Exercices et solutions.pdf - IUMSP

Exercices du Chapitre 2
2.1 Considérez les données de l’exercice 1.3.
(a) Calculez les moyennes, les médianes, les écarts types et les écarts interquartiles des
deux séries de mesures.
(b) Est-ce que selon vous ces calculs soutiennent l’hypothèse que le déficit alimentaire
protéique est associé àlamyopie?
(c) Une valeur aberrante (9.00) a été détectée dans la première série; après vérification
on a constaté qu’ il s’agissait d’une erreur. En éliminant cette valeur, recalculez
la moyenne, la médiane, l’écart type et l’écart interquartile de l’échantillon modifié.
Comparez les nouveaux résultats avec les premiers.
2.2 Considérez les données (nombres d’étamines de 100 fleurs) de l’exercice 1.1 ainsi que les
données transformées en prenant leur logarithme naturel. Éliminez une valeur quelconque
dans les deux ensembles (par exemple, la valeur la plus petite).
(a) Calculez les deux médianes et les deux moyennes.
(b) Comment se manifestent les similarités et les différences entre moyenne et médiane
dans les calculs que vous venez d’effectuer en (a) ?
(c) Y a-t-il une relation entre la médiane des données non transformées et celle des données
transformées ?
(d) Y a-t-il une relation entre le premier quartile des données non transformées et le
pemier quartile des données transformées ? Si oui, pouvez-vous étendre la propriété
que vous venez de découvrir à d’autres quantiles ?
(e) Pouvez-vous étendre cette propriété des quantiles à d’autres transformations, par exemple,
le carré etlesinus?
(f) Est-ce que la moyenne àlamême propriété ?
(g) Répétez (a)–(d) avec toutes les données.
2.3 Construire les boxplots des deux ensembles de valeurs de l’exercice 1.1. Quels changements
remarque-t-on après la transformation logarithmique ?
2.4 Soient X et Y deux variables observées sur les mêmes unités, a, b et c des nombres
fixes (constantes). Soit m(X) la moyenne de x1,...,xn et m(Y ) la moyenne de y1,...,yn.
Démontrer les propriétés suivantes de la moyenne.
(a) Si x1 ≥ 0,x2 ≥ 0,...,xn ≥ 0alorsm(X) ≥ 0.
(b) m(aX) =am(X).
(c) m(X + a) =m(X)+a.
(d) m(X + Y )=m(X)+m(Y ). Donc m(aX + bY + c) =am(X)+bm(Y )+c.
(e) En général m(XY ) = m(X)m(Y ).
2.5 Soient X, Y deux variables observées sur les mêmes unités, a, b et c des constantes.
Soit s 2 (X) lavariancededex1,...,xn et s 2 (Y )lavariancededey1,...,yn. Démontrer
les propriétés suivantes.
(a) s 2 (c) =0.
(b) s 2 (aX + b) =a 2 s 2 (X).
(c) s(aX + b) =as(X).
(d) En général s 2 (X + Y ) = s 2 (X)+s 2 (Y ).
(e) La somme des écarts xi − m(X) est toujours nulle.
(f) s 2 (X) =m(X 2 ) − m(X) 2 .