ondes gravitationnelles - Physique et Astrophysique

CHAPITRE HUIT – ONDES GRAVITATIONNELLES 8.14
où on somme sur toutes les valeurs de j et k, où le point indique une dérivée par rapport au temps de
coordonnée et où les < > indiquent une moyenne sur une période de l’onde : l’énergie transportée par
l’onde n’est donc pas localisable plus précisément. On obtient en injectant la formule du quadrupôle :
( ) 2
OG OG OG 1 TT
Ttt =− Ttr = Trr = Q
2 jk
(8.79)
8π
r
La partie temporelle de l’équation de conservation (8.77) permet, en intégrant sur une 3-sphère à
l’infini, d’obtenir la puissance rayonnée à l’infini dans l’approximation quadrupolaire :
dE
tz
TOGdS dt =−∫∫ (8.80)
L’intégration n’étant pas triviale, puisque la projection TT fait apparaître une dépendance en θ et φ.
Sans plus de détails, on trouve :
dE 1 2
Q jk
dt 5
=− (8.81)
Cette formule se charge de la projection TT. Il y a aussi un flux de moment cinétique transporté à
l’infini :
dLi
2
=− εijk
Q jmQ km
(8.82)
dt 5
Le flux d’impulsion est quant à lui nul dans l’approximation quadrupolaire.
III. APPLICATION AUX SYSTEMES BINAIRES
1) Binaire circulaire
Pour une binaire circulaire, on a (équation (8.60) ) :
⎧
4 µ
Q xx =− Q M
yy =− cos( 2Ωt′
)
⎪
a
⎨
(8.83)
⎪ 4 µ
Q xy = Q M
yx =− sin ( 2Ωt′
)
⎪⎩
a
Il vient facilement :
2
2 2 2 2 µ
Q ⎛ Ω ⎞
xx = Q yy = Q xy = Q
M
yx = 8⎜
⎟
(8.84)
⎝ a ⎠
d’où une puissance rayonnée (ou luminosité gravitationnelle) :
2 2 2 3 2
dE 32 M µ Ω 32 M µ
=− =−
(8.85)
2 5
dt 5 a 5 a
Pour se faire une idée, passons dans le système international d’unités et cherchons des valeurs
numériques :
4 2 3
32 G µ
E
M
=−
(8.86)
5 5
5 c a
Les positions des facteurs G et c conspirent à rendre très faible le rayonnement gravitationnel. On
obtient pour la Terre orbitant autour du Soleil E ≈ 20 mW … il n’y a donc pas de quoi faire briller
33
une ampoule. Pour le système (8.66) en revanche, on calcule E 10 W ∼ . Les quantités d’énergies
libérées par des systèmes relativistes sont donc énormes, ce qui indique que les corps en orbite ne
suivent pas des géodésiques comme on l’a supposé jusqu’à maintenant : au fur et à mesure qu’ils
perdent de l’énergie, ils spiralent l’un vers l’autre jusqu’à entrer en collision.
Le problème à deux corps reste ouvert en relativité générale : on ne sait pas calculer l’effet sur les
astres de la réaction de rayonnement engendrée par l’émission d’énergie et de moment cinétique.
Plusieurs approximations approximatives existent cependant, et la plus simple d’entre-elles est le