Exercices et solutions.pdf - IUMSP

7.5 Soient X1, X2 et X3 les variables aléatoires qui représentent les quantités de potassium
contenues dans les trois verres et soit T = X1 + X2 + X3. On supposera que X1, X2 et X3
sont indépendantes. On obtient:
μ(T )=μ(X1)+μ(X2)+μ(X3) = 21mg,
σ 2 (T )=σ 2 (X1)+σ 2 (X2)+σ 2 (X3) =3· (0.4mg) 2 =0.48mg 2 ,
σ(T )= 0.48mg 2 =0.69282mg.
7.6 Soit A l’evènement “120 ≤ X ≤ 200”, B l’évènement “l’individu est un Pygmée” et W
“l’individu est un Watousi”, nous avons P (B) =0.4 etP (W )=0.6; il s’agit de trouver
P (A). On utilise la formule de la probabilité totale: P (A) =P (A|B)P (B)+P (A|W )P (W ).
On sait que:
Donc, à l’aide des tables ou de R,
P (A|B) =P (120 ≤ X ≤ 200) avec X ∼N(120, 20 2 )),
P (A|W )=P (120 ≤ X ≤ 200) avec X ∼N(200, 40 2 )).
P (A|B) =P ((120 − 120)/20 ≤ (X − 120)/20 ≤ (200 − 120)/20) = 0.49997,
P (A|W )=P ((120 − 200)/40 ≤ (X − 200)/40 ≤ (200 − 200)/40) = 0.47725,
d’où P (120 ≤ X ≤ 200) = 0.486337.
Plus généralement, soient Y ∼N(120, 20 2 )etZ ∼N(200, 40 2 ) deux variables indépendantes
et soient fY et fZ leurs densités. Alors, X = Y avec probabilité 0.4 etX = Z avec
probabilité 0.6. La fonction de distribution cumulative de X est donc
FX(x) =P (X ≤ x) =0.4P (Y ≤ x)+0.6P (Z ≤ x) =0.4FY (x)+0.6FZ(x)
et la densité deX
Alors,
En outre,
Donc
fX(x) =F ′ X (x) =0.4fY (x)+0.6fZ(x).
E(X) =0.4E(Y )+0.6E(Z) =0.4 × 120 + 0.6 × 200 = 168.
E(Y 2 )=[E(Y )] 2 + σ 2 (Y ) = 120 2 +20 2 = 14800,
E(Z 2 )=[E(Z)] 2 + σ 2 (Z) = 200 2 +40 2 = 41600,
E(X 2 )=0.4E(Y 2 )+0.6E(Z 2 )=0.4 × 14800 + 0.6 × 41600 = 30880.
σ 2 (X) =E(X 2 ) − [E(X)] 2 = 30880 − 168 2 = 2656.
Si vous êtes étonnés que σ2 (X) soit si grand, essayez les commandes R suivantes:
p