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<strong>Exercices</strong> du Chapitre 8<br />
8.1 On lance une pièce de monnaie douze fois, la probabilité d’obtenir pile étant inconnue<br />
<strong>et</strong> égale à p. Supposons que l’expérience a fourni le résultat suivant:<br />
{F, P, P, F, F, P, F, F, P, F, P, P},<br />
oú F est l’abréviation pour “face” <strong>et</strong> P celle pour “pile”. Donner une expression pour la<br />
fonction de vraisemblance en supposant que le résultat d’un j<strong>et</strong> est une épreuve de Bernoulli<br />
de paramètre p. Endéduire une estimation de p par maximum de vraisemblance.<br />
8.2 Les oiseaux d’un certain type prennent leur envol après avoir effectué quelques sauts<br />
sur le sol. On suppose que ce nombre X de saut peut être modélisé par une distribution<br />
géométrique:<br />
P (X = x) =p(1 − p) x , x ≥ 0.<br />
Notons que la distribution géométrique correspond au nombre d’essais jusqu’au premier<br />
succès si l’on procède àdesrépétitions indépendantes d’épreuves de Bernoulli avec probabilité<br />
desuccès p. Pourn = 130 oiseaux de ce type, on a relevé les données suivantes:<br />
nombre x de sauts 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
fréquence de x 48 31 20 9 6 5 4 2 1 1 2 1<br />
(a) Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance de p est donné par<br />
ˆp =<br />
1<br />
( n i=1 Xi)/n +1 .<br />
(b) Calculer la valeur de ˆp obtenueaveclesdonnées.<br />
8.3 Démontrer la formule de la fonction de vraisemblance du modèledeGaussdonnée dans<br />
le cours. En déduire les estimateurs du maximum de vraisemblance pour les paramètres µ<br />
<strong>et</strong> σ 2 .<br />
8.4 Une variable aléatoire X apourdensité f(x) =(β +1)x β où0