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Solutions des exercices du Chapitre 8<br />
8.1 Soit X la variable aléatoire qui vaut 1 lorsqu’on a pile <strong>et</strong> 0 dans le cas contraire. X<br />
est une variable aléatoire de Bernoulli avec probabilité desuccès égale à p. Lafonctionde<br />
vraisemblance est donc:<br />
L(p) =Π 12<br />
i=1P (X = xi) =p 6 (1 − p) 6 .<br />
On cherche la valeur de p qui maximise c<strong>et</strong>te fonction, ou de manière équivalente, le<br />
maximum de ln(L) =6ln(p) +6ln(1− p). Le maximum est obtenu là oùladérivée est<br />
nulle, donc:<br />
d’où p =1/2.<br />
6<br />
p −<br />
6<br />
(1 − p) =0<br />
8.2 On a P (X = xi) =p(1 − p) xi pour i =1,...,n où lesxisont le nombres de sauts<br />
observés <strong>et</strong> n = 130.<br />
(a) La fonction de vraisemblance est<br />
L(p) =Π n i=1 P (X = xi) =Π n i=1 p(1 − p)xi =(p) n Π n i=1 (1 − p) xi<br />
<strong>et</strong> le logarithme de c<strong>et</strong>te fonction est<br />
log(L(p)) = nlog(p) + [log(1 − p)]<br />
n<br />
xi.<br />
Le maximum de c<strong>et</strong>te fonction s’obtient là oùladérivée par rapport à p est nulle.<br />
L’estimateur du maximum de vraisemblance vérifie donc<br />
n<br />
ˆp<br />
− 1<br />
1 − ˆp<br />
n<br />
xi =0,<br />
i=1<br />
d’où<br />
ˆp =<br />
1<br />
( n i=1 Xi)/n +1 .<br />
(b) Avec les données on trouve ˆp =0.263.<br />
8.3 On considère un échantillon x1,...,xn de taille n. La fonction de vraisemblance s’écrit<br />
donc:<br />
L(µ, σ 2 )=Π n i=1f(xi) =Π n i=1 (2πσ2 ) −1/2 exp(−(xi − µ) 2 /(2σ 2 )),<br />
n<br />
(xi − µ) 2 /(2σ 2 )).<br />
=[(2πσ 2 ) −1/2 ] n exp(−<br />
Le logarithme de c<strong>et</strong>te fonction est donné par:<br />
i=1<br />
ln(L) =(−n/2) ln(2π) − (n/2) ln(σ 2 ) −<br />
i=1<br />
n<br />
(xi − µ) 2 /(2σ 2 ).<br />
i=1