ondes gravitationnelles - Physique et Astrophysique

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1 2 d a CHAPITRE HUIT – ONDES GRAVITATIONNELLES 8.18 β α λ Nˆ × L(0) ˆ Nˆ × L(t’) ˆ fig. 8.12. : d tan β = = cosλtanα a cos λ donc Nˆ × L ˆ se rapproche de la position µ(t’=0) : Ψ ( t′ ) =Ψ0 − β( t′ ) =Ψ0 − arctan cos λtanα( t′ ) 2 a. h+ b. h× fig. 8.13. : Onde gravitationnelles émises par un objet compact chutant vers un trou noir de Kerr (1 : lorsque a = 10M et 2 : au niveau de la dernière orbite circulaire stable) Les caractéristiques de la binaire sont, avec les notations du texte : 6 M = 3× 10 M arot = M m= 10 M λ= π 4 Ψ 0 = 0 La direction d’observation est telle que : θ = π 3 φ = 0 r = 1 Mpc 1 ( )
3) Binaire elliptique CHAPITRE HUIT – ONDES GRAVITATIONNELLES 8.19 a. Expression de h On s’intéresse ici à la forme des ondes gravitationnelles émise par une binaire en orbite elliptique au cours d’une période. On ne prend pas en compte la modification de l’énergie du système due à l’émission d’onde gravitationnelles ni l’effet du à l’entraînement des référentiels. L’ellipse de Kepler est caractérisée par l’équation : p r = 1+ ecosψ (8.107) où 2 p ≡a( 1− e ) est le paramètre de l’ellipse, a son demi grand-axe et e son excentricité. La troisième loi de Kepler donne : ( ) 2 ψ = d’où : Mp = 2 r M 1+ ecosψ 3 p (8.108) dr r = ψ = e dψ sinψ p M (8.109) On peut maintenant calculer le moment quadripolaire et ses dérivées temporelles en fonction de r et φ, puis à passer en jauge TT pour obtenir, dans une direction d’observation ( θ, φ ) : 2 ⎧ 2 h+ ( ψ) =− H( 1+ cos θ)( 1+ ecosψ) ⎪ ⎪ ⎡ ⎛ 3 e + cosψ ⎞ 3 ⎤ ⎪ × ⎢cos ( 2ψ − 2φ) + ecos( 2ψ) ⎜cos ψ + ⎟+ esin ( 2ψ)( sin ψ + 2cosψ sinψ) 2 ⎥ ⎪ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎨ (8.110) 2 ⎪h× ( ψ) = H× 2cosθ( 1+ ecosψ) ⎪ ⎪ ⎡ ⎛ 3 e + cosψ ⎞ 3 ⎤ × sin ( 2ψ − 2φ) + esin ( 2ψ) cos ψ + + ecos( 2ψ)( sin ψ + 2cosψ sinψ ⎪ ⎢ ⎜ ⎟ ) 2 ⎥ ⎩ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ où l’amplitude H est donnée par : 2 2µ M 2Gµ M H = = 2 4 2 da ( 1−e) c da ( 1−e) (8.111) (avec d la distance d’observation), et où la dépendance temporelle est implicite via (8.108) : t′ = 3 ψ p dψ′ 2 M∫ 0 ( 1+ ecosψ′ ) (8.112) La figure 8.14 donne l’allure des ondes attendues. Comme l’objet compact se déplace plus rapidement près du périhélie, les ondes gravitationnelles, proportionnelles à l’énergie cinétique, sont plus importantes au cours de cette demi-orbite, qui est aussi plus courte pour la même raison. b. Circularisation des orbites excentriques Lorsqu’un trou noir supermassif (e.g. le trou noir central d’une galaxie) capture un objet compact, on peut s’attendre à ce que l’excentricité de l’orbite soit très proche de 1 (fig.8.15.). L’émission d’énergie par rayonnement gravitationnel se fait alors par pulses, elle est localisée près du périastre, sur un angle ∼ 1 rad (fig.8.16). Pour un calcul en ordre de grandeur, on peut considérer que la r = r = a 1− e . trajectoire au cours de l’émission d’énergie est circulaire, de rayon ( ) périhélie
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