Exercices et solutions.pdf - IUMSP

Solutions des Exercices du Chapitre 4
4.1 Soit A=“agées de plus de 30 ans”, B=“mariés”, C=“femmes”. On note #(I), le nombre
d’élements d’un ensemble I. On a alors:
#(A) = 525, #(B) = 470, #(C) = 312,
#(A ∩ B) = 147, #(B ∩ C) = 86, #(A ∩ C) = 42, #(A ∩ B ∩ C) = 25.
On pose:
S1 = (A ∩ B ∩ C),
S2 = (A ∩ B)\ S1,
S3 = (B ∩ C) \ S1,
S4 = (A ∩ C) \ S1,
S5 = A\ (S1 ∪ S2 ∪ S4),
S6 = B\ (S1 ∪ S2 ∪ S3),
S7 = C\ (S1 ∪ S3 ∪ S4).
Alors:
#(S1) = 25; #(S2) = 147 − 25 = 122; #(S3) = 86 − 25; #(S4) = 42 − 25 = 17;
#(S5) = 525 − (122 + 25 + 17) = 361;
#(S6) = 470 − (122 + 25 + 61) = 262;
#(S7) = 312 − (17 + 25 + 61) = 209.
Comme les Si forment une partition de l’ensemble A ∪ B ∪ C, la somme des nombres
d’élements des Si devrait donner 1000; or, le total est 1057.
S6
4.2 On peut représenter les cas possibles par:
B
S2
A
S1
S3
{FFF, FFG, FGF, GFF, GGG, GGF, GFG, FGG}.
On dénombre ainsi 8 cas possibles et on considère les évènements:
A: “le nombre de filles sera 2 ou 3” = {FFF, FFG, FGF, GFF},
B: “il y aura des enfants des deux sexes” = {FFG, FGF, GFF, GGF, GFG, FGG}.
(a) P(A) = 4/8 et P(B) = 6/8 = 3/4.
(b) A ∩ B = {FFG, FGF, GFF},
P(A ∩ B) = 3/8 et P(A)P(B) = 3/8.
Les deux évenements sont donc indépendants.
S5
S7
S4
C