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9.3 Soit X le nombre de globules blancs par unité de volume. On peut considérer X comme<br />
la somme de 100 variables aléatoires i.i.d. avec distribution de Poisson de paramètre λ =1.<br />
On peut donc utiliser l’approximation normale.<br />
D’après les propriétés de la distribution de Poisson (p. 7.3. du polycopié), E(X) = 100 <strong>et</strong><br />
σ 2 (X) = 100. On a donc<br />
P (X ≥ 90) = P ((X − 100)/10 ≥ (90 − 100)/10) = P (Z ≥−1) = P (Z 115000) = P<br />
<br />
Z><br />
115000 − Nμ<br />
√ Nσ<br />
<br />
= P (Z >1.5) = 1 − P (Z ≤ 1.5),<br />
où Z =(T − Nμ)/( √ Nσ) suit approximativement une distribution N (0, 1). La probabilité<br />
cherchée est donc de 0.0668 (table).<br />
(b) On veut N tel que P (T >50000) ≥ 0.95, ce qui est équivalent à P (T ≤ 50000) ≤ 0.05.<br />
Or,<br />
P (T ≤ 50000) = P<br />
<br />
Z ≤<br />
<br />
50000 − Nμ<br />
√ ,<br />
Nσ<br />
où Z est défini comme au point (a). En faisant l’approximation Z ∼N(0, 1) <strong>et</strong> en<br />
définissant z0.05 comme le quantile 0.05 de la distribution N(0, 1), on obtient que<br />
P<br />
<br />
Z ≤<br />
<br />
50000 − Nμ<br />
√ ≤ 0.05 ⇐⇒<br />
Nσ<br />
(faire un dessin pour s’en convaincre).<br />
Nous allons donc résoudre l’équation suivante:<br />
50000 − Nμ− √ Nσz0.05 =0.<br />
50000 − Nμ<br />
√ Nσ<br />
≤ z0.05<br />
En posant y = √ N, la variable auxiliaire y vérifie l’équation du second degré:<br />
y 2 μ + yσz0.05 − 50000 = 0.<br />
A l’aide de la table, on trouve que z0.05 = −1.64. En remplaçant les différents<br />
paramètres par leur valeur, on obtient l’équation<br />
y 2 − 1.64y − 50 = 0<br />
dont la solution positive vaut 7.94. Comme N = y 2 , la solution pour N vaut 63.04.<br />
La valeur minimale de N qui satsifait P (T >50000) est donc Nmin = 64.