Le gaz d'électrons libres 1 Solutions du gaz d'électrons libres - iramis

Mines Deuxième année
Physique de la matière condensée et des nano-objets
TD4-2010
Le gaz d’électrons libres
Résumé
Dans ce TD nous nous intéressons à l’influence des conditions au bord sur le gaz d’électron libres.
Pour ce faire nous comparons le cas du gaz d’électrons dans une boîte finie à celui vérifiant les conditions
périodiques de Born von Karman. Nous mettons explicitement en évidence les perturbations induites par la
surface .
1 Solutions du gaz d’électrons libres
On considère le modèle ultra simplifié dans lequel les électrons de valence (ceux participant à la cohésion et au
transport électronique) se déplacent dans un potentiel constant que l’on prendra nul V = 0.
1.1 La boîte finie
L’effet de la surface du cristal est de confiner les électrons dans un volume fini. Nous nous limitons au cas unidimensionnel
et supposons que le confinement est imposé par un "mur" infini. La fonction d’onde de l’électron
doit donc s’annuler exactement au bord. On considère le cas d’un gaz d’électron confiné sur un segment de
longeur L
Question no 1 : Montrez que la fonction d’onde normalisée est donnée par
2
Ψk(z) = sinkz
L
avec k = pπ
L
p étant un entier strictement positif. Quel est le niveau d’énergie correspondant ainsi que sa dégénerescence
?
1.2 Les conditions BVK
On considère à présent le cas d’un gaz d’électron sans bord avec les conditions périodiques de Born-Von-
Karman (BVK) sur une longueur L, c’est à dire vérifiant :
Ψk(z + L) = Ψk(z)
Question no 2 : Montrez que la fonction d’onde normalisée est donnée par
Ψk(z) =
1
L eikz
avec k = n 2π
L
n étant un entier relatif (négatif ou positif). Quel est le niveau d’énergie correspondant ainsi que
sa dégénerescence ?
1

1.3 Remplissage des niveaux et niveau de Fermi
On s’intéresse à présent à la distribution des niveaux énergétiques et de leur remplissage suivant le principe de
Pauli. Nous nous attardons notamment sur la limite continue de ces deux modèles.
Question no 3 : Montrez que la courbe du remplissage électronique (dégénérescence de spin
comprise) en fonction du module du vecteur d’onde est donnée par la courbe suivante (boîte finie
en rouge et BVK en bleu) :
Question no 4 : Soit 2N le nombre d’électrons dans le système et k (1)
F et k(2) F les vecteur d’onde de
Fermi respectifs du gaz dans une boîte finie et vérifiant BVK. Montrez que dans la limite continue
(courbe en pointillée) on a :
2N = (2L/π)k (1)
F − 1 pour la boîte finie
2N = (2L/π)k (2)
F
pour BVK
Le niveau de Fermi est essentiel pour tout système de Fermions (en interaction directe ou non) car il définit
le plus haut niveau occupé et nous verrons par la suite qu’un grand nombre de propriétés physiques sont
directement reliées aux électrons situés autour du niveau de Fermi.
Question no 5 : Soit un cristal infini (conditions BVK) avec 2N électrons dans l’espace [0,L]. De
combien varie kF lors de la création des deux "surfaces" ? Si cette variation est négligée combien
perd-on d’électrons ?
2 La densité électronique
La densité électronique est une quantité caractérisant, comme son nom l’indique la distribution spatiale des
électrons dans le cristal. Son comportement fournit des informations importantes sur le comportement du nuage
électronique proche des défauts comme une surface par exemple.
Question no 6 : Montrez que la densité électronique ρ− (z) s’écrit :
ρ − (z) = 4
L
sin(2N + 1)πz/L
1 −
(2N + 1)sinπz/L
N
2 pπz 2N + 1
∑ sin =
p=1 L L
2

En volume la densité électronique est de manière évidente :
ρ − 0
= 2N
L
Question no 7 : Dans la limite continue N → ∞ et L → ∞ mais N/L reste constant. Montrez que
pour z