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Solutions des exercices du Chapitre 10
10.1 Définissons la statistique T comme le nombre de réponses correctes aux 20 questions.
Donc T = 20 i=1 Xi, où Xi vaut1silaréponse àlaquestioniest juste et 0 sinon. T suit
une distribution binomiale B(n =20,p). Considérons l’hypothèse nulle H0 : “le candidat
devine les réponses”; en d’autres termes H0 : p =1/4. Considérons aussi l’alternative H1 :
“le candidat a des connaissances”, c’est àdireH1 : p>1/4.
(a) La probabilité cherchée est donc:
20
20
P Xi ≥ 9 =1− P Xi ≤ 8
i=1
=1−
Pour calculer la quantité 8
k=0
8
k=0
i=1
20
k
(1/4) k (3/4) 20−k =1− 0.9591 = 0.05.
20 k 20−k (1/4) (3/4) , on peut utiliser R et taper:
k
pbinom(8,20,0.25).
(b) Un test de niveau 5% est défini par la règle: “rejeter H0 lorsque T>9”.
(c) Il s’agit d’une erreur de type I.
10.2 On dit qu’une variable aléatoire X suit une distribution géométrique de paramètre p
si P (X = i) =p(1 − p) i ,i=0, 1,.... A l’aide de la formule de la série géométrique,
on trouve
et donc,
P (X ≤ k) =p
1+ρ + ρ 2 + ... + ρ k =
i=0
1 − ρk+1
1 − ρ ,
k
(1 − p) i 1 − (1 − p)k+1
= p
p
P (X >k)=(1− p) k+1 = P (X ≥ k +1).
=1− (1 − p) k+1 ,
La variable X peut être considérée comme le nombre d’essais jusqu’au premier succès dans
i épreuves de Bernoulli. Si X est l’âge de l’individu, la probabilté qu’il dépasse 20 ans est
donnée par la probabilité qu’il ne meure pas jusqu’à l’âge de 20 ans, soit (1 − p) 20 , p étant
la probabilité dedisparaître au cours d’une année. Soit X1 l’âge du premier et X2 celui
du deuxième individu échantilloné. Alors, si p =0.1, la probabilité que les deux individus
sont âgés de plus de 20 ans est
P (X1 ≥ 20 ∩ X2 ≥ 20) = P (X1 ≥ 20)P (X2 ≥ 20) = (1 − p) 40 =0.01478,
Cette probabilité esttrès petite (< 5%). On peut donc rejeter l’hypothèse nulle H0 : p =
0.1. Des valeurs de p plausibles sont, par exemple, les valeurs telles que (1 − p) 40 ≥ 0.05,
c’est àdirep