Le rayonnement du dipôle, le modèle de l'électron élastiquement lié

RAYONNEMENT D’UN DIPÔLE OSCILLANT.
I. Le cadre de l’étude.
1°) Modélisation de la source de rayonnement.
Dipôle élémentaire.
On a déjà étudié dans le cadre de l’électrostatique le dipôle électrique,
modélisé comme un ensemble de deux charges Q et –Q, placées respectivement
en P et N, distantes de a.
On a établi les expressions du potentiel électrique et du champ E
créés à grande distance par ce dipôle (cas où r a),
qui font intervenir
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RAYONNEMENT DU DIPÔLE.
le moment dipolaire électrique : p QNP Qae z .
De tels dipôles peuvent exister spontanément dans la matière ou encore être créés par un champ
électrique appliqué au milieu, du fait d’une séparation des barycentres des charges positives et négatives.
On généralise le concept de moment dipolaire à des dipôles « non rigides », pour lesquels la distance
a peut dépendre du temps. Le moment dipolaire instantané s’écrit alors : p Qa() t .
Le dipôle de Hertz.
On appelle dipôle de Hertz un dipôle électrique oscillant, caractérisé par un
moment dipolaire électrique dépendant sinusoïdalement du temps.
En représentation complexe, on peut écrire : p p0e .
Un tel dipôle peut être vu comme l’ensemble de deux charges +q et -q données séparées d’une distance
variable oscillant dans le temps, ou encore de deux charges fixes (distantes de a donné) mais variables
dans le temps : q(t) = q 0 cos(t).
L’une ou l’autre de ces interprétations du dipôle de Hertz permet une description
du rayonnement électromagnétique à partir du mouvement d’oscillation des
charges électriques autour de leur position moyenne.
En mettant un grand nombre de dipôles élémentaires de ce type bout à bout, on modélise ainsi un
fil conducteur parcouru par un courant variable, c'est-à-dire une antenne.
Ainsi, le dipôle de Hertz est à la base de la description du rayonnement des antennes.
La dépendance temporelle sinusoïdale du dipôle de Hertz ne limite en rien
l’intérêt de l’étude, puisque l’on sait que toute évolution temporelle peut se ramener,
par une analyse de Fourier, à une somme de fonctions sinusoïdales.
2°) Les potentiels retardés de Liénard-Wiechert.
Les phénomènes électromagnétiques ne se propagent pas instantanément, mais avec une vitesse finie
(c dans le vide). Par suite, en un point M à la distance r de la distribution de charges et à l’instant t,
les potentiels ne peuvent pas correspondre aux charges et courants au même instant. S’il a fallu un
temps r/c (où r = PM) pour que la perturbation parvienne en M, on admet que les potentiels corres-
r
pondent en ce point aux distributions qu’avaient et j à l’instant t
c .
On établit qu’en régime variable et en jauge de Lorentz, les solutions des équations aux potentiels
sont appelées potentiels retardés (ou potentiels de Liénard-Wiechert), donnés par :
V( M, t)
1
4
0
P D
PM
( P, t ) d
c
PM
P
et
A( M, t)
4
0
j t
P D
a
z
P
N
p
Q
-Q
PM
j ( P, t ) d
c
PM
P
r
.
M

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RAYONNEMENT DU DIPÔLE.
3°) Zone de rayonnement ; les approximations.
On cherche des solutions données par les potentiels retardés, pour le champ créé par un dipôle oscillant,
d’extension géométrique a au voisinage d’un point fixe O, en un point M situé à la distance r =
OM. Soit la longueur d’onde du champ rayonné par le dipôle.
Le problème sera traité dans le cadre suivant :
1. On se place dans le cadre de l’approximation dipolaire : r a ;
2. On se place dans l’approximation non relativiste : a cT ;
3. On se place dans la zone de rayonnement, définie par : r .
Discussion :
L’approximation non relativiste consiste à considérer la vitesse de la charge du dipôle oscillant
2
comme négligeable devant c, soit v a a c , soit a .
T
La zone de rayonnement correspond aux conditions courantes de perception des ondes en optique,
des ondes radio de la bande FM, ainsi que la bande « Grandes Ondes ».
1 1
- La condition r >> a permet d’écrire :
PM r .
- La condition a

Comparons en ordres de grandeur les différents termes :
en
pt ( ')
r
2
r
p
0
2
pt ( ')
rc
2
p
rc
pt ( ')
2 r c
pt ( ')
rc
r r
0
pt ( ')
3
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pt ( ')
2
RAYONNEMENT DU DIPÔLE.
pt ( '')
r
rc
rc
p0
3 r
p0
2 rc
2p0
2 rc
pt ( ')
pt ( ')
3 r
pt ( ')
c
r r
2 rc
pt ( ')
c
r r
2 rc
2 rc
Dans la zone de rayonnement (r ), le terme prépondérant pour B est celui en
pt ( ')
rc
2
sions approchées :
2
( ') pt
et celui
rc
pour E . En ne conservant que le terme prépondérant pour B et E , on obtient les expres-
µ 0 sin( ) pt ( ')
B( r, t) e
4 rc
et
Er
E( r, t) E
E
0
sin( ) pt ( ')
4
0
0
2 rc
Il découle des expressions précédentes que la structure de l’onde rayonnée
par ce dipôle est localement plane. On a en effet B
1
er c
E .
2°) Structure du champ rayonné par un dipôle oscillant.
Dans la zone de rayonnement (a r ), le champ électromagnétique
créé par le dipôle de Hertz :
- décroît comme 1 , contrairement au champ électrique produit par un dipôle
r
électrostatique, qui varie comme 1
3 r ,
- est proportionnel à pt ( r ) , donc à l’accélération de la particule rayon-
c
nante,
- présente localement une structure d’onde plane progressive, se propageant
radialement à partir du dipôle : E( M, t) cB( M, t) e r .
Le rayonnement n’est pas isotrope du fait du facteur en sin .
Cette approximation locale de l’onde plane donne réalité au modèle de l’O.P.P.H. utilisée pour
décrire les ondes.
3°) Puissance électromagnétique rayonnée.
Vecteur de Poynting.
Le vecteur de Poynting s’écrit pour le champ du dipôle de Hertz dans la zone de rayonne-
ment
E B E
er
, soit
µ c
0 0
2
16
2
0
2 2
sin ( ) 2 p ( t r ) er
.
c r
c

Puissance rayonnée par unité de surface
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RAYONNEMENT DU DIPÔLE.
La puissance moyenne rayonnée par unité de surface sur une sphère de rayon r dans la direction e r est :
2 2
P
0 .
2 r
2 2
d
sin ( )
e p
d S 16 c r
Cette expression montre que le rayonnement d’un dipôle n’est pas isotrope :
la puissance rayonnée est nulle dans la direction du dipôle et maximale dans le plan
équatorial.
Indicatrice de rayonnement.
On peut rendre compte de l’anisotropie du rayonnement dipolaire en
traçant l’indicatrice de rayonnement définie comme le lieu des points
2
Q tels que OQ
d P
2 dS
er
.
Dans le cas du rayonnement dipolaire, on obtient une surface
de révolution dont une méridienne a pour équation polaire : r r sin ( ) .
Puissance totale rayonnée.
La puissance moyenne totale rayonnée s’obtient par intégration sur toutes les directions de la puis-
sance moyenne rayonnée à travers une sphère de rayon r. On donne
2
0 0
2
dP
P rd . r sin( ) d , soit
2 dS
P
2 2
0 3
µ p
16
2
c
2
0
0
.
2
3 4
sin ( ). d .
3
0 0
sin ( ) dd
2
0
p
La puissance moyenne totale rayonnée s’écrit P .
6
c
La distance d’observation n’intervient pas (d’où la possibilité de propager de
signaux sur de grandes distances).
Remarque :
Il est remarquable que la puissance moyenne rayonnée soit indépendante du rayon r de la sphère.
Ceci vient directement de la décroissance des champs en 1/r et montre que cette décroissance n’est
pas liée à un phénomène d’absorption, mais à la répartition de la puissance sur une surface qui croît
comme r 2 . En remplaçant p par
2 p0cos( t ) , il vient
2 4
0p0 P .
12 c
III. Diffusion du rayonnement électromagnétique.
1°) Rayonnement d’une charge accélérée.
Les expressions précédentes de la puissance moyenne totale rayonnée montrent que cette puissance
est liée à l’accélération de la particule chargée mobile.
Réciproquement, toute charge accélérée libère de l’énergie par rayonnement
électromagnétique.
Reprenons l’exemple simple du dipôle oscillant formé d’une charge q mobile se déplaçant sur l’axe
Oz au voisinage d’une charge –q fixée en O.
La charge mobile est repérée par sa cote Z = z 0 cos(t).
Le moment dipolaire de cette distribution vaut : p qz() t e z .
z
p
O
Q

La puissance moyenne rayonnée s’écrit alors
2 2
0q
z 0q
a
P .
6 c 6 c
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2
RAYONNEMENT DU DIPÔLE.
La dernière expression, faisant intervenir l’accélération de la charge constitue la formule de
Larmor, qui donne la puissance rayonnée par une particule non relativiste.
2°) Notions sur la diffusion Rayleigh.
Le champ E du rayonnement émis par le Soleil interagit avec les molécules de l’atmosphère qui se
comportent alors comme des dipôles électriques induits.
Ces dipôles oscillants rayonnent à leur tour des ondes électromagnétiques dans toutes les directions.
On dit que la lumière du Soleil est diffusée.
Le modèle de l’électron élastiquement lié.
On étudie l’interaction atome – rayonnement, dans le cadre de la mécanique classique, à l’aide du
modèle phénoménologique dit :
Le modèle de l’électron élastiquement lié, pour lequel :
1. Les différents électrons des molécules de l’atmosphère peuvent être traités
indépendamment.
2. Chaque électron est modélisé comme un oscillateur harmonique amor-
ti. L’électron est soumis à une force de rappel de la forme
2
2 m 0r
, qui rend
compte de l’effet du déplacement de l’électron sur le champ électrique qu’exercent
sur lui les noyaux de la molécule et les autres électrons. L’électron est soumis en
outre à une force de frottements fluides m r qui rend compte des diverses
causes d’amortissement.
Typiquement, on a :
16 8
0 10 rad / s 10 rad / s .
Modélisons la lumière venant du Soleil par une O.P.P.H. de pulsation ( étant compris entre
2.10 15 rad/s et 4.10 15 rad/s pour la lumière visible).
L’électron est soumis à la force de Lorentz F q( ES v B S)
.
Pour l’O.P.P.H. solaire, on a BS = ES / c, et en supposant les électrons non relativistes,
la force magnétique est négligeable devant la force électrique.
D’autre part, l’électron reste lié au noyau et se déplace au plus de 0,1 nm. Les
longueurs d’onde du spectre visible étant de l’ordre de 500 nm, on peut considérer le
champ électrique solaire E S comme uniforme à l’échelle du déplacement de
l’électron et écrire ES E0S cos( t ) .
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l’électron s’écrit dans ces conditions :
2
0 0S mr m r m r eE cos( t ) .
On cherche la réponse en régime harmonique forcé de pulsation en passant par la représentation
complexe (équation différentielle linéaire à coefficients constants) :
e E0Se On établit que : r
m 2 2
j
0
j t
Dans la pratique 0 est dans l’ultraviolet lointain, de sorte qu’on a :

La puissance rayonnée par un tel dipôle s’écrit :
Page 6 sur 7
4
0e
2 4
0
2 4
0S
P E .
12 m c
Pourquoi le Ciel est-il bleu et le Soleil couchant (ou levant) rouge ?
La puissance rayonnée varie comme 4 , soit encore comme 1/ 4 .
RAYONNEMENT DU DIPÔLE.
Cette diffusion est appelée diffusion Rayleigh : dans le spectre de la lumière visible,
l’atmosphère diffuse nettement plus les radiations bleues que les rouges (environ
16 fois plus), ce qui explique la couleur bleue du ciel et la couleur rouge du soleil
à son coucher ou à son lever.
3°) Polarisation par diffusion.
La lumière du Soleil n’est pas polarisée (cf « Le modèle
ondulatoire de la lumière ») et son champ électrique
vibre perpendiculairement à sa direction de propagation,
suivant e z (figure ci-contre).
On peut alors décomposer E en deux composantes
E x et E y polarisées rectilignement dans deux directions
perpendiculaires et présentant entre elles un déphasage
aléatoire.
Ces champs engendrent des moments dipolaires induits oscillants x p et observateur
y
E
p y .
Pour un observateur situé suivant la direction e y , le champ électrique diffusé est uniquement dû
au dipôle x p et est dirigé suivant e x : cette lumière diffusée est donc polarisée rectilignement
Complément HP. Le champ du dipôle dans la zone de rayonnement.
1°) Expression approchée du potentiel vecteur.
On part de l’expression du potentiel vecteur A créé par le dipôle de Hertz donné par les potentiels
retardés de Liénard – Wichert. Le vecteur densité de courant s’écrit ici : jt ( ')
p
t
, qu’on notera
par la suite : j( t ') p( t ') . Ainsi : A( M, t)
PM
p t
0 c
4 PM
.
On note r OM . L’hypothèse a (approximation non relativiste) permet d’écrire :
t
PM
c
t
r
PM
, car l’écart
c c
OM
c
a
c
aT
T .
A
:
Dans la zone de rayonnement ( r ), on peut écrire
A( M, t)
4
0
p t
r
r
c
On a 0 exp
r r
p t j p j t
c c
0 j
encore écrire A( M, t) p( t ') avec k
4 r
1 1
, d’où l’expression approchée de
PM r
. Dans le cas d’un dipôle oscillant sinusoïdal : p() t p0e .
. D’où
c .
E y
E x
Soleil
Bleu du
ciel
0 j
A( M, t) p0 exp[ j( t kr)]
, qu’on peut
4 r
t '
j t
x
p y
p x
z

2°) Expression du potentiel scalaire électrique.
Le potentiel électrique V(M,t) se déduit de A en exploitant la jauge de Lorentz :
1 V
0 j t e
div( A)
0 , avec div( A) p
2
0j
e div e
c t
4
r
Page 7 sur 7
jkr
z
RAYONNEMENT DU DIPÔLE.
car p0 p0e z .
Or div( f( r) ez ) f( r) div( ez ) ez. grad( f( r)) f
er. ez
, qui conduit à :
r
V
t
2
0c
p0( j
4
j t ) e
1
2 r
jk
r
e jkr(
er. ez)
. En intégrant par rapport au temps, il vient :
V
1 j t p0e 4 0
1
2 r
jk
r
e jkr(
er. ez) Cste , où Cste est une constante temporelle correspondant
au potentiel créé par une distribution statique de charges : on la prend nulle ici, car on ne
s’intéresse qu’au problème du rayonnement.
On obtient finalement : V
1
4
j t p0e 1
2 r
jk
r
e jkr(
er. ez )
1
4
1
2 r
jk
r
p( t '). er
.
Remarque : ee r. z cos( ) .
0 0
3°) Expression du champ d’induction magnétique B .
B
se déduit de A
0 j t e
à partir de : B rot( A ) , soit B ( j ) p0e rot e
4
r
f
Or : rot( f( r) ez ) grad( f( r) ez ) f( r) rot( ez ) er ez
, qui conduit à :
r
0 j( t kr)
1 jk
0 p( t ') p( t ')
B ( j ) p0e ( e )
4
2
z er
, qui s’écrit aussi B ( e )
r r
4 2
z er
.
r rc
1 k
0 ( j ) j( t kr)
Dans la zone de rayonnement (r ), on a . Il reste B p
2
0e
( ez er)
.
r r
4 rc
4°) Expression du champ électriqueE .
E
s’écrit en fonction des potentiels à partir de la relation : E grad( V )
A
, qui conduit à :
t
Er 1
4 0
2
3 r
k
2j 2 r
j( p0e t kr)
cos( )
E E
1
4 0
1
3
r
k
j
2
r
2
k
r
j( p0e t kr)
sin( ) .
E 0
(, r
Dans la zone de rayonnement (r
1
), on a
3 r
k
2 r
k
r
.
E 0
Il reste
1 k
E E p e
4 0 r
E 0
(, r
r
2
j( t kr)
0
sin( ) .
2
jkr
2
z
.