ondes gravitationnelles - Physique et Astrophysique
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CHAPITRE HUIT – ONDES GRAVITATIONNELLES 8.2<br />
Zone proche :<br />
Gravité linéarisée en<br />
espace-temps courbe<br />
Source<br />
Gravité nonlinéaire<br />
fig. 8.1. : Zone de validité de l’équation (8.12)<br />
système à l’origine de ces perturbations doit lui-même avoir de faibles énergie <strong>et</strong> impulsion. La<br />
solution statique de c<strong>et</strong>te équation a déjà été étudiée au chapitre 5 (expression (5.77)). Nous nous<br />
intéressons ici uniquement à la solution dynamique.<br />
Introduisons enfin la perturbation à trace inversée :<br />
1<br />
hαβ ≡hαβ − ηαβh<br />
2<br />
(8.9)<br />
qui doit son nom à la propriété h =− h (un autre exemple de renversement de la trace est le tenseur<br />
d’Einstein, qui n’est autre que le tenseur de Ricci à trace inversée). On a donc aussi :<br />
1<br />
hαβ = hαβ − ηαβ<br />
h<br />
2<br />
(8.10)<br />
<strong>et</strong> les équations du champ linéarisées exprimées en fonction de c<strong>et</strong>te nouvelle grandeur se simplifient<br />
légèrement en :<br />
µν µ ν µ ν<br />
−hαβ − ηαβh , µ ν + ηαβηνβh , αµ + ηναh , µ β 16πTαβ<br />
Dans le vide ( Tαβ = 0 ), (8.11) se réduit à :<br />
(8.11)<br />
µ µ<br />
Rαβ = 0 ⇒ −hαβ − h, αβ + h β , αµ + h α , µ β = 0<br />
⇔ − h 1<br />
µ µ<br />
+ η h<br />
+ h βα , µ + h α, µ β = 0<br />
(8.12)<br />
αβ αβ<br />
2<br />
C<strong>et</strong>te expression est plus générale que (8.11) car ici la source ayant généré la perturbation n’est pas<br />
restreinte par la faiblesse des composantes de son tenseur énergie-impulsion, du moment qu’elle est<br />
suffisamment éloignée de la position à laquelle on veut évaluer h. (fig. 8.1.). Dans la source<br />
dynamique <strong>et</strong> dans son voisinage immédiat (région grisée de la figure), les équations du champ<br />
d’Einstein doivent être résolues analytiquement ou numériquement dans toute la complexité de leur<br />
non-linéarité. Puis en s’éloignant, on peut traiter la dynamique de la métrique comme une<br />
perturbation d’une métrique de fond statique g (0) , il faut alors modifier les résultats précédents en<br />
remplaçant la métrique de Minkowski η par g (0) . Enfin, si l’on s’éloigne suffisamment de la source<br />
pour atteindre sa région asymptotique, (8.12) devient suffisante pour traiter le problème de la<br />
propagation de la perturbation de la métrique.<br />
2) Invariance de jauge, jauge de Lorenz<br />
En électromagnétisme, le tenseur du champ F dérive du potentiel vecteur A :<br />
Fαβ = Aβ; α − Aα;<br />
β<br />
Si on fait le changement<br />
(8.13)<br />
A → A′ = A + ψ<br />
(8.14)<br />
α α α , α<br />
Zone asymptotique :<br />
Gravité linéarisée en<br />
espace-temps plat