ondes gravitationnelles - Physique et Astrophysique

CHAPITRE HUIT – ONDES GRAVITATIONNELLES 8.8
x
fig. 8.4. : limite quasi-newtonienne :
Dans ces limites, on a au premier ordre x−x′ r , où r est la distance entre le centre de gravité de la
source et le point où on évalue h , et (8.44) devient :
4
3
hαβ ( x, t) = T ( ′ , t′ αβ = t−r) d ′
r ∫ x x
espace
(8.47)
De plus, l’interprétation physique ne nécessite que les composantes de la perturbation dans la jauge
TT, on se limitera donc au calcul de :
TT
TT 4 ⎡ ⎤
3
hjk ( x, t) = ⎢ Tjk( ′ , t′ = t−r) d ′ ⎥
r ∫ x x
⎢⎣ espace
⎥⎦
où « TT » signifie « projection TT », au sens discuté à la fin du §I.3.
(8.48)
Nous aimerions pour l’approximation newtonienne exprimer le terme de droite en fonction du terme
prépondérant Ttt du tenseur énergie-impulsion. Pour ce faire, bricolons la conservation de l’énergie
impulsion de la source. Celle-ci étant quasi-newtonienne, on a simplement :
αβ
T , β = 0 ⇒
tt tj
⎧ ⎪T
, t =−T
, j
⎨ jt jk
⎪⎩ T , t =−T
, k
(8.49)
en séparant l’équation en ses parties temporelles et spatiales. L’association de ces deux équations
permet d’écrire :
tt
T , tt
tj
=− T , jt
jk
= T , jk ⇒
tt j k
T , tt x x
lm j k
= T , lmx
x
(8.50)
Remarquons maintenant que :
lm j k
T x x =
lm
T
j k lm j
x x + T x
k lm j k
x + T x x
( ) , lm ( , l , l , l)
, m
lm j k jm k jk km j
= T , lmx x + 2(
T , mx + T + T , mx
)
lm j k mj k mk j
= T , lmx
x + 2( T x + T x ) kj
−2T
r
Il vient alors, en injectant dans (8.50) :
jk 1 tt j k 1 lm j k mj k mk j
T = T , tt x x − ( T x x ) + ( T x + T x )
2 2
, lm , m
(8.51)
Les deux derniers termes étant des divergences, ils ne contribuent pas à une intégrale sur l’espace.
(8.48) devient alors :
TT
2 ⎡ ⎤
jk tt j k 3
hTT ( x, t) = ⎢ T , ttx
x d
r ∫ ′ ′ x ′ ⎥
⎢⎣espace ⎥⎦t′=
t−r (8.52)
Les variables x′ ne dépendant pas de t, on peut sortir la double dérivation de l’intégrale :
TT
2
⎡ ⎤
jk jk jk tt j k 3
hTT ( x, t) = Q où Q ≡⎢ T x′ x′ d ′ ⎥
r
∫ x
⎢⎣espace ⎥⎦
(8.53)
, m
x'
Source
L
r L
t′= t−r