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Solutions des exercices du Chapitre 9<br />
9.1 Soient X1, X2 <strong>et</strong> X3 les variables aléatoires qui représentent les quantités de potassium<br />
contenues dans les trois verres. On suppose que X1, X2 <strong>et</strong> X3 sont indépendantes <strong>et</strong><br />
soit T = X1 + X2 + X3. On trouve μ(T ) = 21mg <strong>et</strong> σ 2 (T )=0.48mg 2 (voir solution<br />
de l’exercice 7.5 du Chapitre 7). Donc, P (T > 15mg) = P ((T − 21mg)/0.69282mg ><br />
(15 − 21)/0.69282) = P (Z >−8.66026) = 1, où Z ∼N(0, 1).<br />
9.2 Soit Xi la variable aléatoire qui vaut 1 lorsque la face 6 apparaît lors du i-ème j<strong>et</strong> <strong>et</strong> 0<br />
sinon. X n’est autre que la somme des Xi:<br />
X =<br />
n<br />
Xi,<br />
i=1<br />
où n = 1200 est le nombre de j<strong>et</strong>s.<br />
Comme les Xi sont indépendantes <strong>et</strong> identiquement distribuées (i.i.d.) <strong>et</strong> que n est grand,<br />
on peut utiliser l’approximation normale. On va donc considérer Z, la version centrée<br />
<strong>et</strong> réduite de X, obtenue en lui soustrayant son espérance μ <strong>et</strong> en la divisant par son écart<br />
type σ:<br />
X − μ<br />
Z = ,<br />
σ<br />
<strong>et</strong> faire l’approximation que Z suit une distribution N (0, 1).<br />
On trouve μ <strong>et</strong> σ en utilisant les propriétés de la distribution binomiale (p. 7.3 du polycopié).<br />
En eff<strong>et</strong>, on a que<br />
X ∼B(n, p),<br />
où n = 1200 est le nombre de j<strong>et</strong>s <strong>et</strong> p =1/6 est la probabilité d’obtenir un 6. On trouve<br />
μ = np = 200 <strong>et</strong> σ = np(1 − p) ∼ = 12.91.<br />
On trouve la probabilité demandée en écrivant<br />
En utilisant la table, on trouve<br />
<br />
180 − μ X − μ 220 − μ<br />
P (180 ≤ X ≤ 220) = P ≤ ≤<br />
σ σ σ<br />
<br />
180 − μ 220 − μ<br />
= P ≤ Z ≤<br />
σ<br />
σ<br />
∼= P (−1.55 ≤ Z ≤ 1.55).<br />
P (−1.55 ≤ Z ≤ 1.55) = 0.8788.<br />
N.B.: C<strong>et</strong>te méthode est valable pour n’importe quelle distribution binomiale Y ∼B(n, p)<br />
lorsque n est assez grand, car Y est toujours la somme de n variables i.i.d. suivant<br />
une distribution B(1,p). (Dans l’exemple ci-dessus, on a Xi ∼B(1, 1/6).)