ondes gravitationnelles - Physique et Astrophysique
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CHAPITRE HUIT – ONDES GRAVITATIONNELLES 8.11<br />
θ<br />
φ<br />
fig. 8.6. : Base sphérique orthonormée <strong>et</strong> projection TT<br />
i.e. si on se place à l’origine d’un référentiel inertiel local au voisinage de la Terre <strong>et</strong> que l’on mesure<br />
le déplacement relatif d’un obj<strong>et</strong> situé à une centaine de mètres de l’origine, le déplacement mesuré<br />
au passage de l’onde gravitationnelle est de l’ordre du centième du diamètre d’un noyau d’atome !<br />
Le centre galactique étant le foyer d’obj<strong>et</strong>s relativistes le plus proche de nous, on doit bien se faire à<br />
l’idée que la détection directe d’<strong>ondes</strong> <strong>gravitationnelles</strong> doit poser de sérieux problèmes techniques.<br />
(8.60) n’est pas exploitable directement pour calculer les composantes TT de la perturbation dans<br />
une direction différente de l’un des axes x, y ou z. Une solution consiste à passer dans une base<br />
orthonormée sphérique { erˆ, e ˆ, e θ ˆ φ}<br />
, perm<strong>et</strong>tant directement de faire une projection TT dans la<br />
direction voulue en posant Q <br />
ˆˆ = 0 , la base cartésienne du référentiel d’observation dans lequel<br />
rr<br />
l’onde se propage vers les z croissants étant alors { X, Y, Z} = { ˆ, ˆ, θ φ rˆ}<br />
r<br />
ˆ<br />
φ<br />
e e e e e e (fig. 8.6.).<br />
On exprime donc d’abord la partie transverse de (8.60) dans la base naturelle sphérique, avec :<br />
∂θcosθcosφ =<br />
∂x r<br />
∂θ cosθsinφ =<br />
∂y r<br />
∂φ sinφ =−<br />
∂x rsinθ ∂φ<br />
cosφ<br />
=<br />
∂y<br />
rsinθ<br />
(8.67)<br />
Puis on passe dans la base orthonormée associée<br />
1 1<br />
e ˆ = eθ; e θ ˆ = e<br />
φ φ<br />
r rsinθ<br />
Quelques arrangements trigonométriques simples mènent à :<br />
iˆ ˆj<br />
ij ˆˆ x x km<br />
Q ∂ ∂<br />
= Q k m<br />
∂x ∂x ⇒<br />
ˆˆ<br />
⎧ 2<br />
Qθθ = cos θ ⎡cos( 2φ) Q xx ˆˆ + sin ( 2φ)<br />
Q<br />
⎤ yy ˆˆ<br />
⎪<br />
⎣ ⎦<br />
⎪ ˆˆ φφ<br />
⎨Q =− ⎡cos( 2φ) Q xx ˆˆ + sin ( 2φ)<br />
Q<br />
⎣ yy ˆˆ ⎦<br />
⎤<br />
⎪ ˆˆ θφ ˆˆ φθ<br />
⎪Q = Q = cosθ ⎡sin ( 2φ) Q ⎣ xx ˆˆ −cos(<br />
2φ)<br />
Q<br />
⎤<br />
⎩<br />
yy ˆˆ ⎦<br />
(8.68)<br />
rˆˆ tˆˆ<br />
Il vient, en injectant (8.60), en effectuant la projection TT (poser Q α α<br />
= Q<br />
= 0 <strong>et</strong> annuler la trace) :<br />
TT TT 2 µ<br />
2<br />
Q ˆˆ =− Q M<br />
ˆˆ =− ( 1+ cos θ ) cos( 2Ωt′ −2φ)<br />
θθ φφ a<br />
TT TT 2 µ<br />
Q ˆˆ = Q M<br />
ˆˆ =− 2cosθsin( 2Ωt′ −2φ)<br />
θφ φθ a<br />
<strong>et</strong> la formule du quadrupôle donne finalement :<br />
(8.69)<br />
NS<br />
4Mµ<br />
2 8Ecin<br />
2<br />
h+ =− ( 1+ cos θ ) cos( 2Ωt′ − 2φ) =− ( 1+ cos θ) cos( 2Ωt′ −2φ)<br />
ar r<br />
NS<br />
4Mµ<br />
8Ecin<br />
h× =− 2cosθsin ( 2Ωt′ − 2φ) =− 2cosθcos( 2Ωt′ −2φ)<br />
ar r<br />
(8.70)<br />
eY<br />
e Z<br />
e<br />
ˆr<br />
e ˆ θ<br />
e<br />
e X