Représentation graphique d'une inéquation du premier degré à ...

Représentation graphique d’une inéquation du premier degré à deux variables.
(Document de préparation #1)
Pour représenter une inéquation à l'aide d'un graphique, on procède de la même
manière que dans le cas d'une équation: on calcule les coordonnées de trois couples, on
les situe sur un plan cartésien et on les relie par une droite.
Dans le cas d'une inéquation, on représente la droite à l'aide d'une ligne pointillée si
l'inégalité est stricte (> ou

Et le tour est joué ! Vous vous demandez à quoi auraient ressemblé les graphiques si le
symbole d'inégalité avait été différent?
Lorsque la droite associée à une inéquation est verticale, ce qui signifie que
l'inéquation est du type Ax + C < 0 ou Ax + C > 0, on ne peut dire qu'on colorie le
demi-plan situé au-dessus ou au-dessous de la droite. Souvenez-vous que vous devez
isoler la variable x avant de déterminer la région à colorier, car le symbole d'inégalité
pourrait être inversé au cours des opérations. Le demi-plan se trouve à gauche si le
symbole est < ou ≤, et à droite si le symbole est > ou ≥.

Voici les quatre représentations graphiques possibles associées à l'expression 2x-6 = 0,
quand on en fait une inéquation en remplaçant le symbole = par >, ≥, < ou ≤.
On isole d'abord la variable x dans le membre gauche de l'inéquation.
2x-6 > 0 => x > 3 2x-6 x < 3
Ligne pointillée; demi-plan situé à droite. Ligne pointillée; demi-plan situé à
gauche.
2x-6 ≥ 0 => x ≥ 3 2 x -6 ≤ 0 => x ≤ 3
Ligne continue; demi-plan situé à droite. Ligne continue; demi-plan situé à gauche.
Pour terminer, voici un résumé des notions abordées jusqu'à présent, suivi d'un
exercice qui vous permettra de vérifier vos connaissances.

Résumé
• La représentation graphique d'une équation du premier degré à deux
variables est une droite.
• Il existe trois types de droites, chacune étant associée à un type
d'équation :
1° droite oblique: équation de la forme Ax+ By+ C = 0,
où A et B ≠ 0;
2° droite verticale: équation de la forme Ax + C = 0
ou x=k, où k est une constante;
3° droite horizontale: équation de la forme By + C = 0
ou y=k, où k est une constante.
• La représentation graphique d'une inéquation du premier degré est un
demi-plan. Pour représenter une inéquation du premier degré, il suffit de
suivre les étapes suivantes:
1° On calcule les coordonnées de trois points comme s'il
s'agissait d'une équation.
2° On situe ces trois points dans un plan cartésien et on les
relie par un trait:
— continu si le symbole comprend l'égalité (≥ ou ≤);
— pointillé si le symbole est < ou >.
3° On isole y dans le membre gauche de l'inéquation, puis on
hachure le demi-plan situé:
— au-dessus de la droite si le symbole est > ou ≥;
— au-dessous de la droite si le symbole est < ou ≤.
• Pour une inéquation de la forme x > k ou x < k, représentée par une droite
verticale, on hachure le demi-plan:
— situé à gauche, si le symbole est < ou ≤;
— situé à droite, si le symbole est > ou ≥.

Traduction d’un problème d’optimisation en langage mathématique.
(Document de préparation #1)
Optimiser une opération, un travail ou une situation consiste à maximiser le
rendement que l'on va obtenir, ou encore à minimiser les dégâts. Par exemple:
maximiser les profits d'une entreprise, tout en minimisant les dépenses. Résoudre un
problème d'optimisation consiste à trouver les valeurs qui permettront de calculer
ce maximum ou ce minimum, alors qu'interviennent des variables soumises à
certaines contraintes. À la fin de ce module, vous serez en mesure de résoudre ce
type de problème. La démarche comporte trois étapes majeures que vous étudierez
au cours de chacun des trois sous-modules de ce manuel.
La première étape de la résolution d'un problème d'optimisation consiste à traduire
celui-ci en langage mathématique. Pour ce faire, vous devez déterminer:
• les variables recherchées;
• les éléments permettant d'établir la fonction à optimiser;
• les éléments permettant d'établir les contraintes.
Voyons tout de suite un exemple dans lequel vous apprendrez à traduire un problème
d'optimisation en langage mathématique.
Exemple 1
Traduire le problème d'optimisation suivant en langage mathématique.
La pâtisserie Le gourmet du chocolat vend les meilleurs desserts au chocolat en ville.
Mathilda, la pâtissière et propriétaire, propose à sa clientèle deux types de gâteaux:
le petit gâteau à 3 $, qui ravit même les palais les plus capricieux, et le gros gâteau à
5 $, pour les vrais connaisseurs: une montagne de glace à la vanille couronnée d'une
grosse cerise juteuse. Par expérience, elle sait qu'elle vend toujours au moins autant
de petits gâteaux que de gros. Pour assurer la fraîcheur de ses pâtisseries, elle ne
fait jamais plus de 200 gâteaux par jour. Mathilda possède davantage de petits
moules que de gros moules, ce qui l'empêche de préparer plus de 80 gros gâteaux par
jour. Combien de gâteaux de chaque sorte Mathilda doit-elle préparer chaque jour
pour maximiser le montant de ses ventes?

Solution
A. L'identification des variables
Les problèmes d'optimisation que vous traiterez dans ce module comporteront
toujours deux variables. Pour déterminer ce que doit représenter chacune de ces
variables, il vous suffit de vous poser la question suivante: «Que cherchons-nous
exactement?» Ici, ce que l'on cherche à savoir se traduit par la question suivante:
«Combien de gâteaux de chaque sorte Mathilda doit-elle faire chaque jour pour
maximiser le montant de ses ventes?» On pose donc:
x= le nombre de petits gâteaux
y= le nombre de gros gâteaux
B. La fonction à optimiser
Pour trouver les éléments qui détermineront la fonction à optimiser, vous devez
à présent vous poser la question suivante : « Que cherchons-nous à maximiser ou à
minimiser? » Dans le problème des gâteaux de Mathilda, on veut maximiser le
montant des ventes des gâteaux. Et comment déterminer ce montant? En multipliant
simplement le nombre de gâteaux de chaque type par son prix unitaire, puis en
additionnant le tout.
x petits gâteaux à 3$ représentent un montant de 3x$
y gros gâteaux à 5$ représentent un montant de 5y$
On calculera le montant total des ventes (Z) en additionnant les revenus que
Mathilda tirera de la vente de ses petits gâteaux (3x) aux revenus que lui procurera
la vente de ses gros gâteaux (5y), ce que nous pouvons formuler de la façon suivante:
Z = 3x+ 5y
C'est la fonction à optimiser, que nous prendrons l'habitude de noter Z. De façon
générale, l'expression de Z sera toujours de la forme Z = Ax + By + C.

C. Les contraintes
Les contraintes sont des limitations imposées, dans une situation donnée, aux
éléments qui permettent d'établir la fonction à optimiser. Que ces limitations soient
imposées par le temps, par l'espace, par le budget ou simplement par la volonté, elles
donnent naissance à un système d'inéquations. Relisez attentivement l'énoncé du
problème et répondez à la question suivante: «Quelles limitations du nombre de
petits gâteaux et de gros gâteaux Mathilda doit-elle respecter?»
En lisant le problème, on peut trouver trois contraintes.
1. Mathilda vend toujours au moins autant de petits gâteaux que de gros.
Si elle vendait exactement le même nombre de petits et de gros gâteaux, nous
pourrions poser l'équation x= y. Mais «vendre au moins autant de petits que de
gros» signifie que le nombre de petits gâteaux peut dépasser le nombre de gros.
Cette constatation nous mène à l'inéquation suivante:
x ≥ y
2. Mathilda ne fait jamais plus de 200 gâteaux par jour.
Si, au total, elle préparait exactement 200 gâteaux (petits et gros) par jour, nous
pourrions poser l'équation x+ y = 200, mais le fait qu'elle n'en prépare « jamais
plus de 200 » nous permet de déduire que le total pourrait être inférieur à 200.
Cette déduction nous mène à l'inéquation suivante:
x + y ≤ 200
3. Mathilda ne prépare jamais plus de 80 gros gâteaux par jour.
Si elle faisait exactement 80 gros gâteaux par jour, nous pourrions poser l'équation
y-80, mais affirmer qu'elle n'en fait «jamais plus de 80» nous permet de déduire
que ce nombre pourrait être inférieur à 80. Cette déduction nous mène à une nouvelle
inéquation:
y ≤ 80

Il n'y a apparemment aucun autre indice dans le texte qui nous permette de
déterminer d'autres contraintes s'appliquant au nombre de gâteaux préparés par
Mathilda. Par contre, deux contraintes doivent être ajoutées à la liste précédente
pour qu'elle soit complète. Ces contraintes se rapportent au signe des variables. On
les appelle contraintes de non-négativité:
x≥0
y≥0
Ces contraintes de non-négativité sont valables pour tout problème d'optimisation
s'appliquant à des variables qui ne peuvent prendre de valeurs négatives. Ici, ces
contraintes indiquent simplement que Mathilda ne peut faire un nombre négatif de
gâteaux, petits ou gros.

Dans le problème de la page précédente, il vous a peut-être semblé difficile de
déterminer les contraintes. Poser les inéquations traduisant les contraintes est
pourtant une étape cruciale; il suffit en fait de prêter attention à l'énoncé du
problème et d'utiliser le simple bon sens. Dans de nombreux problèmes
d'optimisation, vous trouverez des expressions telles que: «au moins», «au plus»,
«pas plus que», «pas moins que», «au maximum», «au minimum», «ne doit pas
dépasser», «est limité à», etc. Chacune de ces expressions peut être traduite par
une inéquation comportant le symbole ≤ ou le symbole ≥. Voici une liste de quelques
expressions courantes dans ce type de problème, un exemple pour chacune et sa
traduction en langage mathématique. Notez que, pour vous garder en appétit, les
exemples se rapportent aux gâteaux de Mathilda; x désigne toujours le nombre de
petits gâteaux, et y le nombre de gros gâteaux.
Pour vous permettre de mettre en application ce vocabulaire, voyons sans plus
tarder un second problème.

Exemple 2
Pour le problème d'optimisation suivant, définir les variables, déterminer les
éléments permettant d'établir les contraintes et les éléments permettant
d'établir la fonction à optimiser, puis traduire la situation en langage
mathématique.
La municipalité de Saint-Jean-de-Matha sera bientôt le théâtre du concours «
L'homme fort du Québec». Pour l'occasion, Marcel Marchand, un commerçant
ambulant, a décidé de vendre des tee-shirts et des casquettes portant le logo et
les couleurs du concours. La vente de chaque tee-shirt lui rapportera 15 $, alors
qu'une casquette lui rapportera 5 $. Il s'attend à vendre au moins 50 tee-shirts, et
au moins trois fois plus de casquettes que de tee-shirts. Marcel a dû se procurer un
permis au coût de 80 $ pour avoir le droit de faire du commerce sur le site du
concours. Sa camionnette ne lui permet pas de transporter plus de 500 articles sur
le site. À combien peut-il estimer le profit maximal qu'il fera pendant la journée?
Solution
A. L'identification des variables
À la lecture du problème, avez-vous découvert ce que représenteront les variables
x et y ?
x =
y =
B. La fonction à optimiser
À la lecture du problème, avez-vous découvert les éléments permettant d'établir la
fonction à optimiser? Bien sûr, ce sont les profits de Marcel qu'il faut maximiser: Z
= profits de Marcel. On les calcule en additionnant les profits tirés de la vente de
tee-shirts et les profits tirés de la vente de casquettes, et en soustrayant de
cette somme le montant qu'a dû payer Marcel pour se procurer un permis de vente
sur le site du concours:

C. Les contraintes
Avant toute chose, écrivons les contraintes de non-négativité:
À la lecture du problème, avez-vous découvert à quelles limitations Marcel est soumis? Il
s'attend à vendre au moins 50 tee-shirts:
Il s'attend à vendre au moins trois fois plus de casquettes que de tee-shirts:
La camionnette de Marcel ne lui permet pas de transporter plus de 500 articles sur le
site:
Avant de vous attaquer aux exercices, prenez le temps de vérifier si vous avez
déterminé correctement tous les éléments de la solution.
A. L'identification des variables
B. La fonction à optimiser
C. Les contraintes
x= le nombre de tee-shirts vendus
y= le nombre de casquettes vendues
Z= 15x+5y-80
x ≥ 0 y ≥ 0
x≥50
y≥3x
x+y ≤ 500

Résolution d’un système d’inéquations du premier degré à deux variables.
(Document de préparation #1)
Contrairement au système de deux équations, dont la solution est un couple, un
système de deux inéquations a habituellement une infinité de solutions qui sont
représentées par une région du plan cartésien. C'est pourquoi nous ne calculons pas
algébriquement ces solutions: nous représentons plutôt graphiquement la
région-solution du système d'inéquations donné. Voyons cela à l'aide d'un exemple.
Exemple 1 Résoudre graphiquement le système d'inéquations suivant:
3x+ y ≤ 0 et 2x- y+4 ≥ 0.
Solution
On doit d'abord tracer la droite correspondant à chacune des inéquations sur un
même plan cartésien; la région-solution sera l'intersection des demi-plans délimités
par les deux droites.

La région-solution est celle où les deux régions coloriées se croisent, c'est-à-dire la
région commune aux deux inéquations. Tous les couples appartenant à cette région
sont des solutions de ce système d'inéquations.
Avez-vous envie de compléter un exemple ?
Exemple 2
Résoudre graphiquement le système d'inéquations suivant: y 4x+80.
Solution
Avez-vous obtenu la même région-solution que celle qui est illustrée ci-dessous?

Pause calculatrice

Le polygone de contraintes
(Document de préparation #2)
On appelle polygone de contraintes la région du plan cartésien que l'on obtient
lorsque l'on représente graphiquement dans un plan cartésien la région-solution de
toutes les inéquations établies à partir des contraintes d'un problème d'optimisation.
Si vous avez toujours un peu de difficulté à représenter graphiquement la
région-solution d'une inéquation, vous pouvez consulter la section de la mise à jour qui
traite de la représentation graphique des solutions d'une inéquation. Dans la
prochaine section de ce sous-module, vous apprendrez à calculer les coordonnées des
sommets d'un polygone de contraintes, ce qui équivaut à trouver les coordonnées du
point de rencontre de deux droites. Encore une fois, vous pouvez vous référer à la
mise à jour pour réviser l'une ou l'autre des trois méthodes algébriques utilisées pour
faire ces calculs.
Revenons au problème de la pâtisserie de Mathilda, vu au sous-module précédent,
pour illustrer comment l'on représente graphiquement les inéquations associées à des
contraintes.
Exemple 1 Tracer le polygone de contraintes se rapportant au problème
d'optimisation suivant.
La pâtisserie Le gourmet du chocolat vend les meilleurs desserts au chocolat en ville.
Mathilda, la pâtissière et propriétaire, propose à sa clientèle deux types de gâteaux:
le petit gâteau à 3 $, qui ravit même les palais les plus capricieux, et le gros gâteau à
5 $, pour les vrais connaisseurs: une montagne de glace à la vanille couronnée d'une
grosse cerise juteuse. Par expérience, elle sait qu'elle vend toujours au moins autant
de petits gâteaux que de gros. Pour assurer la fraîcheur de ses pâtisseries, elle ne
fait jamais plus de 200 gâteaux par jour. Mathilda possède davantage de petits
moules que de gros moules, ce qui l'empêche de préparer plus de 80 gros gâteaux par
jour. Combien de gâteaux de chaque sorte Mathilda doit-elle préparer chaque jour
pour maximiser le montant de ses ventes?

Solution
Nous avions traduit, au sous-module précédent, chacune des contraintes rattachées
à ce problème par une inéquation.
x = le nombre de petits gâteaux
y = le nombre de gros gâteaux
x ≥ 0 et y ≥ 0 : contraintes de non-négativité
x ≥ y : « Elle vend au moins autant de petits que de gros. »
x + y≤ 200 : « Elle ne fait jamais plus de 200 gâteaux. »
y ≤ 80 : «Elle ne fait jamais plus de 80 gros gâteaux.»
Les deux contraintes de non-négativité indiquent simplement que tout point qui peut
être une solution du système d'inéquations doit se situer dans le premier quadrant
du plan cartésien.
C'est pour cette raison que, dans ce sous-module, nous prendrons l'habitude de
représenter uniquement la partie positive de l'axe des x etla partie positive de l'axe
des y. Si l'on considère uniquement le premier quadrant du plan cartésien, il n'est pas
nécessaire de tenir compte des contraintes de non-négativité lorsqu'on représente
un polygone de contraintes.
1. La contrainte x ≥ y
Pour représenter adéquatement la région délimitant les solutions de l'inéquation x ≥
y, on trace d'abord la droite d'équation x = y. Un tableau de couples vous permettra
de calculer très facilement les coordonnées de quelques points.

Représentons ces trois points sur le plan cartésien. Ensuite, pour déterminer quel
demi-plan correspond aux solutions de l'inéquation, on isole tout simplement y dans le
membre gauche de l'inéquation.
x ≥ y y ≤ x
L'avantage d'isoler la variable y dans le membre gauche de l'inéquation réside dans le
fait que le signe d'inégalité nous indique immédiatement dans quel demi-plan se
situent les solutions de l'inéquation:
• le symbole ≤ indique que les solutions se situent dans la région sous la droite;
• le symbole ≥ indique que les solutions se situent dans la région au-dessus de la
droite.
2. La contrainte x + y ≤ 200
On procède de la même façon pour représenter les solutions de l'inéquation x + y ≤
200. Les coordonnées à l'origine sont idéales pour tracer la droite, car, en plus de se
calculer rapidement, elles fournissent des points particulièrement faciles à situer
sur le plan. Pour les trouver, il vous suffit de remplacer x par 0 pour calculer la
valeur de y, et de remplacer y par 0 pour calculer la valeur de x.

Situons ces trois points sur le plan cartésien et colorions ou hachurons la région du
plan correspondant aux solutions de l’inéquation x + y ≤ 200, ou y ≤ -x + 200
3. La contrainte y ≤ 80
L'inéquation y ≤ 80 a la particularité de ne comporter que la variable y. La droite
correspondante, d'équation y=80, sera dans ce cas horizontale. Puisque le symbole
est ≤, colorions ou hachurons la région située sous la droite.
Rappel
Lorsqu'une équation comporte une seule variable, la droite correspondante
est:
• verticale, si l'équation est du type x = k;
• horizontale, si l'équation est du type y = k.

Le polygone de contraintes contient tous les points du plan qui sont des solutions de
toutes les contraintes simultanément.
La figure de droite représente le polygone de contraintes du problème
d'optimisation de Mathilda. En effet, chacun des points de cette figure vérifie
chacune des contraintes imposées aux variables du problème.

Exemple 2
Tracer le polygone de contraintes se rapportant au problème suivant.
La municipalité de Saint-Jean-de-Matha sera bientôt le théâtre du concours
«L'homme fort du Québec». Pour l'occasion, Marcel Marchand, un commerçant
ambulant, a décidé de vendre des tee-shirts et des casquettes portant le logo et les
couleurs du concours. La vente de chaque tee-shirt lui rapportera 15 $, alors qu'une
casquette lui rapportera 5 $. Il s'attend à vendre au moins 50 tee-shirts, et au moins
3 fois plus de casquettes que de tee-shirts. Marcel a dû se procurer un permis au coût
de 80 $ pour avoir le droit de faire du commerce sur le site du concours. Sa
camionnette ne lui permet pas de transporter plus de 500 articles sur le site. À
combien peut-il estimer le profit maximal qu'il fera pendant la journée?
Solution
Si vous avez une bonne mémoire, vous vous rappelez les inéquations traduisant les
contraintes de ce problème formulées au sous-module précédent:
x= le nombre de tee-shirts vendus
y= le nombre de casquettes vendues
x ≥ 0 et y ≥ 0 : contraintes de non-négativité
x ≥ 50 : « Il s'attend à vendre au moins 50 tee-shirts. »
y ≥ 3x : « A u moins 3 fois plus de casquettes que de tee-shirts.»
x + y ≤ 500 : « Sa camionnette ne lui permet pas de transporter plus de 500 articles
sur le site.»
On tient compte des contraintes de non-négativité pour les deux variables en
n'illustrant que le premier quadrant du plan. Mais vous devez représenter
graphiquement les solutions des trois autres contraintes.

Si vous avez bien fait vos calculs, votre polygone de contraintes devrait ressembler à celui-ci :

Avez-vous réussi votre représentation graphique? Comme vous avez pu le
constater, ce n'est pas compliqué quand on sait comment s'y prendre.
Remarquez qu'il n'est pas nécessaire d'avoir gradué les axes exactement de la
même façon pour obtenir un polygone de contraintes équivalent. Mais tentez
toujours de graduer les axes de façon à en utiliser une bonne partie au moment de
tracer le polygone de contraintes.

Les sommets d’un polygone de contraintes
(Document de préparation #2)
Maintenant que vous savez comment représenter un polygone de contraintes, vous
apprendrez à déterminer les coordonnées de ses sommets. Rien n'est plus simple !
Il suffit de résoudre un système de deux équations pour calculer les coordonnées de
chacun de ces sommets, ces deux équations étant déterminées par les équations
associées aux deux contraintes dont le sommet considéré est le point de rencontre.
Dans certains cas, on peut lire directement sur le graphique les coordonnées des
sommets d'un polygone de contraintes, mais il est important de savoir calculer
algébriquement les coordonnées de ces points. Un exemple vous permettra de tirer
tout cela au clair.
Exemple 1
Calculer les coordonnées des sommets du polygone de contraintes du problème des
gâteaux de Mathilda.
Solution
On désigne par les lettres A, B, C et D les sommets du polygone.

1. Le sommet A est situé à la rencontre de trois des droites formant le polygone:
x = 0, y = 0 et x = y
Deux des trois droites suffisent pour déterminer les coordonnées de leur point
d'intersection. Et un coup d'oeil suffit pour constater que les équations x= 0 et y=
0 ont pour solution l'origine:
A (0, 0)
2. Le sommet B est situé à la rencontre des droites d'équations x=0 et y = 80.
La variable y étant isolée dans chacune des deux équations, nous utiliserons ici la
méthode de comparaison.
x = y
y=80 =»x = 8O
Nous avons ainsi obtenu les coordonnées du point B:(80, 80).
3. Le sommet C est situé à la rencontre des droites d'équations x+ y= 200 et y=
80.
Procédons cette fois par la méthode de substitution.
y=80
x+ y=200 => x+80 =200
x=200-8O
x = 120
Nous avons ainsi obtenu les coordonnées du point C:(120, 80).
4. Le sommet D est situé à la rencontre des droites d'équations x+ y= 200 et
y=0.
Utilisons une fois de plus la méthode de substitution.
y=0
x+y=200 => x+0 = 200
x = 200
Nous avons obtenu les coordonnées du point D : (200, 0).

Et voilà ! En règle générale, il est facile de trouver par la méthode algébrique les
sommets d'un polygone de contraintes, les contraintes d'un problème
d'optimisation donnant le plus souvent lieu à des inéquations relativement simples.
Exemple 2
Calculer les coordonnées des sommets du polygone de contraintes du problème
d'optimisation de Marcel Marchand.
Solution
Désignons par A, B et C les sommets du polygone de contraintes.

1. Le sommet A est situé à la rencontre des droites d'équations x= 50 et y= 3x.
La méthode de substitution semble tout indiquée, mais vous pouvez utiliser la
méthode de votre choix pour calculer les coordonnées du sommet A.
2. Le sommet B est situé à la rencontre des droites d'équations x = 50 et x + y= 500.
Une fois de plus, la méthode de substitution semble tout indiquée, mais vous pouvez
aussi utiliser une autre méthode pour calculer les coordonnées du sommet B.
3. Le sommet C est situé à la rencontre des droites d'équations y= 3xet x+ y=
500. L'une ou l'autre des trois méthodes de résolution que vous connaissez
vous permettra de calculer rapidement les coordonnées du sommet C.
Comparez maintenant les coordonnées que vous avez trouvées avec celles qui sont
indiquées sur la figure ci-dessous:

L’appartenance ou non d’un point à un polygone de contraintes
(Document de préparation #2)
Vous savez maintenant comment tracer le polygone de contraintes délimité par les
droites dont les inéquations traduisent les contraintes d'un problème
d'optimisation. Dans cette section, vous apprendrez à vérifier si un point quelconque
du plan cartésien appartient ou non à un polygone de contraintes. Il est
généralement très facile de vérifier si un point fait partie d'un polygone de
contraintes. Vous pouvez, certes, vous fier à votre œil et vérifier, géométriquement,
si le point donné est situé à l'intérieur des limites du polygone, mais une vérification
plus rigoureuse, faisant appel à l'algèbre, vous permet de vous en assurer. Cette
technique très simple peut aussi vous être fort utile pour vérifier si vous avez
représenté le polygone de contraintes correctement. En voici un exemple.
Exemple 1
Déterminer si le point (100 , 75) appartient au polygone de contrainte délimité par
les droites d’inéquations suivantes :
Solution
Vous avez sans doute reconnu l'expression des contraintes du problème
d'optimisation de Mathilda. Pour vérifier géométriquement si le point (100, 75)
appartient au polygone de contraintes, il suffit de situer le point sur le plan
cartésien et de s'assurer qu'il se trouve effectivement à l'intérieur des limites du
polygone de contraintes. On effectue la même vérification algébriquement en
remplaçant x par la valeur 100 et y par la valeur 75 dans les inéquations et en
s'assurant que ces substitutions rendent chacun des énoncés vrai.

Graphiquement : Algébriquement :
Le point (100, 75) est situé dans le
polygone de contraintes.
Lorsque les coordonnées d'un point vérifient chacune des inéquations traduisant les
contraintes, cela signifie que ce point appartient au polygone de contraintes. Dès
qu'une inéquation n'est pas vérifiée, le point est situé à l'extérieur du polygone. Ici,
le point (100, 75) appartient effectivement au polygone de contraintes, ce qui
signifie que si Mathilda confectionne 100 petits gâteaux et 75 gros, alors elle
respecte les contraintes de son problème d'optimisation.
Exemple 2
Déterminer si le point (200, 150) appartient au polygone de contraintes délimité par
les droites d'inéquations suivantes:
Solution
Vous avez probablement reconnu les contraintes du problème d'optimisation de
Marcel Marchand. Vous aviez déjà tracé le polygone de contraintes au sous-module
précédent.

Graphiquement : Algébriquement :
Le point (200, 150) est-il dans le
polygone de contraintes?
Si vous avez bien fait vos calculs, vous avez certainement déterminé que le point
(200, 150) est situé à l'extérieur du polygone de contraintes, ce qui peut être
confirmé algébriquement par le fait que l'une des contraintes, la quatrième, n'est
pas satisfaite. On peut en déduire que si Marcel Marchand transporte 200 chandails
et 150 casquettes, alors il ne respecte pas toutes les contraintes de son problème
d'optimisation.
Comme vous pouvez le constater, vérifier si un point donné appartient ou non à un
polygone de contraintes est une démarche fort simple. Dans l'exercice qui suit, vous
devrez vérifier si un point donné appartient ou non à un polygone de contraintes: les
polygones sont ceux des problèmes d'optimisation des sous-modules précédents.
Même si vous devez faire une vérification algébrique, rien ne vous empêche de jeter
un coup d'œil aux polygones de contraintes que vous avez tracés au sous-module
précédent.

Résolution d’un problème d’optimisation
(Document de préparation #3)
Nous voici déjà à la dernière section du module. Cette partie est sans doute la plus
importante, puisqu'elle présente la toute dernière étape de la résolution d'un
problème d'optimisation. Avant de voir en quoi consiste concrètement cette
dernière étape, qui vous permettra d'approfondir les exemples vus dans les
sous-modules précédents, rappelons les deux premières étapes de la marche à suivre
pour résoudre un problème d'optimisation, puis résumons en quoi consiste la
troisième étape.
Étapes à suivre pour résoudre un problème d'optimisation
Étape 1
Traduire le problème en langage mathématique, c'est-à-dire:
• identifier les variables;
• poser l'expression de Z, la fonction à optimiser;
• poser, sous forme d'inéquation, chacune des contraintes auxquelles doivent obéir
les variables recherchées.
Étape 2
Analyser graphiquement les contraintes, c'est-à-dire:
• tracer le polygone de contraintes correspondant au système d'inéquations
déterminé précédemment;
• calculer les coordonnées des sommets du polygone de contraintes.
Étape 3
Déterminer les valeurs des variables x e t y qui optimisent la fonction Z,
c'est-à-dire:
• calculer la valeur de la fonction Z pour chacun des sommets du polygone de
contraintes;
• choisir les valeurs des variables x et y qui optimisent la fonction Z de la façon
désirée.

Puisque vous maîtrisez déjà les deux premières étapes de la résolution des
problèmes d'optimisation, il ne vous reste plus qu'à vous familiariser avec la
troisième et dernière étape de cette démarche: déterminer le couple qui optimisera
la fonction décrivant le problème, c'est-à-dire les valeurs de x e t de y qui
permettront de maximiser ou de minimiser la quantité qui fait l'objet du problème.
Après avoir franchi les deux premières étapes de la résolution d'un problème
d'optimisation, vous devez simplement évaluer la fonction à optimiser en chacun des
sommets du polygone de contraintes pour déterminer lequel de ces sommets
optimisera cette fonction de la façon désirée. Vous connaissez maintenant très bien
Mathilda et ses gâteaux, qui vous ont mis l'eau à la bouche tout au long de ce module.
Voici enfin venu le moment de trouver la solution de son problème d'optimisation.
Exemple 1
Trouver la solution du problème d’optimisation suivant.
La pâtisserie Le gourmet du chocolat vend les meilleurs desserts au chocolat en ville.
Mathilda, la pâtissière et propriétaire, propose à sa clientèle deux types de gâteaux:
le petit gâteau à 3 $, qui ravit même les palais les plus capricieux, et le gros gâteau à
5 $, pour les vrais connaisseurs: une montagne de glace à la vanille couronnée d'une
grosse cerise juteuse. Par expérience, elle sait qu'elle vend toujours au moins autant
de petits gâteaux que de gros. Pour assurer la fraîcheur de ses pâtisseries, elle ne
fait jamais plus de 200 gâteaux par jour. Mathilda possède davantage de petits
moules que de gros moules. Elle ne prépare donc jamais plus de 80 gros gâteaux par
jour. Combien de gâteaux de chaque sorte Mathilda doit-elle préparer chaque jour
pour maximiser le montant de ses ventes?
Solution
Au sous-module précédent, nous avions obtenu le polygone de contraintes
représentant les solutions du système d'inéquations traduisant les contraintes
imposées aux variables, puis nous avions calculé les coordonnées des sommets de ce
polygone.

Évaluons à présent la fonction Z pour chacun des sommets du polygone de
contraintes. Pour y arriver, il suffit de remplacer x e t y dans la fonction Z = 3x+ 5y
par les coordonnées de chacun des sommets du polygone de contraintes.
Une fois la valeur de Z calculée pour chacun des sommets, on détermine le point qui
optimise Z de la façon désirée. Ici, on désirait maximiser le montant des ventes de
gâteaux de Mathilda. Cette dernière maximisera donc ses ventes en confectionnant
120 petits gâteaux et 80 gros gâteaux, pour un total possible de 760$. Si vous avez
bien suivi, vous n'aurez aucune difficulté à compléter le second exemple pour
trouver la solution du problème d'optimisation de Marcel Marchand.

Exemple 2
Trouver la solution du problème d’optimisation suivant.
La municipalité de Saint-Jean-de-Matha sera bientôt le théâtre du concours «
L'homme fort du Québec». Pour l'occasion, Marcel Marchand, un commerçant
ambulant, a décidé de vendre des tee-shirts et des casquettes portant le logo et les
couleurs du concours. La vente de chaque tee-shirt lui rapportera 15 $, alors qu'une
casquette lui rapportera 5 $. Il s'attend à vendre au moins 50 tee-shirts, et au moins
3 fois plus de casquettes que de tee-shirts. Marcel a dû se procurer un permis au
coût de 80 $ pour avoir le droit de faire du commerce sur le site du concours. Sa
camionnette ne lui permet pas de transporter plus de 500 articles sur le site. À
combien peut-il estimer le profit maximal qu'il fera pendant la journée?
Solution
Au sous-module précédent, vous aviez déjà tracé le polygone de contraintes et
calculé les coordonnées de ses sommets; la fonction à optimiser était Z = 15x+
5y-80.

À combien Marcel peut-il estimer son profit maximal pour la journée?
Le profit maximal possible de Marcel est de 3 670 $. Il obtiendra ce profit en
vendant 125 tee-shirts et 375 casquettes. Facile, n'est-ce pas?
Voici venu le moment de terminer cette section par quelques exercices. Avant de
vous attaquer à de nouveaux problèmes, vous aurez l'occasion de résoudre les
problèmes d'optimisation sur lesquels vous avez commencé à travailler au
sous-module précédent. Au besoin, reportez-vous au tableau des étapes à suivre
pour résoudre un problème d'optimisation, et vous optimiserez ainsi vos efforts vers
la réussite !