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Solutions des exercices du Chapitre 2
2.1 Soit X le vecteur à m = 20 composantes contenant les mesures àfaibleniveauprotéique
et Y le vecteur à n = 17 composantes contenant les mesures àniveauprotéique élevé.
(a) On pose α =0.25 et β =0.75 et on obtient:
m(X) =0.453, med(X) =0.750, s(X) =2.805,
[⌊mα⌋] =5,[⌊mβ⌋] = 15, qα(X) =−0.375, qβ(X) =1.385, Iq(X) =1.76;
m(Y )=0.273, med(Y )=0.750, s(Y )=2.007,
[⌊nα⌋] =4,[⌊nβ⌋] = 12, qα(Y )=0.00, qβ(Y )=1.25, Iq(X) =1.25.
Le logiciel R utilise une version lissée de la function de distribution cumulative empirique
dans le calcul des quantiles. Il donne les résultats suivants:
qα(X) =−0.3125, qβ(X) =1.3275, Iq(X) =1.64,
qα(Y )=−0.2500, qβ(X) =1.2500, Iq(X) =1.00.
(b) m(X) >m(Y ), mais les médianes sont identiques. On ne peut pas conclure que ces
résultats soutiennent l’hypotèse.
(c) Après suppression de la donnée 9.00 dans X, onobtient:
m(X) =0.00, med(X) =0.750, s(X) =2.058,
[⌊mα⌋] =4,[⌊mβ⌋] = 14, qα(X) =−1.5, qβ(X) =1.25, Iq(X) =2.75.
Avec R, on obtient Iq =1.635. On remarque que m(X) ets(X) changent de façon
importante, tandis que med(X) etIq(X) (version lissée de R) sont presque insensibles
à la suppression de la mesure extrême.
2.2 Soit N le nombre d’étamines. Après élimination de la plus petite valeur dans les deux
ensembles de données on obtient:
(a) m(N) = 659.32, med(N) = 422, m(log(N)) = 6.056, med(log(N)) = 6.045.
(b) La médiane représente le milieu de la distribution; la moyenne est infuencée par les
valeurs extrêmes (en particulier par les valeurs élevées de N). La moyenne et la
médiane de N sont très différentes car la distribution de N est très asymétrique. La
médiane et la moyenne de log(N) sonttrès proches, car la distribution de log(N) est
presque symétrique.
(c) On observe que log(med(N)) = 6.045 = med(log(N)).
Ceci s’explique de la façon suivante. Soient n [1] ≤ ...≤ n [99] les valeurs ordonnées de
N. Donc med(N) =n [50] et log(med(N)) = log(n [50]). En outre, comme log est une
fonction monotone croissante, les valeurs ordonnées de log(N) sont log(n [1]) ≤ ... ≤
log(n [99]). Donc med(log(N)) = log(n [50]) = log(med(N)).
(g) Avec toutes les données (100), on obtient med(log(N)) = 6.030581 ≈ 6.030685 =
log(med(N)). Il n’y a pas une parfaite égalité car
med(log(N)) = [log(n [50])+log(n [51])]/2 = log[(n [50] + n [51])/2].
(d) Évidemment, la propriété delamédiane que l’on vient d’établir s’étend à tout quantile
(de façon approximative ou exacte selon la définition).
(e) On peut étendre les propriétés susmentionnées à d’autres transformations, pourvu
qu’elle soient monotones croissantes. (Que se passe-t-il pour des transformations
décroissantes ?) La proprété ne vaut pas pour des transformations non monotones:
par exemple, med(sin(N)) = −0.18472 = 0.85554 = sin(med(N)).
(f) On a m(log(N)) = 6.056395 < 6.419214 = log(m(N). La propriété ne vaut pas pour
la moyenne.