Solutions des exercices du Chapitre 7 7.1 Soit X le nombre de personnes souffrant d’hypertension dans le groupe de 4 individus. On peut considérer X comme le résultat de quatres épreuves de Bernoulli, X suit donc une distribution binomiale <strong>et</strong> on écrit X ∼B(n, p) avecn =4<strong>et</strong>p =0.15. (a) Les probabilités cherchées sont 4 P (X =0)= p 0 0 (1 − p) 4 , 4 P (X =1)= p 1 1 (1 − p) 3 , (b) (c) . P (X = k) = . 4 p k k (1 − p) 4−k . On trouve ainsi: P (X =0)=0.522, P (X =1)=0.3684, P (X =2)=0.0975, P (X =3)=0.0114 <strong>et</strong> P (X =4)=0.0005 P(X=k) P(X
7.2 Supposons que la direction de la rue est Nord-Sud <strong>et</strong> qu’il y a au moins deux portails au Sud <strong>et</strong> deux au Nord du premier. Première solution. Pour que l’ivrogne se r<strong>et</strong>rouve au point de départ, il faut que la suite de ses mouvements (N = vers le Nord; S = vers le Sud) soit une des suivantes: N N S S N S N S N S S N S S N N S N S N S N N S Comme chaque suite à probabilité(1/2)(1/2)(1/2)(1/2) = 1/16, la probabilité que l’ivrogne se r<strong>et</strong>rouve au point de départ est 6/16 = 3/8. Deuxième solution. Soit Xi une variable aléatoire qui vaut 1 lorsque l’ivrogne part dans un sens après la ième tentative <strong>et</strong> −1 s’il part dans le sens contraire. On peut considérer la marche de l’ivrogne comme résultat de quatres épreuves. En posant S4 = X1 + X2 + X3 + X4, cela revient àtrouverP (S4 =0). Lescasfavorablessont {(1, −1, 1, −1), (−1, 1, 1, −1), (1, 1, −1, −1), (−1, −1, 1, 1), (1, −1, −1, 1), (−1, 1, −1, 1)}. Avec P (Xi =1)=P (Xi = −1) = 1/2 <strong>et</strong> si on suppose l’indépendance des variables aléatoires Xi, onaP (S4 =0)=6× (1/2) 4 =0.375. Troisième solution. Considérons quatre départs. Soit X la variable aléatoire qui indique, sur ces quatre départs,lenombredefoisoùl’ivrogne est parti vers le Nord. C<strong>et</strong>te variable à une distribution binomiale B(n =4,p =1/2). Pour que l’ivrogne se r<strong>et</strong>rouve au point de départ, il faut que X =2<strong>et</strong> P (X =2)= 4 2 p 2 (1 − p) 2 = 4 × 3 × 2 × 1 2 × 1 × 2 × 1 (1/2)4 =3/8. 7.3 La variable aléatoire X1 estlenombredesuccès dans n1 épreuves indépendantes de Bernoulli avec la même probabilité p de succès. La variable aléatoire X2 estlenombrede succès dans n2 épreuves indépendantes de Bernoulli avec la même probabilité p de succès. Donc, Y = X1 + X2 est le nombre de succès dans les n1 + n2 épreuves indépendantes de Bernoulli avec la même probabilité p de succès. On conclut que Y ∼B(n1 + n2,p). 7.4 Soit X la quantité mise en bouteille (en cl). Donc X ∼N(μ, σ 2 =4). (a) μ = 101; P (X < 100) = P ((X − 101)/2 < (100 − 101)/2) = P (Z < −1/2) = Φ(−1/2) où Z =(X − 101)/2 ∼N(0, 1), <strong>et</strong> Φ est la fonction de distribution cumulative de la distribution normale centrée réduite. Grâce àlasymétrie de la densité normale, Φ(−1/2) = 1 − Φ(1/2) <strong>et</strong>, à l’aide d’une table ou du logiciel R, on trouve Φ(1/2) = 0.6915. Donc, P (X