ondes gravitationnelles - Physique et Astrophysique
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CHAPITRE HUIT – ONDES GRAVITATIONNELLES 8.8<br />
x<br />
fig. 8.4. : limite quasi-newtonienne :<br />
Dans ces limites, on a au premier ordre x−x′ r , où r est la distance entre le centre de gravité de la<br />
source <strong>et</strong> le point où on évalue h , <strong>et</strong> (8.44) devient :<br />
4<br />
3<br />
hαβ ( x, t) = T ( ′ , t′ αβ = t−r) d ′<br />
r ∫ x x<br />
espace<br />
(8.47)<br />
De plus, l’interprétation physique ne nécessite que les composantes de la perturbation dans la jauge<br />
TT, on se limitera donc au calcul de :<br />
TT<br />
TT 4 ⎡ ⎤<br />
3<br />
hjk ( x, t) = ⎢ Tjk( ′ , t′ = t−r) d ′ ⎥<br />
r ∫ x x<br />
⎢⎣ espace<br />
⎥⎦<br />
où « TT » signifie « projection TT », au sens discuté à la fin du §I.3.<br />
(8.48)<br />
Nous aimerions pour l’approximation newtonienne exprimer le terme de droite en fonction du terme<br />
prépondérant Ttt du tenseur énergie-impulsion. Pour ce faire, bricolons la conservation de l’énergie<br />
impulsion de la source. Celle-ci étant quasi-newtonienne, on a simplement :<br />
αβ<br />
T , β = 0 ⇒<br />
tt tj<br />
⎧ ⎪T<br />
, t =−T<br />
, j<br />
⎨ jt jk<br />
⎪⎩ T , t =−T<br />
, k<br />
(8.49)<br />
en séparant l’équation en ses parties temporelles <strong>et</strong> spatiales. L’association de ces deux équations<br />
perm<strong>et</strong> d’écrire :<br />
tt<br />
T , tt<br />
tj<br />
=− T , jt<br />
jk<br />
= T , jk ⇒<br />
tt j k<br />
T , tt x x<br />
lm j k<br />
= T , lmx<br />
x<br />
(8.50)<br />
Remarquons maintenant que :<br />
lm j k<br />
T x x =<br />
lm<br />
T<br />
j k lm j<br />
x x + T x<br />
k lm j k<br />
x + T x x<br />
( ) , lm ( , l , l , l)<br />
, m<br />
lm j k jm k jk km j<br />
= T , lmx x + 2(<br />
T , mx + T + T , mx<br />
)<br />
lm j k mj k mk j<br />
= T , lmx<br />
x + 2( T x + T x ) kj<br />
−2T<br />
r<br />
Il vient alors, en injectant dans (8.50) :<br />
jk 1 tt j k 1 lm j k mj k mk j<br />
T = T , tt x x − ( T x x ) + ( T x + T x )<br />
2 2<br />
, lm , m<br />
(8.51)<br />
Les deux derniers termes étant des divergences, ils ne contribuent pas à une intégrale sur l’espace.<br />
(8.48) devient alors :<br />
TT<br />
2 ⎡ ⎤<br />
jk tt j k 3<br />
hTT ( x, t) = ⎢ T , ttx<br />
x d<br />
r ∫ ′ ′ x ′ ⎥<br />
⎢⎣espace ⎥⎦t′=<br />
t−r (8.52)<br />
Les variables x′ ne dépendant pas de t, on peut sortir la double dérivation de l’intégrale :<br />
TT<br />
2<br />
⎡ ⎤<br />
jk jk jk tt j k 3<br />
hTT ( x, t) = Q où Q ≡⎢ T x′ x′ d ′ ⎥<br />
r<br />
∫ x<br />
⎢⎣espace ⎥⎦<br />
(8.53)<br />
, m<br />
x'<br />
Source<br />
L<br />
r L<br />
t′= t−r