ondes gravitationnelles - Physique et Astrophysique

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CHAPITRE HUIT – ONDES GRAVITATIONNELLES 8.14 où on somme sur toutes les valeurs de j et k, où le point indique une dérivée par rapport au temps de coordonnée et où les < > indiquent une moyenne sur une période de l’onde : l’énergie transportée par l’onde n’est donc pas localisable plus précisément. On obtient en injectant la formule du quadrupôle : ( ) 2 OG OG OG 1 TT Ttt =− Ttr = Trr = Q 2 jk (8.79) 8π r La partie temporelle de l’équation de conservation (8.77) permet, en intégrant sur une 3-sphère à l’infini, d’obtenir la puissance rayonnée à l’infini dans l’approximation quadrupolaire : dE tz TOGdS dt =−∫∫ (8.80) L’intégration n’étant pas triviale, puisque la projection TT fait apparaître une dépendance en θ et φ. Sans plus de détails, on trouve : dE 1 2 Q jk dt 5 =− (8.81) Cette formule se charge de la projection TT. Il y a aussi un flux de moment cinétique transporté à l’infini : dLi 2 =− εijk Q jmQ km (8.82) dt 5 Le flux d’impulsion est quant à lui nul dans l’approximation quadrupolaire. III. APPLICATION AUX SYSTEMES BINAIRES 1) Binaire circulaire Pour une binaire circulaire, on a (équation (8.60) ) : ⎧ 4 µ Q xx =− Q M yy =− cos( 2Ωt′ ) ⎪ a ⎨ (8.83) ⎪ 4 µ Q xy = Q M yx =− sin ( 2Ωt′ ) ⎪⎩ a Il vient facilement : 2 2 2 2 2 µ Q ⎛ Ω ⎞ xx = Q yy = Q xy = Q M yx = 8⎜ ⎟ (8.84) ⎝ a ⎠ d’où une puissance rayonnée (ou luminosité gravitationnelle) : 2 2 2 3 2 dE 32 M µ Ω 32 M µ =− =− (8.85) 2 5 dt 5 a 5 a Pour se faire une idée, passons dans le système international d’unités et cherchons des valeurs numériques : 4 2 3 32 G µ E M =− (8.86) 5 5 5 c a Les positions des facteurs G et c conspirent à rendre très faible le rayonnement gravitationnel. On obtient pour la Terre orbitant autour du Soleil E ≈ 20 mW … il n’y a donc pas de quoi faire briller 33 une ampoule. Pour le système (8.66) en revanche, on calcule E 10 W ∼ . Les quantités d’énergies libérées par des systèmes relativistes sont donc énormes, ce qui indique que les corps en orbite ne suivent pas des géodésiques comme on l’a supposé jusqu’à maintenant : au fur et à mesure qu’ils perdent de l’énergie, ils spiralent l’un vers l’autre jusqu’à entrer en collision. Le problème à deux corps reste ouvert en relativité générale : on ne sait pas calculer l’effet sur les astres de la réaction de rayonnement engendrée par l’émission d’énergie et de moment cinétique. Plusieurs approximations approximatives existent cependant, et la plus simple d’entre-elles est le
CHAPITRE HUIT – ONDES GRAVITATIONNELLES 8.15 modèle de la spirale adiabatique, applicable si l’énergie rayonnée au cours d’une orbite reste faible par rapport à l’énergie du système. Dans le cas de l’exemple (8.66) : 1 Gµ M E = Ecin + Epot =− 2 a ⇒ ET −15 ∼ 10 E (8.87) et la méthode est utilisable sans aucune arrière-pensée jusqu’à la dernière orbite stable. On peut alors considérer que les masses suivent des orbites quasi-képlériennes. On a alors : dE 1 µ = 2 da 2 a M (8.88) et il vient : 2 2 3 2 da 2a 32 µ M 64 µ M a = E=− ⋅ =− 5 3 dE µ M 5 a 5 a (8.89) L’évolution de a sous l’influence de l’énergie perdue par rayonnement s’obtient facilement par intégration : 3 5 a dt′ =− da 2 64 µ M ⇒ 4 4 5 a − a0 t′ =− 2 256 µ M (8.90) soit : 1/4 t′ a( t′ ⎛ ⎞ ) = a0⎜1− ⎟ ⎝ τ ⎠ où a0 est le rayon de l’orbite à t’ = 0 et (8.91) 4 5 a0 τ = 2 256 µ M (8.92) est la « durée de collision » au bout de laquelle formellement a → 0 . Pour la Terre spiralant vers le 23 Soleil τ ∼ 10 ans (!), pour un trou noir de 10 masses solaires spiralant vers le centre galactique à partir de a0 = 20 M, on obtient 5 4 5 c a0 10 τ = ∼10 s ∼ 100 ans 3 2 256 G µ M (8.93) (8.70) et (8.91) montrent que l’amplitude de l’onde étant inversement proportionnelle à a elle augmente comme ( ) 1/4 1 t τ − − à mesure que les deux astres se rapprochent. De plus, la fréquence augmente puisque la vitesse angulaire est fonction de a : () 3 3/8 1 3 0 t Ω t = M = a − M⎛ ′ ⎞ ⎜ − ⎟ a ⎝ τ ⎠ (8.94) Enfin, il n’est pas nécessaire ici d’utiliser (8.82) pour calculer l’évolution du moment cinétique orbital. On a en effet : 2 Lt () = µa Ω= µ Ma = µ 1/8 ⎛ t′ ⎞ M a0⎜1− ⎟ ⎝ τ ⎠ (8.95) L’intégration pour obtenir l’angle ψ (t) (fig. 8.5) à partir de (8.94) est immédiate : 8 ψ () t = ∫ Ω ( t′ ) dt′ = τ 5 5/8 M ⎡ ⎛ t′ ⎞ ⎤ 1 1 3 ⎢ −⎜ − ⎟ ⎥ a0 ⎢⎣ ⎝ τ ⎠ ⎥⎦ (8.96) la constante d’intégration étant ici choisie telle que ψ ( 0) = 0. La formule (8.70) devient donc, en tenant compte la perte d’énergie : ⎧ 4Mµ −1/4 2 ⎪ h+ =− ( 1− t′ τ ) ( 1+ cos θ) cos( 2ψ ( t′ ) −2φ) ⎪ ar 0 ⎨ 4 µ −1/4 ⎪ M h× =− ( 1−t′ τ) 2cosθsin( 2ψ ( t′ ) −2φ) ⎪⎩ ar 0 (8.97)
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