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7.5 Soient X1, X2 <strong>et</strong> X3 les variables aléatoires qui représentent les quantités de potassium<br />
contenues dans les trois verres <strong>et</strong> soit T = X1 + X2 + X3. On supposera que X1, X2 <strong>et</strong> X3<br />
sont indépendantes. On obtient:<br />
μ(T )=μ(X1)+μ(X2)+μ(X3) = 21mg,<br />
σ 2 (T )=σ 2 (X1)+σ 2 (X2)+σ 2 (X3) =3· (0.4mg) 2 =0.48mg 2 ,<br />
σ(T )= 0.48mg 2 =0.69282mg.<br />
7.6 Soit A l’evènement “120 ≤ X ≤ 200”, B l’évènement “l’individu est un Pygmée” <strong>et</strong> W<br />
“l’individu est un Watousi”, nous avons P (B) =0.4 <strong>et</strong>P (W )=0.6; il s’agit de trouver<br />
P (A). On utilise la formule de la probabilité totale: P (A) =P (A|B)P (B)+P (A|W )P (W ).<br />
On sait que:<br />
Donc, à l’aide des tables ou de R,<br />
P (A|B) =P (120 ≤ X ≤ 200) avec X ∼N(120, 20 2 )),<br />
P (A|W )=P (120 ≤ X ≤ 200) avec X ∼N(200, 40 2 )).<br />
P (A|B) =P ((120 − 120)/20 ≤ (X − 120)/20 ≤ (200 − 120)/20) = 0.49997,<br />
P (A|W )=P ((120 − 200)/40 ≤ (X − 200)/40 ≤ (200 − 200)/40) = 0.47725,<br />
d’où P (120 ≤ X ≤ 200) = 0.486337.<br />
Plus généralement, soient Y ∼N(120, 20 2 )<strong>et</strong>Z ∼N(200, 40 2 ) deux variables indépendantes<br />
<strong>et</strong> soient fY <strong>et</strong> fZ leurs densités. Alors, X = Y avec probabilité 0.4 <strong>et</strong>X = Z avec<br />
probabilité 0.6. La fonction de distribution cumulative de X est donc<br />
FX(x) =P (X ≤ x) =0.4P (Y ≤ x)+0.6P (Z ≤ x) =0.4FY (x)+0.6FZ(x)<br />
<strong>et</strong> la densité deX<br />
Alors,<br />
En outre,<br />
Donc<br />
fX(x) =F ′ X (x) =0.4fY (x)+0.6fZ(x).<br />
E(X) =0.4E(Y )+0.6E(Z) =0.4 × 120 + 0.6 × 200 = 168.<br />
E(Y 2 )=[E(Y )] 2 + σ 2 (Y ) = 120 2 +20 2 = 14800,<br />
E(Z 2 )=[E(Z)] 2 + σ 2 (Z) = 200 2 +40 2 = 41600,<br />
E(X 2 )=0.4E(Y 2 )+0.6E(Z 2 )=0.4 × 14800 + 0.6 × 41600 = 30880.<br />
σ 2 (X) =E(X 2 ) − [E(X)] 2 = 30880 − 168 2 = 2656.<br />
Si vous êtes étonnés que σ2 (X) soit si grand, essayez les commandes R suivantes:<br />
p