déjà vu ), ( v , f
, f ˅ i ) = FELAPTON (déjà vu), ( v ˅ i , f , f ˅ i ) FERISON
(déjà vu), ( f , v , f ) = CAMENES, ( v , v , i ) = BAMALIP ,
( v , v ˅ i , i ) = DIMATIS , ( v , i , i ) = FESAPO, ( i , f , f ˅
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i ) = FRESISON
Ce sont les 5 modes de ce qu'Aristote appelle la
quatrième figure, dite galénique. Les 7 cases qui n'ont pas
été prises en compte, en jaune, bien qu'elle ne soient pas
égales à T donnent d'autres syllogismes, qui sont des
« dérivés » des 19 autres.
En conclusion, la logique I rend bien compte du
raisonnement syllogistique, même si elle ne lui est pas
forcément équivalente. Ce que nous entendons par là,
c'est qu'avec simplement 4 des valeurs logiques de I, on
peut traduire n'importe quel syllogisme particulier dans
celle-ci.
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Logique I et relation de cause à effet
Considérons de nouveau une relation logique R, du type A
× CD => B, ce qu'on lira « A implique B sous condition CD
par la relation R », où V(A), V(CD) et V(B) sont pris dans
K = { Φ , f , – v , i , – i , – f , v , T }, S = V(B) = z dépendant
du couple d'entrée E = ( V(A), V(CD) ) = ( x , y ).
Reprenons alors notre exemple précédent de machine à
beurre, dans le cas où elle n'est qu'un simple réfrigérateur,
avec :
• A = « le réfrigérateur R fonctionne »
• CD = « il fait chaud »
• B = « le beurre B est dur »
Son tableau racine et son tableau de fonctionnement
complet sont les suivants :
R v i f
v v v v
i i v v
f f i v
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R T v – f – i i – v f Φ
T T T T T – f – f v Φ
v v v v v v v v Φ
– f T – f – f – f v v v Φ
– i T – i T – i – f – f v Φ
i – v i – f – f v v v Φ
– v – v – v T T – f – f v Φ
f f f – v – i i – f v Φ
Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
Pour la logique habituelle H, le temps n'aurait que deux
états, V pour chaud et F pour froid, le beurre et le
réfrigérateur idem, et on aurait un tableau bien plus simple :
R v f
v v v
f f v
Dans ce cas, la relation R est déterminée par la donnée des
quatre triplets ( x , y , z ) indiquant son état de sortie z en
fonction de son état d'entrée ( x , y ). Mais, du fait qu'il n'y a
que deux états de sortie possibles, on a mieux. Ici R est
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équivalente à la donnée de ( f , v , f ) , les autres états s'en
déduisant : R « le beurre est mou » uniquement quand il
fait chaud et que le réfrigérateur ne fonctionne pas. Cela est
simplement liée à l'équivalence générale entre une
implication et sa contraposée, qui nous vient de la logique H :
« il fait chaud et le réfrigérateur ne fonctionne pas. => le
beurre est mou » équivaut à « le beurre est dur => il fait froid
ou le réfrigérateur fonctionne ».
Imaginons maintenant que lorsqu'il fait chaud, soit y = v,
l'alimentation du réfrigérateur a des ratées, de façon à ce que
lorsqu'il est allumé, soit x = v, il peut fonctionner ou pas : le
beurre est alors dans un état « quelconque » T.
R v f
v T v
f f v
Pour rendre compte de la relation R, une seule équivalence
ne suffit plus : il nous en faut deux, la troisième s'en
déduisant, en tenant compte de ce qu'il y a trois maintenant 3
états de sortie possibles.
Revenons à notre réfrigérateur, et considérons que la
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valeur de sortie ne peut pas prendre la valeur nulle Φ. La
relation R correspondante est alors égale à au plus 6
équivalences, et ici simplement 2, compte tenu de ce que les
états de sortie du tableau racine ne prennent que des valeurs
logiques de cœur.
R = { [« z = f ( x , y ) = ( f , v ) »] et [« z = i ( x , y )
= ( i , v ) ou ( f , i )] } , avec z appartenant à K0.
En pratique, on traduira la relation R en au plus 6
implications correspondant à chacune des configurations du
tableau racine ne prenant pas la valeur T en sortie. Ainsi, si le
tableau de R est le suivant :
R v i f
v – i v – f
i f – v v
f f i T
La relation R équivaut à la conjonction des 6 implications
suivantes :
• E = ( v , v ) => S = – i
• E = ( v , i ) ou E = ( i , f ) => S = v
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• E = ( v , f ) => S = – f
• E = ( i , f ) => S= – v
• E = ( f , v ) ou E = ( i , v ) => S = f
• E = ( f , i ) => S = i
Évidemment, partant de ce que nous appellerons les
« composantes radiculaires » de la relation R, on peut en
déduire d'autres implications non triviales, qu'on appellera
« dérivées », impliquant au moins l'une des valeurs logiques
d'entrée prise en dehors des valeurs du cœur K0, comme ici :
E = ( – v , – f ) => S = – v. Il suffit ici de combiner par la
disjonction ˅ les 4 états de sortie grisés dans le tableau.
On peut alors contraposer chacune des composantes
radiculaires de R, comme par exemple la deuxième, qui
devient : S ≠ v => E ≠ ( v , i ) et E ≠ ( i , f ). Avec ( x , y ) pris
dans K* × K*, où K* = { f , – v , i , – i , – f , v , T } , on a 49
triplets ( x , y , z = S( x , y ) ) correspondant à toutes les
affirmations que l'on peut formuler sur le système, dont la
disjonction est équivalentes à la relation R, qu'on appellera
implications « élémentaires » ou « basiques ».
Avec ( x , y ) pris dans K0 × K0, on obtient 9 triplets
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asiques qui se résument en au plus 6 composantes
« radiculaires ». La septième, correspondant à la valeur de
sortie T se déduit des 6 autres. Les 40 implications basiques
restantes, dites « dérivées », se résument elles aussi en au
plus 6 composantes dérivées, la septième s'en déduisant, elle
aussi. Sur notre exemple du réfrigérateur, la plus simple de
ces composantes dérivée est :CD ( f ) = « E = ( f , T ) => S =
f ». C'est une simple implication basique.
Une autre composante dérivée de R est : CD ( – i ) = « {E
= ( – i , v ) oû E = ( – i , – i ) oû E = ( f , – i )} => S = – i ».
Elle est égale à la disjonction des 3 implications basiques
suivantes :
• E = ( – i , v ) => S = – i
• E = ( – i , – i ) => S = – i
• E = ( f , – i ) => S = – i
La plus simple des composantes radiculaires est : CR ( f )
= « E = ( f , v ) => S = f ».
Une composante radiculaire et une composante dérivée
correspondant à la même valeur logique de sortie z seront
dites « complémentaires », et leur somme logique sera
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nommée « composante en z » de la relation R, notée C( z ).
Ainsi, la composante en f de la relation R est égale à la
disjonction des deux composantes dérivée et radiculaire en f :
• E = ( f , T ) => S = f
• E = ( f , v ) => S = f
Ce que l'on pourra écrire plus simplement :
C ( f ) = CD ( f ) ˅ CR ( f )
{C ( f ) = CD ( f ) ˅ CR ( f ) = « E = ( f , T ) ˅ E = ( f , v )}
=> S = f »
Considérons alors la relation z = x ˅ y :
x ˅ y T v – f – i i – v f
T T T T T T T T
v T v – f – i – f T – i
– f T – f – f T – f T T
– i T – i T – i T T – i
i T – f – f T i – v – v
– v T T T T – v – v – v
f T – i T – i – v – v f
On constate alors que y0 et z0 étant fixés, pris dans K*,
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l'équation z0 = x ˅ y0 peut admettre plusieurs solutions, ce
qui implique que la relation R, bien qu'équivalente à la
donnée de ses composantes radiculaires, n'est pas équivalente
à la donnée de ses composantes dérivées, ou, autrement dit
que la donnée des composantes dérivées ne permet pas de
reconstituer de manière univoque les composantes
radiculaires. Voyons cela sur un exemple :
R1 v i f
v – f – f – f
i – f v – f
f – f – f – f
R2 v i f
v – f – f – f
i – f i – f
f – f – f – f
On peut constater avec les relations R1 et R2 que leurs
composantes dérivées, calculées à partir du tableau racine
sont les mêmes, alors que R1 et R2 sont distinctes.
Si l'on se limite à des relations déterministes, c'est-à-
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dire celles dont l'état de sortie est l'une des valeurs
logiques de cœur v , i ou f, alors on a bien cette fois-ci
l'équivalence entre composantes radiculaires et
composantes dérivées :
z = x ˅ y v i f
v v – f – i
i – f i – v
f – i – v f
En effet, cette fois-ci, y0 et z0 étant donnés, pris dans K0
et K', l'équation z0 = x ˅ y0 admet une solution unique.
Tâchons maintenant pour finir de dénombrer les relations
R possibles, quand ( x , y ) est dans K0 et z dans K. Pour
cela, notons :
• ( | ) = le nombre de relations dont la table de vérité est
symétrique par rapport à la colonne du milieu.
• ( | )* = le nombre de celles parmi les ( | ) qui n'ont pas
d'autres symétries.
• ( – ) et ( – )* = idem pour la ligne du milieu.
• ( \ ) et ( \ )* = idem pour la première diagonale.
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• ( / ) et ( / )* = idem pour la seconde diagonale.
• (× ) et ( × ) * = idem pour les deux diagonales.
• ( + ) et ( + )* = idem pour la ligne et la colonne du
milieu.
• ( * ) = le nombre de relations dont la table de vérité
est symétrique par rapport aux deux diagonales, la
ligne et la colonne du milieu.
• Q = le nombre de relations dont la table ne comporte
aucune symétrie.
• N = le nombre de relations R distinctes, une fois
enlevés les doublons symétriques.
• T = 8 9 = le nombre total de relations,
indépendamment des symétries.
On a alors :
( + )* = ( + ) – ( * )
( × )* = ( × ) – ( * )
( – )* = ( – ) – ( + )
( | )* = ( | ) – ( + )
( / )* = ( / ) – ( × )
( \ )* = ( \ ) – ( × )
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( – ) = ( | ) = ( / ) = ( \ ) = 8 6
( + ) = ( × ) = 8 4
( * ) = 8 3
D'où l'on tire :
( + )* = ( × )* = 8 4 – 8 3
( – )* = ( | )* = ( / )* = ( \ )* = 8 6 – 8 4
On a encore :
T = Q + ( * ) + ( + )* + ( × )* + ( – )* + ( | )* + ( / )* + ( \ )*
N = Q + ( * ) + [ ( + )* + ( × )* ] / 2 + ( – )* + [ ( | )* + ( / )*
+ ( \ )* ] / 4
La divisions par 2 s'explique de cette manière : si R est
une relation symétrique par rapport à la ligne et à la colonne
médiane, alors en opérant une symétrie par rapport à l'une ou
l'autre des deux diagonales, on lui fait correspondre une
relation R' qui est équivalente à R, dans ce sens que R' ( x ,
y ) = R ( y , x ). Si R est symétrique par rapport aux
diagonales, de la même façon, en opérant une symétrie par
rapport à la ligne ou la colonne médiane, on obtient R',
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équivalente à R, dans ce sens que si x = V(« il fait chaud »)
par exemple, on peut prendre x' = V(« il ne fait pas chaud »)
= – x , et alors R' ( x' , y ) = R ( x , y ). Etc. D'où l'on déduit
finalement que : N / T ≈ 1.
N vaut donc environs 134 millions : avec notre logique I,
nous pouvons donc modéliser un peu plus de 134 millions de
situations logiques distinctes ! Si l'on ne considère que des
valeurs de sortie non nulles, ce nombre tombe à 7 9 , soit
encore près de 40 millions de situations. Si l'on interdit à la
valeur de sortie de valoir T, on a encore 6 9 ≈ 10 millions de
situations. Si enfin on se limite aux relations déterministes,
on a plus que 3 9 ≈ 19 000 situations possibles. Cela peut
paraître peu, mais c'est beaucoup plus que ne permet la
logique H, qui n'envisage au maximum que 2 4 = 16 relations
déterministes de type A × CD => B.
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Relations de cause à effet particulières
Nous avons vu que nous lisions R = « A × CD => B », « A
implique B sous la condition CD par la relation R ». Cela
prête à confusion avec l'acceptation habituelle de
l'implication en logique, et nous devrions ici plutôt parler de
« relation de cause à effet ». Nonobstant, nous allons dans
ce qui suit examiner certaines de ces relations de cause à
effet.
Nous avons tout d'abord les relations « constantes », où
finalement les valeurs d'entrée n'ont aucune influence sur la
valeur de sortie. Par exemple, Avec A = « Jean est un
homme », CD = « il pleut » et B = « la terre tourne autour du
soleil, on a le tableau principal suivant :
R v i f
v v v v
i v v v
f v v v
Ensuite, nous avons les relations dont le tableau principal
est symétrique par rapport à la première diagonale. Dans ce
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cas, nous pouvons dire que A et CD jouent des rôles
« équivalents » vis-à-vis de B : on parlera de relations
« commutatives » ou « symétriques ». La somme et le
produit logique donnent deux exemples de relations
commutatives. La somme logique peut être matérialisée par
la situation concrète d'un arroseur à trois états de
fonctionnement et de la pluie, la sortie étant l'état d'humidité
ou de sécheresse relative du sol.
Après quoi nous avons les relations symétriques par
rapport à la deuxième diagonale. A commute alors avec le
contraire de CD, de même que CD commute avec le contraire
de A. On parlera de relations « anti-commutatives ou
antisymétriques ».
Nous avons encore les relations dont les trois colonnes du
tableau principal sont égales : L'état de la sortie B ne dépend
alors que de l’état d'entrée A, et pas de celui de la condition
CD. C'est idem quand les trois lignes sont égales : la relation
R sera alors appelée relation « fonctionnelle » en A ou CD,
selon le cas.
Nous avons aussi les relations dont le tableau principal est
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symétrique par rapport à le colonne du milieu, ou par rapport
à la ligne du milieu : nous les appellerons relations « semi-
triviales en i » par rapport à CD ou A, selon le cas. On aura
de la même façon les relation semi-triviales en v ou en f, par
rapport à CD ou A.
Les relation commutatives et anti-commutatives, ou bien
semi-triviales en i par rapport à A et CD ont une tableau
principal également symétriques par rapport à sa case
centrale : on parlera de relations « totalement
symétriques ». L'égalité et l'inégalité sont deux relations
totalement symétriques.
Il existe évidemment des relations « centrales » qui ne
sont pas totalement symétriques, comme par exemple :
R v i f
v v i f
i f v f
f f i v
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Le paradoxe du menteur et la normalité
Examinons tout d’abord le paradoxe du menteur sous sa
forme originale : M = « cette phrase est fausse », soit M =
« V(M) = f ».
M ne peut être ni vraie ni fausse sans contradiction, ce qui
implique qu'elle est indéterminée du premier type ni vrai ni
faux. On a alors V(M) = V( « i = f » ) = i, résultat lui-même
un peu paradoxal, que nous avons déjà vu comme
conséquence du paradoxe de la carte retournée.
On peut alors imaginer ce qu'on peut appeler une forme
vicieuse de ce paradoxe : M' = « cette phrase est fausse ou
n'est ni vraie ni fausse », soit M' = « V(M') = f ou V(M') =
i ».
M' ne peut être ni vraie ni fausse sans contradiction non
plus, ce qui implique qu'elle est indéterminée du premier type
ni vrai ni faux. Mais alors, elle semble vraie ! Elle le semble
tant qu'on ne connaît pas la table de vérité entre valeurs
logiques de I, car alors : V(M') = V( « i = f ou i = i ». ) = i ,
ne donne lieu à aucune contradiction avec notre logique I.
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Ceci fait, on peut étudier le paradoxe du menteur dans
toute sa généralité, en posant M ( x , y ) = « V(M) = x ˅ y »,
ce qui se traduit par le tableau racine suivant :
M ( x , y ) v i f
v – i i i
i i i i
f i i i
On a M ( v , v ) = – i et non pas T, comme vu page 22, où
la situation était la même avec le paradoxe de la carte
retournée.
Une affirmation M(A) sera appelée « méta-affirmation
générique » quand son objet A est elle-même une
affirmation du langage qui peut être quelconque ou prise
dans un sous-ensemble non réduit à un seul élément.
Comme exemples de méta-affirmations génériques on peut
donner M(A) = « l'affirmation A est vraie » ou bien M'(A) =
« l'affirmation A s'écrit en huit mots ». Une affirmation sera
dite « basique » si ça n'est pas une méta-affirmation,
comme par exemple A = « il pleut » ou A' = « tous les
humains vivent sur terre ».
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Dès lors que l'on précise l'objet A d'une méta-affirmation
générique en A0, celle-ci devient une « méta-affirmation
particulière » M(A0). Si l'on applique M(A) à elle-même, on
obtient alors une méta-affirmation particulière qui est de plus
« auto-référente » : c'est M(M(A)). On conviendra
d'appeler « tranquille » une méta-affirmation particulière
qui n'est pas auto-référente, mais aussi une méta-
affirmation générique qui est tranquille sur l'ensemble où
elle est définie.
Nous avons donc d'une part les affirmations basiques et les
méta-affirmations, et parmi les méta-affirmations, aussi bien
génériques que particulières, celles qui sont tranquilles et
celles qui sont autoréférentes. M ( x , y ), vu ci-dessus, est par
exemple une méta-affirmation particulière autoréférente.
Mais on peut aussi avoir des méta-affirmations
génériques partout autoréférentes, comme M'( A , x , y ) =
« V(A) = x et V(M') = y », dont on peut dresser la table de
vérité en fonction de x et y :
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M' ( A , x , y ) v i f
v
– i pour V(A) = v
– v pour V(A) = i
f pour V(A) = f
i pour V(A) = v
i pour V(A) = i
f pour V(A) = f
i pour V(A) = v
i pour V(A) = i
f pour V(A) = f
i – v pour tout A i pour tout A i pour tout A
f
f pour V(A) = v
– v pour V(A) = i
– i pour V(A) = f
f pour V(A) = v
i pour V(A) = i
i pour V(A) = f
f pour V(A) = v
i pour V(A) = i
i pour V(A) = f
Le « et » dont il est question est l'opération de produit
logique que nous avons notée « & ». On a aussi M'' ( A , x ,
y ) = « V(A) = x ou V(M'') = y ». Le « ou » dont il est
question ici est l'opération de somme logique que nous avons
notée « + » :
M' ( A , x , y ) v i f
v v pour V(A) = v
– f pour V(A) = i
– i pour V(A) = f
v pour V(A) = v
i pour V(A) = i
i pour V(A) = f
v pour V(A) = v
i pour V(A) = i
i pour V(A) = f
i i pour tout A i pour tout A i pour tout A
f – i pour V(A) = v
– f pour V(A) = i
v pour V(A) = f
i pour V(A) = v
i pour V(A) = i
v pour V(A) = f
i pour V(A) = v
i pour V(A) = i
v pour V(A) = f
Bien sûr, on n'a pas examiné les cas où V(A), x et y
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prennent les autres valeurs de vérité non nulles de K*, à
savoir – v , – i , – f et T, qui se déduisent par combinaison des
valeurs principales des deux relations.
Cela étant, soit G(A) une méta-affirmation, ou
affirmation générale sur les affirmations basiques, on
peut convenir que G est « normale » quand pour toute
affirmation A de son domaine de définition, G(A) est soit
vraie soit fausse, et dire qu'elle est « anormale », s'il existe
une ou des affirmations particulières pour lesquelles G(A)
se révèle indéterminée de première ou seconde espèce, ou
égale à T.
Ainsi, G6(A) = « l'affirmation A comporte six mots » est
une affirmation normale : une affirmation particulière étant
donnée, soit elle comporte six mots, soit ça n'est pas le cas !
Appliquer G5 à elle même n'est pas un problème : on a
G6(G6) = v.
M' (A , v , v ) et M'' ( A , f , f ) sont anormales. Si A est
vraie, M' (A , v , v ) = – i , et si A est fausse, M'' ( A , f , f ) =
i.
Formulons alors G², qui dit « toute méta-affirmation G est
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soit normale, soit anormale ». G² est-elle vraie, est-elle
normale ?
Examinons dans un premier temps une pseudo
démonstration de ce que G² est vraie et normale. G² est elle-
même une méta-méta-affirmation qui ne pose « aucun souci »
tant qu'on ne l'applique pas à elle-même : elle est vraie.
Notons U = G² ( G² ) , c'est-à-dire l'affirmation basique
obtenue quand on applique G² à elle-même : U = « G² est
normale ou anormale » = « V( N ) = v ou V( N ) = f » , avec
N = « G² est normale ».
Notons tout d'abord que si U se révèle vraie ou bien
fausse, on en déduit que G² est normale, puisqu'on a supposé
celle-ci vraie partout quand on ne l'applique pas à elle-
même : c'est la définition même de la normalité que nous
venons de poser.
Alors :
• Supposons que G² soit normale, alors V( N ) = v et U
est vraie, donc G² est vraie.
• Supposons que G² soit anormale, alors V ( N ) = f et
U est encore vraie, et G² aussi.
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• Supposons que G² ne soit ni normale, ni anormale,
alors V(N) = i, d'où V(U) = V(« i = v » ˅ « i = f ») = i
et U est anormale, d'où l'on déduit que G² est encore
vraie.
On peut donc affirmer dans un premier temps que G² est
vraie. Si G² est vraie, soit elle est normale, soit elle est
anormale. Si on la suppose normale, alors U est vraie et tout
va bien, il n'y a pas de contradiction. Si on la suppose
anormale, U est toujours vraie, ce qui implique que G² serait
aussi normale, d'où contradiction.
Finalement, G² est donc vraie et elle-même normale, du
type toujours vraie : toute méta-affirmation G est soit
normale, soit anormale.
Évidemment, le point faible de la « démonstration »
précédente, c'est de considérer G² vraie pour toute méta-
affirmation, hors elle-même, de telle façon que le principe
G² est en fait équivalent à affirmer qu'on ne peut soulever
de paradoxe type paradoxe du menteur dans la logique I.
Comment pouvons-nous le démontrer ?A ce point précis,
nous pouvons au moins démontrer que certaines
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généralisations du paradoxe de la carte retournée, dont le
paradoxe du menteur est un cas particulier, ne peuvent donner
lieu à un paradoxe du même type pour la logique I. C'est
l'objet d'un chapitre prochain.
Cela mis à part, la manière dont nous affectons une valeur
de vérité à une affirmation particulière G(A) nous donne une
indication sur ce sujet. Si G(A) peut être vraie sans pouvoir
être également fausse ou bien fausse sans pouvoir être
également vraie, on s'arrête là : si c'est le cas pour toute
valeur de A, y compris quand elle se réfère à G elle-même, G
est donc normale. S'il existe une valeur particulière A0 de A
pour laquelle G(A0) peut aussi bien être déclarée vraie que
fausse sans contradiction, alors V(G(A0)) = – i, et si pour ce
A0 G(A0) ne peut être déclaré ni vrai ni faux sans
contradiction, alors V(G(A0)) = i : alors, G est anormale. On
constate qu'aucun cas de figure ne peut échapper à notre
analyse, par construction, et cela constitue une première
démonstration de notre théorème de normalité TN.
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Explicitation d'une relation logique
On pose R = A × B = z = S ( E ) , avec E = ( x , y ) , x =
V(A) = et y = V(B) pris dans K0, qui ne prend jamais la
valeur Φ. Nous allons examiner différents cas de figure
simples, de manière à montrer que l'on peut toujours
exprimer R à partir des variables x et y, d'une relation $
de permutation que nous allons définir, des connecteurs
logiques ˅ , + et &, = et des valeurs de vérité de K0 : nous
dirons alors que nous avons procédé à « l'explicitation »
de R à l'aide des OLE, objets logiques élémentaires de la
logique I.
Le but du jeu est d'arriver à expliciter toutes les tables de
vérité qui ne comportent que des f et une dernière valeur de
K* : de cette manière, on pourra décomposer n'importe quelle
table de vérité par simple sommation de telles tables, qu'on
dira « élémentaires », de même que les relations
correspondantes. Commençons par les relations triviales
constantes, quant à leur table de vérité, puisque leur valeur de
sortie z est effectivement constante, et ne dépend donc dans
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ce cas ni de A, ni de B :
K(v) v i f
v v v v
i v v v
f v v v
K(v) s'écrit donc K(v) = « v ». On a K(i) = « i », K(f) = « f »,
etc. Mais voici maintenant la définition de la relation de
permutation $ :
$( v ) = i $( – v ) = – i $( T ) = T
$( i ) = f $( – i ) = – f $( Φ ) = Φ
$( f ) = v $( – f ) = – v
Par construction, $ ainsi que $$ respectent la règle de
distributivité par rapport à la disjonction, ou règle de
superposition des états. Alors, on pose R1, donnée par :
R1 v i f
v i i i
i i i i
f f f f
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R1 = « {V(A) = v} & [ {V(A) = f} + {V(B) = i} ] » =
« {V(A) = v} & K(i) »
On pose R2 = « {V(B) = v} & K(i) »
R2 v i f
v i i f
i i i f
f i i f
Avec R3 = R1 + R2 = « [{V(A) = v} + {V(B) = v}] & K(i) »
R3 v i f
v i i i
i i i i
f i i f
Alors, $(R3) a pour tableau :
$(R3) v i f
v f f f
i f f f
f f f v
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C'est bien l'une des relations élémentaires de coin. On
pose R4 = « {V(A) = v} + K(i) » et R5 = « {V(B) = v} +
K(i) », R6 = « {V(A) = f} + K(i) » et R7 = « {V(B) = f} +
K(i) ». La relation R8 = R5 & R6 & R7 & R8 a pour tableau :
R8 v i f
v v v v
i v i v
f v v v
Alors, $$(R8) a pour tableau :
$$(R8) v i f
v f f f
i f v f
f f f f
C'est la relation élémentaire centrale en v, Ecentrale(v).
R13 & $$(R13) = Ecentrale(i), Ecentrale(f) = K(f), et
Ecentrale( – i ), Ecentrale( – f ), Ecentrale( – v ) et
Ecentrale( T ) s'ensuivent, par disjonction.
On obtient encore l'une des relations élémentaires de bord,
avec par exemple : R9 = « {V(A) = v} + {V(A) = f} + {V(B)
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= v} + $$(R8) + K(i) » :
R9 v i f
v v v v
i v v i
f v v v
Alors, $$(R10) = Ebord(v) a pour tableau :
$$(R10) v i f
v f f f
i f f v
f f f f
R10 & $$(R10) = Ebord( i ), etc. Le reste est à l'avenant
…Les symétries nous permettent alors d'expliciter n'importe
laquelle des 9 × 7 = 63 relations élémentaires.
Partant de là, nous savons expliciter le tableau racine de
n'importe quelle relation du type R( A , B ) ne prenant pas la
valeur nulle, à partir des valeurs logiques de K0 et des
opérations logiques élémentaires OLE ( égalité, disjonction,
somme et produit, opposé et contraire), donc la relation
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complète. Autrement dit, nous pouvons écrire formellement :
Si R( A , B ) ne s'annule pas pour V(A) et V(B) ne
s'annulant pas, alors il existe une fonction logique F bâtie
à partir des OLE et des valeurs de K*, telle que R( A , B )
= F( V(A) , V(B) ).
Mais si l'on examine notre démonstration, on s'aperçoit
que l'on a obtenu deux résultats supplémentaires
particulièrement importants :
1 – Seules les valeurs de cœur v , i et f interviennent dans la
construction de F.
2 – V(A) = x et V(B) = y n'interviennent que dans des
opérations de comparaison à ces valeurs de cœur.
On peut donc écrire : F( A , B ) = F( x = v , x = i , x = f , y
= v , y = i , y = f ). Sachant que V(« x= i ») = i = V(« y = i »)
pour tout x et tout y, il reste : F ( A , B ) = F( x = v , x = f , y
= v , y = f ). F ( A , B ) = F( « A est vraie », « A est fausse »,
« B est vraie » , B est fausse » ).
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Considérons maintenant une affirmation auto-référente R :
• Si elle ne parle que d'elle-même, alors R = R ( R ) =
F( « R est vraie » , R est fausse » ). On suppose alors
que R est vraie, ce qui implique V(« R est vraie ») = v
et V(« R est fausse ») = f, et on calcule F( v , f ). Si
l'on trouve une valeur distincte de v, c'est que R ne
peut être vraie. Si l'on trouve v, on réserve le
pronostic pour la fin. On renouvelle en effet le
processus en calculant cette fois F ( f , v ), et si l'on
trouve une valeur distincte de f, c'est que R ne peut
être fausse. Alors, si elle pouvait être vraie, c'est
qu'elle est effectivement vraie, et si elle ne pouvait
pas être vraie non plus, on en déduit que sa valeur de
vérité est i. Si l'on trouve la valeur f et que R ne
pouvait être vraie, c'est que R est fausse, et sinon ,
c'est que V(R) = – i. C'est de là que découle notre
première démonstration de TN, théorème de
normalité.
D'où le tableau indiquant les seules valeurs de sortie
possibles pour le système :
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R est vraie \ R est
fausse
v i f
v – i Φ v
i Φ i Φ
f f Φ Φ
• Si R affirme A en même temps que de parler d'elle-
même, alors R = R ( A , R ) = F( « A est vraie », « A
est fausse », « R est vraie » , R est fausse » ). Le
tableau de la relation est alors le suivant :
A est vraie \ R est
vraie
v i f
v v ou Φ i ou Φ f ou Φ
i v ou Φ i ou Φ f ou Φ
f v ou Φ i ou Φ f ou Φ
Pour ce faire, on a supposé que A ne dépendait pas de
la valeur de vérité de R : A parle d'autre chose que de R
dans sa totalité, et pourquoi pas d'elle-même.
L'indication de valeur v ou Φ signifie que c'est un état
possible de sortie pour la relation, égal à v, ou qu'au contraire,
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ça n'est pas un état possible, d'où la valeur nulle.
Prenons par exemple R, telle qu'on ait :
A est vraie \ R est
vraie
v i f
v Φ i Φ
i Φ Φ f
f v i Φ
On peut alors par exemple décomposer R en R = R1 +
R2 , avec :
R1(A est vraie , R
est vraie)
v i f
v v i f
i v i f
f v i f
R2(A est vraie , R
est vraie)
v i f
v Φ f Φ
i Φ Φ f
f f f Φ
On n'a donné que la « forme » de R2 : celle-ci comporte la
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valeur f pour tous les états du système qui sont autorisés, et la
valeur nulle sinon. On remarque alors que R1 = « V(R) = v ».
Les états non nuls du système ou de la relation sont dans ce
cas : ( v , i ) ( i , f ) ( f , v ) ( f , i ) qui se résument en 3 : ( v
, i ) ( i , f ) ( f , – f ).
• R est à l'état i quand A est vraie.
• R est à l'état faux quand A est à l'état i.
• R est à l'état non-vrai quand A est fausse.
Nous n'avons pas introduit le terme de « système » pour
rien : en effet, s'il ne nous est pas possible d'exhiber une
relation auto-référente non triviale qui ne possède aucun état
de sortie non nul, soit une relation « paradoxale », il est
possible d'imaginer un système physique équivalent à une
telle relation, qui soit quasi-paradoxal.
Imaginons en effet une machine à sous avec trois rouleaux
semblables comportant chacune six figures distinctes , de
manière à ce que le système considère que vous avez gagné si
vous avez tiré 100 fois de suite les trois bananes, perdu si
vous avez tiré 100 fois de suite les trois pommes. Un joueur à
donc 1 chance sur 36 100 de gagner, et la même chose de
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perdre, c'est-à-dire quasiment 0.
Chaque partie revient donc à actionner 100 fois de suite la
manette. Si vous avez perdu, la machine vous envoie une
décharge électrique de tension T égale à 120 V, à 0,1 V près.
Si vous avez gagné, la machine ne vous envoie pas de
décharge électrique, et si vous n'avez ni gagné ni perdu, la
machine vous envoie une décharge dont la tension est
comprise entre 0,1 et 119,9 V.
On peut alors considérer que l'état de sortie de la machine
est représenté par la valeur de la tension de la décharge
envoyée : pour une décharge de 0 V, le système est à l'état f,
pour une décharge de 120 V à l'état v, et pour une décharge
de 60 V, à 0,1 V près, à l'état i. Toutes les autres valeurs de la
tension peuvent ainsi être associée à la valeur nulle, puisque
elles ne correspondent à aucun état logique prédéfini.
Compte-tenu de la probabilité quasi-nulle qu'il y a à ce
que la décharge soit d'une tension correspondant à l'une des
trois valeurs logiques prédéfinies, et bien qu'en théorie le
système soit capable de posséder chacun de ces trois états
logiques bien définis, il est en pratique en permanence dans
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un état correspondant à la valeur nulle, et non la valeur T, qui
signifierait ici que la tension prenne l'un des trois niveaux 0,
60 ou 120 V, à 0,1 V près.
Notre système modélise donc bien une situation quasi-
paradoxale, où les états logiques d'entrée et de sortie sont
clairement déterminés et non tous nuls, mais où la sortie est
toujours à l'état nul en pratique. Voici le tableau de vérité
correspondant :
Succès T = F(succès)
v 0 V = f
i T quelconque = Φ
f 120 V = v
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Généralisation du paradoxe de la carte retournée
Considérons n cartes numérotées A1 , A2 , … , An ,
portant chacun une affirmation qu'on désignera de même, et
qui est construite de la manière suivante : Ai = Ai ( V(A1) ,
V(A2) , … , V(An) ).
Ai est donc une affirmation portant sur les valeurs de
vérité aj que l'on peut éventuellement affecter aux
affirmations Aj , j variant de 1 à n, élaborées à partir des
objets logiques élémentaires OLE et des valeurs de K0.
Donnons un exemple à quatre cartes, pour fixer les idées :
A1 = « {V(A1) = u11 & V(A3) = u13} + V(A2) = u12 +
V(A4) = u14} »
A2 = « $ ( V(A1) = u22 & V(A2) = u22 & V(A3) = u23) ˅
V(A4) = u24 » avec les uij pris dans K*. Etc.
Autrement dit, chaque Ai est une relation dont on peut
effectuer l'explicitation . Alors, si le système constitué par
l'ensemble Σ des Ai est paradoxal, c'est qu'il répond par la
valeur nulle pour toutes les valeurs du n-uplet d'entrée E =
( V(A1) , V(A2) , … , V(An) ). Il suffit donc de fixer la
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valeur de V(A3), … , V(An) pour obtenir n relations A'i qui
ne dépendent plus maintenant que des valeurs de V(A1) et
V(A2) et dont l'explicitation dérive de celle des Ai.
Avec l'exemple précédent, fixant V(A3) à x3 et v(A4) à
x4, l' explicitation de A'1 s'écrit : A1 = « {V(A1) = u11 & x3
= u13} + V(A2) = u12 + x4 = u14} ».
Alors, pour tout couple d'entrée E' = ( V(A1) , V(A2) ) le
système dérivé Σ' des A'i , le système répond par la valeur
nulle, ce qui implique qu'il y a toujours au moins l'une des
relations A'i qui répond par la valeur nulle.
Cela implique donc que la relation composée R = A'1 &
A'2 & … & A'n est elle-même paradoxale, c'est-à-dire répond
par la valeur nulle à tout couple d'entrée E'. Mais l'
explicitation de R est immédiate, donnée par sa définition
même et l'explicitation de chacune des relations A'i.
On remarque encore que R ne dépend que des paramètres
V(A1) et V(A2). Autrement dit, si l'on était capable
d'exhiber une généralisation à n cartes de la situation de
la carte retournée qui soit paradoxale pour la logique I,
cela nous permettrait d'exhiber une situation à deux
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cartes qui soit elle-même paradoxale.
Évidemment, ce résultat repose sur la possibilité ou pas
d'expliciter une relation logique quelconque. Hors, on a vu
qu'il était possible d'expliciter toute relation logique définie
par son tableau racine, et nous avons posé qu'une relation
logique valide était justement équivalente à la donnée de
celui-ci.
Nous avons montré ce résultats pour une relation à deux
variables logiques, mais elle se généralise aisément à toute
relation à n variables par une récurrence dont nous indiquons
les grandes lignes de la démonstration.
Supposons que pour toute relation à n variables, avec n ≥
2, on sache obtenir une explicitation par décomposition en
relations élémentaires, comme on l'a fait pour n = 2 : c'est
l'hypothèse de récurrence.
Considérons alors R = R( V(A1) , … , V(An+1) ) , relation
à n+1 variables, avec n ≥ 2, et montrons qu'on peut
l'expliciter.
A chacun des 3 n+1 n+1 uplets d'entrée Ej = ( a1, a2 , … ,
an+1 ), que l'on a numéroté de 1 à 3 n+1 , correspond une sortie
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R(Ej) prenant valeur dans K* (ou dans K ).
Fixons les variables an à v et an+1 à v : alors on obtient
une « coupe » de la relation R que l'on notera Rvv et qui ne
dépend plus que des n –1 variables a1 , a2 , … , an–1. Rvv est
donc explicitable par décomposition en somme de 3 n–1
relations élémentaires Rvv(k), par application de l'hypothèse
de récurrence, qui correspondent chacune à l'un des n –1
uplets Ek =( a1 , a2 , … , an–1 ) que l'on a numéroté de 1 à
3 n–1 : on a donc Rvv = Rvv(1) + Rvv(2) + … + Rvv( 3 n–1 ) qui
est une explicitation de Rvv. On value de même Rvi, Rvf,
Riv, Rii, Rif, Rfv, Rfi et Rff.
R( Ek , v , v ) = Rvv(k) est une relation élémentaire. De
même pour R( Ek , v , i ) , R ( Ek , v , f ) , etc. On obtient
ainsi 9 × 3 n–1 = 3 n+1 relations élémentaires correspondant
chacune à l'un des n+1 uplets d'entrée ( a1 , a2 , … , an ) et
qui forment donc une décomposition de R en relations
élémentaires. Une explicitation de R est donc :
R = R'1 + R'2 + … + R'n–1 avec R'k = Rvv(k) +
Rvi(k) + Riv(k) + … + Rff'(k)
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En résumé, toute relation logique s'exprimant par une table
de vérité à n dimensions et qui est partout non nulle est
explicitable, c'est-à-dire exprimable à partir des valeurs de
vérité des affirmations qui la composent prises comme
variables, des OLE et des valeurs logiques de cœur. Si elle est
paradoxale, alors c'est que tout ses états de sortie possibles
sont nuls, donc qu'elle est équivalente à la relation triviale
nulle K(Φ), que nous appellerons « relation
d’imprévisibilité totale », ce qui veut dire qu'elle ne prend
aucun des états logiques prédéfinis pour toute valeur de son
n-uplet d'entrée. Si cette relation est modélisée par un
système physique, cela revient encore à dire que celui-ci est
complètement imprévisible : pour la logique I, la
paradoxalité est donc remplacée par la notion
d'imprésivibilité totale.
D'autre part, toujours pour la logique I, tout système fini
de relations logiques dont le nombre des variables est fini est
explicitable pourvu qu'il ne s'annule jamais, même s'il est en
tout ou partie auto-référent, et se révèle donc prévisible.
Évidemment, nous avons vu qu'un tel système peut ne pas
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être déterministe, ce qui veut dire qu'ayant fixé l'état de toutes
ses variables d'entrées à v, i ou f, de manière indépendante,
son état de sortie n'est pas toujours l'un des états certains v, i
ou f. Le système peut donc être en même temps
complètement prévisible, tout en étant en tout ou partie
incertain. Pour notre logique I, les notions
d'imprévisibilité et d'incertitude sont distinctes , alors
qu'elles sont confondues pour la logique habituelle H.
Notons encore que si une relation logique « u »
partiellement prévisible, c'est-à-dire répondant par la valeur
logique nulle à certains n-uplets d'entrée mais pas tous,
pouvait être explicitée de la manière que nous avons vue,
alors, on serait capable d'expliciter K(Φ) d'une manière non
triviale, c'est-à-dire d'exhiber une relation non triviale
imprévisible, donc « paradoxale » pour la logique I. Par
exemple, si on a la table suivante :
A u B v i f
v v v Φ
i v v Φ
f v v Φ
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On peut alors écrire K(Φ) = A u B + A u $B + A u $$B.
C'est juste un peit peu plus compliqué lorsque l'on a qu'une
seule case nulle dans le tableau et que celui-ci est à n
dimensions, mais le principe reste le même. On peut donc
énoncer :
S'il existe des relations logiques explicitables qui ne
sont que partiellement prévisibles, alors il existe des
relations logiques totalement imprévisibles que l'on peut
expliciter de manière non triviale, et l'on peut donc ainsi
exhiber des paradoxes logiques pour la logique I qu'elle
ne sait pas solutionner avec les 7 valeurs de vérité non
nulles de K*.
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Le paradoxe du barbu et les états logiques flous
Le paradoxe sorite du barbu se présente de la manière
suivante : « Si j'enlève un poil de barbe a un barbu X, il reste
barbu, si j'en enlève un deuxième, c'est idem, mais si je finis
par lui enlever le dernier poil, il est glabre ».
Le premier des paradoxes sorites est le paradoxe du tas
(sorite est un adjectif dérivé de sõros qui en grec ancien
signifie « tas »). Il fut formulé au IVe siècle av. J.-C. par
Eubulide, qui fut dirigeant de l'École mégarique. Il tend à
démontrer l'impossibilité qu'il y a à constituer un tas par
l'accumulation de grains. C'est « l'inverse » du paradoxe du
barbu. On part d'un grain de sable, qui n'est assurément pas
un « tas » de sable, et on lui ajoute un grain de sable, sans
pour autant obtenir un tas, et ainsi de suite, et pourtant, en
renouvelant l'opération, on finit néanmoins par obtenir ce
qu'on peut effectivement appeler un tas de sable. Mais
revenons à notre barbu :
Soit dmax la densité de poil maximale de l'individu X, et d
sa densité effective : on forme alors le rapport r = d / dmax,
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qui est compris entre 0 et 1. On appellera r l'indice de
barbosité de X. On comprend bien que lorsque r est proche de
1, l'individu peut être considéré comme barbu, et quand r est
proche de 0, qu'il est glabre. Quand r est proche de 1 / 2 on
dira que l'individu est « glabu ». On peut donc poser B = « X
est barbu » et :
• r ≥ 1 – a V(B) = v X est barbu
• a < r < 1 – a V(B) = i X est glabu
• r ≤ a V(B) = f X est glabre
Il s'ensuit :
• V(B) = – f r > a X est non-glabre
• V(B) = – i r > 1 – a ou r < a
X est non-glabu
• V(B) = – v r < 1 – a
X est non-barbu
• V(B) = T 0 ≤ r ≤ 1
quelconque
X est de barbosité
• V(B) = Φ X est un oiseau ou bien…
On constate alors que la logique I ne rend guère mieux
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compte de ce paradoxe que la logique H, puisqu'il existe cette
fois encore deux discontinuités d'état, entre barbu et glabu et
entre glabu et glabre. On voit aussi que multiplier les états
logiques en leur associant de nouveaux noms comme
glaglabu = mi-glabre mi-glabu et glabubu = mi-glabu mi-
barbu ne peut aboutir qu'à la confusion, puisque notre
pouvoir de discrimination entre ces différents états n'est
sûrement pas suffisant.
Le paradoxe provient de ce qu'il y a discontinuité de l'état
logique rendant compte de la situation, pour r proche de a ou
1 – a , alors que l'indice de barbosité est lui continu : la
logique I, tout comme la logique H, est une logique discrète.
On dira aussi que la barbosité est un « état mou » , et que la
logique I ne rend pas compte de manière complètement
satisfaisante des états mous, même si elle le fait mieux que la
logique H.
Une solution existe alors, qui consiste à prendre l'indice r
lui-même pour valeur de vérité de l'affirmation A. C'est
l'objet de ce qu'on appelle « logique floue », où les variables
logiques sont cette fois des variables continues et non plus
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discrètes. La solution que nous avons envisagée avec la
logique I est une modélisation de la réalité en états logiques
discrets. Elle a ses limites, comme nous venons de le voir
avec le cas du barbu, mais elle s'avérait néanmoins pertinente
avec la situation du terrain mouillé par un arroseur et/ou la
pluie, ou bien encore le cas de la soupe, du morceau de
beurre et du temps qu'il fait.
On peut encore remarquer que nous sommes renvoyés à la
discussion de la page 30 et suivantes, au sujet de la valeur de
vérité à affecter à A = « il pleut », lorsqu'il pleuvine, qui avait
donnée lieu à trois tableaux distincts. Ici, c'est la même
chose, on peut se demander ce que vaut V(B) avec B = « X
est barbu », quand X est glabu.
Comme précédemment, deux positions sont tenables, la
première consistant à affirmer que si l'on sait que X est glabu,
on sait alors qu'il n'est pas barbu et on pose V(B) = f, la
deuxième consistant à affirmer qu'on ne sait jamais vraiment
quand X n'est que glabu et pas barbu, et on pose cette fois
V(B) = i.
En revenant au temps qu'il fait, la deuxième manière est
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un peu paradoxale, puisque cela revient à affirmer que
lorsqu'il fait franchement chaud, on sait dire qu'il fait chaud
de manière sure, qu'il ne fait pas froid de manière sûre et qu'il
fait doux de manière seulement indéterminée, alors que s'il
fait doux, les trois affirmations « il fait chaud », « il fait
doux » et « il fait froid » restent indéterminées.
Cette manière, résumée dans le troisième tableau que nous
avions vu, découle en fait de la relation d'égalité entre valeurs
logiques =. Et les valeurs de cette relation d'égalité nous ont
été dictées par l'étude généralisée du paradoxe de la carte
retournée : on a chassé le paradoxe d'un côté, et il semble
réapparaître d'un autre !
On aurait beau jeu de minimiser le problème en le noyant
dans de grandes phrases : en fait, on peut constater que le
paradoxe de la carte retournée est lié à celui du barbu, via la
relation d'égalité. Ce qui est frappant dans ce phénomène,
c'est que dans le cas du paradoxe du barbu, on est dans des
états flous continus, où la discontinuité introduite par les
mots du langage pose problème, alors qu'avec la carte
retournée, la situation est atomique et discontinue par nature,
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mais que le même formalisme permet de les envisager toutes
deux.
Cela rappelle vaguement la double nature corpusculaire et
ondulatoire de la lumière, où le paradoxe sorite proviendrait
de l'aspect « corpusculaire » discontinu de la réalité, et celui
de la carte, de sa nature « ondulatoire » continue. L’auto-
référence des deux faces de la carte dit leur proximité et fait
ainsi penser à l'expérience des fentes de Young, et à
l'interférence des faisceaux lumineux : les deux côtés de la
carte interfèrent, car ils sont auto-référents !
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Ensembles mous et distance
Du flou au mou, il n'y a qu'un pas. Considérons un
ensemble U*, comme « univers », qu'on appellera aussi
« population » si les éléments X de U* sont des humains ou
des animaux, et deux affirmations « génériques » A(X) et
B(X) concernant les éléments X pris individuellement,
comme par exemple A(X) = « X est attirant » et B(X) = « X
est barbu ». Quand on instancie X en X0, on obtient une
affirmation « particulière ». On dira que les affirmations
générales correspondantes A* = « tous les X sont attirants »
et B* = « tous les X sont barbus » sont des affirmations
« universelles ».
On suppose de plus que A comme B correspondent à des
états flous, dans le sens que l'on a défini dans le chapitre
précédent, mais que l'on sait fixer la valeur de vérité de A et
B pour tout X particulier, et qu'elle vaut toujours v, i ou f,
c'est-à-dire que les relations A et B sont certaines.
L'affirmation A crée donc une partition de la population
U* en trois ensembles Av, Ai et Af, rassemblant
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espectivement les individus qui sont attirants, moyennement
attirants et repoussants. Idem pour B.
Pour la logique H, une relation telle que A ne définit que
deux ensembles complémentaires Av et Af, par
compréhension, de telle manière que A peut être assimilée à
l'ensemble Av et Af à la relation –* A, contraire de A.
Ici, ce que nous avons appelé la négation logique de A
s'énonce « X est non-attirant » = « X est moyennement
attirant ou encore repoussant » n'est pas assimilable à Af,
puisque « l'ensemble » correspondant inclut aussi Ai. C'est le
contraire de A, –* A, qui est assimilable à Af.
On pose alors A' = « X est non-attirant », de sorte que la
relation A' correspond à la réunion de Ai et Af, relativement à
A : Ai U Af = { X e U* / V(A(X)) = i ou V(A(X)) = f } = { X
e U* / V(A'(X)) = v } et Av = { X e U* / V(A'(X)) = f }.
Alors : A'v = Ai U Af et A'f = Av.
En posant A'' = « X est non-repoussant » et A''' = « X est
attirant ou repoussant », on obtient : A''v = Ai U Av A''f = Af,
A'''v = Av U Af et A'''f = Ai.
On remarque alors que la relation A engendre les relations
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A', A'' et A''', qu'on appellera les relations « dérivées
secondes » de A, et leur négation, et que chacune de ces six
relations prise seule est équivalente à A et aux cinq autres.
C'est exactement équivalent à ce que l'on a appelé
reformulation assertive de A ! Les « dérivées premières »
de A seront quant à elles obtenues en restreignant A à Ai , Av
ou Af. Nous reviendrons sur cette notion de dérivées dans un
chapitre ultérieur.
On dira que A', A'' et A''' et leur négation sont des relations
« triviales » vis-à-vis de la logique I, dans le sens où elles ne
prennent que les valeurs v ou f partout où elles s'appliquent,
et la relation A sera dite « non-triviale », ou encore
« molle », par ce qu'elle peut prendre la valeur i.
Étant donné une relation non triviale A, celles ci engendre
trois ensembles non vides Av, Ai et Af qui donnent naissance
à trois autres ensembles non vides que l'on peut noter A (– v)
, A (– i) et A (– f), obtenus par réunion des autres deux à
deux, ainsi qu'à l'ensemble Def (A), réunion des trois. On
définit alors la « dureté » d d'un de ces sept ensembles
comme le rapport entre le nombre de ses éléments X tels que
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V(A(X)) ≠ i sur le nombre total de ses éléments. Si Card(Av)
= V , Card(Ai) = I , Card(Af) = F et Card( Def (A) ) = V +
I + F = N , on a alors :
• d ( Av ) = d ( Af ) = d ( A( – i )) = 1
• d ( Ai ) = 0
• d ( A (– v ) ) = F / ( F + I )
• d ( A (– f ) ) = V / ( V + I )
• d ( Def (A) ) = ( V + F ) / ( V + I + F ) = ( V + F ) / N
La dureté d'un de ces sept ensembles est donc comprise
entre 0 et 1. Quand elle vaut 1, l'ensemble correspondant sera
dit « dur », « tout mou » quand elle vaut 0, et « mou »
quand elle est strictement comprise entre ces deux valeurs.
Av et Af et A( – i ) sont donc durs et Ai tout mou, alors que
Def (A), A (– v ) et A( – f ) sont mous.
On appellera encore « noyau » d'un ensemble sa partie qui
est dure et « gap » sa partie toute molle, de sorte qu'un
ensemble dur est réduit à son noyau et qu'un ensemble tout
mou est réduit à son gap. Le gap de l'ensemble A, ou encore
de la relation A, c'est Ai, l'ensemble des X de U* tels que
V(A(X)) = i, c'est-à-dire l'ensemble des X pour lesquels A est
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indéterminée. Quand on réduit l'application de la relation A à
son noyau, elle y est triviale et donc toujours vraie ou fausse.
La réunion du noyau et du gap sera appelé le « support » de
la relation R, que l'on a noté Def(A).
Par extension, une relation triviale est dépourvue de gap.
Une relation A non-triviale pourra encore être dite « molle »,
comme l'ensemble A des X de U* à laquelle elle s'applique. A
la limite, une relation triviale pourrait être dite dure. Enfin,
l'ensemble vide sera considéré comme dur.
On notera bien que les notions de dureté, de gap et de
noyau n'ont de sens qu'au travers d'une relation qui leur
donne naissance, même si l'on peut effectivement à l'inverse
définir de manière artificielle une relation A en choisissant
arbitrairement trois sous-ensembles non vides disjoints de
U*, que l'on identifie à Av, Ai et Af.
Toutes ces notions ayant été précisées, on va maintenant
définir une distance D entre relations. Étant données deux
relations particulière non triviales A(X) et B(X) de la forme
vue précédemment, on va donc tâcher de mesurer l'écart qui
existe entre les ensembles A( – f ) et B( – f ).
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Pour que D soit bien une distance, au sens mathématique
du terme, elle doit vérifier trois axiomes, qui sont celui de
symétrie, celui de séparation, et l'inégalité triangulaire.
• On devra donc définir D de manière à ce que D ( A , B
) = D ( B , A ) : symétrie.
• Si pour tout X de U* on a V(A(X)) = V(B(X)), c'est
que les relations A et B sont équivalentes, et on devra
donc avoir D ( A, B ) = D ( B , A) = 0. A l'inverse, si
D ( A , B ) = 0 , les relations A et B devront être
équivalentes, ce qui sous-entend qu'on ait Ai = Bi et
Av = Bv. L'équivalence « D ( A, B) = 0 A = B »
constitue l'axiome de séparation.
• L'inégalité triangulaire (IT) s'écrit quand à elle : D ( A
, B ) ≤ D ( A , R ) + D ( R , B ) , pour trois relations
quelconques A, B et R.
Cette distance D entre relations non triviales pourra bien
sûr s'appliquer par prolongement aux relations triviales, pour
lesquelles le gap est vide. C'est ce qui va nous mettre sur la
voie d'une formule convenant pour définir D.
Partons donc de deux relations A et B triviales, telles que
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A( – f ) = Av , de cardinal Va et B( – f ) = Bv , de cardinal
Vb. Notons Vab le cardinal de l'intersection entre Av et Bv.
On pose alors : D ( A , B ) = 1 – Vab / ( Va + Vb – Vab ). D
est alors clairement symétrique.
Si A = B, on a bien alors D = 0 et réciproquement.
L'axiome de séparation est vérifié. Si A C B (inclus), on a D
= 1 – Va / Vb. Si A et B sont disjoints, D = 1.
Sur le cas particulier précédent, on remarque que D est
définie comme rapport du nombre d'éléments de U* tels que
A est fausse et B vraie ou A vraie et B fausse, sur le nombre
d’éléments tels que A ou B est non fausse, ce qui nous donne
l'idée de généraliser la formule de la manière qui suit. On
note C = A & B , de sorte que Cv est l'ensemble des éléments
de U* tels que A et B sont vraies, de cardinal Vc = Vab, et Ci
est l'ensemble des éléments de U* tels que A est vraie et B
indéterminée, ou A et B indéterminées, ou encore A
indéterminée et B vraie, de cardinal Ic = Iab. On pose alors :
D ( A , B ) = 1 – ( Vab + Iab / 2 ) / ( Va + Ia / 2 + Vb + Ib /
2 – ( Vab + Iab / 2 ) )
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L'inégalité triangulaire correspondante est bien connue des
mathématiciens et on n'en reproduit pas ici la démonstration :
(IT) est bien vérifiée, et notre application D est bien une
distance sur l'ensemble des affirmations génériques,
qu'elles soient triviales ou non-triviales.
La distance D n'est bien sûr pas la seule dont on puisse
munir cet ensemble. On aurait pu choisir : D' ( A , B ) = Va +
Ia/2 + Vb + Ib/2 – 2 × ( Vab + Iab/2 ).
D' varie entre 0 et + ∞ et D varie entre 0 et 1, ce qui fait
que D ( A , B ) peut être interprétée en terme de valeur de
vérité floue, telle qu'on l'a vue au chapitre précédent avec le
paradoxe du barbu. Formons l'affirmation C qui dit « pour
tout X de U*, V(A(X)) = V(B(X)) » : alors on peut poser
V'(C) = 1 – D ( A , B ).
Soit W une partie de U* et la relation générique le
définissant G(W) = « X est élément de W », qui est donc
triviale, puisqu'elle prend la valeur de vérité v quand X est
dans W et f quand il est dans son complémentaire C(W). Soit
encore une relation générique A quelconque. Alors, on peut
poser V'( A / W ) = 1 – D ( A ∩ W , W ) , qui sera la valeur de
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vérité de l'affirmation A, relativement à l'ensemble W. Si A
est triviale, elle représente simplement la proportion des X de
W pour lesquels la valeur de vérité V(A(X)) est vraie. Pour
W = U*, on définit V'( A ) =V' ( A / U* ).
La valeur de vérité ainsi obtenue pour les relations
génériques est une valeur de vérité floue, répétons-le, c'est-à-
dire que c'est un nombre variant entre 0 et 1, qui n'est jamais
égal à i où l'une ou l'autre des valeurs indéterminées de
seconde espèce de la logique I.
Dans un premier temps, on pourrait penser qu'on peut
assimiler la valeur V' = 1 / 2 à i, justement, mais cela n'a pas
de sens. Prenons en effet une sous-population W comportant
moitié hommes moitié femmes et moitié de barbu, ce qui
implique évidemment que tous les hommes de W portent la
barbe. Posons A = « X est une femme » et B = « X est
barbu ». On aurait alors V'(A ) = V'(B) = i , ce qui donnerait
V'(A & B ) = i , avec les règles de calcul habituelles de la
logique I. Or on constate aisément que V'( A & B ) = 0 : la
proportion de femmes barbues est nulle dans l'ensemble W.
Mais on a aussi la possibilité de considérer que
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l'affirmation universelle A sur U, correspondant à une qualité
q, à savoir « tout X de U à la qualité q » possède une valeur
de vérité que nous appellerons « complexe » , valant le triplet
( x ; y ; z ) , où x représente la proportions d'éléments X de U
pour lesquels A est vraie, y celle où elle est fausse et z, la
proportion de ceux pour laquelle elle est indéterminée. Nous
y reviendrons dans le prochain chapitre.
Pour finir, voyons maintenant une relation générique utile,
qui est la relation d'identité à un élément x0 de U*, définie
par Ix0 ( X ) = « X = x0 ». Si un ensemble W est constitué
des éléments x1, x2, … , xn , on a alors G(W) = Ix1 + Ix2 +
… + Ixn.
Soit A(X) une affirmation générique : l'affirmation
particulière A(X0) s'écrit donc A(X0) = A(X) & Ix0(X).
Autrement dit, une affirmation particulière A(X0) quelconque
peut être vue comme une affirmation générique triviale dont
le support est réduit à l'élément X0 si A(X0) est vraie ou
indéterminée, ou est vide si elle est fausse. En conséquence
de quoi notre distance D (ou D') peut aussi être appliquée aux
affirmations particulières. Exemple : Si A = « Jean est un
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homme » et B = « Jean est beau », on a D ( A , B ) = 0 si V(A
& B) =v, D ( A , B ) = 1 / 2 si V(A & B) = i,et D ( A , B ) = 1
sinon.
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Le modèle soustractif des couleurs
Imaginons une population P de « pigments » rouges,
jaunes et bleus, en proportions égales. On en choisit 3n au
hasard pour former une sous-population P'. Compte tenu de
ce que l'on sait sur le mélange des couleurs, on peut associer
la couleur X de la sous-population P' à une variable logique à
trois états, telle par exemple que le rouge soit égal à v, la
jaune à i et le bleu à f. On a alors :
• Orange = – f
• Violet = – i
• Vert = – v
• Noir = T
• Blanc = Φ
La variable X peut varier de manière continue sur cette
roue des couleurs. Soit M le point correspondant sur la roue,
et O le centre de celle-ci. Les coordonnées polaires de M
peuvent être prises égales à ( 1 , a ). On pose alors :
x = r / 3n y = j / 3n z = b / 3n
On a : x + y + z = 1
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Le point M' ( u' , w' ), tel que M' est le barycentre du
système { ( R , x ) ; ( J , y ) ; ( B , z ) } est situé dans le
triangle RJB = VIF, et possède la même phase que M.
u' = √(3)
2
Alors, on obtient a :
1
×( x−z) w ' = ×(−x+2y− z)
2
Si x ≥ z a=atan( √(3)
3
Si x ≤ z a=atan( √(3)
3
2−3 ×(x+z)
× )
x−z
2−3×(x+ z)
× )−π
x− z
On peut définir une distance entre deux points M1( u1 ,
w1 ) et M2( u2 , w2 ) par :
M1M2 = 1 / 6 × ( |Δ w| + √3 |Δ u| ) = 1 / 2 × ( | (x2 – x1) +
(z2 – z1) | + | (x2 – x1) – (z2 – z1) | ) = Max ( (x2 – x1) ; (z2
– z1) )
Les points RJB = VIF sont alors à la distance 1 les uns des
autres et le point N = T est à la distance 2 /3 des point VIF – I
– V – F, de même que des autres points intermédiaires
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correspondant aux couleurs jaune orangé, bleu clair, bleu
violet, etc.
Dans ce cas de figure, seule la disjonction a un sens
concret, physiquement réalisable, qui est celui du mélange
des couleurs, mais pas la somme ni le produit de deux
variables telles que X, même si on peut l'obtenir sur
ordinateur. Ainsi, on peut définir la couleur d'une sous
population P' obtenue comme mélange de deux sous-
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populations P1 et P2, en disant que M' est barycentre du
système { ( R , x' ) ; ( J , y' ) ; ( B , z' ) } , avec la formule :
• x' = ( r1 + r2 ) / ( n1 + n2) (= (x1 + x2) / 2 si n1 = n2)
• y' = ( j1 + j2 ) / ( n1 + n2) (= (y1 + y2) / 2 si n1 =n2)
• z' = ( b1 + b2 ) / ( n1 + n2) (= (z1 + z2) / 2 si n1 = n2)
On peut encore utiliser ce codage de couleur pour
visualiser les tables de vérité de la logique I.
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Expression analytique de la disjonction
On peut trouver une première expression analytique de la
disjonction respectant la table de vérité complète donnée
page 43 par plusieurs constructions différentes. En voici une
qui a le mérite de s'exprimer de manière uniforme sur notre
triangle espace des phases, avec P1 = ( x1 ; y1 ; z1 ), P2 =
( x2 ; y2 ; z2 ) et P0 = ( x0 ; y0 ; z0 ) = P1 ˅ P2 :
x0=
y0=
z0=
Max( xi
Mi )
Max( xi yi zi
)+Max( )+Max(
Mi Mi Mi )
Max( yi
Mi )
Max( xi yi zi
)+Max( )+Max(
Mi Mi Mi )
Max( zi
Mi )
Max( xi yi zi
)+Max( )+Max(
Mi Mi Mi )
M1 = Max( x1;y1;z1 ) et M2 = Max ( x2;y2;z2 )
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Nous appellerons ces formules les « formules grossières de
la disjonction ».
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Expression analytique de la somme et du produit
En examinant la manière dont sont construites les tables,
on s'aperçoit que les choses sont un peu plus compliquées
qu'elles en ont l'air, avec les valeurs de vérité que nous avons
appelé « complexes ». Considérons par exemple l'opération u
= – v + – v = ( i ˅ f ) + ( i ˅ f ) = ( i+ i ) ˅ ( i + f ) ˅ ( f + i ) ˅
( f + f ) = i ˅ i ˅ i ˅ f .
Formellement, quand on reprend l'exemple de la pluie et
de l'arroseur déterminant l'état d'humidité du sol, on en déduit
que quand il est faux qu'il pleuve vraiment et faux également
que l'arroseur fonctionne à plein régime, le sol est sec ou
simplement humide, soit u = – v. Mais cela se fait sans tenir
compte des proportions relatives de durée des différentes
situations.
Partant de – v = ( 0 ; 1/2 ; 1/2 ), supposons qu'on étudie la
situation sur deux jours, alors, par exemple, le jour 1 il ne
pleut pas et le jour 2 il pleuvine. Mais alors, si l'arroseur
fonctionne doucement, le sol est humide le jour 1 et idem le
jour 2, alors que si l'arroseur est arrêté, le sol est sec le jour 1
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et humide le jour 2. Au total, le sol est simplement humide les
trois quarts du temps, et sec l'autre quart, ce qui donne : u =
( 0 ; 1/4 ; 3/4 ). Autrement dit, le tableau de la somme logique
est à modifier comme suit :
+ T
T
(1/3;1/3;1/
3)
v
(1;0;0)
– f
(1/2;0;1/2)
– i
(1/2;1/2;0)
i
(0;0;1)
– v
(0;1/2;1/2)
f
(0;1;0)
(1/3;1/3;1/
3)
(5/9;1/9;1/
3)
v
(1;0;0)
– f
(1/2;0;1/2)
– i
(1/2;1/2;0)
v (2/3;0;1/3) (2/3;1/6;1/
6)
i
(0;0;1)
– v
(0;1/2;1/2)
(1/3;0;2/3) (1/3;1/6;1/
2)
f
(0;1;0)
v v v v v v v
(2/3;0;1/3) v (3/4;0;1/4) (3/4;0;1/4) – f – f – f
(2/3;1/6;1/
6)
v (3/4;0;1/4) (3/4;1/4;0) – f (1/2;1/4;1/
(1/3;0;2/3) v – f – f i i i
(1/3;1/6;1/
2)
v – f (1/2;1/4;1/
4)
4)
T
– i
i (0;1/4;3/4) – v
T v – f – i i – v f
Si M0 = M1 + M2, on trouve alors de manière immédiate
les formules suivantes, que nous appellerons « formules
fines de la somme » :
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x0 = x1 + x2 – x1×x2
y0 = y1×y2
z0 = 1 + x1×x2 – ( x1 + x2 ) – y1×y2
Avant de voir l'expression analytique du produit, il nous
faut faire un détour du côté de la relations « contraire » :
A T v – f – i i – v f Φ
–* A T f – v – i i – f v Φ
Si A = ( x ; y ; z ) , alors son contraire –* A vaut par
exemple : –* A = ( y ; x ; z )
La loi de De Morgan –* ( A & B ) = ( –* A + ( –* B ) ) ,
permet alors de trouver une expression de M0 = M1 & M2 :
x0 = x1×x2
y0 = y1 + y2 – y1×y2
z0 = 1 + y1×y2 – ( y1 + y2 ) – x1×x2
Mais alors, il convient également de modifier le tableau de
valeurs de la disjonction :
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˅ T
T
(1/3;1/3;1/
3)
v
(1;0;0)
– f
(1/2;0;1/2)
– i
(1/2;1/2;0)
i
(0;0;1)
– v
(0;1/2;1/2)
f
(0;1;0)
(1/3;1/3;1/
3)
v
(1;0;0)
T (2/3;1/6;1/
(2/3;1/6;1/
6)
(2/5;1/5;2/
5)
(2/5;2/5;1/
5)
(1/6;1/6;2/
3)
(1/5;2/5;2/
5)
(1/6;2/3;1/
6)
6)
– f
(1/2;0;1/2)
(2/5;1/5;2/
5)
– i
(1/2;1/2;0)
(2/5;2/5;1/
5)
i
(0;0;1)
(1/6;1/6;2/
3)
– v
(0;1/2;1/2)
(1/5;2/5;2/
5)
f
(0;1;0)
(1/6;2/3;1/
v (2/3;0;1/3) (2/3;1/3;0) – f T – i
(2/3;0;1/3) – f (1/2;1/4;1/
(2/3;1/3;0) (1/2;1/4;1/
4)
4)
(1/3;0;2/3) (1/4;1/4;1/
2)
– i T (1/4;1/2;1/
4)
6)
T
(1/3;2/3;0)
– f (1/3;0;2/3) T i (0;1/3;2/3) – v
T (1/4;1/4;1/
2)
(1/4;1/2;1/
4)
(0;1/3;2/3) – v (0;2/3;1/3)
– i T (1/3;2/3;0) – v (0;2/3;1/3) f
Si M0 = M1 ˅ M2 ˅ … ˅ Mn, où les Mi sont des valeurs de
K* on a cette fois-ci les formules :
x0 = ( x1 + x2 + … + xn ) / n
y0 = ( y1 + y2 + … + yn ) / n
z0 = (z1 + z2 + … + zn ) / n
Avec ces nouvelles formules, que nous appellerons « les
formules fines de la disjonction », on vérifie bien que l'on a
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ce que nous avons appelé notre loi de distributivité, ou encore
de superposition d'états :
( M1 ˅ M2 ) + M3 = ( M1 + M3 ) ˅ ( M2 + M3 )
( M1 ˅ M2 ) & M3 = ( M1 & M3 ) ˅ ( M2 & M3 )
En revanche et par exemple, M'0 = M1 ˅ M2 ˅ M3 n'est
pas égal à ( M1 ˅ M2 ) ˅ M3 ni à M1 ˅ ( M2 ˅ M3 ) , mais
il est donné par :
x'0 = ( x1 + x2 + x3 ) / 3
y'0 = ( y1 + y2 + y3 ) / 3
z'0 = (z1 + z2 + z3 ) / 3
Cela vient précisément de ce que les coordonnées x, y et z
d'un point M correspondent en fait à des fréquences calculées
dans une population. Par exemple, pour trois mois de 30
jours, x1 va représenter la fréquence des jours où il pleut le
mois 1, x2 le mois 2, et x3 le mois 3, et la fréquence pour
l'ensemble des trois mois est bien la moyenne des fréquences,
mais ne peut pas se calculer de manière associative.
On remarque tout de même que les formules que nous
avons données pour le produit et la somme sont bien
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associatives, elles :
M''0 = M1 + M2 + M3 = ( M1 + M2 ) + M3 = M1 + ( M2
+ M3 )
x''0 = x1 + x2 + x3 – ( x1×x2 + x1×x3 + x2×x3 ) +
x1×x2×x3
y''0 = y1×y2×y3
z''0 = 1 – x''0 – y''0
Enfin, notons qu'avec ces différentes formules, notre
logique I devient une logique à variables continues, sans
pourtant être une logique floue, puisque les valeurs de vérité
sont complexes, et non égales à un seul scalaire. On peut
donc utiliser celles-ci pour trouver la valeur de vérité
« complexe » de la somme et du produit de deux affirmations
universelles molles ayant même ensemble de définition.
En reprenant notre exemple de la page 128, si l'on prend
un ensemble U d'individus masculins, dont b sont barbus, et g
sont glabres, a sont attirants et r sont repoussants, les
affirmations universelles B* = « tous les X de U sont
barbus » et A* = « tous les X de U sont attirants » ont pour
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valeur de vérité complexe :
V'(A*) = ( a / u ; r / u ; 1 – (a+r) / u )
V'(B*) = ( b / u ; g / u ; 1 – (b+g) / u )
On a donc :
V'(A* + B*) = ( (a+b) / u – ab / u² ; rg / u² ; 1 – (a+b) / u +
(ab – rg) / u² )
V'(A* & B* ) = ( ab / u² ; (r+g) / u – rg / u² ; 1 – (r+g) / u +
(rg – ab) / u² )
Notons que ces formules ne donnent pas les valeurs
exactes, mais les valeurs les plus probables !
Partant des formules fines de la somme et du produit de
deux valeurs de vérité complexes, on a aussi le moyen de
trouver l'expression de A + B et A & B quand V(A) et V(B)
appartiennent à K*, c'est-à-dire comme dans les tableaux
primitivement donnés page 38. Pour cela, on calcule V'(A +
B) ou V'(A & B), et on modifie les valeurs trouvées de la
façon suivante :
• Si le résultat est dans K*, on ne change rien.
• Sinon, si aucune des composantes du résultat n'est
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nulle, on lui substitue T.
• Sinon, si x0 est nul, on substitue – v au résultat. Si y0
est nul, on lui substitue – f, et si c'est z0 qui est nul,
on lui substitue – i.
On peut alors finalement exprimer analytiquement + et &
de la façon suivante. si (x ; y ; z ) = V'(A + B) ou V'(A & B) ,
la valeur correspondante V(A + B) ou V(A & B) est (x0 ; y0 ;
z0 ) = ( f(x) ; f(y) ; f(z) ) – 4×f(x)f(y)f(z)×T , avec :
f (u)=
sign(u− 1
)× Pint(∣2u−1∣)+1
2
2
fonction partie entière et sign la fonction signe.
, où Pint désigne la
Quand u = 0 , f est nulle. Quand u =1, f vaut 1, et entre les
deux, elle vaut 1 / 2.
De ce fait, quand ni x ni y ni z ne sont nuls, f(x) , f(y) et
f(z) valent chacun 1 /2 et (x0 ; y0 ; z0 ) = T. Si x vaut 1, par
exemple, alors f(x) vaut 1 et y et z sont nuls, mais aussi f(y)
et f(z) : (x0 ; y0 ; z0 ) = v. Si x est nul et ni y ni z, alors f(y) et
f(z) valent 1 / 2 , quand f(x) vaut 0 : (x0 ; y0 ; z0 ) = – v. Etc.
On a donc bien le comportement attendu. Ce sont là « les
formules grossières de la somme et du produit », qui ne
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sont pas plus exactes que les formules fines, mais donnent
encore les valeurs les plus probables.
On veillera bien à ne pas confondre ces différentes
expressions analytiques, même si les unes et les autres sont
aussi bien valables pour les valeurs de vérité complexes,
correspondant à des affirmations génériques molles sur tout
un ensemble, soit des universelles molles, que pour les
valeurs de vérité de K* correspondant à des affirmations
particulières. Ce qui fait vraiment la différence, c'est que
les deuxièmes formules de la somme et du produit que
nous avons obtenues présentent un canevas plus grossier
que les premières, comme leur nom l'indique. Pour celles-
ci, i ˅ i ˅ v vaut i ˅ v , soit – f , alors que pour les autres, le
résultat est ( 1 / 3 ; 0 ; 2 / 3 ), par exemple.
On se souviendra également que les formules fines de la
somme et du produit fonctionnent de paire avec les formules
fines de la disjonction, et idem pour les « grossières ».
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Simplification d'une affirmation générique complexe
Nous allons définir dans ce chapitre ce que nous
entendons par affirmations génériques « simples » et
« complexes ». Partons de l'étude d'un exemple : A(X) =
A1(X) ˅ A2(X) = « le jour X de l'année N1 était un jour de
pluie, avec X e E1 » ˅ « le jour X de l'année N2 était un jour
de pluie, avec X e E2 ».
E1 = { jours de l'année N1 ou il n'a pas plu du tout ou
seulement pleuviné }
E2 = { jours de l'année N2 ou il a plu ou seulement
pleuviné }
A(X) est bien une affirmation générique et elle est définie
sur E1 U E2 , avec V(A(X)) = V(A1(X)) = – v quand X e E1,
et V(A(X)) = V(A2(X)) = – f quand X e E2.
Il semblerait donc à première vue que l'affirmation
générique A ne soit ni triviale, ni molle, puisqu'elle ne prend
pas ses valeurs dans le cœur K0 : on dira qu'une telle
affirmation générique est « complexe », alors que les
affirmations génériques triviales ou molles seront dites
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« simples ».
Examinons les choses de plus près. V(A(X)) = – v quand
X e E1 signifie que chaque jour du sous-ensemble E1 des
jours de l'année N1, il n'a pas plu du tout ou bien il a
seulement pleuviné. En revanche il n'a pas pu à la fois
pleuviner et ne pas pleuvoir du tout. Autrement dit, on peut
écrire E1 = E1(i) U E1(f) , où E1(i) désigne le sous-ensemble
des jours de E1 ou il a seulement pleuviné, et E1(f)
l'ensemble des jours où il n'a pas plu du tout, l'intersection
des deux sous-ensembles étant vide.
De la même façon, E2 = E2(i) U E2(v), et on peut affirmer
que A(X) est vraie sur E1(v), fausse sur E2(v) et indéterminée
sur E1(i) U E2(i). On obtient donc une affirmation générique
S(A(X)) molle, donc simple, qui est équivalente à
l'affirmation générique A(X) de départ, puisqu'elle a le même
ensemble de définition et que la donnée des valeurs de vérité
de S(A(X)) pour tout X permet d'obtenir celles de A(X) et
inversement. On se convaincra aisément de ce que cette
« procédure de simplification » est applicable à toute
affirmation générique complexe.
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Retour à la normalité
Dans un chapitre précédent, on a considéré des
affirmations particulières et des affirmations génériques, dont
on a constaté qu'elles étaient « équivalentes » : une
affirmation particulière peut être obtenue comme produit
logique de deux affirmations génériques, dont la relation
d'identité, et une affirmation générique peut être vue comme
une somme d'affirmations particulières. Autrement dit, les
affirmations particulières sont des cas particuliers
d'affirmations génériques.
Le domaine de définition de ces relations était une
population P0, qu'on a encore appelé univers U*, et toutes
celles-ci s'avéraient à la fois basiques et tranquilles, dans le
sens que l'on a donné à ces mots dans notre chapitre
introduisant la notion de normalité. Elles sont basiques parce
que ça ne sont pas des méta-affirmations, et tranquilles, parce
qu'elle ne sont pas auto-référentes, pour peu que l'univers U*
soit constitué d'éléments concrets, comme les hommes, les
barbus, les hiboux, etc.
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Dans ce qui va suivre, on considérera que P0 est une partie
finie de l'ensemble N des entiers naturels comportant p0
éléments. On appellera PAff( P0 ) l'ensemble des affirmations
particulières que l'on peut former sur tout ou partie des
éléments de P0 et Aff(P0) l'ensemble des affirmations
génériques. Une affirmation particulière étant un cas
particulier d'affirmation générique, on a PAff(P0) C Aff(P0).
Une affirmation A de Aff(P0) simple équivaut alors à la
donnée de trois sous-ensembles Af, Ai et Av de P0, où elle est
respectivement fausse, indéterminée et vraie, qui sont des
parties de P0. Si X appartient à P0, mais à aucun de ces
ensembles, alors V(A(X)) = Φ. Si l'affirmation A est
complexe, elle peut être simplifiée en S(A), à laquelle ce que
nous venons juste d'énoncer s'applique encore.
Pas besoin d'être grand sorcier pour constater que Aff(P0)
est alors elle même finie, de telle sorte que l'on peut
numéroter ses éléments : Aff(P0)1, … , Aff(P0)n(P0) , avec
n(P0) le nombre d'éléments de Aff(P0).
On va maintenant considérer un univers U*(P0) = Aff(P0),
et l'ensemble Aff(U*(P0)) = Aff²(P0) des affirmations que
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l'on peut faire au sujet de ses éléments, qui sont les
affirmations génériques de P0 : ce sont donc des méta-
affirmations que nous noterons avec un carré, comme A², B² ,
ce carré indiquant qu'on est bien en présence d'une méta-
affirmation.
On a vu qu'on considérait une méta-affirmation comme
normale si elle répond toujours par v ou par f, quelque soit
son argument A pris dans son domaine dé définition, et
anormale sinon. On remarquera que cette notion se confond
avec celle de trivialité, à une simplification près : une méta-
affirmation normale de Aff²(P0) est bien triviale, relativement
à Aff(P0), et quand elle est anormale, elle est molle quand
elle est simple, ou quand elle est complexe, reformulable en
une méta-affirmation molle ou triviale.
Donnons des exemples de méta-affirmations de Aff²(P0) :
A² = « une affirmation G de Aff(P0) demande au moins trois
signes alphanumériques pour être écrite ». A² est définie sur
la totalité de Aff(P0) et toujours vraie, puisque les plus petites
affirmations de Aff(P0) s'écrivent avec trois signes, comme
« X = a » , « X > a », etc. , avec a élément de P0 ( a e P0). A²
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est donc une méta-affirmation normale de Aff²(P0) (qu'on
abrégera en Aff², s'il n'y a pas de confusion possible, de
même que Aff désignera Aff(P0)).
Autres exemples :
• B² = « une affirmation générique G de Aff est
triviale »
• C² = « une affirmation générique G non-triviale de Aff
est vraie pour tout X de son support »
• D² , telle que V(D²(G)) = i si G est molle et v si G est
triviale.
B² est bien aussi définie sur la totalité de Aff² mais peut se
révéler vraie ou fausse : elle est donc normale, par
conséquent. C² est toujours fausse, donc normale elle aussi.
D² vaut v ou i, donc est anormale.
Comme une affirmation générique, une méta-affirmation
A² de Aff² est équivalente, après une éventuelle
simplification, à la donnée de son domaine de définition
Def(A²), hors duquel elle prend la valeur nulle, et des sous-
ensembles de Def(A²), notés A²(v) , A²(f) , A²(i), où elle
prend la valeur de vérité correspondante. Si A²(i) est vide,
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elle est normale, et si A²(i) est non vide, elle est anormale.
Avec cette manière particulière de définir les éléments de
Aff² comme affirmations sur les affirmations d'un ensemble
primitif P, on élimine par construction la possibilité de
produire des affirmations auto-référentes, comme celles du
menteur.
On peut alors produire des méta-affirmations du deuxième
degré, comme affirmations sur les affirmations de Aff², soit
définir un ensemble Aff 3 , etc.
On a vu que l'on pouvait numéroter les affirmations de P1
= Aff de 1 à n(P0) = p1. Une affirmations A² de P2 = Aff²
peuvent donc être définies à leur tour comme partition de ces
p1 entiers en 4 sous-ensembles : un sur lequel elle est vraie,
un autre sur lequel elle est indéterminée, un autre encore sur
lequel elle est fausse, et le complément, sur lequel elle ne
s'applique pas. Il y en a donc un nombre fini n(P1) = p2. On a
p0 < p1 < p2 … et on a ainsi une succession d'ensembles
emboîtés par inclusion P0 C P1 C P2 …
En effet, de même qu'un élément de P0 peut être assimilé
à une affirmation générique de P1, par le biais de la relation
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d'identité, une affirmation de P1 peut être assimilée à une
méta-affirmation de P2, par le même procédé. Ainsi, un
élément de Pi peut toujours être vu comme élément de Pi+1.
Afin d'avoir une numérotation cohérente, on peut
numéroter les éléments de P1 en commençant la liste par
celle qu'on a établie des éléments de P0, puis on numérote le
reste des affirmations de P1 qui ne sont pas superposables
aux éléments de P0 de p0 + 1 à p1. Pour numéroter les
affirmations de P2, on garde alors la numérotation
précédente, puis on complète de p1 + 1 à p2. Etc.
Venons-en à la réalité sensible, telle que la perçoit l'être
humain, et dont il rend compte par le langage, c'est-à-dire les
mots qui désignent les choses du monde concret, ceux qui
désignent leurs qualités, et enfin ceux qui traitent des
relations qu'on ces choses entre elles.
Pour nous, ces choses du monde concret sont
superposables aux mots ou combinaison de mots qui les
désignent et sont donc de fait en nombre fini,
indépendamment du fait qu'elles le soient « réellement ». Par
exemple, « la porte de la maison de Jean », « les chiens de
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traîneaux », « les tigres blancs », font partie de l'ensemble de
ces choses concrètes, qu'on notera CHC.
Les qualités qui s'appliquent à tout ou partie de ces choses
concrètes sont plus ou moins subjectives, elles créent ainsi
des discriminations entre elles, ou ce qui revient au même,
des choses subjectives CHS, comme « les chiens méchants »,
« la plus belle chemise de Jean ». Les mots ou combinaisons
de mots désignant ces qualités étant en nombre fini,
l'ensemble CHS est lui aussi fini.
Le langage traite encore de choses abstraites CHA, qui
n'existent pas dans la nature, comme les nombres, les lettres,
mais aussi les mots eux-mêmes qui le constituent.
Au total, si l'on exclut le domaine des mathématiques, où
l'on considère des ensembles de nombre infinis, l'ensemble
des choses CH dont traite le langage en première instance est
fini, avec CH = CHC + CHS + CHA.
On peut alors reprendre notre développement précédent en
prenant P0 = CH, et affirmer que l'ensemble AFL des
affirmations du langage, comme limite de Pn pour n tendant
vers +∞ , est certes infini, mais dénombrable.
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Évidemment, on peut encore argumenter que CHA n'est
pas véritablement fini, mais plutôt potentiellement infini,
puisque rien ne semble limiter la capacité d'invention de
l'homme, vu comme espèce intelligente. Toutefois, le nombre
d'abstractions qu'un individu donné est capable de manipuler
est limité, tout comme l'est son vocabulaire. Aussi, même en
sommant les capacités de l'ensemble des êtres humains sur un
ensemble de générations successives, on aboutit
nécessairement à un ensemble de choses abstraites CHA
concrètement fini à un instant t.
Ayant inclus les mots eux-mêmes dans la population P0 de
départ, et n'ayant pas écarté la possibilité d'en créer de
nouveaux ou de leur attribuer un ou des sens nouveaux,
l'auto-référence, qui se trouvait écartée de notre construction
précédente, refait ici son apparition. On peut en effet créer
autant de mots nouveaux qu'on veut, s'appliquant à tout ou
partie des autres mots, y compris eux-mêmes. C'est ce que
nous entendions en disant que CHA était potentiellement
infini.
Par exemple, on peut former le mot « décalettré », qui
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signifierait qu'un mot s'écrit en dix lettres en langue française
et convenir qu'un mot de plus de huit lettres est « gros » :
ainsi, « gros » n'est ni décalettré ni gros, mais « décalettré »
est gros et même décalettré. C'est de ce mécanisme que
découle le paradoxe de Grelling-Nelson, ou paradoxe du mot
hétérologique, qui n'est paradoxal que pour la logique H,
mais pas pour la logique I. Nous en reparlerons dans un
prochain chapitre.
Essayons alors de définir plus précisément ce qu'est l'auto-
référence, en regardant comment sont construites les
affirmations de P1 = Aff(P0) = Aff.
Ce que nous avons appelé « affirmation générique » est
de la forme : A(q) = « Xi possède la qualité q » , avec Xi e P0
= CH = CHC + CHS + CHA, soit Xi est une chose concrète,
subjective ou abstraite.
q est équivalent à un adjectif qualificatif, auquel,
formellement et dans le cas général, on peut associer la
relation Q et l'ensemble mou correspondant Q = Qv U Qi, de
domaine de définition Def(Q) = Qv U Qi U Qf.
Une qualité q permet donc généralement de définir un
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ensemble mou Q par compréhension.
Quand on instancie une telle relation générique avec un
élément X0 particulier de P0, nous obtenons ce que nous
avons appelé « affirmation particulière », de la forme : A0 (
X0 , q ) = « X0 possède la qualité q » = « X0 est q » = « X0 e
Q ». De cette façon, on a :
• V( A0 ( X0 , q ) ) = v X0 e Qv
• V( A0 ( X0 , q ) ) = i X0 e Qi
• V( A0 ( X0 , q ) ) = f X0 e Qf
• V( A0 ( X0 , q ) ) = Φ X0 e C(Def(Q))
( l'ensemble complémentaire de Def(Q) )
Finalement l'affirmation A(q) peut être identifiée à
l'ensemble mou Q, et à la relation d'appartenance à cet
ensemble.
On peut alors restreindre A(q) à un autre ensemble mou Q'
quelconque de P0, qui peut être défini en extension ou en
compréhension : A ( Q' , q ) = « Yi de Q' possède la qualité
q »= « Yi e Q' ∩ Q » = « Yi e Q' » & « Yi e Q ».
Quand l'ensemble mou Q' est défini en compréhension, il
correspond à une qualité q' similaire à q, et correspond à une
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affirmation générique A(q'), de sorte que la restriction de
A(q) à l'ensemble Q' est égal à la restriction de A(q') à
l'ensemble mou Q. On peut alors écrire : A ( q & q' ) = A (q)
& A (q') , correspondant à l'ensemble mou intersection de Q
et Q'.
On parlera alors du « produit de deux relations
génériques », et on dira donc que ce produit est encore une
affirmation générique. En effet, il est toujours possible de
créer un mot correspondant à la conjonction des qualités q et
q', soit une qualité q''. C'est la même chose pour la somme.
Par exemple, « être un félin » équivaut à « être un chat »
ou « être un tigre » ou « être un lion » ou … « être un
enfant » équivaut à « être un humain » et « être âgé de moins
de 18 ans ».
Ce que nous avons appelé « affirmation universelle »
s'obtient à partir du produit de deux relations génériques,
comme produit d'affirmations particulières en découlant : A*
( q' , q ) = « l'ensemble des Yi de Q' possède la qualité q » =
« Q' C Q ». Si Q = { X1 , … , Xn } et Q' = { Y1 , … , Yn' },
on a :
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A* ( q' , q ) = A1 ( Y1 , q ) & A2 ( Y2 , q ) & … & An ( Yn' , q )
A* ( q , q' ) = A'1 ( X1 , q' ) & A'2 ( X2 , q' ) & … & A'n ( Xn , q )
Attention, étant donné que les ensembles mis en jeu sont
des ensembles mous, Q' C Q et Q C Q' n'implique pas que Q
= Q', mais simplement qu'ils ont le même support : Q'v U Q'i
= Qv U Qi.
On peut aussi former ce que nous appellerons
« affirmation existentielle », obtenue comme somme
d'affirmations particulières découlant du produit de deux
affirmations génériques :
A° ( q' , q ) = « il existe au moins un Yi de Q' possédant la
qualité q » = « Q' ∩ Q ≠ Φ »
A°( q' , q ) = A1 ( Y1 , q ) + A2 ( Y2 , q ) + … + An ( Yn' , q )
On notera bien qu'une affirmation générique ne possède
pas de valeur de vérité pour la logique I, et que la valeur de
vérité d'une affirmation particulière, universelle ou
existentielle est effectivement v, i ou f.
Notons bien qu'une affirmation particulière prend toujours
effectivement l'une des valeurs v, i ou f, même si elle peut
potentiellement prendre une valeur indéterminée de seconde
espèce.
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Avec ces définitions, et compte-tenu de la possibilité de
créer de nouveaux mots ou de donner un nouveau sens à des
mots existants, on constate que le paradoxe du menteur est
bien potentiellement inclus dans la liste des affirmations de
AFL.
En effet, décidons d'appeler « menteuse » une affirmation
A particulière de P1 lorsqu'elle répond par faux, Elle sera dite
« véridique » si elle répond en revanche par vrai.
Ces deux qualités que nous venons de définir s'appliquent
aux éléments de P1, de sorte qu'il lui correspond deux
affirmations génériques de P2 relatives aux éléments de P1.
Notons M² = « l'affirmation A de P1 est menteuse » et V²
= « l'affirmation A de P1 est véridique ».
D'autre part, on a vu que l'ensemble P1 des affirmations
sur P0 est fini, donc a fortiori celui des affirmations
particulières, ce qui fait qu'on peut numéroter celles-ci, d'une
part, mais aussi créer un mot désignant chacune d'entre elle :
on obtient ainsi l'ensemble Mo des mots correspondant aux
affirmations particulières , lui-même fini.
Si Mo = { Mo1 , Mo2 , … , MoN }, on peut poser : Mo1 =
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« mot-un » , Mo2 = « mot-deux » , etc. Chacun des mots de
Mo est donc bien un mot nouveau, inexistant jusque-là dans
le langage.
On dira alors que l'un des mots de M0 est « menmenteur »
s'il correspond à une affirmation particulière de P1 elle-même
menteuse, et « vévéridique » s'il correspond à une affirmation
particulière de P1 elle-même véridique ».On note P'0 = P0 U
Mo U {« menmenteur », « vévéridique »}, qui est notre
nouvelle population initiale.
Ces deux qualités que nous venons de définir s'appliquent
aux éléments de Mo C P'0 , de sorte qu'il lui correspond deux
affirmations génériques de P1 relatives aux éléments de P'0,
soit AM = « la chose X de P'0 est menmenteuse » et AV =
« la chose X de P'0 est vévéridique ». En effet, rien n'interdit
d'étendre l'application de AM et AV aux choses de P'0 qui ne
sont pas des mots de Mo.
Ainsi, si l'on considère la chose qu'est la lune en elle-
même, sans parler du mot qui la désigne, on considérera
qu'elle est ni menmenteuse, ni vévéridiquee, puisqu'elle ne
correspond à aucune des affirmations particulières de Mo.
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Partant de là, on peut se demander ce qui se passe quand on
applique de la même manière AM au mot « menmenteur »
lui-même et AV au mot « vévéridique ».
Le mot « menmenteur » est-il menmenteur ? Le mot
« vévéridique » est-il vévéridique ? Les affirmations
correspondantes sont des affirmations particulières de P1,
obtenues en instanciant AM avec le mot menmenteur et AV
avec le mot vévéridique, soit AM(« menmenteur ») et
AV(« vévéridique ») : on peut donc leur affecter à chacune un
mot nouveau à ajouter aux mots de Mo, ou pourquoi pas les
mots « menmenteur » et « vévéridique » eux-mêmes.
Supposons alors que « menmenteur » est menmenteur,
alors l'affirmation particulière AM(« menmenteur ») est vraie,
et elle est donc « véridique ». Mais alors, puisque
« menmenteur » correspond à une affirmation particulière de
P1 « véridique », c'est qu'il est « vévéridique ». Il y a
contradiction.
Supposons maintenant que « menmenteur » n'est pas
menmenteur, alors l'affirmation particulière qu'il désigne
AM(« menmenteur ») est fausse, et elle est donc
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« menteuse ». Mais alors, puisque « menmenteur »
correspond à une affirmation particulière de P1 « menteuse »,
c'est qu'il est bien « menmenteur ». Là aussi, il y a
contradiction.
Venons-en maintenant au mot « vévéridique ». S'il est
supposé vévéridique lui-même, c'est que AV(« vévéridique »)
est vraie, etc., et il n'y a pas de contradiction. S'il est supposé
non-vévéridique, c'est qu'il est menmenteur, et il n'y a pas de
contradiction non plus.
En conclusion, on peut donc recréer la situation auto-
référente du menteur de toute pièce, même s'il n'est pas
possible de l'exprimer directement. On peut donc dire que
cette situation, paradoxale pour la logique H, est contenue
en germe dans notre modélisation de AFL, les
affirmations du langage, même si elle n'est pas
nécessairement une fatalité. Car, comme on l'a vu, il faut
déployer pas mal d'efforts pour la faire apparaître. Comme on
le savait déjà, elle est accidentelle.
Que la valeur de vérité de AM(« menmenteur ») = « le
mot « menmenteur » est menmenteur » vaille i ne nous pose
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aucun problème. En revanche, que la valeur de vérité de
AV(« vévéridique ») = « le mot « vévéridique » est
vévéridique » vaille – i en pose un, puisque c'est une
affirmation particulière de Aff(P'0) = Aff sur les choses du
monde CH' = P'0, et qu'on a modélisé Aff en supposant que
toute affirmation particulière prenait ses valeurs dans le cœur
K0 = { v, i , f }.
Cela indique simplement que l'on est tenu de faire ici un
choix : soit AV(« vévéridique ») sera pris à la valeur v, soit à
la valeur f.
Nous appellerons « incongrue » toute affirmation
particulière de Aff qui prend ses valeurs dans IK = { – f , – i ,
– v }, c'est-à-dire qui est indéterminée de seconde espèce, et
nous appellerons les valeurs logiques de IK « valeurs
logiques incongrues ».
Nous clorons enfin ce chapitre en signalant que notre
modélisation de AFL implique notre théorème sur la
normalité et l'anormalité des méta-affirmations, dont nous
rappelons l'énoncé : toute méta-affirmation G est soit
normale, soit anormale. Ce théorème, que nous étions
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primitivement parvenus à démontrer en toute généralité, est
ici vrai « par construction », ce qui revient à dire qu'il est une
conséquence de notre modélisation de AFL.
En effet, nous avons vu que tous les éléments de Aff(P0) =
P1 prenaient leurs valeurs dans K0 ; autrement dit toutes les
affirmations sur les choses du monde comme « Pierre a une
cravate » ou « il fait beau » sont triviales ou molles.
Considérons alors A² une méta-affirmation de Aff²(P0) et
envisageons les différents cas de figure qui peuvent se
présenter.
• A² est une méta-affirmation particulière et s'applique
à des éléments de P1, ensemble des choses du monde et des
affirmations basiques sur ces choses. En cela, elle est donc
« semblable » à une simple affirmation de P1 sur les choses
de P0 et répond par la valeur v, i ou f.
• A² est en fait une méta-affirmation générique A²(X)
s'appliquant aux éléments de P1, qui devient une méta-
affirmation particulière simple dès lors qu'on l'instancie avec
un élément X pris dans cet ensemble ; on est donc ramené au
cas précédent. A² correspond à une qualité QA qui la définit
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et si on instancie maintenant celle-ci avec une autre méta-
affirmation générique de P2, notée B² et correspondant à une
qualité QB, plutôt qu'avec un élément de P1, toute la question
revient à savoir si B² possède la qualité QA ou pas. Si cette
qualité QA fait référence à la propriété QB définissant B²
elle-même, on est dans une situation d'auto-référence
puisqu'alors on a : A²(B²) = « B² possède la qualité QA » =
« B² possède une qualité qui dépend de la qualité QB qui la
définit elle-même ». Si QB fait référence à QA, on est donc
dans la situation de la carte retournée, dont on a vu qu'on
savait lui attribuer la valeur de vérité v, i ou f. Si QB ne fait
pas référence à QA, on est dans une situation du type
menteur, que l'on sait là encore valuer à v, i ou f.
• Si A² s'applique à un n-uplet d'objets de P1, et qu'on
l'instancie avec un n-uplet comportant des éléments de P2
pouvant eux aussi se référer les uns aux autres, on est cette
fois dans une situation de généralisation de la carte retournée
à n faces, que l'on sait encore valuer à v, i ou f.
La dernière chose dont il reste à se convaincre, c'est que
lorsqu'on instancie une méta-affirmation de P2 en tout ou
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partie avec un ou des éléments de P2, on construit ainsi en
fait un élément de P3. P2 étant fini, P3 l'est aussi, et notre
démonstration prouve que les valeurs v, i et f suffisent à
donner une valeur de vérité à tous ses éléments. Et ainsi de
suite, de proche en proche, avec les éléments de tous les
ensembles Pn emboîtés. C'est notre deuxième démonstration
de TN, notre théorème de normalité des affirmations et méta-
affirmations.
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Le paradoxe des catalogues
C'est une version imagée du paradoxe de Russell, qui
permet de conclure qu'il n'existe pas d'ensemble de tous les
ensembles. Il se présente comme suit : dans une bibliothèque,
en général, on trouve des catalogues recensant des
publications sur un sujet, ou d'un même auteur, où d'une
même maison d'édition. Il arrive que certains de ces
catalogues se mentionnent eux-même, et d'autres non. Dans
une telle bibliothèque, un documentaliste un peu allumé
décide de dresser le catalogue exhaustif et exact des
catalogues qui ne se mentionnent pas eux-mêmes.
Quelle drôle d'idée, puisqu'alors, il peut commencer par
recenser tous les catalogues de la bibliothèque qui ne se
mentionnent pas eux-mêmes, mais quant à décider si ce
nouveau catalogue devra ou pas se mentionner lui-même, afin
d'être exhaustif, un cruel dilemme survient : s'il ne se
mentionne pas, il devrait se mentionner pour être exhaustif, et
s'il se mentionne, il devient inexact.
La conclusion est qu'un tel catalogue n'existe pas, bien sûr.
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Le documentaliste a le choix de produire un catalogue
exhaustif mais inexact, ou bien exact, mais non-exhaustif.
Pour la logique H, en appelant C un catalogue des
catalogues qui ne se mentionnent pas eux-mêmes, alors :
V(« C est exact » & « C est exhaustif ») = f.
Pour la logique I : V(« C est exact » & « C est exhaustif »)
= f ou i = – v.
Ainsi, la logique I rend compte du fait que C peut se
« rapprocher » d'un catalogue à la fois exact et exhaustif, sans
jamais posséder les deux qualités à la fois, quand la logique
H renseigne simplement sur le fait que ces deux qualités sont
incompatibles. C'est en effet là qu'est le sens de la valeur i qui
s'ajoute comme alternative à la valeur f. Ainsi, la logique I dit
un peu plus que la logique H sur la situation.
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Le paradoxe de Grelling-Nelson et la notion de contexte
Dans ce chapitre, nous allons mettre en évidence la notion
de contexte, relativement auquel les qualités correspondant
aux affirmations génériques s'appliquent ou pas aux éléments
d'une population.
Il est des adjectifs qui peuvent s'appliquer à eux-mêmes,
comme « court », qui s'écrit effectivement avec peu de
lettres : on les qualifiera d'autologiques. En utilisant
différents procédés d'écriture, on peut placer sur une page
différents adjectifs qui se décrivent eux-mêmes, dans le
contexte donné, comme « gras » si on a utilisé le corps gras
d'une police pour l'écrire, « bleu » si on a utilisé de l'encre
bleue, « manuscrit », si on a écrit ce mot à la main. Si
l'adjectif, tel qu'il est écrit sur la page ne s'applique pas à lui
même, on dira qu'il est hétérologique, comme l’adjectif
« monosyllabique », par exemple.
La question qui se pose est de savoir si l'adjectif
hétérologique est lui-même autologique ou hétérologique.
En effet, si on déclare que l'adjectif hétérologique est
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hétérologique, il s'applique alors bien à lui-même, et partant
de là, il est aussi autologique, ce qui représente une
contradiction.
En revanche, si on le déclare autologique, il peut donc
s'appliquer à lui-même, de par la définition même
d'autologique, et dans ce cas, il serait donc également
hétérologique, d'où une nouvelle contradiction.
Au bout du compte, l'adjectif hétérologique n'est ni
hétérologique, ni autologique : c'est cela même qu'on
appelle paradoxe de Grelling-Nelson, un paradoxe
sémantique formulé en 1908 par Kurt Grelling et
Leonard Nelson.
Revenons à notre feuille de papier, sur laquelle nous
aurions inscrit :
• « manuscrit », à la main, en vert.
• « bleu », à l'encre bleue, à la machine.
• « noir », à l'encre verte, à la machine.
• « hétérologique » et « méchant », à l'encre noire, à la
machine.
Alors, « manuscrit » est bien manuscrit, alors que les
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quatre autres adjectifs sont « dactylographiés ». De même,
« bleu » est bleu, contrairement aux autres, qui sont « non-
bleus ». « noir » est « non-noir », de même que « manuscrit »
et « bleu », les autres étant effectivement noirs. Enfin, aucun
des adjectifs n'est « méchant ». Partant de là, dans CE
contexte, « manuscrit » et « bleu » sont autologiques, quand
« noir » et « méchant » sont hétérologiques, et
« hétérologique » de statut indéterminé vis-à-vis de la notion
que nous appellerons hétérologicité.
Parmi cet ensemble E de cinq adjectifs, il y en a donc
quatre qui séparent E en deux ensembles dont l'intersection
est vide et dont la réunion vaut E, dont l'un est
éventuellement vide. Ce sont « manuscrit », « bleu », « noir »
et « méchant » : par analogie avec la notion du même nom
applicable aux affirmations, on les qualifiera de
« normaux », alors que « hétérologique sera qualifié
« d'anormal ».
Ajoutons maintenant à l'encre noire et à la machine
l'adjectif « anormal » sur notre feuille de papier, ce qui donne
maintenant un ensemble E' de six adjectifs. Alors,
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« manuscrit » reste « normal », de même que « bleu »,
« noir » et « méchant ».
Dans ce contexte, l'adjectif « anormal » est-il lui même
normal ou anormal ? Hétérologique ou autologique, ou ni l'un
ni l'autre ?
S'il est anormal, il est donc autologique, et
« hétérologique » reste bien anormal, ce qui implique que
« anormal » est bien lui-même normal, puisque chacun des
cinq autres adjectifs est soit normal, soit anormal : d'où
contradiction. « anormal » ne peut donc être anormal.
Si « anormal » est normal, alors il est hétérologique, et
« hétérologique » reste anormal, en ce qu'il ne peut toujours
pas se classifier lui-même. Il n'y a pas de contradiction.
« Anormal » est donc « hétérologique » et « normal ».
Examinons maintenant « normal », que nous ajoutons à la
feuille, dactylographié en noir. S'il est anormal,
« hétérologique » reste bien anormal, ce qui implique une
contradiction, puisqu'alors « normal » serait aussi normal.
Si « normal » est normal, il est donc autologique et
normal, sans contradiction.
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En conclusion provisoire, « anormal » est normal et
hétérologique, et « normal » est normal et autologique,
tandis que « hétérologique » est anormal.
Formons maintenant les adjectifs « délusif » et
« antidélusif », qui signifient respectivement « anormal et
hétérologique » et « normal ou autologique », et inscrivons-
les tous deux sur une nouvelle feuille de papier, en noir,
dactylographié. Ajoutons-y l'adjectif « hétérologique ».
Si « délusif » est normal, cela sous entend que tout ce qui
n'est pas délusif est antidélusif, et inversement. On peut donc
écrire l'équivalence (E) : « délusif est normal antidélusif
est normal ». Donc, si l'un des deux est anormal, l'autre l'est
aussi.
C'est bien le cas, puisque « hétérologique » n'est pas
normal, ni hétérologique, ni autologique, donc non délusif et
non antidélusif. Dans ce contexte, « délusif » et antidélusif »
sont tous deux anormaux.
Alors, « délusif » ne peut être hétérologique, sans quoi,
étant aussi anormal, il serait délusif, donc autologique, d'où
contradiction. S'il était autologique, il serait donc délusif,
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donc hétérologique : impossible. L'hétérologicité et la
délusivité de « délusif » sont donc indéterminées de première
espèce.
Si « antidélusif » est hétérologique, étant aussi anormal, il
est non antidélusif, ce qui ne soulève pas de contradiction.
S'il est autologique, il est antidélusif, ce qui ne soulève pas de
contradiction non plus. L'hétérologicité et l'antidélusivité,
équivalente à la délusivité dans ce cas précis, de
« antidélusif » sont donc indéterminées, elles aussi, mais de
deuxième espèce.
On notera bien que ces indéterminations ne sont pas
intrinsèques, mais dépendent du contexte. Si on retire
l'adjectif « hétérologique » de la feuille, et qu'on ajoute les
adjectifs « normal » et « anormal », l'anormalité de
« délusif » et « antidélusif » n'est plus une obligation logique,
et on a alors deux solutions valides :
1 - « délusif » comme « antidélusif » sont normaux, donc
« antidélusif » est normal ou autologique, donc antidélusif,
donc autologique, donc antidélusif. « délusif » est donc
antidélusif lui aussi et hétérologique.
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2 - « délusif » comme « antidélusif » sont anormaux. Si
« délusif » est anormal et s'il est hétérologique, alors il est
délusif, donc autologique, d'où contradiction. Si « délusif »
est autologique, cela signifie qu'il est délusif, donc anormal et
hétérologique, donc hétérologique, d'où contradiction :
l'hétérologicité de « délusif » est indéterminée, de première
espèce. Inversement, si « délusif » est délusif, alors il est à la
fois hétérologique et autologique, d'où contradiction. Si
« délusif » n'est pas délusif, alors, étant anormal, il ne peut
pas être hétérologique , alors qu'il l'est : la délusivité de
« délusif » est elle aussi indéterminée, de première espèce.
D'autre part, « délusif » étant anormal et son autologicité
indéterminée, sa nondélusivité est elle même indéterminée. Si
« antidélusif » est anormal, et qu'il est autologique, alors il est
antidélusif et non délusif, ce qui n'engendre pas de
contradiction. Si « antidélusif » est anormal, et qu'il est
hétérologique, il est délusif et non antidélusif, ce qui
n'engendre pas de contradiction. L'hétérologicité de
« antidélusif est indéterminée, de seconde espèce. Au total,
avec cette deuxième solution, « délusif » et « antidélusif »
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sont anormaux, de délusivité et de nondélusivité
indéterminée, d'hétérologicité indéterminée.
On aboutit donc à un nouveau « paradoxe », puisque,
dans ce contexte, « délusif », par exemple, peut aussi bien
être normal qu'anormal, sans que cela pose de
contradiction logique : dans CE nouveau contexte,
« normal » est donc maintenant anormal, donc
hétérologique, donc délusif. « anormal » ayant été défini
comme négation de « normal » est donc alors anormal lui-
même, donc autologique, donc antidélusif.
On en déduit donc que la normalité est délusive et
l'anormalité, au contraire, antidélusive, ce qui ne manque pas
de sel, quand on pense que le « délusif », c'est justement ce
qui est anormal et ne se décrit pas lui-même, alors que tout le
principe de la norme, c'est justement de s'autodécrire, pour
affirmer ce qui est juste et bien !
Cherchez l'erreur !
Le paradoxe repose en fait sur ce que, dans un premier
temps, nous avons supposé que « anormal » était écrit avant
« normal » sur la première feuille, et les conclusions
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s'ensuivent, qui sont rigoureuses, alors que dans le deuxième
cas, on a supposé les quatre mots, dont « normal » et
« anormal » écrits ensemble au préalable, avec des
conclusions toutes aussi rigoureuses.
Plus généralement, ce paradoxe n'en est pas un : il met
en évidence la notion de « contexte », soit le fait que la
valeur de vérité d'une affirmation particulière peut
dépendre de l'ensemble auquel on applique la relation
générique correspondante pour l'instancier.
Formellement, on a : V( A ( X0 , E , q ) = V ( « X0 de E
possède la qualité q » ) = fq ( X0 , E )
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Le dilemme du crocodile et l'indécision
Un crocodile s'empare d'un bébé et propose à la mère CD
= « si tu devines ce que je vais faire, je te rends le bébé, sinon
je le dévore ». Pour le sauver, la mère répond « tu vas le
dévorer ». Notons A = « la mère affirme que le crocodile va
dévorer le bébé » et B le résultat, à savoir B = « le crocodile
dévore le bébé » :
• V(A) = v la mère affirme que le crocodile
va dévorer le bébé
• V(A) = f la mère affirme que le crocodile
va libérer le bébé
• V(A) = i La mère affirme qu'elle ne sait
pas ce que va faire le crocodile
• V(B) = v le crocodile dévore le bébé
• V(B) = f le crocodile libère le bébé
• V(B) = i le crocodile ne dévore pas le bébé
mais ne le libère pas non plus
V(CD) en revanche ne peut prendre que les valeurs v ou f.
En effet, il ne peut attendre indéfiniment sans finir par
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mourir, ce qui reviendrait à libérer le « bébé » devenu grand.
La mort certaine du crocodile fixe la validation ou pas de la
promesse donnée.
La situation la plus simple, c'est quand la promesse CD du
crocodile est fausse : il fait alors ce qu'il veut et V(B) = T.
Supposons maintenant que la promesse du crocodile est
vraie :
Toujours aussi simple, c'est quand V(A) = i, car alors, la
mère n'a pas été capable de prévoir ce qu'allait faire le
crocodile, et celui-ci dévore le bébé.
Maintenant, si V(A) = f , le crocodile a alors trois choix
possibles :
• Il ne dévore pas le bébé et le rend donc à la mère.
Celle-ci avait deviné juste et le crocodile ne se
contredit pas en lui rendant le bébé.
• Il dévore le bébé. La mère n'a donc pas deviné ce qu'il
allait faire, et le crocodile ne se contredit pas non plus
en dévorant le bébé.
• Il ne dévore pas le bébé mais ne le libère pas non
plus : tant qu'il ne prend pas de décision, le crocodile
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il ?
ne contredit pas sa promesse.
On a donc V(B) = T. Si enfin V(A) = v , que se passe-t-
• Si le crocodile choisit de dévorer le bébé, la mère
avait donc bien prévu ce qu'il allait faire, et il n'a donc
pas tenu sa promesse : impossible.
• Si le crocodile choisit de ne pas dévorer le bébé et de
le libérer, alors la mère s'est trompée, et il aurait donc
du dévorer le bébé pour tenir sa promesse :
impossible.
• S'il ne dévore pas le bébé, mais ne libère pas non plus,
alors la mère s'est trompée, tant qu'il ne dévore pas le
bébé, mais il ne peut pas non plus le dévorer sans
manquer à sa promesse : la situation est en statu quo
et il respecte bien sa promesse, tant qu'il ne dévore
pas le bébé.
En conclusion, V(B) = i : c'est donc de cette manière que
la mère sauve son bébé. Résumons le fonctionnement de ce
système par une table de vérité de la relation R = A & CD =>
B :
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A & CD => B v f
v i T
i v T
f T T
Si l'on remplace le crocodile par une nation, dont le
gouvernement U affirmerait au gouvernement W d'une autre
nation « nous vous rendrons le territoire que nous avons
envahi avec notre armée si vous devinez ce que nous allons
décider de faire, sans quoi nous l'annexerons
définitivement », le dilemme du crocodile devient plus
amusant encore, parce que tant que U n'a rien décidé et quelle
que soit la réponse de W, l'indétermination se prolonge dans
le temps, et pourquoi pas au fil des générations. Pour ne pas
se contredire, le pays U se doit donc de ne prendre aucune
décision, si la réponse de W a été « vous allez annexer
définitivement notre territoire ».
Si U ne prend pas de décision, dans les faits, cela revient à
annexer le territoire de manière « provisoirement définitive »,
sans le décider vraiment, c'est-à-dire sans entériner cette
décision par un décret officiel.
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Savoureux, non ?
Dans ce cas, en revanche, l'analyse du problème est
différente, et l'on doit considérer que CD peut prendre un
troisième état i, qui est celui lié à l'attente et à l'absence de
décision, d'où le nouveau tableau de fonctionnement :
R v i f
v Φ i T
i v i T
f – i i T
Si la nation W répond astucieusement, et que U choisit de
tenir sa promesse, celle-ci est forcée de surseoir à sa décision,
ce qui correspond à V(CD) = i, auquel cas le territoire
litigieux n'est pas formellement annexé, ce qui correspond à
la situation « bébé non dévoré », dont on se rend compte
qu'elle n'est pas équivalente à « bébé libéré » : c'est l'état du
système qui correspond à la case grisée.
On constate sur cet exemple concret que notre valeur
de vérité i est capable de rendre compte des situations
d'attente et d'indécision, comme elle est capable de rendre
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compte partiellement des états flous, mais aussi des états
d'indétermination du type situation du menteur.
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Il y aura une bataille navale demain
Soit A l'affirmation « Il y aura une bataille navale
demain ». On peut envisager de prendre différentes positions
distinctes par rapport à cette affirmation.
Considérons tout d'abord que A est une affirmation
triviale, ne pouvant prendre « effectivement » que les valeurs
de vérité v ou f. Alors, V(A) = v ˅ f = – i. Autrement dit, soit
il y aura effectivement une bataille navale demain, soit il n'y
en aura pas. Le contraire de A, s'exprime en – *A = « il n'y
aura pas de bataille navale demain ». A et –* A étant
formellement équivalentes, on a évidemment V(A) = V(–* A)
= v ˅ f = – i. Si l'on suit alors les règles de calcul de la
logique I, on obtient : V( A + (–* A) ) = – i + (– i) = – i.
Évidemment, cette conclusion ne nous satisfait pas,
puisque la réponse attendue est v, car, selon les hypothèses
posées au départ, il est évident que soit « il y aura une bataille
navale demain », soit « il n'y aura pas de bataille navale
demain » : il n'y a pas d'alternative.
Cette première position est erronée bien sûr, car elle
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amène à remettre en question le principe du tiers exclus, si
utile dans les raisonnements, sans lequel on ne peut utiliser la
disjonction des cas. Sa conclusion est donc que notre logique
I ne respecterait pas ce principe, dans le cas de ce qu'on
appelle les futurs contingents, correspondant à notre situation
de départ avec cette question de bataille navale; cela la
discréditerait grandement.
En mathématiques, le principe du tiers exclu affirme en
effet que la proposition « A ou – A », où – A est la négation
de A, est vraie, pour toute proposition A. Cela signifie que
pour toute proposition , on doit accepter soit A, soit sa
négation – A.
Le principe du tiers exclu a été introduit par Aristote
comme conséquence du principe de non-contradiction, alors
que ces deux principes sont différents. Le principe de non-
contradiction stipule que pour toute proposition on ne peut
pas avoir A et – A vrais en même temps.
Pour la logique classique H, le principe du tiers exclu se
déduit du principe de non contradiction par le biais de
l'élimination de la double négation ( – (– A) ) = A ) et des
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lois de Morgan :
non-contradiction : V(A & – A) = f
V(A & – A) = f V( – (A & – A) ) = v
V( – (A & – A) ) = v V( – A + – (– A) ) = v V ( –
A + A) = v : tiers exclus
V ( – A + A) = v : tiers exclus
Si l'on s'en tient à des variables triviales, la négation de la
logique I correspond à son homologue de la logique H, et la
démonstration précédente garde sa validité. On peut d'ailleurs
aussi prendre ce que nous avons appelé le contraire, qui
coïncide également avec la négation de la logique H dans ce
cas précis.
Mais revenons à cette égalité qui pose question : V( A + (–
* A) ) = – i + (– i) = – i. On ne peut pourtant pas remettre en
cause le fait que V(A) = V(–* A) = v ˅ f = – i. Mais, comme
nous le verrons plus en détail dans un chapitre prochain, la
valeur de vérité – i représente une alternative, ce qui permet 4
combinaisons possibles pour la somme de deux variables
logiques U et W ayant cette valeur : U est fausse et W fausse,
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U est fausse et W vraie, U est vraie et W vraie, et enfin U est
vraie et W fausse. Le problème provient de ce que, dans ce
cas précis, U = A et B = –* A ne sont pas indépendantes, ce
qui interdit les combinaisons vrai-vrai et faux-faux.
Dans ce cas particulier, on doit donc conclure que V ( –* A
+ A) = V ( – A + A) = v et non – i.
On voit alors que le principe de vérifonctionnalité n'est
pas respecté, qui veut que la valeur de vérité d’un énoncé
complexe dépende exclusivement de la valeur de vérité des
énoncés qui le composent et de la façon dont ses énoncés sont
composés, et de rien d'autre.
Si l'on considère maintenant que A est une affirmation
molle extrême, pouvant prendre les valeurs de vérité v, i ou f.
On envisage alors le contraire de A, –* A, et on a V(A) = T,
V (–* A) = T et : V( A + (–* A) ) = T + T = T. Là encore,
nous n'obtenons pas le résultat escompté v.
Nous en venons donc à poser l’affirmation B telle que :
• V(B) = v « Il y a effectivement une vraie
bataille navale le lendemain » = B
• V(B) = f « Il n'y a rien qui ressemble de
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près ou de loin à une bataille navale le lendemain » =
–* B , –* B désignant l'affirmation contraire de B,
telle qu'on l'a vue page 30.
• V(B) = i « il y a quelques échauffourées le
lendemain qui peuvent faire penser à une bataille
navale, sans attendre l'ampleur d'un tel phénomène »,
affirmation intermédiaire que l'on notera iB.
En conjuguant B au futur, on obtient :
• A = « Il y aura effectivement une vraie bataille navale
le lendemain ».
• –* A = « Il n'y aura rien qui ressemble de près ou de
loin à une bataille navale le lendemain ».
• iA = « il y aura quelques échauffourées le lendemain
qui pourront faire penser à une bataille navale, sans
atteindre l'ampleur d'un tel phénomène »
Si V(B) = v, alors, c'est que A « était » vraie, donc que –*
A était fausse, et alors V( A + (–* A) ) valait v + f = v.
Si V(B) = f, alors, c'est que –* A « était » vraie, donc que –
* (–* A ) était fausse, et alors V( –* A + (–* (–* A)) ) = V( (–
* A) + A ) valait v + f = v.
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Si V(B) = i et si l'on a effectué la reformulation assertive
RA de iA, alors c'est que iA était vraie, donc que –* iA était
fausse, et si l'on n'a pas pratiqué RA, V(iA) = V(–* iA) = i.
On a donc V(i A + (–* iA) ) = v + f = v , ou bien i + i , selon
le cas.
Au total, si l'on a effectué RA, on a toujours V ( –* U +
U ) = V ( –* U ) + V( U ) = v , que U vaille A, –*A ou iA,
selon la valeur de vérité de B, autrement dit, quelque soit ce
qui se passe effectivement dans le futur., soit le lendemain ici.
On peut donc remarquer que l'affirmation initiale A
peut-être reformulée « de manière assertive » en son
contraire –*A ou son « intermédiaire » iA, de manière à
ce que l'égalité du tiers exclus soit respectée, et on pourra
énoncer que toutes les affirmations particulières de
PAff(P0) sur les choses du monde CH = P0 qui ne sont pas
incongrues respectent le principe du tiers exclus, à une
reformulation assertive près.
Qu'en est-il des affirmations incongrues, du type C =
AV(« vévéridique ») ? On a vu précédemment que V(C) = – i,
en première instance, ce qui signifie que l'on le choix à poser
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que V(C) = f ou à poser que V(C) = v, et pas que C prenne les
deux valeurs de vérité simultanément. Là encore, la
reformulation assertive de C en son contraire –* C, au besoin,
et le contraire de son contraire –* (–* C) respectent le
principe du tiers exclus. C'est la même chose pour les autres
valeurs de vérité incongrues – v et – f. On peut donc aller
plus loin, pour énoncer que : toute affirmation particulière
de PAff sur les choses du monde respecte le principe du
tiers exclus, à une reformulation assertive près.
Qu'est-ce que cela signifie, dans le fond ? Que le principe
du tiers exclus s'énonce pour la logique I de la façon
suivante : pour tout affirmation molle A extrême, soit A est
vraie, soit son intermédiaire iA, soit son contraire –* A :
V( A + iA + –* A ) = v. Le principe du tiers exclus devient
donc le « principe du quart exclus » pour la logique I !
Pour une affirmation molle intermédiaire, on a cette fois :
V( iA + –* iA ) = v ou bien i selon qu'on effectue RA ou
non.
Cela implique que, dans nos raisonnements, quand nous
procédons par disjonction des cas, nous devons envisager
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trois possibilités.
Toutefois, pour la logique H comme pour la logique I, une
affirmation telle que « il y aura une bataille navale demain »,
traitant des futurs contingents, ne peut se voir affecter de
valeur de vérité certaine, et non incongrue, autrement qu'en
faisant une hypothèse sur le futur.
L'analyse des situations de futurs contingents ne remet
donc pas en cause le fait que la logique I respecte tout comme
la logique H le principe « d'exclusion des cas » que l'on a
d'ailleurs en pratique largement utilisé dans toutes ces pages,
moyennant la procédure de reformulation assertive.
Accessoirement, on a obtenu le résultat intéressant
suivant : une affirmation portant sur le futur ne peut se voir
affecter une valeur de vérité que sous la condition d'une
hypothèse sur ce futur qui la détermine de manière univoque,
sans quoi le principe du tiers exclus que nous comptons
conserver s'en trouve remis en cause.
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Logique I et principe de non-contradiction
On a vu au chapitre précédent que le principe du tiers
exclus demandait à être reformulé en « principe du quart
exclus » pour s'adapter à la logique I. Qu'en est-il du principe
de non contradiction ?
Si A est une affirmation molle extrême vraie, son contraire
–* A est faux, et si A vaut i, –* A vaut i aussi :
A v i f
–* A f i v
A & (–* A) f i f
Là encore, il nous faut utiliser notre procédure de
reformulation assertive, pour affirmer que le principe de non-
contradiction prend la forme suivante pour la logique I : une
affirmation molle A extrême ne peut être simultanément
vraie avec son contraire et on a V( A & (–* A) ) = f. Une
intermédiaire non plus et on a V( iA & (–* iA) ) = f ou
bien i, selon qu'on a effectué ou pas la reformulation
assertive RA, cette fois.
On peut encore dire qu'en conséquence, le produit logique
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d'une affirmation, de son contraire et de son intermédiaire, si
elle existe, ne peut être vrai (ce qui ne signifie pas qu'il est
faux!) : au mieux, il est indéterminé, si l'on n'a pas effectué la
reformulation assertive.
Nous pouvons le vérifier avec les tableaux 1 et 2, où la
valeur entre parenthèses correspond à la reformulation
assertive RA :
Tableau 1 Si V(A) = V( « il pleut » ) vaut
v i f
V(A) = V( « il pleut » ) v i ( f ) f
V(iA) = V( « il pleuvine » i ( f ) i ( v ) i ( f )
V(–* A) = V( « il ne pleut pas » f i ( f ) v
V( A & iA & –* A ) f i ( f ) f
L'affirmation « il ne pleut pas », contraire de « il pleut »,
présente un tableau symétrique du tableau 1. Nous présentons
également le tableau 2, donnant V( iA' & –* iA' ), avec iA' =
« il pleuvine. Alors, V( –* iA' ) = V( « il ne pleuvine pas » ) =
V( « il pleuvine » ≠ v ) = V( « il pleuvine » = f )
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Tableau 2 Si V(iA') = V( « il pleuvine » )
vaut
Avec RA Sans RA
v i
V(iA') = V( « il pleuvine » ) v i
V(–* iA') = V( « il ne pleuvine
pas »
f i
L'intermédiaire de iA n'existe pas X X
V( iA' & –* iA' ) f i
On constate ici que iA' ne possède pas d'intermédiaire,
sans pour autant être triviale, mais que le principe de non-
contradiction, tel que nous l'avons énoncé, est bien vrai.
Dans la pratique, malgré la complication de l'énoncé du
principe de non-contradiction dans notre logique I, on peut
raisonner de la même manière que dans la logique H, en
distinguant trois cas au lieu de deux, au besoin. Exemple :
Si l'on prend A' = « il pleuvine » et B = « Jean ne va
vraiment au escargots que lorsqu'il pleut », où l'on considère
que :
• V(B) = v , quand Jean va effectivement se promener
ET ramasse des escargots.
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• V(B) = i , quand Jean va se promener mais ne ramasse
pas d'escargots.
• V(B) = f , quand Jean reste chez lui.
Alors, si V(A') = i , c'est qu'il pleut ou ne pleut pas du tout,
on en déduit que soit Jean va franchement aux escargots, soit
il reste chez lui, soit V(B) = – i.
Ça n'est pas plus compliqué que ça !
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Le mystère de la reformulation assertive
Il est peut-être bon d'insister sur ce en quoi celle-ci
consiste, et quel est son intérêt.
Lorsqu'il fait chaud, que je le sais et que le crois, si un
interlocuteur X m'affirme A = « il fait chaud », je peux me
permettre sans complexe d'affirmer qu'il dit la vérité, soit
d'attribuer la valeur de vérité v à A.
De même, si un autre interlocuteur Y m'affirme C = – *A
= « il fait froid », j'attribuerai la valeur de vérité f à C.
Si maintenant Z, un troisième interlocuteur, m'affirme B =
iA = « il fait doux », je suis confronté à un choix. Sachant que
l'affirmation de Z est intermédiaire entre A et son contraire,
l'une étant vraie et l'autre étant fausse, je peux considérer que
V(B) = i, soit la valeur intermédiaire entre le vrai et le faux.
Cela revient à considérer qu'il a moitié tort et moitié raison.
Mais j'ai un autre choix qui consiste tout bonnement à
considérer que Z se trompe, et à poser V(B) = f.
Lorsqu'il fait froid, la situation est symétrique.
Quand il fait doux, en revanche, que je le sais et que je le
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crois, si j'ai déclaré l'autre jour V(B) = i, c'est-à-dire qu'on a
moitié tort et moitié raison de dire qu'il fait doux quand il fait
chaud, il me faudra bien alors poser V(A) = i, c'est-à-dire de
considérer qu'on a à moitié tort et à moitié raison de dire qu'il
fait chaud quand il fait doux : c'est une question de logique
concrète indiscutable, semble-t-il.
Alors, de la même façon, si j'avais choisi de poser plutôt
V(B) = f, il me faudra là aussi considérer que V(A) vaut f.
Dans ce deuxième cas de figure, je n'ai pas d'autre choix
que de dire que B est vraie.
En revanche, si j'ai posé V(A) = i, il s'ensuit bien sûr V(C)
= i aussi, mais j'ai encore un choix possible au sujet de V(B).
V(B) ne peut bien sûr pas être égal à f, mais il peut être pris
égal à v ou bien i, ou bien encore à v ˅ i = – f. La dernière
solution, – f , est à éliminer, puisqu'elle correspond à une
indétermination de seconde espèce, qui représente une
alternative. Or, ici, il n'y a pas d'alternative, puisque nous
savons et croyons qu'il fait doux : il nous appartient donc de
trancher entre la solution V(B) = i et V(B) = v.
Il nous faut alors nous rappeler de ce résultat
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« paradoxal » auquel nous avait conduit l'étude de la carte
retournée, qui voulait que V(« i = i ») = i.
Alors, si je choisis V(B) = i , après avoir choisi la même
valeur quand il faisait chaud et quand il faisait froid, toute la
situation est résumée d'une manière simple par la relation
d'égalité à l'un des deux états extrêmes :
• V(A) = V( V(« il fait chaud ») = v ) = V( V(« il fait
froid ») = f )
• V(B) = V( V(« il fait chaud ») = i ) = V( V(« il fait
froid ») = i )
• V(C) = V( V(« il fait chaud ») = f ) = V( V(« il fait
froid ») = v )
Rappelons au passage son tableau racine :
U = W v i f
v v i f
i i i i
f f i v
Avec cette façon de faire, on traite dans un même
formalisme la situation de la carte retournée et tout ce qui
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tourne autour des affirmations molles.
Ce que nous avons appelé reformulation assertive
revient à faire l'autre choix, et à poser une relation
d'égalité distincte, qui n'est autre que l'égalité
« habituelle » et que nous noterons =^ , dont voici le
tableau racine :
U =^ W v i f
v v f f
i f v f
f f f v
Dans ce cas, s'il fait chaud et qu'on me dit qu'il fait doux,
ou qu'il fait doux, et qu'on me dit qu'il fait chaud, je réponds
que c'est faux.
Si l'on considère des affirmations molles universelles sur
un ensemble, en lieu et place d'affirmations molles
particulières, on manipule alors des valeurs de vérité
complexes, et l'on peut encore se permettre d'utiliser l'une ou
l'autre de ces relations d'égalité, mais aussi pourquoi pas
celle-ci, notée « =^= » :
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U =^= W v i f
v v – v f
i – v – f – v
f f – v v
Si M1 = ( x1 ; y1 ; z1 ) et M2 = ( x2 ; y2 ; z2 ) sont deux
valeurs de vérité complexes, avec M0 = V( M1 =^ M2 ), on
peut donner cette expression analytique :
x0 = 1 – Max ( |x2 – x1| + |y2 – y1| )
y0 = Max ( |x2 – x1| + |y2 – y1| )
z0 = 0
On retrouve l'expression de la distance entre points de la
roue des couleurs, vue page 140 :
x0 = 1 – M1M2
y0 = M1M2
z0 = 0
Une dernière, mais importante réflexion, avant de clore ce
chapitre : la capacité à reformuler une proposition de
manière assertive provient exactement de celle qui nous
permet de faire la distinction entre les deux états extrêmes
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d'une situation et l'état intermédiaire, qui équivaut à fixer
des seuils permettant d'effectuer des coupures entre ces
états. Bien sûr, tout ça se fait de manière cachée, non
formalisée et arbitraire.
Dans la réalité, quand on considère des situations
molles, le choix du qualificatif en rendant compte est
toujours plus ou moins sujet à caution, ce qui est bien
traduit par les valeurs paradoxales de l'égalité « = ».
Concrètement, quand on affirme qu'il pleuvine, plutôt que
de dire qu'il pleut, et inversement, il y a toujours une marge
d'erreur qui se traduit très bien par le fait qu'un tiers jugeant
de la même situation pourrait très bien faire le choix
alternatif.
On se convaincra enfin que procéder à la reformulation
assertive des propositions revient plus ou moins à effectuer
un plongement de la logique I dans la logique H, alors qu'à la
base, nous avons fait l'inverse, en construisant celle-ci
comme extension de celle-là.
Cela ne revient pas à renier l'indétermination de première
espèce, qui correspond à l'état intermédiaire dans les
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situations molles, mais à mener des raisonnements et bâtir
des résultats « certains » sur sa base, au besoin. Cela, nous
pouvons le faire grâce au principe de non-contradiction et du
quart exclus, qui demandent effectivement cette
reformulation assertive pour être valides, ou en tout cas
s'exprimer de manière franche, car tranchée, c'est-à-dire avec
une valeur de vérité triviale v ou f.
C'est exactement cette manière de raisonner que nous
adoptons dans la vie courante, où nous bâtissons des
raisonnements « durs » sur des situations souvent « molles ».
Nous y reviendrons dans un prochain chapitre, où nous
traitons de l'implication logique.
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Interprétation des valeurs de vérité de la logique I
Nous en venons maintenant à un sujet qu'il n'était pas
évident de traiter auparavant, qui est celui de l'interprétation
des valeurs logiques de la logique I.
Une affirmation particulière de PAff sur les choses du
monde sera dite « triviale » si elle répond par v ou f, c'est-à-
dire si sa valeur de vérité « effective » est v ou bien f.
Ainsi, « il pleut aujourd'hui » est une affirmation
particulière triviale si et seulement si il pleut effectivement ce
jour donné, ou bien s'il ne pleut pas du tout. Car s'il pleuvine,
« il pleut aujourd'hui » a pour valeur de vérité i , et n'est donc
pas triviale.
Les valeurs logiques v et f, que nous dirons elles aussi
« triviales », ne posent pas de problème d'interprétation
particulier, puisqu'elles sont superposables à celles de la
logique H du même nom.
Le contraire d'une affirmation triviale est une affirmation
triviale, mais pas sa négation. Venons-en donc maintenant
aux affirmations non triviales, c'est-à-dire celles qui ont une
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valeur de vérité effective égale à i ou incongrue. La valeur de
vérité i peut correspondre à deux choses distinctes :
• L'affirmation particulière dont il est question
correspond à une affirmation générique non-triviale,
donc molle, connaissant un état possible intermédiaire
entre v et f, nommément i, et prend effectivement
cette valeur. Ainsi A0 = « il pleut aujourd'hui 11 avril
2012 à 12 h 20 à Migennes, France » correspond à
l'affirmation générique molle A = « il pleut ». Comme
il pleuvine effectivement à ce moment même à cet
endroit d'où j'écris ces lignes, V(A0) = i. V(A0) n'est
effectivement égal ni à v, ni à f, mais aurait pu l'être.
On peut alors mettre A0 au passé et affirmer PA0 =
« il pleuvinait le 11 avril 2012 à 12 h 20 à Migennes,
France ». La valeur de PA0 reste i, mais elle aurait pu
être égale à v ou f.
• L'affirmation particulière correspond à une
affirmation générique qui ne peut effectivement pas
prendre la valeur v ni f quand on l'instancie de cette
manière. Ainsi AM(« menmenteur ») = AM(X0)
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correspond à l'affirmation générique AM(« le mot X
est menmenteur ») = AM(X), instanciée avec X = X0
= le mot « menmenteur ». Si l'on met AM(X0) au
passé pour obtenir PAM(X0) = « le mot
« menmenteur » était menmenteur », la valeur de
PAM(X0) reste i, mais n'aurait en aucun cas pu être
égale à v ou f.
Dans la première situation, l'indétermination valuée à i
dont il est question est « circonstancielle » et correspond à
la possibilité d'un état intermédiaire ou « mixte » entre
deux « états extrêmes » contraires, alors que dans la
deuxième, elle est « intrinsèque », et correspond à
l'impossibilité de prendre l'un des deux états extrêmes
contraires.
Quand il pleuvine aujourd'hui, on peut dire que
l'affirmation générique correspondante « il pleut » est mi-
vraie, mi-fausse, alors que « le mot « menmenteur » est
menmenteur » correspond à une affirmation générique qui ne
peut être ni vraie ni fausse dans ce cas particulier.
On peut alors se demander ce qui se passe quand on fait la
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somme ou le produit logique entre deux affirmations
particulières indéterminées, l'une l'étant de manière
circonstancielle et l'autre de manière intrinsèque.
Par exemple, posons A= PAM(X0) et B = « Jean est
obèse », où Jean est de corpulence moyenne, soit V(B) = i.
L'affirmation C = A & B est bien une affirmation particulière
s'appliquant au couple ( « menmenteur » , Jean ) = ( X0 , J ),
et les règles de calcul de la logique I nous indiquent que V(C)
= i. Mais de quel i s'agit-il ? Est-ce que C est mi-vraie, mi-
fausse ou bien ni vraie ni fausse ?
Si Jean avait été très mince, on aurait obtenu V(C) = f, et
si Jean avait été effectivement obèse, on aurait eu de nouveau
V(C ) = i. On constate donc que l'indétermination de C est
circonstancielle, puisque C aurait pu prendre une autre valeur
logique triviale, ici f. C'est la même chose si l'on forme C' =
A + B, qui peut valoir i ou v.
Il reste la disjonction i ˅ i = i , dont on a déjà affirmé page
25 qu'elle ne pouvait avoir un sens que pour des valeurs
logiques de même nature, ce qui n'est pas le cas ici. Mais
même si l'on choisit pour affirmation B une affirmation au
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sujet du mot « menmenteur » correspondant à une affirmation
générique disant par exemple qu'un mot est « obèse » s'il fait
strictement plus de dix lettres, « maigre » s'il fait moins de
cinq lettres, on constate alors que l'indétermination résultante
de la disjonction est circonstancielle, car le mot
« menmenteur » aurait pu être « obèse », si par exemple on
l'avait orthographié « menmmenteur », en doublant le m.
Cela étant, cette discussion sur la composée de deux
indéterminées de première espèce n'a été menée qu'à seule fin
d'être rigoureux dans notre raisonnement, et n'est pas d'une
importance primordiale. Ce qu'il faut retenir, ce sont les deux
situations basiques distinctes où l'indétermination de
première espèce apparaît : les situations de type « mi-mi » et
les situations de type « ni-ni ».
Venons-en maintenant aux valeurs logiques incongrues et
aux affirmations particulières qui leurs correspondent.
Les valeurs logiques incongrues, soit indéterminées de
seconde espèce – v , – i et – f , rendent en fait compte de
deux choses distinctes, quand elles apparaissent dans un
système logique :
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• Quand elle apparaissent en sortie, elles indiquent une
alternative possible dans la réponse du système à une
valeur d'entrée donnée.
• Quand elles apparaissent en entrée, elles rendent
compte d'une hypothèse sur l'entrée ou l'une de ses
composantes, traduisant une alternative dans le choix
de la valeur correspondante.
Ces valeurs traduisent une éventuelle méconnaissance, en
aucun cas une impossibilité, mais au contraire toujours une
alternative. Quand l'une des valeurs principales du tableau
racine d'une relation de type R = A × CD => B est égale à
l'une de ces indéterminées, c'est que le système n'est pas
déterministe, c'est-à-dire que l'une des composantes de son
état de sortie au moins n'est pas déterminée de manière
univoque par son état d'entrée, même si celui-ci est déterminé
de manière univoque, soit quand toutes les composantes de
celle-ci sont des valeurs de cœur de K0.
Si l'on reprend l'exemple de l'affirmation particulière
AV(« vévéridique ») = AV(Y0), qu'on a valuée à – i, cela ne
signifie pas que le mot « vévéridique » = Y0 est à la fois
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« vévéridique » et « menmenteur », mais qu'il pourrait être
aussi bien vévéridique que menmenteur, sans que cela ne
remette en cause la consistance de la logique I.
Si l'on reprend maintenant l'exemple de l'affirmation « il
pleut aujourd'hui » et qu'on sait par exemple seulement qu'il
ne pleut pas à verse, il peut alors pleuviner comme ne pas
pleuvoir du tout et V(« il pleut aujourd'hui ») = i ˅ f = – v. Là
encore, cela ne signifie pas qu'il ne pleut pas du tout et qu'il
pleuvine en même temps, mais que les deux sont possibles.
La manière dont sont formées les valeurs logiques
incongrues avec la disjonction nous indique d'ailleurs
clairement ce choix entre deux possibilités. i ˅ v = – f et i ˅ f
= – v , soit, mais la question qui se pose alors est de savoir si
le i en question dans ses disjonctions est du type mi-mi ou ni-
ni. La réponse est « mi-mi », soit un état intermédiaire. En
effet, une affirmation particulière A ne peut être par exemple
à la fois ni vraie ni fausse ou éventuellement vraie, car alors,
c'est que V(A) = v mène à une absurdité logique, ce qui
interdit la possibilité que V(A) vaille v.
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En résumé, les valeurs logiques non-triviales sont telles que :
• i est du type mi-mi ou ni-ni entre les deux valeurs
logiques triviales v et f.
• – i , est un ou-ou entre les deux valeurs logiques
triviales v et f.
• – v et – f, est un ou-ou entre une valeur i du type mi-
mi et l'une des deux valeurs logiques triviales.
Il ressort de cette analyse qu'une variable logique prenant
éventuellement la valeur de vérité i, de type ni-ni, ne peut pas
prendre les valeurs logiques incongrues – v et – f, même si
elle peut prendre les valeurs v ou f, mais peut tout de même
prendre la valeur – i ou T.
Exemple : A(X) = « le mot »X » possède la qualité X ». La
variable logique correspondante V(A(X)) peut être vraie,
pour X = « plurisyllabique » par exemple, fausse, pour X =
« monosyllabique », indéterminée de type ni-ni, pour X =
« hétérologique » ou « menmenteur », incongrue de valeur –
i, pour X = « vévéridique ».
Bien sûr, on pense alors à former B(X) =
A(« menmenteur ») ˅ A(X) , avec V(B(X)) qui vaudrait – f
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quand X = « plurisyllabique » et – v quand X =
« monosyllabique ». Le problème est que B(X) n'a en
pratique aucun sens hors du cas où X = « menmenteur ».
La relation B(X) peut en revanche effectivement être
associée à un système logique du type machine à beurre qui
le modélise, mais alors, la valeur i de type ni-ni qui était celle
de V(A(« menmenteur ») est de fait convertie en une valeur
logique i de type mi-mi pour que le système puisse répondre
à l'entrée V(A(X). De la même façon, V(A(X)) est elle-même
de fait convertie en ce que nous appellerons variable logique
molle, valant v quand V(A(X)) = v, f quand V(A(X)) = f, et i
du type mi-mi, soit une valeur intermédiaire entre v et f,
quand V(A(X)) = i, de type ni-ni.
D'où les définitions suivantes :
• On appellera « variable logique triviale » une
variable qui ne peut prendre que les valeurs logiques
triviales v ou f .
• On appellera « variable logique molle » une variable
qui peut prendre la valeur logique i, du type mi-mi.
• On appellera enfin « variable logique paradoxale »
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une variable qui peut prendre la valeur logique i, du
type ni-ni.
Une affirmation générique molle, soit non-triviale est donc
toujours associée à une variable logique molle ou paradoxale.
Une affirmation générique triviale est quant-à-elle associée à
une variable logique triviale.
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Les trois modèles de la logique I
Avec le paradoxe sorite du barbu, page 123 et suivantes,
on avait vu qu'on pouvait rendre compte de la valeur de vérité
d'une affirmation molle par une variable continue entre 0 et 1,
0 étant pris pour faux et 1 pour vrai. Alors, l'état
intermédiaire i équivaut cette fois à la valeur 1 / 2. On peut se
fixer alors deux marges d'erreur e1 et e2, ou bien encore de
tolérance, de manière à poser que :
• Si l'on sait que V(A) ≤ e1 alors A est fausse.
• Si l'on sait que V(A) ≥ 1 – e1 alors A est vraie.
• Si l'on sait que 1 / 2 – e2 ≤ V(A) ≤ 1 / 2 + e2 alors A est
indéterminée de type i mi-mi.
• Si l'on sait simplement que e1 < V(A) < 1 – e1 alors A
est indéterminée de type i ni ni.
• Si l'on sait simplement que V(A) < 1 – e1 alors A est
indéterminée de type – v.
• Si l'on sait simplement que e1 < V(A) alors A est
indéterminée de type – f.
• Si l'on sait simplement que V(A) existe entre 0 et 1, A est
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indéterminée de type T.
Avec ces définitions, si l'on veut conserver le fait que – v
= i ou f, avec i du type mi mi, il ne faut pas qu'il y ait de vide
entre la plage dévolue à i mi mi et f, ce qui impose : e1 = 1 /
2 – e2 . En conséquence la plage de valeur réservée à i mi mi
coïncide exactement avec celle dévolue à i ni ni : autrement
dit, les deux valeurs sont indiscernables, tout comme elles le
sont pour notre logique I habituelle atomique.
On peut encore vouloir affecter un point correspondant à –
f et – v, que l'on situera entre v et i d'une part, et entre i et f
d'autre part. Le premier doit donc se situer exactement à la
frontière entre v et i, et il faut alors qu'on ait : e1 = ( e1 × e1 /
2 + ( 1 – 2e1 )× 1 / 2 ) / ( 1 – e1 ). Cela implique e1 = 1 / 3 et
e2 = 1 / 6, donc que le segment [ 0 ; 1 ] soit partagé en trois
parties égales. La valeur de vérité – f, par exemple,
correspond donc à la fois à un point du segment, situé à 2 / 3,
et à une étendue qui va de 1 / 3 à 1. Cela revient ni plus ni
moins à interpréter l'opération de disjonction comme une
moyenne arithmétique entre valeurs de vérité.
Assimilées chacune à une étendue, les valeurs – f et – v
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entrent dans le cadre de la logique floue, alors qu'assimilées
aux points 1/3 et 2/3, elles entrent dans celui de la logique I
atomique. Partant de là, on peut se demander comment traiter
un cas comme celui du paradoxe du menteur avec la logique
floue. On passe donc par l'intermédiaire de la logique I pour
attribuer à M = « V(M) = f » la valeur i située au point 1 / 2
de notre segment, après quoi l'on peut affirmer que V(M) =
1 / 2 pour la logique floue.
Mais, on le sait fort bien, les affirmations de type
paradoxales forment une singularité dans l'ensemble des
affirmations du langage. Pourquoi alors ne pas rendre compte
de la situation par la figure suivante :
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V, F, I, etc, y sont des droites parallèles, dans un plan vu en
perspective. i de type mi mi, aussi bien que i du type ni ni que
T y sont rendus par la droite I. On retrouve nos inégalités
entre valeurs de vérité, vues au chapitre sur somme et produit
logique, quand on se déplace de gauche à droite,
perpendiculairement à ces droites : v ≥ – f ≥ i ≥ – v ≥ f.
Dans cette perspective, le i ni ni paradoxal n'est effectivement
qu'une vue de l'esprit, un artefact engendré par notre point de
vue particulier. Il est le point de la droite I à l'horizon. Il
existe donc sans vraiment exister, ce qui peut légitimer une
nouvelle fois V( « i = i » ) = i, qui revient à affirmer que son
existence elle-même est incertaine, indéterminée, d'un type
différent de l'existence des autres points du plan.
Partant de notre graphique, on peut encore envisager le
troisième point de vue des valeurs de vérité complexes. Cette
fois, une droite parallèle aux droites V et F et située entre
elles matérialise une valeur de vérité floue par la mesure de
son écart à F, rapporté à l'écart entre V et F. Un point M =
( x;y;z ) du triangle possède donc une valeur de vérité floue
égale à VF(M) = x / ( x+y ). Quand x et y se rapprochent tous
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deux de zéro, c'est-à-dire quand M se rapproche du point I ni
ni à l'horizon, cette valeur VF n'existe plus. Ce point à l'infini
est bien une singularité. Sinon, trois des valeurs de vérité de
la logique I correspondent à la valeur floue 1 / 2 : ce sont i, –
i et T. On peut donc aisément passer des valeurs complexes
aux valeurs floues, mais l'inverse ne peut se faire de manière
univoque.
Finalement, la logique I propose trois modèles pour rendre
compte de l'erreur et de la vérité. Le premier est le modèle
atomique à 7 valeurs de vérité, plus Φ. Compte tenu de la
manière dont elles se combinent par disjonction, il vient l'idée
de placer V, I et F au sommet d'un triangle, T au centre et les
trois derniers points au milieu des côtés. De cette manière, on
obtient un deuxième modèle, qui lui est continu, que l'on peut
doter de deux jeux de formules analytiques au moins, que
nous avons appelées formules fines et grossières, et qui
permettent d'exprimer disjonction, somme et produit de deux
valeurs de vérité complexes. On a donc à ce point le modèle
atomique MAI et le modèle complexe MCI. Grâce aux
formules grossières, les calculs de MCI coïncident avec ceux
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de MAI pour les 7 valeurs de K*. Le troisième modèle est lui
aussi continu, mais se propose de son côté de rendre compte
des valeurs de vérité de I par la logique floue : on l'appellera
Modèle flou de la logique I, MFI. C'est celui que nous venons
de voir. En revanche, quand les valeurs de vérité complexes
dépendent de deux paramètres, les valeurs floues ne
dépendent plus que d'un seul.
Pour ce dernier modèle, voilà comment on peut définir la
valeur de vérité de la somme de M1( x1;y1 ) et M2( x2;y2 ),
compte tenu de ce que y1 = 1 – x1 et y2 = 1 – x2, grâce aux
formules analytiques fines :
V( M1 + M2 ) = ( x1 + x2 – x1x2 ) / ( y1y2 + x1 + x2 –
x1x2 ) = x1 + x2 – x1x2
Avec les formules analytiques grossières, on trouve que la
valeur de vérité de cette somme ne peut valoir que 1, si M1
ou M2 sont à 1, 0 s'ils sont tous deux à 0, et 1 / 2 dans tous
les autres cas, soit le tableau racine de la somme,
évidemment.
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Affirmations dérivées d'une affirmation générique
On commencera par rappeler un résultat précédemment
acquis : toute affirmation générique de Aff est une affirmation
générique triviale ou molle, à une simplification près.
On considère alors une affirmation générique molle A,
associée à une valeur logique elle-même molle, définie sur
Def(A) = Av U Ai U Af, les trois sous-ensembles où elle
prend la valeur logique de cœur correspondante.
Les « dérivées premières » de l'affirmation générique A
sont obtenues en restreignant A à Ai , Av ou Af. d'(Ai)
désignera par exemple l'affirmation A restreinte à l'ensemble
Ai : elle y vaut alors i et est nulle en dehors de cet ensemble.
On appellera les « incongrues » de A, respectivement
définies sur ( Ai U Af ) , ( Av U Af ) et ( Ai U Av), les
relations valant – v , – i , – f, soit l'une des trois valeurs
logiques incongrues, sur chacun de ces ensembles. Les
incongrues, tout comme les dérivées premières, ont un
domaine de définition qui est un sous-ensemble de Def(A), et
sont nulles en dehors.
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Les « dérivées secondes » de A sont obtenues en
appliquant A aux partitions ( Av, Ai U Af ) , ( Ai , Av U Af ) ,
( Af , Ai U Av ). d''(Av) désignera donc l'affirmation qui
prend la valeur v sur Av et f sur Ai U Af. Le contraire –*
d'(Av) de d'(Av), égal à sa négation puisque d'(Av) est
triviale, prend alors la valeur f sur Av et v sur Ai U Af : on ne
dira pas que c'est une dérivée seconde de A. Chacune des
trois dérivées secondes de A à le même ensemble de
définition que celle-ci. Énoncer les dérivées secondes d'une
affirmation, c'est exactement procéder à sa reformulation
assertive RA.
Enfin, l'affirmation qui vaut T sur Def(A) sera appelée
« l'évidence » de A : on la notera t(A).
En général, ni les dérivées premières, ni les incongrues de
A ne permettent individuellement de reconstituer A : c'est
seulement possible avec chacune des dérivées secondes ou
l'évidence. Toutes ces relations seront néanmoins appelées
« affirmations dérivées » de A.
Si l'affirmation de départ est triviale, elle n'admet que deux
dérivées premières, et une seule dérivée seconde, qui est aussi
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son évidence, et bien sûr l'incongrue en – i.
Si l'affirmation de départ est molle, mais qu'elle est cette
fois-ci associée à une variable logique paradoxale, elle
possède encore trois dérivées premières, mais une seule
dérivée seconde, une seule incongrue, et son évidence. On
peut récapituler les résultats dans le tableau suivant :
X e Av X e Ai X e Af
d'(Av) v Φ Φ
d'(Ai) Φ i Φ
d'(Af) Φ Φ f
d'(A– v) Φ – v – v
d'(A– i) – i Φ – i
d'(A– f) – f – f Φ
d''(Av) v f f
d''(Ai) f v f
d''(Af) f f v
t(A) T T T
Ces notions nous donnent un moyen d'exprimer de
manière unifiée le principe de non-contradiction et le principe
du quart exclus, en utilisant les dérivées secondes de A,
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d''(Av), d''(Ai) et d''(Af :
Non-contradiction : V ( d''(Av) & d''(Ai) & d''(Af) ) = f
Quart exclus : V ( d''(Av) + d''(Ai) + d''(Af) ) = v
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La méconnaissance et les paradoxes de Moore et de Fitch
Pour la logique H, savoir et ne pas savoir sont des
antinomies, correspondant à la normalité supposée de
l'adjectif « connu », telle que nous l'avons définie page 62.
Ainsi, Moore a fait remarquer qu’il est contradictoire
d’affirmer simultanément : « il pleut, mais je ne crois pas
qu’il pleut ».
La contradiction provient du fait qu’en affirmant « il
pleut », un locuteur sincère sous-entend qu’il croit ce qu’il
dit ; mais en affirmant « je ne crois pas qu’il pleut », le
locuteur contredit ce à quoi il s’engage implicitement en
affirmant « il pleut ».
De la même façon, si l’on considère un énoncé comme « il
pleut et je ne sais pas qu’il pleut », on a typiquement affaire à
un énoncé qu’il semble impossible de connaître sans
contradiction. Supposons en effet qu’il pleuve, et que j’en
sois ignorant. Puis-je savoir « qu’il pleut et que je ne sais pas
qu’il pleut » ? Cela implique manifestement que je sache
qu’il pleuve, et aussi que je sache que je ne sais pas qu’il
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pleut. Mais pour savoir que je ne sais pas qu’il pleut, il faut
qu’il soit vrai que je ne sache pas qu’il pleut. Si donc il pleut
et que je ne sais pas qu’il pleut, il m’est impossible de savoir
ce fait complexe sans contradiction.
Le fait semble imparable, et pourtant, il n'est vrai que pour
la logique H et cette interprétation particulière de la situation.
Revenons à la question : puis-je savoir qu’il pleut et que je ne
sais pas qu’il pleut ? Ce la revient à savoir qu'il pleut et
savoir qu'on ne sait pas qu'il pleut.
Pour la logique I et avec une autre interprétation de la
situation, on obtient un résultat différent. En effet, que veut
dire A(L) = « moi, locuteur L, je sais qu'il pleut » = « il est
connu de L qu'il pleut » ? Appelons P l'affirmation « il
pleut », dont la valeur de vérité ne dépend que du temps qu'il
fait, et pas du locuteur L. Intéressons-nous à la valeur de
vérité de A(L) = A. On peut écrire que : V(A) = V( « V(P) =
v » ).
Ainsi, il y a maintenant trois possibilités, et non
simplement deux, et, conformément à la table de vérité de
l'égalité donnée page 16, on a :
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• V(A) = v quand V(P) = v , c'est-à-dire quand il pleut.
J'ai raison d'affirmer qu'il pleut.
• V(A) = f quand V(P) = f , c'est-à-dire quand il ne
pleut pas. J'ai raison d'affirmer qu'il ne pleut pas.
• V(A) = i quand V(P) = i , c'est-à-dire quand il
pleuvine. Dans ce cas, je ne peux pas dire que je sais
qu'il pleut, ni dire que je ne le sais pas.
Considérons l'affirmation A' = « je ne sais pas qu'il pleut »
= « je sais qu'il pleuvine ou qu'il ne pleut pas du tout ». On
peut écrire que : V(A) = V( « V(P) = i » ˅ « V(P) = f » ). Il y
a de nouveau trois possibilités :
• V(A') = i ˅ f = – v quand V(P) = v , c'est-à-dire
quand il pleut. J'ai presque tort d'affirmer qu'il
pleuvine ou qu'il ne pleut pas du tout.
• V(A) = i ˅ v = – f quand V(P) = f , c'est-à-dire quand
il ne pleut pas. J'ai presque raison d'affirmer qu'il
pleuvine ou qu'il ne pleut pas du tout.
• V(A) = i quand V(P) = i , c'est-à-dire quand il
pleuvine. J'ai mi-tort, mi raison, ou ni tort ni raison
d'affirmer qu'il pleuvine ou qu'il ne pleut pas du tout
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Intéressons-nous maintenant à A'' = « il est connu de L
qu'il ne sait pas qu'il pleut » = « il est connu de L que V( A' )
= v ». On peut écrire : V( A'' ) = V( « V( A' ) = v » ). On a
encore trois possibilités :
• V( A'' ) = – v quand V(P) = v , c'est-à-dire quand il
pleut.
• V( A'' ) = – f quand V(P) = f , c'est-à-dire quand il ne
pleut pas.
• V( A'' ) = i quand V(P) = i , c'est-à-dire quand il
pleuvine.
A'' a bien la même valeur de vérité que A' dans tous les
cas. Autrement dit, ne pas savoir qu'il pleut équivaut bien à
savoir qu'on ne sait pas qu'il pleut.
Si savoir B, « qu’il pleut et que je ne sais pas qu’il pleut »,
implique que A = « je sais qu'il pleut », d'une part, et que A''
= « je sais que je ne sais pas qu'il pleut » d'autre part, alors :
• V( A & A'' ) = v & – v = – v quand V(P) = v
• V( A & A'' ) = f & – f = f quand V(P) = f
• V( A & A'' ) = i & i = i quand V(P) = i
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On réalise alors qu'il n'y a pas forcément de contradiction
à savoir B, puisque V( A & A'') vaut – v, quand il pleut
effectivement, et que V( A & A'') vaut i quand il pleuvine, et
non f.
Bien sûr, ce faisant, on a tiré parti de ce que le principe de
non-contradiction n'est vérifié pour la logique I que
moyennant une reformulation assertive des affirmations, que
nous n'avons pas effectuée ici : ça n'est pas très honnête.
Pourtant, d'un autre côté, rien n'empêche de considérer que
l'on peut « savoir » une chose, parce qu'on nous l'a dit, par
exemple, et croire autre chose.
On en conclut donc qu'un un énoncé comme « je sais qu'il
pleut et je ne sais pas qu’il pleut » n'est faux que lorsqu'il ne
pleut pas : quand on se trompe dans ce qu'on sait, peu
importe alors ce qu'on croit ou pas. Quand il pleut ou qu'il
pleuvine, ça n'est plus le cas.
Quand il pleut, « je sais qu'il pleut » est vrai, mais « je ne
sais pas qu'il pleut », équivalent à « je pense ou je crois qu'il
ne pleut pas ou pleuvine » n'est pas faux, mais simplement
non-vrai, car il n'est en effet pas tout à fait faux de croire qu'il
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pleuvine quand il pleut.
De même, quand il pleuvine, on ne se trompe qu'à demi à
savoir qu'il pleut et on a mi-tort mi-raison de croire qu'il ne
pleuvine pas.
Dans cette interprétation de la situation et pour la
logique I, « savoir » et « ne pas savoir » une chose ne sont
donc pas contradictoires, et le « paradoxe » de Moore
n'en est pas un. Cela provient de ce qu'en définitive, ne
pas savoir une chose, c'est croire en sa négation, et n'est
pas le contraire mais la négation de savoir, et que pour
notre logique I, cela laisse une alternative, quand cette
chose correspond à un état flou.
On peut bien sûr reprendre l'analyse du problème d'une
manière bien plus radicale : si je sais qu'il pleut, alors c'est
qu'il pleut effectivement, et si je sais que je ne sais pas qu'il
pleut, alors c'est que « je ne sais pas qu'il pleut » est vrai, et
donc c'est qu'il fait pour moi un temps quelconque, dont je
n'ai pas la moindre idée. De ce point de vue, il est alors bien
absurde de prétendre à la fois « qu'il pleut » et « qu'on ne sait
pas qu'il pleut » , donc absurde de prétendre qu'on sait « qu'il
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pleut et qu'on ne sait pas qu'il pleut »!
Dans cette manière de voir les choses, « ne pas savoir A »,
c'est « n'avoir aucune idée de la valeur de V(A) », et « savoir
A », c'est « savoir que V(A) = v ». Le problème, un peu
anecdotique il est vrai, c'est qu'alors, « ne pas savoir » n'est
pas la négation de « savoir ».
La façon dont nous avons procédé respecte la négation,
elle, et si la chose dont il est question ne correspond pas à un
état flou, alors « savoir » et « ne pas savoir » sont bien
antinomiques.
Quand j'affirme que je sais que « Jean est mort et je ne sais
pas si Jean est mort », c'est que je sais que « Jean est mort »
et que je sais que « je ne sais pas que Jean est mort », donc
que « je ne sais pas que Jean est mort » est vrai. J'affirme
donc que « je sais et que je ne sais pas que Jean est mort », ce
qui revient à savoir que Jean est mort, tout en croyant qu'il est
vivant. C'est évidemment absurde au premier abord : nous
appellerons cette optique l’optique « radicale » ! En seconde
approche, approche que nous dirons « mitigée », si l'on
considère la possibilité de « savoir » une chose sur la base
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d'informations fausses, ça n'est plus absurde, mais, de deux
choses l'une :
• Je « sais » que Jean est mort et je crois le contraire, et
il est bien mort : alors je me trompais en en le croyant
vivant.
• Je « sais » que Jean est mort et je crois le contraire, et
il n'est pas mort : alors, je me trompais en le sachant
vivant.
Dans les deux cas, je ne peux donc pas savoir que « Jean
est mort et que je ne le sais pas » : c'est toujours faux. C'est
de là que l'on déduit le paradoxe de Fitch, qui affirme que
« si toute vérité est connaissable, alors elle est connue ».
Pour voir comment l'on procède, si A représente une
affirmation du type « Jean est mort », ne pouvant prendre que
les valeurs de vérité v ou f, et supposée ici vraie, posons KA
= « l'énoncé A est connu », et *KA = « l'énoncé A est
connaissable » : « * » représente donc « la possibilité de ». –
KA exprime que A n'est pas connu. Le principe selon lequel
« toute vérité est connaissable » peut se noter G et s’ écrire :
G : A => *KA.
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A correspondant à une affirmation générique triviale, si on
la suppose fausse, alors sa négation est vraie, et quand on
applique le principe G à celle-ci, on en déduit que l'on peut
savoir qu'elle est vraie, ce qui revient à pouvoir savoir que A
est fausse. G est donc applicable aussi bien aux affirmations
vraies que fausses.
Supposons alors que G soit vrai sans restriction. On peut
alors l'appliquer à l'énoncé A & – KA : c'est possible, puisque
l'on sait que cet énoncé est ou bien vrai ou bien faux, et que
G s'applique aux énoncés des deux types.
A & – KA => *K( A & – KA ) , ce qui veut dire que « si
Jean est mort et je ne le sais pas », alors, je peux savoir que
« Jean est mort et je ne le sais pas ».
Mais, comme on l'a vu ci-dessus, dans l'optique
particulière que nous avons dite radicale, où « savoir que
U » implique que U est vraie, K( A & – KA ) implique alors
une absurdité, que l'on notera Φ : il est absurde de prétendre
savoir que « Jean est mort et je ne le sais pas » : K( A & – KA
) => Φ.
On suppose alors que l'opérateur de possibilité « * »
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vérifie : si U = > W , alors *U => *W. Autrement dit si U
implique W et que U est possible, alors W est possible.
Partant de là, puisque K( A & – KA ) => Φ , on en déduit
que *K( A & – KA ) => *Φ , c'est-à dire que s'il est possible
de savoir que « Jean est mort et je ne le sais pas », alors
l'absurde lui-même est possible.
Si l'absurde est impossible, alors on en déduit que la
possibilité de savoir si « Jean est mort et je ne le sais pas » est
elle-même absurde : *K( A & – KA ) => Φ.
Mais on a vu par ailleurs que, d'après le principe G, A & –
KA => *K( A & – KA ). On en déduit donc que A & – KA
=> Φ : il est absurde ou contradictoire que Jean soit mort et
que je ne le sache pas. Comme on a supposé que Jean était
bien mort, on en déduit donc qu'on le sait forcément, ce qui
constitue la conséquence paradoxale du principe G.
On remarquera tout de suite que si « savoir que U »
n'implique plus que U est vraie, mais au contraire possède
une valeur de vérité dépendant de celle de U, c'est-à-dire
quand on se situe dans l'optique mitigée, où l'on peut croire
la chose opposée de ce que que l'on sait, le paradoxe de Fitch
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s'évanouit, car l'absurdité intervenant dans notre
développement disparaît.
Que devient le problème quand on le traite par la logique
I ? L'approche mitigée ne donne lieu à aucun paradoxe : il
nous faut donc discuter la situation depuis la position
radicale. Mais alors, en prenant A = « il pleut », KA = « je
sais qu'il pleut », – KA = « je ne sais pas qu'il pleut » = « je
crois qu'il pleuvine ou ne pleut pas », K( A & – KA ) =>
(K(A) & K( – KA )) = (KA) & (– KA ). Or, V((KA) & (–
KA )) = v & – v = – v n'est pas complètement faux.
Mais, pour pouvoir engager la discussion qui mène au
paradoxe, encore faudrait-il que A & – KA soit un énoncé
vrai ou faux, puisque le principe G ne s'applique qu'à ceux-
ci ! Or, s'il pleut, on a constaté que A & – KA est simplement
non-vrai, et pas faux, ni absurde. A étant vrai, il faudrait donc
pour cela que – KA soit faux, et pas simplement non-vrai.
Cela revient donc à poser la normalité de l'adjectif
« connu », comme nous l'avions dit au départ :
• « A est connu » = v « A n'est pas connu » = f
• « A est connu » = f « A n'est pas connu » = v
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On voit alors une manière plus « simple » de présenter le
paradoxe de Fitch. Avec A = « il pleut », supposons qu'il
pleuve et qu'on ne le sache pas : alors « A n'est pas connu »
= « je ne sais pas qu'il pleut » est une vérité particulière. Si le
principe G est une vérité universelle, alors il s'applique à
cette vérité particulière, et l'on obtient : « il est possible de
savoir que l'on ne sait pas qu'il pleut ». Cette affirmation là
n'est pas bien méchante, qui consiste simplement à affirmer
qu'on est conscient de ne pas savoir s'il pleut ou pas.
La chose se complique effectivement quand on prend pour
argument de départ l'affirmation A' = « il pleut et je ne le sais
pas ». S'il pleut effectivement et que je ne le sais pas, A' est
bien une vérité à laquelle on peut appliquer le principe G, ce
qui donne : « il m'est possible de savoir qu'il pleut et que je
ne le sais pas ».
On voit bien l'absurdité qu'il y a à prétendre une telle
chose, relativement simple, et on ne s'étonne alors pas trop de
ce qu'on puisse pousser le principe G dans ses
retranchements, jusqu'à obtenir le paradoxe de Fitch.
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On en déduit donc de manière toute pragmatique que
le principe G n'est pas applicable à toute vérité, si l'on se
situe dans l'optique « radicale » voulant que « je sais A »
implique que V(A) = v.
Dans l’optique « mitigée », la valeur de vérité de « je sais
A » dépend de V(A) elle-même, ce qui implique que ce qu'on
sait peut se révéler non-vrai, et qu'à partir de là, on est
autorisé à croire autre chose. Dans ce sens, si A est vraie et
que « je sais A », alors « je sais A » est bien vrai, mais « je ne
sais pas A » équivaut à « je crois que A n'est pas vraie », qui
est alors simplement non-vrai et pas faux, si V(A) est une
variable logique molle. Alors, « savoir A et ne pas savoir A »
équivaut à « savoir A et croire le contraire », qui n'est pas
obligatoirement une absurdité, interdisant la levée du
paradoxe de Fitch.
Avec cette seconde approche, qui s'appuie sur la
logique I et ses variables molles, le principe G, selon
lequel toute vérité est connaissable, peut être maintenu :
le paradoxe de Fitch n'existe plus.
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Le connu, le méconnu, le déconnu...
Le « cru », c'est ce que l'on croit au sujet de U,
indépendamment de ce que l'on en connaît. On peut savoir
que la terre tourne autour du soleil, et croire l'inverse. La
table de vérité de « U est crue x » = « V(U) = x » est donc la
même que celle de l'égalité :
V(U)
= x
T v – f – i i – v f Φ
T T T T T i T T Φ
v T v – f – i i – v f Φ
– f T – f – f T i – v – v Φ
– i T – i T – i i T – i Φ
i i i i i i i i Φ
– v T – v – v T i – f – f Φ
f T f – v – i i – f v Φ
Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
Ainsi, V( « V(U) = – f » ) = – f , quand V(U) = – f ,
s'exprime par le fait que l'on a presque raison de croire que U
est presque vraie, quand elle est effectivement presque vraie.
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V( « V(U) = f » ) = – f , quand V(U) = – v , s'exprime par
le fait que l'on a presque raison de croire que U est fausse
quand elle est presque fausse.
V( « V(U) = – i » ) = – i , quand V(U) = v , s'exprime par
le fait que l'on a que l'on a aussi bien tort que raison à croire
que U est ou vraie ou fausse, quand elle est vraie. Etc.
Le « connu », c'est ce que l'on sait être vrai, parce qu'on
l'a appris d'un tiers, ce qui n'empêche nullement de croire à
autre chose. C'est savoir et affirmer que la valeur de vérité
d'une affirmation U est vraie : « U est connue » = « V(U) =
v ». Voici les valeurs principales :
• V(« U est connue ») = v si V(U) = v : on a raison de
connaître U comme vraie, quand celle-ci est vraie.
• V(« U est connue ») = i si V(U) = i : on a mi-tort, mi-
raison de connaître U comme vraie quand elle est mi-
vraie, mi-fausse.
• V(« U est connue ») = f si V(U) = f : on a tort de
connaître U comme vraie, quand celle-ci est fausse.
Le « déconnu » : c'est ce que l'on sait être non-vrai.
Déconnaître une affirmation U, c'est savoir et affirmer que sa
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valeur de vérité est non-vraie, quand celle-ci peut être vraie,
fausse ou indéterminée : « U est déconnu » = « V(U) = i ˅ f »
= « V(U) = i ˅ V(U) = f ». Déconnaître, c'est la négation de
connaître : c'est connaître comme non-vrai.
• V(« U est déconnue ») = – v si V(U) = v : on a
presque tort de déconnaître U, quand celle-ci est
vraie.
• V(« U est déconnue ») = i si V(U) = i : on a mi-tort,
mi-raison de déconnaître U quand elle est mi-vraie,
mi-fausse.
• V(« U est déconnue ») = – f si V(U) = f : on a presque
raison de déconnaître U, quand celle-ci est fausse.
Déconnaître le contraire de U, c'est affirmer que U est
vraie ou indéterminée, ce qui en fait une forme affaiblie
de connaître U.
Connaître le contraire de U, c'est affirmer que U est
fausse, ce qui en fait une forme renforcée de déconnaître
U.
Le « désavoué » : désavouer U, c'est croire U déconnu
quand on le connaît, ou bien le croire connu, quand on le
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déconnaît : dans le premier cas, V(« U est désavouée ») =
V(« U est déconnue »), et dans le second, V(« U est
désavouée ») = V(« U est connue »).
On remarquera qu'on est plus proche de la vérité à
désavouer une chose quand on la déconnaît, que quand on la
connaît.
Le « non-connu » : non-connaître une affirmation U, c'est
croire que sa valeur de vérité est quelconque, soit que V(U) =
T :
• V(« U est non-connue ») = T si V(U) = v
• V(« U est non-connue ») = i si V(U) = i
• V(« U est non-connue ») = T si V(U) = f
Partant de là, on peut, à l'occasion :
• Connaître et désavouer : c'est ce qui nous a permis de
lever le paradoxe de Fitch au chapitre précédent.
• Connaître et non-connaître
• Déconnaître et désavouer
• Déconnaître et non-connaître
• Simplement croire, et connaître ou déconnaître à côté
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En revanche on ne peut pas connaître et déconnaître U tout
à la fois, puisque cela reviendrait à affirmer que l'on sait sur
U des choses contradictoires : encore faut-il respecter la
logique. Il est également absurde de supposer qu'une chose
est à la fois désavouée et non-connue d'un individu, car
désavouer et non-connaître sont deux façons de croire
contradictoires.
On ne peut donc que connaître ou déconnaître une
chose. Ce sont deux modalités du « savoir », et nous
appellerons le « su » tout ce qui est connu ou déconnu
d'une chose ou de son contraire de la part du locuteur.
Ce que « pense » le locuteur d'une chose, c'est ce qu'il
« sait » et ce qu'il « croit » sur la chose » : une chose
« pensée » peut donc être aussi bien sue que crue, voire les
deux.
On dira que le locuteur est « loyal » quand il croit la
même chose que ce qu'il « sait » On dira alors que ce qu'il
pense est « transparent ». S'il désavoue ce qu'il sait, c'est-à-
dire s'il croit exactement en la négation de ce qu'il sait, on
dira qu'il est « déloyal », et entre ses deux cas extrêmes, il
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sera dit « critique ». S'il est déloyal, on dira que ce qu'il
pense au sujet de U est « antinomique », et s'il est
simplement critique, que ce qu'il pense est « complexe ». On
a donc les équivalences suivantes :
• pensée transparente locuteur loyal
cru = su
• pensée antinomique locuteur déloyal cru =
négation de su
• pensée complexe locuteur critique
cru ≠ su & cru ≠ négation de su
On dira qu'un locuteur agit de façon « rationnelle » s'il
agit en fonction de ce qu'il sait ou de ce qu'il croit : dans le
premier cas, on dira qu'il agit de façon « rationnelle-sue », et
dans l'autre, de manière « rationnelle-crue ». S'il est
transparent, on dira simplement qu'il agit de manière
rationnelle. S'il agit selon une troisième option, on dira qu'il
agit de manière « irrationnelle ». Exemples :
• L peut savoir qu'il ne pleut pas, croire qu'il ne fait que
pleuviner, et décider de prendre son parapluie comme
s'il pleuvait : irrationnel.
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• L sait ou croit qu'il pleut et prend son parapluie :
rationnel-su ou rationnel-cru.
• L sait et croit qu'il pleut et prend son parapluie : L est
transparent et rationnel.
Une conséquence amusante de nos définitions, c'est qu'un
locuteur déloyal, qui sait une chose et la désavoue en même
temps, c'est-à-dire qui pense la chose de manière
antinomique, ne peut agir que de manière rationnelle.
Pour le locuteur déloyal déconnaîssant une réalité, agir de
manière rationnelle-crue, c'est « équivalent » à connaître cette
réalité et agir de manière rationnelle-sue. Cette
« équivalence » s'entend en terme de valeurs de vérité. Être
déloyal déconnaîssant et agir de manière rationnelle-crue
« équivaut » donc à connaître la chose et agir de manière
rationnelle-sue.
Partant de l'affirmation « V(U) = v », où U correspond à
une variable molle, on peut alors établir la liste suivante :
• V( « U est connue » ) = v
• V( « –* U est déconnue » ) = – f
• V( « U est doutée » ) = V( « –* U est doutée » ) = i
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• V( « U est déconnue » ) = – v
• V( « –* U est connue » ) = f
On s'est donc permis d'ajouter la modalité « douter » aux
quatre autres possibilités. « Douter U » revient à affirmer que
« V(U) = i », qui prend donc toujours la valeur i, quelque soit
la valeur de vérité de U.
« Dédouter U » revient alors à affirmer que « V(U) = – i »,
qui vaut – i quand V(U) = v ou que V(U) = f, et i quand V(U)
= i. D'où la table de vérité :
U v – f i – v f – i
–* U f – v i – f v – i
« U est connue » v – f i – v f – i
« –* U est déconnue » – f – v i – f – v T
« U est doutée » i i i i i i
« U est déconnue » – v – f i – v – f T
« –* U est connue » f – v i – f v – i
« U est dédoutée » – i T i T – i – i
Cette table n'est ni plus ni moins que celle de l'égalité,
dont on peut alors donner une interprétation, alors qu'elle
pouvait sembler un peu mystérieuse quand on l'a
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introduite : elle décline les différentes modalités du
« savoir », au sujet d'une réalité du monde, en fonction de
la valeur de vérité de celle-ci.
Chacune des lignes de cette table correspond à une prise
de position sur l'affirmation molle U ou son contraire, et
renvoie la valeur de vérité de cette prise de position, en
fonction de la valeur de vérité de U. On a en effet les
équivalences suivantes :
• U est connue U est tenue pour vraie
• –* U est déconnue U est tenue pour non-
fausse
• U est doutée –* U est doutée
U est tenue pour indéterminée
• U est déconnue U est tenue pour non-vraie
• –* U est connue U est tenue pour fausse
• U est dédoutée –* U est dédoutée U
est tenue pour vraie ou fausse
On constate bien sûr qu'il nous manque les situations de
connaissance correspondant aux valeurs de vérité T et Φ.
D'où la définition du « méconnu » :
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Méconnaître, c'est savoir que U prend la valeur de vérité v,
i ou f. C'est l'équivalent de non-connaître, qui est du domaine
de la croyance, dans le domaine du savoir. On a de ce fait
V( « U est méconnu » ) = V « U est non-connu » ).
Il nous reste à définir « nier » qui consiste à croire que
V(U) = Φ, et « dénier », qui consiste à le savoir. Comment
interpréter ces deux dernières modalités ?
Imaginons une machine à beurre aux parois opaques, à
l'intérieur de laquelle est censé se trouver un morceau de
beurre, et l'affirmation B = « le morceau de beurre est dur ».
Si l'on n'a aucune information sur le fonctionnement de la
machine, on est en droit de méconnaître U, c'est-à-dire de
savoir qu'il est soit dur, soit mou, soit légèrement ramolli. On
peut aussi dénier B, qui consiste à savoir qu'il n'y a aucun
morceau de beurre à l'intérieur de la machine : dans ce cas, la
valeur de vérité de U est effectivement nulle. Sans aucune
information, on peut aussi croire qu'il n'y a pas de morceau de
beurre, c'est-à-dire nier B.
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Le paradoxe de Berry et les méta-affirmations
Dans notre définition, ou énumération des choses du
monde CH, nous avons volontairement exclus l'ensemble
infini des nombres entiers, ce qui nous a permis de considérer
que CH est un ensemble fini. Partant de là, nous avons pu
démontrer que l'ensemble des affirmations basiques de
Aff(CH) est lui-même fini, puis que Aff²(CH), ensemble des
méta-affirmations est fini, et ainsi de suite avec Aff 3 … De
cette façon, nous avons pu démontrer notre théorème sur la
normalité et l'anormalité de toute affirmation de ces
différents ensembles imbriqués.
Considérons maintenant l'ensemble Aff(N) des
affirmations sur l'ensemble N des nombre entiers. Aff(N) est
infini, puisque N l'est. Soit A e Aff(N) une affirmation sur N
qui définit un nombre entier particulier n(A).
Par exemple, on peut avoir A = « le dixième nombre
premier », ou A = « le dixième multiple de cinq ».
Notons L(A) le nombre de mots que comporte
l'affirmation A, et formulons la méta-affirmation générique G
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= « L(A) ≤ 15 » = « l'affirmation A de Aff(N) comporte au
plus quinze mots ».
G est normale, puisqu'elle répond par vrai ou bien par
faux. Considérons alors les ensembles Gv et Gf, tels que Gv
regroupe les affirmations de Aff(N) pour lesquelles G est
vraie, et Gf celles pour lesquelles G est fausse : Gv et Gf sont
donc évidemment disjoints.
Considérons l'affirmation U = « le plus petit élément de
Gf ». Alors, U semble définir un nombre entier particulier,
qui serait « le plus petit entier qui n'est pas définissable en
moins de quinze mots », pourvu que Gf soit non-vide, qui est
à la fois élément de Gf mais aussi définissable en moins de
quinze mots, donc qui serait aussi élément de Gv, alors que
Gf et Gv sont disjoints : c'est le paradoxe de Berry !
Dans un premier temps, on peut se demander si Gf est
effectivement non vide, et si finalement tout entier naturel ne
serait pas définissable en moins de quinze mots. Cette
position ne semble pas tenable, car les mots sont constitués
avec des lettres d'un alphabet qui ne peut lui-même compter
qu'un nombre fini d'éléments.
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Après quoi l'on remarque simplement que U n'est pas une
affirmation de Aff(N), malgré les apparences, mais de
Aff²(N), soit une méta-affirmation, car elle dérive de la méta-
affirmation G elle-même. Or, G, et donc partant de là, Gv et
Gf ne sont définis que relativement aux affirmations basiques
de Aff, et pas pour les méta-affirmations de Aff². Voilà !
Accessoirement, si l'on restreint notre univers de départ à
un sous-ensemble M fini de N, on obtient comme corollaire
de notre analyse que tout nombre de M est définissable en au
plus quinze mots, pour peu que l'on augmente la taille de
notre alphabet de départ : le paradoxe de Berry n’apparaît
plus.
Aussi, une autre manière d'analyser la situation, c'est de
dire que même si l'on ne peut définir qu'un nombre fini
d'entiers en moins de quinze mots de longueur limitée
construits à l'aide d'un alphabet fini, n'importe quel nombre
peut pourtant faire partie de ceux-ci. Dans ce sens, le plus
petit de ceux qui ne pourraient pas l'être n'existe donc pas !
Il nous vient alors l'idée de généraliser ce paradoxe, pour
le plaisir. Notons DefOeuf(M) la définition suivante, valable
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pour tout nombre entier strictement positif M : « on appellera
« l’œuf de M » le plus petit entier non définissable en vingt
cinq mots plus deux fois le nombre de mots dénotant M au
maximum ».
DefOeuf(M) comporte 25 mots plus deux fois le nombre
de mots que l'on utilise pour dénoter M. Si M = 729 par
exemple, en définissant M par les quatre mots « sept cent
vingt neuf », DefOeuf(« sept cent vingt neuf ») comporte 25
+ 2×4 = 33 mots. Si on note que 729 se dit aussi avec les trois
mots « neuf au cube », DefOeuf(« neuf au cube ») comporte
maintenant 25 + 2×3 = 31 mots. On réalise alors bien que
l’œuf de M dépend uniquement du nombre de mots m qu'on
utilise pour dénoter M. DefOeuf(M) comporte donc 25 + 2 ×
m mots. « L’œuf de M », quant à lui, est définissable par cette
même phrase entre guillemets, qui comporte au plus m + 3
mots, et éventuellement moins. De l'inégalité 25 + 2×m > m
+ 3 , vraie pour tout m strictement positif, on déduit que pour
tout M, dénoté en m mots, m ≥ 1, l’œuf de M n'existe pas, ce
qui implique que tous les entiers sont définissables en au plus
25 + 2×m mots, donc en au plus 27 mots.
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On voit bien alors qu'en affinant notre raisonnement, on
peut faire baisser cette barrière de 27 mots, jusqu'à ce qu'à la
limite, chaque nombre entier puisse être défini par un mot
unique.
Bien sûr, cela peut sembler surprenant quand on pense que
les mots que l'on peut former sont en nombre finis, si on
limite leur longueur et la taille de l'alphabet utilisé pour les
former, mais c'est oublier que ce prodige signifie simplement
que n'importe quel nombre entier, aussi grand soit il peut être
dénoté par un mot unique, sans pour autant que l'on soit
capable de le faire de tous simultanément !
En guise de boutade finale, on conviendra d'appeler
Jacquot le plus petit des nombres qui ne peut être dénoté par
un mot unique. Alors, Jacquot ne peut dans les faits prendre
aucune valeur entière, sans quoi le mot « Jacquot » le
dénoterait, remettant en cause son statut même. Aussi,
Jacquot ne peut exister dans l'ensemble des nombres tel qu'on
l'entend habituellement. Si l'on décide d'élargir la définition
de ce que l'on entend habituellement par nombres entiers à un
ensemble plus vaste contenant un éventuel « Jacquot », c'est
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par son autre bout que la définition pêche, puisqu'on le
dénote d'une manière qui contredit précisément son existence.
Cela revient plus ou moins à ordonner à Jacquot de désobéir à
sa propre définition : s'il lui obéit, il lui désobéit, et
inversement.
On remarque alors qu'il n'existe aucune chose qui ne
puisse être dénotée par un mot unique. On appellera donc
Jacquot une telle chose, qui n'existe pas dans la réalité des
choses du monde aussi bien que dans celles du langage, et
pourtant : pourtant, le fait de la dénoter justement semblerait
lui octroyer un statut d'existence. On verra alors dans un
chapitre ultérieur appelé « la valeur logique de ce qui n'existe
pas » que la valeur de vérité de l'existence de Jacquot peut
être rendue par i, comme étant-non étant. Elle est une réalité
dans ce sens où elle est définie par une définition, qui lui
interdit pourtant justement de s'instancier, ce qui la pousse au
non-être.
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Logique I et implication
On pourra s'étonner qu'à ce point de notre ouvrage, nous
ayons défini une soi-disant logique I, que nous avons utilisée
pour traiter différents problèmes, en nous contentant
pratiquement d'évoquer ses valeurs de vérité, mais sans
jamais indiquer la manière d'y conduire des
« démonstrations », c'est-à-dire de déduire des
« résultats » à partir d'un certain nombre de
« prémisses ».
Cela provient tout simplement de ce que les différents
problèmes que nous avons abordés ne nécessitaient pas
d'employer de telles démonstrations ! Ça n'est pas forcément
gênant, dans ce sens où nous avons maintenant le choix de
définir ce qu'on appelle habituellement « implication » et
« équivalence » entre deux affirmations.
Pour la logique H, « A => B » équivaut à « –* A + B », ce
qui veut dire que la valeur de vérité de « A => B » est posée
comme valant celle de « –* A + B ». Concrètement, si A =
« il pleut » et B = « le sol est mouillé », A implique B est
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vraie dès lors qu'il ne pleut pas, auquel cas le sol peut être
aussi bien sec que mouillé, ou bien que le sol est mouillé et
qu'il pleut effectivement. En revanche, quand il pleut et que
le sol est sec, l'implication est fausse. Cela peut se traduire
par le diagramme de Venn suivant à trois régions :
Tâchons d'étendre la situation au cas où A et B admettent
maintenant trois états distincts : il pleut, pleuvine ou ne pleut
pas, et le sol est mouillé, humide ou sec, correspondant aux
valeurs de vérité v, i et f.
Alors, de la même façon que le sol ne peut pas être sec
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quand il pleut, il ne peut pas l'être non plus quand il pleuvine.
Partant du fait que lorsqu'il ne pleut pas, le sol peut aussi bien
être dans l'un ou l'autre des trois états possibles, il n'y a pas
de raison non plus qu'il ne soit pas mouillé ou humide
lorsqu'il pleuvine. Enfin, le sol ne peut être simplement
humide lorsqu'il pleut.
D'où le diagramme suivant :
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Mais attention, quand on affirme que le sol est sec alors
qu'il pleut et qu'il est manifestement mouillé, cela revient à
déconnaître B, soit affirmer que son contraire est vrai, alors
qu'il est faux, soit affirmer « v= f », dont la valeur de vérité
vaut bien f.
En revanche, affirmer que le sol est sec alors qu'il
pleuvine, et que le sol est certainement humide revient à
affirmer « f= i », de valeur de vérité i. Et de même affirmer
que le sol est humide alors qu'il pleut, et que le sol est
manifestement mouillé, revient à affirmer que « v= i », de
valeur de vérité i.
Nous en déduisons alors la table principale de
l'implication :
A => B v i f
v v i f
i v i i
f v v v
Et, « par chance », nous constatons alors que l'on a bien
encore, comme c'est le cas pour la logique H :
V( « A => B ») = V( « –* A + B » )
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Prenons alors un second exemple concret pour illustrer ces
valeurs principales de l'implication : l'ensemble E de six
fauves qui sont soit des lions soit des tigres, soit des ligrons,
croisement d'une tigresse et d'un lion. L'affirmation L(Xj) =
« Xj de E est un lion » = Lj est une variable molle si E
comprend des ligrons, triviale sinon. Relativement à cet
ensemble on peut définir le contraire –* L(Xj) de L(Xj) : –*
L(Xj) = T(Xj) = « Xj de E est un tigre » = Tj. On définit aussi
l'intermédiaire iL(Xj) = « Xj est un ligron » = iLj.
Si CD1 = « tous les fauves de E qui sont des lions portent
le nom de Raoul et seulement ceux-ci » est vraie et Aj =
« l'individu Xj s'appelle Raoul » est vraie, alors Lj = « Xj est
un lion » est vraie.
Autrement dit, « si V(Aj) = v, alors V(Lj) = v » est vraie.
Cela illustre la case ( v , v , v ) de la table logique de
l'implication.
S'il est faux que « tous les fauves de E qui sont des lions
portent le nom de Raoul et seulement ceux-ci », soit V(CD1)
= f, il peut y avoir un tigre ou un lion, comme un ligron qui
s'appelle Raoul, auquel cas Lj peut être aussi bien vraie que
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fausse, qu'indéterminée : du faux, il s'ensuit n'importe quoi.
Cela illustre la troisième ligne de notre tableau, soit les cases
( f , v , v ) , ( f , i , v ) et ( f , f , v ).
La case ( v , f , f ) se justifie quant à elle par le fait que,
comme pour la logique H, on ne peut déduire de manière
véridique un résultat faux de prémisses vraies : c'est l'essence
même de la logique !
De cette façon, notre définition de l'implication est
compatible avec ce qu'elle est pour la logique H, c'est-à-
dire quand on se restreint à des affirmations triviales.
Il ne nous reste donc plus que quatre cases non fausses à
illustrer dans notre table de vérité.
Si CD2 = « tous les fauves de E qui s'appellent Raoul sont
des ligrons et seulement ceux-ci » est vraie et l'individu A'j =
« Xj est un lion » est indéterminée, alors Xj est dans les faits
un ligron, et Bj = « Xj s'appelle Raoul » est vraie. Cela
illustre la case ( i , v , v) de notre table.
Pour la suite, on considère qu'un des fauves s'appelle « à
peu près Raoul », quand son nom est obtenu en mélangeant
les lettres de ce prénom, par exemple Oulra, Ralou, Oular,
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Olaru, etc. Alors, s'il s'appelle Oulra, il s'appelle à peu près
Raoul, mais aussi à peu près Ralou, etc.
Si CD3 = « tous les fauves de E qui s'appellent à peu près
Raoul sont des ligrons et seulement ceux-ci » est vraie et
l'individu A'j = « Xj est un lion » est indéterminée, alors Xj
est dans les faits un ligron, et Bj = « Xj s'appelle Raoul » est
indéterminée, et pas vraie ni fausse, car Xj s'appelle à peu
près Raoul. Cela illustre la case ( i , i , i ) de notre table.
Pour les deux dernières cases, égales à i, nous nous
contenterons du premier exemple donné, avec la pluie et le
sol mouillé. On définit alors l'équivalence comme double
implication :
A B v i f
v v i f
i i i i
f f i v
On constate alors que la table de vérité de
l'équivalence n'est ni plus ni moins la même que celle de
l'égalité entre deux variables logiques.
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On a aussi : V( « A B ») = V( « –* A + B » & « –* B
+ A »). Ah, oui, j'oubliais :
Le cœur de la logique I est en fait la logique K3 de
Kleene ! Ainsi, les tables de vérité de la logique I sont
celles de la logique K3 mais l'interprétation que nous
donnons de ces valeurs n'est pas la même : autrement dit,
nous proposons une autre interprétation sémantique de
ces tables de vérité.
En attendant, voici la table complète de l'implication :
=> T v – f – i i – v f Φ
T T v – f T – f T T Φ
v T v – f – i i – v f Φ
– f T v – f T i – v – v Φ
– i T v – f – i – f T – i Φ
i – f v – f – f i i i Φ
– v – f v – f – f – f – f – f Φ
f v v v v v v v Φ
Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
De l'expression analytique de la somme dérive celle de
l'implication, puis de l'égalité ou de l'équivalence :
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Si A = ( x1 ; y1 ; z1 ) et B = ( x2 ; y2 ; z2 ) , M0 = ( x0 ; y0 ;
z0 ) = V ( A => B ) , M'0 = ( x'0 ; y'0 ; z'0 ) = V ( B => A ) et
M''0 = ( x''0 ; y''0 ; z''0 ) = V ( B A ), alors :
x0 = y1 + x2 – y1×x2 x'0 = x1 + y2 – x1×y2
y0 = x1×y2 y'0 = x2×y1
z0 = 1 – x0 – y0 z'0 = 1 – x'0 – y'0
x''0 = x0×x'0
y''0 = y0 + y'0 – y0×y'0
z''0 = 1 – x''0 – y''0
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Retour à la logique H
Considérons l'implication suivante IP , vue au chapitre
précédent : IP = « il pleuvine => le sol est humide » = « iA
=> iB », avec iA = « il pleuvine » et iB = « le sol est
humide ».
V(iA) et V(iB) valant toutes deux i, nous en déduisons la
valeur logique de cette implication, égale à i elle aussi : V(IP)
= i. Partant de là, on se retrouve un peu choqué par cette
valeur, pour ce que s'il est certain qu'il pleuvine, il est non
moins certain que le sol est humide et non sec, et n'est
qu'humide et non mouillé. On verrait donc mieux V(IP) = v.
C'est exactement à cela que sert notre procédure de
reformulation assertive, qui ramène aux deux valeurs triviales
v et f de la logique H les trois valeurs logiques molles de la
logique I. Ce faisant, on obtient bien finalement la valeur
désirée V(IP) = v.
On peut toutefois se demander si ce « détour » est bien
nécessaire, en s'interrogeant sur ce que signifie dans le fond
cette valeur i qui nous gêne. On réalise alors que celle-ci ne
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fait qu'indiquer que, « vu du point de vue de la logique H,
l'implication IP n'est ni vraie ni fausse ». Et pourtant, nous,
nous la voyons naïvement vraie !
Deux éléments sont alors à considérer. Le premier, c'est
que « vu de la logique H », aussi bien la prémisse que la
conclusion ne sont ni vraies ni fausses, donc se situent hors
de son cadre de référence. Cela revient à dire que tout adjectif
définissant une qualité Q est normal, comme nous en avons
donné la définition page , c'est-à-dire qu'il sépare la réalité
des choses auxquelles il s'applique en deux classes : celle des
choses qui possèdent la qualité Q et celle des choses qui ne la
possèdent pas. C'est le point de vue sous-tendu par la logique
H, et c'est cela même qui induit le caractère paradoxal de
notre valeur V(IP) = i.
Le deuxième élément qui va nous permettre de mieux
appréhender la situation, c'est le fait que « vu de la logique
I », la valeur de vérité i ne correspond pas à un état
d'incertitude ou d'indétermination, malgré le nom que nous
lui avons pourtant donné primitivement, mais au contraire à
un troisième état de certitude, distinct du vrai et du faux. La
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valeur i n'est indéterminée que du point de vue de H,
puisqu'elle sort effectivement de son cadre, et que c'est notre
cadre habituel de référence. Mais la logique I propose un
cadre élargi où cette troisième valeur de vérité est une
alternative qui correspond certes à un état intermédiaire entre
le vrai et le faux, vu de H, mais qui devient une réalité
certaine, de son point de vue à elle.
Pour imager la chose, on peut se permettre la métaphore
graphique de la figure de la page 222 : les valeurs de vérité v
et f peuvent être matérialisées par deux droites parallèles V et
F situées dans un même plan P. Alors, perpendiculairement à
ce plan, ces deux droites n'ont aucun point commun, alors
que si l'on se permet une mise en perspective en décalant
notre angle de visée, celles-ci semblent se rejoindre à une
distance finie en un point I, même si cet illusoire point de
rencontre est en fait situé à l'infini.
Du point de vue de H, c'est-à-dire en se situant dans le
plan P lui-même ou perpendiculairement à celui-ci, V et F ne
se rencontrent jamais, et I n'a aucune existence concrète,
alors qu'en adoptant une ligne de visée inclinée, le point I
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existe effectivement et peut être matérialisé sur une figure.
Autrement dit, affirmer que iA et iB ont pour valeur de
vérité i n'a primitivement aucun sens du point de vue de la
logique H, d'où l'on ne peut donc rien tirer qui ait du sens
pour celle-ci, ce qui fait qu'attribuer la valeur i à l'implication
IP n'a rien de choquant en soi, de ce point de vue particulier.
En revanche, vu de I, V(IP) = i nous indique simplement
que l'implication IP ressort d'un autre degré de certitude que
le vrai ou le faux, de son point de vue à elle. Il est donc à la
fois non vrai et non faux que lorsqu'il pleuvine le sol est
humide, vu de I, mais cela n'en reste pas moins certain, d'une
valeur de certitude égale à i, dont nous avons il est vrai bien
du mal à nous figurer ce qu'elle peut être !
C'est justement là qu'intervient notre procédure de
reformulation assertive, qui nous permet de rejoindre cette
réalité dichotomique qui nous est familière, qui est celle de la
logique H. Tout se passe donc comme si la logique I et son
changement de perspective ne nous était pas complètement
assimilable, compte tenu de nos schémas de pensée, et
certainement aussi de la manière dont le langage est construit.
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Nous nous retrouvons alors bien obligé dans les faits
d'utiliser une sorte de point de vue intermédiaire assez bâtard
entre logique H et logique I, où nous prenons de l'un comme
de l'autre.
Concrètement, comme nous l'avons déjà dit, cela revient à
raisonner de manière dichotomique par disjonction des cas
sur de la réalité « molle », soit en utilisant le principe du
quart exclus ou celui de non contradiction généralisé : dans
ce cas, la plupart du temps les valeurs de cœur de la logique I
y suffisent, soit v, f et i. Mais au besoin, si une alternative se
présente, nous pouvons faire intervenir les indéterminées de
seconde espèce.
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La valeur logique de ce qui n'existe pas
Que penser d'un énoncé tel que P = « l'actuel roi de France
est chauve » ? L'actuel roi de France n'existant pas, comment
pouvons nous évaluer la valeur de vérité de P ? On constate
qu'il n'est ni vrai ni faux que P, et dans le cadre de la logique
habituelle H, on est bien embêté, et ça donne lieu à de belles
discussions sur la validité d'un énoncé tel que P. A-t-on le
droit de parler et de raisonner sur quelque chose qui n'existe
pas ? On pourrait poser V(P) = Φ : même si cela semble être
une solution acceptable, nous ne la retiendrons pas parce
qu'alors, avec les définitions que nous avons posées, cela
reviendrait à considérer que l'énoncé P est soit paradoxal pour
la logique I, soit en dehors du champ de la logique. Pourtant,
ça ne semble pas être le cas.
Car notre logique I permet d'éliminer facilement toute
controverse d'une autre manière, en attribuant la valeur i à
V(P). C'est simple comme bonjour, en apparence, mais dans
les faits, cela implique une conséquence beaucoup plus
profonde, que nous pouvons énoncer ainsi :
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« Entre être et ne pas être, la logique I reconnaît un
troisième état qui est celui de la non existence-non
inexistence, qu'on peut appeler « i-existence ». »
On réalise alors que c'est beaucoup plus profond que de
simplement dénoter cet état intermédiaire dans certains cas
particuliers comme la pluie, la barbe ou le temps qu'il fait.
Cela implique en effet le principe général de continuité PC :
« de manière générale, entre X possède la qualité Q, que
nous traduisons par V( Q(X) ) = v, et X ne la possède pas,
dénoté V( Q(X) ) = f, il existe une alternative, un gap,
correspondant à la valeur de vérité i ». Entre être Q et non-
être Q, il existe i-être Q.
Dit autrement, la règle générale en matière d'adjectifs,
c'est l'anormalité, plutôt que la normalité. Est-ce bien vrai ?
Nous répondrons par une boutade en affirmant que V( V(PC)
= v ) = i, ce qui nous pousse encore à affirmer V( PC ) = i,
bien que ça ne soit pas une nécessité. Le principe PC est
certainement mi-vrai mi-faux.
C'est là qu'on touche du doigt la limite la plus importante
de notre logique I : tout semble se déliter dans l'indéterminé,
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qui recueille dans son berceau tout ce qui n'est ni
complètement vrai, ni complètement faux. C'est bien sûr un
peu trop radical, et c'est ce qui pousse à considérer des
valeurs de vérité graduées, comme on l'a fait avec le modèle
flou de la logique I, MFI, ou en envisageant nos propres
valeurs de vérité complexes, avec le modèle complexe de la
logique I, MCI.
Ça ne change pourtant pas grand chose sur le fond, quand
on est confronté à des généralités telles que le principe PC,
dont on serait bien en peine d'évaluer le degré de véracité
effectif dans MFI. Dans ce cas précis, on est exactement dans
l'indéterminé de type mi-mi pour le modèle atomique initial
de la logique I, MAI.
Reconnaître un état intermédiaire entre l'existence et
l'inexistence revient encore à affecter une éventuelle
valeur i au quantificateur existentiel habituel. Ainsi, « il
existe un cheval ailé nommé Pégase qui fait patati et qui fait
patata », etc. se lit P = {« il existe Pégase » & « Pégase est un
cheval » & « Pégase a des ailes » & « Pégase fait patati » &
« Pégase fait patata » …}. On peut donc affecter la valeur
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vraie à toutes les propositions qui suivent l'existentielle de
départ « il existe Pégase », que l'on a valuée à i : V(P) vaut
alors i.
Notons que ce i là est de type paradoxal ni ni, car on ne
peut pas dire que Pégase existe vraiment, ni qu'il n'existe
pas : il possède l'existence des choses abstraites que lui
confère le langage.
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Le chat de Shrödinger
Tout le monde connaît le chat de Schrödinger, même s'il
ne l'a jamais caressé, et pour cause : il est enfermé dans une
boite où un dispositif possède une probabilité de 1 / 2 de
déclencher la rupture d'une capsule de gaz cyanhydrique, liée
à la décomposition éventuelle d'une particule radioactive
dans un échantillon. C'est un « paradoxe » de la mécanique
quantique : la minute étant écoulée, on ne sait pas dire si le
chat est mort ou vivant ! Le chat peut donc être aussi bien
mort que vivant, ce dont la logique H ne sait pas rendre
compte, alors que la logique I attribue sans difficulté la valeur
– i à l'affirmation « le chat est vivant ». La logique habituelle
H est ici en défaut, alors que la logique I ne l'est pas !
Qu'est-ce que cela veut dire dans le fond ? Que je fais ma
réclame pour cette logique alternative polymorphe et aux
contours un peu imprécis ? Tout à fait, dans ce sens où je
défends que nos mécanismes de pensée et de raisonnement,
même s'ils s'appuient sur la dichotomie habituelle, sont un
peu plus complexes et approfondis que cela. Pour prendre
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une image, l'esprit humain ne se résume pas à une banale
calculatrice quatre opérations, mais il est capable d'opérations
plus élaborées, comme l'est une calculatrice scientifique.
Ainsi, nous nous accommodons du « mou » de manière
naturelle et transparente, même si nous le ramenons au
« dur », que j'ai aussi appelé « trivial », via le processus de
reformulation assertive. Nous gérons également de manière
transparente la réalité de la superposition des états logiques,
posée dès le début de cet ouvrage, via les valeurs logiques
indéterminées de seconde espèce, que j'ai aussi appelées
« incongrues ».
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Conclusion
Comme on a pu le constater tout au long de cet ouvrage,
l'introduction d'une valeur de vérité i correspondant à des
états intermédiaires entre le vrai et le faux, de type ni-ni ou
mi-mi, permet de rendre compte de manière censée de
nombreuses situations, qu'elle soient normales pour la
logique habituelle H ou paradoxales.
On s'aperçoit que différentes situations « paradoxales » ne
sont effectivement telles que du fait de la discontinuité
brutale entre vrai et faux posée par la logique H, et que leur
caractère paradoxal disparaît, dès lors qu'on envisage cette
valeur intermédiaire.
Les valeurs de vérité indéterminées de seconde espèce, ou
incongrues, obtenues par disjonction des trois valeurs v, i et f
entre elles, permettent quant à elles de modéliser les
situations où il existe une alternative, via la propriété
supposée de superposition des états logiques. Ainsi, les sept
valeurs de vérités non nulles de notre logique I rendent
compte des situations d'incertitude ou de méconnaissance.
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Vu de cette manière, notre valeur de vérité devient une
sorte de valeur de possibilité : V(A) = v indique que A ne
peut être que vraie, quand V(A) = T indique que A peut être
aussi bien vraie, que fausse, que dans l'état de vérité certain
intermédiaire.
L'intérêt principal de notre ouvrage, semble-t-il à
posteriori, c'est de mettre en évidence le fait que la
paradoxalité provient essentiellement de l'opposition entre la
nature continue de la « réalité du monde » et la nature
atomique de ce qu'on peut appeler la « réalité du langage ».
Les mots viennent en effet opérer de nécessaires coupures
dans cette réalité du monde, un phénomène qui correspond
exactement à ce qu'on peut appeler discrimination et
conceptualisation. La logique I, en modélisant l'état
intermédiaire inhérent à toute chose en général, selon le
principe vu au chapitre précédent, permet d'adoucir la
discontinuité brutale entre le vrai et le faux, la présence ou
l'absence de toute qualité.
On pourrait d'ailleurs appeler ce principe « principe de
continuité », et on se persuade aisément de ce que notre
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théorème sur la normalité en est une conséquence directe.
L'introduction de l'intermédiaire interdit en effet la levée de
nouveaux paradoxes auto-référents du type de celui du
menteur ou de la carte retournée pour la logique H. En tout
état de cause, l'intermédiaire comble un espace que la logique
H déniait, et ce de manière définitive. Évidemment, cela se
paye au prix de l'introduction d'une relation d'égalité entre
valeurs logiques propre à la logique I et qui n'est pas triviale.
Pour conclure cette conclusion, nous ne pouvons nous
empêcher d'évoquer un dernier principe auto-référent, avec ce
principe général G² qui veut que « toute généralité G
« valide » admet néanmoins la plupart du temps un
nombre limité d'exceptions, et réciproquement : quand ça
n'est pas le cas et que G est partout vraie là où elle
s'applique, on dira qu'elle est « exceptionnelle » ».
Cela revient à définir ce qu'est un principe général valide :
c'est un principe dont la valeur de vérité vaut v la plupart du
temps ou bien i ou encore f ou une valeur incongrue, de
manière assez exceptionnelle, pour les objets X auxquels il
s'applique. De plus, G² énonce encore que les généralités
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« exceptionnelles », sont effectivement rares, donc
exceptionnelles. G² est donc une méta-généralité, soit une
généralité sur les généralités.
Quelle est alors la valeur de vérité du principe G² et est-il
lui-même exceptionnel ?
PG ne peut être strictement faux, car alors, pour la logique
I, cela reviendrait à dire que toute généralité « valide » admet
v pour valeur de vérité, donc est exceptionnelle : de ce fait les
généralités seraient toutes exceptionnelles, ce qui contredit la
définition habituelle de l'adjectif exceptionnel. Il conviendrait
donc alors de changer l'énoncé de G² et la définition d'une
généralité exceptionnelle en son inverse G²' : « toute
généralité valide est partout vraie où elle s'applique, ou bien
admet quelques rares exceptions, auquel cas elle sera dite
« exceptionnelle » ». Si G²' est strictement vrai, toute
généralité G valide est soit valide partout vraie, soit valide
exceptionnellement non vraie, là où elle s'applique. G²', en
tant que généralité elle-même serait donc valide de type
toujours vraie là où elle s'applique, et ne serait donc pas
exceptionnelle elle-même, de ce fait. Rien ne s'oppose à ce
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que l'on adopte G²' en lieu et place de G², si ce n'est que les
généralités valides exceptionnelles doivent effectivement être
exceptionnelles. A ce sujet, nous n'avons que la sagesse
populaire pour venir à notre rescousse, qui dit que « toute
règle comporte des exceptions ». C'est l'équivalent de
l'énoncé G², alors que son contraire G²' serait plutôt celui d'un
positiviste béat.
Si G² est occasionnellement vrai, on aboutit à la même
contradiction, puisque cela reviendrait à affirmer que les
généralités sont généralement exceptionnelles.
Si G² est mi-vrai mi-faux, c'est encore la même
conclusion.
Si le principe G² est occasionnellement faux, cela revient à
dire qu'il admet quelques exceptions, c'est-à-dire qu'il existe
quelques rares généralités exceptionnelles, donc que les
généralités exceptionnelles sont en effet exceptionnelles.
Si G² est strictement vrai, alors, étant lui même une
généralité, cela implique que sa valeur de vérité vaut v, ce qui
contredit ce qu'il énonce, car alors il devrait connaître
quelques exceptions et sa valeur de vérité ne serait pas vraie.
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G² n'est donc pas strictement vrai, mais simplement
« généralement » ou encore « la plupart du temps », et de
ce fait, il n'est donc pas lui-même un principe
exceptionnel ! On constate donc que V(G²) = i pour la
logique I, mais aussi que V(« G² est exceptionnel ») = f.
On remarque encore que l'adjectif « exceptionnel »
appliqué aux principes généraux, tel que nous venons de le
définir, est lui-même une exception au principe de continuité,
c'est-à-dire qu'il est « normal », comme nous avons défini la
chose page 62 et suivantes.
Le principe de continuité PC vu au chapitre précédent est
un principe général voulant que la majorité des adjectifs
soient « anormaux », dans ce sens où entre eux-mêmes et leur
contraire se glisse un état intermédiaire. Cela revient à
affirmer que la « réalité du monde » est essentiellement
molle, plutôt que triviale, rappelons-le. Nous avons énoncé
que sa valeur de vérité vaut évidemment i, et l'adjectif
exceptionnel que nous venons de voir nous donne justement
une exception à ce principe. Est-il possible d'aller plus loin ?
Si PC n'était qu'exceptionnellement vrai, alors les adjectifs
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anormaux seraient très rares, donc exceptionnels, ce qui serait
conforme à l'acception habituelle des adjectifs « normal » et
« exceptionnel ». Notre principe de continuité devrait alors
être abandonné, pour être reformulé en son contraire, soit le
« principe de discontinuité ».
On se rend alors bien compte de ce que l'énoncé du
principe PC lui-même contredit de manière provocante le
choix du sens que nous avons donné à l'adjectif « normal »,
appliqué aux autres qualificatifs.
A ce point particulier qui touche le point final de notre
ouvrage, il semblerait que l'on atteigne les limites de la
logique, puisqu'il ne semble pas possible de trancher entre
PC, son contraire –* PC ou son intermédiaire iPC.
Si l'on penche pour –* PC, alors, cela fait évidemment de
la logique I une logique de l'exceptionnel, du cas particulier,
du paradoxal, donc d'un intérêt très anecdotique, alors que si
l'on penche du côté de PC, cela en fait une logique de la
réalité du langage et du monde, plus que la logique H elle-
même.
Pour être honnête, on rappellera toutefois que même si la
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éalité du monde est avant tout « continue », plus que
dichotomique, et que la règle est l'existence d'états
intermédiaire, dans les faits et dans la vie courante, nous
procédons généralement comme si elle était discontinue, ce
qui revient à appliquer des coupures arbitraires dans la façon
dont nous la percevons, ce que nous avons formalisé par le
processus que nous avons appelé reformulation assertive.
Car il ne faut pas non plus oublier que le but de la logique
est en dernier ressort de soutenir nos décisions et nos actes, et
que dans cette matière nous avons habituellement besoin de
décisions tranchées. A la double question « irais-je me
promener cet après-midi et prendrai-je mon parapluie ? »,
nous avons besoin d'apporter une réponse positive ou
négative : une réponse intermédiaire ou de normand ne nous
est effectivement pas d'une grande utilité, si ce n'est
justement de différer le moment de prendre une vraie
décision.
Alors, bien souvent aussi, nous nous persuadons a
posteriori du bien fondé de nos décisions en oubliant nos
tergiversations, pour ne pas avoir à regretter nos choix. C'est
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peut-être ce qui explique finalement pourquoi notre logique I
ne semble pas être notre logique naturelle, alors que je reste
pour ma part persuadée que c'est le cas. Ainsi, si l'on nous
demande de nous justifier, nous mettrons en avant des
raisonnements qui écartent de fait les états intermédiaires,
ceux-là même que nous avons pourtant considérés au même
titre que les états extrêmes.
De la même façon, il nous arrive encore de méconnaître
les solutions en demi-teinte que nous apportons aux
problèmes qui se posent à nous dans la vie courante. Par
exemple, s'il fait un temps mitigé, nous déciderons peut-être
de ne faire qu'une petite promenade, plutôt que notre tour
habituel, mais si l'on nous demande « êtes vous sortis » vous
promener, compte-tenu du temps qu'il faisait ? », nous
répondrons oui, en oubliant de préciser que nous avons en fait
adopté une solution intermédiaire entre aller nous promener
et rester chez nous.
Évidemment, tous ces arguments en faveur du principe de
continuité PC ne convaincront que ceux qui le sont déjà, et
laisseront de marbre un logicien. C'est qu'il ne semble pas
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possible de déduire finement la valeur de vérité du principe
PC par un raisonnement logique.
Cependant, puisque PC se révèle quelquefois vrai et
quelquefois faux, la « victoire » de la logique I, c'est tout de
même de savoir lui assigner la valeur i, même si l'on ne sait
pas exactement quelle est la proportion du vrai et du faux, du
pour et du contre dans l'affaire.
Nous constatons encore au passage que la valeur i, en tant
que valeur mi mi intermédiaire entre le vrai et le faux peut au
besoin servir à dénoter l'indécidable ou inaccessible.
Et puis, rappelons pour finir que ni la logique, ni le calcul
des probabilités, ni quoi que ce soit d'autre n'ont jamais porté
préjudice aux casinos ou à la française des jeux, ni empêché
les hommes de se faire la guerre ou de se tromper les uns les
autres. Alors, comme Monsieur Jourdain faisait de la prose
sans le savoir, il y a fort à parier que nous continuions à
utiliser la logique I sans nous en rendre compte.
Mais je rêve ... Il pleuvine, ou bien ?!
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Glossaire
Anormale (méta-affirmation) : on appelle anormale une
méta-affirmation qui ne répond pas partout par vrai ou par
faux sur son ensemble de définition.
Auto-référence : un ensemble d'affirmations sera dit auto-
référent s'il existe une boucle finie dans celui-ci, à savoir si
on peut trouver une suite finie d'affirmations dans ce système,
telles que la première se réfère à la deuxième, qui se réfère à
la troisième et ainsi de suite, jusqu'à ce que la dernière se
réfère à la première, ce qui forme effectivement une boucle.
Basique : une affirmation sera dite basique si ça n'est pas une
méta-affirmation, comme par exemple A = « il pleut » ou A' =
« tous les humains vivent sur terre ».
Certaine (relation logique) : la relation logique # sera dite
déterministe ou certaine si son tableau racine ne comporte
que des valeurs appartenant au cœur K0, ou valeurs logiques
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certaines, à savoir v, i ou f.
Certaine (valeur logique) : les trois valeurs de vérité
certaines de la logique I sont v, i et f.
Cœur : le cœur de la logique I est l'ensemble constitué par
les trois valeurs certaines v, i et f, qu'on note K0. Chacune de
ces trois valeurs est donc une valeur logique de cœur, ou bien
encore certaine.
Complexe (affirmation générique) : une affirmation
générique qui ne prend pas toutes ses valeurs dans le cœur K0
des valeurs logiques certaines. Il y a méconnaissance partielle
de la valeur de sortie de la relation correspondante.
Complexe (valeur de vérité) : la valeur de vérité complexe
d'une universelle A( q , X ) définie sur le sous-ensemble E
d'un univers U est le triplet ( x ; y ; z ), où x représente la
proportions d'éléments X de E pour lesquels A est vraie, y
celle où elle est fausse et z, la proportion de ceux pour
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laquelle elle est indéterminée.
Déterministe (relation logique) : la relation logique # sera
dite déterministe ou certaine si son tableau racine ne
comporte que des valeurs appartenant au cœur K0, ou valeurs
logiques certaines, à savoir v, i ou f.
Disjonction : opération de combinaison entre les trois
valeurs de vérité « certaines » de notre logique I, à savoir v, i
et f, donnant naissance aux valeurs de vérité – v, – i, – f et T.
Distributivité : on dit qu'une opération & est distributive par
rapport à une autre opération #, quand on l'égalité suivante,
pour toutes valeurs de x, y et z
x & ( y # z ) = x & y # x & z
Existentielle (affirmation) : une affirmation existentielle dit
qu'il existe un élément X d'un sous-ensemble E de l'univers U
qui possède une certaine qualité q.
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Extrême (affirmation molle) : on dira que « il pleut » et « il
ne pleut pas », son contraire, sont deux affirmations molles
extrêmes, quand « il pleuvine » est une affirmation molle
intermédiaire.
Générique (affirmation) : une affirmation A(q, X) dans un
univers U sera appelée affirmation générique quand elle
correspond à une qualité q sur un sous-ensemble E de U. Elle
affirme alors que l'élément X de E possède la qualité q.
Générique (méta-affirmation) : une affirmation M(A) sera
appelée méta-affirmation générique quand son objet A est
elle-même une affirmation du langage qui peut être
quelconque ou prise dans un sous-ensemble non réduit à un
seul élément.
Incertaine : les valeurs logiques incertaines de la logique i
sont – v, – i, – f et T. Elles correspondent à une
méconnaissance de la valeur logique certaine prise
effectivement par l'assertion à laquelle elles s'appliquent.
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Incongrue (affirmation, valeur logique) : Nous
appellerons incongrue toute affirmation particulière basique
qui prend ses valeurs dans IK = { – f , – i , – v }, c'est-à-dire
qui est indéterminée de seconde espèce, et nous appellerons
les valeurs logiques de IK valeurs logiques incongrues.
Indéterminée de première espèce : nous disons qu'une
affirmation est indéterminée de première espèce lorsqu'elle se
voit attribuer la valeur de vérité i par notre logique I.
Indéterminées de seconde espèce : ce sont les valeurs
logiques incertaines – v, – i, – f de la logique I, que nous
appelons encore « incongrues ».
Intermédiaire (affirmation molle) : on dira que « il pleut »
et « il ne pleut pas », son contraire, sont deux affirmations
molles extrêmes, quand « il pleuvine » est une affirmation
molle intermédiaire.
Logique H : nous appelons logique H la logique habituelle
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dichotomique, ou logique aristotélicienne utilisée
habituellement pour conduire les démonstrations
mathématiques.
Méta-affirmation : une méta-affirmation est une affirmation
dont l'objet contient une référence à tout ou partie des
affirmations du langage, et éventuellement elle-même, auquel
cas elle devient alors auto-référente.
Molle (affirmation) : une affirmation sera dite molle si elle
peut prendre les valeurs logiques v, i ou f, où i est du type mi-
mi, mais pas ni-ni. Cela correspond à la réalité d'un état
intermédiaire possible entre deux états extrêmes.
Normale (méta-affirmation) : on appelle normale une méta-
affirmation qui répond par vrai ou par faux sur son ensemble
de définition. C'est l'équivalent de la trivialité pour les
affirmations basiques.
Paradoxale (affirmation) : une affirmation est dite
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paradoxale quand elle ne peut prendre pour valeur de vérité
que la valeur i du type ni-ni, et non mi-mi.
Particulière (affirmation) : instanciation d'une affirmation
générique à un individu X0 du sous-ensemble E de l'univers
U sur lequel elle est définie. Inversement, une collection
d'affirmation particulière basée sur une même qualité q
définit une affirmation générique, tout autant que l'ensemble
auquel elle s'applique.
Particulière (méta-affirmation) : dès lors que l'on précise
l'objet A d'une méta-affirmation générique M(A) en A0, celle-
ci devient une méta-affirmation particulière M(A0).
Principe de vérifonctionnalité : il veut que la valeur de
vérité d’un énoncé complexe dépende exclusivement de la
valeur de vérité des énoncés qui le composent et de la façon
dont ses énoncés sont composés, et de rien d'autre.
Produit logique : c'est la relation logique correspondant au
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ET habituel.
Reformulation assertive : procédure qui vise à attribuer une
valeur logique triviale ( v ou f ) à une affirmation molle, qui
permet le retour au raisonnement logique courant de la
logique H, où principe de non contradiction et tiers exclus
sont vérifiés.
Somme logique : c'est la relation logique correspondant au
OU inclusif habituel.
Simple (affirmation générique) : une affirmation générique
qui prend toutes ses valeurs dans K0, c'est-à-dire que l'on
connait de manière certaine.
Syllogisme : en logique aristotélicienne, ou logique H, le
syllogisme est un raisonnement logique à deux propositions
(également appelées prémisses) conduisant à une conclusion,
ce qu'Aristote a été le premier à formaliser.
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Tableau racine d'une relation logique : # étant une
opération ou relation logique entre deux variables x et y à
valeur dans K, le tableau racine de cette relation est la table
de vérité 3 × 3 de cette relation quand on restreint les valeurs
des variables à celle de cœur K0 = { v, i , f }. Chacune des 9
valeurs de cette table est appelée valeur principale de la
relation.
Tranquille (affirmation ou méta-affirmation) : on
conviendra d'appeler tranquille une méta-affirmation
particulière qui n'est pas auto-référente, mais aussi une méta-
affirmation générique qui est tranquille sur l'ensemble où elle
est définie.
Triviale (affirmation) : une affirmation sera dite triviale si
elle ne peut avoir pour valeur de vérité que v ou f.
Triviale (valeur logique) : l'une des deux valeurs v ou f de la
logique habituelle H.
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Universelle (affirmation) : une affirmation A(q, X) dans un
univers U sera appelée affirmation universelle quand elle
correspond à une qualité q sur un sous-ensemble E de U. Elle
affirme alors que tout élément X de E possède la qualité q.
Valeurs principales d'une relation logique : # étant une
relation logique entre deux variables logiques x et y prises
dans K, on appelle valeur principale l'une des 9 valeurs du
tableau racine de celle-ci, c'est-à-dire l'une des valeurs de
sortie obtenues en restreignant x et y aux valeurs logiques de
cœur K0 = { v, i, f }.
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