Exercices et solutions.pdf - IUMSP

2.3 Les boxplots sont donnés ci-dessous. La transformation logarithmique rend la distribution
presque symétrique.
0 1000 2000 3000 4000 5000
Boxplot of N
4 5 6 7 8
Boxplot of log(N)
2.4 Propriétés de la moyenne.
(a) est évident.
(b) m(aX) =(ax1 + ...+ axn)/n = a(x1 + ...+ xn)/n = am(X).
(c) m(X+a) =(x1+a+...+xn+a)/n =(x1+...+xn+na)/n =(x1+...+xn)/n+na/n =
m(X)+a.
(d) m(X +Y )=(x1+y1+...+xn+yn)/n =(x1+...+xn+y1+...yn)/n = m(X)+m(Y ).
En utilisant cette propriété, ainsi que (b) et (c), on obtient:
m(aX + bY + c) =m(aX)+m(bY )+c = am(X)+bm(Y )+c.
(e) Il suffit de donner un contrexemple. Soit X =(1, 9) et Y =(2, 0). Donc m(X) =5,
m(Y )=1etm(X)m(Y ) = 5. D’autre part, XY =(2, 0) et m(XY )=1.
2.5 Pour démontrer les propriétés de la variance et de l’écart type on utilise les définitions
et les propriétés de la moyenne.
(a) On a m(c) =c. Donc,s 2 (c) =m([c − m(c)] 2 )=m(0 2 )=0.
(b) s 2 (aX + b) =m([aX + b − m(aX + b)] 2 )=m([aX + b − am(X) − b] 2 )
= m([aX − am(X)] 2 )=a 2 m([X − m(X)]) 2 = a 2 s 2 (X).
(c) En prenant la racine carrée de s 2 (aX + b) =a 2 s 2 (X) onobtients(aX + b) =as(X).
(d) Il suffit de donner un contrexemple. Soit X =(1, 2) et Y =(1, 2). Donc s 2 (X) =0.5 2
et s 2 (Y )=0.5 2 . D’autre part, X + Y =(2, 4) et s 2 (X + Y )=1= 0.5 2 +0.5 2 .
(e) (xi − m(X)) = xi − nm(X) =nm(X) − nm(X) =0.
(f) s 2 (X) =m([X − m(X)] 2 )=m(X 2 − 2Xm(X)+m(X) 2 )
= m(X 2 ) − 2m(X)m(X)+m(X) 2 = m(X 2 ) − m(X) 2 .