Exercices et solutions.pdf - IUMSP

(c) On veut P (T >t) ≥ 0.95 ou, ce qui est équivalent, P (T ≤ t) ≤ 0.05 pour N = 100.
On a:
T − Nμ t − Nμ
t − Nμ
P (T ≤ t) =P √ ≤ √ = P Z ≤ √ ,
Nσ Nσ
Nσ
où Z =(T − Nμ)/( √ Nσ) ∼N(0, 1) (approximativament). Comme au point (b), on
al’équivalence
t − Nμ
t − Nμ
P Z ≤ √ ≤ 0.05 ⇐⇒ √ ≤ z0.05,
Nσ
Nσ
d’où
t ≤ √ Nσz0.05 + Nμ.
En remplaçant, on obtient t ≤ 83600.
9.5 On dit que X suit une distribution uniforme discrète sur [a,b], si les valeurs possibles
de X sont {a, a+1, ..., b} et P (X = x) =1/(b−a+1). On démontre que E(X) =(b+a)/2
et σ 2 (X) =(b − a)(b − a +2)/12. Dans le cas du problème traité, les 16 nombres aléatoires
forment des variables aléatoires uniformes i.i.d. de moyenne E(Xi) =μ =9/2 etvariance
σ 2 (Xi) =σ 2 =33/4. En utilisant le théorème limite centrale:
P (4 < X