Electromagnetisme Propagation

Jean-Luc Dion 

Électromagnétisme 

propagation 

lignes électriques 

L D 

Loze-Dion éditeur

Copyright Loze Dion éditeur inc. 

Loze Dion éditeur 

95, Saint Sylvestre 

Longueuil (Québec) J4H 2W1 

Téléphone : (450) 679 1955 

fax : (450) 679 6339 

Tous droits réservés. On ne peut reproduire, enregistrer, ni diffuser aucune partie du présent ouvrage sous 

quelque forme ou par quelque procédé que ce soit sans avoir une autorisation écrite de l'éditeur. 

ISBN 978-2-923565-20-0

Cet ouvrage sur la propagation des ondes électromagnétiques s’adresse aux 

étudiants en génie électrique et en physique des universités et des écoles 

d’ingénieurs. Il sera aussi utile à tous les praticiens qui veulent rafraîchir ou 

approfondir leurs connaissances. On y trouvera un traitement relativement 

complet du sujet par rapport à de nombreux livres dans le domaine. 

Il fait suite au tome 1 traitant des phénomènes d’induction électromagnétiques. 

Toutefois, le présent tome peut être utilisé avantageusement 

par tous ceux qui ont déjà les bases requises. L’ouvrage se divise en deux 

parties assez étroitement intégrées : la propagation libre, et la propagation 

guidée. L’ensemble vise l’acquisition d’une connaissance rigoureuse et 

pratique des phénomènes de propagation électromagnétique dans différents 

milieux. 

Il suppose au départ une bonne maîtrise de l’électromagnétisme 

fondamental, du calcul vectoriel et du calcul des variables complexes, 

essentiellement l’usage du théorème d’Euler et de la fonction exponentielle 

complexe pour décrire les vibrations. 

L’auteur a choisi l’approche la plus intuitive possible en utilisant de 

nombreuses illustrations et exemples numériques. Il a aussi privilégié les 

démonstrations claires où beaucoup d’étapes intermédiaires sont 

volontairement conservées pour faciliter la compréhension en évitant de se 

buter sur des difficultés mathématiques secondaires. Lors d'une première 

lecture, on peut facilement sauter ces étapes pour saisir l’ensemble d’un 

sujet donné. Tous les chapitres se terminent par une série d’exercices 

identifiés permettant de pratiquer les diverses notions introduites. 

La première partie comporte une brève introduction à la propagation et au 

mode de production des ondes électromagnétiques sur la base des équations 

de Maxwell. La notion de vecteur complexe en régime harmonique est 

introduite pour faciliter le traitement mathématique dans tout ce qui suit, en 

faisant bien ressortir que la partie réelle d’un vecteur complexe correspond 

au champ réel. 

On traite ensuite à fond de la propagation des ondes planes dans différents 

milieux illimités : vide et diélectrique parfaits, diélectriques réels et 

conducteurs. L’atténuation des ondes en cours de propagation est 

démontrée comme un effet général des pertes diélectriques et de la 

conductivité du milieu. La relation est ensuite établie entre le champ électromagnétique 

et la puissance transportée par une onde.

iv Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques 

La transmission de l’énergie électromagnétique à l’interface de deux milieux 

se retrouve dans les deux chapitres suivants. Le premier traite du cas simple 

de l’incidence perpendiculaire ou normale à l’interface, en introduisant les 

concepts de coefficients de réflexion et de transmission. Il comporte aussi 

une introduction aux ondes stationnaires. Le chapitre 3 traite de l’incidence 

oblique en distinguant le cas d’une onde polarisée perpendiculairement au 

plan d’incidence et celui de l’onde polarisée parallèlement. On introduit 

l’expression générale d’une onde qui se propage dans une direction 

quelconque. Les expressions exactes des coefficients de réflexion et de 

transmission dans les deux cas y sont démontrées : les formules de Fresnel. 

Ce chapitre se termine par une introduction au concept d’onde évanescente 

qui prend toute son importance pratique dans les nouveaux dispositifs de 

communication optique, y compris les fibres optiques. Le dernier chapitre de 

cette première partie est une brève mais rigoureuse introduction au 

rayonnement électromagnétique produit par des charges et courants 

oscillants. 

La deuxième partie de l’ouvrage traite de la propagation guidée des ondes 

électromagnétiques. Le chapitre 5 étudie les conditions de propagation entre 

des plans conducteurs ou guides d’ondes « ouverts ». Cette approche permet 

d’introduire de façon relativement simple les notions de mode de 

propagation, de fréquence de coupure, de vitesse de phase et de vitesse de 

groupe. Ce qui est traité dans ce chapitre s’applique assez directement à la 

propagation dans les « microrubans » utilisés dans les circuits 

hyperfréquences. On y démontre particulièrement les expressions de 

l’atténuation dans les différents modes. Les méthodes et les concepts 

développés devraient aussi beaucoup faciliter l’étude ultérieure des guides 

d’ondes « fermés », rectangulaires, circulaires ou autres. 

Les chapitres suivants sur les lignes électriques pourraient être abordés, si 

on le désire, sans avoir étudié la propagation guidée au chapitre précédent, 

l’ordre proposé ici est préférable sans être essentiel. En effet, on y développe 

le concept de paramètres localisés d’une ligne qui permet d’une façon 

classique d’utiliser la méthode des circuits électriques pour développer les 

équations de propagation de la tension et du courant électrique sur la ligne. 

On commence par étudier le cas des lignes semi-infinies sans pertes pour 

introduire certains concepts comme ceux d’impédance caractéristique et de 

coefficient de réflexion. La propagation et la réflexion des ondes en échelon y 

sont étudiées pour illustrer les problèmes qui peuvent se poser en pratique 

dans le cas de réflexions multiples sur la ligne. L’introduction de

théorèmes des interrupteurs permet de résoudre le problème des lignes 

initialement chargées ou parcourues par un courant qui sont ensuite 

fermées sur une charge. L’auteur a délibérément choisi de ne pas utiliser le 

formalisme de la transformée de Laplace pour décrire les ondes en échelon, 

de façon à ne pas obscurcir l’essentiel qui est de bien comprendre les 

phénomènes de propagation et de réflexion. 

Au chapitre 7, on aborde la propagation sur les lignes semi-infinies avec 

pertes en régime harmonique, en utilisant systématiquement la fonction 

exponentielle complexe pour décrire les vibrations et les ondes. On analyse 

l’effet de la fréquence sur la fonction de propagation et l’impédance 

caractéristique qui sont des grandeurs complexes. On y étudie aussi la 

variation des paramètres linéiques en fonction de la fréquence pour en tirer 

des expressions du coefficient d’atténuation d’une ligne quelconque en 

fonction de la fréquence, en rapport avec l’effet pelliculaire vu précédemment. 

Le chapitre 8 traite finalement de la ligne réelle comme liaison entre une 

source et un récepteur en régime harmonique. Les notions précédentes y 

sont intégrées pour élaborer des expressions générales et rigoureuses 

servant à la solution de problèmes concrets dans le domaine des 

communications et de la transmission de l’énergie électrique en général. On 

y développe le concept de coefficient de réflexion généralisé et sa relation avec 

celui d’impédance électrique, sur la ligne pour établir clairement les relations 

entre les grandeurs d’entrée et de sortie, en relation avec la fréquence et les 

paramètres de la ligne. Ces différents concepts sont clarifiés par de 

nombreux graphiques et figures réalisés par ordinateur. On y décrit 

particulièrement des méthodes simples et vérifiées en laboratoire pour 

déterminer les paramètres essentiels d’une ligne que sont la vitesse de 

phase, l’impédance caractéristique et le coefficient d’atténuation. L’outil 

graphique appelé abaque de Smith est décrit avec des exemples 

d’application, particulièrement pour le problème d’adaptation de l’impédance 

d’une charge au récepteur à celle de la ligne. 

Au terme de cette étude, l’auteur espère que l’étudiant ou l’étudiante aura 

acquis une solide connaissance des phénomènes de propagation 

électromagnétique lui permettant à la fois de résoudre divers problèmes 

pratiques et d’approfondir le sujet par lui-même s’il le désire. 

v 

Mars 2002

Introduction 

Table des matières 

Première partie Propagation libre 1 

1 Ondes électromagnétiques planes 3 

1.1 Généralités 3 

1.2 Production des ondes électromagnétiques 6 

1.3 Le régime harmonique 7 

1.4 Onde plane dans un diélectrique parfait 10 

1.5 Polarisation d'une onde 19 

1.6 Expression du champ magnétique H 24 

1.7 Propagation dans un diélectrique avec perte 26 

1.8 Propagation dans un conducteur 32 

1.9 Théorème de Poynting 35 

2 Réflexion d'une onde plane - Incidence normale 51 

2.1 Interface de deux diélectriques parfaits 52 

2.2 Interface diélectrique - conducteur 56 

2.3 Ondes stationnaires 59 

3 Réflexion d'une onde plane • Incidence oblique 69 

3.1 Onde plane - Direction quelconque 69 

3.2 Réflexion oblique 72 

3.3 Lois de Descartes et Snell 73 

3.4 Réflexion en polarisation perpendiculaire 76 

3.5 Polarisation parallèle 82 

3.6 Onde évanescente 87 

4 Rayonnement électromagnétique 98 

4.1 Potentiels retardés 99 

4.2 Régime harmonique 104

viii Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques 

4.3 Rayonnement d'un dipôle oscillant - Ondes sphériques 105 

4.4 Vecteur de Poynting, intensité, puissance 110 

Deuxième partie Propagation guidée 113 

5 Guides d'onde conducteurs 115 


5.2 Types d'ondes et modes de propagation 119 

5.3 Plans conducteurs parallèles - Mode TEM 120 

5.4 Mode TM 126 

5.5 Mode TE 135 

5.6 Types de vitesse 143 

6 Lignes électriques sans perte 150 


6.2 Bases du modèle 159 

6.3 Équation et fonction d'onde 161 

6.4 Impédance caractéristique 169 

6.5 Source avec résistance interne 172 

6.6 Réflexion 172 

6.7 Théorèmes des interrupteurs 180 

7 Lignes semi infinies avec perte 198 

7.1 Équation d'onde - Amplitude complexe 198 

7.2 Fonctions d'onde - Atténuation 200 

7.3 Analyse de la fonction 204 

7.4 Paramètres linéiques - Effet de la fréquence 211 

7.5 Impédance caractéristique 220 

7.6 Impédance caractéristiques et paramètres géométriques 222 

8 Lignes finies avec perte 235 

8.1 Fonctions d'onde 235 

8.2 Changement de coordonnées 236

8.3 Coefficient de réflexion 236 

8.4 Ondes stationnaires 240 

8.5 Impédance sur la ligne 245 

8.6 Mesures d'une ligne 257 

8.7 Relations entrée/sortie 260 

8.8 Propriété des lignes avec charge capacitive 269 

8.9 L'abaque de smith 272 

8.10 Adaptation d'impédances 278 

Annexe 291 

Index 295 

ix

Partie 1 

Propagation libre

1 

Ondes électromagnétiques 

planes 

1.1 Généralités 

Concept de propagation 

Considérons une région E de l’espace (Figure 1.1.1) où se trouve un courant 

variable i(t) ou une charge Q ayant une accélération a(t). Si un observateur 

se trouve dans une région R éloignée d’une distance moyenne r de la 

première, l’expérience montre qu’il pourra alors mesurer une tension v aux 

bornes d’un circuit, ou encore une force F déplaçant une charge d’épreuve 

Q’. De plus, cette tension ou cette force apparaissent avec un certain retard t 

par rapport à i(t) ou a(t), et ce retard augmente proportionnellement à la 

séparation r des régions E et R. On doit donc conclure qu’il y a transmission 

d’énergie de la région E (émettrice) à la région R (réceptrice). 

On sait depuis les travaux de J.C. Maxwell 1 que des courants variables et 

des charges accélérées sont à l’origine d’un champ électromagnétique qui 

se propage dans le vide à la vitesse de lumière désignée par c, et à une 

vitesse inférieure dans les milieux matériels. Cette vitesse est aujourd’hui 

connue avec précision : 

c = 2,997925... · 10 8 m/s ≈ 3 · 10 8 m/s (1.1.1) 

Il s’ensuit que le retard mentionné plus haut est donné par τ ≈ r/c . 

1 James Clerk MAXWELL, physicien écossais (1831-1879). Dans un mémoire publié en 1864, il exposa sa théorie 

électromagnétique de la lumière dans laquelle figurent les équations générales du champ électromagnétique.

4 Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques 

Ce champ électromagnétique est décrit par les équations de Maxwell que 

nous avons vues précédemment : 

Le théorème de Gauss ∇ · D ρ (1.1.2) 

La loi de conservation du flux magnétique 

∇ · B 0 

L’équation de Maxwell-Faraday ∇ ∧ E ∂B 

∂t 

L’équation de Maxwell-Ampère ∇ ∧ H J + ∂D 

∂t 

(1.1.3) 

(1.1.4) 

(1.1.5) 

En tous points de l'espace et en tout temps, les champs E et H doivent 

satisfaire ces équations. Ces champs sont indissociables et constituent le 

champ électromagnétique. 

Dans ce qui suit, nous allons particulièrement voir comment la solution de 

ces équations fait apparaître un champ électromagnétique qui se propage. 

Q 

i(t) 

a 

- Courant variable i (t ) 

- Charge Q accélérée 

E 

Espace 

vide 

r 

R 

Énergie 

Figure 1.1.1 

F 

Q' 

v 

- Tension induite v 

- Force F sur Q' 

Transmission d’énergie par onde électromagnétique

Le spectre électromagnétique 


Une charge ou un courant oscillant à une fréquence f font apparaître un 

champ électromagnétique à la même fréquence pour un observateur 

immobile par rapport à la source. Ce champ se propage à une vitesse c dans 

le vide et parcourt une distance λ, appelée longueur d'onde au cours d'une 

période d'oscillation. Donc, λ = c/f, une relation fondamentale. 

L'étendue des fréquences ou des longueurs d'ondes dans le vide des ondes 

électromagnétiques connues s'appelle le spectre électromagnétique. Ce 

spectre n'a pas de limites théoriques, mais les modes de production et de 

détection de ces ondes varient considérablement avec la fréquence. Il est 

remarquable que les équations de Maxwell s'appliquent essentiellement à 

toutes. Rappelons que c'est vers 1862 que ce dernier a prédit l'existence de 

ces ondes et a établi la nature électromagnétique de la lumière. Les 

expériences de Hertz (1888) ont confirmé brillamment l'oeuvre théorique de 

Maxwell et il a laissé son nom à ce type d'ondes 2 : les ondes hertziennes. Les 

importants travaux de Branly 3 sur la détection des ondes électromagnétiques 

ont par la suite permis les premières applications par Popov 4 et Marconi 5 . La 

figure 2 est une représentation du spectre électromagnétique. 

2 

Heinrich HERTZ. Physicien allemand (1857-1894). Après avoir conçu son résonateur et son oscillateur, il découvrit les ondes 

électromagnétiques qui portent son nom (1888) et montra qu'elles suivent les mêmes lois que la lumière. Il découvrit en outre 

l'effet photoélectrique (1887), établissant un nouveau lien entre l'optique et l'électricité (Petit Robert 2). 

3 

Édouard BRANLY. Universitaire et physicien français (1844 - 1940) surtout connu pour son invention d'un radioconducteur 

ou « cohéreur » à limaille en 1890, organe principal des appareils de réception de la télégraphie sans fil (Le Petit Robert 2). Au 

cours de l’année 1890, il fit de nombreuses expériences démontrant l’action à distance d’une décharge électrique, jusqu’à 20 m, 

sur son « radioconducteur ». Il fut le premier à attribuer cet effet, cette transmission d’un « signal », à des ondes de nature 

électrique. Il fut l’un des tout premiers à utiliser le mot « radio » associé à ce genre de phénomènes. «Tous les pionniers de la 

T.S.F., Popov, Ducretet, Marconi et bien d’autres construiront leurs appareils récepteurs autour du tube à limaille de Branly... » 

(« Branly - Au temps des ondes et des limailles », P. Monod-Broca, Belin, Paris, 1990, p. 178). Membre de l’Académie des 

Sciences de Paris. 

4 

Aleksandre Stepanovitch POPOV. Ingénieur russe (1859 - 1906). Il eut l'idée d'utiliser les ondes électromagnétiques 

découvertes par Hertz pour transmettre des signaux. Il inventa l'antenne en combinant l'éclateur de Hertz et le cohéreur de 

Branly, remarquant que leurs sensibilités respectives augmentaient si on les reliait à un fil conducteur formant un condensateur 

avec la terre. Il construisit le premier système de télégraphie sans fil (1896) permettant la transmission d'un message en morse à 

250 m (Le Petit Robert 2). 

5 

Guglielmo MARCONI. Physicien italien (1874 - 1937). Avec l'éclateur de Hertz, le cohéreur de Branly et l'antenne de Popov 

il construisit, à 22 ans, un poste qui permettait des transmissions par télégraphie sans fil sur quelques centaines de mètres. (...) Il 

augmenta progressivement la longueur de ses transmissions et réussit, en 1901, la liaison Cornouailles - Terre-Neuve, au-dessus 

de l'Atlantique (Prix Nobel, 1909) (Le Petit Robert 2).

2 

10 

6 

10 

10 

10 

14 

10 

18 

10 

Fréquence (hertz) 

Longueur d'onde (mètre) 

10 6 

Transmission d'énergie 

Ondes longues 

10 2 

R A D I O 

Ondes moyennes 

Ondes hertziennes 

Ondes courtes 

TÉLÉVISION 

10 -2 

Micro-ondes 

(hyper-fréquences 

10 -6 

Infrarouge 

Figure 1.1.2 

Visible 

Ultraviolet 

10 -10 

Rayons X 

Rayons gamma 

10 22 

10 -14 

Représentation du spectre électromagnétique 

Rayons cosmiques 

1.2 Production des ondes électromagnétiques 

Les potentiels retardés 

D'une façon générale, les ondes électromagnétiques sont produites par des 

charges et des courants variables. On sait que le potentiel électrique V d'une 

distribution continue statique de charges de densité r dans le vide est donné 

par l'expression suivante : V 1 

4πεo 

ρ 

r dv 

v 

(1.2.1) 

De même, dans le vide, le potentiel-vecteur A d'une densité de courant J 

stationnaire s'exprime comme : 

μ J 0 

A= d 

4π r v ∫ 

v 

(1.2.2) 

Les intégrales sont calculées sur tout volume englobant toutes les charges et 

tous les courants. Mais, si les densités sont variables dans la région E de la 

figure 1.1.1, ρ(t) et J(t), l'effet de ces variations se fera sentir avec un retard τ 

dans la région R. Il est donc naturel de penser que les potentiels dans R


peuvent s'écrire comme si les densités de charge et de courant étaient 

retardés, c'est-à-dire de la forme ρ(t - r/v) et J(t - r/v), où v est la vitesse de 

propagation. De façon générale : 

[V](t) 

1 

4πε o 

[A](t) μo 

4π 

v 

v 

ρ(t r/v ) 

r 

J(t r/v ) 

r 

dv 

dv 

(1.2.3) 

(1.2.4) 

Ce sont les potentiels retardés. Ils représentent les potentiels en un point P 

de l’espace à l’instant t, mais calculés avec les densités de charge et de 

courant telles qu’elles étaient à l’instant précédent t - r/v. L’intervalle r/v est 

le temps que met la perturbation ou l’onde à franchir la distance de la 

source au point P. Remarquons que ces perturbations se produisent 

sensiblement au même instant à très grande distance de R, sur une surface 

sphérique centrée sur R dans un milieu homogène et isotrope, c'est-à-dire 

un milieu de même composition en tous points où la vitesse est la même 

dans toutes les directions. 

Connaissant ces potentiels, on peut en tirer les expressions du champ E et 

du champ H, à partir des équations connues : 

et H B μo 

1.3 Le régime harmonique 

Champ complexe 

E ∇V ∂A 

∂t 

1 μo 

(1.2.5) 

∇ ∧ A (1.2.6) 

Dans le cas de variations sinusoïdales de pulsation ω = 2π f, f étant la 

fréquence, il est pratique d'exprimer les diverses grandeurs sous forme de 

fonctions exponentielles complexes dont la partie réelle est la grandeur 

réelle : 

ρ t r/v ρ e jω t - r/v ρ e -jωr/v e jωt t 

(1.3.1)


jw( t−r/ v) -jwr/ 

v jwt 

J( t− r/ v) 

= Je= Je 

e (1.3.2) 

jω t 

V(t) = V e 

jω t 

A(t) = A e 

(1.3.3) 

(1.3.4) 

où ρ, J , V et A sont les amplitudes complexes des diverses grandeurs. Plus 

particulièrement, J et A sont des vecteurs complexes, des vecteurs dont les 

composantes sont des nombres complexes. On a, par exemple : 

Pour le potentiel réel V(t) = Ré {V (t)} = |V | cos (ω t) = V cos (ω t) (1.3.5) 

Pour le champ A = A x x + A y y + A z z (1.3.6) 

A = Ax e ja x + Aye jb y + Az e jc z = A xe ja x + A ye jb y + A ze jc z (1.3.7) 

où Ax, Ay, Az sont les amplitudes réelles. On obtient le champ en fonction du 

temps en multipliant par ejω t : 

A(t) Ae jω t A xe j(ω t + a) x + A ye j(ω t + b) y + A ze j(ω t + c) z (1.3.8) 

La composante sur x du champ réel est alors : 

A x(t) Ré{A xe j(ω t + a)} A x cos (ω t + a) etc. (1.3.9) 

Potentiels retardés – Rayonnement 

Portant les relations (1.3.1) à (1.3.4) dans (1.2.3) et (1.2.4), on obtient les 

amplitudes complexes des potentiels retardés produits par les charges et les 

courants au point P de l'espace : 

[V ](r) 

1 

4πεo 

[A](r) μo 

4π 

v 

v 

J e 

ρ e 

r 

-jω r/v 

r 

-jω r/v 

dv 

dv μo 

4π 

1 

4πεo 

v 

v 

J e -jkr 

r 

ρ e -jkr 

r 

dv (1.3.10) 

dv (1.3.11)


où k = ω/v est la constante de propagation, ou encore la constante de phase. 

C'est aussi le module du vecteur d'onde 6 . On place les potentiels entre 

crochets pour bien indiquer ici que ce sont des potentiels retardés. Ces 

crochets peuvent être supprimés par la suite. La substitution de ces 

dernières relations dans (1.2.5) et (1.2.6) permet de trouver les expressions 

du champ électromagnétique en tous points de l'espace : c'est le phénomène 

de rayonnement. On peut ensuite trouver la puissance rayonnée dans 

toutes les directions. 

Production d’une onde plane 

Ici toutefois, nous allons limiter l'étude à celle du cas où la région d'émission 

E est extrêmement loin du point d'observation P sur l'axe 0-Z passant par le 

centre de E. À cette condition, il est évident qu'à un instant donné, le champ 

a la même valeur en tous points d'un plan XY perpendiculaire à 0-Z, car la 

distance à E est essentiellement la même en tous points du plan (Figure 

1.3.1). Nous allons démontrer que dans ce cas simple, les solutions des 

équations de Maxwell sont des fonctions d'onde relativement simples et que 

le champ électromagnétique est sous forme d'une onde plane qui se propage 

en s'éloignant de la région E. 

Énergie 

Source 

0 

Y 

Figure 1.3.1 

Cas d'une source à l'infini sur 0-Z : tous les points d'un plan normal XY sont à la même 

distance de la source 

6 Cette grandeur est aussi désignée par la lettre grecque β . 

X 

Z


1.4 Onde plane dans un diélectrique parfait 

Expression générale de l’équation de 

propagation du champ électromagnétique 

On peut partir des équations (1.1.4) et (1.1.5) pour obtenir une équation en z 

et t qui s'applique à la propagation dans le vide ou dans un diélectrique 

parfait où la densité de charge et la densité de courant sont nuls 

ρ 0, J 0 . Voyons comment le faire. Ces équations deviennent : 

∇ ∧ E μo ∂H 

∂t 

∇ ∧ H ε ∂E 

∂t 

(1.4.1) 

(1.4.2) 

Il s'agit d'éliminer une des inconnues, H en l'occurrence. Prenons le 

rotationnel des deux membres de la première équation : 

∇ ∧ ∇ ∧ E μo ∂ 

∂t 

∇ ∧ H 

En substituant l'expression précédente de ∇ ∧ H dans cette dernière, on 

obtient : 

∇ ∧ ∇ ∧ E μoε ∂2E ∂t 2 

Mais, on sait que ∇ ∧ ∇ ∧ E ∇(∇·E) ∇ 2 E, où ∇(∇·E) 0, car il n'y 

a pas de charges dans l'espace, par hypothèse. Donc : 

∇ 2 E μoε ∂2 E 

∂t 2 

(1.4.3) 

Mais, si on admet que la source est à l'infini, l'onde est plane et on peut 

supposer qu'elle n'a qu'une composante selon x, fonction de z et t seulement. 

Cette dernière équation devient alors simplement :

∂2 Ex 

∂z 2 μοε ∂2 Ex 

∂t 2 

C'est une équation d'onde qui admet des solutions de la forme : 

(1.4.4) 

Ex(z,t) = f(z ± ut) (1.4.5) 

ce qu’on vérifie facilement par substitution. De telles fonctions sont des 

fonctions d'onde. 

On retrouve des équations de forme identique qui décrivent la propagation 

des ondes acoustiques et des ondes mécaniques en général. Par exemple, la 

propagation d'une déformation transversale y (z,t) le long d'une corde tendue 

est décrite par l'équation suivante : 

∂ 2 y ρ 

∂z2 T ∂2y ∂t 2 

où ρ est la masse de la corde par unité de longueur et T est la force de 

tension dans la corde 7 . La pression acoustique étant la variation de pression 

dans un fluide au passage d'une onde, son équation de propagation est : 

∂ 2 p ρ 

∂z2 K ∂2p ∂t2 où ρ est la masse volumique du fluide, et K sa compressibilité adiabatique 8 . 

On a une équation identique pour le déplacement s du fluide au passage de 

l'onde. 

Équation de propagation en régime harmonique 

Équation de Helmholtz 

Supposons que l'espace de la figure 1.3.1 est plein d'un diélectrique 

homogène et isotrope parfait, sans pertes, de permittivité électrique ε et de 

perméabilité magnétique μ o . Supposons de plus que les charges et les 

7 

Ondes et vibrations, par Jean-Luc Dion, C.É.C. Montréal 1974, p. 115. 

8 

Ibid., p. 120.


courants sont nuls partout sauf dans la région source E qui se trouve 

infiniment loin de la région d'observation (région R). On suppose que ces 

charges et courants varient de façon sinusoïdale. Dans ce cas, les équations 

de Maxwell (1.1.2) à (1.1.5) deviennent : 

∇ · D 0 (1.4.6) 

∇ · B 0 (1.4.7) 

∇ ∧ E ∂B 

∂t 

∇ ∧ H ∂D 

∂t 

(1.4.8) 

(1.4.9) 

On s'intéresse ici à trouver des expressions de E et H qui satisfont ces 

équations, ainsi que la relation entre ces deux champs. Cela revient 

essentiellement à résoudre ces deux dernières équations qui sont des 

équations aux dérivées partielles. Mais, on sait que D = εE et B = μoH, de 

sorte que les deux dernières du groupe se réduisent à un système de deux 

équations à deux inconnues E et H : 

∇ ∧ E μo ∂H 

∂t 

∇ ∧ H ε ∂E 

∂t 

(1.4.10) 

(1.4.11) 

Or, si les sources varient sinusoïdalement, les champs doivent aussi varier 

sinusoïdalement. On peut donc les exprimer sous forme d'exponentielles 

complexes : 

E(z,t) E(z) ejω t E ejω t (1.4.12) 

H(z,t) H(z) ejω t H ejω t (1.4.13) 

où les amplitudes complexes sont fonction de z seulement, à cause de 

l'hypothèse initiale. En dérivant H(z,t) par rapport au temps et en portant le 

résultat dans (1.4.10), on obtient, 

∇ ∧ E(z,t) ∇∧(E ejω t) ejω t ∇∧E(z) jω μoH(z) ejω t 

Vu que les exponentielles complexes se simplifient dans les deux derniers 

termes, on n’a plus qu’une équation indépendante du temps :


∇ ∧ E(z) j ω μo H(z) (1.4.14) 

En faisant de même pour l’équation (1.4.11), on obtient : 

ou simplement ∇∧ E = −jwμ 

H 0 

∇ ∧ H(z) jω ε E(z) (1.4.15) 

et ∇ ∧ H jω ε E (1.4.16) 

En tirant de (1.4.14) l’expression de H qu’on porte dans (1.4.15), on obtient : 

∇ ∧ ∇ ∧ E ω 2 μoε E (1.4.17) 

De même pour H : ∇ × ∇ × H = ω 2 μoε H (1.4.18) 

Vu l’identité de forme de ces équations, les solutions pour E et H doivent être 

identiques. Posons k2 = ω 2 μ oε. Alors : 

∇ ∧ ∇ ∧ E k 2 E (1.4.19) 

Mais, ∇ ∧ ∇ ∧ E ∇(∇·E) ∇ 2 E et, dans le cas présent, ∇·E 0 

(éq. 1.1.2), de sorte que : 

∇ 2 

E k 2 E (1.4.20) 

De même : ∇ 2 H k 2 H (1.4.21) 

Les équations de ce type s’appellent équations de Helmholtz 9 . Or, comme la 

source est à l’infini, on sait déjà que l’amplitude complexe du champ ne peut 

dépendre que de z. Le laplacien se réduit donc à une simple dérivée seconde 

par rapport à z : 

∂ 2 E 

∂z 2 ∂2 Ex 

∂z 2 + ∂2 Ey 

∂z 2 + ∂2 Ez 

∂z 2 k 2 E (1.4.22) 

Mais, la composante Ez est nulle dans le cas présent. En effet, d’après 

l’équation (1.4.6), avec D = εE, le champ étant indépendant de x et de y : 

9 Herman Ludwig von HELMHOLTZ, physicien et physiologiste allemand (1821-1894). Il fit d’importants travaux dans 

plusieurs domaines de la physique. Il énonça le principe de conservation de l’énergie. En acoustique, il interpréta le timbre des 

sons par l’existence d’harmoniques superposées (Petit Robert 2).


∇ · E ∂Ex 

∂x 

+ ∂Ey 

∂y 

+ ∂Ez 

∂z 

0 (1.4.23) 

Mais les deux premières dérivées sont nulles, vu que le champ est 

indépendant de x et de y. Donc, E z ne peut pas dépendre de z : il peut être 

constant ou nul. Choisissons E z = 0, une composante constante ne 

présentant pas d’intérêt. De même, H z = 0. 

On arrive ainsi à l’importante conclusion que, dans le cas d’une source à 

l’infini, le champ électromagnétique est transversal, c’est-à-dire 

perpendiculaire à la direction de propagation. Supposons une seule 

composante, pour simplifier : 

Fonctions d’onde 

E = E x x (1.4.24) 

L’équation (1.4.20) se réduit à l’équation différentielle ordinaire du second 

ordre : 

d2 Ex(z) 

dz 2 

+ k 2 Ex(z) 0 

(1.4.25) 

C'est l'équation de Helmholtz : l’équation d'onde de l'amplitude complexe du 

champ E. Une telle équation admet comme solution une fonction 

exponentielle complexe ou une somme d’exponentielles. Soit, par exemple, 

Ex(z) E1 e -jkz + E2 e +jkz (1.4.26) 

où E 1 et E 2 sont des constantes complexes à déterminer. On peut poser : 

et 

E1 = E1 e jφ1 = E1 e jφ1 

E2 = E2 e jφ2 = E2 e jφ2 

où E 1 et E 2 sont des constantes réelles. Rappelons que : 

k = ω εμo 

(1.4.27) 

(1.4.28) 

Le champ magnétique H est nécessairement de la même forme. Nous verrons 

plus loin comment il est relié au champ électrique.


La fonction d'onde complexe Ex(z) avec l'exposant négatif peut donc s'écrire : 

Ex(z) = E1oe jkz = E1oe jφ1 e jkz = E1oe j(kz φ1) = E1o exp –j( kz – φ1) (1.4.29) 

où l'indice o est utilisé pour bien signifier qu'il s'agit de l'amplitude à l'origine 

(z = 0). On peut s'en dispenser selon la clarté du contexte. De plus, on peut 

poser E1o Exo dans ce cas. 

On définit la longueur d'onde comme la distance Δz = λ sur laquelle la 

phase du champ varie de 2π radians à un instant donné : 

k Δz k λ 2π (rd) 

d'où la relation utile : k 2π 

λ 

(rd/m) (1.4.30) 

D'une façon générale, la grandeur kΔz = Δφ est le déphasage des vibrations 

à l'instant t en deux points espacés de Δz . 

La figure 1.4.1 représente une superposition de l'axe de propagation Z et du 

plan complexe, montrant comment évolue l'amplitude complexe E 1 (ou 

phaseur) du champ avec la position z à un instant quelconque t. Elle est 

représentée à des positions espacées d'un quart de longueur d'onde (λ/4). 

On voit la phase initiale à l'origine φ 

1 

. On observe qu'au cours d'un tel 

déplacement, le vecteur tourne d'un quart de tour (π/2 radians). 

ω 

Ε 1ο 

0 φ 

1 

Ε 1 

φ 1 

Ε 1 

PLAN COMPLEXE 

φ 1 

Ε 

Ε 

1 

1 

φ φ 

1 

1 

kz kz kz 

0 λ/4 λ/2 3λ/4 λ 5λ/4 

Figure 1.4.1 

Variation de l'amplitude complexe du champ le long de l'axe de propagation 

En un point donné au cours du temps, le vecteur phase tourne à la vitesse ω 

dans le sens positif, car la fonction d’onde complète est obtenue en 

multipliant la précédente par l’exponentielle e jω t (voir équation 1.4.12). 

Ε 1 

φ 1 

Z


Rappelons que la multiplication d'une grandeur complexe A par 

l'exponentielle complexe e jθ fait tourner le vecteur A d'un angle θ dans le 

plan complexe. 

Champ réel et vitesse de phase 

Pour obtenir la forme réelle du champ E, multiplions les deux membres de 

(1.4.26) par e jωt et prenons la partie réelle : 

ou 

Donc, 

Ex(z,t) Ré Ex(z)e jω t Ré E1 e j(ω t kz) j(ω t + kz) 

+ E2 e 

(1.4.31) 

E x(z,t) Ré E x(z)e jω t Ré E 1 e j(ω t kz + φ 1) + E2 e j(ω t + kz + φ 2) 

Ex(z,t) E1 cos ωt kz + φ1 + E2 cos ω t + kz + φ2 

(1.4.32) 

L’expression entre parenthèses est la phase de la vibration ; la constante φ1 

(ou φ2) est la phase initiale (à t = 0) à l’origine (z = 0). Le premier terme 

représente une onde qui se propage dans le sens positif de z, tandis que le 

deuxième représente une onde dans le sens négatif. Pour voir cela, 

considérons le premier terme qui peut se réécrire comme suit : 

Ex + (z,t) Exo cos ω (t kz /ω + φ1/ω ) (1.4.33) 

ou 

Ex + (z,t) Exo cos ω t τ + C1 

où E 

xo 

est l'amplitude du champ à l'origine (z = 0), où τ = kz/ω et la constante 

C 

1 

= φ 

1 

/ω. À l’origine (z = 0), le champ est donc décrit par la vibration : 

Ex + (0,t) = Exo cos ω (t + C1)(1.4.34) 

qu’on a représentée par la courbe A à la figure 1.4.2. La période est T = 1/f. 

Le champ passe pas un maximum en S A quand t = -C 1 , car cos 0 = 1. La 

vibration en z, en un point supposé près de l’origine, est décrite par la 

courbe B, (équation 1.4.33). On remarque qu’elle passe par un maximum S 

B 

avec un retard τ : c’est le temps que met la perturbation à franchir la 

distance z et ce temps est directement proportionnel à z comme le montre la 

relation τ = kz/ω. La vitesse de propagation de l’onde se déduit alors de cette 

dernière : 

z ω τ v τ 

k

d’où, considérant (1.4.28) : 

v ω 

k 

1 

εμο 


c 

εr 

(1.4.35) 

La vitesse donnée par la relation (1.4.35) est la vitesse de phase, la vitesse 

de propagation d’une onde sinusoïdale de fréquence f = ω /2π. Dans un 

diélectrique considéré comme parfait, elle ne dépend que de la valeur de la 

permittivité ε. 

Sachant qu’en unités SI la perméabilité magnétique du vide est définie 

comme μο = 4π 10 7 , et connaissant la vitesse de la lumière (équation 1.1.1), la 

relation (1.4.35) permet de calculer la permittivité du vide : 

εo 

1 

μoc 2 8,85418·10-12 farad/mètre (1.4.36) 

E x 

E xo 

0 

E xo 

C 1 

τ 

A B 

SA SB T 

T/2 T 3T/2 

Figure 1.4.2 

Variation du champ électrique avec le temps à l’origine (courbe A) et au point d’abcisse z 

positive (courbe B) où la vibration est retardée de t 

Représentons maintenant le champ en fonction de z en deux instants 

successifs, afin de mettre la propagation en évidence d’une autre façon. À cet 

effet, factorisons k dans (1.4.33) : 

Ex(z,t) = Exo cos [-k z - ω t/k - φ1/k ] = Exo cos [-k z - vt - D1 ] 

Ex(z,t) = Exo cos k z - vt - D1 

t 

(1.4.37) 

À t = 0 on a donc : Ex(z,t) Exo cos k z D1 (1.4.38) 

Cette dernière fonction est représentée par la courbe M de la figure 1.4.3 qui 

passe par un premier maximum S M en z = D 1 . À l’instant ultérieur t, par 

exemple, le champ est décrit par la fonction (1.4.37) (courbe N), le maximum 

s’est déplacé de vt jusqu’en S N . La figure sert à définir la longueur d’onde λ.


Les figures 1.4.4 et 1.4.5 montrent deux représentations du champ 

électrique à un instant donné t. La première montre comment le module et le 

sens du champ varient le long de l’axe Z. Elle fait apparaître la longueur 

d’onde λ comme la distance minimale entre deux points où le champ passe 

par un maximum. La deuxième fait ressortir le fait que le champ a la même 

valeur en tous points d’un plan perpendiculaire à l’axe de propagation Z. 

On constate aussi que la longueur d’onde est en fait la distance parcourue 

par le champ ou l’onde au cours d’une période de vibration. Donc : λ = v 

T = v/f 

Ou encore : λ f v (1.4.39) 

une relation fondamentale entre ces trois grandeurs pour les ondes planes. 

On en tire aussi une autre expression utile de la constante de phase k : 

k ω 

v 2πf 

v 

E x 

Ex o 

0 

-E xo 

D 1 

M 

S M 

N 

vt 

S N 

À t = 0 

λ 

À t > 0 

2π 

λ 

λ/2 λ 3λ/2 

Figure 1.4.3 Déplacement à la vitesse v du champ électrique au cours de l’intervalle de 0 à t 

E x λ 

0 

λ/2 

λ 

3λ/2 

Figure 1.4.4 Représentation du champ électrique sur l’axe 0Z à l’instant t 

v 

z 

Z 

(1.4.40)

x 

0 

E 

λ 

E 

Figure 1.4.5 Représentation du champ électrique dans l’espace à l’instant t 

1.5 Polarisation d’une onde 

On désigne par le terme polarisation d'une onde électromagnétique la 

direction dans laquelle vibre le champ électrique. Il existe deux types de 

polarisation : la polarisation plane ou rectiligne et la polarisation elliptique. 

Polarisation rectiligne ou dans le plan 

La polarisation d’une onde électromagnétique plane est rectiligne ou dans un 

plan quand sa composante électrique vibre dans une direction et un plan 

définis. C’est la direction de ce plan qui détermine la polarisation de l’onde 

dans ce cas. L’onde électromagnétique E(z,t) représentée dans la figure 1.5.1 

est polarisée dans le plan Π qui fait un angle θ avec le plan x0z et se propage 

suivant 0z. Ses expressions sous forme complexe sont : 

E z,t Eo z e jωt Eo z e jωta Eoe jφe -jkz e jωta Eoe j φ - kz e jωta (1.5.1) 

où Eo est l’amplitude réelle du champ à l’origine, k est la constante de phase, 

ω est la pulsation, φ est la phase initiale à l’origine (elle peut être nulle) et a 

est un vecteur unitaire perpendiculaire à l’axe 0z dans le plan de 

polarisation (Figure 1.5.1). On sait que sa forme réelle est la partie réelle de 

cette dernière expression : 

E 

E z,t Eo cos ωt kz + φ a (1.5.2) 

La figure 1.5.1 montre que cette onde peut être considérée comme ayant 

deux composantes en phase E1 et E2 : 

E1 z,t E1o cos ωt kz + φ x (1.5.3) 

E 

v 

z

E 2 

E 

Π 

E 1 

x 

0 

E 1 

θ 

E 

E 2 

E 2 

E 

a 

E 1 

y 

Figure 1.5.1 Onde de polarisation rectiligne et ses composantes 

z 

E2 z,t E2o cos ωt kz + φ y (1.5.4) 

avec : E1o Eo cos θ et E2o Eo sin θ (1.5.5) 

Une onde électromagnétique plane peut toujours se décomposer en deux 

autres ondes planes dans des plans mutuellement perpendiculaires ou des 

plans ayant un angle fini entre eux. La direction du champ en tous points 

est donc constante. 

Leur forme complexe correspondante est : 

E1 z,t E1oe j ωt - kz + φ x (1.5.6) 

E2 z,t E2oe j ωt - kz + φ y (1.5.7) 

Polar isation ellipt ique et polar isat ion cir culair e 

Deux ondes planes superposées dans la direction 0z et polarisées dans des 

plans différents donnent une onde de polarisation elliptique dans le cas où 

elles sont déphasées. Cela est représenté dans la figure 1.5.2, dans le cas 

particulier où les plans sont mutuellement perpendiculaires. Les 

composantes sont : 

E1 z,t E1o cos ωt kz x (1.5.8) 

E2 z,t E2o cos ωt kz + φ y (1.5.9) 

Π 

0 

E 1 

x 

θ 

E 2 

E 

y


où φ est le déphasage entre les champs. Dans le cas où ce déphasage est nul 

ou un multiple entier de π, on retrouve le cas précédent de polarisation 

rectiligne. Dans le plan z = 0, on obtient : 

E1 z,t E1o cos ωt x E1o cos 2π t x 

T 

(1.5.10) 

et E2 z,t E2o cos 2π t + φ y 

T 

(1.5.11) 

E 2 

E 

E 1 

x 

E 

0 

E 1 

E 

E 2 

E 

E 

E 2 

E 

E 1 

Figure 1.5.2 Onde de polarisation elliptique 

L a co mpo sitio n de ces deu x vect eurs dans le plan z = 0 do nne u n cha mp 

résulta nt E dont la po int e décrit une ellipse au co urs d’u ne période de 

vibra tio n T . Son grand a xe est incliné d’u n a ngle θ su r l’a xe 0x. Ceci est 

représenté da ns la figure 1.5.3, dans le ca s o ù le dépha sa ge φ = +45˚, en 

u tilisa nt les vecteu rs t o urna nt s de Fresnel da ns le pla n com plexe po ur décrire 

le cham p dans cha qu e direct io n. Les vecteurs sont ici a u point 1 à t = 0. 

Si les amplitudes des champs E1 et E2 sont égales, avec un déphasage de 

90˚, on obtient alors une onde de polarisation circulaire. 

Examinons maintenant le champ à un instant donné (Figure 1.5.2), par 

exemple à t = 0. Les champs sont alors comme suit en posant t = 0 dans les 

équations (8) et (9) : 

⎧ ⎫ 

E ( z, 0) 

= E cos( −kz)√ 

x = E cos kz x √ = E cos z x√ 

1 1o 1o 1o 

⎨ ⎬ 

⎩ ⎭ 

2π 

λ 

E 

y 

E 1 

z 

E 2 

(1.5.12) 

⎧ ⎫ 

E ( z, 0) 

= E cos( − kz+ )√ x = E cos( kz− ) x √ = E cos z− 

x√ 

2 2o 2o 2o 

⎨ ⎬ 

⎩ ⎭ 

2π 

φ φ 

φ (1.5.13) 

λ

3 

Im 

ORIGINE DE LA 

POLARISATION 

ELLIPTIQUE 

2 

4 

Vibration dans la 

direction de l'axe 0y 

Vibration dans la 

direction de l'axe 0x 

Ré 

ω 1 

E 1 

5 

8 

6 

7 

4 

3 

5 

ω 

x 

Im 

2 

Figure 1.5.3 Production d’une onde de polarisation elliptique 

On voit ainsi que le champ E résultant fait un tour complet autour de l’axe 

0z sur une distance λ, la longueur d’onde. Son extrémité décrit une hélice de 

période spatiale λ (Figure 2). La forme complexe de ces champs est la 

suivante : 

4 

3 

5 

2 

0 

6 

θ 

E 

6 

E1 z E1oe -jkz x (1.5.14) 

E2 z E2oe j-kz + φ y E2oe -j kz - φ y (1.5.15) 

Polarisations circulaires droite et gauche 

Dans la figure 1.5.2, on observe que le champ résultant E tourne dans le 

sens «antihoraire» et que, en plaçant les doigts de la main gauche dans ce 

sens, le pouce pointe dans la direction de propagation. On dit alors que la 

polarisation est circulaire (ou elliptique, 0 < φ ≤ 90˚ ) gauche. Si la condition 

est satisfaite par la main droite, on parle de polarisation circulaire (ou 

elliptique, 0 > φ ≥ 90˚ ) droite. 

E 2 

φ 

1 

1 

7 

7 

8 

8 

Ré 

y


Une onde de polarisation circulaire gauche est donc décrite par : 

E z E1oe -jkz x + E1oe j-kz + π/2 y E1oe -jkz x + j E1oe -jkz y 

ou Ecg z E1o x + j y e -jkz (1.5.16) 

Si la polarisation est circulaire droite, alors : 

Ecd z E1o x j y e -jkz (1.5.17) 

La superposition d’une onde de polarisation circulaire gauche à une onde de 

polarisation circulaire droite dans la même direction donne une onde de 

polarisation rectiligne. En effet, en additionnant ces deux expressions on 

obtient : 

Ecg z + Ecd z 2E1o e -jkz x (1.5.18) 

c’est-à-dire une onde plane polarisée dans la direction 0x. 

Considérations pratiques 

La polarisation des ondes électromagnétiques joue un rôle important dans le 

domaine des communications en pratique. Par exemple, une antenne 

dipolaire A1 (Figure 1.5.4) dans la direction 0x émet une onde E1 polarisée 

dans la même direction. L’antenne E2 émet une onde E2 polarisée suivant 

0y. Les signaux sont amenés aux antennes par les lignes L1, L2. Plus loin, 

sur l’axe 0z par exemple, des antennes identiques peuvent agir comme 

réceptrices de ces ondes. Toutefois, l’antenne dans la direction 0x ne sera 

sensible qu’aux ondes polarisées dans cette direction. De même pour celle 

dans la direction 0y. Une antenne de ce type est donc insensible aux ondes 

polarisées perpendiculairement à l’antenne. De telles antennes ne sont pas 

indiquées pour des sources qui changent d’orientation au cours du temps, 

telles que des satellites ou des vaisseaux de l’espace. 

En déphasant de 90˚ les signaux électriques des lignes L1, L2, on produit 

une onde de polarisation circulaire, gauche ou droite selon le cas. Dans ce 

cas, la sensibilité d’une antenne de réception dipolaire ne dépend pas de son 

orientation autour de l’axe 0z. Les émetteurs de satellites utilisent donc 

généralement ce type de polarisation.

A2 

L2 

A1 

L1 

E1 

x 

E2 

Figure 1.5.4 Antennes et polarisation 

1.6 Expression du champ magnétique H 

F o n c t i o n d ' o n d e - O r t h o g o n a l i t é d e s c h a m p s E e t H 

Supposons que le champ électrique qui se propage dans le sens positif de Z, 

avec une seule composante selon X est décrit comme précédemment par son 

amplitude complexe 

E(z) Ex(z) Exo e -jkz x , 

y 

z 

(1.6.1) 

L’expression du champ magnétique H se déduit simplement de l’équation 

(1.4.14) : 

H 

j 

ω μο 

∇ ∧ E (1.6.2) 

Le calcul de cette expression en coordonnées cartésiennes donne aisément 

H(z) 

k Exo e 

ω μο 

-jkz y (1.6.3) 

Donc, le champ magnétique n’a qu’une composante selon Y, avec une 

amplitude complexe : 

H y 

k 

ω μ ο E x 

. (1.6.4)


Les composantes électrique et magnétique du champ électromagnétique sont 

mutuellement perpendiculaires ou orthogonales et se trouvent dans un 

plan normal à la direction de propagation : le champ électromagnétique est 

transversal. La relation entre ces deux composantes du champ 

électromagnétique est montrée dans la figure 1.6.1. 

Y 

X 

0 

H 

E 

Figure 1.6.1 

Composantes E et H du champ électromagnétique d’une onde plane 

qui se propage dans la direction +Z. 

Impédance caractéristique du milieu 

(impédance d'onde) 

On sait que k = ω /v, avec v 1/ εμo . Il s’ensuit que la relation (1.6.4) peut 

s’écrire comme suit : 

Ex 

μo 

ε Hy 

v 

Z 

(1.6.5) 

ou encore: Ex η Hy (1.6.6) 

Ces composantes sont étroitement liées par la grandeur η (êta) : 

η = 

μo 

ε = 

μo 

εrεo 

= ηo 

εr 

(1.6.7)


définie comme l’impédance caractéristique ou l’impédance d’onde du 

milieu. Cette appellation vient du fait que l’unité de η est l’ohm, car E est en 

V/m et H en A/m. L’équation (1.6.6) est donc de la forme V = ZI. L’impédance 

caractéristique du vide η 0 est alors : 

ηo ≈ 377 ohms (1.6.8) 

1.7 Propagation dans un diélectrique avec perte 

Constante de propagation complexe 

On sait qu’un diélectrique réel s’échauffe sous l’action d’un champ électrique 

alternatif : l’énergie électrique se dissipe en chaleur. Ce phénomène a deux 

causes essentielles : premièrement l’hystérésis, c’est-à-dire le déphasage 

entre le champ E et le champ D puis, deuxièmement, la conductivité σ du 

milieu. On doit donc s’attendre à ce que l’amplitude d’une onde 

électromagnétique plane diminue en cours de propagation. C’est ce que nous 

allons maintenant démontrer en trouvant la fonction d’onde dans ce cas. 

On sait que la permittivité électrique d’un tel diélectrique est un nombre 

complexe, la permittivité complexe : 

Supposons aussi que: σ ≠ 0, μ = μ ο 

ε ε' j ε" (1.7.1) 

et la densité de charge ρ = 0 (1.7.2) 

En régime harmonique de pulsation ω, les équations de Maxwell (1.1.4) et 

(1.1.5) deviennent, considérant (1.4.10) et (1.4.11) : 

∇ ∧ E j ω μο H (1.7.3) 

et ∇ ∧ H σ E + j ω ε E (σ + jω ε) E (1.7.4) 

ou ∇ ∧ H σ + ω ε" + j ω ε' E σ' + j ω ε' E σ E (1.7.5) 

ou encore ∇ ∧ H jω ε j σ ω E jω εe E (1.7.6)

Ce qui permet de définir: 


La conductivité effective σ’ = σ + ωε" (1.7.7) 

La conductivité complexe effective σ = σ’ + jωε’ (1.7.8) 

La permittivité complexe effective εe ε jσ/ω (1.7.9) 

On constate que l’équation (1.7.6) est tout à fait de la même forme que 

l'équation vue précédemment pour les diélectriques sans pertes (1.4.16) que 

nous reproduisons ici: 

∇ ∧ H jω ε E (1.7.10) 

sauf que la permittivité réelle ε est remplacée par la permittivité complexe 

effective ε e . Par conséquent, la solution du système d’équations (1.7.3) et 

(1.7.6) doit être exactement de la même forme que celle des équations 

(1.4.14) et (1.4.15). Sauf que l’expression (1.4.28) de la constante de phase k 

devient une grandeur complexe: 

k = ω εeμo 

(1.7.11) 

C'est la constante ou fonction de propagation complexe. En substituant ε 

e 

, on 

obtient facilement: 

k = ω ε' μo 1 j σ' 

(1.7.12) 

ω ε' 

On sait que δ est l’angle de pertes du milieu et que le facteur de pertes 

tg δ est 

tg δ = σ' 

ω ε' 

On peut donc poser k = k’ + jk” (1.7.14) 

Avec : k' ≡ k ω ε'μο 1 + σ' 2 1/4 

cos δ /2 

ω ε' 

et : 

k" ≡ –α = –ω ε' μo 1 + σ' 

ωε' 

2 1/4 

sin δ /2 

(1.7.13) 

(1.7.15) 

(1.7.16) 

Ce dernier terme, α ou -k ” s’appelle coefficient d’atténuation ou 

d’affaiblissement pour une raison qui deviendra évidente. La grandeur k' ou 

k est la constante de phase, comme avant.


Cas des bons diélectriques 

Si la conductivité effective σ’ est faible devant ω ε’, alors cos δ/2 ≈ 1 et 

sin δ/2 ≈ tg δ/2 ≈ δ/2 ≈ σ’/(2ω ε’). Dans ce cas, celui des bons diélectriques, 

on a de plus σ


Il suffit de multiplier par l’exponentielle e jω t et de réarranger pour avoir 

l’expression complexe en fonction de la position et du temps : 

Ex(z) E1 e-αz ej(ω t - kz + φ1) + E2 e +αz ej(ω t + kz + φ2) 

On obtient le champ réel en prenant la partie réelle de cette dernière 

expression : 

Ex(z) E+ e-αz cos (ωt kz + φ1 ) + E- e +αz cos (ωt + kz + φ2 ) (1.7.24) 

où E+ = E1 et E = E2 sont des amplitudes à l'origine du référentiel choisi 

(z = 0). Nous savons déjà que le premier terme représente une onde qui se 

propage dans le sens positif de z, et l’autre, une onde dans le sens négatif. 

La vitesse de phase est toujours donnée par la relation k = ω/v. D'après 

(1.7.15), cette vitesse doit dépendre de la conductivité effective σ’ et de la 

fréquence. Un milieu où la vitesse de phase des ondes dépend de la 

fréquence est appelé milieu dispersif. C'est le phénomène de dispersion. 

La figure 1.7.1 représente à deux instants successifs t et t + Δt l’onde qui se 

propage dans le sens positif de z et dont l’amplitude diminue 

exponentiellement avec z. On obtient une représentation du second terme 

(onde dans le sens négatif) en faisant faire un demi-tour aux courbes autour 

d’un axe vertical. L’enveloppe supérieure est décrite par la fonction E+ e αz 

et l’enveloppe inférieure par -E+ e αz . 

100 

(Unités arbitraires) 

Valeur du champ 

100 

0 

t 

20 

t + Δt 

Enveloppe 

de l'amplitude 

40 

v 

60 

Z: unités 

arbitraires 

Figure 1.7.1 Champ électrique d'une onde dans le sens positif de z dans un milieu avec pertes. 

Z


Le champ magnétique H - Impédance d'onde 

La composante magnétique du champ électromagnétique se trouve de la 

même façon que dans le cas d’un diélectrique parfait en remplaçant 

simplement la permittivité réelle ε par la permittivité complexe effective 

ε ε dans l'équation (1.6.5) : 

Ex 

μo 

εe Hy 

(1.7.28) 

ou encore: Ex η Hy 

(1.7.29) 

L’impédance caractéristique η du milieu est alors une grandeur complexe. 

Dans ce cas, le champ magnétique est déphasé par rapport au champ 

électrique : les deux champs ne s’annulent pas au même instant en un 

point. En substituant dans (1.7.28) l’expression (1.7.9) de ε 

ε 

, et en utilisant 

(1.7.7), on obtient l’expression exacte suivante pour l’impédance 

caractéristique complexe d’un milieu avec pertes : 

ou encore : 

η = 

η = 

η 

1 + σ' 

ωε' 

μo/ε' 

1 j σ' 

ωε' 

= 

2 1/4 ejθ = ηo 

ε'r 

η 

1 j σ' 

ωε' 

e jθ 

1 + σ' 

ω ε' 

= η e jθ (1.7.30) 

2 1/4 = ηR + jηI (1.7.31) 

où θ = (1/2) arctg (σ’/ω ε’ ) (1.7.32) 

ou encore : η C ηo 

ε' r 

e jθ = η e jθ = η e jδ/2 (1.7.33) 

avec C 1 + (σ'/ω ε') 2 1/4 , η0 ≈ 377 ohms, où l'on reconnaît le facteur de 

pertes tg δ = tg(2θ) = σ'/ωε' . 

Cas de bons diélectriques 

Dans le cas des diélectriques de bonne qualité, la conductivité σ est 

relativement négligeable devant ωε” et le facteur de pertes se réduit à ε"/ε'. 

Si, par exemple, tg δ = 0,02 , ce qui est relativement élevé pour un


diélectrique, on calcule C = 0,99980 et δ ≈ 0,02 rd ≈ 1,15°. On peut donc 

conclure que dans tous les « bons » diélectriques, l'impédance caractéristique 

est pratiquement réelle et essentiellement déterminée par la permittivité 

relative réelle ε' r . 

Dans ce cas, ηR ≈ η ≈ ηo 

ε' r 

et ηI ≈ η sin δ/2 ≈ 

Exemple 1.7.1 Propagation dans le polystyrène 

η δ 

2 

(1.7.34) 

(1.7.35) 

Considérons un morceau de polystyrène dans lequel se propage une onde 

plane de fréquence égale à 1000 MHz. Sa permittivité relative réelle est ε' r = 

2,2, et son facteur de pertes tg δ ≈ 0,001 ≈ δ, avec σ ≈ 10 15 S m 1 . Alors, 

avec la relation (6.20), 

ε" ≈ δ ε' rεo ≈ 0,001 × 2,2 × 8,854 ·10 12 ≈ 1,95 × 10 14 F/m 

Puis, ω ε" = 2π·10 9 × 1,95 ·10 14 = 1,22 ·10 4 S/m 

La conductivité σ est donc négligeable devant cette dernière grandeur. Cela 

est vrai jusqu'à des fréquences très supérieures à celle de la lumière visible : 

environ 6 x 10 14 Hz. Alors σ ' = ω ε" = 1.22 x 10 4 S/m. Il s'agit donc d'un 

bon diélectrique. Dans ce cas, la vitesse de phase est donnée par (1.7.21): 

v = 

1 

2,2 × 8,854·10 12 × 4π·10 7 

La constante de phase : k ≈ k' ≈ ω 

v 

L'impédance caractéristique est donnée par (7.34, 7.35) : 

η ≈ ηR ≈ 

4π·10 7 

2,2 × 8,854· 10 12 

et ηI ≈ 254,0 × 0,001/2 = 0,127 ohms 

= 2,021·10 8 m/s 

2π·109 

≈ = 31,09 rd/m 

2.021·108 1/2 

= 254,0 ohms 

L'impédance caractéristique est donc pratiquement réelle : par conséquent, 

le champ magnétique est pratiquement en phase avec le champ électrique.


Une des formes de la relation (1.7.20) sert à trouver le coefficient 

d'atténuation (avec σ '): 

α ≈ 1.22 × 10 4 × 254 

= 0.0155 Np/m 

2 

Vu que 1 néper = 8,854 décibels, α = 0,137 dB/m. Il s'ensuit qu'en parcourant 

une distance de 1/0,0155 = 64,5 m, l'amplitude du champ électrique ou du 

champ magnétique diminue par le facteur e 1 ≈ 0,368. 

La longueur d’onde est alors : 

λ v 

f 2,021⋅108 m/s 

10 9 Hz 

20,21 cm 

1.8 Propagation dans un conducteur 

Les bons conducteurs tels que les métaux sont caractérisés par une 

conductivité électrique très élevée et une permittivité qui est essentiellement 

celle du vide. Quant à leur perméabilité magnétique, elle est pratiquement 

égale à celle du vide pour les métaux diamagnétiques et les métaux 

paramagnétiques. Elle peut en différer beaucoup pour les métaux 

ferromagnétiques. Finalement, il ne peut y avoir de charges libres dans un 

conducteur. Il faut donc retenir les grandeurs suivantes : 

ε = ε ο , μ ≠ μ ο , σ' = σ , ρ = 0 (1.8.1) 

Dans un bon conducteur, σ >> ω ε ο 

Constante de propagation 

Les premières expressions des diverses constantes de propagation (k, v, α...) 

dérivées plus haut pour les diélectriques avec pertes peuvent servir 

directement ici, en les adaptant, car les équations de Maxwell qui 

s'appliquent ont exactement la même forme (éq. 1.7.3, .6). Donc : 

et 

∇ ∧ E jω μ H 

∇ ∧ H jω εe E 

(1.8.2) 

(1.8.3)


L'équation (1.7.11) permet alors de trouver la constante de propagation k . 

Or, vu que σ >> ωεο, la permittivité complexe effective εe (1.7.9) se réduit à 

−jσ/ω, de sorte que : 

Donc: 

k ω 

jσμ 

ω 

k ω σμ e -jπ/4 = 

Vu que k = k – jα , il s'ensuit que : 

k α = 

La vitesse de phase est alors : 

v ω /k 

= jω σμ = j ω σμ 

ω σμ 

2 

ω σμ 

2 

j 

ω σμ 

2 

(1.8.4) 

(1.8.5) 

(m 1 ) (1.8.6) 

2ω 

σμ (m s 1 ) (1.8.7) 

Il faut remarquer que cette vitesse tend vers zéro avec la fréquence: un tel 

milieu est fortement dispersif. 

Exemple 1.8.1 Propagation dans le cuivre 

À 100 Hz dans le cuivre (σ = 5,7·10 7 S m 1 ), cette vitesse est seulement de 

4,15 m/s ! Il faut comparer à 300 000 km/s dans le vide ! On calcule d’autre 

part α = 150 Np/m, ce qui est énorme : la pénétration de cette onde dans le 

cuivre est donc très faible. 

L'impédance caractéristique du conducteur est déduite de l'expression 

(1.7.28) en substituant la perméabilité et la permittivité appropriées: 

η = 

ou η = 

μ 

εe = 

ω μ 

2σ 

μ 

–jσ /ω = 

+ j ω μ 

2σ = ηR + j ηI 

ω μ 

e 

σ 

jπ/4 (1.8.8) 

(1.8.9)


Fonction d'onde 

On obtient l'expression d'une onde plane de champ électrique qui se propage 

dans un conducteur simplement en portant l'expression (1.8.5) de k dans la 

fonction d'onde : 

Ex(z) Exo e-j(k - jα)z Exo e-αz e-jk z (1.8.10) 

Champ magnétique 

D'après (1.6.5), en y substituant (1.8.9), on obtient la relation entre les 

composantes électrique et magnétique du champ électromagnétique dans un 

conducteur : 

Ex 

ω μ 

σ 

e jπ/4 Hy 

(1.8.11) 

Le champ électrique a donc un avance de phase de π/4 radians (45°) sur le 

champ magnétique et le rapport de leurs modules dépend fortement de la 

fréquence. 

Pénétration - Effet pelliculaire 

Si l'on suppose qu'une onde dans l'air rencontre la surface plane d'un 

conducteur, il y a un phénomène de réflexion dans l'air et de transmission 

dans le conducteur qui seront étudiés plus loin. Toutefois, admettons que 

l'amplitude du champ dans le conducteur, infiniment près de la surface, soit 

réelle Exo. D'après la relation (1.8.10), le module de l'amplitude du champ 

électrique est donc : 

Ex(z) Exo e-αz (1.8.12) 

La diminution du champ avec la profondeur est énorme. La profondeur z à 

laquelle l'amplitude est réduite à la fraction e 1 porte le nom particulier de 

pénétration 10 . On la désigne par le symbole δ : pour ne pas le confondre 

avec l'angle de pertes, ajoutons un indice « o » pour « onde ». On a donc : 

δo = 1 α = 

2 

ω σμ 

10 En anglais cela porte le nom de skin depth et le phénomène est appelé skin effect. 

(1.8.13)

De sorte que l'équation (1.8.12) devient: 


Ex(z) = Exo e z /δo (1.8.14) 

Cette pénétration est relativement faible dans les bons conducteurs, comme 

le montre le tableau 1.8.1. 

TABLEAU 1.8.1 

Pénétration δ 0 

Conducteur 

Conductivité 

(10 7 S/m) 

Perméabilité 

relative 

60 Hz 

(mm) 

1 kHz 

(mm) 

1 MHz 

(mm) 

Aluminium 3,54 1,00 11 2,7 85 

Cuivre 5,80 1,00 8,5 2,1 66 

Or 4,50 1,00 9,7 2,38 75 

Argent 6,15 1,00 8,3 2,03 64 

Fer doux 1,0 ≈2000 1,4 0,35 11 

Graphite 0,010 1,00 2 000 50 1 600 

Eau de mer ≈ 5·10 7 1,00 30 000 7 000 2·1 

Il est intéressant de constater que l'atténuation sur une distance égale à une 

longueur d'onde est une constante, et qu'elle est de 

En effet d'après (7.7) : 

λ v 

f 

= 2πv 

ω 

E x (λ)/E xo = e 2π ≈ 1,87·10 3 (1.8.15) 

= 2π 

ω 

2ω 

σμ 2π 

2 

ω σμ 

2πδ (1.8.16) 

En portant z = λ dans (1.8.14) on obtient donc cette valeur d'atténuation de 

2πNp qui indique bien l'importance du phénomène. Notons que ce résultat 

est indépendant de la fréquence. 

1.9 Théorème de Poynting 

Flux d'énergie électromagnétique 

Les ondes électromagnétiques transportent de l'énergie. En un point de 

l'espace, la puissance instantanée d'une onde par unité de surface 

perpendiculaire à la direction de propagation est donnée par le vecteur de 

Poynting


S = E ∧ H (1.9.1) 

Ceci se démontre de la façon suivante. Considérons une région v de l'espace 

limitée par une surface fermée S où existe une champ électromagnétique 

(fig. 1.9.1). Partout les équations de Maxwell s'appliquent : 

L’équation de Maxwell-Faraday ∇ ∧ E = – ∂B 

∂t 

(1.9.2) 

L’équation de Maxwell-Ampère ∇ ∧ H = J + ∂D 

∂t 

(1.9.3) 

Multiplions la première par H⋅ et la deuxième par E⋅, puis soustrayons l'une 

de l'autre : 

H· ∇ ∧ E – E· ∇ ∧ H = – H· ∂B 

∂t 

– E· J – E· ∂D 

∂t 

(1.9.4) 

Or, le membre de gauche est égal à ∇· (E ∧ H) et, si le milieu est linéaire, 

B = μ H et D = ε E. Il s'ensuit que : 

H· ∂B ∂H ∂ 

= μ H· = 

∂t ∂t ∂t 1 

∂ 

μ H·H = 

2 ∂t 1 

2 μH 2 (1.9.5) 

De même: E· ∂D ∂ 

= 

∂t ∂t 1 ε E2 

2 

(1.9.6) 

Les termes entre parenthèses sont respectivement la densité d'énergie 

magnétique et la densité d'énergie électrique. Or, on sait que la densité de 

courant J est reliée au champ électrique E et au champ électromoteur ε par 

la loi d'Ohm généralisée : 

J = σ (E + ε) 1.9.7) 

Alors, E = J/σ - ε 

d'où: E · J = J 2 /σ - ε · J (1.9.8) 

En portant ces dernières grandeurs dans (1.9.4) on obtient : 

∇· (E ∧ H) = – ∂ 

∂t (1 

2 μH 2 + 1 

2 εE2 ) – J2 + ε · J (1.9.9) 

σ

Isolons le dernier terme : 

ε ⋅ J = ∂ 

∂t 1 

2 μH 2 + 1 

2 εE2 + J2 

σ 

S 

H 

V 

E 


dA 

Figure 1.9.1 Démonstration du théorème de Poynting. 

n 

+ ∇· E ∧ H (1.9.10) 

Signification des termes : (8) 

ε⋅J: La puissance fournie 

par les sources par 

unité de volume. 

∂ 

∂t 1 

2 μH 2 + 1 

2 εE2 : 

J 2 

σ 

: 

S 

Le taux de variation de 

la densité d'énergie 

totale. 

La puissance dissipée 

par effet Joule par unité 

de volume. 

et ∇· (E ∧ H) : Un terme inconnu qui 

sera associé au 

rayonnement d'énergie 

hors du volume. 

(1.9.11) 

(1.9.12) 

(1.9.13) 

(1.9.14)


Intégrons sur tout le volume l'expression (1.9.10) : 

v 

ε·J dv 

= 

∂ 

∂t 1 

2 μH 2 + 1 

2 εE2 

v 

dv + 

J 2 

σ dv 

v 

+ ∇·(E∧H) dv (1.9.15) 

v 

Le terme de gauche est alors la puissance totale développée par les sources 

dans le volume. Le premier terme de droite est le taux de variation des 

énergies électrique et magnétique dans le volume, tandis que le deuxième est 

la puissance totale dissipée par effet Joule. Le troisième ne peut être que la 

puissance électromagnétique sortant du volume V. Il peut se transformer en 

une intégrale sur la surface S du volume considéré au moyen du théorème 

de Green-Ostrogradsky : 

∇ · (E ∧ H) dv = (E ∧ H) · dS = S · dS 

v 

s 

s 

On voit ainsi que cette puissance est égale au flux du vecteur 

(1.9.16) 

S = E ∧ H (watts/m2) (1.9.17) 

à travers la surface. C'est le vecteur de Poynting. Ce vecteur est dans le 

sens de propagation de l'énergie rayonnante et son module est celui de la 

puissance par unité de surface (fig. 1.9.1). 

Exemple 1.9.1 Application du théorème de Poynting dans un champ 

constant 

La validité de ce théorème est générale. Montrons qu'il s'applique 

particulièrement dans le cas où les champs sont constants. Considérons la 

portion de conducteur cylindrique (fig. 1.9.2) de rayon a et longueur b 

portant un courant constant I de densité uniforme J. Le module du champ 

électrique peut s'exprimer comme suit : 

E = J 

σ = 

I 

πa 2 σ 

Le champ H sur la surface latérale est en tous points perpendiculaire à E, et 

son module est donné par : 

H(a) = I 

2πa

a 

n 

S 

S 

E 

J 

Figure 1.9.2 

b 

Application du théorème de Poynting à une portion de conducteur parcouru par un courant 

H 

de densité uniforme J 

Le vecteur de Poynting P = E ∧ H est donc radial et pointe vers l'intérieur du 

conducteur. Introduisant le vecteur unitaire n perpendiculaire à la surface 

vers l'extérieur, le vecteur élément de surface dS = ndS , de sorte que: 

I2 (-n) 

2π2σa3 · n dS = – I 

S 

2 

2π2σa3 dS 

S 

= – I2 2π2 2πab = – bI2 

σa3 πσa2 Sur les extrémités, le vecteur n est axial et perpendiculaire à P : le flux est 

donc nul. La dernière expression étant négative, il s'agit donc d'une 

puissance reçue par le conducteur. Mais, la grandeur b/(πa 2 σ) représente la 

résistance électrique R de cette section de conducteur et RI 2 est la puissance 

dissipée dans le conducteur par effet Joule qui est égale en module au flux 

du vecteur de Poynting. 

Le vecteur Pointing en régime harmonique 

En régime variable sinusoïdal, S(t) = E (t)∧H(t). Or, en vertu du théorème 

d'Euler, ces deux derniers termes peuvent s'écrire sous la forme d'une 

somme de vecteurs complexes : 

E(t) 1 

2 E ejω t + E * e -jω t (1.9.18) 

H(t) 1 

2 H ejω t + H * e -jω t (1.9.19)


d'où : S(t) = 1 

4 [E ∧ H ej2ω t + E * H * e 2jω t + E ∧ H * + E * ∧ H] (1.9.20) 

La puissance moyenne ou le vecteur de Poynting moyen est obtenue en 

intégrant cette dernière expression sur une période T et en divisant par T : 

< S > = 1 

T 

0 

T 

S(t) dt 

(1.9.21) 

Mais, la moyenne des termes exponentiels est nulle sur une période. Il reste 

donc : 

< S > = 1 

4 E ∧ H* + E * ∧ H = 1 

4 E ∧ H* + E ∧ H * * (1.9.22) 

On sait aussi que Ré{A} = 1 

2 A + A* , de sorte que: 

< S > = 1 

2 Ré E ∧ H* = 1 

2 Ré H ∧ E* (W/ m 2 ) (1.9.23) 

Cas d'une onde plane 

La figure 1.9.3 illustre le cas d'une onde plane qui se propage suivant l'axe Z 

dans un milieu quelconque d'impédance caractéristique complexe η (milieu 

avec pertes). Sa polarisation est dans le plan XZ. Alors: 

E = Ex e jkz x (1.9.24) 

H = Hy e jkz y (1.9.25) 

Alors, E ∧ H * = Ex e jkz x ∧ Hy e +jkz y = Ex Hy z (1.9.26) 

Or, d'après (1.7.29), E x = η H y = η H y e jθ (1.9.27) 

De plus, par un simple choix d'origine, on peut faire H y = H y , un nombre 

réel. Alors, E ∧ H * = η Hy 2 e jθ z (1.9.28) 

Le vecteur de Poynting moyen est donc: 

= Pu z = I z = 1 

2 η H 2 

y cos θ z = 1 

2 Ex η 

2 

cos θ z 

(1.9.29)

Y 

X 

0 

H 

E 

Figure 1.9.3 Vecteur de Poynting d'une onde plane suivant 0Z. 

Ce vecteur mesure la puissance moyenne P u transportée par l'onde par 

unité de surface en W/m 2 . Cette grandeur est souvent appelée l'intensité de 

l'onde et désignée par le symbole I. 

Exemple 1.9.2 Vecteur de Poynting • Régime harmonique 

Considérons un polymère (plastique) assez spécial contenant des additifs qui 

le rendent faiblement conducteur, avec une conductivité effective de 10 mS 

(millisiemens) à 1000 MHz. En courant continu, sa conductivité mesurée σ 

est de 5 mS/m. On a déterminé la permittivité électrique relative réelle : elle 

est de 4. On peut ainsi calculer diverses grandeurs en rapport avec une onde 

plane de cette fréquence qui se propagerait dans un tel milieu avec un 

champ électrique d’amplitude égale à 100 V/m. 

On peut donc calculer le facteur de pertes : 

tg δ = σ' = σ' 

ωε' 2πfε' = 

0,01 

2π × 10 9 = 0,04494 

12 

× 4 × 8,854⋅10 

D’où : δ = 0,04491 radians = 2,57˚. La constante de propagation réelle k : 

k = 2πf ε'r εoμo 1 + σ' 

2 1/4 

cos δ /2 = 

ωε' 

k = 2π × 109 4 

3⋅10 8 

k = 41,92 rd/m 

S 

2πf ε'r 

c 

v 

Z 

1 + σ' 

2 1/4 

cos δ /2 

ωε' 

1 + 0,04494 2 1/4 cos 0,02246 rd = 41,89 × 1,001 × 0,9997


On observe que les deux derniers termes ont un effet négligeable dans le cas 

présent. Ce milieu peut encore être considéré comme un « bon diélectrique ». 

Le coefficient d’atténuation est alors : 

α = 41,89 × 1,001 × sin 0,02246 rd = 0,9417 Np/m 

Comme 1 Np = 8,686 dB, α = 8,18 dB/m 

Le module de l’impédance d’onde : 

η = ηo 1 

ε'r 1 + σ' 

= 337 × 1 = 168,3 ohms 

2 1/4 4 1,001 

ω ε' 

Son argument : θ = (1/2) arctg (σ’/ω ε’) = δ/2 = 0,02246 rd = 1,29˚. 

D’où : 

et 

ηR = η cos δ/2 = 168,3 × 0,9997 ≈ 168,3 ohms 

ηI = η sin δ/2 = 168,3 × 0,02246 ≈ 3,78 ohms 

Donc l’impédance d’onde est pratiquement réelle : l’avance de phase du 

champ électrique sur le champ magnétique n’est que de 1,29˚. 

L’intensité de l’onde, ou module du vecteur de Poynting, est alors : 

E x 

2 

1 

100 

I = cos θ = = 29 71 

2 η 

168 3 

1 

, 

2 , 

2 

W/m 2 

Après un parcours de 1 mètre (z = 1 m) dans ce matériau, l’intensité de 

l’onde est réduite à : 

I = Ioe 2αz = 29,71 × exp -2 × 0,9417 × 1 = 4,52 W/m2 L’atténuation de cette onde est donc assez importante. 

Vitesse de propagation de l'énergie 

Considérons une surface élémentaire dS perpendiculaire à une onde plane 

qui se propage suivant l'axe Z. On constate que l'énergie qui traverse la 

surface dS dans l'intervalle dt occupe le volume de longueur v dt (fig. 8.4). 

Si on désigne par Pu = < S > , le module de la valeur moyenne du vecteur 

de Poynting (puissance par unité de surface), et par w la densité d'énergie 

électromagnétique dans le volume dV ainsi défini, on obtient : 

Pu dS dt = w dV = w dS v dt


On en tire une relation utile: Pu v w (1.9.30) 

dS 

S 

dV 

v dt 

Figure 1.9.4 Relation entre la densité 

d'énergie et le vecteur de 

Poynting. 

Résistance de surface 

Z 

Y 

0 

Hyo H (z) 

y 

Figure 1.9.5 Résistance de surface d'un 

conducteur. 

Considérons une onde électromagnétique plane E 

x 

(z,t) et H 

y 

(z,t) qui se 

propage dans un conducteur de conductivité σ (fig. 8.5). Les amplitudes des 

champs E et H à la surface, dans le conducteur, étant E 

xo 

,et H 

yo 

, la 

puissance effective moyenne Ps transportée par l'onde par unité de surface, 

d'après (8.29) et (7.9), est : 

Ps = 1 

2 η H 2 

yo cos θ = 1 

2 

ω μ 2 

H yo cos (π/4) = 1 

σ 

2 

dz 

v 

Z 

ω μ 

2σ H 2 

yo (1.9.31) 

ou encore: Ps = 1 

2 ηR H 2 

yo = 1 

2 Rs H 2 

yo (W/m2 ) (1.9.32) 

On note que cette dernière expression a la même forme que la loi de Joule. 

On appelle résistance de surface du conducteur (ou du milieu en général) la 

grandeur R s = η R , la partie réelle de l'impédance caractéristique du milieu. 

Or, cette puissance doit être entièrement dissipée dans le milieu à droite de 

l'origine. Pour le vérifier, calculons la puissance dissipée dans un cylindre de 

section unitaire allant de z = 0 à l'infini. On sait que la densité de courant 

dans le milieu est donnée par la loi d'Ohm : 

Jx(z) σ Ex(z) σ Exo e αz e jkz (A/m 2) (1.9.33)


La puissance dissipée par effet Joule en un point d'abcisse z, par unité de 

volume, est donnée par 

Pv 1 

2 

D'où : Pv 1 σ Exo 

2 

ou : Pv 1 

2 σ η2 Hyo 

2 e 

2 

Jx(z) 

σ 1 

2 σ Ex(z) 2 (1.9.34) 

2 e 2αz (W/m 3) (1.9.35) 

2αz 1 ω μ Hyo 

2 2 e 2αz (1.9.36) 

La puissance dissipée dans la tranche d'épaisseur dz et de surface 

A 1 m 2 est: 

dP Pv dv 1 

2 ω μ H yo 

2 e 2αz ·1·dz (W) (1.9.37) 

En intégrant cette expression de z = 0 à l'infini, on obtient 

P 1 

4α 

2 

ω μ Hyo 

1 

4 

ω μ 

ωσμ/2 Hyo 

2 1 

2 

ω μ 

2ω Hyo 

2 (1.9.38) 

Ce résultat est bien identique à celui de l'équation (1.9.31), comme il doit y 

avoir conservation de l'énergie. On peut vérifier que la résistance de surface 

R s est reliée à la pénétration δ ο par la relation suivante: 

RS ηR 

1 

σ δo 

(1.9.39) 

En effet, considérons la figure 1.9.6 qui représente une portion de surface 

carrée (a = b = 1 unité) d’épaisseur δ ο. La résistance électrique entre les faces 

opposées M et N est donnée par l’expression 

qui se réduit à la précédente. 

δ ο 

a 1 

M 

R 1 σ a 

bδo 

b 1 

Figure 1.9.6 

N

EXERCICES 

Questions de revue 


R-1 Quel scientifique français a jeté les bases de l'électromagnétisme au 

début du 19 e 

siècle, avant J.C. Maxwell ? 

R-2 Quel scientifique allemand a démontré l'existence des ondes électromagnétiques 

? En quelle année ? 

R-3 Énoncer les équations que doit satisfaire le champ électromagnétique 

en tout temps et en tous points. 

R-4 Décrire les principales parties du spectre électromagnétique en fonction 

de la fréquence. 

R-5 Qu'est-ce qu'un champ vectoriel complexe. Donner un exemple. 

Discuter. 

R-6 Qu'est-ce qu'une onde plane ? Comment est-elle produite en principe ? 

R-7 À partir des équations de Maxwell, démontrer que l'équation de 

propagation suivant l'axe Z dans un diélectrique parfait, de la 

composante électrique du champ électromagnétique est 

∇ 2 E + k 2 E = 0 , où k 2 = ω 2 μo ε E 

étant l'amplitude complexe du champ, un phaseur. Dans le cas de la 

propagation en une dimension, quelle est une forme de fonction 

pouvant satisfaire cette équation ? 

R-8 Si la propagation d'une onde est selon l'axe Z, pourquoi la composante 

E z du champ électrique est-elle nulle ? Démontrer. 

R-9 Comment est définie la polarisation d'une onde électromagnétique ? 

R-10 Représenter le long de l'axe Z l'amplitude complexe d'une onde plane 

qui se propage dans le sens positif de cet axe. Même question pour une 

onde dans le sens négatif. 

R-11 Établir clairement la relation entre la forme complexe générale et la 

forme réelle de la fonction d'onde décrivant une onde plane de 

fréquence f = ω/2π qui se propage dans le sens positif de l'axe Z. Dans le 

sens négatif ?


R-12 Comment peut-on définir la longueur d'onde ? Quelle est sa relation 

avec la constante de phase. 

R-13 Déterminer la relation entre les composantes électrique et magnétique 

d'une onde électromagnétique plane, premièrement dans un 

diélectrique parfait ou le vide, puis dans un milieu quelconque y 

compris dans un conducteur. Trouver l'expression de l'impédance 

d'onde ou impédance caractéristique dans chaque cas. 

R-14 Discuter de la signification de la constante de propagation complexe k 

d’une onde électromagnétique plane qui se propage dans un milieu 

quelconque. Montrer comment l'utilisation d'une permittivité complexe 

effective ε e permet de trouver facilement l'expression de k à partir de 

sa forme dans le vide ou un diélectrique réel. 

R-15 Trouver l'expression du coefficient d'atténuation α d'une onde 

électromagnétique plane dans un diélectrique à faibles pertes, faisant 

intervenir l'impédance caractéristique et le facteur de pertes du milieu. 

R-16 Déterminer l'expression de l'impédance caractéristique ou impédance 

d’onde d'un diélectrique à faibles pertes. Quelle est la particularité de 

cette grandeur, par rapport à celle d'un milieu à pertes élevées ? 

R-17 Trouver l'expression de la constante de propagation complexe dans un 

bon conducteur, ainsi que celle de la vitesse de phase et du coefficient 

d'atténuation. 

R-18 Trouver l'expression de l'impédance caractéristique ou impédance 

d’onde d'un bon conducteur. 

R-19 Établir l'expression de la pénétration d'une onde électromagnétique 

dans un milieu conducteur. Quelle relation y a-t-il entre la pénétration 

et la résistance de surface? 

R-20 Qu'est-ce que le vecteur de Poynting? Que mesure la valeur moyenne 

du vecteur de Poynting dont le module est l'intensité de l'onde? 

R-21 Qu'est-ce que la résistance de surface d'un conducteur? À quoi peut 

servir ce concept? 

1.1 Équation d'onde 

Vérifier que toute fonction du genre E 

x 

= f(t ± z/v) satisfait l'équation 

de propagation du champ électromagnétique suivante :


∇ 2 

E – 1 

v 2 ∂2E = 0 où v = 1 

2 

∂t 

εμ avec Ey = Ez Suggestion : vérifier par substitution. Qu'est-ce que représente la 

fonction E x ? 

1.2 Équation d'onde 

En régime harmonique de fréquence f = ω/2π, l'équation de propagation 

de la composante électrique du champ électromagnétique est la 

suivante : 

∇ 2 E – k 2 E = 0 

où E est l'amplitude complexe du champ électrique, k est une 

constante généralement complexe : k = ω εμ . Vérifier que cette 

équation est satisfaite par une fonction de la forme 

Ex(z) = Exo exp (±k z) Supposer nulles les composantes sur Y et Z. 

1.3 Paramètres d'une onde 

Une onde plane décrite par E(z, t) = 50 exp (10 10 t - kz + 1) x V/m se 

propage dans du polypropylène (ε 

r 

= 2,25) supposé sans pertes. 

Déterminer : 

a) La valeur de k. 

Rép.: 50 m 1 

(b) La longueur d'onde. 

Rép.: 0,1257 m 

c) L'expression du champ magnétique. 

Rép.: 0, 199 cos(1010t − 50z 

+ 1)y√ A/m 

1.4 Onde - Propriétés diverses 

Une onde plane dont l'amplitude du champ élecrique est de 100 V/m 

se propage selon l'axe Z dans un milieu sans pertes dont μ 

r 

= 1 et 

ε 

r 

= 3. L'onde est polarisée selon Y et sa fréquence est de 50 MHz. 

Trouver : 

a) Sa vitesse de propagation (vitesse de phase). 

Rép.: 1,732· 10 8 m/s 

= 0


b) Sa pulsation, sa constante de propagation (ou constante de phase) 

et sa longueur d'onde. 

Rép.: ω = 3,1416·10 8 rd/s; k = 1,814 rd/m; λ = 3,64 m 

c) Les expressions complexe et réelle du champ E(z,t), dans le cas où 

le champ est de 40 V/m à l'origine à l'instant t = 2 ns 

(nanosecondes). 

8 

Rép.: E( zt , ) = 100cos( π × 10 t− 1, 814z+ 0, 531)√ 

y 

d) L'impédance caractéristique du milieu. Rép.: η = 217,5 ohms 

e) Les expressions correspondantes du champ magnétique. 

Rép.: H = -0,460 √x ... etc. 

f) Le vecteur de Poynting complexe. 

Rép.: S = 46,0 √z W/m2 

g) Le vecteur de Poynting moyen et l'intensité moyenne de l'onde. 

1.5 Énergie 

Rép.: < S > = 23,0 z W/m 2 ; I = 23,0 W/m 2 

Démontrer que dans une onde électromagnétique plane les densités 

maximales d'énergie électrique et d'énergie magnétique sont égales. 

1.6 Onde - Phase 

Une onde plane de 20 MHz se propage parallèlement au sol suivant 

l'axe Z et on a placé le long de celui-ci, aux points A et B, des antennes 

captant de l'énergie envoyée au point d'observation P par des lignes 

d'égales longueurs AP et BP. Évaluer la différence de phase qu'on 

pourra mesurer n P entre les signaux arrivant en P sur les lignes si la 

distance AB = 25 m. 

Rép.: ± 120° 

1.7 Milieu spécial 

Une certaine onde plane a une longueur d'onde dans le vide égale à 12 

cm. Or, quand elle se propage dans un matériau diélectrique sans 

pertes aux caractéristique inconnues (μr ≠ 1 et εr ≠ 1), sa vitesse de 

phase est de 1,5·10 8 m/s, l'amplitude du champ E est 50 V/m, celle


du champ H, 0,10 A/m. Trouver la fréquence de l'onde, la permittivité 

électrique et la perméabilité magnétique du milieu, ainsi que l'intensité 

de l'onde dans ce dernier. 

Rép.: 2,5 GHz; ε 

r 

= 1,508 ; μ 

r 

= 2,653 ; I = 2,5 W/m 2 

1.8 Déphasage 

Une onde plane de 3 GHz est incidente perpendiculairement sur une 

plaque de polystyrène (ε r = 2,7) percée d'un trou. Quelle doit être 

l'épaisseur de la plaque afin que la portion de l'onde qui passe par le 

trou acquière une avance de phase de 180° sur l'autre partie qui 

traverse le diélectrique. On ne tiendra pas compte du phénomène de 

réflexions multiples sur les faces du diélectrique ; la solution est donc 

approximative. 

Rép.: 7,77 cm 

1.9 Milieu avec pertes 

Une onde plane de 1 GHz se propage dans un diélectrique à faibles 

pertes avec une vitesse de phase de 200 000 km/s. Si on constate une 

diminution d'amplitude de 5% sur un parcours de 2 mètres, évaluer : 

a) Le coefficient d'atténuation du milieu. 

Rép.: 25,65 Np/km 

b) La conductivité effective du diélectrique. 

Rép.: 204 μS/m 

c) Le facteur de pertes du diélectrique. 

Rép.: 0,00163 

d) La diminution relative d'intensité par longueur d'onde de parcours. 

Rép.: 1,03% 


Un certain milieu diélectrique est caractérisé par une permittivité 

relative complexe ε r = 5 - j0,006. Il s'y propage une onde 

électromagnétique plane de fréquence égale à 200 MHz suivant l'axe Z 

dont l'amplitude à l'origine choisie est de 100 V/m. Elle est polarisée 

suivant l'axe X. Évaluer :


a) La vitesse de phase. 

Rép.: 1,342·10 8 m/s 

b) L'impédance caractéristique du milieu. 

Rép.: 168,6 ohms 

c) La conductivité effective et le facteur de pertes du milieu. 

Rép.: 66,76 μS/m ; 0,0012 

d) Le coefficient d'atténuation. 

Rép.: 5,628 mNp/m 

e) La fonction d'onde réelle telle que la phase initiale à l'origine soit 

nulle. 

Rép.: E x(z, t) = 100 exp (-5,628· 10 3z ) cos (1,257*10 9 t - 9,366 z ) V/m 

f) La distance de propagation telle que l'intensité de l'onde tombe à 

1 % de sa valeur à l'origine. (409 m) 

g) Quel devrait être le facteur de pertes du milieu afin que l'amplitude 

de l'onde ne diminue que de 1% sur la même distance que 

précédemment ? 

Rép.: 5,24⋅ 10 6 


Une onde électromagnétique plane à fréquence très élevée se propage 

dans un milieu diélectrique solide relativement étendu dont la 

permittivité relative réelle est de 2,5 avec un facteur de pertes de 0,01. 

Des mesures ont permis de déterminer la longueur d'onde dans ce 

milieu et l'amplitude du champ électrique : λ = 10 cm, E = 100 V/m. 

a) Évaluer la vitesse de propagation de l'onde et sa fréquence. 

b) Déterminer l'impédance d'onde du milieu et son coefficient 

d'atténuation. 

c) Établir l'expression réelle de cette onde le long de l'axe 0z, la phase 

initiale à l'origine étant nulle.

2 

Réflexion d’une onde plane 

Incidence normale 

Un problème pratique important est celui qui se pose à l'interface de deux 

milieux où se propagent des ondes électromagnétiques. Il s'agit de 

déterminer les relations entre les valeurs des divers champs de chaque côté. 

Dès les années 1820, ce problème a été largement résolu pour la lumière par 

le grand ingénieur et physicien français Augustin Fresnel 1 . Il a en effet 

trouvé les lois exactes de la réflexion et de la transmission de la lumière par 

la surface d'un diélectrique pour un angle d'incidence quelconque. 

Dans ce chapitre, nous traiterons seulement du problème de l'onde incidente 

perpendiculairement sur une surface plane : l'incidence normale. Nous allons 

premièrement considérer le cas de l'incidence sur l'interface de deux 

diélectriques à faibles pertes, puis ensuite celui de l'incidence sur une 

surface conductrice. 

1 Augustin FRESNEL, physicien et ingénieur français (1788-1827). Il est le créateur de l'optique vibratoire et de l'optique 

cristalline. Il établit solidement la nature ondulatoire de la lumière et expliqua les phénomènes d'interférence et de polarisation. 

La théorie de Fresnel établie pour les phénomènes d'optique put s'appliquer par la suite aux autres rayonnements 

électromagnétiques. On lui doit l'invention des lentilles qui portent son nom qui servirent initialement à augmenter 

considérablement le pouvoir éclairant des phares et qui sont couramment utilisées aujourd'hui dans les rétroprojecteurs, pour 

concentrer la lumière sur l'objectif.


2.1 Interface de deux diélectriques parfaits 

Fonctions d’onde 

La figure 2.1.1 représente deux milieux quelconques ayant une interface 

plane sur laquelle est incidente une onde plane provenant d'une source 

à -∞. Dans le cas considéré ici, ce sont des diélectriques parfaits ; alors, 

μ 

1 

= μ 

2 

= μ 

o 

et les permittivités ε 

1 

, ε 

2 

sont réelles. On constate alors qu'une 

partie de l'énergie incidente est réfléchie dans la direction -Z et qu'une autre 

partie est transmise (ou réfractée) dans le deuxième milieu suivant Z. Si 

l'onde incidente est polarisée suivant X, les autres le sont nécessairement. Il 

s'agit de trouver des relations entre les divers champs. Définissons à cet 

effet : 

– L'onde incidente E1x 

+ + 

(z) E1xo exp ( j k 1z ) x (2.1.1) 

– L'onde réfléchie E 1x (z) E 1xo exp (+j k 1z ) x (2.1.2) 

– L'onde transmise E2x 

+ + 

(z) E2xo exp ( jk 2z ) x (2.1.3) 

Vu que la polarisation est connue, on peut utiliser la forme scalaire et se 

dispenser de l'indice x : 

E1 + (z) E1o 

+ exp ( j k 1z ) (2.1.4) 

v 1 

v 1 

ε 1 

X 

1 2 

μ 1 

E 1+ 

E 1– 

0 

E 2+ 

ε 2 

μ 2 

v 2 

Z 

X 

Polyéthylène Air 

Figure 2.1.1 Réflexion et transmission d'une onde 

l'interface de deux milieux 

Figure 2.1.2 Exemple électromagnétique à 

1 

v 1 

ε 1 

v 1 

μ 1 

E 1+ 

E 1– 

0 

E 2+ 

ε 2 

μ2 

v 2 

2 

Z

E 1 (z) E 1o exp (+j k 1z ) (2.1.5) 

E2 + (z) E2o 

+ exp ( jk 2z ) (2.1.6) 

S'il n'y a pas de charges électriques sur l'interface, on sait que la composante 

tangentielle du champ électrique est continue à l'interface (même valeur de 

part et d'autre) : 

E1o 

+ + E1o E2o 

+ (2.1.7) 

De même pour le champ magnétique H, qui est dans le plan YZ comme on le 

sait, s'il n'y a pas de courant superficiel : 

+ + 

H1yo + H1yo H2yo 

(2.1.8) 

ou, plus simplement H1o 

+ + H1o H2o 

+ (2.1.9) 

Coefficients de réflexion et de transmission 

On sait d'après la relation (1.6.6) entre le champ électrique et le champ 

magnétique que la relation (2.1.7) peut s'exprimer à partir du champ 

magnétique et des impédances caractéristiques des milieux : 

η1 H1o 

+ – η1 H1o = η2 H2o 

+ (2.1.10) 

En effet, pour une onde dans le sens négatif, on démontre aisément que 

E 1xo η1 H 1yo . L'amplitude de l'onde incidente étant connue, on peut 

alors résoudre ces deux dernières équations pour les inconnues : 

H1o ≡ H1yo = – η2 – η1 

η2 + η1 H1o 

+ (2.1.11) 

H2o 

+ + 

≡ H2yo = 

2 η1 

η2 + η1 H1o 

+ (2.1.12) 

Pour le champ électrique, on vérifie aisément par substitution que : 

E1o ≡ E1xo = η2 – η1 

η2 + η1 E1o 

+ (2.1.13)

E2o 

+ + 2 η2 

≡ E2yo = 

η2 + η1 E1yo 

+ (2.1.14) 

On convient de définir les coefficients de réflexion et de transmission 

comme : 

R E1xo + 

E1xo 

et T E2xo 

On en tire les importantes expressions suivantes : 

– Le coefficient de réflexion R = η 2 – η 1 

η 2 + η 1 

– Le coefficient de transmission T = 2 η 2 

η 2 + η 1 

+ 

+ 

E1xo 

(2.1.15) 

= 1 + R 

(2.1.17) 

On voit que T = 1 + R et : 

Si η2 > η1 , 0 ≤ R ≤ +1 et 1 ≤ T ≤ 2 

Si η2 < η1 , -1 ≤ R ≤ 0 et 0 ≤ T ≤ 1 

(2.1.16) 

Un coefficient de réflexion négatif correspond à une inversion de phase du 

champ à la réflexion. 

Exemple 2.1.1 Calculs de R et T. Intensité 

Supposons que les milieux 1 et 2 sont respectivement de l'air et du 

polyéthylène et que l'onde plane incidente a une amplitude électrique de 10 

V/m avec une fréquence de 100 MHz. On a ε1 ≈ ο, ε ε2 ≈ 2,2εo. Si l'on 

considère cette amplitude comme réelle à l'interface, la fonction d'onde s'écrit 

comme suit : 

+ 

E1x(z) = 10 exp (–jk1z ) V/m 

avec k1 = ω v1 

2π·108 

= = 2,094 rd/m 

3·108

2 Réflexion d'une onde plane 55 

Dans le deuxième milieu, k2 = ω /v2 = ω εr2/c = εr2 k1 = 3,106 rd/m . Puis, 

η1 ≈ ηo ≈ 377 ohms, et η2 = 377/ 2,2 = 254,17 ohms (ici, θ = 0). 

Évaluons les coefficients R et T : 

R = 

T = 

254,2 - 377 

254,2 + 377 

2 × 254,2 

254,2 + 377 

= 0,8054 

= – 0,1946 et 

Dans ce cas, il y a donc inversion de phase du vecteur électrique à la 

réflexion ; par contre le vecteur magnétique se réfléchit sans déphasage 

selon (2.1.11). Les ondes réfléchies et transmises ont ainsi les amplitudes 

complexes : 

+ 

E1x (z) = –1,946 exp (+jk1z ) et E2x(z) = 8,054 exp (-jk2z ) V/m 

Si les milieux sont dans l'ordre inverse (Figure 2.1.2) l'onde incidente est 

dans le polyéthylène et on calcule R = +0,1946 et T = 1,1946. Le vecteur 

électrique n'est donc pas déphasé à la réflexion. Dans ce dernier cas, 

l'amplitude du champ électrique transmis est supérieure à celle du champ 

dans le premier milieu, mais la puissance transmise ne peut l'être en vertu 

de la loi de conservation de l'énergie. Vérifions-le. 

L'intensité de l'onde dans l'air (milieu 2) est donnée par l'expression (1.9.29) : 

I 2 + = 1 

2 E 2 2 

η2 

= 1 

2 T 2 E 1 2+ 

η2 

= T 2 η1 

η2 

1 

2 E1 2+ 

η1 

= T 2 η1 

η2 

Ce qui donne l'intensité dans l'air I2 = 0,962I1, qui est inférieure à celle dans 

le polyéthylène, comme il fallait s'y attendre. La fraction (1 – 0,962) = 0,038 

doit donc être réfléchie à l'interface. Vérifions : 

I1 = 1 

2 E 2 

1 

η1 

= 1 

2 R 2 E 1 2+ 

η1 

= R 2 I 1 + ≈ 0,038 I1 + 

La loi de conservation de l'énergie est donc vérifiée. 

I 1 +


2.2 Interface diélectrique - Conducteur 

Dans le cas où les milieux 1 et 2 (Figures 2.1.1, 2.1.2) sont respectivement 

un diélectrique et un conducteur, on pose les mêmes raisonnements que 

dans le cas précédent et on trouve aisément des coefficients de réflexion et 

de transmission de la même forme (équations 2.1.15, 2.1.16) quand il n'y a 

ni charge ni courant superficiels. Il suffit d'utiliser l'expression (1.8.9) de 

l'impédance caractéristique d'un conducteur : 

η = 

ω μ 

2σ 

+ j 

Alors : R = ηR2 + jηI2 – η1 

ηR2 + jηI2 + η1 

ω μ 

2σ = ηR + j ηI 

et T = 

2ηR2 + j2ηI2 

ηR2 + jηI2 + η1 

(2.2.1) 

(2.2.2) 

On note que les coefficients R et T sont complexes. Il s’ensuit que le 

déphasage à la réflexion peut être compris entre -180˚ et +180˚. 

Dans le cas d’un bon conducteur, l’impédance caractéristique a un module 

très inférieur à 1. Il s’ensuit, comme nous allons le voir, que le module de R 

est voisin de 1 et que celui de T est très inférieur à 1. 

Exemple 2.1.2 Calculs divers 

Une onde plane à 500 MHz dans l'air d'intensité égale à 1 W/m 2 rencontre 

une surface de cuivre (σ = 5,75 x 10 7 S/m) à incidence normale. Trouvons 

premièrement l'impédance caractéristique ou impédance d’onde d'après 

(2.2.1), ce qui permet l'évaluation des coefficients de réflexion et de 

transmission : 

ηR2 = ηI2 = 2π × 5·108 × 4π·10 7 

2 × 5,75· 107 1/2 

= 5,859· 10 3 ohm = η2 cos π/4 

(a)


On calcule η2 = 8,286· 10 3 ohms . On sait déjà que η1 ≈ ηo ≈ 377 ohms . 

Alors : 

R = 5,859· 10 3 + j 5,859· 10 3 – 377 

5,859· 10 3 + j 5,859· 10 3 + 377 

≈ 376,994 ∠ 179,99911° 

377,0059 ∠ 0,00089° 

R ≈ 0,999968 ∠ 179,998° ≈ – 1 (b) 

Le coefficient de réflexion de l'intensité (ou de la puissance) est alors 

RI = R2 = 0,999936 ≈ 1. La réflexion est donc quasi parfaite, avec inversion 

de phase du vecteur électrique. Puis, la transmission : 

T = 2 × 5,859· 10 3 + j 2 × 5,859· 10 3 

5,859· 10 3 + j 5,859· 10 3 + 377 ≈ 

1,6572· 10 2 ∠ 45° 

377,0059 ∠ 0,00089° 

T ≈ 4,396· 10 5 ∠45° = T ∠ 45° = T exp (jπ/4) (c) 

Par définition, T = E 2 + / E1 + . Le coefficient de transmission de l'intensité 

est donc, d'après l'exemple précédent et la relation (1.9.29) : 

TI = I 2 + 

I 1 + = 

η1 E2+ 2 

= 

2 η2 E1+ 

2 η1 

TI = 377 × (4,396· 10 5 ) 2 

2 × 8,286· 10 3 

2 η2 

T 2 

= 6,217· 10 5 (d) 

Donc, à peine 6 parties sur 100 000 de la puissance incidente sont 

transmises dans le métal. 

Sachant que l'intensité dans l'air est de 1 W/m2 , on peut calculer le module 

du champ électrique : 

I1 = 1 

2 E1 +2 

cos θ = 

η1 

1 

2 E1+ 2 

+ 

cos 0°, d'où E1 = 2η1I1 = 27,459 V/m (e) 

η1 

Alors, H 1 + = E1 + /377 = 0,0728 A/m . La phase du champ électrique 

incident à l'interface est prise comme référence : il est réel.


D'après (c), le champ électrique transmis est, à la surface : 

+ + 

E2o = T E1o = 4,396· 10 5 ∠45° × 27,459 = 1,2071· 10 3 ∠45° 

ou encore E2o + = 1,2071· 10 3 exp (jπ/4) V/m (f) 

On en tire l'expression du champ magnétique : 

+ 

H2o = 

+ 

E2o η2 ∠45° 

= 1,2071· 10 3 ∠45° 

8,286· 10 3 ∠45° 

= 0,1457 A/m (g) 

On observe que ce champ est en phase avec le champ électrique incident à 

l'interface. On peut en déduire la puissance transmise dans le métal : 

I2 = 1 

2 Ré {E ∧ H* } = 1 E2 

2 

cos π/4 

2 η2 

= 1 2 E2 H2 cos π/4 = 0,5 × (1,2071· 10 3 ) 2 

8,286· 10 3 

I2 = TI I2 = 6,217· 10 5 W/m 2 (h) 

ce qui correspond bien au résultat en (d). 

Si on désire écrire les expressions des champs réfléchis et incidents, il faut 

connaître les constantes de phase : 

Dans le premier milieu (air) : k1 = 

Dans le deuxième : 

2π × 500·106 

3·10 8 

1 

2 

= 10,47 rd/m 

k2 = Ré{k2} = α2 = 2π × 500·106 × 5,75· 107 × 4π·10 7 1/2 

= 3,369· 10 

2 

5 m 1 (j) 

La vitesse de phase : v2 = ω /k2 = 9322 m/s (k) 

Si l'on suppose que l'onde est polarisée suivant l'axe vertical X, le champ 

électrique de l'onde incidente peut s'écrire : 

E 1 + (z) = 27,46 exp (-j 10,47 z) x V/m (l) 

Puis, E 1 (z) = –27,46 exp (+j 10,47z) x V/m (m) 

E 2 + (z) = 1,207· 10 3 exp (-3,37· 10 5 z) exp -j(3,37· 10 5 z – π/4) x V/m (n) 

(i)


H 1 (z) = 0,0728 exp (+j 10,47z) y A/m (o) 

H 2 + (z) = 0,1457 exp (-3,37· 10 5 z) exp (-j 3,37· 10 5 z ) y V/m (p) 

Finalement, le champ électrique réel dans le conducteur s'obtient en 

multipliant (n) par exp (jωt) et en prenant la partie réelle du résultat : 

E 2 + (z,t) = 1,207 ⋅ 10 3 exp (-3,37 ⋅ 10 5 z) cos (ω t – 3,37 ⋅ 10 5 z + π/4) x V/m (q) 

où ω = 2πf . La pénétration δο = 1/α2 = 2,968 μm. 

On peut aussi calculer la résistance de surface (équation 1.9.39): 

Rs = η R = 1/(σδo ) = 5,859· 10 3 Ω 

On peut remarquer que cette valeur est la résistance entre les extrémités 

d'une feuille de cuivre carrée de 1 m de côté dont l'épaisseur est égale à δο la 

pénétration du champ ! 

2.3 Ondes stationnaires 

La superposition de l'onde incidente sur une surface et de l'onde réfléchie 

fait apparaître un phénomène d'interférence entre les deux ondes qu'on 

appelle une onde stationnaire : On constate dans ce cas que l'amplitude du 

champ résultant varie périodiquement dans l'espace le long de la normale à 

la surface. 

Réflexion sur un conducteur parfait 

La figure 2.3.1 illustre le phénomène dans le cas d'une onde plane incidente 

normalement sur la surface d'un conducteur supposé parfait dans un milieu 

sans pertes. Elle montre les amplitudes complexes du champ (les phaseurs) 

de l'onde incidente en fonction de la position dans l'espace : 

Ex + + 

(z) E1xo exp ( j k 1z ) (2.3.1) 

de l'onde réfléchie Ex – – 

+ 

(z) E1xo exp +j k 1z R E1xo exp +j k 1z (2.3.2) 

et du champ résultant à un instant quelconque : 

+ 

Ex(z) E1xo exp ( j k 1z) + R exp (+j k 1z) (2.3.3)


+ + 

où E1xo E1xo exp jφ1 . Dans le cas présent, R = -1, alors : 

+ 

Ex(z) E1xo exp j k 1z exp +jk1z (2.3.4) 

Le phaseur de l'onde incidente tourne dans le sens négatif quand on se 

déplace de gauche à droite, tandis que celui de l'onde réfléchie tourne en 

sens inverse ; la rotation de ce dernier est indiquée comme on la perçoit en 

se déplaçant dans le sens négatif de Z. 

Dans ce cas particulier, l'amplitude de l'onde réfléchie est égale et sa phase 

est opposée à celle de l'onde incidente à l’interface. L'amplitude résultante du 

champ électrique est donc nulle à la surface et l'on observe qu'elle s'annule 

également aux points d’abcisse -λ/2, -λ, -3λ/2, etc. Le champ résultant 

passe par un maximum aux points intermédiaires, en -λ/4, -3λ/4, etc. et sa 

phase varie de π radians d'un tel point à l'autre. La figure 2.3.2 est une autre 

représentation qui montre l'évolution des champs avec z. Elle permet de 

trouver une expression du module du champ résultant au moyen de la loi du 

cosinus, en simplifiant la notation : 

E 2 E+ 2 + E 2 + 2E+E cos θ (2.3.5) 

où θ = π + 2kz (signe + du fait que z est négatif ici). Donc : 

E 2 E+ 2 + E 2 + 2E +E cos (π + 2kz ) E + 2 + E 2 2E+E cos 2kz (2.3.6) 

Vu que k = 2π/λ, E E+ 2 + E 2 2E+E cos 4π 

λ z 1/2 (2.3.7) 

Dans le cas présent, les modules étant égaux : 

E(z) E+ 2 1 cos 4π 

λ 

z 1/2 

(2.3.8) 

La figure 2.3.3 montre cette fonction : cas de la réflexion sur un conducteur 

parfait, R = –1. On appelle plan nodal un plan où la résultante est minimale, 

et plan ventral celui où la résultante E est maximale. Un plan ventral se 

trouve à mi-chemin entre deux plans nodaux et vice-versa. La figure 2.3.4 

montre ces plans. 

Exemple d’application Les parois d'un four à micro-ondes sont faites d'un 

bon conducteur de façon qu'elles absorbent une fraction négligeable de 

l'énergie électromagnétique. D'une façon générale, il existe dans le four un 

système d'ondes stationnaires en trois dimensions, de sorte que si la


fréquence est constante, il y a un ensemble de zones où l'amplitude du 

champ électromagnétique est maximale et un autre où l'amplitude est 

minimale. Par conséquent, le chauffage d'un substance diélectrique telle 

qu'un aliment ne sera pas uniforme dans la masse : certaines parties 

chauffent beaucoup plus fortement que d'autres. Ce problème est résolu de 

deux façons : 

1° À fréquence constante, on injecte l'énergie dans le four par un tourniquet 

qui en uniformise la distribution ou on place l’objet à chauffer sur une table 

tournante. 

2° On utilise une source (magnétron) à fréquence modulée, ce qui produit le 

même effet, car à chaque fréquence correspond une distribution d'énergie 

particulière. Toutefois, la variation de fréquence doit être relativement 

importante, de l’ordre de ±15 %. 

E + 

−λ 

−λ 

−λ 

E - 

E 

Onde incidente 

−3λ/4 

3π/2 

E + 

E- −3λ/4 

−3π/2 

−3λ/4 

−3π/2 

π 

−λ/2 

E + 

Onde réfléchie 

E 

E- −λ/2 

−π 

−λ/2 

π/2 

E - 

−λ/4 

E + 

−λ/4 

−π/2 

Champ résultant 

−λ/4 

−π/2 

Figure 2.3.1 Onde stationnaire. Superposition de l'onde plane incidente et de l’onde 

réfléchie. On montre une superposition du plan complexe et de l'espace réel. 

E 

E 

E o+ 

π 

0 

0 

0 

φ 1 

SURFACE 

φ 1 

φ 1 

Eo-

h/λ 

1.25 

E + 

E 

k z 

θ 

E 

Imaginaire 

+ k z 

φ 1 

Réel 

Figure 2.3.2 Composition des champs 

incident et réfléchi à la surface d'un conducteur : E + ≈ E 

1 

0.75 

R = 1 

0.5 

0.25 

Figure 2.3.3 Module du champ devant la surface conductrice 

N 

Min. 

−3λ/2 

V N V N 

Max. 

−5λ/4 

Min. 

−λ 

Max. 

−3λ/4 

Min. 

−λ/2 

V 

Max. 

−λ/4 

0 z 

E(z) 

Figure 2.3.4 Réflexion sur un conducteur. Plans nodaux et plans ventraux. 

2Eo + 

Eo + 

0

Réflexion sur un diélectrique 


On considère une onde plane incidente perpendiculairement sur la surface 

plane séparant deux diélectriques 1 et 2 supposés parfaits (Figure 2.1.1). Vu 

que la réflexion n’est pas totale, les minimums de l’onde stationnaire ne 

peuvent être nuls. Les résultats s’appliquent assez exactement aux 

diélectriques réels à faibles pertes. 

Forme complexe de l’onde stationnaire 

En se reportant à la figure 2.1.1, le champ électrique résultant dans le 

milieu de gauche (1) est la somme du champ incident et du réfléchi. À partir 

des expressions 2.1.1, 2.1.2, laissant tomber l’indice x superflu, on a donc : 

E(z) E1 + (z) + E1o (z) E1o 

+ exp j k 1z + E1o exp +j k 1z (2.3.9) 

Considérant la définition du coefficient de réflexion (équation 2.1.15), on 

peut donc écrire : 

E(z) E1o 

+ exp j k 1z + R exp +jk 1z (2.3.10) 

ou encore : E(z) E1o 

+ exp j k 1z 1 + R exp +j2k 1z (2.3.11) 

ou : E(z) E1 + (z) + E1 + (z)R exp +j 2k 1z (2.3.12) 

Champ incident ↑ ↑ Champ réfléchi 

où E1o 

+ E1o 

+ exp jφ1 E1o 

+ exp jφ1 . Cette somme est représentée dans 

la figure 2.3.5, où le module E RE + , avec R < 0, en faisant φ1 = 0 pour 

simplifier. On observe qu'au cours d'une variation de z, les vecteurs tournent 

en sens opposés des angles -kz et +k z respectivement, de sorte que le 

vecteur E 1 z fait un angle π – |2kz | = π + 2kz avec la direction de E1 + z . 

Mais il faut noter que z est négatif ici, de sorte que +2kz l'est également. 

Quand z = –λ/4, ces angles sont –kz = +π /2 et +kz = –π /2, l'amplitude 

résultante E est minimale. Avec z = –λ/2, on a +π et –π et la résultante est de 

nouveau maximale, etc. Remarquons que l’expression 2.3.12 montre que le 

champ réfléchi E 1 z est obtenu en multipliant le champ incident E1 + z par 

la grandeur R exp +j 2k 1z .


Taux d'onde stationnaire 

On définit le taux d'onde stationnaire comme le rapport du module du 

champ résultant maximal et du module du champ résultant minimal. 

E 1o 

TOS E max. 

E min. 

Im 

0 

+ 

E1o 

Ré 

E+(z) + E (z) 

E+(z) E (z) 

E (z) 

1 

+kz 

Im 

0 

E(z) 

-kz 

+ 

E (z) 1 

Figure 2.3.5 Addition du champ incident et du champ réfléchi devant un diélectrique 

dans le cas où R = -0,5, à incidence normale 

Ce qui peut s’écrire comme suit : 

TOS 

1 + R 

1 R 

Ré 

(2.3.13) 

(2.3.14) 

C'est une constante si les modules sont indépendant de z. Sa valeur est 

l'infini quand les champs ont des amplitudes égales, c'est-à-dire quand 

R = ±1. Elle est nulle quand R = 0. 

Forme réelle de l’onde stationnaire 

Pour obtenir la forme réelle, multiplions l'expression (2.3.11) par e jω t : 

+ 

E(z,t) E1oexp j φ+ exp j k 1z ωt + R exp (jθ) exp +j k 1z + ωt (2.3.15) 

La phase φ+ à l'origine de l'onde incidente étant arbitraire, on peut l'annuler : 

φ+ = 0. L'angle θ est l'argument du coefficient de réflexion, qui est égal au 

déphasage à la réflexion. Le champ réel est donc :


E(z,t) E1o 

+ cos k 1z ωt + E1o 

+ R cos k 1z + ωt + θ (2.3.16) 

Au moyen de relations trigonométriques 2 , on transforme cette dernière pour 

obtenir : 

E(z,t) 

1 + R cos θ cos k 1z R sin θ sin k 1z cos ωt + 

1 R cos θ sin k 1z R sin θ cos k 1z sin ωt 

Dans le cas où R est réel avec θ = 0, on a : 

E(z,t) = 1 + R cos k 1z cos ωt + 1 R sin k 1z sin ωt E1o 

+ 

Si θ = -180˚= -π radians, 

E(z,t) = 1 R cos k 1z cos ωt + 1 + R sin k 1z sin ωt E1o 

+ 

Dans le cas particulier où |R| = 1, avec E1o = 1 volt, θ = 0 : 

E1o 

+ (2.3.17) 

(2.3.18) 

(2.3.19) 

E(z,t) 2 cos k 1z cos ωt (2.3.20) 

Si |R| = 1, avec θ = π rd (réflexion sur un conducteur parfait) : 

E(z,t) 2 sin k 1z sin ωt (2.3.21) 

Ce dernier cas est représenté à la figure 2.3.3 qui est le graphique de |2 sin 

k1z|. Ces derniers sont des cas limites. La figure 2.3.6 montre l'amplitude de 

la vibration résultante quand R = –0,6. La courbe A se rapporte au cas où le 

premier milieu est sans pertes, les maximums et les minimums ont partout 

la même valeur. S’il s’agit d’un milieu avec pertes, la valeur des maximums 

et des minimums se rapprochent de 1 à mesure qu’on s’éloigne de la surface 

de réflexion en effet, très loin de la surface, l’onde réfléchie a une amplitude 

qui tend vers zéro. 

E 

Figure 2.3.6 Amplitude de l’onde stationnaire quand R = -0,6 - A : sans pertes ; B : avec pertes. 

2 cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B ; cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B


EXERCICES 

QUESTIONS DE REVUE 

R-1 Démontrer les expressions du coefficient de réflexion et du coefficient 

de transmission d'une onde plane incidente normalement sur 

l'interface de deux milieux différents. 

R-2 Qu'est-ce qu'un plan nodal ? Un plan ventral ? 

R-3 Dans le cas de la réflexion d'une onde plane incidente normalement 

sur la surface d'un deuxième milieu d'impédance caractéristique 

quelconque, trouver l'expression de l'amplitude réelle du champ 

électrique résultant dans le premier milieu en fonction de la position 

z relative à l'interface. Et celle de l'amplitude complexe résultante ? 

R-4 Qu'est-ce que le taux d'ondes stationnaires ? Comment est-il relié au 

coefficient de réflexion ? 

R-5 Discuter du problème posé par les ondes stationnaires dans un four 

à micro-ondes et des façons de le résoudre. 

2.1 Coefficients de réflexion et de transmission 

Vérifier que dans le cas des bons diélectriques, c’est-à-dire des 

milieux de faible conductivité effective, les coefficients de réflexion et 

de transmission à incidence normale sont de la forme : 

R 

, 

εr1 , 

εr1 , 

εr2 , 

+ εr2 T 

, 

2 εr1 , 

εr1 , 

+ εr2 , , 

où εr1 et εr2 sont les permittivités électriques relatives réelles des 

milieux 1 et 2. 

2.2 Réflexion et transmission 

Une onde électromagnétique plane dans l'air est décrite par 

l'expression complexe suivante : 

E(z) = 50 exp (–j5z)x V/m . Elle rencontre à incidence normale la 

surface plane d'un diélectrique prise comme référence. Ce dernier a 

une permittivité relative égale à 4 – j0 et on le considère comme 

illimité. 

a) Évaluer les coefficients de réflexion et de transmission. 

Rép. : R = -1/3 T = 2/3


b) Trouver l'expression de l'onde réfléchie et celle de l'onde 

transmise sous forme complexe, en fonction de z et t. 

2.3 Réfraction 

Rép. : E2+(z,t ) = 33.3 exp j(15 ⋅ 10 8 t –10z) x V/m 

E1 (z,t ) = –(50/3) exp j(15 ⋅ 10 8 t +5z) x V/m 

Une onde plane dans l'air a un champ électrique dont la valeur 

efficace est de 100 V/m et rencontre perpendiculairement une 

surface d'eau salée caractérisée par σ = 3 S/m, μ r = 1, ε r = 80. Si ces 

paramètres sont indépendants de la fréquence, évaluer les 

profondeurs où le champ sera de 1 μV/m aux fréquences suivantes : 

(a) 10 kHz ; (b) 1 MHz. Que pouvez-vous conclure quant à la 

possibilité de communiquer par radio avec un sous-marin, sachant 

que 1 μV/m correspond à la limite de détection approximative ? 

Rép. : (a) 33 m (b) 3,8 m 

2.4 Couche antireflet 

Un mélange de ferrite à haute perméabilité (complexe) et de titanate 

de baryum (grande permittivité complexe) donne un matériau 

remarquable utilisé pour absorber fortement les ondes 

électromagnétiques dans certaines applications. Un tel matériau sert, 

par exemple, à rendre invisible un avion pour les radars, car il 

réfléchit une très faible fraction de l'énergie incidente. Si, à la 

fréquence de 1000 MHz, il est caractérisé par μ r = ε r = 60 (2 - j1) et 

une conductivité pratiquement nulle, trouver : 

a) Le niveau d'intensité de l'onde réfléchie en décibels (dB) par 

rapport à l'onde incidente si l'épaisseur du composé est très 

élevée. 

b) Le coefficient d'atténuation. 

Rép. : 126 Np/m = 1092 dB/m 

2.5 Réflexion - Ondes stationnaires 

Vous placez en P dans l’air libre un récepteur pouvant mesurer le 

champ électrique sur le parcours d’une onde d’une source très


éloignée émettant à 100 MHz. L’onde est polarisée dans le plan de la 

figure. En l’absence de tout obstacle ou réflecteur, vous mesurez un 

champ de 500 μV/m. Si vous placez maintenant une plaque de cuivre 

M sur le parcours de l’onde tel qu’indiqué, à quelle distance d près de 

M allez-vous détecter un maximum et quelle sera sa valeur ? Justifiez 

clairement votre réponse. 

Onde plane 

2.6 Réflexion - Ondes stationnaires 

P 

x 

0 

d z 

Plaque M 

de cuivre 

Une onde plane provenant d'une antenne de radar à 5 GHz ayant une 

intensité de 1000 W/m 2 est incidente dans l'air perpendiculairement 

sur un bloc de polyéthylène. Il y a donc production d'une onde 

stationnaire dans l'air à cause de la réflexion. 

a) Évaluer les densités maximale et minimale d'énergie 

électromagnétique dans l'air, ainsi que le rapport des deux. 

Comparer à la densité d'énergie s'il n'y a pas de réflexion. 

Rép. : 9,526 ·10 6 J/m 3 , 1,640 ·10 7 J/m 3 

b) Déterminer la position des nœuds de champ électrique au 

voisinage de l'interface. 

c) Écrire une expression du champ électrique dans l'air sous forme 

complexe. 

Remarque : Dans une onde électromagnétique progressive, 

l'énergie est également répartie entre la forme 

électrique et la forme magnétique, ce qui entraîne : 

w = 1 

2 εE2 eff + 1 

2 μH 2 

eff = 1 

2 εEmax 

2

3 

Réflexion d’une onde plane 

Incidence oblique 

3.1 Onde plane – Direction quelconque 

La solution du problème de la réflexion et de la transmission d’une onde 

électromagnétique incidente obliquement sur l’interface de deux milieux 

exige de pouvoir décrire cette onde convenablement. C’est ce que nous ferons 

premièrement. 

Fonction d’onde 

La fonction représentant une onde plane qui se propage dans une direction 

quelconque est relativement simple. Considérons un milieu sans pertes et 

l’onde représentée dans la figure 3.1.1 qui se propage dans la direction de 

l’axe s, qui fait un angle A avec l’axe 0x, un angle B avec l’axe 0y (non 

représenté) et un angle C avec l’axe 0z. Il s’agit d’une onde électromagnétique 

dont la polarisation (vecteur E) est dans le plan x0z : c’est la polarisation 

parallèle à ce plan. Il existe diverses façons de décrire cette onde. On sait que 

d’une façon générale, par rapport à l’axe de propagation s, sa fonction d’onde 

réelle est : 

E(s,t) Eo cos (ω t ks + φ ) (3.1.1) 

où ω est la pulsation, k est la constante de phase et φ est la phase initiale à 

l’origine (φ = 0 par un choix convenable du référentiel). Le vecteur r illustré


indique la position d’un point quelconque P d’une surface d’onde Ω et n est 

le vecteur unitaire normal au même plan d’onde : n indique la direction de 

propagation. On constate que : 

s r · n r cos β (3.1.2) 

Supposons φ = 0 pour simplifier l’écriture. Alors : 

E(r,t) Eo cos (ω t k n·r) (3.1.3) 

C’est la valeur du champ électrique au temps t en tous points repérée par le 

vecteur position r. On sait que r x x + y y + z z et, de plus, 

n · x cos A n · y cos B n · z cos C (3.1.4) 

où cos A, cos B et cos C sont les cosinus directeurs du vecteur n. Alors, 

n ⋅ r x cos A + x cos B + z cos C (3.1.5) 

La fonction d’onde complexe est alors : 

x 

0 

Ω 

r 

β 

A 

P 

C 

v 

n 

E C 

s 

Surface d'onde 

ou de phase 

Figure 3.1.1 Onde plane - Direction quelconque 

E(r,t) E o exp j(ω t k n·r) E o e -jkn·r e jωt (3.1.6) 

L’amplitude complexe du champ est : 

E(r) E o exp ( j k n·r) E o e -jkn·r (3.1.7) 

Ω 

z

3 Réflexion d'une onde plane - Incidence oblique 71 

Le champ E a des composantes selon z et x (Figure 3.1.1) : 

E x E cos C et E z E sin C (3.1.8) 

Alors : E E x cos C z sin C E x sin A z cos A (3.1.9) 

Vecteur d’onde 

Le concept de vecteur d’onde est utile en rapport avec la description d’une 

onde quelconque. Ce vecteur est simplement le vecteur k dans la direction n 

dont le module est k (Figure 3.1.2), c’est-à-dire : 

k k n xk cos A + yk cos B + zk cos C (3.1.10) 

k k n xk x + yk y + zk z 

On a aussi : k 2π 

λ 

car : λx λ 

cos A 

n x 2π 

λx 

+ y 2π 

La fonction d’onde (3.1.7) devient ainsi : 

λy 

+ z 2π 

λz 

(3.1.11) 

(3.1.12) 

= ... etc. (3.1.13) 

E(r) Eo exp ( j k⋅ r) Eo e -jk ⋅r (3.1.14) 

D’après (3.1.9), cela peut s’écrire ainsi : 

E(r) Eo exp ( j k⋅ r) Eo e -jk⋅ r Eo e -jφe -jk⋅ r (3.1.15) 

où φ est la phase initiale à l’origine choisie.

λ x 

0 

x 

r 

C 

β 

Composantes du champ 

Ω 

k 

P 

λ C 

s 

λ z 

v 

G vz 

Figure 3.1.2 Vecteur d’onde et longueurs d’onde 

Dans le cas illustré (Figures 3.1.1, 3.1.2), le champ magnétique H n’a qu’une 

composante sur Z qu’on peut désigner par une des formes suivantes : 

H(r) Ho exp ( j k⋅ r) Ho e -jk⋅ r Ho e -jφ' e -jk ⋅r Ho e -jφ'e -jk⋅ r z 

(3.1.16) 

où φ’ est la phase initiale à l’origine : on sait que si le milieu est plus ou 

moins conducteur, cette phase est différente de celle du champ électrique. 

Par contre le champ électrique a des composantes selon X et Z. D’après 

(3.1.9) : 

3.2 Réflexion oblique 

E(r) E o x cos C z sin C e -jφ e -jk·r (3.1.17) 

Quand une onde électromagnétique plane rencontre l'interface de milieux 

différents, dans une direction faisant un angle θ1 avec la normale à 

l'interface, il se passe deux choses : 

z


• Une fraction de l'énergie se réfléchit dans le premier milieu sous forme 

d'une onde plane dans une direction symétrique de la première par 

rapport à la normale. 

• Une fraction de l'énergie est transmise ou réfractée dans le deuxième 

milieu dans une direction qui dépend de la permittivité des milieux, avec 

une intensité qui dépend aussi de ces derniers. 

Il faut distinguer deux cas selon que la polarisation est perpendiculaire ou 

parallèle au plan d’incidence. De plus, la vitesse de propagation dans le 

deuxième milieu peut être inférieure ou supérieure à celle dans le premier. 

Les coefficients de réflexion et de transmission sont différents dans ces 

divers cas comme nous le verrons. 

3.3 Lois de Descartes et Snell 

Démonstration 

On peut établir les relations entre les directions des ondes incidente, 

réfléchie et transmise, sans faire appel à leur caractère électromagnétique. 

Le raisonnement que nous allons faire est le même pour tous types d’onde. 

Les surfaces d’onde incidente, réfléchie et transmise (ou réfractée) sont 

représentées respectivement (Figure 3.3.1) par Ωi, Ωr et Ωt qui sont 

perpendiculaires aux vecteurs vitesse correspondants. Au cours d’un 

intervalle Δt le point M de l’onde incidente avec l’angle θi parcourt la 

distance MP. Or, pendant le même temps, l’onde réfléchie parcourt la 

distance ON qui est nécessairement égale à MP. Il s’ensuit que : 

θi θr 

(3.3.1) 

C'est la première loi de Descartes et Snell 1 , 2 . Les angles θ sont mesurés à 

partir de la normale 0y au plan d’incidence x0y. 

1 René DESCARTES. Philosophe et savant français (1596 - 1650). Il formula en philosophie des méthodes d'inspiration 

mathématique. Il fut le créateur de la géométrie analytique. Il établit les lois de réflexion et de réfraction de la lumière. Il est 

considéré comme le père de l'idéalisme moderne et celui du matérialisme mécaniste et géométrique. Auteur de plusieurs traités 

philosophiques dont le «Discours de la méthode». 

2 Willebrord SNELL VAN ROYEN, dit Villebrordus Snellius. Astronome et mathématicien hollandais (1580 - 1626). Il mit au 

point une méthode de triangulation pour la détermination de la longueur d'un arc de méridien. Il découvrit également la loi de 

réfraction de la lumière indépendemment de René Descartes.


Note importante : Dans tout ce qui suit, les angles sont mesurés en valeur 

absolue. 

D’autre part, la distance OP est l’hypothénuse commune aux deux triangles 

ONP et ORP. On a donc : 

OP MP 

sin θi 

v 1 Δt 

OR 

v 2 Δt 

sin θi sin θt sin θt 

Par conséquent : v 1 

sin θi 

v 2 

sin θt 

C’est la deuxième loi de Descartes et Snell. 

1 

2 

Ωr 

v 1 

Ωt 

θi 

y 

0 

θ t 

θ r 

Ωr 

R 

M 

v 2 

θi θ r 

Figure 3.3.1 Relations entre les ondes incidente, transmise et réfléchie 

Indice de réfraction 

θt 

Ω i 

N 

P 

v 1 

Ωi 

v 1 

x 

(3.3.2) 

(3.3.3) 

On définit l’indice de réfraction n d’un milieu comme ; le rapport entre la 

vitesse v 0 des ondes en question dans un milieu de référence et la vitesse v 

dans le milieu considéré : 

n v o 

v 

(3.3.4)


Dans le cas des ondes électromagnétiques, le milieu de référence utilisé est 

le vide où vo = c ≈ 300 000 km/s. 

La deuxième loi de Descartes s’écrit alors comme suit : 

n 1 sin θi n 2 sin θt 

Angle d’incidence critique 

Considérons le cas où v2 > v1 (ou n2 < n1). Il existe alors un angle 

d’incidence particulier dit angle critique pour lequel l’angle de transmission 

ou de réfraction est de 90˚. D’après la relation (3.3.3) : 

sin θc = v 1 

v 2 sin 90˚ = v 1 

v 2 

Nous verrons plus loin que l’énergie ondulatoire incidente est totalement 

réfléchie dans ce cas. 

Directions et paramètres physiques 

(3.3.5) 

(3.3.6) 

On connaît l’expression de la vitesse de phase des ondes électromagnétiques 

dans un milieu diélectrique quelconque : 

v ω 

k' = 

1 

μoε' 

1 

1 + σ' 2 1/4 

cos δ/2 

ωε' 

où : ε’ est la partie réelle de la permittivité complexe du milieu ; 

σ’ = σ + ωε” est la conductivité effective du milieu ; 

μο 

est la perméabilité magnétique ; 

δ est l’angle de pertes, 

(3.3.7) 

avec tg δ = σ’/ωε’ , le facteur de pertes. 

L’utilisation de cette relation dans l’équation 3.2.4, permet de calculer l’angle 

de transmission (ou de réfraction) θt en fonction de l’angle d’incidence θi 

dans tout milieu.


Cas de bons diélectriques 

Dans le cas des milieux qui sont de bons diélectriques (faible facteur de 

pertes, tg δ

, 

k1 Hr 

Hi 

θi 

Er 

θr 

E i 

k 1 

X 

1 

ε1 ε2 μ1 

μ2 

η ηη 

1 

0 

2 

2 

Ht 

θt + 180˚ 

Figure 3.4.1 Onde é.m. incidente obliquement sur l’interface de deux milieux : réflexion et transmission 

Mais on sait que Eio η1 Hio , où η1 est l’impédance caractéristique (ou 

impédance d’onde) du milieu 1 (nombre complexe dans les milieux avec 

pertes). Alors : 

Hi(r) Eio 

η1 

(x cos θi – z sin θi) exp ( j k1⋅ r) (3.4.3) 

Vu que θr = θi, les champs réfléchis et transmis sont respectivement : 

Er(r) Ero exp ( j k'1⋅ r) y (3.4.4) 

Hr(r) Ero 

η1 

( x cos θi – z sin θi) exp ( j k'1⋅ r) (3.4.5) 

Et(r) Eto exp ( j k2⋅ r) y (3.4.6) 

Ht(r) Eto 

η2 

(+x cos θt – z sin θt) exp ( j k2⋅ r) (3.4.7) 


Or, les composantes tangentielles (selon 0x) du champ électrique et du 

champ magnétique doivent être continues à l’interface (r = 0), d’où : 

Eio + Ero Eto 

θt 

E t 

Z 

k 2 

(3.4.8)

d’où Eio 

η1 

Hio cos θi – Hro cos θi = Hto cos θt 

cos θi Ero 

η1 

cos θi Eto 

η2 

cos θt 

(3.4.9) 

(3.4.10) 

où les inconnues sont Ero, Eto et cos θt. On sait déjà qu’entre les 

composantes tangentielles du champ électrique existent les relations : 

Ero R⊥ Eio et Eto T⊥ Eio 

(3.4.8) donne : T⊥ 1 + R⊥ 

(3.4.11) 

(3.4.12) 

où R⊥ et T⊥ sont respectivement le coefficient de réflexion et le coefficient de 

transmission de Fresnel pour une onde polarisée perpendiculairement au 

plan d’incidence. En portant ces expressions dans (3.4.8) et (3.4.10) on 

obtient facilement : 

R⊥ η2 cos θi – η1 cos θt 

T⊥ 

η2 cos θi + η1 cos θt 

2η2 cos θi 

η2 cos θi + η1 cos θt 

(3.4.13) 

(3.4.14) 

Ces diverses grandeurs sont généralement complexes pour des ondes 

sinusoïdales de fréquence f. Rappelons que les impédances caractéristiques 

ou impédances d’onde des milieux sont données par : 

η1 

μ1 

ε1 

et η2 

μ2 


ε2 

(3.4.15) 

Dans les diélectriques, la perméabilité magnétique est essentiellement celle 

du vide μo. De plus, si les pertes sont relativement très faibles, la 

permittivité électrique se réduit à sa partie réelle ε , . On obtient alors : 

R⊥ cos θi – ε'2/ε' 1 cos θt 

cos θi + ε'2/ε' 1 cos θt 

Vu que cos θt 1 sin 2 θt et que sin θt 

(3.4.16) 

, , 

ε1/ε2 

sin θi, on a aussi :

R⊥ cos θi – ε' 2/ε'1 sin 2 θi 

cos θi + ε' 2/ε'1 sin 2 θi 

T⊥ 

2 cos θi 

cos θi + ε' 2/ε'1 sin 2 θi 

Réflexion totale 

(3.4.17) 

(3.4.18) 

Considérons le cas où ε' 2/ε' 1 < 1 ou η2/η1 > 1. On note alors que le radical 

de l’équation (3.4.17) s’annule pour une valeur particulière θc de l’angle 

d’incidence telle que : 

sin θc = 

ε' 2 

ε' 1 

(3.4.19) 

C’est l’angle critique d’incidence, pour lequel l’angle de réfraction est de 90˚ 

et la réflexion est totale : R⊥ +1. La figure 3.4.2 illustre ce phénomène. 

θ t 

θ i = θc 

X 

1 2 

ε 1 

0 

ε 2 

μ 1 μ 2 

η 1 η 2 

θ t = 90˚ 

Figure 3.4.2 Réflexion totale et angle d’incidence critique 

Z


Exemple 3.4.1 Réflexion en polarisation perpendiculaire 

La figure 3.4.3a illustre le cas où n2/n1 = v1/v2 = ε2/ε1 = η1/η2 = 2. C’est 

celui, par exemple, de la réflexion de la lumière sur du verre à haute densité 

dont l’indice de réfraction est d’environ 2 (par rapport au vide) : le coefficient 

de réflexion est négatif pour toutes les valeurs de θi ; à incidence normale 

(θi = 0), R =−0, 

333. 

La figure (b) montre le cas où les milieux sont 

⊥ 0 

inversés. Il y a alors réflexion totale pour un angle d’incidence critique de 

30˚. 

1 

R 

⊥ 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

0 20 40 60 80 100 

Angle d'incidence [dg] 

Figure 3.4.3 (a)

1 

R⊥ 0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

0 20 40 60 80 100 

Angle d'incidence [dg] 

Figure 3.4.3 (b) Coefficient de réflexion, interface de deux diélectriques 

Onde évanescente 

(a) n2/n1 = ε2/ε1 2 (b) n1/n2 = ε1/ε2 2 

Quand l’angle d’incidence dépasse l’angle critique, le coefficient de 

transmission devient complexe d’après 

sin 

(3.4.14 ou 3.4.18) car 

2 , , 

θi > ε2/ε1 

, de sorte qu’on peut écrire : 

, , 2 

cos θt = j ε1/ε2 

sin θi – 1 jF θi ≥ θc 

Le coefficient de transmission devient alors : 

T⊥ 

2 cos θi 

, , 

cos θi + j F ε2/ε1 

θi > θc 

(3.4.20) 

Cela est lié au fait qu’il existe un champ électromagnétique dans le deuxième 

milieu : c’est l’onde évanescente. C’est une onde qui se propage sans 

atténuation le long de l’interface (axe 0X), mais dont l’amplitude diminue 

exponentiellement dans le deuxième milieu. Il n’y a pas de propagation dans 

la direction de z dans ce dernier : on peut démontrer que les composantes


électrique et magnétique du champ sont déphasées de 90˚, de sorte que la 

puissance transportée est nulle d’après le théorème de Poynting. Il s’agit 

d’une onde de surface. L’existence de cette onde est mise à profit dans les 

coupleurs directionnels à fibres optiques et autres. La question est discutée 

plus en détail dans une prochaine section. 

3.5 Polarisation parallèle 

Composantes du champ électromagnétique 

Dans le cas où la polarisation de l’onde incidente est parallèle au plan 

d’incidence (figure 3.5.1), l’application de la relation (3.1.17) donne, en 

tenant compte de l’orientation du champ et du fait que θr θi : 

Ei(r) Eio + x cos θi z sin θi exp ( jk1⋅ r) (3.5.1) 

Er(r) Ero x cos θi + z sin θi exp ( jk'1⋅ r) (3.5.2) 

Et(r) Eto + x cos θt z sin θt exp ( jk2⋅ r) (3.5.3) 

Hi(r) Hio exp ( j k1⋅ r) y (3.5.4) 

Hr(r) Hro exp ( j k'1⋅ r) y (3.5.5) 

Ht(r) Hto exp ( j k2⋅ r) y (3.5.6) 

Le soulignement a été supprimé pour simplifier la notation, mais les champs 

sont complexes quand même.

1 

k'1 

E i 

H r 

θr 

θi 

k 1 

E r 

H i 

0 

X 

ε ε 1 2 

μ μ2 

1 

η1 ηη 2 

Figure 3.5.1 Réflexion et transmission d’une onde polarisée parallèlement au plan d’incidence 


À l’interface (r = 0) et exp ( j k⋅ r) 1. De plus, les composantes 

tangentielles (axe Ox) du champ magnétique et du champ électrique y sont 

continues en l’absence de charge et de courant superficiels : 

Hio + H ro Hto 

θt 

E t 

2 

H t 

k 2 

Z 

(3.5.7) 

et : Eio cos θi + Ero cos θi = Eto cos θt (3.5.8) 

Vu que E = η H ( 3 ) : Eio 

η1 

+ Ero 

η1 

Définissons le coefficient de réflexion R|| en polarisation parallèle comme : 

R|| Ero 

Eio 

Eto 

η2 

(3.5.9) 

(3.5.10) 

Alors : Eio cos θi + R||Eio cos θi = Eto cos θt (3.5.11) 

Eio 

η1 

+ R||Eio 

η1 

Eto 

η2 

(3.5.12) 

3 Les impédances d’onde peuvent être des grandeurs complexes en général. Pour simplifier la notation, les grandeurs complexes 

ne sont pas soulignées.


Résolvant ces deux dernières équations pour R|| on obtient : 

R|| η2 cos θt – η1 cos θi 

η2 cos θt + η1 cos θi 

Puis, résolvant pour Eto T||Eio, on trouve facilement que : 

T|| 

cos θi 

cos θt 

1 + R|| 

2 η2 cos θi 

η2 cos θt + η1 cos θi 

(3.5.13) 

(3.5.14) 

Ce sont les formules de Fresnel pour la polarisation parallèle au plan 

d’incidence. 


Dans les diélectriques à faibles pertes η2/η1 n 2/n 1 ≈ ε' 1/ε'2 . Utilisant le 

fait que : cos θt = 1 – sin 2 θt et sin θt = ε1/ε2 sin θi, on obtient 

par substitution, en simplifiant la notation (ε' 1 ε1, etc.) : 

R|| – ε2/ε1 cos θi + ε2/ε1 – sin 2 θi 

ε2/ε1 cos θi + ε2/ε1 – sin 2 θi 

Angle d’incidence critique 

(3.5.15) 

Comme précédemment, dans le cas où l’impédance d’onde du deuxième 

milieu est supérieure à celle du premier, il y a réflexion totale pour un angle 

d’incidence critique défini par la même expression (Équation. 3.4.19). 

Angle de Brewster 

L’examen de l’expression de R|| montre une propriété remarquable des 

ondes électromagnétiques de polarisation parallèle. En effet, pour toute 

valeur du rapport des permittivités, il existe un angle d’incidence particulier


θB pour lequel la réflexion est nulle et l’énergie totalement transmise dans le 

deuxième milieu : c’est l’angle de Brewster. En posant R|| = 0, on démontre 

que cet angle est donné par l’expression suivante : 

tg θB 

ε2 

ε1 n2 

n1 

EXEMPLE 3.5.1 Angle critique - Angle de Brewster 

(3.5.16) 

Considérons le cas de deux milieux diélectriques dont le rapport des 

permittivités ε2/ε1 est égal à 4. La courbe 1 du graphique de la figure 3.5.2 

montre la valeur absolue de R|| dans ce cas. La courbe 2 est le cas où 

ε2/ε1 = 0,25. Quand l’angle d’incidence est égal à l’angle de Brewster θB la 

réflexion est nulle. On calcule dans le premier cas θB = 63,4˚ et, dans le 

deuxième cas θB = 26,6˚. 

(a) 

R || 

0 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

θ B 

0 20 40 60 80100 Angle d'incidence [dg]


(b) 

R || 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

θ 

B 

0 20θC40 60 80 100 

Angled'incidence [dg] 

Figure 3.5.2 Réflexion en polarisation parallèle. Angle de Brewster 

(a) ε2/ε1 4 (b) ε1/ε2 4 

Exemple 3.5.2 Angle critique - Angle de Brewster 

Ce phénomène a certaines applications, dans les lasers, par exemple. Les 

lasers conçus pour donner un faisceau de lumière polarisée dans une 

direction particulière comportent, insérée dans le faisceau, une lame de verre 

inclinée d’un angle égal à l’angle de Brewster qui laisse passer totalement la 

composante de la lumière polarisée dans le plan d’incidence sur la lame : la 

direction de ce plan détermine celle de la polarisation du faisceau produit. 

L’indice de réfraction n du verre étant d’environ 1,5, l’angle de Brewster θ B 

est alors voisin de 56˚. 

Une autre application est l’utilisation de verres ou de filtres polarisants pour 

réduire l’éblouissement produit par la réflexion sur les surfaces diélectriques 

telles que l’eau, le verre, les plastiques... Par exemple, en portant des verres 

polarisants dont l’axe de polarisation est vertical, la lumière réfléchie sur 

l’eau ou une route mouillée (n ≈ 1,33, θ B ≈ 53˚) est plus fortement bloquée 

que la lumière venant d’ailleurs. En effet, la lumière réfléchie sur une 

surface horizontale a une composante de polarisation horizontale plus 

intense que celle de polarisation verticale.

3.6 Onde évanescente 

Incidence surcritique 


Quand l’angle d’incidence dépasse l’angle critique et qu’il y a réflexion totale, 

un champ électromagnétique existe quand même dans le second milieu : 

c’est l’onde évanescente. Cette onde joue un rôle important dans le domaine 

des guides d’ondes diélectriques tels que les fibres optiques. 

Considérons l’incidence sur un bon diélectrique en polarisation 

perpendiculaire vue plus haut, dans le cas où ε2 < ε1, ou 

n 2 < n1 ou η2 > η1, avec l’angle d’incidence supérieur à l’angle critique : 

θi > θc (Figure 3.6.1). Mathématiquement, l’équation de Descartes-Snell 

s’applique toujours : 

n 1 sin θi n 2 sin θt 

Dans le cas présent : sin θt n 1 

sin θi > 1 

n 2 

Il s’ensuit que cos θt est alors purement imaginaire : 

k' 1 

H r 

Hi 

E 1 

Er 

θ r 

θ i 

k 1 

X 

1 

ε1 

μ 

0 

1 2 

η1 ηη 

2 

k 2 

Ht Et ε2 

μ 

θ i 

Figure 3.6.1 

2 

θ t 

Z 

(3.6.1)


cos θt ± 1 sin 2 θt ±j sin 2 θt 1 ±j 

n 2 

1 

n 2 

sin 2 θi 1 (3.6.2) 

Pour simplifier, posons : cos θt ±j F (3.6.3) 

Pour le moment, le signe à conserver est indéterminé et ce choix doit s’avérer 

important. 

Champ transmis 

On a vu plus haut l’expression générale du champ électrique transmis: 

Et(r) Eto exp ( j k2⋅ r) y (3.6.4) 

D’après (1-1.10), le vecteur d’onde k2 dans le cas présent est: 

k2 xk 2 sin θt + zk 2 cos θt xk 2 sin θt ± jzk 2F (3.6.5) 

Alors, vu que r x x + z z : k2⋅ r k 2x sin θt ± jk 2z F (3.6.6) 

Posons sin θt G n1/n 2 sin θi, et = k2F. Alors: 

, 

k2⋅ r k 2Gx ± jαz k 2x 

± jαz (3.6.7) 

L’expression du champ électrique transmis devient : 

Et(r) T⊥Eio exp ±α z exp j k 2Gx y 

Il faut rejeter le signe + devant αz, car il correspond à une amplitude qui 

augmenterait sans limite avec z, ce qui est physiquement impossible : il faut 

choisir cos θt +j F. On obtient finalement : 

Et(r) Eto exp α z exp j k 2Gx y (3.6.8) 

Cette fonction représente une onde qui se propage sans atténuation le long 

de l’interface (axe 0x), mais dont l’amplitude diminue exponentiellement 

dans le deuxième milieu, avec z. Il n’y a pas de propagation dans la direction 

de z dans ce dernier. Il s’agit d’une onde de surface qu’on appelle 

généralement onde évanescente. L’existence de cette onde est mise à profit 

dans les coupleurs directionnels à fibres optiques et autres. 

Le champ magnétique transmis (3.4.7) dans le deuxième milieu diélectrique, 

si on le suppose sans pertes (η2 réel), est alors :

Ht(r) Eto 

η2 

j F x – G z exp α z exp j k 2Gx (3.6.9) 

D’autre part, le coefficient de transmission devient complexe d’après (3.4.18) 

car sin 2 θi > n2/n 1 : 

T⊥ 

2 cos θi 

cos θi + j sin 2 θi n 2/n 1 2 

ou encore : T ⊥ 

avec tg φT n 2/n 1 F 

2 cos θi 

cos θi + j n 2/n 1 F 

cos θi 

2 cos θi 

cos θi + j n 2/n 1 n 1/n 2 2 sin 2 θi 1 

T⊥ ∠φT 

(3.6.10) 

(3.6.11) 

Comme le coefficient de transmission est complexe, le champ transmis est 

déphasé par rapport au champ incident à l’interface. 

Champ réfléchi 

Le coefficient de réflexion est de même : 

R ⊥ cos θi j n 2/n 1 F 

cos θi + j n 2/n 1 F 

1 ∠φR 

(3.6.12) 

où : φR 2φT . Cet angle est le déphasage entre l’onde réfléchie et l’onde 

incidente dans le plan z = 0 : il se produit un retard de phase à la réflexion. 

Il se produirait le même retard de phase si, comme illustré dans la figure 

3.3.2, le milieu 1 s’étendait jusqu’au plan conducteur P, causant un 

parcours supplémentaire OAB 2d/cos θi et un déphasage total : 

2k 1d 

+ π 

cos θi 

car il se produit un déphasage de π radians à la réflexion sur une surface 

conductrice. Or, ce déphasage doit être égal à celui sur le parcours OD qui 

est φr – 2k1e. Constatant que e 2d sin 2 θ i/cos θi, on a :

2k 1d 

cos θi 

d’où : d 

+ π φR 2k 1d sin 2 θi 

cos θi 

φR + π 

2k 1 cos θi 

2 

1 

E 

P 

Σ i 

k 1 

θi 

Z 

0 

θi 

A 

d 

e Σr 

Figure 3.6.2 Incidence surcritique - Plan conducteur équivalent P 

Mais tg φR + π tg φR tg φR. Il s’ensuit que : 

d 

φR 

2k 1 cos θi 

D 

B 

k' 1 

X 

(3.6.13) 

C’est l’effet Goos-Hanchen 5 . Cette relation prend toute son importance quand 

on traite de propagation guidée dans un diélectrique, comme dans les fibres 

optiques. 

Intensité transmise 

Le vecteur de Poynting complexe est : 

5 

2 

* Eto S Et ∧ Ht e 

η2 

-2αzy ∧ +j F x G z 

Pierre LECOY, Télécommunications optiques, Traité des Nouvelles Technologies, p. 32, 

Hermès, Paris, 1992. 

Eto 2 

η2 

e -2αz jF z G x

2 

* Eto 

S Et ∧ Ht 

η2 

e -2αz jF z + G x (3.6.14) 

Comme il est formé d’une partie purement imaginaire selon l’axe Z, la 

puissance transmise dans cette direction est donc nulle. Ceci découle du fait 

qu’il n’y a pas de propagation selon Z. Par contre, l’onde de surface qui se 

propage selon X transporte une puissance qui diminue rapidement avec 

l’éloignement de l’interface. Son intensité est donnée par : 

Ix 1 

2 Ré Et 

2 

* 

∧ Ht 

1 G Eto 

2 η2 

Propagation guidée 

e -2αz (3.6.15) 

D’après ce que nous venons de voir, il devient évident qu’une onde 

électromagnétique peut se propager dans une lame diélectrique (Figure 

3.6.3). Une onde plane pénétrant dans une lame diélectrique en 0 subit des 

réflexions multiples dans la lame si l’angle θi est supérieur à l’angle critique 

de l’interface air-diélectrique. Le même principe s’applique dans le cas d’un 

tube diélectrique de section rectangulaire ou circulaire. Une fibre optique 

est essentiellement un tube diélectrique où une onde lumineuse peut se 

propager sur de grandes distances par réflexions internes multiples. Dans 

les communications modernes, les fibres optiques servent à transmettre sur 

de grandes distances des signaux lumineux infrarouges (télévision, radio, 

données numériques...). 

0 

θ i 

Air 

Figure 3.6.3 

Diélectrique


Transmission par onde évanescente 

Si un troisième milieu (3, Figure 3.6.4) comparable au milieu 1 est approché 

de l’interface 1-2 à une distance b inférieure à une longueur d’onde λ2, on 

observe qu’une onde se propage dans le milieu 3 dans la direction indiquée. 

Il se produit un couplage du milieu 1 au milieu 3 par l’intermédiaire de 

l’onde évanescente dans le milieu 2, même si l’angle d’incidence θι est 

supérieur à l’angle critique. Ce phénomène de transmission est mis à profit 

dans certains dispositifs d’optique intégrée modernes, tels que les coupleurs 

directionnels. Notons que ce phénomène s'apparente à l'effet tunnel qui est 

mis à profit dans certains dispositifs à semi-conducteurs modernes. 

3 

2 0 

1 

E 

k 1 

θc 

Z Énergie transmise 

θi 

Figure 3.6.4 Transmission par onde évanescente 

Exemple 3.6.1 Calcul d'une onde évanescente 

Supposons une onde plane à 1 GHz dans un diélectrique parfait (milieu 1) 

dont l’impédance d’onde est η1 = ηo/2 = 188,5 ohms (ε'1r 4), incidente à 

45˚ sur l’interface plan séparant le diélectrique du vide. Le champ électrique 

est perpendiculaire au plan d’incidence, avec une intensité de 100 V/m. 

θr 

b 

X

Cet angle dépasse l’incidence critique qui est de 30˚ : 

sin θc = η1 

η2 

= 


ε2 

ε2 

= n2 

n1 

= 0,5 

Trouvons les caractéristiques de l’onde évanescente dans le milieu 2. Les 

facteurs F et G : 

F = 377 2 

sin 45˚ – 1 = 1,3522 

188,5 

G = 377 sin 45˚ = 2 = 1,4142 

188,5 

La vitesse de phase dans le deuxième milieu étant c (vitesse dans le vide), la 

constante de phase k2 est : 

k2 = 2πf 

c 

Le coefficient α est alors : 

= 20,944 rd/m 

α = k2 F = 20,944 × 1,3522 = 28,320 Np/m 

Puis, le facteur de phase : k' 2 = k2G = 20,944 × 2 = 29,619 rd/m 

Calculons le coefficient de transmission : 

T⊥ = 

2 × (1/ 2) 

(1/ 2) + j(1/2) × 1,3522 

= 1,446 ∠-43,72˚ = 1,446 ∠-0,7631 rd 

On observe que son module est supérieur à 1 ! Le module du champ 

transmis est ainsi E to = 144,6 V/m et sa phase à l’interface φ T = -0,7631 rd. 

Le champ électrique dans le deuxième milieu a donc l’amplitude complexe 

suivante, en substituant les valeurs numériques : 

Eto = -144,6 exp (-28,32z) exp (-j29,619x) y [V/m] 

La longueur d’onde dans le deuxième milieu est λ2 = c/f = 0,3 m. À la 

distance z = λ2/4 de l’interface, l’amplitude du champ tombe à une faible 

fraction (0,1195) de sa valeur en surface : 

E t(λ/4) = 144,6 × exp(-28,32 × 0,3/4) = 144,6 × 0,1195 = 17,29 V/m


L’expression numérique du champ magnétique suit : 

Hto = 144,6 

377 

-j1,3522x – 2z exp (-28,32z) exp (-j29,619x) [A/m] 

La distance du plan réflecteur fictif équivalent est alors : 

φR 

d = – 

2k1 cos θi 

d = 

où φ R = 2φ T = -1,526 rd. 

EXERCICES 

3.1 Onde oblique 

1,526 × 1,5· 108 

4π × 10 9 1/ 2 

φRv1 

= – 

4πf cos θi 

= 2,58 cm 

Si l’expression complexe d’une certaine onde électromagnétique dans l’air est 

la suivante : Ei(x,z) = y 10 exp –j(6x + 8z) [volts/m] et qu’elle est incidente 

sur une surface parfaitement conductrice en z = 0 : 

a) Déterminer sa fréquence et sa longueur d’onde. 

b) Écrire l’expression de Hi(x,z,t), le champ magnétique en fonction du 

temps. 

c) Évaluer l’angle d’incidence. 

d) Déterminer les ondes réfléchies Er(x,z) et Hr(x,z). 

e) Trouver l’expression du vecteur de Poynting complexe de l’onde 

incidente. 


Si l’onde de l’exercice B-1.1 est incidente sur la surface d’un diélectrique 

supposé parfait dont la permittivité relative est égale à 4, trouver : 

a) Les modules des champs électrique et magnétique transmis et réfléchis. 

b) L’expression du champ électrique réfléchi Er(x,z) et celle du champ 

magnétique transmis H ( x, z) 

t

c) Évaluer l’angle de transmission ou de réfraction. 


d) Dans ce cas, y a-t-il un angle d’incidence tel que la réflexion soit nulle ? 


a) Écrire l’expression de l’amplitude complexe de la composante électrique 

d’une onde électromagnétique plane à 100 MHz incidente à 30˚ sur 

l’interface plane entre l’air et un milieu diélectrique de permittivité égale 

à 4εo. L’amplitude du champ électrique est de 10 V/m. L’axe 0x point 

vers le haut, l’axe 0z vers la droite (direction de l’onde incidente) et 

l’origine 0 est sur l’interface. 

Rép. : H(x,z) = 2,653· 10 5 exp -j 1,047 x + 1,814 z y A m 1 

b) Trouver l’expression complexe du champ électrique dans le diélectrique. 

3.4 Vecteur de Poynting - Incidence oblique 

Le vecteur de Poynting moyen d’une certaine onde plane étant 

= 4 z W m 2 , trouver : 

a) L’intensité à travers le plan x = 2 m. 

b) La puissance moyenne qui traverse la surface plane de 2 m 2 définie par 

les trois points suivants : O(0,0,0), M(0,4,0), N(3,0,2), les coordonnées 

étant en mètres. 

Rép. : R: P = 166,4 W 

3.5 Prisme à réflexion totale 

Le type de prisme illustré ci-contre est 

utilisé dans les instruments d’optique 

tels que les jumelles. Si la permittivité 

relative du verre pour la lumière visible 

est de 4, évaluer la fraction de 

l’intensité incidente qui est perdue dans 

le faisceau émergent. 

Air 

Verre


3.6 Fibre optique 

La figure ci-contre représente un rayon de 

lumière incident sur la face d'entrée polie 

d'une fibre optique formée d'un coeur en 

verre d'indice de réfraction n1 = 1,65 et 

d'une gaine optique d'indice n2 = 1,45. Le 

milieu extérieur est de l'air d'indice n0 = 1. 

Évaluer l'angle d'incidence maximal tel que 

le rayon réfracté soit encore totalement 

réfléchi par la paroi latérale interne du 

coeur de la fibre. On doit faire une 

démonstration claire, avec une figure à la 

règle. 

3.7 Angle critique - Angle de Brewster 

θi 

n 0 

Gaine optique 

n 2 = 1,45 

Coeur (verre) 

n1 = 1,65 

La permittivité relative de l'eau aux fréquences de la lumière visible est 

d'environ 1,77, ce qui correspond à un indice de réfraction de 1,33. 

Supposez que vous êtes au fond d'une piscine d'eau douce avec un laser 

étanche qui produit un faisceau de lumière polarisée. Si vous dirigez le 

faisceau vers la surface avec une polarisation parallèle au plan d'incidence : 

a) Pour quel angle d'incidence la réflexion sera-t-elle totale ? 

Rép. : 48,7˚ 

b) Quelle valeur doit-on donner à l'angle d'incidence afin que la réflexion 

soit nulle ? Comment s'appelle cet angle? Quel est alors le coefficient de 

transmission ? 

3.8 Incidence oblique - Milieu avec pertes 

Une onde électromagnétique plane de 10 kHz est incidente dans l'air sur la 

surface de la mer calme avec une polarisation parallèle et une incidence 

rasante de 85˚. On sait que les paramètres électriques de l'eau de mer sont : 

εr = 81, μr = 1 et σ = 4 S m 1 . Évaluer : 

a) L'angle de réfraction (ou de transmission). 

b) Le coefficient de réflexion R // et le coefficient de transmission T//. 

Rép. : R/ / = 0,9939 ∠179,6˚ T // = 7,436· 10 4 ∠45˚


c) Le rapport It/Ii de l'intensité transmise et de l'intensité incidente. 

Rép. : 1,048· 10 3 

d) Trouver les expressions complexe et réelle des champs E et H transmis. 

e) S'il faut que le champ électrique sous l'eau soit d'au moins 100 μV/m à 

10 mètres sous la surface pour servir à la communication par radio avec 

un sous-marin, quel doit être le champ électrique dans l'air et son 

intensité ? Cela démontre la difficulté de ce type de communication, qui 

doit se faire à très basses fréquences, car l'atténuation dans l'eau de mer 

augmente rapidement avec la fréquence. 

Rép. : I1o = 67,9 mW/m 2 

Question supplémentaire : si l’émetteur se trouve à 1000 km du 

récepteur, pouvez-vous en déduire la puissance requise de l’émetteur en 

faisant l’hypothèse d’une émission isotrope ? La valeur trouvée est-elle 

réaliste ?

4 

Rayonnement 

électromagnétique 

Dès que la densité de charge ou la densité de courant varie dans un région 

de l’espace, on observe l’apparition d’un champ électromagnétique qui se 

propage hors de cette région avec une vitesse caractéristique du milieu. C’est 

le phénomène de rayonnement. 

Les antennes d’émission utilisées en radioélectricité sont des dispositifs qui 

produisent un champ électromagnétique rayonnant dans tout l’espace du 

fait qu’elles sont parcourues par des courants oscillants. La figure suivante 

montre une antenne simple constituée d’un fil conducteur vertical au-dessus 

d’un plan conducteur dans lequel on force un courant alternatif à circuler au 

moyen d’une ligne électrique reliée à une source ou à un émetteur. 

Forcément, ce courant s’annule au bout de l’antenne. Le problème qui se 

pose alors est celui de la détermination du champ électromatique produit 

par une certaine distribution de courant dans l’antenne. Nous 

commencerons par déterminer le champ produit par un élément de courant 

tel que Idz. Le champ produit par l’antenne sera alors la somme des champs 

produits par tous les éléments de l’antenne, en tenant compte de l’effet du 

plan conducteur.

Antenne 

I dz 

Surface 

conductrice 

4.1 Potentiels retardés 

θ 

I 

r 

Ligne 

électrique 

Antenne simple 

Nous cherchons ici à relier les potentiels V et A à leurs sources, soit la 

densité de charge ρ et la densité de courant J. On pourra ensuite calculer les 

champs E et B en fonction des potentiels au moyen des expressions 

connues : 

E – ∇V – ∂A 

∂t 

B ∇ × A 

Rappelons les équations de Maxwell : 

∇ × E ∂B 

∂t 

∇ × H J + ∂D 

∂t 

∇⋅ D ρ 

∇⋅ B 0 

P 

(4.1.1) 

(4.1.2) 

(4.1.3) 

(4.1.4) 

(4.1.5) 

(4.1.6)


Si on porte (4.1.1) dans (4.1.3), on constate que l’équation est vérifiée. En 

effet : 

∇ × E = –∇ × (∇V) – ∇ × ∂A 

∂t 

= 0 – ∂∇×A 

∂t 

= – ∂B 

∂t 

car le rotationnnel d’un gradient est toujours nul. De même, si l’on porte 

(4.1.2) dans (4.1.6), on constate que cette dernière est vérifiée, car la 

divergence d’un rotationnel est toujours nulle. C’est en portant (4.1.1, 4.1.2) 

dans (4.1.4, 4.1.5) que nous pourrons relier les potentiels aux sources. 

Supposons que le milieu est linéaire, avec une permittivité ε et une 

perméabilité μ : 

et : 

Or, 

∇⋅ ∇V = – ρ 

ε 

∇× ∇×A 

μ 

∇ × ∇×A = μ J – μ ε ∂E 

∂t 

∇⋅ ∂A 

∂t 

= – ρ 

ε 

= J – ∇ × 

∂(ε E) 

∂t 

∂∇⋅ A 

∂t 

= μ J – μ ε ∂∇V 

∂t 

– μ ε ∂2 A 

∂t 2 

(4.1.7) 

(4.1.8) 

(4.1.9) 

∇ × ∇×A = ∇ ∇⋅A – ∇⋅ ∇A = grad (div A) – div (grad A) (4.1.10) 

(4.1.9) devient alors : 

∇⋅ ∇A = –μ J + μ ε ∇ ∂V 

∂t + μ ε ∂2A + ∇∇⋅A (4.1.11) 

2 

∂t 

Or, toute expression de V ou de A qui donne correctement les champs E et B 

est acceptable. Ainsi, la divergence de A, ∇⋅ A, peut être n’importe quelle 

fonction. Si on la choisit comme suit, 

∇⋅ A μ ε ∂V 

∂t 

(condition de Lorentz) (4.1.12)


l’équation (4.1.11) se simplifie et devient, avec la relation (4.1.7) : 

∇⋅ ∇A μ ε ∂2 A 

μ J 

2 

∂t 

∇⋅ ∇V – με ∂2V ρ 

2 

∂t ε 

(4.1.13) 

(4.1.14) 

En introduisant le laplacien qui est la divergence du gradient, on peut aussi 

écrire : 

∇ 2 A μ ε ∂2A μ J 

2 

∂t 

∇ 2 V – με ∂2V ρ 

2 

∂t ε 

(4.1.13) 

(4.1.14) 

A et V sont des fonctions de la position et du temps : A(r,t) et V(r,t). Dans le 

cas où il n’y a pas de variation au cours du temps (électrostatique, 

magnétostatique), ces deux équations se ramènent aux équations bien 

connues établies précédemment : 

∇ 2 A μ J 

∇ 2 V ρ 

ε 

qui sont les équations de Poisson du potentiel-vecteur magnétique et du 

potentiel électrique. 

En coordonnées cartésiennes, l’équation (4.1.13) représente une équation 

comme la suivante pour chaque composante : 

∇ 2 Ax μ ε ∂2Ax μ Jx 

(4.1.15) 

2 

∂t 

Si on peut trouver la solution des équations (4.1.14, 4.1.15) pour une charge 

ponctuelle et un élément de courant variables, on peut ensuite résoudre tous 

les cas, pour toutes les distributions de charge et de courant. Comme ces 

équations sont de même forme, leurs solutions doivent l’être aussi.


Dans le cas d’un élément de charge dq considéré comme une charge 

ponctuelle, le potentiel dV qu’il produit partout ailleurs en un point N hors 

de la distribution de charges (Figure. 4.1.1) ne peut dépendre que de r et t : 

dV = f (r,t). Pour simplifier la notation, appelons-le simplement V. En 

coordonnées sphériques, le laplacien s’écrit : 

∇ 2 V 1 ∂ 

r 2 ∂r 

L’équation (4.1.14) devient alors : 

En faisant le changement de 

variable V(r,t) = W(r,t)/r, cette 

équation se simplifie : 

∂ 2 W 

∂r 2 – με ∂2 W 

∂t 2 0 (4.1.17) 

Or, cette dernière est une équation 

d’onde, dont la solution est toute 

fonction de la variable (t – r/c) ou 

(t + r/c), où : 

∂V 

r 2 

∂r ∂2V ∂r 2 + 2 r ∂V 

∂r 

∂ 2 V 

∂r 2 + 2 r ∂V 

∂r – με ∂2V 0 (4.1.16) 

2 

∂t 

c 1 

με 

dq r 

dg 

Figure 4.1.1 

N 

(4.1.18) 

Dans le vide, cette vitesse est d’environ 300 000 km/s : c’est la vitesse des 

ondes électromagnétiques dans le vide. On peut donc poser : 

V(r,t) 

W(t – r/c) 

r 

(4.1.19) 

Considérons un point très près de la charge, de sorte que le retard soit 

négligeable. Le potentiel d’une charge dq dans le milieu supposé homogène 

est alors donné par : 

dV(r,t) dq(t) 

4πε r 

(4.1.20)


En comparant les deux dernières expressions, on constate que 

W (t r/c) dq(t r/c)/4πε. Par conséquent, le potentiel produit par une 

charge ponctuelle dq variable est de la forme : 

dV(r,t) 

dq(t r/c) 

4πε r 

ρ(t r/c) dg 

4πε r 

(4.1.21) 

D’après notre conclusion précédente, le potentiel-vecteur produit par un 

élément de courant doit avoir la même forme, c’est-à-dire : 

dA(r,t) μ dJ(t r/c) 

4π r 

μ J(t r/c) dg 

4π r 

où ρ est la densité de charge et dg est le volume élémentaire. 

(4.1.22) 

Cela signifie que la variation du potentiel à la distance r de la charge dq se 

fait avec un retard τ = r/c par rapport à la variation de la charge dQ, comme 

l’indique la figure 4.1.2 dans le cas d’une variation quelconque. 

Le potentiel produit par un volume g de charges de densité variable ρ est 

donc donné par : 

dq 

V(r,t) 1 

4πε 

g 

ρ(t r/c) 

r 

V(r,t) 

dg 

avec c μ ε 1/2 

t 0 

t 

Figure 4.1.2 

τ 

(4.1.23) 

C’est le potentiel électrique retardé. Or, chaque composante du potentielvecteur 

magnétique est régi par une équation différentielle de même type que 

celle du potentiel électrique (Équation 4.1.15). Ainsi, devons-nous avoir : 

A(r,t) 

μ 

4π 

g 

J(t r/c) 

r 

dg 

avec c μ ε −1/2 

C‘est l’expression du potentiel-vecteur magnétique retardé. 

(4.1.24)


Ce résultat met en évidence le phénomène de propagation du champ 

électromagnétique : quand une variation de charge ou de courant se produit 

dans une région de l’espace, les variations du champ en un point éloigné se 

produisent avec un retard proportionnel à la distance. Or, dans 

l’approximation quasistationnaire, on suppose que les dimensions du 

système sont assez petites, de sorte que les temps de propagation sont 

négligeables devant la période des variations. Le régime quasistationnaire est 

donc un cas limite, une approximation. 

Exemple 

Si la plus grande dimension d’un circuit électronique est de 30 cm, le temps 

de propagation du champ électromagnétique dans l’air sur cette distance est 

τ = 0,3 m/3 * 108 m/s = 10-9 s. Si la fréquence la plus élevée des signaux 

dans le circuit est de 10 MHz, correspondant à une période de 10-7 s, on 

peut alors dire que l’approximation du régime stationnaire s’applique assez 

exactement, car le temps de propagation à travers le circuit est cent fois plus 

court que la période de variation du signal. 

4.2 Régime harmonique 

Un cas particulier très important est celui où les charges et les courants 

varient de façon sinusoïdale, en cos ωt avec des amplitudes ρm et Jm. On 

sait que ces grandeurs réelles sont les parties réelles d’exponentielles 

complexes : 

ρ(t) ρm ejω t et J(t) Jm ejω t (4.2.1) 

De même : Vr,t V r e jω t et A r,t A r e jω t (4.2.2) 

En remplaçant t par t – r/c on obtient : 

ρ(t r/c) ρm ejωte jω r/c et J(t) Jm ejωte jω r/c (4.2.3) 

Comme les potentiels varient en e jωt , cette exponentielle disparaît dans les 

deux membres des équations (4.1.23, 4.1.24), et on obtient l’amplitude 

complexe des potentiels pour des distributions continues de charge et de 

courant :

V(r) 1 

4πε ρm e jω r/c 

r 

A(r) μ o 

4π 

g 

g 

J m e jωr/c 

r 

dg 

dg 


= 1 

4πε 

μ o 

4π 

g 

g 

ρm e 

r 

Jm e 

r 

jβ r 

jβ r 

dg 

dg 

(4.2.4) 

(4.2.5) 

où β = ω/c est la constante de propagation ou constante de phase. On obtient 

les potentiels réels en prenant les parties réelles de ces expressions. Si 

ωr/c


(a > a, on a alors r1 ≈ r Δr et r1 ≈ r + Δr avec Δr a cos θ /2 

Or, 

e 

jβ r1 

r1 

– e jβ r2 

r2 

N 

(4.3.4) 

= F(r – Δr) F(r + Δr) F(r + Δr) F(r – Δr)

et, à partir de la définition de la dérivée : 

Or, 

F(r + Δr) F(r Δr) ≈ 2 dF 

dr Δr 

dF 

dr 

= – d 

dr 

L’expression (4.3.4) devient ainsi : 

V(r) 

e-jβ r 

r 

I a cos θ 

jω 4πε jβ 

r 


jβ 

r 

+ 1 e-jβ r 

r 2 

+ 1 

r 2 e-jβ r ( r >> a ) (4.3.5) 

Vu la relation entre la charge et le courant, on peut aussi écrire : 

V(r) 

Qa cos θ 

4πε 

jβ 

r 

+ 1 e-jβ r 

r 2 

Remarquons que Qa est la valeur maximale du moment dipolaire électrique 

p m . D’autre part, le courant circule ici dans la direction de l’axe 0-z et 

J dg > I dz z. Si r >> a, le terme e -jβ r/r est pratiquement constant. Alors, 

l’expression (4.2.5) se réduit au potentiel-vecteur d’un dipôle élémentaire : 

A A z z 

μ Ia 

4π 

e-jβ r 

r 

z ( r >> a ) (4.3.6) 

Connaissant les expression de V et de A, on peut dès lors trouver celles des 

champs E et H = B/μ o . Comme nous avons un dipôle supposé ponctuel dans 

la direction z, il est naturel d’utiliser un référentiel sphérique dans lequel les 

composantes de A sont : 

A r = A z cos θ = μ o 

Ia cos θ 

4π 

e-jβ 

r 

r 

(4.3.7) 

A θ = – A z sin θ = – μo Ia sin θ e-jβ 

r 

4π r 

(4.3.8) 

A φ = 0 (4.3.9) 

La figure 4.3.2 montre le référentiel utilisé ; p Qa z représente le moment 

dipolaire électrique. À partir de l’expression du rotationnel en coordonnées 

sphériques, on détermine H ∇×A /μ :


On peut aussi écrire : 

Hr = 0 , Hθ = 0 , Hφ = 

Ia sin θ 

4π 

jβ 

r + 1 

r 2 e jβ r (4.3.10a) 

Hφ = – Ia β 2 sin θ 

4π 

1 + 

jβr 

1 

jβr 2 e jβ r (4.3.10b) 

Le champ magnétique n’a donc qu’une composante azimutale H φ . Le champ 

électrique se trouve à partir de la relation générale E ∇V ∂A/∂t qui 

devient, en régime sinusoïdal : E ∇V jωA. Au moyen du gradient en 

coordonnées sphériques et des expressions 4.3.5, 4.3.7, 4.3.8, en regroupant 

les termes et utilisant la relation β 2π/λ ω/v , on obtient les 

composantes du champ électrique : 

qu’on peut écrire : 

De même : 

Puis, 

Er = 

Ia cos θ 

2π 

Er = – ηoβ 2 Ia cos θ 

2π 

Eθ = – ηoβ 2 Ia sin θ 

4π 

μo 

εo 

1 

jβr 

1 

jβr 

1 – 

r 2 

j 

βr 3 

e 

jβ r 

2 + 1 

jβr 3 e jβ r (4.3.11) 

+ 1 + 1 

2 

jβr jβr 3 e jβ r (4.3.12) 

Eφ 0 (4.3.13)

On sait que ηo μo/εo ≈ 376,7 ohms 

est l’impédance d’onde du vide. Les 

expression 4.3.10 à 4.3.13 décrivent le 

champ électromagnétique produit par 

une dipôle supposée ponctuelle. 

Si βr >> 1 c’est la zone éloignée, et les 

termes du second et du troisième degré 

sont négligeables devant celui en 1/βr. 

On peut donc les négliger, comme la 

composante Er devant la composante 

Eθ . Alors il ne reste plus que les 

composantes suivantes du champ 

électromagnétique : 

Eθ jηoβIa 

4π 

H φ jβIa 

4π 

e-jβ r 

r 

e-jβ r 

r 

sin θ [V/m] 

sin θ [A/m] 

Remarquons les particularités du champ en zone éloignée : 


X 

Z 

p 

θ 

φ N 

r 

Figure 4.3.2 

(βr >> 1 ; λ >> a) (4.3.14) 

(βr >> 1 ; λ >> a) (4.3.15) 

– Le champ électrique et le champ magnétique sont à angle droit. 

– Ces deux composantes du champ électromagnétique sont en phase. 

– Le rapport Hφ/Eθ ηo, l’impédance d’onde du vide, comme pour une 

onde plane. C’est normal, car à grande distance du dipôle, l’onde est 

quasiplane. 

– Le champ électromagnétique varie en 1/r, alors que le champ 

électrostatique d’un dipôle varie en 1/r 3 . . 

On obtient une expression utile de E θ en observant que 

ηo ≈ 376,7 ≈ 120π ohms , avec β = 2π /λ : 

r 

θ 

φ


E θ ≈ j60πIa 

λ 

e-jβ 

r 

r 

sin θ [V/m] (4.3.16) 

Le champ électromagnétique à grande distance forme une onde sphérique. 

On peut aussi exprimer le champ en fonction du moment dipolaire électrique 

d’amplitude p m : Ia = jωQa = jωp m . Alors : 

Eθ – ηoωβpm 

4π 

H φ – ωβp m 

4π 

e-jβ r 

r 

e-jβ r 

r 

La figure 4.3.3 représente une 

une surface d’onde sphérique 

dans le plan du dipôle p à 

deux instants successifs. À 

l’instant t, elle est en Ω ; une 

demi-période plus tard, elle 

s’est propagée jusqu’en Ω’ sur 

une distance égale à une demilongueur 

d’onde. Sur cette 

dernière surface d’onde, la 

direction du champ E est donc 

opposée à celle aux points 

correspondants sur Ω. 

sin θ [V/m] (4.3.17) 

sin θ [A/m] 

N 5 

E 5 

E 5 

P 5 

P 4 

E 4 

Ω' 

Ω 

p 

P 3 

θ 

E2 P2 Figure 4.3.3 Onde sphérique . 

4.4 Vecteur de Poynting, intensité, puissance 

En zone éloignée, le vecteur de Poynting moyen a la forme suivante : 

N 2 

E 1 

P 1 

(4.3.18) 

S 1 

2 Ré E θθ ∧ φH φ * η o β 2 I 2 a 2 

2 4πr 2 sin 2 θ r [W/m 2 ] (4.4.1) 

E 2 

N 1 

E 1


Son module est montré dans le diagramme polaire de la figure 4.4.1 : c’est le 

diagramme de rayonnement. On trouve la puissance totale rayonnée en 

intégrant le vecteur de Poynting moyen sur une sphère de rayon r (Figure 

4.4.2) : 

P S ⋅ dΣ 

Σ 

Σ 

S dΣ 

0 

π 

0 

2π 

S r 2 sin θ dθ dφ 

(4.4.2) 

où dΣ est le vecteur élément de surface qui est parallèle à . Après 

substitution : 

P ηoβ 2 I 2 a 2 

Finalement : 

32π 2 

0 

π 

0 

2π 

sin 3 θ dθ dφ 

P ηoβ 2 I 2 a 2 

12π 

Vu que β = ω/c, = 2πf/c : P ηoπf 2 I 2 a 2 

Rappelons que I 2 Ieff 

0 

z 

3c 2 

θ 

ηoβ 2 I 2 a 2 

16π 

0 

π 

sin 3 θ dθ 

[W] (4.4.3) 

 

Figure 4.4.1 Diagramme de rayonnement d’un dipôle oscillant 

[W] (4.4.4)

sinθ 

z 

0 

θ 

r 

dΣ 

dθ 

dr 

 

Figure 4.4.2 Calcul de la puissance rayonnée 

Résistance de rayonnement 

Vu qu’il n’y a aucune perte dans le milieu par hypothèse (le vide), la 

puissance fournie au dipôle (doublet) est égale à la puissance P qu’on vient 

de calculer, la puissance traversant une grande sphère concentrique. On 

peut supposer que cette puissance est celle fournie par la source de la figure 

4.4.1 à une résistance R, soit P = (1/2)RI 2 . On obtient ainsi : 

R 2πηo 

3 a 2 

≈ 80π2 a 2 

[Ω] 

λ 

λ 

(4.4.5) 

Cette expression est valide seulement si a

Deuxième partie 

Propagation guidée 

INTRODUCTION 

Une onde véritablement plane ne peut exister que dans un milieu homogène 

infini. En pratique, la propagation se fait dans des milieux inhomogènes et 

finis. D’autre part, les ondes électromagnétiques émises à proximité de 

milieux conducteurs ou diélectriques étendus ont tendance à se propager 

parallèlement aux surfaces de ces milieux. Ceux-ci agissent comme des 

guides servant à transporter l’énergie électromagnétique d’un point à un 

autre. Cette propriété est appliquée dans une foule de dispositifs de grande 

importance : 

• lignes téléphoniques, 

• lignes de transport d’énergie électrique, 

• câbles coaxiaux et guides d’onde pour signaux à haute fréquence, 

• fibres optiques, etc. 

Les cordons d’alimentation des appareils électriques sont des guides ou 

lignes électriques, de même que les interconnexions de circuits électriques 

en général. C’est pourquoi leur étude est de première importance, afin de les 

utiliser correctement, particulièrement aux fréquences élevées où les temps 

de propagation deviennent relativement appréciables comparés à la période. 

La figure suivante illustre quelques-uns de ces dispositifs. On peut les 

classer de diverses façons. On distingue : 

• les guides ou lignes comportant des conducteurs et des diélectriques 

(a - d),

• les guides purement diélectriques tels que les fibres optiques (e). 

Ces dispositifs trouvent maintenant des applications très importantes dans 

le domaine des communications. On peut aussi distinguer entre : 

• les guides pouvant propager des ondes électromagnétiques transversales 

(mode TEM, a - c) et 

• ceux qui ne le peuvent pas (d - e). 

Les premiers sont caractérisés par au moins deux conducteurs isolés 

généralement parallèles, les deuxièmes sont essentiellement en forme de 

tube conducteur ou diélectrique selon le cas. Ceux en forme de tube 

conducteur sont communément appelés guides d’onde. On réserve le nom de 

lignes électriques aux dispositifs des types (a) à (c). 

Ligne bifilaire 

V Z 

V 

Câble coaxial 

V Z 

V 

Microruban 

Guide d'onde 

Fibre optique 

Émetteur Récepteur 

Quelques dispositifs de propagation guidée 

Z 

Z 

COUPE 

(a) 

(b) 

(c) 

(d) 

(e)

5 

Guides d'onde 

conducteurs 


Dans ce chapitre, nous traiterons de la propagation des ondes 

électromagnétiques dans des tubes conducteurs remplis d’un diélectrique 

qu’on appelle guides d’onde (Figure 5.1.1). On supposera des conducteurs 

parfaits (σ = ∞). Le diélectrique est le plus souvent de l’air. Ces structures 

jouent un rôle de première importance dans la transmission de l’énergie 

électromagnétique à des fréquences supérieures à 1 gigahertz (GHz), le 

domaine des hyperfréquences ou des micro-ondes, particulièrement pour le 

radar, les télécommunications et le chauffage diélectrique (fours microondes). 

Dans la pratique, on utilise surtout des guides d’onde de section 

rectangulaire ou circulaire. Toutefois, en guise d’introduction et pour mieux 

comprendre les principes en jeu, nous commencerons par traiter de la 

propagation entre deux plans conducteurs parallèles. Plusieurs des résultats 

obtenus ici s’appliquent assez directement aux autres types de guides 

d’ondes. Dès le départ, nous pouvons faire les quelques constatations 

générales qui suivent.

Hypothèses 

Nous savons déjà que : 

x 

0 

ε μ 

y 

Figure 5.1.1 Guide d'onde cylindrique quelconque 

1. Le champ électromagnétique doit satisfaire partout les équations de 

Maxwell. 

2. La composante tangentielle du champ E à la surface d’un conducteur 

parfait est nulle, sinon la densité de courant J serait infinie. Le champ E 

est partout nul dans le conducteur vu que la conductivité est supposée 

infinie. 

3. La composante normale du champ E à la surface est égale à la densité 

surfacique de charges ρs divisée par la permittivité ε du milieu. 

4. La composante normale de H à la surface est nécessairement nulle, car 

ce champ, comme le champ électrique, est nul dans un conducteur 

parfait. 

5. Le champ magnétique H à la surface n’a qu’une composante tangentielle 

d'intensité égale à celle de la densité surfacique de courant K. 

Nous allons voir qu’un guide d’onde formé de conducteurs parallèles où les 

pertes sont négligeables a diverses propriétés aux conséquences pratiques 

importantes : 

- Dans un guide en forme de cylindre (Figure 5.1.1), le champ E et le 

champ H ne peuvent être simultanément perpendiculaires à la direction 

de propagation z en tous points : une onde électromagnétique purement 

transversale ne peut s’y propager. Par contre, c’est possible entre des 

conducteurs isolés l’un de l’autre. 

z


- Il existe différentes modes de propagation où le champ E ou le champ H 

peuvent avoir une composante dans la direction de propagation. 

- Dans tous les modes, il existe une fréquence minimale f c sous laquelle la 

propagation est impossible : c’est la fréquence de coupure. 

- L’amplitude réelle du champ électromagnétique ne dépend pas de z, mais 

seulement de x et y dans le cas où les pertes sont négligeables. 

Équations de base 

Supposons qu’il existe une distribution de courant variant sinusoïdalement 

dans une certaine région du cylindre conducteur de la figure 5.1.1. Ce 

courant produit nécessairement un champ électromagnétique oscillant dans 

l’espace adjacent. Il est alors raisonnable d’admettre que ce champ se 

propagera dans le cylindre et que, loin de la source, sa structure ne devrait 

pratiquement pas dépendre de la distance : l’expérience le vérifie bien. 

D’après ce que nous avons vu précédemment, dans le cas où on néglige les 

pertes diélectriques dans l’espace et les pertes Joule dans les parois, le 

champ électrique devrait avoir une amplitude indépendante de z, et son 

expression complexe dans le guide devrait être de la forme : 

E( x, y, z, t) = E ( x, y) exp j( ω −β 

) 

0 t z 

(5.1.1) 

où β est la constante de phase : β = ω/v 1 

p , vp étant la vitesse de phase. La 

direction du vecteur amplitude complexe E (phaseur) est quelconque à priori. 

Son amplitude complexe en fonction de z est ainsi : 

E( x, y, z) = E ( x, y) exp( −jβ 

) 

(5.1.2) 

0 

z 

où le champ complexe Eo(x,y) en z = 0 ne dépend que de x et y. Le champ 

doit satisfaire l’équation d’onde dite équation de Helmholtz que nous avons 

vue dès le début : 

∇ 2 E(x,y,z) + k 2 E(x,y,z) = 0 (5.1.3) 

1 Si on veut tenir compte des pertes, jβ sera remplacé par la fonction de propagation γ = α + jβ.


où k ω εμo sera appelé le nombre d’onde avec ε et μ ο qui sont 

respectivement la permittivité électrique et la perméabilité magnétique du 

diélectrique. Or, on sait que la vitesse de propagation en champ libre est 

donnée par v o 1/ εμo , Alors k = ω /v o . 

On a des expressions de forme identique pour le champ magnétique H. La 

dernière équation peut se développer ainsi : 

∂ 2 

∂2 

+ 

∂x2 ∂y2 

2 

E(x,y,z) + 

∂ 

∂z2 E(x,y,z) + k2E(x,y,z) 0 

D’après (5.1.2), le deuxième terme de cette dernière est : 

∂ 2 

∂z 2 E(x,y,z) β 2 E(x,y,z) 

2 ∂ 

Posant ∇xy = 2 

∂2 

+ ,2 

2 2 

∂x ∂y 

2 

on obtient : ∇xy E + –β 2 + k 2 E 0 (5.1.4) 

Pour simplifier encore, posons 

h est le nombre d'onde transverse. 

Alors, 

De même : 

h 2 β 2 + k 2 (5.1.5) 

∇xy 

2 E + h 2 E 0 (5.1.6a) 

2 2 

∇xy H + h H 0 (5.1.6b) 

Chacune de ces équations vectorielles est en fait la condensation de trois 

équations avec les composantes sur x y et z des champs E(x,y,z) et H(x,y,z). 

2 Cet opérateur est aussi désigné par ∇t . C'est le laplacien transverse.


De plus, les composantes de ces champs ne sont pas indépendantes. Elles 

sont reliées par les équations déjà vues : 

∇ × H = j ωε E et ∇ × E = –j ωμ H (5.1.7) 

Ces dernières constituent un système de six équations entre les 

composantes des champs E et H dont la manipulation permet d’obtenir 

l’expression des composantes du champ suivant x et y en fonction des seules 

composantes Ez(x,y,z ) et H z(x,y,z). Ces dernières sont des amplitudes 

complexes de la forme : 

Ez(x,y,z) Ezo(x,y) e jβz Hz(x,y,z) Hzo(x,y) e jβz 

Admettons le résultat sans démonstration : 

Hx(x,y,z) j ∂Hz 

β 

2 

h ∂x 

Hy(x,y,z) j ∂Hz 

β 

2 

h ∂y 

Ex(x,y,z) j ∂Ez 

β 

2 

h ∂x 

Ey(x,y,z) j ∂Ez 

β 

2 

h ∂y 

– ωε ∂Ez 

∂y 

+ ωε ∂Ez 

∂x 

+ ωμ ∂Hz 

∂y 

– ωμ ∂Hz 

∂x 

(5.1.8a) 

(5.1.8b) 

(5.1.8c) 

(5.1.8d) 

On obtient le champ dans le guide d’onde en résolvant l'équation 5.1.6, en 

imposant les conditions aux interfaces, ce qui donne Ez (x,y,z) et Hz (x,y,z). 

Les autres composantes sont tirées des relations (5.1.8). 

5.2 Types d'ondes et modes de propagation 

Il est pratique de classifier comme suit les types d’ondes qui peuvent se 

propager dans un guide d’onde en général : 

1. Ondes transversales électromagnétiques ou mode TEM : ondes qui n’ont 

pas de composantes E z et H z (dans la direction de propagation).


2. Ondes transversales magnétiques ou modes TM : ondes dont la 

composante H z est nulle, mais qui ont une composante E z ; la 

composante magnétique est transversale, c’est-à-dire perpendiculaire à 

la direction de propagation. 

3. Ondes transversales électriques ou modes TE : ondes dont la composante 

électrique est transversale, avec une composante H z non nulle. 

5.3 Plans conducteurs parallèles - Mode TEM 

Le traitement de la propagation des ondes électromagnétiques entre des 

plans conducteurs parallèles est relativement facile et permet de faire 

ressortir les principes qui s’appliquent dans les guides d’onde rectangulaires 

et autres. En particulier, les propriétés du mode TM de propagation que 

nous allons établir ici sont les mêmes dans les guides d’onde rectangulaires 

utilisés couramment. Nous allons premièrement étudier le mode de 

transmissions TEM qui est possible entre plans conducteurs parallèles, et 

entre toute paire de conducteurs isolés parallèles en général. 

Type de polarisation permis 

Considérons deux plans conducteurs parallèles de grandes dimensions 

espacés d’une distance b (Figure 5.3.1). On néglige les effets de bord. 

Supposons des conducteurs parfaits. Une onde transversale 

électromagnétique (TEM) polarisée selon Oy (onde plane) peut se propager 

entre les plans dans la direction de z : Ez et Hz sont alors nuls. En effet, les 

deux conditions suivantes sont alors satisfaites : (a) le champ électrique est 

perpendiculaire aux conducteurs et (b) le champ magnétique est parallèle 

aux conducteurs. D’après les équations 5.1.8, les composantes Ex , Hx , Ey et 

Hy seront nulles à moins que h soit nul : 

h 2 β 2 + k 2 0 (5.3.1) 

d’où : β k ω ε μo (5.3.2)

z 

y 

x 

Figure 5.3.1 Guide d'onde en forme de plans conducteurs parallèles 

La fonction d’onde du champ E est alors la même qu’en champ libre : 

E(z) Eo e jkz y (5.3.3) 

Le champ magnétique suivant l’axe Ox est donné par : 

H(z) Eo 

η e jkz x (5.3.4) 

où η = μo/ε est l’impédance d’onde (caractéristique) du diélectrique entre 

les plans conducteurs. Le signe (-) découle du fait que l’onde se propage ici 

dans le sens positif de z. Selon le théorème de Poynting : S E ∧ H, où le 

vecteur de Poynting S indique la direction de propagation. Cela est 

représenté dans la figure 5.3.2 où l’axe 0-z et S pointent hors de la figure : le 

champ E est perpendiculaire aux faces conductrices où se trouvent des 

charges superficielles de densité ρs ; le champ H est parallèle aux faces et 

correspond à une densité surfacique de courant K. On sait que : 

E ρs/ε et H K (5.3.5)

H 

σ s 

σ s 

E 

K 

K 

+ + + + + 

a 

Figure 5.3.2 Onde TEM entre deux plans conducteurs parallèles 

Par contre, une onde TEM polarisée suivant l’axe 0x ne peut exister. En effet, 

le champ d’une onde plane doit être le même en tous points d’une surface 

d’onde dans le plan x0y. Or, le champ électrique suivant 0x doit être nul à la 

surface des conducteurs. Par conséquent, il ne peut qu’être nul partout et 

une telle onde est impossible. 

En pratique, les plans conducteurs ont des dimensions finies, de sorte qu’il y 

a des effets de bord. La figure 5.3.3 montre l’allure du champ 

électromagnétique qui se propage alors dans le mode TEM. 

H 

0 

y 

E 

– – – 

+ + + + 

0 

y 

Figure 5.3.3 Champ TEM entre des plans parallèles de dimensions finies. Effets de bord 

E 

E 

S 

x 

x

Propagation avec atténuation 


En pratique, la propagation est accompagnée de deux types de pertes : 

pertes dans le diélectrique entre les plans et, pertes Joule causées par le 

courant électrique à la surface des plans. Le champ électromagnétique subit 

une diminution d’amplitude qui varie exponentiellement avec la distance 

dans le cas d’une onde plane. De plus, le champ électrique a alors une 

composante dans la direction de propagation à cause de la conductivité finie 

des parois. Dans ce cas, un coefficient d’atténuation α intervient qui dépend 

du diélectrique et du conducteur, puis jβ = jk doit être remplacé par la 

fonction de propagation γ = α + jβ. La solution théorique exacte de ce 

problème est assez compliquée, mais si les pertes sont relativement faibles 

comme c’est le cas dans les guides d’onde pratiques, la composante axiale Ez du champ est très inférieure à la composante transversale Ey . On peut donc 

considérer le champ électromagnétique comme essentiellement transversal, 

ce qui simplifie la solution du problème. L’expression du champ électrique 

sous forme complexe est alors, par exemple : 

E(z) ≈ Eo e γz y ≈ Eo e αz e jβz y (5.3.6) 

la puissance transportée par unité de surface ou intensité est donnée par le 

module du vecteur de Poynting moyen : 

S P1 I = 1 

2 E2 

η 

2 

= 1 2 

ηH 1 Eo 

2 2 η e 2αz Io e 2αz (5.3.7) 

où η est l’impédance d’onde du diélectrique, qui est pratiquement réelle si les 

pertes sont faibles 3 . Notons que dans le cas présent l’intensité est constante 

sur la section. La variation d’intensité ΔIu par unité de distance parcourue 

par l’onde est donnée par la dérivée : 

dI 

dz = αΔIu 2α Io e 2αz 2α I (5.3.8) 

On en tire l’expression du coefficient d’atténuation: 

α ΔI u 

2I ΔI um 

2I + ΔI ud 

2I ΔP um 

2P + ΔP ud 

2P α m + α d (5.3.9) 

3 D’une façon rigoureuse, la valeur de η introduite ici dépend faiblement de la conductivité des parois. Mais, à toutes fins 

pratiques, sa valeur est celle du diélectrique.


où α m est le coefficient relié aux pertes dans les conducteurs et αd est celui 

relié aux pertes dans le diélectrique. Or, on connaît déjà l’expression de ce 

dernier 4 : 

αd ≈ σ'η 

2 

≈ ωε'η 

2 tg δp (5.3.10) 

où σ’, η, ε’ et δp sont respectivement la conductivité effective, l’impédance 

d’onde, la permittivité électrique (partie réelle) et l’angle de pertes du 

diélectrique. 

Pour trouver la diminution de puissance par unité de distance parcourue 

ΔPuc causée par les conducteurs considérons, dans la figure 5.3.4, une 

surface mesurant a par b traversée par l’onde avec une puissance P = Iab. 

Au cours d’un court intervalle Δt, cette onde parcourt la distance voΔt. Les 

pertes se produisent sur les deux surfaces de dimension avoΔt avec une 

densité de puissance donnée par l'équation 1.9.32 : 

Ps = 1 

2 RsHx 2 = 1 

2 RsK 2 = 1 

2 

RsEy 

(5.3.11) 

2 η2 où Rs est la résistance de surface, la résistance entre les bords d’une lame 

carrée de surface unité et d’épaisseur δm , δm étant la pénétration du champ 

électromagnétique dans le métal de conductivité σm et perméabilité 

magnétique μm : 

4 Section 1.7. 

Rs 1 

σm 

δm 

1 

δm × 1 

2 

ωσmμm 

1 

σm δm 

ω μm 

2σm 

(5.3.12) 

(5.3.13)

P 

a 

vo Δt 

x 

y 

Figure 5.3.4 Calcul des pertes de propagation 

Sur la distance v o Δt, l’onde de section ab subit une diminution d’énergie 

ΔU m 2P s av o Δt qui est égale aux pertes sur les deux surfaces av o Δt. La 

puissance perdue par unité de distance parcourue est donc : 

ΔPum 2Psav oΔt 

v oΔt 

La puissance de l’onde sur la section ab est donnée par : 

z 

2Psa aRsHx 2 (5.3.14) 

P abI 1 

2 ab ηHx 2 (5.3.15) 

Finalement, d’après (5.3.9), le coefficient relié aux pertes dans le conducteur 

s’exprime comme suit : 

ou encore : 

αm 1 

ηb 

αm ΔPum 

2P Rs 

b η 

ω μm 

2σm 

1 

ηb 

Exemple 5.3.1 Coefficients d’atténuation 

πfμm 

σm 

(5.3.16a) 

Np/m (5.3.16b) 

Suppo so ns un gu ide d’o ndes fo rm é de deu x pla qu es de cuivre parallèles 

espacées de 5 cm ent re lesq uelles se propage u ne onde électro ma gnét iqu e 

pla ne en m ode TEM de fréq uence éga le à 500 M Hz . L e milieu int ermédia ire est 

du po lyéthylène de permit tivité rela t ive 2,2, avec un fa ct eu r de pertes de 0,001 

à cet te fréq u ence. O n co nna ît la conductivit é du cu ivre : σ = 5,75 · 10 7 S m 1 .


On peut alors calculer la pénétration : 

δm = 

2 

ωσμo 

= 

2 

2π × 5·10 8 × 5,75·107 × 4π × 10-7 1/2 

= 2,97 μm 

On en tire la résistance de surface : Rs = 1 

σδ = 5,86· 10 3 ohm 

L’impédance d’onde : 

η 

μo 

ε 

4π × 10 7 

2,2 × 8,854· 10 12 

1/2 

= ηo 

εr 

Le coefficient d’atténuation associé au conducteur est alors : 

αm Rs 5,86· 10 3 

= 

b η 0,05 × 254 = 4,61· 10 4 Np/m 

Le coefficient d’atténuation associé au diélectrique est : 

αd ≈ 

ωε' η 

2 tg δ = 2π × 500·106 × 2,2 × 8,854· 10 12 × 254 × 0,001 

2 

= 254 ohms 

= 7,77· 10 3 Np/m 

On observe que les pertes dans le diélectriques sont dominantes dans le cas 

présent. Si le diélectrique est simplement de l’air sec 6 , c’est l’inverse qui se 

produit. 

5.4 Mode TM 

Expression du champ 

Dans le mode TM la composante Hz est nulle : le champ magnétique est 

purement transversal, d’où le nom du mode. On peut obtenir Ez en résolvant 

l’équation d’onde (5.1.6a) qui devient pour cette composante : 

6 Les pertes diélectriques augmentent avec le taux d’humidité de l’air. 

∇xy 

2 Ez + h 2 Ez 0 

∂2 ∂2 

+ 

∂x2 ∂y2 Ez + h 2 Ez 0 (5.4.1)


Mais, vu que les plans sont très grands E z ne doit pas dépendre de x 

(figure 5.3.1) : 

L’équation d’onde se simplifie alors : 

Ez(y,z) Ezo(y) e jβz (5.4.2) 

d 2 Ez 

dy 2 + h 2 Ez 0 (5.4.3) 

La fonction E z (y,z) qui est solution de cette équation doit satisfaire la 

condition : 

Ez 0 en y 0 et y b (5.4.4) 

On vérifie facilement par substitution que la fonction qui satisfait ces 

conditions est de la forme suivante : 

avec : 

Ez(y,z) Eon sin hy e jβz (5.4.5) 

h 

n π 

b 

où n est le numéro du mode. À l’origine (z = 0), on a alors : 

n 1, 2, 3, ... (5.4.6) 

Ez(y,0) Ezo y Eon sin hy (5.4.7) 

et Eon est une constante, l’amplitude réelle du champ dans le mode n. On 

tire les expressions des autres composantes non nulles du champ des 

équations 5.1.8 : 

Eyo(y) jβ 

h Eon cos hy (5.4.8) 

Hxo(y) jωε 

h Eon cos hy (5.4.9)


On observe que les composantes transversales E y et H x du champ sont 

maximales sur les plans conducteurs en y = 0 et y = b. L’expression 

complète de la composante du champ en fonction de z et de t est obtenue en 

multipliant les termes précédents par exp j(ωt - βz). Par exemple : 

Hx(y,z,t) jωε 

h Eon 

j(ωt βz) ωε 

cos hy e 

h Eon cos hy e j(ωt βz + π/2) (5.4.10) 

De (5.1.5) on tire l’expression de la constante de phase β : 

β k 2 h 2 ω 2 εμ 

n π 

b 

2 (5.4.11) 

La figure 5.4.1 montre la distribution du champ électromagnétique entre les 

plans conducteurs dans le mode n = 1 à un instant donné c’est le mode TM1 . 

On peut voir la distribution du champ dans le mode TM2à la figure 5.4.2. 

C’est l’aspect que présente le champ électromagnétique à un instant donné 

entre les plans conducteur. Le champ se déplace vers la droite à une vitesse 

qui est la vitesse de phase vp (voir plus loin). 

Fréquence de coupure 

On définit la fréquence de coupure fc = ωc /2π dans le mode n comme la 

fréquence où β = 0. D’après (5.4.11), k = h et : 

f c ω c 

2π 

h 

2π εμ o 

n 

2b εμ o 

nv o 

2b 

(5.4.12) 

Aux fréquences inférieures, la constante de phase β devient imaginaire et la 

propagation est impossible. Il faut remarquer qu’à la fréquence de coupure 

dans le mode numéro n, la longueur d’onde en champ libre est : 

λc 2b 

n 

(5.4.13) 

Cette importante relation prendra une signification particulière quand nous 

constaterons, un peu plus loin, que le champ entre les plans peut être 

considéré comme la superposition d’ondes planes qui font des réflexions 

multiples sur ces plans. Notons aussi que b = n(λc /2) : dans le mode numéro 

n, la séparation des plans conducteurs est égale à n demi-longueurs d’ondes 

de coupure.

Vitesse de phase 


La vitesse de phase v p est toujours donnée par ω/β, de sorte qu’à partir de 

l’expression (5.4.11) on obtient : 

v p 

εμ 

1 

n π 

ωb 

2 

pour f > fc 

(5.4.14) 

Cette vitesse est toujours supérieure à celle d’une onde plane en 

propagation libre v o dans un même milieu . Vu que ω = 2πf et v o 1/ εμ, on 

démontre facilement que : 

v 

v o 

p 

1 n v o 

2bf 

2 

v o 

1 fc/f 2 

pour f > fc (5.4.15) 

Figure 5.4.1 Champ électromagnétique entre deux plans conducteurs dans le mode TM 1

−π 

0 

y 

π 

Lignes de champ électrique E 

Lignes de champ magnétique H 

Figure 5.4.2 Mode TM 2 entre deux plans conducteurs 

La figure 5.4.3 montre comment varie la vitesse de phase avec la fréquence 

au-delà de la fréquence de coupure fc . On observe que cette vitesse vp est 

toujours supérieure à la vitesse vo en champ libre. Cela signifie que si le 

diélectrique entre les plans est le vide ou l’air, la vitesse de phase est 

supérieure à la vitesse limite c (3 · 108 m/s). Ce résultat surprenant est 

analysé dans la section suivante et ne contredit pas la théorie de la Relativité 

qui fait intervenir la vitesse c. Par contre, la vitesse de propagation de 

l’énergie électromagnétique qu’on appelle aussi vitesse de groupe est 

toujours inférieure ou égale à c, ce qui sera aussi expliqué. La constante de 

phase est alors : 

β ω v p ω 

v o 1 fc/f 2 (5.4.16) 

βz

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 0 1 2 3 4 5 6 

f / f coupure 

Figure 5.4.3 Variation de la vitesse de phasev p avec la fréquence 

Longueur d'onde dans le guide 

La longueur d'onde λ dans le guide est la distance parcourue par l'onde au 

cours d'une période T 1/f à la vitesse de phase v p : 

Ou encore : 

λ v pT v p 

f 

λ f v p 

Exemple 5.4.1 Fréquence de coupure - vitesse de phase 

(5.4.17) 

Si deux plans conducteurs parallèles sont espacés de 5 cm dans l’air, la 

fréquence de coupure du mode TM 1 est alors: 

f c = 

n 

2b ε oμ o 

= 3⋅ 108 

2 × 5⋅ 10 2 = 3⋅ 109 Hz = 3 gigahertz (GHz) 

Dans le mode TM2 elle est donc de 6 GHz. La vitesse de phase dans le mode 

TM1 d’une onde de fréquence égale à 5 GHz est, par exemple, à partir de 

(5.4.14) :


vp = 8,854⋅ 10 12 ×4π×10 7 – 

1 × π 

2π × 5⋅ 10 9 × 0,05 

2 1/2 

= 3,746 ⋅ 10 8 m/s 

On obtient le même résultat, plus simplement avec la relation (5.4.15). 

Coefficient d’atténuation en mode TM 

Nous avons vu plus haut l’expression du champ E z (y,z) en l’absence de 

pertes : 

Ez(y,z) Eon sin 

n πy 

b 

e jβz (5.4.18) 

On sait que s’il y a des pertes de propagation, jβ doit être remplacé par γ = α 

+ jβ, où α est le coefficient d’atténuation. Comme dans le cas du mode TEM, 

l’atténuation a généralement deux causes : les pertes dans le diélectrique et 

les pertes Joule dans les conducteurs métalliques. Alors, α = αd + αm . Nous 

savons que dans un diélectrique avec pertes, la permittivité est complexe : 

ε = ε‘ - jε“. Nous supposerons que les pertes sont relativement faibles 

(ε“

jβ ≈ 

jβ ≈ jω μoε' 1 ωc/ω 2 1 j ε" /ε' 

21 ωc/ω 2 

ω ε"/ε' μoε' 

2 1 ωc/ω 2 + jω μoε' 1 ωc/ω 2 αd + jβ' (5.4.19) 

Or, on sait que le facteur de perte d’un diélectrique est tg δp ε"/ε' où δ p 

est l’angle de perte. On sait aussi que v o 1/ μoε'. On obtient le coefficient 

d’atténuation α d dans le mode TM en fonction de la fréquence f = 2πω : 

αd 

π f tg δp 

v o 1 fc/f 2 

La constante de phase β’ dans le mode TM est ainsi : 

β' ω v o 

2πfε" η 

2 1 fc/f 2 

1 ωc/ω 2 ω 

v p 

(5.4.20) 

(5.4.21) 

Le coefficient d’atténuation associé aux pertes dans les conducteurs est 

défini de la même façon que pour le mode TEM vu plus haut : 

αm ΔPum 

2P 

où ΔP um est donné par la même expression que dans le mode TEM : 

(5.4.22) 

ΔPum 2Psa aRsHxo 

2 , (5.4.23) 

où H xo est la valeur du champ magnétique en surface (module). D’après 

5.4.9 : 

d’où : 

Hxo Hx(0) ωε'2 

h Eon 

ΔPum aRsω 2 ε' 2 

h 2 

Eon 

2 (5.4.24)


Mais la puissance P est différente, vu que la composante E y dépend de y. 

Calculons cette puissance dans le mode TM, c’est-à-dire la puissance 

transmise à travers la surface ab (voir la figure 5.3.4). Il faut connaître 

l’intensité I, c’est-à-dire le module S du vecteur de Poynting moyen : 

S = S = 1 

2 Ré E∧H* = 1 

2 Ré Eyy∧xHx * = 1 

2 Ré –EyHx * z = 1 

2 Ré –EyHx * (5.4.25) 

Après substitution des expressions de Ey et Hx en remplaçant β par β ’: 

S 1 β'ωε' Eon 

2 2 

h 2 

cos2hy (5.4.26) 

La puissance dP transmise à travers une bande de largeur a et hauteur dy 

étant S a dy (figure 5.3.1), 

D’où : 

P S a dy 

0 

b 

a S dy 

P 1 aβ'ωε' Eon 

2 2 

h 2 

1 

h 

0 

b 

1 aβ'ωε' Eon 

2 2 

h 2 

hy 

2 

0 

b 

sin 2hy b 

+ 

2h 0 

cos 2hy dy 

P 1 abβ'ωε' Eon 

4 2 

h 2 

À partir de la définition du coefficient d’atténuation lié au conducteur (5.4.22 

et 5.4.23), de l’expression de la résistance de surface Rs et des expressions 

précédantes, on obtient : 

ou encore : 

αm 

2ε' v o 

b fc/f 1 fc/f 2 

αm 2 f/f 3 

c πfcμm /σm 2 

bη f/f c 1 

πfcμm 

σm 

(5.4.27a) 

(5.4.27b)


où σ m , μ m et η sont respectivement la conductivité, la perméabilité 

magnétique des conducteurs et l’impédance d’onde du diélectrique. 

5.5 MODE TE 

Expression du champ 

Dans le mode TE la composante E z est nulle. Dans ce cas, la dérivation des 

composantes du champ se fait de façon semblable à celle du mode TM, mais 

en résolvant l’équation 5.1.6 b pour Hz . La composante tangentielle Ex doit 

s’annuler sur les plans conducteurs. On déduit les expressions suivantes 

des composantes du champ électromagnétique : 

En z = 0, d’après (5.1.8) : 

Hz(y,z) Hon cos 

Hy(y) jβ 

h Hon sin 

n πy 

b 

Ex(y) jωμo 

h Hon sin 

n πy 

b 

e -jβz 

n πy 

b 

(5.5.1) 

(5.5.2) 

(5.5.3) 

La constante de propagation β est la même que dans le mode TM et 

h n π 

. La vitesse de phase a donc la même expression. Comme 

b 

précédemment, la fréquence de coupure est celle où β = 0. On pourrait 

démontrer que cette fréquence a la même expression dans les modes TM et 

TE (Équation 5.4.12). La figure 5.5.1 montre le champ électromagnétique à 

un instant donné entre les plans dans le mode TE 1 (n = 1).

−π 

0 

y 

π 

Lignes de champ magnétique H 

Lignes de champ électrique E 

Figure 5.5.1 Champ électromagnétique entre deux plans conducteurs dans le mode TE 1 

Coefficient d’atténuation en mode TE 

Nous avons signalé plus haut que la constante de phase en mode TE est la 

même qu’en mode TM. Cela entraîne que le coefficient d’atténuation lié au 

diélectrique α d est aussi le même (Équation 5.4.20). 

On trouve le coefficient αm de la même façon qu’en mode TM en utilisant les 

expressions appropriées des composantes du champ électromagnétique. On 

démontre ainsi que : 

2 ωβ'μo Hon 

2 

S 1 

h 2 

On en tire la puissance sur la section ab : 

sin 2 nπy/b 

P 1 

4 abωβ'μo Hon 

2 

h 2 

La perte dans les deux plans conducteurs par unité de longueur a la même 

2 

expression que plus haut : ΔPcu 2Ps a a RsHon 

Alors : 

αcTE ΔPcu 

2P 

2Rsh 2 

bωβ'μo 

Finalement, dans le mode TE1 (n = 1), en introduisant l’impédance d’onde 

η μo/ ε' , puis h = π/b, avec β' (ω/v o) 1 fc/f 2 , on obtient : 

v p 

βz

α m 

2 f/f c 

πf cμ m 

σ m 

2 

bη f/f c 1 

Exemple 5.5.1 Coefficients d’atténuation 

(5.5.4) 

Considérons deux plans conducteurs en cuivre (σm = 5,75 · 10 7 S m 1 ) 

espacés de b = 5 cm qui se trouvent dans l’air sec. Alors, ε’ ≈ ε ο , v o ≈ c ≈ 

3 · 10 8 m/s et η ≈ 377 ohms. Les pertes diélectriques étant négligeables : 

α d ≈ 0. Dans les modes TM 1 et TE 1 , la fréquence de coupure est donnée par 

fc = ωc 2π = nvo 2b 

En mode TM1d’après l’expression (5.4.27b) : 

αmTM = 1,523 ·10 3 

Et, en mode TE1 : 

αmTE = 1,523 ·10 3 

f/fc 3 

f/fc 2 1 

f/fc 

f/fc 2 1 

= 1 × 3·108 

2 × 0,05 = 3·109 Hz 

1/2 

1/2 

1,523 ·10 3 g1 f Np/m 

1,523 ·10 3 g2 f Np/m 

La figure 5.5.2 montre ces fonctions. On observe que les pertes dans le mode 

TE sont toujours inférieures à celles dans le mode TM et qu'elles diminuent 

avec la fréquence. Il s'ensuite qu'il est préférable d'utiliser le mode TE dans 

la pratique si la distance à parcourir est importante.

4 

g(f) 

3 

2 

1 

g 1 (f) mode TM 

g 2 (f) mode TE 

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 

f/f c 

Figure 5.5.2 Variation de l’atténuation dans les modes TM1 et TE1 

Ondes planes composantes 

Le champ électromagnétique entre deux plans conducteurs parallèles en 

mode TE peut être reproduit par la superposition de deux ondes planes 

polarisées selon 0x qui se propagent obliquement par rapport à l’axe 0z, à la 

vitesse en champ libre vo qui est égale à 1/ εμ : on les appellera ondes 

composantes. La figure 5.5.3 montre deux groupes de surfaces d’onde 1 et 2 

polarisées selon l’axe 0x qui se propagent dans des directions faisant un 

angle Ω de part et d’autre de l’axe 0z. Les droites marquées «Max» 

représentent des surfaces d’onde où le champ est maximal (sortant du plan 

de la figure) ; celles marquées «Min» indiquent des surfaces d’onde où le 

champ est inversé par rapport aux précédentes. On voit qu’en tout point des 

plans AA’ et BB’ parallèles à l’axe 0z le champ résultant est nul. Par contre, 

le champ est maximal (sortant ou entrant) le long de l’axe 0z. Donc, si on 

place des plans conducteurs (supposés parfaits) en AA’ et BB’, 

perpendiculairement à la figure, le champ E ne doit pas être affecté, vu que 

la composante tangente aux plans est nécessairement nulle. On peut dire 

que les réflexions multiples de l’onde 1 donnent l’onde 2 et vice versa. 

L’interférence de ces deux ondes produit un champ électromagnétique en 

mode TE. La figure 5.5.3 montre le phénomène dans le mode TE1 (un seul 

maximum entre les plans). On peut faire un raisonnement semblable pour 

représenter un mode TM au moyen de la superposition de deux ondes 

planes.

A A' 

2 

vo E 

B 

y 

Ω 

v o 

v o 

1 

Max. 

Max. 

E 

Min. 

Min. 

Figure 5.5.3 Interférence de deux ondes planes obliques donnant un champ nul le long des plans AA’ et 

Max. 

1 

Min. 

BB’ et maximal le long de l’axe z 

Pour un guide d’onde donné, nous savons déjà qu’il existe une fréquence 

critique fc sous laquelle la propagation est impossible. À cette fréquence 

correspond une longueur d’onde maximale des ondes composantes en 

champ libre qu’on appelle longueur d’onde critique λoc . Elle est reliée à la 

fréquence de coupure et à la vitesse en champ libre vo par la relation : 

λoc = v o 

fc 

2 

Max. 

Min. 

z 

B' 

(5.5.5) 

Il existe une relation simple entre la séparation b des plans conducteurs, le 

numéro n du mode, l’inclinaison Ω des rayons et la longueur d’onde λ o des 

composantes. Considérons la figure 5.5.4 où le champ électrique résultant 

est partout nul sur les surfaces conductrices, en particulier aux points 0 et 

M. Un point quelconque est repéré par le vecteur r y y + z z . On voit que 

les vecteurs d’onde s’expriment comme suit: 

ki yk sin Ω + zk cos Ω (5.5.6a) 

kr yk sin Ω + zk cos Ω (5.5.6b)

A 

Conducteur G 

A' 

b 

B 

1 

E 

Max. 

Ω 

2 

v o 

Min. 

Min. 

Max. 

Max. 

Conducteur 

Figure 5.5.4 Production du mode TE 1 par réflexion d’ondes planes entre deux plans conducteurs 

Vu que |k i | = |k r | = k = 2π /λ. On a vu précédemment que les champs 

incident et réfléchi par une surface conductrice parfaite sont décrits en tout 

point par : 

Où : 

Ei x Eo exp ( j ki⋅ r) Er x Eo exp ( j kr⋅ r) (5.5.7) 

ki·r ky sin Ω + kz cos Ω kr·r ky sin Ω + kz cos Ω 

Le champ résultant E = Ei + Er est clairement nul pour r = 0. Son expression 

dans le plan z = 0 est la suivante : 

E i 

Ω 

y 

0 

y = b 

θi M 

Σ 

ki 

r 

Σ' 

r i 

θ = θ = θ 

Figure 5.5.5 

E(y) Eo exp [ j( ky sin Ω)] + Eo exp ( j ky sin Ω) 

E 

Er 

v o 

Min. 

kr 

z 

z 

B'

D’où : 


E(y) 2j Eo sin (ky sin Ω) (5.5.8) 

Le champ s’annule en y = b dans le plan z = 0 quand la condition suivante 

est satisfaite : 

kb sin Ω n π (n 1, 2, 3, ... ) (5.5.9) 

Alors, k sin Ω = nπ/b. En portant cette dernière dans l’expression du champ 

(5.5.8) : 

E(y) Ex(y) 2j Eo sin nπy 

b 

(5.5.10) 

C’est précisément la forme du champ électrique dans le mode TE que nous 

avons vu plus haut (Équation 5.5.3). On prouve ainsi que le mode TE peut 

être considéré comme le résultat de la superposition de deux ondes planes 

dans une direction particulière Ω. Vu que k = 2π/λ ο et λ ο = v o /f, on obtient : 

sin Ω 

n λo 

2b = n v o 

2bf fc 

f 

(5.5.11) 

Rappelons que λ ο est la longueur d'onde en champ libre. On voit 

immédiatement que la longueur d’onde maximale possible dans le premier 

mode (n = 1), la longueur d’onde de coupure, est λoc = 2b, ce qui correspond 

à Ω = 90˚ : les ondes composantes se propagent alors perpendiculairement 

aux plans et il n’y a pas de propagation suivant 0z. Dans le mode n = 2, 

λo = λoc = 2b/2 = b, etc. pour les modes supérieurs. On peut démontrer la 

même relation dans le mode TM. En général, pour les modes TE ou TM : 

λoc 2b 

n 

(5.5.12) 

La figure 5.5.6 montre comment on pourrait produire un mode TE entre 

deux plans conducteurs parallèles à partir d’une onde plane : la propagation 

entre les plans est possible seulement si l’angle Ω satisfait la condition 

(5.5.11).

Exemple 5.5.2 

E 

Σ 

Plans conducteurs parallèles 

Onde plane 

Ω 

Une façon de produire 

le mode TE. 

Figure 5.5.6 Production d’un des modes TE au moyen d’ondes planes 

Considérons les plans conducteurs de l’exemple 5.3.1 espacés de 5 cm dans 

l’air. D’après l’équation précédente (5.5.12), la longueur d’onde de coupure 

du premier mode transverse électrique (TE 1 ) est : 

λ oc = 

La fréquence de coupure est donc : 

2 × 5 

1 

= 10 cm 

f c = 3⋅ 108 m/s 

0,1 m = 3⋅ 109 Hz = 3 GHz 

Cette fréquence est bien la même que celle calculée dans l’exemple 5.3.1. Si 

la fréquence est de 5 GHz, l’inclinaison Ω des ondes composantes dans le 

mode 1 sera alors : 

Ω = arcsin 

n λo 

2b 

= arcsin 

n vo 

1 × 3⋅ 10 

= arcsin 

2fb 8 

2 × 5⋅ 109 × 0,05 

Ω = 36,87˚ 

À cette fréquence, les modes supérieurs à 1 sont interdits. 

z 

= arcsin 0,6

5.6 Types de vitesse 

Relation géométrique 


Nous avons vu que la vitesse de phase v p est la vitesse avec laquelle se 

propage le champ électromagnétique dans le guide d’onde dans les modes TE 

ou TM (Figures 5.4.1, 5.4.2, 5.4.3). Cette vitesse est toujours supérieure à la 

vitesse vo des ondes planes composantes en champ libre. La figure 5.6.1 

montre la relation qui existe entre ces deux vitesses. Considérons la surface 

d’onde composante Σ qui se propagage à la vitesse vo dans la direction 

faisant un angle Ω avec la surface conductrice AA’. Dans l’intervalle Δt, le 

point F de Σ passe en G’, et le point de contact G se déplace en G’. Il existe 

donc la relation suivante entre la vitesse de phase et la vitesse en champ 

libre : 

cos Ω v o 

v p 

v p 

G G' 

A 

Ω 

A' 

Σ 

vo Ω 

F 

v g 

Figure 5.6.1 Relation entre v p , v o et v g 

z 

(5.6.1) 

Il est alors évident que vp tend vers l’infini quand l’angle Ω tend vers 90˚. 

Cette vitesse a un sens purement géométrique. Il en est de même pour une 

vague Σ qui s’abat sur un rivage AA’ : la vitesse du point de contact G 

devient très grande quand l’incidence est voisine de 90˚, tandis que la vitesse 

vo de la vague est relativement faible.


D’autre part, la vitesse de propagation v g de l’énergie électromagnétique dans 

le guide d’onde est inférieure ou égale à v o . C’est la vitesse de groupe égale à 

la projection de v o sur la direction de propagation qui s’annule à f c : 

De ces deux dernières, on tire l’importante relation : 

v g v o cos Ω (5.6.2) 

v p v g v o 2 (5.6.3) 

Vitesse de groupe : Expression générale 

Nous allons démontrer que la vitesse de groupe d’une onde peut s’exprimer 

d’une façon générale par la relation suivante entre la constante de phase et 

la pulsation : 

v g 

1 

dβ/dω 

(5.6.4) 

On peut dire que la notion de vitesse de groupe intervient dès que la vitesse 

d’une onde dans un milieu dépend de sa fréquence : un milieu dispersif. 

Dans ce cas, si une onde est formée de plusieurs composantes de fréquences 

différentes, ces composantes se propagent à des vitesses plus ou moins 

différentes, de sorte que l’onde résultante se déforme. 

Considérons deux ondes de même amplitude Eo avec des pulsations ω1 = ωo – Δω et ω2 = ωo + Δω, et des constantes de phase β1 = βo – Δβ et β2 = βo + Δβ. 

Elles sont superposées et se propagent dans la même direction 0Z. Les 

vitesses de phase de chacune sont vp1 = vpo – Δvp et vp2 = vpo + Δvp . 

Alors les valeurs moyennes sont : ω o = (ω 1 + ω 2 )/2 , β o = (β 1 + β 2 )/2 

v po = (v p1 + v p2 )/2 et Δω = (ω 2 – ω 1 )/2 

Le champ résultant est, sous forme complexe : 

E(z,t) Eo exp j ωo – Δω t – βo – Δβ z + Eo exp j ωo + Δω t – βo + Δβ z

En développant et regroupant, on obtient: 

E(z,t) 2Eo exp ωot βoz 

Donc : 

Le champ réel est ainsi: 


exp j Δω t Δβ z + exp +j Δω t Δβ z 

2 

E(z,t) 2Eo cos Δω t Δβ z exp ωot βoz 

E(z,t) 2Eo cos Δω t Δβ z cos ωot βoz (5.6.5) 

On voit que c’est une onde d’amplitude 2Eo cos Δω t Δβ z et pulsation ω o 

qui se propage avec une vitesse de phase : 

v po ωo 

βo 

(5.6.6) 

On constate que l’amplitude est aussi de la forme d’une onde, mais de 

pulsation Δω et constante de phase Δβ. Sa vitesse de propagation est définie 

comme la vitesse de groupe : 

v g Δω 

Δβ 

En faisant tendre Δω vers zéro, on a finalement : 

v g 

1 

dβ/dω 

1 

Δβ/Δω 

2π 

dβ/df 

(5.6.7) 

(5.6.8) 

vu que dω 2π df . Sachant que β ω/v p de façon générale, on obtient 

aussi : 

dβ 

dω d ω/v p 

dω 1 

v p ω 

v p 2 dv p 

dω 

En portant dans (5.6.7), on obtient une autre relation utile : 

v g 

v p 

1 ω/v p dv p 

dω 

v p 

1 f/v p dv p 

df 

(5.6.9)


On voit ainsi que si la vitesse de phase augmente avec la fréquence (dv p /df > 

0), la vitesse de groupe est alors supérieure à la vitesse de phase, et 

inversement. 

Exemple 5.6.1 Vitesse de phase et vitesse de groupe 

Considérons le guide d'onde de l'exemple 5.5.2 où la séparation des plans 

conducteurs dans l'air est de 5 cm, ce qui donne une fréquence de coupure 

du premier mode de 3 GHz. Trouvons l'expression de la vitesse de groupe 

dans ce guide (modes TM ou TE) au moyen de l'expression 5.6.9. On sait que 

la vitesse de phase est donnée par la relation 5.4.14 : 

vo Sa dérivée est : 

Puis, 

v p = 

dv p 

df = 

f 

vp 

dv p 

df = 

1 – f c /f 2 

2 3 

–vof c /f 

1 – f c/f 

– f c/f 2 

2 3/2 

1 – f c /f 2 

On en tire finalement : v g = v o 1 – f c /f 2 

Ainsi, à 6 GHz, la vitesse de phase est v p = 1,1547 v o ≈ 3,464 ⋅ 10 8 m/s. La 

vitesse de groupe est v g = 0,8660 v o ≈ 2,498 ⋅ 10 8 m/s 

Supposons maintenant qu'il se propage dans le guide deux ondes 

d'amplitude réelle Eo dans le mode TE dont les fréquences sont de 5,9 GHz 

et 6,1 GHz. Déterminons l'aspect du champ électrique résultant au centre du 

guide (Figure 5.5.1) en fonction de z à deux instants consécutifs. On sait que 

l'intensité du champ est maximale au centre du guide (y = b/2). 

En z = 0, d'après (5.5.3) : E x 0 = jωμ o H o1 

h 

= E o 

L'amplitude complexe des ondes 1 et 2 en fonction de z est donc : 

E x1 0, z = E o e jβ 1z et Ex2 0, z = E o e jβ 2z


Comme on l'a vu plus haut, l'onde résultante sous forme complexe est alors : 

Puis, sous forme réelle : 

E xr 0, z = 2E o cos Δωt – Δβz e j ω ot β oz 

E xr 0, z = 2E o cos Δωt – Δβz cos ω ot – β oz 

La fréquence moyenne f o est donc de 6 GHz, Δf = 0,1 GHz, 

Δω 2π Δf = 6,283· 10 8 rd/s, β o ω o /v po 108,8 rd/m, 

Δβ ≈ Δω/v g ≈ 2,515 rd/m 

La figure 5.6.2 montre l'intensité du champ électrique au centre du guide 

(y = b/2) en fonction de z à deux instants consécutifs espacés d'une demipériode. 

Le déplacement du point A et de l'enveloppe se fait à la vitesse de 

groupe, tandis que celui du champ dans l'enveloppe (point B) se fait à la 

vitesse de phase. On peut voir que le déplacement Δz2 de B est supérieur à 

Δz1 , celui de A. On calcule une longueur d'onde moyenne dans le guide de 

5,773 cm. 

2E o 

0 

2E o 

2E o 

0 

2E o 

t = 0 

0 02 0,4 06 08 1 1,2 14 

t = 0,0833 ns 

A 

A' 

Δz 1 

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 

z [mètres] 

Figure 5.6.2 Intensité du champ E au centre du guide à deux instants successifs 

Δz 2 

B 

B'


EXERCICES 

5.1 Propagation entre des lames parallèles 

Considérez un ensemble de grandes feuilles de cuivre minces tendues 

parallèlement l'une à l'autre dans le plan y-0-z, avec une séparation 

a = 50 cm. Au moyen d'une antenne très éloignée sur l'axe 0z à 

gauche, vous produisez dans l'air une onde électromagnétique quasi 

plane à l’entrée de l’ensemble, avec la polarisation indiquée dont la 

fréquence est de 100 MHz. 

a) Discutez de la pénétration et de la propagation du champ 

électromagnétique entre les lames dans ces conditions. 

b) Que se passe-t-il si vous augmentez progressivement la fréquence 

de l'onde jusqu'à quelques centaines de MHz ? 

c) Que se passe-t-il si, à 100 MHz, vous changez la polarisation de 0y 

en 0x ? 

5.2 Communication dans un édifice 

h 

v 

0 

x 

E 

z 

Lames conductrices 

La figure ci-dessus représente un grand hangar d’avions de quelques 

centaines de mètres de profondeur dont le plafond et le plancher 

peuvent être considérés comme d’assez bons conducteurs électriques. 

La hauteur h du plafond est de 6 mètres. Vous désirez utiliser un 

système de communication dans la direction z utilisant une 

polarisation parallèle au plancher. 

y 

z


a) Déterminez la fréquence de transmission minimale fmin qui sera 

utilisée si elle doit être le double de la fréquence de coupure. 

Rép. : 25 MHz 

b) Comment s’appelle alors le mode de propagation, loin de l’émetteur 

dans le plan de la figure ? 

c) Si vous choisissez une polarisation perpendiculaire au plancher, y 

a-t-il une limite inférieure à la fréquence que vous pouvez utiliser ?

6 

Lignes électriques 


Les lignes électriques servent essentiellement à transmettre de l’énergie 

électrique d’une source à un récepteur. Cette énergie peut être très faible 

dans certains systèmes électroniques comme les ordinateurs, ou 

extrêmement grande dans les réseaux de distribution électrique. De même, 

la fréquence peut être nulle dans le cas des lignes à courant continu, ou très 

élevée dans les systèmes micro-ondes ou les systèmes de télévision par 

câble. 

Si les fibres optiques doivent graduellement remplacer les liaisons de 

télécommunication locales, interurbaines et transcontinentales par lignes 

électriques, ces dernières doivent continuer de servir dans divers domaines, 

particulièrement ceux des circuits électroniques, des communications 

locales et de la transmission de l’énergie électrique. 

Une solide connaissance de la théorie des lignes électriques est, et restera, 

d’une grande importance pour l’ingénieur électricien. Le texte qui suit vise à 

donner au futur ingénieur une connaissance assez complète et rigoureuse de 

cette théorie qui lui permettra de résoudre la plupart des problèmes qui se 

posent en pratique. Il doit permettre de répondre à de nombreuses questions 

qui se posent dans le domaine. Voici quelques-unes de ces questions : 

* Comment les caractéristiques d’une ligne sont-elles reliées à ses 

paramètres physiques : dimensions, résistance, capacité, inductance, 

etc. ? 

* Comment varient la vitesse de propagation et le coefficient d’atténuation 

d’un signal sur une ligne avec la fréquence ? 

* Comment s’expriment la tension et le courant électriques sur une ligne et 

quelle relation y a-t-il entre eux ? 

* Qu’est-ce que l’impédance caractéristique d’une ligne électrique ? 

* Comment varie l’impédance d’entrée d’une ligne en fonction de ses 

caractéristiques et de l’impédance de la charge ?


* Comment réaliser le transfert du maximum d’énergie d’une source à un 

récepteur ? 

* Quelles sont les causes de la perte d’énergie sur une ligne électrique ? 

* Pourquoi l’atténuation du signal transmis par une ligne augmente-t-elle 

rapidement avec la fréquence ? Comment trouver la loi de variation de 

cette atténuation ? 

* Quelle est la relation générale entre la tension d’entrée et la tension de 

sortie d’une ligne en fonction des paramètres de la ligne, ainsi que des 

impédances de source et de récepteur ? 

* Comment adapter le mieux possible une source à un récepteur au moyen 

d’une ligne électrique ? 

* Comment choisir la ligne optimale pour un usage donné ? 

* Etc. 

Lignes électriques : Quelques dates… 

1729 Découverte par Stephen Gray en Grande-Bretagne de la transmission 

du “fluide électrique” le long d’un fil. 

1730 Découverte par Charles DuFay en France de l’existence de deux 

sortes d’électricité (résineuse et vitreuse) et de la distinction entre 

conducteurs et isolants. Plus tard, Benjamin Franklin (États-Unis) 

parlera d’électricité positive et négative. 

1753 Premières propositions de systèmes de communication électriques 

(France et Suisse). 

1800 - 1830 Invention de la pile électrique par Volta ; travaux d’Oersted, 

Ampère, Laplace, Gauss etc. 

1839 Premier télégraphe électrique commercial par Wheatstone (Grande- 

Bretagne) ; invention parallèle par Morse en 1844 (États-Unis). 

1841 Invention de la bobine d’induction, ancêtre du transformateur, par 

Bréguet et Masson (France) ; perfectionnements par Ruhmkorff 

(Allemagne).


1851 Premier câble télégraphique sous-marin entre la France et 

l’Angleterre ; travaux théoriques de William Thomson (Lord Kelvin) 

sur la propagation. 

1857 Première tentative de pose d’un câble transatlantique : il se brisa. 

1858 Premier câble transatlantique mis en fonction entre l’Irlande et Terre- 

Neuve (3 700 km); fonctionna pendant quatre semaines; quatre cents 

messages envoyés avant la panne. 

1865 Nouvelle tentative infructueuse de dérouler un câble entre l’Irlande et 

Terre-Neuve; il était enroulé dans les cales d’un seul navire, le Great 

Eastern. La masse du câble était de 5 000 tonnes. 

Publication de la théorie électromagnétique de J.C. Maxwell (Écosse). 

1866 Réussite de la pose d’un nouveau câble transatlantique qui 

fonctionna pendant plusieurs années entre l’Europe et l’Amérique du 

Nord. 

1870 Invention de la dynamo, la première génératrice de courant, par 

Zénobe Gramme (Belgique). 

1876 Invention du téléphone par Alexander Graham Bell (États-Unis), 

précédée des travaux du Français Bourseul. 

1877 Premiers tramways électriques mis en fonction. 

1880 Publication d’une théorie des lignes électriques par Oliver Heaviside 

(Grande-Bretagne). 

1882 Premiers brevets de transformateurs appliqués à l’éclairage par 

Gaulard, Zipernowsky, Dhéry et Blathy (France). 

1882 Réalisations de Marcel Deprez en transmission du courant continu à 

distance sous haute tension, 6 000 volts (France). 

1888 Découverte des ondes électromagnétiques par Heinrich Hertz 

(Allemagne). 

1890 Première communication par ondes hertziennes par Édouard Branly 

après son invention du cohéreur (France). 

1891 Premier transport d’énergie électrique en courant triphasé sur une 

distance de 175 km, réalisé par Nicolas Tesla, ingénieur d’origine 

croate (États-Unis). Travaux de Steinmetz sur le même sujet.


1895 Première transmission d’un message en code morse au moyen 

d’ondes électromagnétiques par Aleksander Popov (Russie) : la 

télégraphie sans fil (TSF). 

1899 Première communication par ondes électromagnétiques entre la 

France et l’Angleterre par Guglielmo Marconi (Italie). 

1907 Invention de la triode à vide par Lee DeForest (États-Unis). 

1911 Brève liaison téléphonique à grande distance entre New-York et 

Denver (3200 km) sans amplificateur : conclusions pessimistes. 

1912 Réalisation du premier amplificateur par DeForest. 

1915 Première liaison téléphonique intercontinentale entre l’Amérique et 

l’Europe. 

1919 Première transmission de conversations simultanées sur une seule 

paire de fils par translation de fréquence (multiplexage). 

1920 Débuts de la radiodiffusion ; fréquences d’environ 1 MHz. 

1925 Premiers systèmes de télévision imaginés ; radiodiffusion 

transcontinentale et intercontinentale sur ondes courtes. 

1940 Premières utilisations des micro-ondes ou hyperfréquences : radar, 

communication. 

1948 Invention du transistor par Bardeen, Shockley et Brattain (É.U.A.). 

1950 Premiers réseaux de télévision et de télécommunications utilisant les 

hyperfréquences. 

1960 Communications par satellites et faisceaux laser ; développement des 

circuits intégrés et des micro-ordinateurs, etc. 

1980 Essor des communications par fibre optique et de l’optique intégrée. 

1988 décembre : Mise en service du nouveau câble optique transatlantique 

TAT-8, une coopération de AT & T, British Telecom et France Télécom. 

Longueur : 6 750 km ; 4 fibres actives, 2 de réserve ; 109 répétitrices 

espacées de 70 km ; téléphonie (40 000 conversation simultanées), 

données, vidéo. 

1991 octobre : Mise en service d’un câble optique de 175 km sans 

répétitrice dans le détroit de Cabot; le plus long de ce type au monde. 

1999 L’utilisation des câbles optiques est en progression fulgurante.


Dans ce chapitre, nous ferons l’étude des lignes électriques à partir du 

concept de paramètres répartis et des méthodes des circuits électriques. 

Cette étude sera relativement approfondie ce qui permettra de considérer des 

applications variées dans divers domaines. Nous aurons l'occasion de mettre 

en évidence certains phénomènes inattendus propres à la propagation des 

ondes sur une ligne. 

Définitions 

Une ligne électrique est un dispositif généralement formé d'au moins deux 

conducteurs parallèles destiné à transmettre ou à guider l'énergie 

électromagnétique d'un point à un autre. Les lignes électriques servent dans 

deux domaines essentiellement, couvrant des gammes de fréquences et de 

puissances très étendues (voir le tableau 6.1.1) : 

• La transmission d'énergie électrique pour l’éclairage et l’alimentation des 

machines et autres dispositifs en général. 

• La transmission d'information sous forme de signaux électriques de 

faible puissance, basse tension à des fréquences couvrant un large 

spectre, dans le domaine des communicationsde l’électronique, etc. 

Comme les lignes électriques continuent de jouer un rôle capital dans 

l’électrotechnique et l’électronique modernes, il importe d’en développer une 

théorie rigoureuse et pratique. La figure 6.1.0 est la représentation générale 

d'une ligne et de sa fonction, qui est de relier une source d'énergie électrique 

à un récepteur. Or, la forme du signal transmis au récepteur et sa puissance 

dépendent de plusieurs facteurs dont la fréquence, les paramètres physiques 

de la ligne et l’impédance du récepteur. Dans ce qui suit, nous verrons


comment interviennent ces facteurs et nous développerons un ensemble de 

relations permettant de résoudre divers problèmes pratiques d’une façon 

exacte. On comprendra finalement pourquoi les fibres optiques sont appelées 

à remplacer les lignes électriques dans plusieurs applications en démontrant 

la cause de l’atténuation relativement élevée de la puissance transportée par 

les lignes. 

LIGNE 

Source Récepteur 

Énergie 

Figure 6.1.1 

Représentation d'une ligne électrique transportant de l'énergie d'une source à un récepteur 

Transmission et distribution 

d'énergie 

Transmission d'information 

Téléphonie 

Distribution vidéo, etc. 

Types de lignes 

Tableau 6.1.1 Domaines d’utilisation des lignes électriques 

Puissance : du kilowatt au gigawatt 

Tension : du volt au mégavolt 

Fréquence : 50 ou 60 Hz généralement 

Puissance : du microwatt au watt 

Tension : quelques volts 

Fréquence : du hertz au gigahertz 

Les lignes sont le plus souvent formées de conducteurs parallèles ayant 

diverses formes. La figure 6.1.1 en montre quatre formes courantes :


a) La ligne bifilaire formée de deux fils parallèles, avec ou sans 

diélectrique solide autour. Une variante est la ligne bifilaire tortillée, très 

utilisée comme ligne téléphonique. 

b) La ligne coaxial formée d'un conducteur central concentrique à un 

deuxième, l'espace intermédiaire étant généralement rempli d'un 

diélectrique solide. Le conducteur extérieur souvent appelé blindage 

constitue un écran pour le conducteur intérieur: les signaux transmis 

sont relativement à l’abri des champs électromagnétiques extérieurs 

(voir aussi la figure 6.1.2). 

c) La microruban constituée de deux bandes conductrices appliquées sur 

une plaquette isolante. Elle sert dans les circuits à très haute fréquence. 

d) La ligne triphasée à trois conducteurs pour la transmission à haute 

tension. 

I 

1 2 

I 

(a) (b) 

I 

1 

I 

2 

(c) 

P 

2 

I 

I 

1 2 

Figure 6.1.2 a) Ligne bifilaire b) Ligne coaxiale 

c) Microruban d) Ligne triphasée 

a) b) c) 

Figure 6.1.3 Câbles divers 

3 

1 

I 

I 

I 

(d)


a) Coaxial pour la transmission de grande puissance sous terre à 50 ou 

60 Hz (document Alcatel). 

b) Coaxiaux pour les signaux de haute fréquence et puissances modérées 

(document Alpha). 

c) Paire de fils avec écran (paire de fils blindée) (document Belden). 

La propagation guidée 

Les lignes électriques servent essentiellement de support ou de guide pour 

l’énergie électromagnétique qui se propage sous forme d’ondes. 

Par exemple, deux plans conducteurs parallèles espacés de d constituent 

une ligne électrique. La figure 6.1.4(a) représente une portion de tels plans 

dont les bords MM' et NN' sont reliés à des sources de même tension variable 

V en parallèle, dont une seule est montrée : les lignes MM' et NN' sont ainsi 

des équipotentielles. Des courants de densité surfaciques K vont circuler sur 

la surface interne des plans, tel qu'indiqué. Or, comme les perturbations 

électriques se propagent à vitesse finie, une onde de courant doit donc se 

propager dans le sens positif de z, accompagnée d'une onde de tension 

électrique entre les plans. Une onde électromagnétique se propage dans 

l'espace entre les plans, comme le montre la figure 6.1.4(b). Loin des bords, 

cette onde doit être une onde électromagnétique plane transversale telle que 

H = K, et E = V/d = σ/ε, où σ est la densité surfacique de charges 

électriques, avec ε la permittivité du milieu.

M 

N 

(a) 

1 

2 

V 

K 

K 

M' 

N' 

z 

V 

K 

K 

Figure 6.1.4 

a) Ligne électrique en forme de plans parallèles avec source de tension entre les bords MM' et NN'. 

b) Champ électromagnétique E-H entre les plans. Relation avec la différence de potentiel V et la densité 

E 

E 

H 

(a) 

(c) 

E 

1 

(b) 

surfacique de courant K sur les faces internes des plans. 

E 

I 

– + 

H 

E 

I 

E 

E 

H 

Figure 6.1.5 

E 

(b) 

a) Champ électromagnétique autour d'une ligne bifilaire. 

b) Champ électromagnétique d'une ligne coaxiale. 

c) Champ électrique d’une ligne microruban : symétrique et asymétrique. 

2 

H 

E 

H 

H


Il s’agit d’une propagation électromagnétique guidée par les plans 

conducteurs. Dans le cas d'une ligne bifilaire, le champ guidé est représenté 

à la figure 6.1.5(a), et dans celui d'une ligne coaxiale à la figure 6.1.5(b). 

Cette approche permet d’arriver aux équations de propagation de la tension 

et du courant, à partir de celles du champ électrique et du champ 

magnétique, comme nous l’avons fait précédemment. Mais, il est plus simple 

et efficace de faire plutôt appel à la théorie des réseaux électriques à cette 

fin, comme nous le ferons plus loin. 

6.2 Bases du modèle 

Hypothèses 

L'analyse des lignes électriques peut se faire en appliquant les lois des 

réseaux électriques, en admettant les hypothèses ou postulats suivants : 

1. Les lignes sont homogènes. Une ligne homogèneest constituée d'au 

moins deux conducteurs parallèles dont les paramètresgéométriques et 

physiques sont constants le long de la ligne : dimensions constantes, 

milieu homogène autour, etc. 

2. Les courants circulent dans la direction de la ligne : on n'admet pas de 

courants dans le plan d'une section droite, tel que le plan P de la 

figure 1. Une telle section est donc équipotentielle. 

3. À l'intersection d'une ligne par un plan transversal, la somme algébrique 

des courants instantanés dans les conducteurs est nulle (Figure 6.2.1) : 

N 

∑ 

j = 1 

ij 

= 0 

4. La séparation des conducteurs et leurs dimensions sont faibles par 

rapport à la longueur d'onde, ou par rapport à la distance parcourue par 

l’onde au cours d’une période caractéristique.


5. Le comportement d'une ligne est 

complètement décrit au moyen de 

quatre paramètres de réseau 

électrique répartis et uniformes le 

long de la ligne. Ces paramètres 

ne dépendent que des dimensions, 

de la nature, des 

conducteurs, du milieu ambiant 

et de la fréquence. 

Paramètres répartis ou linéiques 

i 1 

i 2 

1 

Π 

Figure 6.2.1 

Le comportement d’une ligne électrique conforme aux hypothèses 

précédentes est décrit au moyen des paramètres répartis ou linéiques. Voici 

leur définition : 

Résistance linéique : C'est la résistance totale de la ligne par unité de 

longueur. Pour une ligne bifilaire c'est, en principe, la résistance mesurée à 

l'entrée d'une ligne de longueur unité quand l'autre extrémité est terminée 

par un court-circuit parfait. 

Symbole : R. Unité : l'ohm/mètre (Ω/m). 

Inductance linéique : L'inductance linéique est l'inductance propre de la 

ligne par unité de longueur. C’est, en principe, l’inductance mesurée à 

l’entrée d’une ligne court-circuitée à l’autre extrémité quand sa longueur 

tend vers zéro ou, d'une façon plus pratique, quand la fréquence du signal 

de mesure tend vers zéro. 

Symbole : L. Unité : le henry/mètre (H/m). 

Capacité linéique : La capacité électrique de la ligne par unité de longueur. 

Symbole : C. Unité: le farad/mètre. 

Conductance linéique : C'est la conductance entre les conducteurs, ou 

conductance transversale par unité de longueur. Elle résulte de l'imperfection 

du diélectrique. 

Symbole : G. Unité : le siemens/mètre (S/m). 

2


On étudiera ces paramètres plus loin en fonction de la géométrie et de la 

fréquence. 

Courant et tension 

Le courant et la tension sur une ligne sont fonctions de la position que nous 

désignerons par x et du temps t. Donc : 

i = I (x,t) v = v (x,t) 

En régime harmonique, on utilise les amplitudes complexes ou phaseurs I(x) 

et V(x). 

Cela est représenté dans la figure 6.2.2 où l'origine 0 est à l'entrée de la ligne 

de longueur a, du côté de la source ; la position est indiquée par x. On 

utilisera aussi l'origine 0' placée au récepteur en repérant une position 

par h : On a donc h = a – x 

Source 

0 

x 

i (x,t ) 

v (x,t ) 

i 

a 

Figure 6.2.2 Notation utilisée 

6.3 Équation et fonction d'onde 

Équation d'onde 

h 

0' 

Récepteur 

On peut assimiler un élément de longueur dx d'une ligne à deux 

conducteurs à un quadripôle constitué d'éléments dérivés des paramètres 

localisés comme dans la figure 6.3.1a, si les conducteurs sont identiques. 

C'est une représentation symétrique. On peut faire de même si les 

conducteurs sont différents en ayant des éléments de valeurs différentes. 

Mais, la forme de la figure 6.3.1b est équivalente et simplifie la dérivation 

des équations de propagation. Appliquons maintenant les lois des réseaux 

électriques à l'élément (b). On voit que :


dv R i dx L ∂i 

dx (6.3.1) 

∂t 

et : di Gv dx C ∂v 

∂t 

dx (6.3.2) 

Le signe négatif des seconds membres vient de la convention adoptée : la 

tension de sortie (à droite) est v + dv et non pas v - dv, etc. 

Divisant les deux membres par dx, et considérant que la tension et le 

courant sont fonctions de deux variables, v (x,t) et I (x,t), on obtient les deux 

équations suivantes : 

∂v 

∂x 

∂i 

∂x 

R i L ∂i 

∂t 

Gv C ∂v 

∂t 

(6.3.3) 

(6.3.4) 

C'est un système de deux équations linéaires aux dérivées partielles dont les 

solutions sont le courant et la tension sur la ligne en tous points et en tout 

temps. Utilisons une méthode de substitution pour les résoudre. Dérivons 

les deux membres de la première par rapport à x : 

∂ 2 v ∂i 

R 

∂x2 ∂x 

L ∂ 

∂t ∂i 

∂x 

Portons maintenant (6.3.4) dans cette dernière et regroupons les termes : 

v 

i 

R dx /2 

R dx /2 

∂2v ∂v 

R G v + (RC + L G) 

∂x2 ∂t + LC ∂2v ∂t 2 

L dx /2 

C dx G dx 

L dx /2 

(a) 

i + di 

v + dv 

R dx 

L dx 

C dx G dx 

Figure 6.3.1 Modèles d'une portion de ligne de longueur dx 

v 

i 

(b) 

i + di 

(6.3.5) 

v + dv

De la même façon, on obtiendrait pour le courant : 

∂ 2 i 

∂i 

R G i + (RC + L G) 

∂x2 ∂t + LC ∂2i ∂t 2 


(6.3.6) 

Ce sont deux équations différentielles linéaires du deuxième ordre aux 

dérivées partielles 1. On les appelle équations d'onde. Leur forme étant la 

même pour le courant et la tension, il s'ensuit que leurs solutions sont 

nécessairement de la même forme. Du point de vue physique, c'est logique 

car le courant est proportionnel à la tension sur la ligne. Dans le cas général, 

il y a une infinité de solutions possibles à ces équations. Nous allons 

maintenant examiner le cas particulier des lignes où l'on peut considérer 

comme négligeables la résistance et la conductance linéiques. On les appelle 

lignes sans pertes. 

Fonction d'onde 

Dans le cas d'une ligne où R et G seraient nuls, les pertes Joule le seraient 

également. Il s'ensuit qu'une onde doit se propager sur une telle ligne sans 

changement d'amplitude. Précisons que de telles lignes n'existent pas en 

pratique, mais que dans plusieurs cas on peut négliger les pertes, ce qui 

simplifie passablement les solutions. Dans ce cas, l'équation (6.3.5) devient : 

Posons : 

∂ 2 v 

∂x2 LC ∂2v ∂t 2 

LC 1 

u 2 

Alors : ∂2v 1 

2 

∂x 

u 2 ∂2v ∂t 2 

(6.3.7) 

(6.3.8) 

Cette dernière est une équation d'onde qui décrit la propagation d'une onde 

de tension électrique le long de la ligne. Cette équation est de forme 

identique à celle associée à une onde électromagnétique plane, comme vu 

précédemment. Elle admet des solutions de la forme : 

1 Cette équation est dite équation des télégraphistes pour des raisons historiques.


v (x,t) f(x ± ut) ou g(t ± x/u) (6.3.9) 

Une solution possible est la suivante : 

v (x,t) f 1 (x ut) + f 2 (x + ut) (6.3.10a) 

ou : v (x,t) g 1 (t x/u) + g 2 (t + x/u) (6.3.10b) 

Cela se vérifie simplement par substitution. Chaque fonction du membre de 

droite est individuellement une solution. Toute fonction de cette forme est 

une fonction d’onde, c’est-à-dire une fonction qui satisfait l’équation d’onde 

(6.3.8). Nous savons déjà que f1(x ut) ou g1(t x/u) décrit une onde qui 

se propage dans le sens positif de X, et f2(x + ut) et g2(t + x/u) une onde 

dans le sens négatif à la vitesse u. Vu que l’équation de propagation du 

courant est de la même forme, la solution est nécessairement : 

i(x,t) p1(x ut) + p2(x + ut) (6.3.11a) 

i(x,t) q1(t x/u) + q2(t + x/u) (6.3.11b) 

Sur une ligne sans perte, il peut donc se propager des ondes de tension et de 

courant électriques à une vitesse u qui ne dépend que des paramètres 

linéiques L et C : 

Ondes en échelon 

u 

1 

LC 

(6.3.12) 

Un premier cas simple à étudier est celui des ondes produites par une 

source de tension ou de courant en échelon raccordée à l’entrée d’une ligne 

semi-infinie sans perte. La situation n'est pas aussi simple sur une ligne de 

résistance et conductance linéiques finies. Supposons que la tension 

électrique appliquée à la ligne de la figure 6.3.2 soit un échelon de la forme : 

v(t) = Vo U(t) volts (6.3.13) 

Ce signal est représenté à la figure 6.3.3. À l’instant t = 0, une tension V o


apparaît à l’entrée de la ligne et un front d’onde part sur la ligne avec une 

vitesse u. À l’instant particulier t, il a franchi une distance x 1 = ut et la 

tension V o apparaît en ce point. Ceci est représenté à la figure 6.3.4 : la 

tension est V o de l’origine jusqu’à cette valeur particulière de x. 

En x 1 , le même signal qu’à l’entrée apparaît donc avec un retard τ = x 1 /u, de 

sorte que son expression s’écrit comme suit à partir de (6.3.13) : 

v (x 1 ,t) V o U(t τ) V o U(t x 1 /u) volts 

C’est ce que représente la figure 6.3.5. En un point d’abscisse quelconque x, 

à l’instant quelconque t, l’expression de la tension est donc : 

v(x,τ) 

V o 

v (t) 

0 

0 

v (x,t) Vo U(t x/u) volts (6.3.14) 

+ ∞ 

x 1 

v(0,t) 

Vo Figure 6.3.2 Ligne semi-infinie Figure 6.3.3 Signal en échelon à 

l’entrée 

x 1 

u 

x 

0 

v(x 1 ,t) 

Figure 6.3.4 Tension sur la ligne à l’instant τ. Figure 6.3.5 Tension en x 1 en fonction de t 

C’est effectivement la fonction d’onde qui est de la forme vue plus haut 

(premier terme de l’équation 6.3.10b). Il s’agit ici d’une onde qui se propage 

dans le sens positif de x, d’où le signe –. Le signe + est associé à une onde 

dans le sens négatif de x. En factorisant -1/u, on obtient la forme (6.3.10a) : 

V o 

v (x,t) V o U[ 1 (x ut)] volts (6.3.15) 

u 

0 

τ 

t 

t


On tire une importante conclusion en examinant l’expression (6.3.14) : 

Dans le cas d’une ligne semi-infinie sans pertes, quand on connaît 

l’expression f(t) de la tension appliquée à l’entrée, on obtient la 

tension en tout point d’abcisse x et en tout temps t en remplaçant f(t) 

par f(t - x/u), où x/u = τ est le temps que met l’onde à franchir la 

distance x à partir de l’entrée. 

Exemple 6.3.1 Propagation d'une impulsion 

On applique à l'entrée d'une ligne représentée dans la figure 6.3.2 une 

tension v(0, t) en forme d'impulsion comme celle de la figure 6.3.6a. Cette 

tension peut se représenter comme la somme de deux échelons montrés 

dans la figure 6.3.6b : 

v(0, t) = v1(t) + v2(t) = V U(t) - V U(t - to) 

Cette impulsion met un temps τ à parvenir au point d'abcisse x1 : x1 = uτ. La 

figure 6.3.6c montre la tension en ce point. D'après ce que nous venons de 

voir, la fonction d'onde sur la ligne s'exprime comme suit : 

v(x,t) = V U(t - x/u) – V U(t - x/u - to) 

À l'instant t = 3to, elle est: 

v(x,t) = V U(3to - x/u) – V U(2to - x/u) 

La figure 6.3.7(a) montre ces fonctions et la figure 6.3.7(b) représente leur 

superposition, c'est-à-dire la tension sur la ligne à cet instant. Noter que la 

fonction U(a) est nulle pour a < 0, où a est l'argument de la fonction. 

v(0,t) 

V 

0 t o t 

(a) 

v(0,t) 

V 

0 

(b) 

-V 

v 1(t) 

t o 

v 2(t) 

t 

Figure 6.3.6 

v(x1 ,t) 

V 

t o 

0 t 

τ = x1/u (c)

a) b) 

v(x, 3t0) v(x, 3t0) V 

0 

-V 

2ut 0 

3ut 0 

u 

x 

u 

Figure 6.3.7 

Exemple 6.3.2 Fonction d'onde sinusoïdale 

Considérons une ligne très longue (semi-infinie) supposée sans pertes, à 

l’entrée de laquelle est raccordée une source de tension décrite par : 

vs(t) = 10 sin(10 8 t) U(t) volts 

où U(t) est la fonction échelon unité. À t = 0, une onde de tension sinusoïdale 

commence donc à se propager sur la ligne avec une vitesse u qu’on 

supposera égale à 2·10 8 m/s. L’onde partie à t = 0 de l’origine atteindra donc 

un point d’abscisse x à l’instant x/u, sans se déformer car la ligne est sans 

pertes. Les vibrations qui atteignent x ont donc la même forme qu’à l’origine, 

mais avec un retard τ = x/u. La fonction d’onde s’écrit donc comme suit : 

v+(x,t) = 10 sin 10 8 (t - x/u) U(t - x/u) volts 

avec u = 2 · 10 8 m/s. La figure ci-dessous montre la tension électrique sur la 

ligne à l’instant t, alors que le front d’onde A a parcouru la distance ut à 

partir de la source en 0. 

V 

0 

3ut 0 

ut 0 

x 

u

V 

10 

0 

-10 

ut 

Figure 6.3.8 

La longueur d’onde λ = u/f = 2πu/ ω = 12,57 m. Sur la figure, la distance ut 

est à peu près égale à 2,25 longueurs d’ondes, soit environ 28,3 mètres. 

Cette distance est franchie dans un temps t ≈ 141 nanosecondes. 

Impulsions sur une ligne avec pertes 

Nous verrons plus loin que l'affaiblissement ou l'atténuation d'une onde 

sinusoïdale qui se propage sur une ligne réelle augmente avec sa fréquence. 

Dans le cas de signaux impulsifs, c'est-à-dire à montée et à descente 

rapides, l'atténuation augmente avec la rapidité de variation. 

Il s'ensuit que le traitement rigoureux de la propagation des impulsions sur 

une ligne réelle est assez difficile. Mais, heureusement, une description 

qualitative du phénomène suffit le plus souvent pour comprendre les 

observations. La figure 6.3.9(a) montre une impulsion rectangulaire 

appliquée à l’entrée d’une ligne, d’une durée to de quelques dizaines de 

nanosecondes. Après un parcours x1 d'une centaine de mètres sur une ligne 

coaxiale typique, l’impulsion s’est déformée comme on peut le voir 

approximativement en (b) 3. 

3 

v(0, t) 

V 

t o 

v(x1,t) V 

0 t 

0 t 

τ = x 

(a) (b) 

1/u to Figure 6.3.9 Déformation d’une impulsion sur une ligne réelle 

Le logiciel “RÉFLEX” de Rémy Simard (UQTR, Génie électrique, 1993) permet de simuler très correctement la propagation 

d'impulsions sur une ligne avec pertes. 

λ 

u 

A 

X

6.4 Impédance caractéristique 


L'impédance caractéristique d'une ligne détermine essentiellement la relation 

entre la tension et le courant électriques qui se propagent sur la ligne. Nous 

allons ici trouver son expression pour une ligne sans perte. 

Expression • Lignes sans perte 

Supposons que sur une ligne sans perte se propage une onde de tension 

dans le sens positif de X. Nous la désignerons par : 

v +(x,t) f1(x ut) (6.4.1) 

Nous avons vu que l'équation de propagation du courant est de la même 

forme que celle de la tension. Il s'ensuit que l'onde de courant correspondant 

à la précédente est nécessairement de la forme : 

i+(x,t) g1(x ut) (6.4.2) 

Nous cherchons une relation entre la tension et le courant. Nous avons vu 

plus haut les équations différentielles (6.3.3, 6.3.4) reliant les deux. Vu que 

R = 0, l'équation (6.3.3) se réduit à : 

∂v + 

∂x 

En posant w = (x - ut), on obtient : 

et : 

L ∂i + 

∂t 

∂v + 

∂x df 

dw ∂w 

∂x df 

dw 

∂i + 

∂t dg1 dw ∂w 

∂t dg1 dw 

Puis on porte le résultat dans (6.4.3) : 

(6.4.3) 

· 1 (6.4.4) 

u (6.4.5) 

df1 dw · 1 L dg1 dw · ( u) Lu dg1 dw 

(6.4.6) 

d'où : df1 Lu dg1 (6.4.7) 

En intégrant, on obtient f 1 x,t Lu g 1 x,t + constante 

ou encore : v +(x,t) Lu i+(x,t) + constante (6.4.8)


La constante correspond à une tension constante partout sur la ligne, ce qui 

est possible en pratique. On peut donc arbitrairement annuler cette 

constante. On observe que Lu est une constante qui a les dimensions d'une 

résistance. On convient d'appeler cette constante l'impédance 

caractéristique Zo de la ligne : 

et, vu l'expression (6.3.12) de la vitesse : 

v + (x,t) Z o i + (x,t) (6.4.9) 

Z o Lu 

L 

C 

(6.4.10) 

Donc, l’impédance caractéristique d’une ligne est une grandeur qui relie les 

valeurs du courant et de la tension électriques qui se propagent sur une 

ligne. 

Dans le cas d’une onde qui se propage dans le sens négatif de x, on vérifie de 

la même façon que : 

v - (x,t) Z o i - (x,t) (6.4.11) 

Exemple 6.4.1 Impédance caractéristique et courant 

Un câble coaxial de type RG-58C/U a une capacité linéique de 101 pF/m et 

la vitesse de propagation des ondes y est de 2,10·10 8 m/s (voir le tableau 

6.4.1 et l'annexe). Ces deux grandeurs permettent de calculer l’inductance 

linéique L à partir de l’équation 6.3.12 : 

L = 1 

u 2 C 

= 224,5 nH/m 

On obtient Zo à partir de (6.4.10) : Z o = 

2,245· 10 7 

= 47,1 ohms 

10 

1,01· 10 

ce qui est près de la valeur nominale de 50 ohms donnée par le fabricant. 

Si la ligne de l’exemple 6.3.2 est un tel câble, l’onde de courant sera donc 

décrite par : 

i + (x,t) = 10 

47,1 sin(108 t - x/u) U(t - x/u) ampères


Valeur des paramètres • Lignes coaxiales 

La figure 6.4.1 montre la structure d’une ligne coaxiale typique (voir aussi 

figure 6.1.4). Le conducteur central est ici formé de brins tressés, mais c’est 

souvent un fil solide. Le diélectrique est généralement du polyéthylène solide, 

mais c’est parfois un fil de polyéthylène enroulé autour du conducteur 

central avec un grand pas d’hélice, ou encore une mousse de polyéthylène 

pour réaliser une permittivité plus faible (capacité linéique plus faible) et une 

plus grande vitesse de propagation. Le blindage représenté est fait de fils fins 

tressés, mais on utilise souvent une feuille d’aluminium enroulée autour du 

diélectrique. L’enveloppe ou gaine est aussi faite d’une variété de matériaux 

plus ou moins résistants aux conditions ambiantes, polyéthylène, chlorure 

de polyvinyl, etc. On trouvera plus de détails à l’annexe A. 

No 

RG/U 

6/U 

8/U 

58/U 

58C/U 

59B/U 

62A/U 

178B/U 

Diamètre 

gaine 

[mm] 

6,86 

10,3 

4,95 

4,78 

5,46 

5,72 

Gaine ou 

enveloppe 

Écran ou 

blindage 

Diélectrique Conducteur 

central 

Figure 6.4.1 Structure d’un câble coaxial typique (multibrins) 

Tableau 6.4.1 Caractéristiques diverses de lignes coaxiales 

Conducteur 

central, diam. 

[μm] 

1022 

7 x 73 (*) 

814 

19 x 180 (*) 

575 

638 

Impédance 

caractérist. 

[ohms] 

75 

52 

53 

50 

75 

93 

Capacité 

linéique 

[pF/m] 

56,8 

96,8 

92,4 

Vitesse 

propag. 

[km/s] 

Tension 

maximale 

[Veff] 

2,54 7 x 160 50 98,4 197 700 1 500 

(*) Formé de 7 ou 19 brins cylindriques de 73 μm, etc. 

101 

68,9 

44,3 

234 000 

198 000 

198 000 

210 000 

210 000 

252 000 

2 500 

5 000 

1 600 

1 600 

2 100 

1 500 

Atténuation 

à 1 MHz 

(dB/km) 

6,2 

5,2 

9,5 

9,5 

8,9 

8,0 

75


6.5 Source avec résistance interne 

Considérons une source de tension V s de résistance interne R s = R Th 

(résistance de Thévenin), V s étant la tension en circuit ouvert. Raccordons-la 

à l’entrée d’une ligne semi-infinie d’impédance caractéristique Z o . (Figure 

6.5.1). Vu que la ligne est très longue, une seule onde se propage dans le 

sens positif de x. L’impédance “vue” à l’entrée de la ligne est donc égale à 

l’impédance caractéristique Zo . Le système équivalent est tel que représenté 

à la figure 6.5.2. La tension à l’entrée de la ligne est donc : 

Z 

V ( t) 

V ( t) 

e 

R Z = 

0 

S 

+ 

S 

0 

(6.5.1) 

Ainsi, d’après la règle énoncée plus haut, on obtient la fonction d’onde 

simplement en remplaçant t par t – x/u : 

v +(x,t) 

Zo 

(6.5.2) 

v s(t x/u) 

R s + Zo 

Cela est exact pour une ligne considérée comme sans perte avec des 

impédances réelles. En réalité, la situation est plus complexe, mais ce qui 

précède est une bonne approximation. 

v s 

+ 

0 

R s 

6.6 Réflexion 

2 

1 

ve 

Zo u 

x 

∞ 

Figure 6.5.1 Figure 6.5.2 Système équivalent 

En pratique, une ligne électrique est nécessairement finie. Il peut aussi y 

avoir un élément quelconque ou une autre ligne raccordée en un point. On 

considère maintenant ce qui se passe quand une onde rencontre une telle 

discontinuité. 

v(t) 

+ 

0 

R s 

1 

v e 

2 

Z o

Coefficient de réflexion 


La figure 6.6.1 montre une source de résistance interne R s raccordée à une 

ligne sans pertes de longueur a, d’impédance caractéristique Z o avec une 

vitesse de propagation v, laquelle est terminée par un récepteurde résistance 

R r . Dans ce cas, il faut admettre que des ondes se propagent dans les deux 

sens : v + et v - , car la tension qui apparaît aux bornes du récepteur constitue 

une source d’ondes vers la gauche. En général, il y a réflexion de l’énergie 

ondulatoire sur le récepteur. 

Nous cherchons ici la relation entre l’onde de tension incidente et l’onde 

réfléchie. La tension électrique sur la ligne peut donc s’écrire comme suit : 

v (x,t) v +(x,t) + v -(x,t) (6.6.1) 

et le courant : i (x,t) i+(x,t) + i-(x,t) (6.6.2) 

Or, on sait que: v + +Zo i+ et v - Zo i- (6.6.3) 

v s(t) 

+ 

0 

R s 

2 

1 

v e 

Z o 

u 

x 

v + 

v- 

x = a 

Figure 6.6.1 Ligne terminée par un récepteur de résistance R r 

On porte ces dernières dans (6.6.2) : 

V V 

i( x, t) 

= − 

Z Z 

+ − 

0 0 

R r 

(6.6.4) 

Au récepteur (x = a), la loi d’Ohm s’applique : v (a,t) Rr i (a,t) . Au moyen 

de (6.6.1) et (6.6.4), cette dernière relation devient : 

v +(a,t) + v -(a,t) Rr v +(a,t) 

Zo 

v -(a,t) 

On en tire le rapport de la tension réfléchie et de la tension incidente qui est 

le coefficient de réflexion ρvr, par définition : 

Zo

ρvr v -(a,t) 

v +(a,t) Rr Zo 

Rr + Zo 

(6.6.5) 

Le tableau 6.6.1 donne les limites de variations du coefficient de réflexion de 

la tension en fonction de la résistance du récepteur. 

On vérifie facilement que le coefficient de réflexion du courant au récepteur 

s’exprime comme suit : 

ρir i-(a,t) 

i+(a,t) ρvr (6.6.6) 

En général, on n’utilisera que le coefficient de réflexion de la tension. 

Dorénavant, ρr désignera ce coefficient. 

Rr 

Tableau 6.6.1 

0 Zo ∞ 

ρr 1 0 1 

Fonction d’onde réfléchie 

On vient de voir que la tension réfléchie au récepteur est de la forme : 

v -(a,t) ρr v +(a,t) 

où on sait comment la tension v +(a,t) en x = a est reliée à la tension à 

l’entrée v e(t) : 

v +(a,t) v e(t a/u) 

L’onde qui part du récepteur vers l’entrée de la ligne (sens négatif) parvient 

au point d’abcisse x avec un retard (a - x)/u (Figure 6.6.1). Son expression 

est donc : 

v -(x,t) ρr v e t a u 

a x 

u 

ρr v e t + x u 2a 

u 

(6.6.7) 

Or, a/u = τ , le temps que met l’onde pour aller d’un bout à l’autre de la 

ligne. On peut donc écrire : 

v -(x,t) ρr v e t + x/u 2τ (6.6.8)


Ce qui est bien la forme d’une onde dans le sens négatif. À son tour, cette 

dernière onde se réfléchit sur la source. En appliquant le même 

raisonnement qu’au récepteur, considérant que la source présente une 

résistance Rs pour l’onde v -(x,t) , le coefficient de réflexion à la source 

s'exprime comme : 

ρs Rs Zo 

Rs + Zo 

(6.6.9) 

Donc, de façon générale, une autre onde partira vers la droite qui se 

réfléchira au récepteur, etc. En principe, cela se répète à l’infini et la tension 

résultante sur la ligne est la somme de toutes ces ondes. 

Exemple 6.6.1 Réflexions multiples lignes sans perte 

Supposons que la source du système de la figure 6.6.1 donne une tension en 

circuit ouvert qui a la forme d’un échelon : vs(t) = Vo U(t) . La tension 

initiale à l’entrée est alors donnée par : 

ve(t) = 

Zo 

Zo + Rs 

Vo U(t) = Ve U(t) 

Supposons de plus que Zo = 50 ohms, Rs = Zo/6, Rr = 7Zo , u = 2·10 8 m/s et 

a = 5 mètres. On en tire : 

Ve = 

Zo 

Zo + Zo/6 Vo = 6 

7 Vo = V+1 

La première onde v +1 qui part sur la ligne est représentée dans la figure cidessous 

à l’instant t1 < τ. Son expression est : 

v+1(x,t1) = 6 7 Vo U(t - x/u) = Ve U(t - x/u) = V+1 U(t - x/u) 

Les coefficients de réflexion au récepteur et à la source sont respectivement : 

ρr = 7Zo - Zo 

7Zo + Zo 

et : ρs = Zo/6 - Zo 

Zo/6 + Zo 

= + 3 

4 

= – 5 7 

Le temps de propagation d’une onde d’un bout à l’autre de la ligne est : 

τ = a u = 

5 

2⋅ 10 8 = 25⋅ 10 9 = 25 ns

v(x,t 1 ) 

V e 

0 

v +1 

t 1 < τ 

ut 1 

Figure 6.6.2 

L a prem ière o nde réfléchie au récept eur est V - 1 ( x ,t ) = V 1 U(t + x/u - 2τ) , o ù : 

V 1 = ρrV+1 = 3 4 Ve = 3 4 6 7 Vo = 9 14 Vo 

Cette onde est représentée dans la figure ci-dessous à l’instant t 2 compris 

entre τ et 2τ. On voit la tension v (x,t 2 ) résultant de la superposition de 

v+1 et de v 1. À cet instant, le front A de l’onde v+1(x,t) se trouve 

virtuellement au-delà de x = a. Le front A’ de l’onde réfléchie se trouve alors à 

la même distance de x = a. 

À son tour, l’onde v -1 (x,t) se réfléchit sur la source et produit : 

v+2(x,t) = V+2 U(t - x/u - 2τ) , 

car le front d’onde A’ parvient en x = 0 à l’instant 2τ. Puis, 

V+2 = ρsV 1 = – 5 7 3 4 V+1 = – 15 

28 6 7 Vo = – 45 

98 Vo 

Et ainsi de suite. On voit que ces réflexions multiples doivent créer en 

pratique une situation relativement complexe sur la ligne si les coefficients 

de réflexion diffèrent de 0. 

En pratique, on s’intéresse surtout à l’effet produit sur la tension à 

l’émetteur ou au récepteur. 

Pour réduire l’importance de ce phénomène qui affecte la qualité des signaux 

transmis sur une ligne, il importe donc de rendre les coefficients de réflexion 

aussi près de 0 que possible. C’est particulièrement important dans les 

systèmes de communication par impulsions codées, les ordinateurs, etc. 

Cela se fait en adaptant la source et le récepteur à la ligne ou vice versa, 

c’est-à-dire en égalisant autant que possible les impédances de source, de 

récepteur et de ligne. 

u 

a 

x

v(x,t 1) 

Vo V +1 

0 

t < t 2 < 2τ 

Diagramme en zigzag 

u 

u 

A' 

Figure 6.6.3 


Il existe une façon simple de déterminer la tension (ou le courant) sur la 

ligne sans pertes par suite des réflexions multiples d’une onde en échelon. Il 

s’agit du graphique qu’on peut désigner comme le diagramme en zigzag, 

représenté dans la figure 6.6.4. Ce diagramme représente simplement la 

position du front d’onde au cours du temps. Il a été tracé au moyen des 

données de l’exemple précédent. On s’en sert pour déterminer la tension sur 

la ligne en tous points et en tout temps dans le cas d’ondes en échelon. 

Voyons, par exemple, comment varie la tension au récepteur, en x = a. Le 

front d’onde initial part de l’entrée de la ligne à t = 0 avec une amplitude V +1 . 

Sa réflexion au récepteur à l’instant τ donne le front d’onde d’amplitude 

V 1 = ρrV +1 . La tension en ce point devient alors (à τ + ) la somme des deux 

ondes : 

v (a,τ +) = V +1 + V 1 = V +1 + ρrV +1 = 7 

4 V +1 

v (a,τ+) = 7 

4 6 

7 Vo = 3 

2 Vo = 1,5 Vo 

Cette situation est aussi représentée dans la figure 6.6.3. Le front d’onde V 1 

va se réfléchir à la source où il devient V +2 = ρsV 1 . Ce dernier parvient au 

récepteur à l’instant 3τ et se réfléchit pour donner V 2 = ρrV +2 . Juste après 

la réflexion, à l’instant 3τ + , la tension électrique est la somme des quatre 

ondes successives : 

v (a,3τ+) = V+1 + V 1 + V+2 + V 2 

2 

v (a,3τ +) = = V +1 + ρrV +1 + ρsρrV +1 + ρsρr V +1 (6.6.10) 

v 1 

a 

v +1 

A 

u 

x


v (a,3τ+) = 1 + 3 - 5 

4 7 3 - 5 

4 7 3 2 

V+1 

4 

= 13 

16 V +1 = 39 

56 Vo = 0,6964 Vo 

À l’instant 5τ, deux termes s’ajoutent : 

V +3 = ρs 2 ρr 2 V +1 et V -3 ρs 2 ρr 3 V +1 . On calcule 

v (a,5τ+) 3759 V+1 

11277 

3136 10976 Vo 1,0274 Vo . 

De même, à l’instant 7τ , s’ajoutent les termes V +4 ρs 3 ρr 3 V +1 et 

V -4 ρs 3 ρr 4 V +1, de sorte que : 

v (a,7τ+) 81627 

87808 V+1 0,7968 Vo 

Les termes qui s’ajoutent sont de plus en plus faibles. La figure 6.6.5 montre 

comment varie la tension au récepteur v(a,t). À la fin de ce régime transitoire, 

la ligne étant supposée sans perte, la situation est essentiellement celle 

représentée à la figure 6.6.6. La tension à l’entrée et partout sur la ligne est 

alors v e (42/43) Vo , la valeur donnée par la théorie élémentaire qui ne 

tient pas compte des phénomènes de propagation et de réflexions multiples. 

t 

5τ 

4τ 

3τ 

2τ 

τ 

V = ρ V 

+3 s -2 

V = ρ V 

V = ρ V 

-2 r +2 

+2 s -1 

V = ρ V 

-1 r +1 

V = (6/7)V 

+1 o 

5τ 

τ 

3τ 

0 

x 

1 

a x 

Figure 6.6.4 Diagramme en zigzag 

E 

D 

C 

B 

A 

v(a,t) 

1,5V o 

V o 

0 

v (t) + 

τ 3τ 5τ 7τ t 

Figure 6.6.5 

0 

Z /6 

o 

1 

v e 

2 

Figure 6.6.6 

7Z o

Coefficient de transmission 


Considérons deux lignes d’impédances caractéristiques différentes Z o1 et Z o2 

raccordées en série et une onde en échelon V 1+ (x,t) qui se propage vers la 

jonction AB à la vitesse u 1 . ( En arrivant à la jonction, l’onde se réfléchit 

partiellement pour donner l’onde V 1– (x,t) vers la gauche, et se transmet 

partiellement sur la deuxième ligne sous la forme d’une onde V 2+ (x,t) à la 

vitesse u 2 . On définit le coefficient de réflexion sur la ligne 1 à la jonction 

comme : 

ρ11 V 1 

V 1+ 

Zo2 Zo1 

Zo2 + Zo1 

(6.6.11) 

Le coefficient de transmission est défini comme le rapport de la tension 

transmise et de la tension incidente à la jonction: 

ρ12 V 2+(0,t) 

V 1+(0,t) 

(6.6.12) 

Or, la tension de l’onde transmise est celle qui existe à la jonction, laquelle 

est la somme V 1+ (0,t) + V 1– (0,t). Alors : 

V 2+(0,t) V 1+(0,t) + V1 (0,t) (1 + ρ11) V 1+(0,t) 

Ici, Z o2 < Z o1 (figure 6.6.7). 

V 1- 

V 1+ 

Zo1 

ρ 11 

A 

B 

ρ 12 

Z o2 

V 2+ 

Figure 6.6.7 Réflexion et transmission à une jonction 

On a donc : ρ12 1 + ρ11 

(6.6.13)


Avec l’origine en AB, les fonctions d’onde réfléchie et transmise sont les 

suivantes dans le cas présent où les pertes sont supposées nulles : 

V 1 (x,t) V(0,t) U(x + vt ) ρ11 V1+(0,t) U(x + vt ) (6.6.14) 

V 2+(x,t) V(0,t) U(x vt ) ρ12 V1+(0,t) U(x vt ) (6.6.15) 

6.7 Théorème des interrupteurs 

Voyons maintenant deux théorèmes simples qui permettent de résoudre 

facilement certains problèmes où les lignes ont une tension initiale ou un 

courant initial non nuls sur toute leur longueur. 

Interrupteur initialement ouvert 

La figure 6.7.1(a) représente un réseau électrique H et deux bornes A, B de 

numéro j entre lesquelles existe une tension constante Vj , avec un 

interrupteur K. Il est évident que rien n’est changé entre les bornes si une 

source de tension de valeur Vj remplace K comme en (b). 

Si, à l’instant t = 0, l’interrupteur est fermé comme en (c), la tension 

s’annule. On constate alors que cette situation peut être simulée en ajoutant 

en série avec la source Vj , la figure (b) une source de tension en échelon 

–VjU(t) comme dans la figure (d). Le premier théorème des interrupteurs est 

simplement l’énoncé de cette évidence.

K 

K 

A 

V j 

B 

A 

0 

B 

H 

B 

(a) (b) 

H 

B 

(c) (d) 

V j 

+ 

+ 

+ 

-V jU(t) 

Figure 6.7.1 

Théorème des interrupteurs. Sources de tension équivalentes. 

A 

V j 

A 

Interrupteur initialement ouvert. 

Interrupteur initialement fermé 

Dans la figure 6.7.2(a), l’interrupteur entre les bornes A, B du réseau H est 

fermé et un courant continu Ij circule. Sans rien changer, on peut donc 

remplacer l’interrupteur fermé K par une source de courant Ij . 

Si l’interrupteur est ouvert à t = 0, le courant s’annule (fig. c). On peut 

constater à la figure (d) que cette situation peut être simulée en ajoutant en 

parallèle avec la source de la figure (b) une source de courant en échelon –I j 

U(t). Cet énoncé traduit le deuxième théorème des interrupteurs, celui des 

interrupteurs initialement fermés. 

0 

H 

H

I j 

K 

K 

t = 0 

A 

B 

A 

B 

H 

B 

(a) (b) 

Ij = 0 H 

-IjU(t) Ij B 

(c) (d) 

Figure 6.7.2 

Théorème des interrupteurs. Sources de courant équivalentes : interrupteur initialement fermé. 

Applications 

Ligne initialement chargée 

Considérons une ligne sans perte qui a été chargée au potentiel V o et qu’on 

relie à une résistance R1 à l’instant t = 0 en fermant l’interrupteur K 

(fig. 6.7.3a). Comment évoluera la tension sur la ligne? On peut répondre 

facilement à cette question en appliquant le théorème des interrupteurs 

initialement ouverts. 

I j 

A 

A 

H 

H


En effet, comme la tension V o qui existe entre les bornes de K s’annule à 

t = 0, on peut remplacer ce dernier par une source de tension constante V o 

en série avec une source de tension en échelon -V o U(t) comme dans la figure 

6.7.3b. À t = 0, cette dernière produit à l’entrée de la ligne une tension: 

V e 

Zo 

V o 

R1 + Zo 

et une première onde v +1 (x,t) part sur la ligne dont l’amplitude V +1 = V e : 

v +1 Ve U(t x/u) 

Le front d’onde atteint l’autre extrémité à l’instant τ = a/u. Vu que la ligne 

est ouverte, le coefficient de réflexion ρ r y est égal à +1. L’onde réfléchie est 

ainsi: 

K 

v 1 +V e U(t + x/u 2τ) 

t = 0 

Vo -VoU(t) + 

+ + + 

R1 Vo Zo u 

R1 Vo Figure 6.7.3 a) Ligne initialement chargée 

au potentiel V o 

(a) (b) 

Z o 

b) Système équivalent 

Considérons le cas où R1 Zo (ligne adaptée), alors V e V o/2 , À 

l’instant t 1 compris entre τ et 2τ, la situation sur la ligne est représentée 

dans la figure 6.7.4. Le front d’onde v +1 est rendu virtuellement en A’ et le 

front d’onde v 1 est en A, à égale distance de l’extrémité de la ligne. La 

tension résultante est la somme: 

v (x,t1) Vo + v +1(x,t1) + v 1(x,t1) 

Elle est représentée en trait gras dans la figure. On observe que l’onde 

réfléchie efface en quelque sorte, à la vitesse u, la tension sur la ligne. 

Comme la résistance R1 est adaptée à la ligne, l’onde v 1 est complètement 

absorbée et la tension devient nulle partout sur la ligne à l’instant 2τ. 

u 

+

V o 

V o /2 

0 

-V o /2 

t 

2τ 

τ 

0 

u 

A 

a 

V 1 (x,t 1 ) 

Figure 6.7.4 Tension sur la ligne 

-V o /2 

-V o/2 

V o 

Figure 6.7.5 à l’instant t 1 : τ < t 1 < 2τ 

a 

A' 

V +1(x,t 1) 

Le diagramme en zigzag permet de déterminer simplement la tension sur la 

ligne, particulièrement à l’entrée. Dans le cas présent, il se réduit à celui de 

la figure 6.7.5. On note la tension constante Vo sur le graphique afin de ne 

pas l’oublier dans l’addition. 

Si la résistance n’était pas adaptée à la ligne, il y aurait une infinité de 

réflexions d’amplitude décroissante aux deux extrémités. Le diagramme en 

zigzag permettrait de déterminer l’évolution de la tension sur la ligne. 

Ligne avec courant initial 

Dans la figure 6.7.6, l’interrupteur K est fermé depuis longtemps, de sorte 

qu’un courant continu Io s’est établi dans la ligne supposée sans pertes 

court-circuitée à son extrémité de droite. Le courant dans la résistance R1 est alors nul, car elle est en parallèle avec le court-circuit. Alors, Io = Vo /R2 . 

Comme l’interrupteur s’ouvre à t = 0, on sait que le deuxième théorème des 

interrupteurs s’applique et qu’on peut le remplacer par deux sources de 

2τ 

τ 

x 

u 

X


courant en parallèle, l’une constante de valeur I o , l’autre fournissant un 

échelon de valeur -I o U (t), comme illustré dans la figure 6.7.7. Mais, par 

définition d’une source de courant, ces sources imposent un courant dans 

la branche formée de la source de tension et de R 2 . On peut donc les 

remplacer par un court-circuit, comme dans la figure 6.7.8, où les sources 

de courant sont simplement déplacées. Notons que la tension initiale sur la 

ligne est nulle. 

R K 

t = 0 

2 Io + 

Vo V o 

+ 

-I oU(t) 

R 2 

I o 

R1 

I oU(t) 

R 1 

Figure 6.7.6 

I o 

Z o 

Z o 

Figure 6.7.7 Sources équivalentes 

I o 

I o 

u 

u 

I o 

R1 Zo u Io 

Figure 6.7.8 Système équivalent 

À t = 0, l’échelon de courant –Io apparaît et ce courant se répartit entre la 

résistance R1 et l’impédance d’entrée Zo de la ligne qui est résistive (R1 || 

Zo ). Le courant qui part sur la ligne a donc une amplitude I +1 : 

I+1 

1/Zo 

1/Zo + 1/R1 

Io 

I o


EXERCICES 

Cette onde de courant i +1 (x,t) = I +1 U(t - x/u) commence à se réfléchir sur le 

court-circuit à l’instant τ. Le coefficient de réflexion pour le courant est de 

signe opposé à celui de la tension: ρi = –ρv = +1. 

L’onde réfléchie est donc i –1 (x,t) = I +1 U(t + x/u – 2τ). Si R 1 = Z o , il n’y aura 

pas d’autres réflexions, sinon il y aura réflexions multiples d’amplitudes 

décroissantes. Comme dans le cas précédent, un diagramme en zigzag 

facilitera le calcul de la variation du courant en un point donné au cours du 

temps 

Questions de revue 

1. Donner la définition d'une ligne électrique. 

2. Quelles sont les hypothèses qui permettent de dériver les équations de 

propagation du courant et de la tension sur les lignes électriques à partir 

de la théorie des réseaux électriques ? 

3. À partir du modèle quadripolaire d'un élément de ligne électrique de 

longueur dx, trouver l'équation générale de propagation de la tension 

électrique sur la ligne. 

4. Démontrer que l'équation de propagation de la tension sur une ligne 

sans perte est satisfaite par toute fonction de la forme 

v(x,t) = f(x ± vt) , une fonction d'onde, où v est la vitesse de 

propagation. Quelle est l'expression de cette dernière ? Quelle est la 

limite physique de v ? Dans quel cas est-elle atteinte ? 

5. Trouver l'expression de l'impédance caractéristique d'une ligne sans 

perte en fonction des paramètres distribués. 

6. Trouver l'expression de l'impédance caractéristique d'une ligne coaxiale 

supposée sans perte où le conducteur interne a un rayon a, et le 

conducteur externe un rayon interne b. 

7. Trouver l'expression du coefficient de réflexion de la tension électrique à 

l'extrémité d'une ligne d'impédance caractéristique Z 

o 

terminée par une 

impédance Z 

1 

, les deux impédances étant réelles.


8. Démontrer que l'expression du coefficient de transmission de tension 

électrique à la jonction de deux lignes d'impédances caractéristiques Z o1 

et Z o2 , pour des ondes allant de 1 vers 2 est: T = 

2 Zo2 

Zo2 + Zo1 

9. Démontrer que la relation entre les ondes de courant et de tension qui se 

propagent dans le sens négatif de x sur une ligne électrique sans perte 

est : v(x,t) = –Zo i(x,t) . 

6.1 Fonctions d'onde 

Lesquelles parmi les fonctions suivantes peuvent décrire une onde de 

tension électrique v(x,t) se propageant sur une ligne ? A et B sont des 

constantes, x une coordonnée, u une vitesse et t un temps. Justifier ses 

réponses. 

a) v = A/ (x - ut) b) v = A/ (x – ut)2 

c) v = A sinh B(t – x/u) d) v = A cos2B(x + ut) 

e) v = A ln B(x + ut) f) v = A exp jB (x - ut)2 

g) v = A f(x2 – ut) 


Si on applique à l'entrée d'une ligne électrique semi-infinie une tension de la 

forme : 

v(t) = v(0, t) = 

100 

2 + 10 16 t 2 , 

déterminer la fonction qui décrit l'onde de tension qui se propage (la fonction 

d'onde), sachant que sa vitesse est de 2,5·10 8 m/s. Faire un graphique de la 

fonction d'onde en fonction de l'abscisse x aux instants t1 = 10 ns et t2 = 

20 ns. 

Rép.: v(x,t) = 

100 

2 + 10 16 (t – 4·10 9 x)2


6.3 Fonction d'onde 

On a une ligne sur laquelle les ondes de tension ou de courant se propagent 

à la vitesse u = 2,5·10 8 m/s. Si l'on applique à l'entrée une tension telle que 

dans le référentiel (0'x') lié à l'onde on ait: v(x' ) = 50 volts , 

2 

1 + 0.2x' 

déterminer la fonction d'onde. On considère la ligne comme semi-infinie. 

Représenter cette fonction à l'instant t = 40 ns. 

Rép.: v(x,t) = 

6.4 Onde en échelon 

50 

1 + 0,2(x - 2,5· 10 8 t) 

2 volts 

La source de tension électrique dans le système ci-contre est décrite par 

l'échelon v s t = 2 Ut volts. Trouver l'expression de l'onde de courant qui 

part sur la ligne et celle de l'onde de tension réfléchie. 

6.5 Onde sinusoïdale 

+ 

vs (t) 

50 Ω 

Zo = 50 Ω 

u = c 

0 x = 30 m 

Rt = 

25 Ω 

On applique à l'entrée d'une ligne bifilaire semi-infinie dans l'air, une tension 

de la forme 

v(t) = 100 cos (4π·10 8 t) volts . 

a) Évaluer la pulsation, la fréquence et la période de l'excitation. 

Rép.: f = 200 MHz 

b) Déterminer la fonction d'onde. 

Rép.: v(x,t) = 100 cos (4π·10 8 t – 4.19x) volts

c) Calculer la longueur d'onde. 

Rép.: 1.5 mètre 

6.6 Calcul de paramètres linéiques 


Calculer les paramètres linéiques d'une ligne aux pertes négligeables dont 

l'impédance caractéristique est de 50 ohms, avec une vitesse de propagation 

des ondes de 200 000 km/s. 

Rép.: 100 pF/m, 250 nH/m... 

6.7 Fonctions d'onde. Énergie 

On applique à l'entrée d'une ligne semi-infinie un échelon de tension v(t) = 

v(0,t) = 10 U(t) volts. Si l'impédance caractéristique est 50 ohms et la vitesse 

de propagation 200 000 km/s, 

a) Déterminer la fonction d'onde de tension électrique. Faire un graphique 

de la tension sur la ligne à t = 1 et 2 μ s. Dans une autre figure, 

représenter la tension en x = 2 et 5 mètres en fonction du temps. 

Rép.: v (x,t) = 10 U(t – 5·10 9 x) volts 

b) Trouver la fonction d'onde de courant. 

c) Écrire l'expression de la puissance P(x,t), et décrire la distribution 

d'énergie sur la ligne à t = 1 μs. 

Rép.: P (x,t) = 2 U(t – 5·10 9 x) watts . Distribution uniforme 

d'énergie sur 200 m de ligne, avec une densité de 10 nJ/m. 

d) Démontrer que la densité d'énergie électrique sur la ligne est égale à la 

densité d'énergie magnétique. La densité d'énergie est l'énergie par unité 

de longueur de la ligne. 

6.8 Onde de courant et onde de tension 

Considérer une ligne coaxiale RG-58C/U (Z o = 50 ohms, u = 2c/3) très 

longue à l’entrée de laquelle on applique une tension décrite par 

v(0, t) = 10 12 2t volts. Si on suppose les pertes négligeables, déterminer la 

fonction décrivant l’onde de courant sur la ligne, et faire le graphique de cette 

fonction à l’instant t = 1 μs.


6.9 Fonctions d'onde. Puissance 

À l'extrémité x = 0 d'une ligne semi-infinie sans perte, d'impédance 

caractéristique Z o = 50 ohms, on applique une tension 

v (t) = 5 U(t ) – 5 U(t – 10 8 ) volts , où t est en secondes. 

a) Représenter cette fonction. La vitesse de propagation u = c, celle dans le 

vide. 

b) Déterminer la fonction d'onde de tension sur la ligne. Faire une figure. 

c) Écrire la fonction d'onde de courant. 

Rép.: i (x,t) = 0.1 U(t – 3.33· 10 9 x) – 0.1 U(t – 3.33· 10 9 x – 10 8 ) A 

d) Établir l'expression de la puissance fournie par la source et celle de la 

puissance sur la ligne. 

Rép.: PS = 0.5 U(t) – 0.5 U(t – 10 8 ) W 

P (x,t) = 0.5 U(t – x/v) – 0.5 U(t – x/v – 10 8 ) W 

6.10 Décharge d’un condensateur dans une ligne 

La figure ci-contre représente un condensateur C chargé initialement à la 

tension Vo qui est relié à l’entrée d’une ligne RG-58C/U très longue par 

l’intermédiaire d’un interrupteur analogique K dont la résistance interne est 

négligeable à l’état «fermé», et extrêmement élevée à l’état «ouvert». 

+ 

V o 

K 

RG-58C/U 

C Z o u 

x = 0 

a) Si l’interrupteur est fermé à l’instant t = 0, trouver l’expression complète 

de la tension sur la ligne en tout temps, c’est-à-dire la fonction d’onde. 

Exposer clairement la méthode et les hypothèses utilisées. 

b) Faire le graphique de la tension à l’entrée de la ligne en fonction du 

temps, ainsi que celui de la tension sur la ligne à l’instant 2τ, où τ est la 

constante de temps du système. Vous exprimerez celle-ci en fonction des 

paramètres donnés. 

c) Quelle est l'expression de l'onde de courant ?

6.11 Onde de courant et onde de tension 


Le système représenté ci-contre est formé d'une bobine d'inductance L sans 

résistance, parcourue par un courant initial Io et placée à l'entrée d'une ligne 

électrique très longue d'impédance caractéristique Zo. Le courant est fourni 

par une source de courant en parallèle avec une résistance R non nulle. Si 

l'interrupteur K s'ouvre à l'instant t = 0, décrire l'onde 

I o 

t = 0 

K 

A 

R L 

de courant qui se propage sur la ligne. 

Application numérique: Z o = 50 ohms, u = 2c/3, I o = 1 A, R = 10 ohms, 

L = 1 μH 

6.12 Réflexions multiples 

Considérer la ligne sans pertes représentée ci-contre qui est initialement non 

chargée. 

a) Évaluer les coefficients de réflexion de tension et de courant aux deux 

extrémités. 

R: ρsv = –ρsi = –0,667 

b) Écrire la fonction décrivant la première onde de tension partant de 

l'origine et celle de la première onde réfléchie au récepteur. 

Rép.: V 1 x,t = 0,833 Ut + 3,33· 10 9 x – 2·10 6 V 

c) Quelle est l'expression générale de la ne onde de tension partant de la 

source? 

15 Ω 

+ 

2 V 

B 

Z = 75 Ω 

o 

8 

v = 3·10 m/s 

0 d = 300 m 

Z o 

u 

R = 

r 

225 Ω


n 1 n 1 

Rép.: Vn+ (x,t) = ρs ρr U [t – x/v – 2(n – 1)τ ] V où τ est le temps 

que met une onde à parcourir la ligne. 

d) Faire le graphique en zigzag de la tension sur la ligne jusqu'au temps 

t = 8t . 

e) Faire le graphique de v(0,t) et de v(300,t) de t = 0 à t = 8τ. 

6.13 Réflexions multiples. Lignes raccordées 

+ 

2Z o1 

t = 0 

V o Z o1 Z o2 = 2Z o1 

0 

A 

B 

3Z o1 

La ligne de transmission ci-dessus est formée de deux lignes sans perte 

d'égale longueur et d'impédances caractéristiques différentes raccordées en 

série. Le temps de propagation sur chaque section est le même. 

a) Évaluer les coefficients de réflexion de tension et de courant à chaque 

extrémité. 

b) Trouver les coefficients de réflexion et de transmission à la jonction des 

deux lignes pour les ondes : 

1. allant de gauche à droite 

2. allant de droite à gauche. 

Rép.: ρ11 = –ρ22 = 1/3 ρ21 = 2/3 

6.14 Mesure d’impulsions au laboratoire 

On réalise au laboratoire le dispositif illustré ci-dessous pour étudier la 

propagation des impulsions sur les lignes électriques; la deuxième ligne est 

ouverte en C. La tension vo (t) illustrée est mesurée à la sortie du générateur 

G avant de le raccorder à la ligne. La période de répétition T des impulsions 

rectangulaires est très supérieure aux temps de propagation sur les lignes. 

L’oscilloscope permet de voir et de mesurer la tension électrique ve (t) à 

l’entrée A de la première ligne, et l’impédance d’entrée de l’oscilloscope est de 

l’ordre de 10 MΩ.


Déterminer la tension qu’on doit voir et mesurer à l’oscilloscope dans un 

intervalle d’environ 500 ns. Décrire clairement les étapes du raisonnement et 

les calculs. Faire un graphique à l’échelle. 

G 

R g = 50 ohms 

vo(t) 4 

(volts) 

0 

A 

20 ns 

Oscilloscope 

RG-58C/U 

u 1 = 2c/3 

a 1 = 10 m 

T 

B RG-59/U C 

Z o1 = 50 ohms Z o2 = 75 ohms 

6.15 Trois lignes raccordées - Réflexions multiples 

u 2 = 2c/3 

a 2 = 15 m 

Une ligne téléphonique en deux parties 1 et 2 de même longueur a, est reliée 

à une source de tension en échelon vs(t) = VoU(t). Une ligne 3 de même 

longueur a, mais d’impédance caractéristique double (2Z o ) est branchée au 

point milieu B. La ligne 3 étant terminée par une résistance de valeur Zo , 

déterminer la tension en C en fonction du temps (graphique) jusqu’à l’arrivée 

du premier écho (t = 5τ + ), utilisant particulièrement un diagramme en zigzag. 

Bien décrire les différentes étapes de la solution. 

Z s= Z o 

v s(t) 

A 

1 2 

Z o 

u a 

Z o 

u 

B C 

2Z o 

a 

3 

Z o 

u a 

t 

Z r = Z o


6.16 Adaptation d'impédances 

On raccorde une première ligne de transmission sans perte, d'impédance 

caractéristique Zo1 à une deuxième d'impédance Zo2 par l'intermédiaire d'un 

adaptateur d'impédance formé de deux résistances R1 et R2 comme illustré. 

Notons que R1 se place du côté de la ligne d'impédance la plus élevée. 

L'excitation vs appliquée à l'origine est de la forme: vs(t) = Vs U(t) volts , 

où U(t) est la fonction échelon unité. 

a) Évaluer les résistances R 1 et R 2 qui réalisent l'adaptation des deux 

lignes. 

Rép.: 86,60 et 43,30 ohms. 

b) Démontrer que l'adaptateur produit une atténuation de 5,71 décibels 

(dB) de la puissance d'une onde incidente d'un côté ou de l'autre. 

c) Faire le graphique en zigzag de la tension sur les lignes. 

d) Faire le graphique de la tension aux bornes AB de la source en fonction 

du temps, ainsi que celui de la tension à l'extrémité ouverte, directement 

sous le premier. 

Rs + 

vs A 

B 

x = 0 

6.17 Lignes multiples 

Zo1 u1 R1 R2 x = d 1 

Zo2 < Zo1 u2 Rs = Zo1 = 75 ohms u1 = 2·10 8 m/s 

d1 = 80 m d2 = 125 mètres 

u2 = 1.25 u1 Zo2 = 50 ohms 

x = d 2 

La ligne sans perte 1 est raccordée de la façon illustrée à deux autres lignes 

d'inégale longueur et de même impédance caractéristique. Déterminer la 

tension à l'entrée AB dans l'intervalle 0 < t < 6 τ.

Suggestion : 

Considérer trois diagrammes en zigzag côte à côte. 

Z o /2 

+ 

vs A 

B 

x = 0 

6.18 Récepteurs réactifs 

Z o = 50 Ω 

u 

1 

τ 1 = τ 2 = 0.75τ 3 


3 

2 

Zo u 

u 

Z o 

200 Ω 

100 Ω 

Décrire de façon qualitative, avec des figures, la réflexion d'une onde de 

tension électrique sur une ligne, une impulsion par exemple, par : 

a) Un récepteur purement capacitif de capacité électrique C. 

b) Un récepteur purement inductif d’inductance L. 

c) Un récepteur formé d'un condensateur C en parallèle avec une résistance 

R. 

d) Un récepteur formé d'une condensateur C en série avec une résistance R. 

e) Un récepteur formé d'une inductance L en série avec une résistance R. 

f) Discuter de la technique appelée réflectométrie à partir des analyses 

précédentes.


6.19 Ligne avec condensateur 

Un condensateur initialement déchargé de capacité C se trouve en parallèle 

sur une ligne comme illustré ci-dessous qui relie deux appareils: v(0,0) = 0. 

Si une onde de tension en échelon v(x,t) = VoU(t - x/u) venant de la gauche 

arrive en 0 à t = 0, décrire qualitativement et graphiquement la tension sur 

la ligne au voisinage du condensateur à t > 0. 

Z o 

V o 

6.20 Ligne avec courant initial 

u 

0 

u C Zo u 

L'interrupteur K à l'entrée de la ligne illustrée ci-dessous est fermé depuis 

longtemps, de sorte qu'un courant continu a pu s'établir. Si la ligne est 

supposée sans pertes : 

a) Décrire ce qui se passe après l'ouverture de K à t = 0 . 

b) Faire un graphique de la tension en fonction du temps en x = 0. 

c) Faire un graphique du courant en fonction du temps en x = 200 km. 

+ 

100 kV 

K 

t = 0 

Z o = 300 Ω 

u = c 

x = 200 km 

50 Ω 

Cette analyse illustre le phénomène important qui se produit à l’ouverture 

du disjoncteur d’une ligne à haute tension.

6.21 Ligne initialement chargée • Générateur d'impulsions 


Analysez le générateur d'impulsions courtes représenté dans la figure cicontre. 

Il représente une ligne de longueur a qui est continuellement chargée 

par une source de tension Vs à travers une résistance R2 qui est très grande 

par rapport à la résistance de charge R1 et à l'impédance caractéristique Zo. 

K est un interrupteur électronique (analogique) qui présente une résistance 

négligeable quand il est fermé et une résistance quasi-infinie à l'état ouvert. 

V s = +10 V 

R1 = 

50 Ω 

K 

R 2 = 100 kΩ 

A 

B 

Zo = 50 Ω 

u = 2c/3 

a = 2 m 

Les temps de fermeture et d'ouverture de K sont égaux et sa période cyclique 

est T. La capacité linéique de la ligne est C = 100 pF/m. Discutez des 

avantages et des inconvénients d'un tel générateur d'impulsions courtes. 

Proposez des améliorations si vous en voyez. 

6.22 Ligne avec courant initial • Générateur d'impulsions 

Le système illustré ci-dessous est formé d'une ligne électrique terminée à 

chaque extrémité par une résistance égale au double de son impédance 

caractéristique. Une source de tension de résistance interne égale à Zo est 

reliée depuis longtemps à la ligne. L'interrupteur K est ouvert à t = 0. 

Z o 

V s 

K 

+ 

2Z o 

x = 0 

u 

Zo α ≈ 0 

x = a 

a) Trouver l'expression du courant initial fourni par la source Iso et celle du 

courant initial circulant sur la ligne Io. 

b) Faire un diagramme en zigzag de la tension sur la ligne en y inscrivant 

les valeurs en fonction de Vs. On aura évalué les coefficients de réflexion. 

c) Faire la graphique de la tension à l'entrée dans un intervalle de 6T. 

2Z o

7 

Lignes semi-infinies avec pertes 

Régime harmonique 

Nous considérons ici les lignes de longueur infinie avec une entrée où se 

raccorde une source : on les appelle lignes semi-infinies pour cette raison. 

L’étude est faite en régime harmonique pour des lignes ayant des pertes, 

c'est-à-dire dont la résistance linéique et la conductance linéique ne sont pas 

nulles. 

7.1 Équation d'onde - Amplitude complexe 

Nous avons vu plus haut que l'équation générale décrivant la tension sur 

une ligne était de la forme suivante : 

∂ 2 v 

∂v 

R G v + (RC + L G) 

∂x2 ∂t + LC ∂2v ∂t 2 

(7.1.1) 

Or, nous savons qu'en régime harmonique, à la fréquence f = ω /2π, la 

tension v peut être considérée comme la partie réelle d'une fonction 

exponentielle complexe, en vertu du théorème d'Euler : 

v (x,t) Ré v (x,t) Ré V (x) e jω t Ré V(x) e j(ω t + φ) (7.1.2) 

où V(x) est l’amplitude complexe de l’onde en fonction de x. Remplaçons v (x,t) 

dans (7.1.1) par la fonction complexe v (x,t) V (x) e jω t . Alors : 

d 2 V 

dx 2 ejω t = R G V e jω t + j ω RC + L G V e jω t – ω 2 LC V e jw t (7.1.3) 

divisant les deux membres par e jω t et regroupant :

Ou encore : 

d 2 V 

dx 2 R G ω2 LC + j ω RC + L G V (7.1.4) 

d 2 V 

R + j ω L G + j ω C V (7.1.5) 

2 

dx 

Pour simplifier, posons γ R + j ω L G + j ω C 

(7.1.6) 

C'est la fonction de propagation complexe. On voit qu’elle dépend de la 

fréquence. 

Définissons : 

Z R + j ω L, l'impédance linéique de la ligne. (7.1.7) 

et Y G + jω C, l'admittance linéique de la ligne. (7.1.8) 

Alors : 

Puis : 

γ Z Y (7.1.9) 

d2 V 

dx 2 γ2 V 0 (7.1.10) 

C'est l'équation de propagation de l'amplitude complexe de la tension 

électrique. 

Autre approche 

En régime harmonique, un élément de ligne peut se représenter comme dans 

la figure 7.1.1(a) ou (b). Il est alors facile d'en tirer cette dernière équation de 

propagation. En effet, d'après cette figure, 

dV = – Z I dx (7.1.11) 

dI = – Y V dx (7.1.12)

D'où : 

I 

R dx jωL dx 

I + dI 

I Z dx I + dI 

V jωC dx G dx V + dV V Y dx V + dV 

(a) (b) 

Figure 7.1.1 Élément de ligne en régime harmonique 

Dérivons (7.1.13) par rapport à x : 

dV 

dx Z I (7.1.13) 

dI 

dx YV (7.1.14) 

d 2 V 

dx2 

En portant (7.1.14) dans cette dernière, on obtient : 

-dI 

Z dI 

dx 

d 2 V 

dx2 Z Y V γ 2 V (7.1.15) 

7.2 Fonctions d'onde - Atténuation 

Cette dernière équation est de la forme rencontrée précédemment dans le cas 

des ondes planes sauf pour le signe. Elle peut donc avoir une solution de la 

même forme : 

V (x) V + e γ x + V- e +γ x 

(7.2.1) 

ce qui se vérifie facilement par substitution. Cette fonction décrit les 

amplitudes complexes de deux ondes : une dans le sens positif de x, l’autre 

dans le sens négatif. Les constantes V + et V- sont des grandeurs complexes 

de façon générale, les amplitudes complexes à l’origine (phaseurs) : 

V + V + e jφ + et V - V -e jφ – .

Comme γ est complexe, on peut poser : 

7 Lignes semi-infinies avec pertes 201 

γ = α + j k 1 (7.2.2) 

où α est le coefficient d’atténuation de la ligne ; k est la constante de 

phase. Notons que γ est une grandeur semblable à la fonction de 

propagation complexe k vue dans le cas des ondes planes se propageant 

dans un milieu avec pertes 2 . L'expression (7.2.1) devient alors : 

V (x) V + e α x e j( kx + φ+) + V- e +α xe j(kx + φ ) (7.2.3) 

Chaque terme du second membre représente une amplitude complexe 

fonction de x. Les constantes V + et V – sont les amplitudes complexes à 

l’origine (x = 0) : on écrit également V + (0) et V (0), ou encore Vo+ et Vo– pour 

éviter toute confusion. On obtient l'expression de la fonction d'onde complexe, 

une fonction de x et t, en multipliant cette dernière par ejω t , d’après la 

relation (7.1.4) : 

v (x,t) V o+ e α x e j(ω t kx + φ +) + V o e +α x e j(ω t + kx + φ ) (7.2.4) 

Puis, sous forme réelle : 

v (x,t) = V o+ e α x cos (ω t – kx + φ + ) + V o e +α x cos (ω t + kx + φ ) (7.2.5) 

Nous reconnaissons la somme ou la superposition d'une onde qui se propage 

dans le sens positif de X et d'une autre dans le sens négatif (2e terme). Les 

phases initiales à l’origine φ + et φ− dépendent du choix du référentiel et des 

conditions particulières du problème à traiter. 


O n sa it déjà qu e la vitesse de pro pa gat io n o u vit esse de phase de cett e o nde u 

(ou u p) est donnée par : 

u ω 

k 

1 Au lieu du symbole k, on utilise aussi souvent la lettre grecque β. 

2 On peut vérifier facilement que jk = γ. 

(7.2.6)


Onde dans le sens positif 

Examinons l’amplitude complexe d’une onde sinusoïdale qui se propage 

dans le sens positif. C’est le premier terme de l’expression (7.2.3) : 

V+(x) V+(0) e α x e j( kx + φ+) (7.2.7) 

On voit que son module diminue exponentiellement avec x : V +(0) e αx . On 

sait déjà que k = 2π /λ. Donc, à chaque fois que x augmente d’une longueur 

d’onde λ, le phaseur tourne de 2π radians dans le plan complexe et dans le 

sens négatif. Son module diminue à cause de l’atténuation. La figure 7.2.1 

illustre ce fait à l’instant t = 0, montrant que φ + est la phase initiale de la 

vibration : c’est la représentation du phaseur V à un instant donné en 

différents points de l’axe X espacés d’un quart de longueur d’onde. La 

pulsation ω est la vitesse de rotation du vecteur de Fresnel ou phaseur en un 

point donné. Rappelons que : 

k 2π/λ λf u f 1/T ω 2πf k ω/u (7.2.8) 

où u est la vitesse de phase de l’onde, T est la période de la vibration. 

PLAN COMPLEXE 

ω V 

+ 

(x) 

ω ω 

φ + 

φ 

− kz 1 V (x) X 

+ 

− kz + φ + 

0 λ/4 λ/2 3λ/4 λ 5λ/4 

Figure 7.2.1 Variation de l’amplitude complexe de la tension avec x 

La tension électrique réelle sur la ligne à l’instant t est donnée par la 

fonction d’onde 

v + (x,t) V+(0) e α x cos (ω t kx + φ+) (7.2.9)


laquelle est représentée à la figure 7.2.2 pour des valeurs quelconques de t, 

α, ω, k et φ + . 

Népers et décibels 

Il est pratique de mesurer le rapport de deux grandeurs au moyen du 

logarithme de ce rapport. On obtient alors des nombres moins élevés d’une 

part, et cela simplifie certaines opérations comme le calcul du gain d’une 

chaîne d’appareils. 

Considérons deux valeurs A1 et A 2 d’une certaine grandeur A. Cela peut 

être, par exemple, l’amplitude d’une onde de tension électrique en deux 

points d’une ligne. Le rapport en népers (Np) 3 de A2 à A1 est défini comme : 

de sorte que : 

rNp ln A 2 

A 1 

(7.2.10) 

A 2 A 1 e rNp ou A 1 A 2 e -rNp (7.2.11) 

Si A 2 < A 1 , r Np est négatif. 

v(x,t) 

1 

Amplitude de la tension 

(unités arbitraire) 

0 

1 

t 

t + Δt 

Enveloppe supérieure 

λ 

Figure 7.2.2 Onde atténuée dans le sens positif de x 

v 

Enveloppe inférieure 

3 D’après John NAPIER ou NEPER, mathématicien écossais (1550 - 1617) qui inventa les logarithmes dits népériens qui 

trouvèrent une application immédiate dans divers calculs, particulièrement en astronomie. 

x


Nous avons vu plus haut que l’amplitude d’une onde qui se propage dans un 

milieu avec pertes décroît exponentiellement : V(x) Vo e-αx . On voit 

ainsi que -αx est le rapport en népers de V(x)/Vo , x étant la distance entre 

l’origine et un certain point sur la ligne. C’est pourquoi le coefficient 

d’atténuation α se mesure en Np/m. D’autre part le rapport A2 /A1 de deux 

tensions ou de deux courant électriques (ou de deux valeurs de champ 

électrique, etc.) en décibel (dB) 4 , est défini au moyen du logarithme 

décimal : 

d’où : A 2 A 1 10 rdB/20 

rdB 20 log10 A 2 

A 1 

(7.2.12) 

Le rapport de deux puissances P2/P1 en décibels est alors défini comme 

suit : rdB 10 log10 P2 

P1 

(7.2.13) 

On obtient facilement la correspondance entre décibels et népers en portant 

la relation (7.2.11) dans (7.2.12) : 

rdB 20 log10 e rNp 20rNp log10e 

7.3 Analyse de la fonction γ 

Ligne sans perte 

r dB 8,686 r Np 

(7.2.14) 

Dans ce cas, R = 0, G = 0, et γ (R + j ω L) (G + j ω C) (Équation 

7.1.6) se réduit à : 

γ jω LC j ω u 

j k (7.3.1) 

4 1 décibel (dB) = 0,1 bel (B), cette dernière unité, le bel, qui n’est pas utilisée, est nommée d’après Alexander Graham BELL 

(1847 - 1922), l’inventeur du téléphone.


Mais une ligne vraiment sans perte n’existe pas. Toutefois, dans le cas de 

lignes relativement courtes, on peut souvent faire cette approximation. 

Ligne avec pertes 

En général, on calcule la fonction de propagation γ à partir de son expression 

exacte (7.1.6) : 

γ (R + j ω L) (G + j ω C) (7.1.6) 

Sa partie réelle est le coefficient d'atténuation α et sa partie imaginaire 

donne la constante de phase k. C'est un calcul facile à faire avec toute 

calculatrice scientifique ou ordinateur. 

Fréquence de transition 

La fréquence de transition ft est celle à laquelle R = ω tL : ft = ωt/2π. D’autre 

part, en pratique, la conductance linéique G est généralement négligeable 

devant jωC, sauf aux très hautes fréquences. Pour une ligne donnée, on peut 

dire que le domaine des «hautes fréquences» commence vers 10ft. Exemple 7.3.1 Fonction γ et vitesse de phase 

Considérons un câble coaxial RG-58C/U (voir tableau 6.4.1 et annexe) 

utilisé dans l’intervalle de fréquence allant de 100 Hz à 100 kHz. En 

pratique, la résistance linéique change sensiblement dans cet intervalle, 

mais nous supposerons pour le moment une valeur constante de 0,04 

ohms/m. On connaît la capacité linéique : C = 92,4 pF/m. La conductance 

linéique est essentiellement nulle. On tire l’inductance linéique de 

l’expression de l’impédance caractéristique à haute fréquence, Zo = L/C : 

L = Zo 2 C = 53 2 × 92,4· 10 12 = 260 nH/m 

On porte ces valeurs de paramètres dans l’expression de γ (7.1.6) pour 

l’évaluer. On peut calculer la fréquence de transition : 

ft = ωt = R 

2π 2πL 

= 24,5 kHz


On remarque la variation considérable de la vitesse de phase dans cet 

intervalle : c’est un milieu dispersif. Les conséquences sont importantes en 

téléphonie : distorsion de phase.

d) 

10- 8 u [m/s] 

0 

2 

1 

10 2 

Approximations 



10 

Fréquence [Hz] 

3 104 105 Figure 7.3.1 Fonction de propagation et vitesse de phase 

Approximations utiles en hautes fréquences 

Les pertes en cours de propagation le long d’une ligne sont causés par les 

paramètres linéiques R et G. Or ceux-ci dépendent de la fréquence en 

pratique : on ne peut généralement pas les considérer comme constants, 

sauf dans un intervalle de fréquence limité. Il importe d’examiner comment 

varient les paramètres linéiques avec la fréquence. Trouvons premièrement 

quelques approximations utiles de γ en fonction des paramètres R, L, G et C. 

Vu que γ = α + jk, il s’ensuit que α et k sont fonctions de la fréquence et des 

paramètres répartis. Pour obtenir ces deux grandeurs, on doit calculer γ et 

en tirer ses parties réelle et imaginaire. Il est intéressant de considérer une 

approximation qu’on peut faire quand f > 2ft . Dans l’expression (7.1.6), après 

avoir mis en facteurs jωL et jωC sous le radical, on obtient : 

γ = jω LC 1 + R 

jω L 

1 + G 

jω C 

D’après la formule du binôme de Newton : 

1/2 

= jω LC 1 + R + 

jω L G – RG 

jω C ω2 1/2 

(7.3.2) 

LC 

(1 ± x) n = 1 ± nx + 

n(n - 1) 

2! 

x 2 ± ... ,


en posant x = 1 

jω R L + G C 

– RG 

ω2LC qui est > ωt) 

C 

D’où on tire des expressions approximatives de α et k . La précision est 

supérieure à 0,5 % en négligeant les termes d’ordre supérieur à 2, pour 

f ≥ 2ft : 

α ≈ LC 

2 R L + G C 1 + 1 2 RG 

ω 2LC 

k ≈ ω LC 1 + 1 R 

8ω2 L 

– G 2 

(ω ≥ 2ωt) 

C 

(7.3.3) 

(7.3.4) 

Cette dernière expression montre particulièrement qu’à haute fréquence, la 

constante de phase k tend vers sa valeur sur une ligne sans perte ω LC. À 

haute fréquence (2f t < f ), le coefficient d’atténuation tend vers la valeur : 

α ≈ LC 

2 R L + G C (ω >> ωt) (7.3.5) 

Or, on vérifie qu’en pratique R/L >> G/C dans une gamme étendue de 

fréquences comprises approximativement entre 2ft et 10 000ft , dans le cas 

de bons diélectriques comme le polyéthylène, de sorte que : 

α ≈ R 

2 C 

L ≈ 

R 

2 L/C 

≈ R 

2Zo 

2ft < f < 10 000ft (7.3.6) 

On peut souligner l’analogie entre cette expression et celle du coefficient 

d’atténuation d’une onde plane dans un diélectrique à faibles pertes vue 

σ' η 

précédemment : α = , où σ' et η sont respectivement la conductivité 

2 

effective et l’impédance caractéristique du diélectrique. 

Comme k = ω /u , on obtient une expression approximative de la vitesse de 

phase u en haute fréquence à partir de l’équation 7.9.4 :

u ≈ 

1 

LC 1 + 1 R 

2 

8ω L G 

C 


2 (ω > 2ωt) (7.3.7) 

En pratique, pour les lignes courantes, G/C 2ωt) (7.3.8) 

Ce résultat est comparé celui de la formule exacte (supposant R, L, G et C 

constants) dans la figure 7.3.2, avec les données de l’exemple précédent. À 

des fréquences relativement élevées, la vitesse de phase tend vers une limite 

essentiellement déterminée par la capacité et l’inductance distribuées, 

indépendante des pertes : 

10 8 u [m/s] 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

u ≈ 1 

LC ω ≥ 2ω t 


Exact 

Approximatif 

(7.3.9) 

0 

102 103 104 105 Fréquence [Hz] 

Figure 7.3.2 Comparaison des calculs exact et approximatif de u. (voir exemple 7.3.1)


Approximations utiles en basses fréquences 

Mettons en facteurs R et G dans l’expression γ = (R + jω L) (G + jω C) : 

jω L 

γ = RG 1 + 

R 

1/2 

jω C 

1 + 

G 

1/2 

En développant par le binôme de Newton et en retenant seulement les 

termes d’ordre 1 et 2, on obtient l’approximation suivante : 

γ ≈ RG 1 + ω2 

8 L 

R 

– C 

G 

2 + j ω 2 L 

R 

+ C 

G 

1 + ω2 

8 LC 

RG (7.3.10) 

D’où les expressions approximatives du coefficient d’atténuation et de la 

vitesse de phase : 

α ≈ RG 1 + ω2 

8 L R 

2 

u ≈ 

RG L R + C G 

– C 2 

G ω < ωt/5 (7.3.11) 

1 + ω2 

8 LC 

RG 

ω < ωt/5 (7.3.12) 

Quand la fréquence tend vers zéro, considérant qu’en pratique C/G >> L/R, 

les limites sont : 

α ≈ RG (7.3.13) 

u ≈ 2 C G R (7.3.14) 

C’est un résultat remarquable en ce sens que l’atténuation et la vitesse de 

phase tendent vers zéro quand la conductance linéique G s’annule ! Mais il 

faut remarquer que la conductance linéique G est une grandeur qui fluctue 

beaucoup en pratique, car elle dépend particulièrement de la température et 

de l’humidité ambiante. L’atténuation et la vitesse de phase aux très basses 

fréquences sont donc mal définies. Mais cela n’a pas d’importance en 

pratique dans les systèmes de communication modernes où on utilise des 

signaux à hautes fréquences.

7.4 Paramètres linéiques 

Effet de la fréquence 

Résistance linéique 

Conducteur cylindrique 


La résistance linéique dépend de la fréquence à cause de l’effet 

pelliculaire : le courant est repoussé vers la surface des conducteurs à 

mesure que la fréquence augmente. Donc, la section de passage du courant 

diminue, d’où l’augmentation de la résistance. 

La figure 7.4.1 ci-contre représente une portion de conducteur cylindrique 

de rayon a parcouru par un courant alternatif de fréquence f perpendiculaire 

au plan de la figure. L’étude de l’effet pelliculaire a permis de démontrer que 

la pénétration du courant et du champ électromagnétique à la surface d’un 

conducteur est la grandeur δ définie comme : 

δ = 

où σ et μ sont respectivement la 

conductivité électrique et la perméabilité 

magnétique du conducteur. Dans 

le cas où le rayon de courbure a du 

conducteur est grand devant δ, on 

démontre que la densité de courant J 

varie exponentiellement avec la 

profondeur p à partir de la surface : 

2 

ωσμ 

p 

Figure 7.4.1 

δ 

(7.4.1) 

J(p) JS e -p/δ (7.4.2)


À la profondeur p = δ, J(δ) JS e -1 ≈ 0,368 JS . Rappelons que les modules du 

champ électrique E et du champ magnétique H varient de la même façon 

avec la profondeur p. On démontre également que si δ



Ce dernier raisonnement s’applique en haute fréquence à une ligne bifilaire 

(fig. 7.4.3) dont les conducteurs sont de faible diamètre 2a devant leur 

séparation 2d. Autour de chaque conducteur, le champ électrique est 

pratiquement radial, et la pénétration δ du courant pratiquement uniforme 

sur la circonférence 5 . La résistance linéique d’une telle ligne s’exprime alors 

comme : 

R ≈ 

1 

πσ aδ 

≈ 1 

πa 

ωμ 

2σ 

≈ 1 

πa 

πfμ 

σ 

(7.4.7) 

Ce qui montre que la résistance linéique de la ligne augmente comme la 

racine carrée de la fréquence f de l’onde qui se propage. À très basse 

fréquence, la résistance se réduit à celle en courant continu : 

D’où le rapport : 

c 

a 

b 

δ 

ε 

μ 

Ro 

R 

Ro 

1 

2πa 2 σ 

≈ 2a 

δ 

a 

δ δ 

ε 

μ 

a 

2d 

Figure 7.4.2 Ligne coaxiale Figure 7.4.3 Ligne bifilaire 

(7.4.8) 

(7.4.9) 

5 Dans la figure, les conducteurs sont relativement près l’un de l’autre : dans ce cas, il y a un effet de proximité qui cause une plus 

grande densité de courant sur les surfaces adjacentes, tel qu’illustré. Cet effet est causé par une plus grande intensité du champ 

électromagnétique au voisinage des surfaces adjacentes.


Exemple 7.4.1 Résistance linéique 

VARIATION AVEC LA FRÉQUENCE. 

La conductivité du cuivre est de 5,7·107 S/m et sa perméabilité magnétique 

μ ≈μο = 4π·107 H/m. À 1 MHz, la pénétration du courant est donc : 

δ = 

2 

2π × 10 6 × 5,7⋅ 10 7 × 4π⋅ 10 7 

1/2 = 6,67⋅ 10 5 m = 66,7 μm 

ce qui est moins du sixième du rayon du conducteur central ou de 

l’épaisseur d’écran de la plupart des câbles coaxiaux, de sorte que 

l’approximation précédente s’applique. Par exemple, pour le câble RG-58/U, 

a = 0,407 mm, b = 1,475 mm. Au moyen de l’expression (7.4.4), on obtient 

sa résistance linéique : 

R = 

(1 + 0,407/1.475) 

2π × 5,7 ⋅ 107 × 0,407 ⋅ 10 3 ≈ 0,131 ohms/m 

× 66,7 ⋅ 10 6 

Vu la loi en f , cette résistance sera, par exemple, 4 fois plus grande à 16 

MHz, 10 fois plus grande à 100 MHz, etc. Les conséquences pratiques de ce 

phénomènes posent un des problèmes les plus importants dans le domaine 

de la transmission des signaux par lignes électriques, celui de leur 

atténuation considérable aux fréquences élevées. 

La résistance linéique à très basse fréquence ou en courant continu peut 

être calculée connaissant le rayon a du conducteur central, le rayon interne 

b de l’écran (conducteur externe) et son épaisseur. En supposant cette 

dernière égale à 0,3 mm, ce qui est près de la réalité, avec l’expression 

(7.4.5) : 

Ro = 

1 

π × 5,7 ⋅ 107 + 

1 

× 4,07 ⋅ 10 4 2 

π × 5,7 ⋅ 107 × 1,775 ⋅ 10 3 2 – 1,475 ⋅ 10 3 2 

Ro = 3,944 ⋅ 10 2 ohm/m 

On notera que cette valeur est environ 3 fois plus faible que celle calculée à 

1 MHz, ce qui démontre bien l’importance de l’effet pelliculaire.

Inductance linéique 

Ligne coaxiale 


L’inductance linéique est formée de deux termes, l’inductance interne et 

l’inductance externe : 

L Lint + Lext 

(7.4.10) 

Le premier terme est associé au flux magnétique dans les conducteurs, et le 

deuxième est associé au flux entre les conducteurs, hors des conducteurs. 

Pour un câble coaxial (fig 7.4.2), à une fréquence qui tend vers zéro, on 

démontre que : 

L μ 

2π 1 

4 + 

c4 (c2 b 2 ln ( c 

2 

) b ) 3c2 b 2 

4(c2 b 2 ) 

+ μo 

2π ln b a (7.4.11) 

où μ est la perméabilité magnétique du conducteur. Si, par exemple, μ = μ o , 

avec b/a = 2,71818 = e, et b ≈ c, on a Lext ≈ 4Lint. 

Quand l’effet pelliculaire augmente avec la fréquence, le courant est 

repoussé vers les surfaces des conducteurs qui se font face et le flux 

magnétique interne diminue. Donc, l’inductance interne diminue avec la 

fréquence. L’inductance externe reste constante. À très haute fréquence, 

quand la pellicule δ est très inférieure aux rayons et aux épaisseurs des 

conducteurs, l’inductance linéique devient pratiquement égale à l’inductance 

linéique externe : 


L ≈ Lext ≈ μο 

2π 

ln ( b) [H/m] (7.4.12) 

a 

Dans le cas où les deux fils sont relativement éloignés (d >> a, voir fig. 7.4.3), 

l'inductance interne linéique à très basses fréquences est donnée par : 

L i = μ 

8π [H m -1 ] (7.4.13)


On démontre aussi que l'inductance linéique externe est donnée par : 

L e μ 

π cosh-1d a 

≈ μ 

π ln 2d a 

[H/m] si d >> a 

À hautes fréquences, l'inductance interne devient négligeable devant Le, de 

sorte que l'inductance linéique se réduit à : 

On démontre aussi que : 

L ≈ μ 

π ln 2d a 

cosh -1d a ln K avec K d a 

[H/m] si d >> a (7.4.14a) 

1 (a/d) 

On en tire une expression valide pour tout rapport de d/a à hautes 

fréquences : 

Capacité linéique 


L μ 

ln K [H/m] exactement (7.4.14b) 

π 

Considérons le cas de la ligne coaxiale (fig. 7.4.2). La capacité linéique à 

haute fréquence est donnée par la même expression qu’en courant continu : 

C 

2πε' 

ln (b/a) 

F/m (7.4.15) 

où la permittivité ε ' du diélectrique est pratiquement indépendante de la 

fréquence pour les diélectriques utilisés couramment.



Pour une ligne bifilaire (fig. 7.4.3), la capacité linéique est celle démontrée en 

électrostatique : 

C 

πε' 

cosh -1 (d/a) 

L’approximation est valide si d >> a. 

Conductance linéique 

πε' 

ln K ≈ 

πε' 

ln(2 d/a) [F/m] (7.4.16) 

En régime sinusoïdal, le diélectrique est caractérisé par sa conductivité 

effective : 

σe = σ + ω ε" (7.4.17) 

où ε” est la partie imaginaire de la permittivité complexe : ε = ε’ - jε”. Elle est 

reliée aux pertes par hystérésis dans le diélectrique. En pratique, la 

conductivité σ du diélectrique est négligeable devant ωε" , de sorte que 

σe ≈ ω ε" . Dans ce cas, le facteur de pertes FP ≈ tg δ p = σe/ω ε' ≈ ε”/ε’ 7 . δp est l’angle de pertes ici. Il s’ensuit que la conductivité effective peut s’écrire 

comme suit : 

σ e ≈ ω ε' tg δ p 

Or, on sait qu’il existe la relation fondamentale suivante entre la capacité 

d’un système de deux conducteurs et la conductance entre ces deux mêmes 

conducteurs quand le diélectrique de permittivité ε’ est remplacé par un 

milieu conducteur de conductivité σe : 

6 

G/C = σ e /ε’ 

Ne pas confondre ici la pénétration du courant δ avec l’angle de pertes δ p .


Pour une ligne coaxiale, on a par conséquent : 

G 

2πσe 

ln (b/a) 

= 2πωε' tg δp 

ln (b/a) 

Mais, vu que la capacité a comme expression C 2πε' 

ln ( b/a) 

finalement : 

G ω C tg δ p 

Atténuation en fonction de la fréquence 

(7.4.18) 

, on a 

(7.4.19) 

À la section 7.3, on a vu que le coefficient d’atténuation des ondes sur une 

ligne électrique avait une expression particulièrement simple en pratique 

quand la fréquence est très supérieure à la fréquence de transition ft 

(équation 7.3.6) : 

α ≈ R 

2Zo (7.4.20) 

Dans la section suivante, il est démontré que l’impédance caractéristique Zo 

se réduit à celle d’une ligne sans pertes dans ce cas : elle est résistive et 

constante. D’autre part, la résistance linéique R à haute fréquence (faible 

pénétration ) est donnée par les expressions 7.4.5 et 7.4.7 pour une ligne 

coaxiale et une ligne bifilaire respectivement. Dans ces expressions, seule la 

fréquence f est variable. On peut donc écrire : 

et 

R ≈ 1 + a/b 

2πa 

R ≈ 1 

πa πμ 

σ 

πμ 

σ f ≈ A f (cable coaxial) (7.4.21) 

f ≈ B f 

(ligne bifilaire) (7.4.22) 

Le coefficient d’atténuation d’une ligne coaxiale peut donc s’écrire comme 

suit : 

Et celui d’une ligne bifilaire : 

α ≈ A 

2Zo 

α ≈ B 

2Zo 

f ≈ A' f 

f ≈ B' f 

(7.4.23) 

(7.4.24)


Cette loi simple permet de calculer l’atténuation à toute fréquence élevée 

connaissant sa valeur α à une fréquence de référence fo. En effet, pour le 

o 

câble coaxial à cette dernière fréquence : 

αo ≈ A' fo 

Divisons l’expression 7.4.23 par cette dernière : 

α 

αo 

D’où, finalement la loi très simple : 

≈ A' f 

A' fo 

= 

α ≈ αo f/fo 

De même pour la ligne bifilaire ou toute autre ligne électrique. 

f 

fo 

(7.4.25) 

En général, l’effet de la conductance linéique est faible devant celui de la 

résistance linéique, de sorte qu’il est négligé le plus souvent. 

Exemple 7.4.2 Calcul d'atténuation 

Si le fabricant du câble RG-58/U donne la valeur de 92,4 pF/m pour la 

capacité linéique (annexe A), on peut déduire la permittivité relative 

ε' r = ε'/εo du diélectrique : 

ε' r = 

C ln (b/a) 

2πεo 

= 92,4 ⋅ 10 12 × ln (1,475/0,407) 

2π × 8,854 ⋅ 10 12 

= 2,139 

ce qui correspond bien à la valeur connue pour le diélectrique utilisé, le 

polyéthylène. 

On sait que le facteur de pertes du polyéthylène est d’environ 0,0005 sur 

une très grande étendue de fréquence jusqu’aux gigahertz. L’expression 

(7.4.19) nous fournit une valeur de la conductance linéique à 1 MHz : 

G = ω C tg δp = 2π × 10 6 × 92,4 ⋅ 10 12 × 0,0005 = 2,903 ⋅ 10 7 S/m 

On a calculé plus haut qu’à 1 MHz, R = 0,131 ohm/m, L = 260 nH/m et 

C = 92,4 pF/m. Calculons le coefficient d’atténuation au moyen de 

l’expression 7.3.3. Auparavant, évaluons R/L et G/C : 

R L = 5,038 ⋅ 10 5 G C 

= 3,142 ⋅ 103


Alors, α = 2,60 ⋅ 10 7 × 92,4 ⋅ 10 12 

2 

α = 1,242 ⋅ 10 3 Np/m 

× 5,038 ⋅ 10 5 + 3,142 ⋅ 10 3 

si on néglige G/C devant R/L, on calcule α = 1,235 ⋅ 10 3 Np/m , soit une 

différence d’environ 0,6% seulement. L’expression approximative (7.3.6) peut 

donc s’appliquer dans le cas présent 

7.5 Impédance caractéristique 

D’après l’équation (7.2.16), l’amplitude complexe de l’onde de tension dans le 

sens positif de z est V +(x) V + e γ x . On obtient l’expression de 

l’amplitude complexe du courant en portant cette dernière expression dans 

l’équation 7.1.13 qui relie la tension et le courant : 

I +(x) 1 

Z dV + 

dx γ 

Z V γ x 

+ e Y 

Z V + e γ x I + e γ x (7.5.1) 

Ou encore : 

En inversant : 

V +(x) 

I+(x) 

Ceci définit l’impédance caractéristique Zo de la ligne : 

Zo 

Z 

Y 

Y 

Z V +(x) (7.5.2) 

Z 

Y I+(x) Zo I+(x) (7.5.3) 

R + jωL 

G + jωC 

(7.5.4) 

On voit que cette grandeur complexe dépend des paramètres linéiques ainsi 

que de la pulsation de l’onde. Elle varie de façon importante au voisinage de 

la fréquence de transition ft. C’est le cas des lignes téléphoniques 

fonctionnant aux fréquences inférieures à 20 kHz, ce qui pose des problèmes 

importants sur de grandes distances.

Cas des hautes fréquences 


À des fréquences très supérieures à la fréquence de transition f t (celle à 

laquelle R = ω t L), l’impédance caractéristique devient indépendante de la 

fréquence. Dans ces conditions, elle tend vers la valeur des lignes sans 

pertes : 

Zo ≈ 

Cas des basses fréquences 

L 

C (f >> ft) (7.5.5) 

Quand la fréquence est très inférieure à la fréquence de transitions : 

Zo ≈ R G (f

Zo 

Arg (Zo) [dg] 

1000 

800 

600 

400 

200 

0 

0 

10 

20 

30 

40 

50 

10 1 

10 1 

10 2 

10 2 

Module de Zo [ohms] 

10 3 

10 4 


Argument de Zo 

10 3 

10 4 


10 5 

10 5 

Figure7.5.1 Variation de Zo du coaxial RG-58/U avec la fréquence 

7.6 Impédance caractéristique et 

paramètres géométriques 

Voyons comment l'impédance caractéristique d'une ligne aux pertes 

négligeables ou d’une ligne à haute fréquence dépend des paramètres 

géométriques, c'est-à-dire des dimensions, dans le cas de la ligne coaxiale et 

dans celui de la ligne bifilaire (fig. 7.6.1, 7.6.2). Pour le câble coaxial, le 

rayon externe c de l’écran est sans importance, vu que le courant circule sur 

la surface interne. 

10 6 

10 6



On sait que, à ces conditions, l'impédance caractéristique d'une telle ligne 

(fig. 7.6.1) est donnée par l’expression précédente (7.5.5), où L et C sont 

respectivement l'inductance et la capacité linéiques. Or, on connaît les 

expressions de ces dernières vues plus haut (éq. 7.4.12, 7.4.15) : 

L μ 

2π ln b a C 2πε 

ln ( b/a) 

Par substitution dans l’expression (7.5.5), on obtient : 

ε 

μ 

a 

b 

Zo 1 

2π 

μ 

ε ln b a 

(7.6.1) 

(7.6.2) 

a ε 

μ 

a 

Figure 7.6.1 Ligne coaxiale Figure 7.6.2 Ligne bifilaire 


À partir des expressions HF de C et L vues plus haut, on obtient : 

ou 

Zo 1 

π 

Zo ≈ 1 

π 

μ 

ε cosh-1 d a 

μ 

ε ln 2d a 

2d 

[Ω] (7.6.3) 

si d >> a (7.6.4)


Exemple 7.6.1 Calcul de paramètres divers 

Soit une ligne coaxiale de type RG-58/U comme dans l’exemple précédent. 

D’après la fiche technique d’un fabricant (Amphenol), a = 0,406 mm, 

b = 1,505 mm (fig. 7.6.1), εr = 2,20 (polyéthylène). Au moyen de l’expression 

(7.6.2), on peut vérifier que son impédance caractéristique à haute fréquence 

(f >> ft ) est bien voisine de 53 ohms : 

Zo = 1 

2π 

4π⋅ 10 7 

ln (1,505/0,406) = 53,0 ohms 

2,2 × 8,854⋅ 10 12 

Le fabricant donne la capacité linéique C = 93,5 pF/m et précise que la 

vitesse de propagation des ondes sur ce câble est de 65,9 % de celle de la 

lumière dans le vide (≈ 3·10 8 m/s). Donc, u = 1,977·10 8 m/s. Au moyen de 

la relation (6.4.10), on peut calculer l’inductance linéique : 

L = Zo 

u = 

53,0 

= 268,1 nH/m 

1,977⋅ 108 À partir de l’expression (7.6.1), on doit donc trouver une valeur voisine, 

sinon exactement égale : 

L ≈ L ext ≈ 

4π⋅ 10 7 

2π 

ln 1,505 

0,406 

= 262,0 nH/m 

La fréquence de transition est une fréquence relativement basse. Pour la 

calculer, il nous faut trouver une valeur approximative de la résistance 

linéique : on prendra la valeur en courant continu calculée dans l’exemple 

7.4.1 : R o = 3,944 ⋅ 10 2 ohm/m . Alors : 

ft = ωt 

2π 

= R 

2πL = 

3,944⋅10 2 

≈ 23 kHz 

2π × 268,1⋅10 9 

On calcule aussi qu’à cette fréquence, la valeur de δ est d’environ 0,43 mm, 

soit comparable au rayon du conducteur central. L’effet pelliculaire est alors 

effectivement peu important dans un câble ayant ces dimensions.

Exemple 7.6.2 Détermination de fonctions d'ondes 


Considérons une ligne semi-infinie (figure ci-dessous) supposée sans perte, à 

l’entrée de laquelle est raccordée une source de tension décrite par : 

vs(t) = 10 sin(10 8 t) U(t) volts 

où U(t) est la fonction échelon unité. À t = 0, une onde de tension sinusoïdale 

commence donc à se propager sur la ligne avec une vitesse u qu’on 

supposera égale à 2 ·10 8 m/s. Dans la figure ci-dessous, on voit la tension 

sur la ligne quand le front d’onde A a franchi la distance ut. 

v(t) 

0 x 

L = Zo 

u = 

53,0 

= 268,1 nH/m 

1,977⋅ 108

V 

10 

0 

-10 

ut 

Figure 7.6.3 

Supposons qu’il s’agisse d’un câble RG-58C/U. Son impédance 

caractéristique étant de 50 ohms, l’amplitude de l’onde de courant sera 

Im = Vm /Zo = 10/50 = 0,2 ampères. Faisant l’hypothèse que les pertes sont 

négligeables, la fonction d’onde du courant est donc : 

i+(x,t) = 0,2 sin 10 8 (t - x/u) U(t - x/u) ampères 

C’est une onde qui est de forme identique à celle de la tension et en phase 

avec celle-ci, car l’impédance caractéristique est réelle ici. 

Exemple 7.6.3 Calculs à la fréquence de transition 

Calculons l’impédance caractéristique du câble RG-58/U à la fréquence de 

transition 

f t = 23,45 kHz (exemple 7.6.1) au moyen de l’expression (7.5.4). On utilisera 

R ≈ Ro = 3,95 ⋅ 10 2 ohm/m , L = 268,1 nH/m, C = 93,5 pF/m et la valeur 

de G calculée à cette fréquence avec un facteur de pertes de 0,005 : 

G = 2π × 23,45 10 3 × 93,5⋅ 10 12 × 0,005 = 6,89 ⋅ 10 8 S/m 

Zo = 

R + jωL 

G + jωC = 3,95 ⋅ 10 2 + j2π × 23,45 ⋅ 103 × 268,1 ⋅ 10 9 

6,89 ⋅ 10 8 + j2π × 23,45 ⋅ 103 × 93,5 ⋅ 10 12 

Z o = 3,95 ⋅ 10 2 + j3,95⋅ 10 2 

6,89 ⋅ 10 8 + j1,378⋅ 10 5 

1/2 

Zo = 63,7∠-22,36° = 58,9 – j24,2 ohms 

= 

λ 

u 

A 

5,586 ⋅ 10 2 ∠45° 

X 

1,378 ⋅ 10 5 ∠89,71 ° 

1/2 

1/2


On voit que l’impédance caractéristique a un module supérieur à 53 ohms et 

qu’elle est capacitive. En fait, celle-ci est toujours capacitive pour les lignes 

courantes. On constate aussi que la conductance linéique joue un rôle 

négligeable, particulièrement à haute fréquence : c’est pratiquement toujours 

le cas. 

Si l’impédance caract éristique est complexe, il s’ensuit que les ondes de courant 

et de tension q ui se propagent su r une ligne semi-infinie (sans réflexion) sont 

déphasées. Rema rquons aussi que l’impédance d’entrée d’une telle ligne infinie 

est égale à Z o . Si la source à l’entrée impose une tension alternative de 10 volts 

d’a mplitu de à 23,45 kHz, alors V o + = 10 volts, et : 

Io+ = Vo+ 

Zo 

= 

10 = 157,0∠+22,36° mA 

63,7∠-22,36 o 

L’onde de courant est donc en avance de phase de 22,36° sur celle de 

tension en tout point de la ligne. D’après ce que nous avons vu plus haut, vu 

que ω = 2π f = 1,473 ·105 rd/s (ωt ), si les pertes étaient négligeables, la 

fonction d’onde réelle de tension s’écrirait comme suit en régime permanent : 

v + (x,t) = 10 sin(1,473 ⋅ 10 5 t - kx ) volts 

ou encore : v+(x,t) = 10 cos(1,473 ⋅ 10 5 t - kx - π/2) volts 

Mais, en réalité, il y a atténuation de l’onde en cours de propagation, de 

sorte que cette dernière expression n’est approximativement valide qu’à 

courte distance de la source. Il faut plus exactement utiliser une expression 

de la forme vue plus haut (éq. 7.2.6) : 

v+ (x,t) = V+(0) e αx cos (ωt – kx + φ+) . 

Dans le cas présent : v+(x,t) = 10 e αx cos(1,473 ⋅ 10 5 t - kx - π/2) volts 

Il reste à trouver les valeurs de α et de k. On doit donc évaluer la fonction de 

propagation γ. Utilisant les mêmes paramètres que précédemment : 

γ = (R + jωL) (G + jωC) 

γ = [(3,951 ⋅ 10-2 + j1,473⋅ 105 × 2,681 ⋅ 10-7 ) × (6,89 ⋅ 10-8 + j1,473⋅ 105 × 93,5 ⋅ 10-12 )] 1/2 

γ = [(5,586⋅ 10-2∠45,0°) × (1,378⋅ 10-5∠89,71°)] 1/2 = 8,774⋅ 10-4∠67,36° γ = 3,377⋅ 10 4 + j8,097 ⋅ 10 4 m 1


D’où : α = 3,377 ⋅ 10 4 Np/m et k = 8,097 ⋅ 10 4 rd m 1 

Ceci montre que l’atténuation atteint 1 néper (Np) après un parcours de 

2,96 km, ce qui est relativement faible. De k, on tire la vitesse de phase : 

u = ω k = 

33830 

1,853 ⋅ 10 4 = 1,826 ⋅ 108 m/s 

Remarquons que cette vitesse, la vitesse de phase, est inférieure à celle à 

haute fréquence (1,98 ·10 8 m/s) : elle l’est de 7,6 %. On a vu plus haut que 

la vitesse de phase diminue régulièrement avec la fréquence. 

Cette variation de vitesse avec la fréquence, cause un problème très 

important dans la transmission à grande distance de signaux dans la bande 

audio (20 Hz à 20 kHz environ). Comme les composantes de différentes 

fréquences d’un signal complexe se propagent à des vitesses différentes, ce 

signal est plus ou moins déformé à la réception : c’est la distorsion de 

phase. Ce problème est réglé par la translation de fréquence qui porte toutes 

ces composantes à des fréquences très supérieures à la fréquence de 

transition. 

Exemple 7.6.4 Variation de l'atténuation avec la fréquence 

À 1 MHz, c’est le domaine des hautes fréquences. Par conséquent, pour le 

câble RG-58/U, la vitesse de phase est 1,98 ·10 8 m/s. L’impédance 

caractéristique est alors réelle et égale à 53 ohms environ. Le coefficient 

d’atténuation est donné approximativement par l’expression (7.3.6) : 

α = R 

2Zo 

= 0,1311 

2 × 53 = 1,237⋅ 10 3 Np/m 

Notons que cette valeur est près de 4 fois supérieure à celle à la fréquence de 

transition (24,5 kHz). D’après la fiche technique d’un fabricant, le coefficient 

de cette ligne à 1 MHz devrait être d’environ 1,24 ·10 -3 Np/m. Le résultat de 

ce calcul est donc remarquable. 

En supposant une conductivité linéique G de 10-7 S/m aux basses 

fréquences, on trouve une atténuation de 0,125 ·10-4 Np/m quand f –> 0. 

Aux fréquences élevées, on vérifiera que le coefficient d’atténuation est donné 

par α = 1,237⋅ 10 6 f Np/m. Le graphique qui suit montre la variation 

approximative de α sur une étendue de fréquence de sept décades.


Avec les méthodes de calcul modernes, il est facile de calculer α et u à partir 

de l’expression exacte de γ en séparant les parties réelle et imaginaire. Les 

formules que nous venons de voir permettent une évaluation approximative 

rapidement. 

10 4α [Np/m] 

100 

10 

1 

0,1 

10 0 

Coefficient d'atténuation 

câble RG-58/U 

Variation 

en f 

10 

Fréquence (Hz) 

2 104 Figure 7.6.4 

Variation approximative du coefficient d’atténuation avec la fréquence pour le câble RG-58/U dans 

l’hypothèse où G = 10-7 S/m 

EXERCICES 

Questions diverses 

a) Qu'y a-t-il de particulier à la fréquence de transition d'une ligne 

électrique ? 

b) Quelle est la règle pour établir l’expression de la tension en tout point 

d'une ligne infinie et en tout temps connaissant la tension à l'entrée ? 

10 6


c) À quelle condition le coefficient de réflexion sur le récepteur au bout 

d'une ligne RG -58C/U (Zo = 50 ohms) est-il négatif et réel ? 

d) Comment l'impédance caractéristique d'une ligne est-elle reliée à son 

impédance linéique et à son admittance linéique ? 

e) Comment évolue la vitesse de phase d'une onde sur une ligne quand la 

fréquence augmente ? 

7.1 Fonction d’onde - Équation d’onde 

Démontrer qu'en régime harmonique l'amplitude complexe de la tension 

électrique sur une ligne avec pertes satisfait l'équation de propagation 

suivante : 

d 2 V 

dx 2 – γ2 V = 0 avec γ 2 =ZY Z = R + jωL Y = G + jωC 

7.2 Ligne téléphonique 

Les paires de fils dans un câble téléphonique ont les caractéristiques 

suivantes à 10 kHz : Z o = 600 ohms u = 2,0 · 10 8 m/s α = 1 dB/km 

Vous raccordez à l'entrée d'une de ces paires un générateur de signaux 

ayant une impédance interne de 600 ohms donnant une tension de 1 volt 

d'amplitude en circuit ouvert (Vo ) à 10 kHz. L'autre extrémité qui se trouve à 

5 km est raccordée à une autre paire de fils dans le même câble, et vous la 

terminez où vous êtes par une charge adaptée Rc . Il s'agit donc d'une 

longueur totale de 10 km. Vous savez que 1 néper (Np) = 8,686 décibels (dB). 

a) Si vous regardez simultanément à l'oscilloscope le signal d'entrée et celui 

de sortie (en Rc ), quel est l'amplitude de ce dernier et quel déphasage 

entre les deux pourrez-vous observer et mesurer, en degrés ? Faites un 

croquis représentant correctement ces signaux. 

b) Établir une expression réelle exacte du courant sur la ligne en fonction 

de la position et du temps à partir de l'entrée. Note : Utiliser la variable s 

pour indiquer la position sur la ligne. 

7.3 Onde sinusoïdale sur une ligne 

Une ligne téléphonique de 50 km terminée par son impédance 

caractéristique égale à 600 ohms a une vitesse de phase de 2c/3 et une 

atténuation de 0,5 dB/km a 1 kHz. Si on raccorde à l’entrée un générateur 

d’impédance interne égale à 600 ohms dont la tension en circuit ouvert est 

donnée par : v s (t) = 2 cos (2000πt) volts :


a) Déterminer et représenter dans une figure à l’échelle l’amplitude 

complexe de la tension à tous les 10 kilomètres sur une distance de 50 

km, ainsi que l’expression de la tension réelle au récepteur. 

b) Évaluer la puissance fournie à l’entrée de la ligne et celle qui est 

absorbée par le récepteur. Établir l’expression générale de la puissance 

en fonction de la position sur la ligne. 

R : Pe = Po = 833 μW Pr = 2,63 μW 

7.4 Paramètres d’un ligne coaxiale 

Une ligne coaxiale est constituée d'un conducteur central de rayon a = 2 mm 

et d'un écran de rayon interne b = 6 mm espacés par un diélectrique solide 

de permittivité relative égale à 2,2. Considérant les pertes comme 

négligeables, évaluer son impédance caractéristique et la vitesse de 

propagation. Rép. : Z o = 44,4 ohms u = 2,02 · 10 8 m/s 

7.5 Ligne à haute tension 

Une ligne à haute tension est faite d'une paire de câbles d'aluminium de 

1 cm de diamètre dont les centres sont espacés de 50 cm. 

a) Évaluer son impédance caractéristique. 

Rép. : 552 ohms 

b) Déterminer la tension maximale de fonctionnement si le champ 

électrique autour des câbles ne doit pas dépasser 10 6 V/m. 

Rép. : 78,2 kV 

7.6 Liaison par ligne adaptée avec pertes 

Deux stations répétitrices d'un réseau de communication sont reliées par un 

câble coaxial RG-8/U (Alpha 9008). Leur séparation est de 1 km. Le câble est 

terminé par un récepteur présentant une impédance d'entrée égale à 

l'impédance caractéristique Zo de la ligne. Pour faire des essais, on utilise 

comme source un générateur de tension sinusoïdale à 50 MHz et 

d'impédance interne égale à Zo donnant une tension de 2 V d'amplitude en 

circuit ouvert.


a) Déterminer la fonction d'onde décrivant la tension sur la ligne en tous 

points et en tout temps. 

b) Évaluer la puissance injectée dans la ligne et celle au récepteur. 

7.7 Variation des paramètres - Ligne téléphonique 

Une paire de fils dans un câble téléphonique est constituée de conducteur 

B&S # 20. On suppose que dans la gamme de fréquences allant de 200 à 

30 000 Hz, ses paramètres distribués sont approximativement constants : 

R = 35 Ω km, / L = 530 μH/km, C = 35 nF/km, G = 500 nS/km. 

Sa longueur est de 3 km et on la suppose terminée par une impédance égale 

à son impédance caractéristique à toute fréquence. 

a) Faire le graphique en fonction du logarithme de la fréquence des 

grandeurs suivantes : 

– La vitesse de phase. 

– Le coefficient d'atténuation. 

– La partie réelle R 

o 

et la partie imaginaire X 

o 

de l'impédance 

caractéristique. 

b) Évaluer la fréquence de transition de cette ligne. 

Rép. : ft = 10,5 kHz 

c) À partir de quelle fréquence l'erreur faite en utilisant la formule HF de la 

vitesse de phase est-elle inférieure à 2 % ? 

Rép. : ≈ 26 kHz 

d) À 5 kHz, évaluer le rapport de la tension de sortie à la tension d'entrée en 

décibels. 

Rép. : 2,87 dB 

e) À 5 kHz, évaluer le déphasage entre le courant et la tension sur la ligne. 

Rép. : 32,3° (I en avance) 

7.8 Paramètres HF 

Démontrer qu'aux fréquences très supérieures à la fréquence de transition 

f t , la vitesse de phase, le coefficient d'atténuation et l'impédance 

caractéristique d'une ligne électrique sont donnés par les expressions 

suivantes : u = 1 

LC 

, α = R 

2Zo 

, Zo = 

L C

7.9 Paramètres BF 


Démontrer que, dans le cas où la fréquence du signal tend vers zéro, la 

vitesse de phase, le coefficient d'atténuation et l'impédance caractéristique 

d'une ligne électrique sont donnés par les expressions suivantes : 

u = 2/[L C R + C R G ] , α = RG , Zo = R G 

7.10 Népers et décibels 

Démontrer que 1 néper (Np) ≈ 8,686 décibels (dB). 

7.11 Effet pelliculaire et résistance linéique 

Démontrer que, à cause de l'effet pelliculaire, la résistance linéique d'une 

ligne électrique coaxiale à hautes fréquences est donnée par l'expression 

1/2 

R = Rs 

2bσ (1 + b a ) où Rs = μω 

2σ 

la résistance de surface. 

a est le rayon du conducteur interne, b est le rayon interne du conducteur 

externe et σ est la conductivité du conducteur. Cela s'applique seulement 

dans le cas où le rayon ou l'épaisseur des conducteurs est très supérieur à 

la pénétration du champ électromagnétique. 

7.12 Paramètres HF d’une ligne coaxiale 

Une ligne coaxiale est faite d'un conducteur central ayant un rayon de 

0,5 mm et d'un écran de rayon interne égal à 3 mm, avec un rayon externe 

égal à 3,15 mm. Le conducteur est en cuivre dont la conductivité est 

5,7 · 10 7 S/m. L'espace entre les conducteurs est plein de polyéthylène 

ayant une permittivité relative de 2,2 et un facteur de pertes de 0,0005 à 100 

MHz. Évaluer les paramètres linéiques de cette ligne à cette fréquence, son 

impédance caractéristique et la vitesse de propagation des ondes. 

Rép. : R = 0,977 Ω /m ; C = 68,31 pF/m ; L = 358,3 nH/m ; 

G = 21,46 μS/m ; Z o = 72,4 Ω 

7.13 Variation des paramètres avec la fréquence 

Élaborer un logiciel pour l'ordinateur personnel de votre choix permettant de 

calculer et mettre en graphique (échelle logarithmique de fréquence) les 

caractéristiques suivantes d'une ligne coaxiale en fonction de la fréquence, à 

partir des paramètres linéiques. Le faire aussi au moyen du logiciel 

MathLab.


a) La fréquence de transition (pas de graphique). 

b) Les parties réelle et imaginaire de l'impédance caractéristique, ou le 

module et l'argument. 

c) La vitesse de phase. 

d) Le coefficient d'atténuation tenant compte de l'effet pelliculaire aux 

fréquences telles que la pénétration est faible par rapport au rayon ou à 

l'épaisseur des conducteurs. 

Note : Imaginer une transition logique entre les caractéristiques à basse 

fréquence et celles à haute fréquence. 

7.14 Variation des paramètres avec la fréquence 

Une ligne coaxiale a un conducteur central de rayon a = 0,5 mm et un écran 

de rayon interne b = 2 mm, rayon externe c = 2,5 mm, tous deux en cuivre 

de conductivité avec un diélectrique solide de permittivité relative égale à 

2,25 (polyéthylène), avec un angle de pertes constant et égal à 0,002 rd. Les 

conducteurs sont en cuivre de conductivité σ = 5,7· 10 7 S m 1 . 

a) Évaluer son impédance caractéristique et la vitesse de phase à haute 

fréquence. 

R. : u = 200 000 km/s Zo = 55,4 ohms 

b) Calculer les paramètres linéiques à basse fréquence et la fréquence de 

transition. 

R. : R = 24,4 milliohms/m ; L = 344 nH/m ; C = 90,3 pF/m ; G ≈ 0 S/m ; 

f t = 11,3 kHz 

c) Évaluer la résistance et la conductance linéiques à 10 MHz et à 50 MHz. 

R. : 10 MHz : R = 328 mΩ /m ; G = 11,35 μS/m 

50 MHz : R = 734 mΩ /m ; G = 56,7 μS/m 

c) Calculer le coefficient d'atténuation de la ligne à 10 et à 50 MHz. Est-ce 

que la perditance (conductance linéique) a un effet appréciable ? 

R. : 28,4 et 71,2 dB/km

8 

Lignes finies avec pertes 


Considérons une source S de tension sinusoïdale V s (valeur en circuit 

ouvert) et d’impédance interne Z s reliée à un récepteur d’impédance Z r par 

une ligne électrique de longueur a. (fig. 8.1.1). Cette ligne est caractérisée 

par une impédance caractéristique Z o , une vitesse de phase u et une 

fonction de propagation γ. La source est en action depuis longtemps, de sorte 

qu’un régime stationnaire s’est établi. Au départ, l’onde sinusoïdale partie de 

la source a subi des réflexions multiples aux deux extrémités. Mais, toutes 

les ondes dans une direction donnée ayant la même fréquence, leur 

superposition est forcément une onde sinusoïdale. Appelons V + (x) 

l’amplitude complexe de l’onde qui se propage dans le sens positif de x et 

V (x) celle de l’onde dans le sens négatif. On sait que : 

V +(x) V +o e -γ x et V -(x) V-o e +γ x (8.1.1) 

où V +o et V o sont les amplitudes complexes à l’origine. Pour simplifier la 

notation, on ne les soulignera pas comme auparavant, sauf si le contexte 

l’exige. La tension sur la ligne est donc donnée par la somme de ces deux 

phaseurs : 

V(x) V+o e -γ x + V -o e +γ x (8.1.2) 

Mais, on peut affirmer que l’onde V (x) résulte de la réflexion de V + (x) au 

récepteur. La relation sera établie un peu plus loin. À cet effet, il convient de 

placer l’origine 0’ d’un nouveau référentiel au récepteur et de mesurer par la 

variable h la distance à ce point (fig.8.1.1).

Z s 

V + = V d 

Z o 

Vs S 

0 

γ u 

x 

V = V g 

h 

x = a 

Figure 8.1.1 Ligne électrique reliant une source à un 

0' 

récepteur dans le cas général 

8.2 Changement de coordonnées 

Vu que x = a - h, la fonction d’onde vers la droite peut s’écrire comme suit : 

V +(h ) V d(h ) V +o e-γ (a - h) V +o e-γ a e +γ h 

Mais, V+o e γ a est l’amplitude en 0’ (x = a). Convenons de la désigner par 

V do , l’indice d indiquant qu’il s’agit d’une onde vers la droite. Appliquant le 

même raisonnement à l’onde vers la gauche (avec l’indice g), ces ondes 

s’expriment alors ainsi : 

Vd(h) = Vdo e +γ h et Vg(h) = Vgo e γ h (8.2.1) 

où Vgo = V o e +γ a . Pour les ondes de courant, on a de même : 

On pourra vérifier que : 

Id(h ) Ido e +γ h et Ig(h ) Igo e -γ h (8.2.2) 

V d(h ) +Zo Id(h ) et V g(h ) Zo Ig(h ) (8.2.3) 

8.3 Coefficient de réflexion 

Définition 

On définit le coefficient de réflexion ρr de la tension électrique au récepteur 

comme le rapport de la tension réfléchie à la tension incidente en ce point : 

ρr V go 

V do 

Z 

(8.3.1)

8 Lignes finies avec pertes 237 

Au récepteur, la tension et le courant sont donnés par la superposition 

des ondes incidentes et réfléchies : 

V(0) V d(0) + V g(0) Vdo + V go 

I(0) Id(0) + Ig(0) Ido + Igo 

D’après (8.2.3), cette dernière relation peut s’écrire : 

I(0) V do 

Zo 

V go 

Zo 

(8.3.2) 

(8.3.3) 

(8.3.4) 

Or, la tension et le courant au récepteur sont reliés par la loi d’Ohm : 

V(0) Zr I(0) . Combinant les dernières équations, on obtient : 

d’où on tire finalement 

V do + V go Zr I(0) Zr V do 

Zo 

ρr V go 

V do 

Zr Zo 

Zr + Zo 

V go 

Zo 

(8.3.5) 

On note que cette expression est identique à celle vue plus haut pour les 

lignes sans pertes avec des impédances réelles. Ici, le régime est sinusoïdal 

et les impédances généralement sont complexes. Donc, ce coefficient de 

réflexion est aussi généralement complexe. 

Inversement, on peut exprimer Zr en fonction de ρr : 

Zr 

1 + ρr 

1 ρr 

Zo 

(8.3..6) 

Ces relations montrent que l’impédance sur la ligne et le coefficient de 

réflexion sont intimement liées. Elles seront très utiles plus loin. 

Coefficient de réflexion généralisé 

Le coefficient de réflexion qu’on vient de définir l’a été pour un point 

particulier, le récepteur. Or, il s’avère pratique de le définir d’une façon 

générale comme ρ(h) le rapport du phaseur de l’onde réfléchie et du phaseur 

de l’onde incidente au point d’abscisse h :

d’où : 

ρ(h ) V g(h ) 

V d(h ) V go e 

V do e 

-γ h 

+γ h 

(8.3.7) 

ρ(h ) V go 

e 

V do 

-2γ h ρr e-2γ h ρr ejφr e-2γ h (8.3.8) 

De cette façon, le coefficient de réflexion ρ r au récepteur est une valeur 

particulière de ρ(h) en h = 0. On obtient le coefficient en h simplement en 

multipliant ρ r par l’exponentielle e 2γ h . Or, on sait que γ = α + jk, de sorte 

qu’on obtient l’expression suivante : 

ρ(h ) ρr e -2α h e j(φr - 2k h) (8.3.9) 

C’est le coefficient de réflexion généralisé sur une ligne. 

A. Analyse de ρ(h) : cas où α = 0 

Si l’on peut négliger le coefficient d’atténuation sur la ligne, l’expression 

précédente devient : 

ρ(h) = ρr ej(φr 2k h ) = ρr ejφr e j2k h (8.3.10) 

La figure 8.3.1 montre les coefficients ρr et ρ(h) dans le plan complexe où l’on 

voit bien que le phaseur tourne d’un angle θ = –2kh à partir du récepteur. 

Or, on sait que k = 2π / λ , où λ est la longueur d’onde. Donc, 

d’où : 

θ 2kh 4πh 

λ 

ρ h = ρ r e jφ r e -j4πh/λ (8.3.11) 

Alors, quand on s’éloigne du récepteur d’une distance h = λ/2, le phaseur 

tourne de -2π radians, il fait un tour complet dans le sens négatif : le 

coefficient de réflexion reprend la même valeur à tous les points espacés l’un 

de l’autre de λ/2. Dans ce cas, le lieu de la pointe du phaseur (vecteur de 

Fresnel) est un cercle de rayon |ρ r | dans le plan complexe.

ρ(h) 

Im 

ρ r 

–2kh 

φ r 

Ré 

ρ(h) 

–2kh 1 

Im 

φ r 

= -26,57° 

Ré 

ρ r = 0,4472 ∠–26,57° 

Figure 8.3.1 Coefficient de réflexion dans le Figure 8.3.2 Exemple 8.3.1 

plan complexe ; ligne sans perte 

Exemple 8.3.1 Coefficient de réflexion 

Soit une ligne d’impédance caractéristique Z o = 50 ohms terminée par une 

impédance Z r = 100 – j50 ohms à une fréquence où la longueur d’onde est de 

1 mètre. Le coefficient de réflexion au récepteur est : 

ρr = 

100 – j50 – 50 

100 – j50 + 50 

= 70,71∠–45° 

158,1∠–18,43° 

= 0,4472∠–26,57° 

Il est représenté dans la figure 8.4.2. En s’éloignant du récepteur d’une 

certaine distance h 1 , le vecteur ρ r tourne d’un angle -2kh 1 et devient réel et 

égal à -0,4472. Évaluons cette distance. Or, ρ(h1) = ρr exp j(φr - 2k h1) , 

où k = 2π/λ = 6,283 rd/m. On voit que (φr - 2k h1) = –π rd. 

On en tire : 

h1 = 

π + φr 

2k 

= π – 0,4637rd 

2 × 6,283 

= 0,2131 m 

On peut déjà affirmer que l’impédance “vue” de la gauche par l’onde 

incidente en ce point est réelle et inférieure à Zo , vu que le coefficient de 

réflexion est réel et négatif.


B. Analyse de ρ(h) : cas où α ≠ 0 

Dans ce cas, l’expression (8.3.9) s’applique et l’on voit que le module de ρ(h) 

diminue exponentiellement avec la distance h, comme le montre la figure 

8.3.3 pour une valeur arbitraire du coefficient d’affaiblissement α : 

ρ(h ) ρr e -2α h (8.3.12) 

Le coefficient de réflexion doit donc tendre vers 0 quand le point considéré 

est très loin du récepteur, vers l'entrée de la ligne. En ce point, l’amplitude 

de l’onde réfléchie est négligeable et il y a une seule onde dans le sens positif 

de x. L’impédance sur la ligne est alors égale à l’impédance caractéristique 

Z o . 

Le vecteur ρ fait toujours un tour complet dans le plan complexe quand h 

augmente d’une demi-longueur d’onde. 

ρ(h) 

8.4 Ondes stationnaires 

Im 

ρ r 

φ r 

Ré 

Figure 8.3.3 Coefficient de réflexion, Ligne avec pertes 

Considérons la ligne de la figure 8.1.1 où l’onde vers la droite est 

V d(h ) V do e +γ h et celle vers la gauche V g(h ) V go e-γ h . 

L’amplitude résultante est la somme de ces deux expressions : 

V(h ) V do e +γ h + V go e-γ h Vd(h ) + V g(h ) 

Mais, d’après (8.3.7), V g(h ) ρ(h ) Vd(h ).

Alors : 


V(h ) V d(h ) 1 + ρ(h ) V doe +γ h 1 + ρr e -2γ h (8.4.1) 

La partie réelle de cette expression de l’amplitude complexe sur la ligne 

donne l’amplitude réelle de la tension. Examinons le cas particulier où 

l’affaiblissement α est supposé négligeable : 

V(h ) V doe +jk h 1 + ρr e -j(2k h φr) (8.4.2) 

V(h ) V doe +jk h 1 + ρr cos (2kh φr) j sin (2 kh φr) 

Le module de V(h) est alors : 

V(h ) V do 1 + ρrcos (2kh φr) 2 + ρrsin (2 kh φr) 2 1/2 (8.4.3) 

Pour la mise en graphique, il est utile de remplacer k par 2π / λ et de mesurer 

h en unités de λ : 

V(h ) V do 1 + ρrcos (4πh /λ φr) 2 + ρrsin (4 πh /λ φr) 2 1/2 (8.4.4) 

La figure 8.4.1 montre quelques cas d’ondes stationnaires pour diverses 

valeurs de ρ r et du coefficient d'atténuation, en posant V do = 1 volt : 

(a) ρ r = +1 Ligne ouverte 

(b) ρ r = +0,6 Z r = R r > Z o : Rr = 

(c) ρ r = –0,6 = 0,6e jπ Z r = R r < Z o : Rr = 

(d) ρ r = 0,6e +jπ/4 Zr = 

(récepteur inductif) 

1 + ρr 

1 – ρr 

1 + ρr 

Zo = 4Zo 

1 – ρr 

1 + ρr 

Zo = 0,25Zo 

1 – ρr 

Zo = 2.078∠52,97° Zo 

On observe que les valeurs maximales et minimales de |V(h)| ne dépendent 

que du module de ρ r . L’argument de ρr détermine leurs positions. Cette 

observation est à la base d’une méthode relativement simple pour évaluer 

une impédance inconnue au moyen d’une ligne à fente1 . 

1 Ligne coaxiale courte et rigide, avec une fente longitudinale dans l'écran. Une courte sonde mobile peut être insérée dans cette 

fente permettant de mesurer l'intensité du champ électrique et de la tension électrique dans l'espace entre l'écran et le conducteur 

central. La ligne à fente sert particulièrement à la mesure de la longueur d'onde dans l'air et de l'impédance des récepteurs ou 

charges.


La figure 8.4.2 montre, à un instant quelconque, les phaseurs de l’onde 

incidente (a), de l’onde réfléchie (b) et de l’onde stationnaire résultante (c), 

dans le cas où le coefficient de réflexion est égal à –1 (réflexion sur un courtcircuit). 

On observe particulièrement que la phase de la tension résultante 

change brusquement de 180° à h = λ / 2, λ, 3 λ /2 ... Au cours du temps, tous 

ces vecteurs tournent à la vitesse ω dans le sens positif (sens inverse d’une 

horloge). 

Taux d’ondes stationnaires 

Le taux d’ondes stationnaires mesure l’importance des variations de tension 

ou de courant le long d’une ligne en présence d’ondes stationnaires. Il est 

défini comme le rapport du maximum au minimum de tension ou de courant 

électrique : 

T.O.S. Vmax 

Vmin 

Imax 

Imin 

(8.4.5)

Figure 8.4.1 Amplitude d’une onde stationnaire pour diverses valeurs du coefficient de réflexion au récepteur 

Paramètres : v = 2 · 10 8 m/s f = 10 MHz a = 1,8 = 36 mètres 

|V + | à l’entrée (h = 36 m) = 1 volt Z o = 50 ohms 

Courbe A : α = 0 Courbe B : α = 20 dB/km

h 

h 

V 

d 

h 

λ 

λ 

V = 0 

λ 

2π 

V g 

+π 

3π/2 

3λ/4 

3λ/4 

–3π/2 

3 λ/4 

Onde incidente 

V 

d 

V g 

π/2 

π 

V 

λ/2 

λ/2 - 

V 

d 

V 

π/2 

Onde réfléchie 

- 

V = 0 

λ/2 

V 

d 

Superposition des deux 

–π/2 

λ/4 

λ/4 

–π/2 

V 

g 

λ/4 

Figure 8.4.2 Réflexion sur un court-circuit 

V do 

−π 

0 

0 

φ r 

0 

φ r 

V go 

φ r 

(a) 

(b) 

(c) 

V = 0 

o 

(a) Phaseur de l’onde incidente, (b) Phaseur de l’onde réfléchie, c) Phaseur de l’onde stationnaire résultante.

8.5 Impédance sur la ligne 

Cas général 


Nous allons maintenant trouver une expression très importante en pratique, 

celle de l’impédance sur la ligne (fig. 8.5.1), particulièrement à l’entrée (x = 0, 

h = a). L’impédance électrique en tout point d’abscisse h est définie comme le 

rapport de l’amplitude complexe de la tension et de celle du courant : 

Z(h ) 

V(h ) 

I(h ) 

(8.5.1) 

Cette impédance dépend de tous les paramètres de la ligne (longueur a, Zo , 

vitesse de phase u, etc.) et de l’impédance Zr , du récepteur. Or, comme nous 

l’avons vu plus haut, l’impédance en un point est étroitement reliée au 

coefficient de réflexion au même point : 

V s 

Z s 

Zr 

V + = V d 

1 + ρr 

1 ρr 

Zo 

V = V g 

S 

0 

γ Zo u 

x h 

x = a 

Figure 8.5.1 Ligne électrique reliant une source à un récepteur dans le cas général 

0' 

Z r 

(8.5.2) 

Il en est de même en tout autre point de la ligne d’abscisse h, où l’impédance 

est Z(h) et le coefficient de réflexion ρ(h ) : 

Z(h ) 

1 + ρ(h ) 

1 ρ(h ) Z o 

Remplaçons ρ(h ) par son expression en fonction de ρr (8.3.8) : 

(8.5.3)


Z(h ) 1 + ρr e-2γ h 

1 ρr e-2γ h Zo e+γ h + ρr e γ h 

e +γ h Zo 

(8.5.4a) 

ρr e γ h 

Or, on sait que ρr Zr Zo 

d’où : 

Z(h ) 

On peut réarranger comme suit : 

Zr + Zo 

Zr + Zo e +γ h + Zr Zo e γ h 

Zr + Zo e +γ h Zo 

(8.5.4b) 

Zr Zo e γ h 

Z(h ) Zr e +γ h + e γ h + Zo e +γ h e γ h 

Zr e +γ h e γ h + Zo e +γ h + e γ h 

Zo 

(8.5.5) 

Les relations cosh A = (e Α + e – Α )/2 et sinh A = (e Α – e –Α )/2 permettent 

d’écrire la dernière expression sous une forme plus compacte : 

Z(h ) Z r cosh γ h + Z o sinh γ h 

Z o cosh γ h + Z r sinh γ h Z o (8.5.6) 

L’impédance d’entrée est simplement une valeur particulière de 

l’impédance sur la ligne, pour h = a. 

Exemple 8.5.1 Variation de l'impédance d'entrée avec la fréquence 

La figure 8.5.2 montre comment varient la partie réelle et la partie 

imaginaire de l'impédance d'entrée d'une ligne avec la fréquence dans 

l'intervalle de 2 à 30 MHz. Les paramètres de la ligne sont les suivants : 

Longueur a = 30 mètres Vitesse de propagation u = 2 ·108 m/s = 2c/3 

Impédance caractéristique Zo = 50 Ω 

Impédance du récepteur Zr = 200 Ω (résistive) 

Courbe A : atténuation nulle 

Courbe B : α1 = 15 dB/km à 1 MHz 

On suppose une variation en f1/2 : α α1 f 1/2 

f1


La figure 8.5.3 montre plus de détails dans l'intervalle de 50 à 64 MHz. 

Observons que la réactance (partie imaginaire) s'annule aux minimums et 

aux maximums de la partie réelle. La ligne est résonante à ces derniers 

points et son impédance d'entrée est purement résistive. 

Les calculs ont été faits avec le logiciel MatLab md et les résultats mis en 

graphique avec le logiciel SigmaPlot md . Une version simplifiée du programme 

MatLab suit : elle permet de calculer l'impédance d'entrée connaissant les 

divers paramètres de la ligne, l'impédance du récepteur et la fréquence. 

% Calcul de l'impédance d'entrée d'une ligne 

% en fonction de la fréquence. 

% Programme MatLab 

% Ce programme calcule l’impédance d’entrée d’une ligne connaissant 

% ses paramètres, la fréquence et l’impédance du récepteur. 

clear 

format compact 

clc 

hold off 

clg 

disp('') 

disp('') 

disp(' Calcul de l*impédance d*entrée d*une ligne') 

disp('') 

v=input('Vitesse de phase [m/s]: '); 

h=input('Longueur [m]: '); 

Zo=input('Impédance caractéristique [ohms]: '); 

f=input('Fréquence [Hz]: '); 

Attr=input('Atténuation [dB/m] à f réf., 1 MHz: '); 

Rr=input('Impédance du récepteur, partie réelle [ohms]: '); 

Xr=input('Impédance du récepteur, partie imaginaire: '); 

Zr = Rr + j*Xr; % Impédance du récepteur 

Att=Attr*(f*1E-6).^0.5/8.686; % Atténuation [Np/m] à la fréquence f. 

B=2*pi/v; 

k=B*f; 

g= Att + j*k; % Fonction de propagation. 

th = tanh(g*h); 

NumZ = Zr + Zo*th; 

DenZ = Zo + Zr*th; 

Ze = NumZ*Zo/DenZ; 

MZ=abs(Ze)


disp('Phase en degrés') 

PZ=angle(Ze)*180/pi 

% 

RZ=MZ.*cos(angle(Ze)) 

IZ=MZ.*sin(angle(Ze)) 

Figure 8.5.2 

Impédance d'entrée d'une ligne en fonction de la fréquence pour deux valeurs du coefficient d'atténuation 

A : sans atténuation ; B : α1 = 15 dB/km à 1 MHz (Exemple 8.5.1)

Figure 8.5.3 

Impédance d'entrée d'une ligne en fonction de la fréquence pour deux valeurs du coefficient d'atténuation 

A : sans atténuation ; B : α1 = 15 dB/km à 1 MHz (Exemple 8.5.1)


Impédance normalisée 

On définit l’impédance normalisée comme le rapport de l’impédance en un 

point et de l’impédance caractéristique : 

z(h ) 

Z(h ) 

Zo 

L’expression (8.5.6) devient alors : 

, zr Zr 

Zo 

z(h ) z r cosh γ h + sinh γ h 

cosh γ h + z r sinh γ h 

(8.5.7) 

(8.5.8) 

On obtient une autre forme en divisant numérateur et dénominateur par 

cosh γ h, ce qui donne une expression facile à mémoriser : 

z(h ) 

z r + tgh γ h 

1 + z r tgh γ h 

(8.5.9) 

Toutefois, si on ne dispose pas des outils permettant de calculer ces 

fonctions de variables complexes, on peut utiliser la forme précédente 

(8.5.5), où 

et 

e γ h e α he jkh e α h cos kh + j sin kh 

e -γ h e -α he -jkh e α h cos kh j sin kh 

De préférence, on peut encore utiliser l’expression (8.5.8), sachant que : 

cosh γ h cosh α h cos k h + j sinh α h sin k h (8.5.10a) 

sinh γ h sinh α h cos k h + j cosh α h sin k h (8.5.10b) 

On sait d’autre part que : 

cosh α h eα h + e 

2 

α h 

sinh α h eα h e 

2 

α h 

(8.5.11)

Lignes avec pertes négligeables 

Si α = 0, γ = jk , et alors : 


sinh jkh = j sin kh cosh j kh = cos kh tgh jkh = j tg kh (8.5.12) 

Ce qui se démontre facilement, considérant que : 

cos kh ejkh + e jkh 

2 

sin kh ejkh e jkh 

2j 

(8.5.13) 

Par conséquent l’expression de l’impédance normalisée sur la ligne devient : 

z(h ) 

z r + j tg kh 

1 + j z r tg kh 

On obtient l’impédance en multipliant par l’impédance caractéristique : 

Z(h ) z(h ) Zo 

Impédance d'entrée 

Cas particuliers divers 

A. Ligne avec pertes 

1- Ligne court-circuitée 

Ici, zr = 0, et (8.5.9) devient : 

(8.5.14) 

z(a) tgh γ a (8.5.15) 

Exemple 8.5.2 Impédance d'entrée en fonction de la fréquence 

Ligne court-circuité 

Considérons une ligne ayant les caractéristiques suivantes : 

u = 2·10 8 m/s a = 30 m Z o = 50 ohms 

Z r = 0 (ligne court-circuitée) α = 15 dB/km à 1 MHz.


En supposant que l’atténuation varie en f , la figure 8.5.4 (a) montre la 

variation du module |Z e | de l’impédance d’entrée dans l’intervalle de 

fréquence allant de 3 à 13 MHz. La variation de l’argument de Z e est montrée 

dans la figure 8.5.4 (b). 

2- Ligne ouverte 

C’est le cas où zr = ∞, avec h = a. L’expression (2-16.9) devient alors : 

z(a) 

1 

tgh γ a 

Exemple 8.5.3 Impédance d'entrée en fonction de la longueur 

Ligne ouverte 

(8.5.16) 

La figure 8.5.5 montre la variation du module |Z e | de l'impédance d'entrée 

d'une ligne de Z o = 50 ohms en fonction de sa longueur à 10 MHz. 

Courbe A : α = 20 dB/km à 1 MHz; 63,2 dB/km à 10 MHz 

Courbe B : α = 60 dB/km à 1 MHz; 190 dB/km à 10 MHz 

Remarquer que la mise en graphique utilisant comme unité de longueur la 

longueur d'onde simplifie la présente et démontre bien les particularités de 

l'impédance quand la longueur est un multiple entier de λ /4. À mesure que 

la longueur de la ligne augmente, son impédance d’entrée tend vers la valeur 

de l’impédance caractéristique, 50 ohms, du fait que l’amplitude de l’onde 

réfléchie tend vers zéro. 

B. Ligne sans perte 

1- Ligne ouverte 

Vu que γ = jk, on a alors : 

z(a) 

1 

j tg ka 

j cotg ka j X (8.5.17) 

L’impédance d’entrée est alors purement réactive. Vu que k = 2π / λ., cette 

réactance peut s’exprimer comme : 

X cotg 2πa 

λ 

(8.5.18)

|Z e | [ ohms ] 

Argument de |Z e | [ dg ] 

400 

300 

200 

100 

0 

80 

40 

0 

-40 

-80 

4 6 8 10 12 

Fréquence [ MHz ] 

4 6 8 10 12 

Fréquence [ MHz ] 

Figure 8.5.4 Impédance d'entrée, d'une ligne court-circuitée (exemple (8.5.2)) 

(a) 

(b)


La courbe en traits hachurés de la figure 8.5.6 (B) montre le graphique de 

cette réactance. On voit qu’elle est alternativement positive ou négative selon 

la longueur de la ligne : une ligne de longueur inférieure à λ /4 est capacitive 

(X < 0). Mais elle est inductive (X > 0) si sa longueur est comprise entre λ /4 

et λ/2. On retrouve les mêmes valeurs à chaque fois que la longueur 

augmente d’une demi-longueur d’onde. Quand la ligne est quart d’onde et, 

de façon générale, de longueur égale à un multiple impair de λ/4, 

l’impédance est théoriquement nulle. En pratique, à cause des pertes, celleci 

est très faible et donnée par l’équation (8.5.16). 

2- Ligne court-circuitée 

Vu que les pertes sont nulles, l’expression (8.5.15) devient : 

z(a) j tg ka j tg 2πa 

λ 

(8.5.19) 

On observe dans ce cas (fig. 8.5.6) qu’une ligne quart d’onde court-circuitée 

présente une impédance théoriquement infinie. 

Dans ces divers cas, quand la longueur de la ligne est un multiple impair de 

λ/4, 

a = (2n + 1)λ /4, avec n = 1, 2, 3, ..., on dit que la ligne est résonante.

Figure 8.5.5 

Variation du module de l'impédance d'entrée d'une ligne ouverte en fonction de sa longueur 

(Exemple 8.5.3) 

Figure 8.5.6 Réactance d’entrée d’une ligne sans pertes en fonction de sa longueur 

Courbe A : ligne court-circuitée 

Courbe B : ligne ouverte


Propriété d'un tronçon court 

A. Tronçon court-circuité 

On sait que l'impédance d'entrée d'une ligne de longueur a court-circuitée à 

l'autre extrémité (fig. 8.5.4) est donnée par : 

Ze Zo tgh γ a (8.5.20) 

Or, si a

B. Tronçon ouvert 

Dans ce cas, 

Ze 

L'admittance d'entrée est donc : 

Ye 

tgh γ a 

Zo 

D'où la conductance équivalente : 

Zo 

tgh γ a 1 

Ye 

Ge ≈ 

et la susceptance équivalente : 

d'où : 

Be ≈ ka 

Zo 

Ce ≈ a 

Zou 

8.6 Mesures d'une ligne 

≈ 

α a 

Zo 

α a 

Zo 

≈ ω Ce 

+ j ka 

Zo 


(8.5.24) 

(8.5.25) 

(8.5.26) 

(8.5.27) 

≈ a ≈ a C (8.5.28) 

L u 2 

On obtient assez facilement les divers paramètres secondaires d'une ligne 

électrique tels que la vitesse de phase, l'impédance caractéristique, 

l'atténuation, par des mesures aux fréquences de résonance de la ligne. On 

peut ensuite en déduire les paramètres linéiques ou les paramètres 

primaires. 

Mesure de la vitesse de phase 

On peut faire la mesure simplement avec un générateur de signaux, un 

fréquencemètre et un voltmètre pour l'alternatif à haute fréquence. En effet, 

il suffit de détecter les minimums de tension à l'entrée, car ils correspondent 

aux minimums d'impédance quand la ligne est ouverte à l’autre extrémité : 

c'est une condition de résonance. La longueur a de la ligne est alors un 

multiple impair de λ/4 à cette fréquence :


Alors : 

a 2n 1 λ 

4 

u 

4f n a 

(2n 1) 

2n 1 u 

4fn 

(n 1, 2, ... ) (8.6.1) 

n 1, 2, 3, ... (8.6.2) 

On peut ainsi trouver la vitesse de phase à diverses fréquences, avec une 

précision qui est essentiellement limitée en pratique par celle de la mesure 

de longueur, car la fréquence peut facilement être connue avec une précision 

supérieure à 1 partie sur 10 6 au moyen d'un fréquencemètre de laboratoire. 

On peut aussi mesurer la fréquence des minimums d’impédance d’une ligne 

court-circuitée : sa longueur est alors un multiple entier d’une demilongueur 

d’onde : 

a n λ 

2 

u 2fna 

n 

n u 

2fn 

(n 1, 2, ... ) 

n 1, 2, 3, ... (8.6.3) 

Mesure de l'impédance caractéristique 

Deux mesures de l'impédance d'entrée d'une ligne suffisent pour déterminer 

son impédance caractéristique Zo : une première mesure Zlo avec l'autre 

extrémité ouverte et une deuxième Zcc quand cette dernière est courtcircuitée 

(figure 8.6.1). Soit a la longueur de la ligne. On sait que 

l'impédance d'entrée de la ligne ouverte est : 

Zlo ≈ 

Celle de la ligne court-circuitée : 

Zo 

tgh γ a 

(8.6.4) 

Zcc ≈ Zo tgh γ a (8.6.5) 

En multipliant ces deux expressions l'une par l'autre et extrayant la racine 

carrée on obtient finalement : 

Zo ≈ Zlo Zcc 

Les impédances Z lo et Z cc peuvent être mesurées avec un impédancemètre. 

(8.6.6)

Z cc 

Z o 

γ 

Z lo 

Z o 

Figure 8.6.1 Mesure de l’impédance caractéristique 

On vérifie que la précision de la mesure est maximale quand la fréquence 

choisie est telle que la longueur a de la ligne est égale à un multiple impair de 

λ/8 : 

a 2n 1 λ 

8 

2n 1 u 

8f 

n 1, 2, 3, ... 

À cette condition, les modules de Zlo et Zcc doivent être égaux. En pratique, 

cette condition est réalisée aux fréquences qui se trouvent à mi-chemin entre 

un minimum et un maximum d’impédance adjacents. 

Mesure de coefficient d'atténuation 

Le coefficient d'atténuation α d'une ligne électrique se détermine facilement 

par la mesure d'impédance d'entrée quand la ligne est ouverte ou courtcircuitée, 

aux fréquences de résonance. On peut distinguer quatre cas : 

1- Ligne quart d'onde, ouverte ou court-circuitée. 

2- Ligne demi-onde, ouverte ou court-circuitée. 

Examinons le premier cas, celui d'une ligne quart d'onde ouverte. 

L'impédance d'entrée est alors : 

Zlo 

Zo 

tgh γ a eγa + e γa 

eγa e γa Zo e2γa + 1 

e2γa 1 Zo 

or, e 2γa e 2αa e j2ka e 2αa e j4πa /λ . Mais si a = (2n - 1)λ/4 : 

γ 

(8.6.7) 

e 2γa e 2αa e j(2n - 1)π e 2αa : l'impédance est réelle et minimale, comme 

on le sait déjà, de sorte que : 

Zlo e2α a 1 

e 2α a + 1 Zo 

(8.6.8)


On en tire : 

D'où finalement : 

α 1 

2a ln Z o + Z lo 

Z o Z lo 

e 2α a Zo + Zlo 

Zo Zlo 

(Ligne ouverte λ/4) (8.6.9) 

Si la ligne est demi-onde et ouverte, l'impédance d'entrée est maximale et 

réelle. Dans ce cas, on obtient : 

α 1 

2a ln Z lo + Z o 

Z lo Z o 

8.7 Relations entrée/sortie 

(ligne ouverte λ/2) (8.6.10) 

Considérons la ligne quelconque de longueur a terminée par l'impédance Z 

r 

représentée dans la figure (8.7.1) ci-dessous, dont la tension et le courant à 

l'entrée sont respectivement V 

e 

et I 

e 

. Il est intéressant de connaître les 

relations entre ces grandeurs à celles qu'on trouve au récepteur, V 

r 

et I 

r 

ou 

celles en tous points d’abscisse x. 

0 

I e 

V e 

Z o 

x 

γ 

V + (x) 

V (x) 

Figure 8.7.1 

On sait que la tension en x résulte de la superposition d'une onde V 

+ 

(x) dans 

le sens positif de x et d'une onde V 

– 

(x) dans le sens négatif : 

V(x) V+(x) + V (x) V o+e γx + Vo e +γx (8.7.1) 

De même, pour le courant : 

h 

I(x) I+(x) + I (x) Io+e γx + Io e +γx (8.7.2) 

I r 

V r 

0' 

Z r


Vu les relations entre les ondes de courant et de tension, cette dernière 

équation peut s'écrire : 

I(x) V o+ 

Zo 

e γx V o 

Zo 

À l'entrée, x = 0, et ces grandeurs deviennent : 

V e Vo+ + V o 

e +γx (8.7.3) 

(8.7.4) 

Ie Vo+ 

Zo 

V o 

(8.7.5) 

Zo 

En résolvant ces dernières équations pour les inconnues V 

o+ 

et V 

o– 

, on 

obtient : 

et 

ou encore : 

et 

V o+ 1 

2 V e + ZoIe 

V o 1 

2 V e ZoIe 

V o+ 1 

2 

1 + Zo 

Ze 

V o 1 

2 1 Z o 

Z e 

Portant ces dernières dans (8.7.1) : 

ou 

ou 

Ve 

V e 

V(x) 1 

2 1 + Zo/Ze e γx + 1 Zo/Ze e +γx V e 

V(x) 1 

2Ze 

V(x) 1 

2Ze 

Ze + Zo e γx + Ze Zo e +γx V e 

Ze e +γx + e γx + Zo e +γx e γx V e 

(8.7.6) 

(8.7.7) 

(8.7.9) 

(8.7.10) 

(8.7.11) 

(8.7.12)


Donc : V(x) Z e cosh γ x Z o sinh γ x V e 

Z e 

En particulier, la tension au récepteur (x = a) est donnée par : 

V r V(a) Z e cosh γ a Z o sinh γ a V e 

Z e 

(8.7.13) 

(8.7.14) 

On peut faire intervenir l'impédance du récepteur Z r plutôt que l'impédance 

d'entrée Z e . En effet, on sait que : 

Ze Zr cosh γ a + Zo sinh γ a 

Zo cosh γ a + Zr sinh γ a Zo 

(8.7.15) 

En portant cette dernière relation dans la précédente et utilisant la propriété 

cosh 2 γ a sinh 2 γ a 1, on obtient : 

Ve Zr cosh γ a + Zo sinh γ a Vr 

Zr 

(8.7.16) 

On obtient une expression de V(x) en fonction de Z r en portant l’expression 

de Z e dans (8.7.13) et en utilisant les relations connues entre les fonctions 

hyperboliques 2 : 

V(x) Z r cosh γ (a x) + Z o sinh γ (a x) 

Z r cosh γ a + Z o sinh γ a 

V e 

(8.7.17) 

Si les pertes sur la ligne peuvent être négligées (α = 0), cette expression se 

simplifie : 

2 

V(x) Zr cos k(a – x) + j Zo sin k (a – x) 

Zr cos ka + jZo sin ka 

sinh u cosh v = 1 sinh u + v + 1 sinh u – v 

2 2 

cosh u sinh v = 1 

2 

sinh u + v – 1 

2 

sinh u – v 

cosh u cosh v = 1 cosh u + v + 1 cosh u – v 

2 2 

sinh u sinh v = 1 

2 

cosh u + v – 1 

2 

cosh u – v 

V e (si α 0) (8.7.18)

Au récepteur, x = a et on en tire : 

Ve Zr cos ka + jZo sin ka Vr 

Zr 


si α 0 (8.7.19) 

En factorisant Z o , on obtient l’expression suivante en fonction de 

l’impédance normalisée du récepteur : 

Ve zr cos ka + j sin ka Vr 

zr 

(si α 0) (8.7.20) 

De la même façon, on peut établir la relation entre le courant à l'entrée I e et 

celui au récepteur I r : 

et, si α = 0 : 

Ie cosh γ a + zr sinh γ a Ir 

Ie cos ka + jzr sin ka Ir 

Exemple 8.7.1 Tension d'entrée et tension de sortie 

Variation avec la fréquence 

(8.7.21) 

(8.7.22) 

Considérons une ligne ayant les paramètres suivants : Zo = 50 ohms, u = 2 

·108 m/s a = 30 m. On prendra une atténuation α nulle (courbes A, fig. 

8.7.2 et 8.7.3) ou égale à 40 dB/km à 1 MHz et variant en f (courbes B). 

Nous supposons à l'entrée une source qui donne en circuit ouvert une 

tension d'amplitude Vso = 1 volt. Examinons comment varient les tensions à 

l'entrée et à la sortie avec la fréquence selon la résistance interne Rs de la 

source et la résistance Rr du récepteur. 

Figure 8.7.2 Rs = 10 ohms ; Rr = 200 ohms 

La source et le récepteur ne sont pas adaptés à la ligne. 

Les courbes du haut montrent le module et la phase de la tension à l'entrée 

Ve. Celles du bas montrent ces grandeurs à la sortie (Vr). On observe des 

variations avec la fréquence à l'entrée et à la sortie. L'atténuation sur la ligne 

a pour effet de réduire les variations. 

NOTE : Il n'y a pas de discontinuité de la phase de la tension au récepteur Vr 

en réalité quand la fréquence varie : le retard de phase augmente 

continuellement avec la fréquence.


Figure 8.7.3 Rs = Zo = 50 ohms (source adaptée à la ligne) ; Rr = 200 ohms 

Dans ce cas, on observe que la tension et la phase à l'entrée subissent des 

variations importantes avec la fréquence : entre 0,2 et 0,8 volt. Par contre, si 

l'atténuation est supposée nulle (courbe A), la tension à la sortie reste 

constante et égale à 0,8 V, ce qui est bien près de la tension de source en 

circuit ouvert (1 volt). Si on tient compte de l'atténuation qui augmente avec 

la fréquence, la tension de sortie diminue graduellement avec la fréquence à 

cause des pertes sur la ligne. 

Ces constations inattendues illustrent un principe d'une grande importance 

pratique : 

“ Pour éviter toute variation indésirable de l'amplitude du signal de sortie 

d'une ligne en fonction de sa fréquence, quelle que soit l'impédance du 

récepteur, il est essentiel que la source soit adaptée à la ligne : l'impédance 

interne (résistive) de la source doit être égale à l'impédance caractéristique de 

la ligne. ” 

D’une façon générale, le récepteur doit aussi être adapté à la ligne afin que le 

transfert de puissance soit maximal entre le générateur et le récepteur. 

Figure 8.7.4 Rs = 1 ohms ; Rr = 5 000 ohms 

C'est un cas de résonance assez forte de la ligne. Dans le cas où les pertes 

sont négligeables, les tensions d'entrée et de sortie subissent des variations 

considérables aux résonances. On pourra vérifier que ces résonances se 

produisent quand la longueur de la ligne est un multiple impair de λ /4. On 

observe que la tension de sortie devient près de 40 fois plus grande que la 

tension de source en circuit ouvert. On note également que l'atténuation sur 

la ligne a pour effet de réduire considérablement les variations à la 

résonance : A, atténuation nulle ; B, 40 dB/km. 

LOGICIEL MatLab CALCULANT LES TENSION D’ENTRÉE ET DE SORTIE D’UNE LIGNE 

% Calcul de la tension à l'entrée et à la sortie 

% d'une ligne en fonction de la fréquence. 

% Avec le logiciel EduMatLab pour Macintosh 

clg 

clear 

clc 

N=input('Nombre de points = '); 

v=input('Vitesse de propagation [m/s] = '); 

a=input('Longueur de la ligne [m] = '); 

Zo=input('Impédance caractéristique de la ligne [ohms] = ');


Rs=input('Résistance interne de la source [ohms] = '); 

Zr=input('Impédance du récepteur [ohms] = '); 

FI=input('Fréquence inférieure [MHz] = '); 

FS=input('Fréquence supérieure [MHz] = '); 

FI = FI*1e6; 

FS = FS*1e6; 

Attr=input('Atténuation [dB/m] à la fréquence de référence, 1 MHz = '); 

% 

f=linspace(FI,FS,N)'; % Vecteur colonne des fréquences. 

Att=Attr*(f*1E-6).^0.5/8.686; % Atténuation [Np/m] à la fréquence f. 

B=2*pi/v; 

k=B*f; % Constante de phase. 

g= Att + j*k; % Fonction de propagation. 

th = tanh(g*a); 

NumZ = Zr + Zo*th; 

DenZ = Zo + Zr*th; 

Ze = NumZ*Zo./DenZ; % Impédance d'entrée. 

U1=ones(N,1); 

Ve=Ze./(Rs*U1 + Ze); % Tension à l'entrée. 

MVe=abs(Ve); 

maxe=max(MVe); % Valeur maximale du module de Ve. 

PHVe=angle(Ve)*180/pi; % Phase de Ve en degrés. 

axis([FI FS 0 maxe*1.05]); % Étendue des axes du graphique. 

plot(f,MVe) % Tracé du module de Ve en fonction de f. 

pause 

axis([FI FS -200 200]); % Étendue des axes du graphique. 

plot(f,PHVe) % Tracé de la phase de Ve en fonction de f. 

pause 

DVr = Zr*U1.*cosh(g*a) + Zo*U1.*sinh(g*a); 

Vr = (Zr*U1.*Ve)./DVr; % Tension Vr au récepteur. 

MVr=abs(Vr); % Module de Vr. 

maxs = max(MVr); % Valeur maximale du module de Vr. 

axis([FI FS 0 maxs*1.05]); 

plot(f,MVr) % Tracé du module de Vr en fonction de f. 

pause 

axis([FI FS -200 200]); 

PHVr = angle(Vr)*180/pi; 

plot(f,PHVr) 

G = [f*1e-6 MVe PHVe MVr PHVr]; % Matrice des résultats pour 

% la mise en graphique avec un 

% autre logiciel.

Figure 8.7.2 Tension à l'entrée et à la sortie d'une ligne. Source et récepteur inadaptés à la ligne

Figure 8.7.3 Tension à l'entrée et à la sortie d'une ligne 

Récepteur adapté à la ligne

Figure 8.7.4 Tension à l'entrée et à la sortie d'une ligne 

Source et récepteur inadaptés à la ligne


8.8 Propriété des lignes avec charge capacitive 

L’impédance d’entrée d’une ligne relativement courte par rapport à la 

longueur d’onde a un comportement assez inattendu quand le récepteur est 

capacitif : elle devient inductive à une fréquence relativement basse. 

Considérons, par exemple, le système illustré ci-dessous où Rr = 100 ohms, 

Cr = 50 nF. Le câble coaxial n’a que 1,5 m de longueur et sa capacité totale 

est d’environ 150 pF seulement : elle est 333 fois plus faible que Cr . Si l’on 

se demande, par exemple, quelle est l’impédance vue par la source à une 

fréquence de 2 MHz, un raisonnement élémentaire nous ferait conclure que 

l’impédance d’entrée Ze doit être pratiquement égale à celle de Cr en parallèle 

avec Rr , vu que la longueur de la ligne est très inférieure à λ/4 et sa capacité 

électrique très inférieure à celle de la charge. En effet, λ = 100 m à 2 MHz : la 

longueur de la ligne n’est que de 0,015λ Or, un tel raisonnement nous 

induirait sérieusement en erreur dans ce cas particulier : l’impédance 

d’entrée est en réalité fortement inductive à cette fréquence comme le 

montre la figure 8.8.2 ! 

Source 

RG-58C/U 

a = 1,5 m 

α a ≈ 0 

Z o = 50 Ω 

Figure 8.8.1 Ligne courte avec charge capacitive 

On vérifie facilement que l’admittance d’entrée a la même forme que 

l’impédance en fonction de l’admittance au récepteur Y r : 

Y e Y r + j Y o tg ka 

Y o + j Y r tg ka Y o 

où Y r 1/R r + jω C r . L’impédance d’entrée est l’inverse de Y e : 

C r 

R r


Z e 1/Z o + j Y r tg ka 

Y r + j 1/Z o tg ka Z o 

Le calcul de cette dernière fonction permet de faire le graphique de la 

figure 8.8.2 qui montre clairement que le module de Ze passe par un 

minimum résistif de 0,1679 ohms à 1,1611 MHz et que l’impédance 

devient inductive aux fréquences supérieures à cette dernière (argument 

θ positif). On observe qu’aux fréquences inférieures à environ 200 kHz, 

l’impédance d’entrée est essentiellement égale à l’impédance de la charge, 

conformément à la théorie élémentaire des circuits où l’on ne tient pas 

compte des phénomènes de propagation. 

Si le coaxial est remplacé par une ligne bifilaire de 300 ohms, cette 

singularité se produit à plus basse fréquence encore, comme on peut le voir 

à la figure 8.8.3. 

10 2 

|Z e | 

[ohms] 

10 1 

10 0 

10 1 

10 3 

Ze Zo Cr Rr |Z e | 

104 105 106 107 Fréquence [hertz] 

|Z r|

100 

θ 

[dg] 

50 

0 

-50 

-100 

10 3 

θ de Z e 

θ de Z r 

10 4 10 5 10 6 10 7 

Fréquence [hertz] 

Figure 8.8.2 Comparaison de l’impédance d’entrée et de l’impédance du récepteur 

Cet exemple assez spécial et peu connu démontre l’importance que peuvent 

prendre les phénomènes de propagation en pratique. Leur méconnaissance 

par l’ingénieur peut entraîner des erreurs et des coûts dans certaines 

circonstances. 

10 2 

|Z e | 

[ohms] 

10 1 

10 0 

10 1 

10 3 

Ze Zo Cr Rr 104 105 106 107 Fréquence [hertz] 

Figure 8.8.3 Impédance d’entrée quand Zo = 300 ohms 

|Z e | 

|Z r|


8.9 L'abaque de Smith 

Nous venons de voir diverses formules reliant les impédances d’entrée et de 

sortie d’une ligne, particulièrement celles reliant le coefficient de réflexion à 

l’impédance. Rappelons cette dernière sous sa forme générale : 

ρ h V g h 

V d h Z h Z o 

Zh + Z o 

(8.9.1) 

où h est la distance mesurée à partir du récepteur. Avec l’impédance 

normalisée : 

ρ h 

zh 1 

zh + 1 

(8.8.2) 

Ainsi, à chaque valeur du coefficient de réflexion corrrespond une seule 

valeur de l’impédance. Le coefficient de réflexion ρ h est relié à celui au 

récepteur ρ r par l’expression suivante : 

ρ(h ) V go 

e 

V do 

-2γ h ρr e-2γ h ρr ejφr e-2γ h (8.8.3) 

Nous avons constaté que les calculs associés sont ardus à moins de disposer 

d’un ordinateur ou d’une calculette programmable. Avant l’invention de ces 

derniers, on s’est ingénié à trouver des méthodes graphiques de calcul 

permettant de simplifier considérablement l’analyse des systèmes 

comportant des lignes et des guides d’ondes. L’abaque de Smith 3 est un des 

instruments conçus à cette fin. C’est le seul qui est encore utilisé 

couramment, car il permet de visualiser simplement la variation de 

l’impédance le long d’une ligne électrique. 

La figure 8.9.1 montre cette abaque. Essentiellement, c’est une 

représentation du plan complexe sur lequel est plaqué un système de 

coordonnées curvilignes des parties réelles et imaginaires de l’impédance 

normalisée ou de l’admittance normalisée sur une ligne électrique. L’origine 

du plan complexe est au centre. Le contour porte diverses graduations qui 

permettent de tracer facilement les vecteurs coefficient de réflexion. Les deux 

3 « Smith chart » en anglais.


échelles circulaires extérieures portent des graduations en unités de 

longueur d’onde : un tour complet dans un sens ou dans l’autre correspond 

à un déplacement de λ/2 le long de la ligne. Une troisième est graduée en 

degrés : l’argument des coefficients de réflexion. Les échelles horizontales du 

bas servent particulièrement à relier le module du coefficient de réflexion au 

taux d’onde stationnaire (T.O.S.). 

Utilisons l’abaque simplifiée de la figure 8.9.2 pour détailler le principe 

d’utilisation. 

L’origine du plan complexe est en C. Les cercles dont le centre se trouve sur 

l’axe réel sont des lieux de résistance (ou de conductance) normalisée r (ou g) 

(partie réelle de z ou de y) constante. En tout point du cercle 1 qui passe par 

C, la partie réelle de l’impédance (ou l’admittance) normalisée est égale à 1, 

et ainsi de suite. Le grand cercle extérieur est le lieu de résistance (ou de 

conductance) nulle. Le point à l’extrême droite est l’infini ; celui de gauche 

est le zéro. Les cercles dont le centre se trouve sur la droite MN sont des 

lieux de réactance (ou de susceptance) normalisée x (ou y) constante. Alors, 

par exemple, si l’impédance normalisée au récepteur z(0) = zr = 2 - j2, elle est 

représentée par le point A à l’intersection du cercle de résistance 2 et du 

cercle de réactance -2. La droite CA représente alors le coefficient de 

réflexion au récepteur ρr ρ 0 . Si on prolonge ce vecteur, l’intercept sur le 

cercle extérieur gradué en degrés nous donne l’argument du coefficient de 

réflexion. Par calcul : 

ρ r = z r 1 

z r + 1 

1 j2 

3 j2 

0,6202∠ 29,74˚ 

Si la ligne est sans perte (α = 0), un déplacement h vers la source fait tourner 

le vecteur coefficient de réflexion d’un angle -2kh en radians, dans le sens 

des aiguilles d’une montre («sens horaire»). La rotation en degrés se lit sur le 

cercle extérieur de la figure 8.9.1. Sa pointe se retrouve alors au point B, par 

exemple. Ce point est à l’intersection de deux cercles de coordonnées 

orthogonaux non représentés qui permettent de lire la valeur de l’impédance 

z(h) en ce point.

Figure 8.9.1 Abaque de Smith

0 

0,3 

-0,3 

B 

z(h) 

0,3 

ρ(h) 

C 

φ(h) 

-2kh 

1 

-1 

1 

0,3 

1 

0,3 

2 

ρ r 

1 

φ r 

-2 

2 

2 

A 

z(0) 

-2 

Figure 8.9.2 Principes de l’abaque de Smith 

Exemple 8.9.1 Utilisation de l’abaque de Smith 

Supposons qu’une ligne coaxiale RG-8U (Zo = 50 Ω) de 13 m de longueur se 

termine par une impédance Z r = 120 - j200 ohms à 10 MHz. On négligera les 

pertes (α = 0). Évaluons l’impédance d’entrée. On calcule premièrement 

l’impédance normalisée du récepteur, z r = 2,4 - j4, qu’on porte sur l’abaque 

(point A, figure 8.9.3). On prolonge cette droite jusqu’en B sur le contour. On 

trace le cercle de rayon 0A. Le module de ρ r est mesurée par la longueur 0A 

qu’on porte sur l’échelle du bas à droite («coeff. vol.»), 0A’. On lit ρ r ≈ 0,81 . 

Sur le contour (point B), on lit φ r ≈ -21˚. Sur l’échelle extérieure graduée en 

longueurs d’onde, on lit environ 0,279λ. La vitesse de phase sur cette ligne 

étant de 2 · 10 8 m/s, on calcule une longueur d’onde λ de 20 m. La longueur 

de la ligne en unités de longueur d’onde est ainsi a = 13/20 λ = 0,65 λ. 

2 

M 

N 

∞


Donc, en allant du récepteur à l’entrée de la ligne, on doit partir du point B 

et tourner sur l’abaque d’une distance correspondante dans le sens horaire. 

Or, on sait qu’un déplacement de 0,5λ sur la ligne correspond à un tour 

complet sur l’abaque. La longueur de la ligne étant : 0,5λ + 0,15λ. Il suffit 

d’ajouter 0,15λ à la position initiale, 0,279λ, pour obtenir la position 

correspondant à l’entrée : 0,429λ, point C. On relie ce dernier au centre 0 

par une droite qui intercepte alors le cercle du coefficient de réflexion au 

point D où on lit l’impédance normalisée à l’entrée de la ligne : ze = 0,130 - 

j0,475. Le coefficient de réflexion y est égal à 0,81 ∠-129˚. Finalement, 

l’impédance d’entrée est Ze = 6,5 - j23,75 ohms. On peut lire le taux d’onde 

stationnaire sur l’échelle du bas à gauche en y portant la longueur OA qui 

détermine le point E : T.O.S. ≈ 9,4. 

Le calcul exact de l’impédance d’entrée au moyen de la formule vue plus 

haut donne, à quatre chiffres significatifs : 

Z e = 6,525 – j23,48 ohms 

On calcule la valeur suivante du coefficient de réflexion au récepteur : 

ρ r = z r – 1 

z r + 1 

= 0,807 ∠-21,1˚ 

On peut aussi calculer le coefficient de réflexion à l’entrée à partir de 

l’expression connue : 

ρ e = ρ r e j 2ka + φ r 

Ici, ρe = ρr car α = 0. La constante de phase est : k = 2π 

λ 

Alors : 

= 0,31416 rd/m. 

2ka + φ r = 8,1682 + 21,1˚ × π/180˚ = 8,5365 rd = 2π 2,2533 rd = 360˚ 129,1˚ 

On retrouve bien l’argument du coefficient de réflexion à l’entrée : -129,1˚. 

On peut en déduire la valeur de l’impédance d’entrée : 

Ze = 1 + ρe Zo = 

1 – ρe 1 + -0,5089 - j0,6263 

1 – -0,5089 - j0,6263 

On retrouve bien la valeur calculée autrement. 

× 50 = 6,53 - j23,46 ohms

J.L. Dion 

C 

D 

E T.O.S. = 9,36 

CALCUL D'IMPÉDANCE 

z e = 0,130 j0,475 

0 

z r = 2,4 j4 

Figure 8.9.3 Calculs avec l’abaque de Smith 

Mars 1996 

A 

B 

|ρr | = 0,807 

A'


8.10 Adaptation d'impédances 

Un problème qui se pose souvent en pratique des hautes fréquences est celui 

de la transmission d’énergie par une ligne d’impédance caractéristique 

donnée Zo à un récepteur ou charge d’impédance différente Zr. Si la ligne est 

simplement raccordée au récepteur, le taux d’ondes stationnaires est plus ou 

moins élevé selon le cas. Cela peut entraîner des surtensions qui causent le 

claquage de la ligne et des courants excessifs qui produisent la surchauffe 

en certains points de la ligne. Il s’impose par conséquent d’utiliser une 

technique permettant d’adapter la ligne à la charge, c’est-à-dire faire en sorte 

que celle-ci présente une impédance assez exactement égale à l’impédance 

caractéristique de la ligne. 

Adaptation par tronçon en parallèle 

Une technique simple en principe est celle de l’adaptation par tronçon en 

parallèle sur la ligne, près du récepteur. Considérons la ligne de la figure 

7.4.1 d’admittance caractéristique Yo = 1/Zo terminée par une admittance 

normalisée yr = Yr/Yo. = 2,4 + j1,6 [Yr = 0,048 + j0,032 siemens ; Zr = 

14,42 - j9,615 ohms]. L’admittance normalisée sur la ligne est donnée par 

l’expression suivante, de même forme que celle de l’impédance normalisée, 

dans le cas où les pertes sont négligeables, avec k = 2π/λ : 

y h y r 

+ j tg 2πh /λ 

1 + jy r tg 2πh /λ 

(8.10.1) 

La figure 8.10.1b montre la variation des parties réelle et imaginaire avec h, 

en mètres et en unités de λ. On constate qu’à la distance h 1 du récepteur la 

partie réelle de l’admittance devient égale à 1 : 

y h 1 1 + jb 1 

Alors, si on place en parallèle sur le ligne à cette position M-N une 

admittance -jb1 , l’admittance normalisée résultante devient égale à 1. 

L’admittance vue en M-N devient ainsi égale à Yo et il n’y a plus de 

réflexion : la ligne est donc adaptée au récepteur. En pratique, on réalise 

cette admittance -jb 1 au moyen d’un bout de ligne ou tronçon pouvant être 

ouvert ou court-circuité de longueur appropriée qu’on raccorde en M-N 

(fig. 8.10.1d,e).


L’abaque de Smith (figure 2.10.3) permet de faire ces calculs facilement. On 

porte l’admittance normalisée du récepteur en A et on trace le cercle de 

rayon 0A. En se déplaçant sur le cercle à partir de A vers la source (sens 

horaire), on intercepte le cercle de conductance normalisée 1 en C où 

y C yh 1 1 j1,38. Ce déplacement est : 

y 1 0,3270λ 0,2175λ 0,1095λ 0,219 mètre 

Il suffira de placer en parallèle sur la ligne en cette position une admittance 

normalisée égale à +j1,38 pour réaliser l’adaptation. Cette admittance se 

trouve au point E de l’abaque. C’est l’admittance à l’entrée du tronçon. En 

tournant dans le sens antihoraire (vers l’autre extrémité du tronçon) d’une 

distance de 0,1502λ, on rencontre le point d’admittance 0 qui correspond à 

une ligne ouverte. Par conséquent, ce tronçon doit avoir une longueur de 

0,1502λ = 30,0 cm. En l’allongeant de 0,25λ, on arrive au point d’admittance 

∞. En pratique on choisira le tronçon le plus court, soit le tronçon ouvert.

Admittance normalisée 

y 

3 

2 

1 

0 

-1 

1.2 

5λ/8 

b 

(a) Y o 

1 

g 

λ/2 

M' 

h 2 

( c) Y o 

(b) 

0,75 

3λ/8 

h [m] 0,5 

h [λ] 

( d) Y o y(h 1 ) = 1 

( e) Y o y(h 1 ) = 1 

P 

Y(h) 

λ/4 

B 

y(h 1 ) = 1 +jb 1 

M 

N 

0,25 

λ/8 

M 

h 1 

h 1 

h1 M 

N 

G 

y r = 2,4 + j1,6 

y r = 2,4 + j1,6 

y r = 2,4 + j1,6 

0 

0 

Y 

[S] 

0,06 

G r 

0,04 

B r 

0,02 

0 

-0,02 

B 1 

0 

yr = 2,4 + j1,6 

Figure 8.10.1 Principe de l’adaptation d’impédances par tronçon en parallèle 

N 

Admittance

J.L. Dion 

H 

B 

T.O.S. = 3,801 

ADAPTATION D'IMPÉDANCE 

z r = 0,2885 j0,1923 

0 

E 

C 

0,1502λ 

A 

y C = 1 j1,38 

y r = 2,4 + j1,6 

Mars 1996 

0,3270λ 

E 

|ρ 

G r | 0,566 

Figure 8.10.2 Adaptation d’impédances par tronçon en parallèle 

23,6˚ 

0,2175λ 

D


EXERCICES 

Question 

Quelle est la définition du taux d'ondes stationnaires sur une ligne 

électrique ? 

8.1 Mesures en régime harmonique 

On réalise au laboratoire le système illustré ci-dessous où G est un 

générateur de tension sinusoïdale à fréquence variable qui donne une 

tension de sortie en circuit ouvert d'amplitude V m = 1 volt indépendante de 

la fréquence. L'oscilloscope permet de lire la tension à l'entrée de la ligne 

sans charger celle-ci : il a une très grande impédance d'entrée (typiquement 

10 MΩ en parallèle avec 10 pF). 

a) Faire le graphique de la tension lue à l'oscilloscope quand la fréquence 

varie de 1 MHz à 20 MHz. 

b) Si l'on fixe ensuite la fréquence à 12,4 MHz et si l'on termine la ligne 

par une impédance Zr = 50 - j50 ohms à cette fréquence, évaluer 

l'amplitude de tension qu'on doit mesurer à l'oscilloscope. 

Rép. : Ve = 315 mV 

G 

R g = 50 ohms 

A 

Oscilloscope 

RG 58C/U 

Zo1 = 50 ohms 

u 1 = 2c/3 

a1 = 10 m 

B 

Ligne 

ouverte 

8.2 Ondes sur une ligne 

Vous raccordez un émetteur à une antenne par un câble RG8/U (Zo = 

50 ohms) de 100 m de longueur. On sait que la longueur d'onde du signal 

est de 20 m et que l'atténuation correspondante est de 20 dB/km. On sait 

aussi que l'antenne présente une impédance égale à 100 - j20 ohms. 

Sachant que la tension à l'entrée du câble a une amplitude de 30 volts,


a) Trouvez l'amplitude complexe en ce point des ondes qui se propagent 

dans les deux sens sur la ligne. Faire une figure montrant les différents 

phaseurs à l'échelle. 

Rép. : V +o = 24,61 ∠2,6˚ volts V o = 5,55 ∠-11,5˚ volts 

b) À partir de ces tensions, trouvez l'expression des courants et celle de 

l'impédance d'entrée de la ligne. 

8.3 Ligne avec charge réactive - diagrammes vectoriels 

Une ligne de 100 m de longueur a et d'impédance caractéristique Zo = 50∠0° 

ohms supposée sans pertes est terminée par une impédance égale à 100 - 

j20 ohms. On raccorde à l'entrée une source qui maintient une tension 

sinusoïdale de 30 volts d'amplitude. Sachant que la longueur d’onde sur la 

ligne est de 382,2 m : 

a) Déterminer l'amplitude complexe à l'entrée des deux ondes qu'on peut 

imaginer se propageant sur la ligne (sens + et –) Faire le diagramme 

vectoriel de ces tensions à l'échelle. 

Rép. : V + (0) = 43,783∠11,51° volts ; V – (0) = 15,581∠−214,09° volts 

b) Évaluer le courant aux deux extrémités de la ligne. Porter ces courants 

sur le diagramme précédent. 

Rép. : I(0) = 1,169∠-17,4° A ; I(a) = 0,5786∠−98,1° A 

c) Calculer l'impédance d'entrée de la ligne à partir des réponses 

précédentes. 

Rép. : Ze = 24,48 + j7,662 ohms 

d) Vérifier que dans l’hypothèse où la ligne est un câble RG-58U, la 

fréquence de fonctionnement est de 523 kHz environ. 

8.4 Ligne avec charge capacitive 

Un câble coaxial de type RG-58C/U (Zo = 50 ohms) est terminé par un 

condensateur de 200 pF, en parallèle avec une résistance de 100 ohms. Sa 

longueur est de 10 mètres. 

a) Évaluer le coefficient de réflexion sur cette terminaison à 30 MHz. 

Rép. : ρt = 0,809∠ −127,7° 

b) Calculer l'impédance d'entrée. Utiliser le logiciel MatLab de préférence.


c) Évaluer la fréquence à laquelle l’impédance d’entrée devient purement 

résistive et la valeur de cette impédance. 

8.5 Système de communication 

Supposons que l'antenne de votre émetteur de SRG (service de radio général, 

f = 28 MHz) soit considérée comme équivalente à une résistance de 100 

ohms en parallèle avec un condensateur de 200 pF, reliée à l'émetteur par 

un câble coaxial RG-58C/U (Z o = 50 ohms) de 12,50 mètres de longueur. 

NOTE : On fera les calculs par ordinateur. Ce programme doit 

particulièrement pouvoir calculer l'impédance d'entrée de la ligne dans tous 

les cas : 

a) Vérifier que la longueur de la ligne est ici un multiple impair de quarts 

de longueur d'onde et calculer son impédance d'entrée. 

Rép. : 91,39 ∠ 74,13° ohms 

b) Supposant celui-ci sans pertes, quelle puissance est rayonnée par 

l'antenne quand la tension mesurée à la sortie de l'émetteur est de 

50 V eff ? Cette puissance est-elle différente de celle injectée à l'entrée ? 

Rép. : 7,480 watts 

c) 1° Quelle valeur de réactance ou susceptance devriez-vous ajouter en 

bout de ligne pour annuler la partie réactive de l'impédance de 

l'antenne, et quelle est alors la puissance émise pour la même tension à 

l'entrée ? L'impédance d'entrée est-elle purement résistive ? 

Rép. : P = 100 watts 

2° Si l'émetteur peut être considéré comme une source de résistance 

interne égale à 50 ohms donnant 80 Veff en circuit ouvert, quelle 

puissance est envoyée sur la ligne et à l'antenne dans le cas initial ? 

Rép. : 11,98 W 

d) Si, dans les conditions premières en (b), vous allongez la ligne de 1,76 

mètre, que devient la puissance rayonnée ? Vous allez ainsi constater 

un effet important de la longueur dans le cas où le récepteur n'est pas 

adapté. 

Rép. : 24,97 W


Le système illustré est formé d'un 

émetteur dans le poste E relié à une 

antenne dipolaire A par une ligne 

bifilaire L de longueur a = 30 m. On 

sait que l'émetteur fournit une tension 

en circuit ouvert décrite par 

vs()= t 200cos 3⋅10 8 ( t)volts. 

L’impédance caractéristique de la ligne 

qui est adaptée à l’impédance de sortie 

de l’émetteur est de 150 ohms et ses 

pertes sont supposées négligeables. La 

vitesse de phase sur la ligne est voisine 

de 3·10 8 m/s. 


D'autres mesures ont permis de déterminer que l'antenne est assimilable à 

une résistance de 75 ohms en parallèle avec un condensateur de 50 pF. 

Déterminer par calcul en décrivant les étapes : 

a) Le coefficient de réflexion à l'antenne. Représenter dans le plan 

complexe. 

Rép. : ρa 0,657∠-150,8˚ 

b) La position près de l'antenne où le coefficient de réflexion devient réel et 

la valeur de l’admittance et de l'impédance en ce point. 

Rép. : h1 0,254 m, Zh1 31,09 ohms 

c) Le taux d'onde stationnaire sur la ligne. 

Rép. : T.O.S. = 2,494 

d) L'impédance d'entrée de la ligne (à l'émetteur). 

Rép. : Ze 651,9 24,56˚ ohms 

e) La puissance efficace rayonnée par l'antenne. 

Rép. : Pa 20,78 W 

f) En vous aidant de l'abaque de Smith, faites la conception du tronçon 

mis en parallèle sur la ligne, près de l'antenne, qui réalisera 

l'adaptation. Justifier clairement les étapes. 

Rép. : had 685 mm Longueur : 1,045 m 

E 

L 

A



Vous devez, comme ingénieur, relier rapidement un émetteur radio 

fonctionnant à 20 MHz dont l'impédance de sortie est de 50 ohms à une 

antenne qui se trouve à 27 mètres de l'émetteur. Vous savez que l'impédance 

d'entrée de l'antenne est également de 50 ohms. Or vous ne disposez que 

d'une grande longueur de câble coaxial de type RG-6/U dont vous 

connaissez les caractéristiques suivantes : Zo = 75 ohms, u = 2c/3. 

a) Décrire clairement votre solution au problème en la justifiant, afin 

d'adapter l'émetteur à l'antenne et ainsi maximiser la puissance 

transmise. 

b) Vous savez que la tension de sortie de l'émetteur a une amplitude de 

50 V quand il est terminé dans une impédance de 50 Ω. Calculer la 

puissance approximative transmise à l'antenne dans ces conditions : 

précisez l'hypothèse que vous devez faire. 

c) Si vous reliez l'émetteur à l'antenne par une longueur de 27 m de RG- 

6/U, quelle sera alors la puissance effective reçue par l'antenne. Est-ce 

mieux ou moins bien que dans le cas précédent ? 

d) Dans un cas comme dans l'autre, quelle est la valeur du coefficient de 

réflexion à l'antenne et à 27 m de celle-ci sur un câble RG-6/U 

8.8 Ligne avec pertes - Calcul du coefficient d’atténuation 

On détermine que l'impédance d'entrée d'un câble de 91,44 m ouvert à 

l'autre bout est de 96,8 + j0 ohms à 17,4 MHz et que sa longueur est égale à 

8 longueurs d'onde exactement. Si l'impédance caractéristique de cette ligne 

est 50∠0° ohms, évaluer son coefficient d'atténuation. 

Rép. : 54,3 dB/km 

8.9 Tensions d’entrée et de sortie d’une ligne 

Un câble coaxial RG-8 de 5 m est terminé par un impédance égale à 

25 + j100 Ω à 21 MHz. Si la tension à l'entrée a une amplitude de 2 volts, 

quelle est sont amplitude et sa phase au récepteur ? 

Rép. : 1,87∠178,8° V 

8.10 Radio amateur 

Comme radio amateur utilisant la bande des 21 mètres à 14,2 MHz, vous 

avez un émetteur dont l’impédance de sortie est de 50 ohms que vous devez 

relier à votre antenne dont l’impédance d’entrée est de 50 ohms également


qui se trouve à 23 m de l’émetteur par le plus court chemin. Or, vous ne 

disposez que d’une grande longueur de câble coaxial RG59B/U. 

a) Quelle est votre solution au problème de raccordement pour que le 

transfert de puissance soit maximal ? 

b) Dans ce cas, faire un graphique de l’amplitude de la tension sur la ligne. 

Est-elle constante ? Sinon, quelle est la valeur du taux d’ondes 

stationnaires (T.O.S.) ? 

8.11 Admittance 

Rép. : TOS = 1,5 

Démontrer que l'admittance d'entrée normalisée d'une ligne de longueur a a 

la même forme que celle de l'impédance normalisée, c'est-à-dire : 

ye = yr + tgh γa 

1 + yr tgh γa 

8.12 Communications 

Une ligne d'impédance caractéristique Zo = 50 ohms étant terminée par une 

impédance Zr = 25 + j100 ohms, évaluer le coefficient de réflexion à cette 

extrémité au moyen de l'abaque de Smith. Décrire les étapes de la méthode. 

Si la longueur de la ligne est de 5λ /8, évaluer l'impédance d'entrée. 


Une ligne RG-58C/U (Zo = 50 ohms, u = 2c/3, α ≈ 0) de 8,7 m de longueur 

relie un générateur adapté à un récepteur d'impédance 10 - j100 ohms à 

50 MHz. Le générateur fournit une tension efficace de 10 volts en circuit 

ouvert. 

a) Évaluer la longueur de la ligne en unités de longueur d'onde. 

Rép. : 2,175λ 

b) Porter l'impédance normalisée du récepteur sur une abaque de Smith. 

En déduire le coefficient de réflexion en ce point et le vérifier par calcul. 

Bien décrire les diverses étapes. 

R : 0,923∠ -53˚ 

c) Calculer l'impédance d'entrée de la ligne et vérifier avec l'abaque en 

décrivant la méthode. 

Rép. : 1,986 - j0,536 ohms


d) Évaluer la puissance efficace fournie au récepteur. 

Rép. : 73,45 mW 

e) Calculer le taux d'onde stationnaire (T.O.S.) et vérifier avec l'abaque en 

décrivant la méthode. 

f) À quelle fréquence la ligne serait-elle quart d'onde ? À cette fréquence, si 

l'impédance du récepteur était la même, quelle serait l'impédance 

d'entrée ? 

Rép. : 5,7471 MHz, 24,88∠84,3˚ ohms 

8.14 Abaque de Smith 

Le coefficient de réflexion au récepteur sur une ligne aux pertes négligeables 

étant 0,3 - j0,55 (mesure faite au réflectomètre), calculer le taux d'onde 

stationnaire (T.O.S.) sur la ligne et la position du premier noeud de tension 

du côté du récepteur. Décrire les étapes du calcul à l'abaque de Smith. 

8.15 Abaque de Smith 

Une ligne coaxiale à fente pleine d'air de Zo = 50 ohms à 700 MHz, est reliée 

à une récepteur et on mesure un T.O.S. de 2,50. On trouve aussi un noeud 

de tension à 10,0 cm du récepteur. Évaluer l'impédance du récepteur au 

moyen de l'abaque de Smith. Décrire la méthode utilisée. 

8.16 Ligne à fente 

Une ligne à fente de Zo = 75 ohms est reliée à une ligne aux caractéristiques 

identiques, longue de 3,75 m et terminée par une antenne. Sur la ligne à 

fente on mesure un T.O.S. de 2,0 et on trouve deux noeuds de tension 

successivement à 0,180 m et 0,530 m du raccord des lignes. On considère 

l'atténuation comme négligeable dans l'ensemble. Évaluer l'impédance de 

l'antenne à la fréquence de mesure au moyen de l'abaque de Smith. Quelle 

est la fréquence ? 


On désire raccorder à une antenne par une ligne coaxiale RG-8 un émetteur 

à 50 MHz dont l'impédance interne est adaptée à la ligne. Celle-ci a une 

longueur de 10 mètres. On a déterminé un T.O.S. de 3 près de l'antenne 

quand la ligne est directement raccordée l'antenne. 

a) Calculer l'impédance de l'antenne. 

b) Calculer le puissance fournie par l'émetteur dans ces conditions, si on 

mesure une tension efficace de 70 volts à la sortie de l'émetteur.


c) Adapter la ligne à l'antenne au moyen d'un tronçon parallèle près de 

l'antenne. 

d) Calculer la puissance fournie par l'émetteur dans ces nouvelles 

conditions. 

8.18 Mesure des paramètres d’une ligne 

Vous devez comme ingénieur mettre au point la liaison temporaire entre 

divers appareils à haute fréquence. Mais vous ne disposez que d’un câble 

bifilaire aux caractéristiques inconnues qu’il vous faut mesurer avec les 

différents appareils de base disponibles (générateur de signaux, oscilloscope, 

fréquencemètre). Comme vous avez bien profité de votre cours sur les lignes 

électriques, vous montez une «boîte de mesure» M d’impédance de sortie 

égale à 50 ohms que vous intégrez au système illustré ci-dessous. 

L’oscilloscope sert à mesurer les tensions à l’entrée et à la sortie de la boîte 

M. Ve est la tension à l’entrée de la ligne (sortie de la boîte). 

S 

M 

Oscilloscope 

a = 5,0 m 

Récepteur 

Zo = inconnue 

Source: 

VMo = 1 volt (amplitude à la sortie de M 

en circuit ouvert) 

RM = 50 ohms (résistance interne de la boite M) 

Puis, vous faites une série de mesures afin d’évaluer les caractéristiques 

secondaires essentielles de cette ligne. Vous avez inscrit les résultats dans le 

tableau ci-dessous.


f 

MHz 

Ve 

Volts 

|Ze| 

Ohms 

θ 

Observations 

11,50 ~ 0 ~ 0 Première fréquence de résonance de la ligne ouverte (R ∞). 

57,50 ~ 0 ~ 0 Troisième résonance de la ligne ouverte (R ∞). 

6,50 ~ 0,947 147,5 ~ +90˚ Ligne court circuitée (R 0). 

6,50 ~ 0,890 97,63 ~ 90˚ Ligne ouverte (R ∞). 

6,50 68,63 44,14˚ Impédance inconnue Z r du récepteur. 

a) Évaluez la vitesse de phase sur cette ligne en exposant clairement la 

méthode utilisée. 

Rép. : 2,23 · 10 8 m/s 

b) Calculez son impédance caractéristique en justifiant clairement la 

méthode. 

Rép. : 120 Ω 

c) Quel est à peu près |Ze| à 11,50 MHz ? À 57,5 MHz ? Justifiez. 

d) Cette ligne a-t-elle des pertes appréciables ? Justifiez votre réponse. 

e) Évaluez par calcul l'impédance inconnue dans le dernier cas et reprenez 

le même calcul au moyen de l’abaque de Smith. 

Rép. : Z r = 50 - j50 Ω 

f) Quelle devra être la résistance de sortie des appareils sources utilisés 

avec ce type de ligne afin que la transmission soit indépendante de la 

fréquence, quelle que soit la longueur de la ligne utilisée ? Discutez.

Annexe 

Tiré du catalogue «Câbles de données», ALPHA


Tiré du catalogue «Câbles de données», ALPHA

Tiré du catalogue «Câbles de données», ALPHA 

Annexe 293

Bibliographie 

CHENG, D.K., Field and Wave Electromagnetics, Addison-Wesley, 1993. 

CHIPMAN, R.A., Transmission Lines, Schaum, McGraw-Hill. 

CROZE, Raymond, Simon, L et Caire, J.P, Transmission téléphonique : 

théorie des lignes, Eyrolles, 1968. 

DUBOST, Gérard , Propagation libre et guidée des ondes électromagnétiques: 

application aux guides et fibres optiques, Masson, Paris, 1995. 

DWORSKY, Lawrence N., Modern Transmission Line Theory and Applications, 

Wiley, 1979. 

FRÜHLING, A., Cours d'électricité, tomes 1 et 2, Dunod, Paris. 

GRIVET, Pierre, Physique des lignes de haute fréquence et d'ultra-haute 

fréquence, Masson, 1969. 

HAUS, H.A. et MELCHER, J.R., Electromagnetic Fields and Energy, Prentice- 

Hall, 1989. 

HAYT, William H. Jr., Engineering Electromagnetics, McGraw-Hill. 

LECERF, André, Physique des ondes et des vibrations, Technique et 

documentation - Lavoisier, Paris, 1993. 

LORRAIN, Paul et CORSON, D.R., Champs et ondes électromagnétiques, 

Armand Colin, Paris, 1979. 

PÉREZ, J.P., CARLES, R. et FLECKINGER, R., Électromagnétisme ; Vide et 

milieux matériels, Masson, Paris, 1991. 

ROUAULT, M., collab. de P. MERGAULT, Électricité, fascicules 1 et 2, 

Masson, Paris, 1967. 

SESHADRI, S.R., Fundamentals of Transmission Lines and Electromagnetic 

Fields, Addison-Wesley, 1971.

A 

Abaque de Smith 272 

Adaptation d'impédances 

278 

Adaptation par tronçon en 

parallèle 278 

Amplitude complexe 14 

Analyse de la fonction 

204 

Analyse de la fonction , 

ligne avec perte 205 

ligne sans perte 204 

Angle de Brewster 84 

Angle d'incidence critique 

84 

Atténuation en fonction de 

la fréquence 218 

C 

Capacité linéique 160, 216 

Champ électrique 57 

Champ électromagnétique 4 

origine d'un 3 

Champ électromagnétique 

transversal 14, 25 

Champ magnétique 34 

Champ magnétique H, 

expression du 24 

Champ réel 16, 29 

Champ réflechi 89 

Champ transmis 88 

Coefficient 

d'affaiblissement 27 

d'atténuation 27 

d'atténuation en mode 

TE 136 

d'atténuation en mode 

TM 132 

de réflexion 53, 54, 77, 

83, 173 

de réflexion de 

l'intensité 57 

de transmission 53, 54, 

77, 83 

de transmission de 

l'intensité 57 

INDEX 

Composantes du champ 72 

Composantes du champ 

électromagnétique 76, 

82 

Concept de propagation 3 

Conductance linéique 160, 

217 

Conducteur 56 

Conducteur cylindrique 211 

Conductivité complexe 

effective 27 

Conductivité effective 27 

Constante de phase 9, 58 

Constante de propagation 9 

Constante de propagation 

complexe 26 

Courant 161 

D 

Décibels 204 

Déphasage 15 

Diagramme en zigzag 177 

E 

Effet pelliculaire 34 

Équation de Helmholtz 14 

Équation d'onde 161 

amplitude complexe 

198 

F 

Fibre optique 91 

Flux d'énergie 

électromagnétique 35 

Fonction d'onde 9, 24, 34, 

52, 161, 163 

atténuation 200 

changement de 

coordonnées 236 

réfléchie 174 

vitesse de phase 201 

Forme complexe de l'onde 

stationnaire 63 

Forme réelle de l'onde 

stationnaire 64 

Fréquence de coupure 128 

Fréquence de transition 205 

I 

Impédance caractéristique 

169, 170, 220 

du milieu 25 

du vide 26 

Impédance d'entrée 246 

Impédance d'onde 25, 26 

Impédance normalisée 250 

Impédance sur la ligne 245 

Impulsions sur une ligne 

avec pertes 168 

Incidence surcritique 87 

Indice de réfraction 74 

Inductance linéique 160, 

216 

Intensité 110 

Intensité de l'onde 41 

Intensité transmise 90 

Interface de deux 

diélectriques parfaits 

52 

Interface diélectrique 56 

Interrupteur initialement 

fermé 181 

Interrupteur initialement 

ouvert 180 

L 

Ligne bifilaire 156 

Ligne coaxiale 156, 171 

Ligne triphasée 156 

Lois de Descartes et Snell 

73 

Longueur d'onde 5, 15, 17 

dans le guide 131 

M 

Mesure de coefficient 

d'atténuation 259 

Mesure de la vitesse de 

phase 257 

Mesure de l'impédance 

caractéristique 258 

Mesure d'une ligne 257 

Microruban 156 

Milieu dispersif 29

Modes de propagation 119 

Mode TE 120, 135 

Mode TEM 119, 120 

Mode TM 120, 126 

Népers 203 

N 

O 

Onde dans le sens positif 

202 

Onde 

évanescente 81, 87 

incidente 52 

plane 9 

Onde plane 

direction quelconque 

69 

fonction d'onde 69 

composantes 138 

Onde réfléchie 52 

Onde transmise 52 

Ondes en échelon 164 

Ondes hertziennes 5 

Ondes sphériques 105 

Ondes stationnaires 59, 240 

Ondes transversales 

électriques 120 

électromagnétiques 

119 

magnétiques 120 

Orthogonalité des champs 

24 

P 

Pénétration 34 

Permittivité complexe 26 

effective 27 

Phase 16 

vitesse de 16, 17 

Plan(s) 

nodal 60 

ventral 60 

conducteurs parallèles 

120 

Polarisation circulaire 20 

droite 22 

gauche 22 

Polarisation dans le plan 19 

Polarisation d'une onde 19 

Polarisation elliptique 20 

Polarisation parallèle 82 

Polarisation rectiligne 19 

Potentiels retardés 6, 7, 99 

Propagation avec 

atténuation 123 

Propagation dans un 

conducteur 32 

Propagation dans un 

diélectrique avec perte 

26 

Propagation guidée 91, 157 

Propriété des lignes avec 

charge capacitive 269 

Propriété d'un tronçon court 

256 

Puissance 110 

instantanée 35 

moyenne 41 

transmise 58 

R 

Rayonnement 9 

d'un dipôle oscillant 

105 

Réflexion 172 

en polarisation 

perpendiculaire 

76 

oblique 72 

sur un conducteur 

parfait 59 

sur un diélectrique 63 

totale 79 

Régime harmonique 104 

Relations entrée / sortie 260 

Résistance de surface 43 

Résistance du rayonnement 

112 

Résistance linéique 160, 

211 

S 

Source avec résistance 

interne 172 

Spectre électromagnétique 

5 

T 

Taux d'onde stationnaire 64 

Tension 161 

Théorème de Poynting 35 

Théorème des interrupteurs 

180 

Transmission d'énergie 3 

Transmission par onde 

évanescente 92 

Tronçon court circuité 256 

Tronçon ouvert 257 

Type de polarisation permis 

120 

Types de lignes 155 

Types de vitesse 143 

Types de vitesse, relation 

géométrique 143 

Types d'ondes 119 

V 

Valeur des paramètres 171 

Vecteur de Poynting 38, 

110 

en régime harmonique 

39 

Vecteur d'onde 71 

Vitesse 

de groupe 144 

de phase 129 

de propagation de 

l'énergie 42

Electromagnetisme Propagation

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