Exercices et solutions.pdf - IUMSP

10.3
(a) La probabilité d’erreur de type I est P0( ¯ X ≥ 7), où ¯ X =(X1 + X2 + X3 + X4)/4.
On sait que, sous H0, ¯ X suit une distribution normale de moyenne µ = 6 et variance
σ 2 =1/4, donc:
P0( ¯ X ≥ 7) = P0(( ¯ X − 6)/σ ≥ (7 − 6)/σ) =P (Z ≥ 2) = 0.0227,
où Z =( ¯ X − 6)/σ ∼N(0, 1).
(b) La probabilité d’erreur de type II est P1( ¯ X ≤ 7). On sait que, sous H1, ¯ X suit une
distribution normale de moyenne µ = 7 et variance σ 2 =1/4, donc:
P1( ¯ X ≤ 7) = P1(( ¯ X − 7)/σ ≤ (7 − 7)/σ) =P (Z ≤ 0) = 0.5,
où Z =( ¯ X − 6)/σ ∼N(0, 1).
10.4 La valeur observée de la statistique de test est
z0 =((¯x − µ)/(σ/ √ n)) = (147.4 − 160)/(6/ √ 31) = −11.69.
Pour réaliser un test bilatéral au niveau 1%, nous considérons les percentiles z0.995 =
2.575 et z0.005 = −2.575. Comme z0 = −11.69 n’est pas dans l’intervalle (−2.575, 2.575),
l’hypothèse nulle H0 : µ = 160cm est rejetée.
10.5 Calculons la p-value du test de H0 : p =0.4 contreH1 : p