Représentation graphique d'une inéquation du premier degré à ...
Représentation graphique d'une inéquation du premier degré à ...
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<strong>Représentation</strong> <strong>graphique</strong> d’une <strong>inéquation</strong> <strong>du</strong> <strong>premier</strong> <strong>degré</strong> <strong>à</strong> deux variables.<br />
(Document de préparation #1)<br />
Pour représenter une <strong>inéquation</strong> <strong>à</strong> l'aide d'un <strong>graphique</strong>, on procède de la même<br />
manière que dans le cas <strong>d'une</strong> équation: on calcule les coordonnées de trois couples, on<br />
les situe sur un plan cartésien et on les relie par une droite.<br />
Dans le cas <strong>d'une</strong> <strong>inéquation</strong>, on représente la droite <strong>à</strong> l'aide <strong>d'une</strong> ligne pointillée si<br />
l'inégalité est stricte (> ou
Et le tour est joué ! Vous vous demandez <strong>à</strong> quoi auraient ressemblé les <strong>graphique</strong>s si le<br />
symbole d'inégalité avait été différent?<br />
Lorsque la droite associée <strong>à</strong> une <strong>inéquation</strong> est verticale, ce qui signifie que<br />
l'<strong>inéquation</strong> est <strong>du</strong> type Ax + C < 0 ou Ax + C > 0, on ne peut dire qu'on colorie le<br />
demi-plan situé au-dessus ou au-dessous de la droite. Souvenez-vous que vous devez<br />
isoler la variable x avant de déterminer la région <strong>à</strong> colorier, car le symbole d'inégalité<br />
pourrait être inversé au cours des opérations. Le demi-plan se trouve <strong>à</strong> gauche si le<br />
symbole est < ou ≤, et <strong>à</strong> droite si le symbole est > ou ≥.
Voici les quatre représentations <strong>graphique</strong>s possibles associées <strong>à</strong> l'expression 2x-6 = 0,<br />
quand on en fait une <strong>inéquation</strong> en remplaçant le symbole = par >, ≥, < ou ≤.<br />
On isole d'abord la variable x dans le membre gauche de l'<strong>inéquation</strong>.<br />
2x-6 > 0 => x > 3 2x-6 x < 3<br />
Ligne pointillée; demi-plan situé <strong>à</strong> droite. Ligne pointillée; demi-plan situé <strong>à</strong><br />
gauche.<br />
2x-6 ≥ 0 => x ≥ 3 2 x -6 ≤ 0 => x ≤ 3<br />
Ligne continue; demi-plan situé <strong>à</strong> droite. Ligne continue; demi-plan situé <strong>à</strong> gauche.<br />
Pour terminer, voici un résumé des notions abordées jusqu'<strong>à</strong> présent, suivi d'un<br />
exercice qui vous permettra de vérifier vos connaissances.
Résumé<br />
• La représentation <strong>graphique</strong> <strong>d'une</strong> équation <strong>du</strong> <strong>premier</strong> <strong>degré</strong> <strong>à</strong> deux<br />
variables est une droite.<br />
• Il existe trois types de droites, chacune étant associée <strong>à</strong> un type<br />
d'équation :<br />
1° droite oblique: équation de la forme Ax+ By+ C = 0,<br />
où A et B ≠ 0;<br />
2° droite verticale: équation de la forme Ax + C = 0<br />
ou x=k, où k est une constante;<br />
3° droite horizontale: équation de la forme By + C = 0<br />
ou y=k, où k est une constante.<br />
• La représentation <strong>graphique</strong> <strong>d'une</strong> <strong>inéquation</strong> <strong>du</strong> <strong>premier</strong> <strong>degré</strong> est un<br />
demi-plan. Pour représenter une <strong>inéquation</strong> <strong>du</strong> <strong>premier</strong> <strong>degré</strong>, il suffit de<br />
suivre les étapes suivantes:<br />
1° On calcule les coordonnées de trois points comme s'il<br />
s'agissait <strong>d'une</strong> équation.<br />
2° On situe ces trois points dans un plan cartésien et on les<br />
relie par un trait:<br />
— continu si le symbole comprend l'égalité (≥ ou ≤);<br />
— pointillé si le symbole est < ou >.<br />
3° On isole y dans le membre gauche de l'<strong>inéquation</strong>, puis on<br />
hachure le demi-plan situé:<br />
— au-dessus de la droite si le symbole est > ou ≥;<br />
— au-dessous de la droite si le symbole est < ou ≤.<br />
• Pour une <strong>inéquation</strong> de la forme x > k ou x < k, représentée par une droite<br />
verticale, on hachure le demi-plan:<br />
— situé <strong>à</strong> gauche, si le symbole est < ou ≤;<br />
— situé <strong>à</strong> droite, si le symbole est > ou ≥.
Tra<strong>du</strong>ction d’un problème d’optimisation en langage mathématique.<br />
(Document de préparation #1)<br />
Optimiser une opération, un travail ou une situation consiste <strong>à</strong> maximiser le<br />
rendement que l'on va obtenir, ou encore <strong>à</strong> minimiser les dégâts. Par exemple:<br />
maximiser les profits <strong>d'une</strong> entreprise, tout en minimisant les dépenses. Résoudre un<br />
problème d'optimisation consiste <strong>à</strong> trouver les valeurs qui permettront de calculer<br />
ce maximum ou ce minimum, alors qu'interviennent des variables soumises <strong>à</strong><br />
certaines contraintes. À la fin de ce mo<strong>du</strong>le, vous serez en mesure de résoudre ce<br />
type de problème. La démarche comporte trois étapes majeures que vous étudierez<br />
au cours de chacun des trois sous-mo<strong>du</strong>les de ce manuel.<br />
La première étape de la résolution d'un problème d'optimisation consiste <strong>à</strong> tra<strong>du</strong>ire<br />
celui-ci en langage mathématique. Pour ce faire, vous devez déterminer:<br />
• les variables recherchées;<br />
• les éléments permettant d'établir la fonction <strong>à</strong> optimiser;<br />
• les éléments permettant d'établir les contraintes.<br />
Voyons tout de suite un exemple dans lequel vous apprendrez <strong>à</strong> tra<strong>du</strong>ire un problème<br />
d'optimisation en langage mathématique.<br />
Exemple 1<br />
Tra<strong>du</strong>ire le problème d'optimisation suivant en langage mathématique.<br />
La pâtisserie Le gourmet <strong>du</strong> chocolat vend les meilleurs desserts au chocolat en ville.<br />
Mathilda, la pâtissière et propriétaire, propose <strong>à</strong> sa clientèle deux types de gâteaux:<br />
le petit gâteau <strong>à</strong> 3 $, qui ravit même les palais les plus capricieux, et le gros gâteau <strong>à</strong><br />
5 $, pour les vrais connaisseurs: une montagne de glace <strong>à</strong> la vanille couronnée <strong>d'une</strong><br />
grosse cerise juteuse. Par expérience, elle sait qu'elle vend toujours au moins autant<br />
de petits gâteaux que de gros. Pour assurer la fraîcheur de ses pâtisseries, elle ne<br />
fait jamais plus de 200 gâteaux par jour. Mathilda possède davantage de petits<br />
moules que de gros moules, ce qui l'empêche de préparer plus de 80 gros gâteaux par<br />
jour. Combien de gâteaux de chaque sorte Mathilda doit-elle préparer chaque jour<br />
pour maximiser le montant de ses ventes?
Solution<br />
A. L'identification des variables<br />
Les problèmes d'optimisation que vous traiterez dans ce mo<strong>du</strong>le comporteront<br />
toujours deux variables. Pour déterminer ce que doit représenter chacune de ces<br />
variables, il vous suffit de vous poser la question suivante: «Que cherchons-nous<br />
exactement?» Ici, ce que l'on cherche <strong>à</strong> savoir se tra<strong>du</strong>it par la question suivante:<br />
«Combien de gâteaux de chaque sorte Mathilda doit-elle faire chaque jour pour<br />
maximiser le montant de ses ventes?» On pose donc:<br />
x= le nombre de petits gâteaux<br />
y= le nombre de gros gâteaux<br />
B. La fonction <strong>à</strong> optimiser<br />
Pour trouver les éléments qui détermineront la fonction <strong>à</strong> optimiser, vous devez<br />
<strong>à</strong> présent vous poser la question suivante : « Que cherchons-nous <strong>à</strong> maximiser ou <strong>à</strong><br />
minimiser? » Dans le problème des gâteaux de Mathilda, on veut maximiser le<br />
montant des ventes des gâteaux. Et comment déterminer ce montant? En multipliant<br />
simplement le nombre de gâteaux de chaque type par son prix unitaire, puis en<br />
additionnant le tout.<br />
x petits gâteaux <strong>à</strong> 3$ représentent un montant de 3x$<br />
y gros gâteaux <strong>à</strong> 5$ représentent un montant de 5y$<br />
On calculera le montant total des ventes (Z) en additionnant les revenus que<br />
Mathilda tirera de la vente de ses petits gâteaux (3x) aux revenus que lui procurera<br />
la vente de ses gros gâteaux (5y), ce que nous pouvons formuler de la façon suivante:<br />
Z = 3x+ 5y<br />
C'est la fonction <strong>à</strong> optimiser, que nous prendrons l'habitude de noter Z. De façon<br />
générale, l'expression de Z sera toujours de la forme Z = Ax + By + C.
C. Les contraintes<br />
Les contraintes sont des limitations imposées, dans une situation donnée, aux<br />
éléments qui permettent d'établir la fonction <strong>à</strong> optimiser. Que ces limitations soient<br />
imposées par le temps, par l'espace, par le budget ou simplement par la volonté, elles<br />
donnent naissance <strong>à</strong> un système d'<strong>inéquation</strong>s. Relisez attentivement l'énoncé <strong>du</strong><br />
problème et répondez <strong>à</strong> la question suivante: «Quelles limitations <strong>du</strong> nombre de<br />
petits gâteaux et de gros gâteaux Mathilda doit-elle respecter?»<br />
En lisant le problème, on peut trouver trois contraintes.<br />
1. Mathilda vend toujours au moins autant de petits gâteaux que de gros.<br />
Si elle vendait exactement le même nombre de petits et de gros gâteaux, nous<br />
pourrions poser l'équation x= y. Mais «vendre au moins autant de petits que de<br />
gros» signifie que le nombre de petits gâteaux peut dépasser le nombre de gros.<br />
Cette constatation nous mène <strong>à</strong> l'<strong>inéquation</strong> suivante:<br />
x ≥ y<br />
2. Mathilda ne fait jamais plus de 200 gâteaux par jour.<br />
Si, au total, elle préparait exactement 200 gâteaux (petits et gros) par jour, nous<br />
pourrions poser l'équation x+ y = 200, mais le fait qu'elle n'en prépare « jamais<br />
plus de 200 » nous permet de dé<strong>du</strong>ire que le total pourrait être inférieur <strong>à</strong> 200.<br />
Cette dé<strong>du</strong>ction nous mène <strong>à</strong> l'<strong>inéquation</strong> suivante:<br />
x + y ≤ 200<br />
3. Mathilda ne prépare jamais plus de 80 gros gâteaux par jour.<br />
Si elle faisait exactement 80 gros gâteaux par jour, nous pourrions poser l'équation<br />
y-80, mais affirmer qu'elle n'en fait «jamais plus de 80» nous permet de dé<strong>du</strong>ire<br />
que ce nombre pourrait être inférieur <strong>à</strong> 80. Cette dé<strong>du</strong>ction nous mène <strong>à</strong> une nouvelle<br />
<strong>inéquation</strong>:<br />
y ≤ 80
Il n'y a apparemment aucun autre indice dans le texte qui nous permette de<br />
déterminer d'autres contraintes s'appliquant au nombre de gâteaux préparés par<br />
Mathilda. Par contre, deux contraintes doivent être ajoutées <strong>à</strong> la liste précédente<br />
pour qu'elle soit complète. Ces contraintes se rapportent au signe des variables. On<br />
les appelle contraintes de non-négativité:<br />
x≥0<br />
y≥0<br />
Ces contraintes de non-négativité sont valables pour tout problème d'optimisation<br />
s'appliquant <strong>à</strong> des variables qui ne peuvent prendre de valeurs négatives. Ici, ces<br />
contraintes indiquent simplement que Mathilda ne peut faire un nombre négatif de<br />
gâteaux, petits ou gros.
Dans le problème de la page précédente, il vous a peut-être semblé difficile de<br />
déterminer les contraintes. Poser les <strong>inéquation</strong>s tra<strong>du</strong>isant les contraintes est<br />
pourtant une étape cruciale; il suffit en fait de prêter attention <strong>à</strong> l'énoncé <strong>du</strong><br />
problème et d'utiliser le simple bon sens. Dans de nombreux problèmes<br />
d'optimisation, vous trouverez des expressions telles que: «au moins», «au plus»,<br />
«pas plus que», «pas moins que», «au maximum», «au minimum», «ne doit pas<br />
dépasser», «est limité <strong>à</strong>», etc. Chacune de ces expressions peut être tra<strong>du</strong>ite par<br />
une <strong>inéquation</strong> comportant le symbole ≤ ou le symbole ≥. Voici une liste de quelques<br />
expressions courantes dans ce type de problème, un exemple pour chacune et sa<br />
tra<strong>du</strong>ction en langage mathématique. Notez que, pour vous garder en appétit, les<br />
exemples se rapportent aux gâteaux de Mathilda; x désigne toujours le nombre de<br />
petits gâteaux, et y le nombre de gros gâteaux.<br />
Pour vous permettre de mettre en application ce vocabulaire, voyons sans plus<br />
tarder un second problème.
Exemple 2<br />
Pour le problème d'optimisation suivant, définir les variables, déterminer les<br />
éléments permettant d'établir les contraintes et les éléments permettant<br />
d'établir la fonction <strong>à</strong> optimiser, puis tra<strong>du</strong>ire la situation en langage<br />
mathématique.<br />
La municipalité de Saint-Jean-de-Matha sera bientôt le théâtre <strong>du</strong> concours «<br />
L'homme fort <strong>du</strong> Québec». Pour l'occasion, Marcel Marchand, un commerçant<br />
ambulant, a décidé de vendre des tee-shirts et des casquettes portant le logo et<br />
les couleurs <strong>du</strong> concours. La vente de chaque tee-shirt lui rapportera 15 $, alors<br />
qu'une casquette lui rapportera 5 $. Il s'attend <strong>à</strong> vendre au moins 50 tee-shirts, et<br />
au moins trois fois plus de casquettes que de tee-shirts. Marcel a dû se procurer un<br />
permis au coût de 80 $ pour avoir le droit de faire <strong>du</strong> commerce sur le site <strong>du</strong><br />
concours. Sa camionnette ne lui permet pas de transporter plus de 500 articles sur<br />
le site. À combien peut-il estimer le profit maximal qu'il fera pendant la journée?<br />
Solution<br />
A. L'identification des variables<br />
À la lecture <strong>du</strong> problème, avez-vous découvert ce que représenteront les variables<br />
x et y ?<br />
x =<br />
y =<br />
B. La fonction <strong>à</strong> optimiser<br />
À la lecture <strong>du</strong> problème, avez-vous découvert les éléments permettant d'établir la<br />
fonction <strong>à</strong> optimiser? Bien sûr, ce sont les profits de Marcel qu'il faut maximiser: Z<br />
= profits de Marcel. On les calcule en additionnant les profits tirés de la vente de<br />
tee-shirts et les profits tirés de la vente de casquettes, et en soustrayant de<br />
cette somme le montant qu'a dû payer Marcel pour se procurer un permis de vente<br />
sur le site <strong>du</strong> concours:
C. Les contraintes<br />
Avant toute chose, écrivons les contraintes de non-négativité:<br />
À la lecture <strong>du</strong> problème, avez-vous découvert <strong>à</strong> quelles limitations Marcel est soumis? Il<br />
s'attend <strong>à</strong> vendre au moins 50 tee-shirts:<br />
Il s'attend <strong>à</strong> vendre au moins trois fois plus de casquettes que de tee-shirts:<br />
La camionnette de Marcel ne lui permet pas de transporter plus de 500 articles sur le<br />
site:<br />
Avant de vous attaquer aux exercices, prenez le temps de vérifier si vous avez<br />
déterminé correctement tous les éléments de la solution.<br />
A. L'identification des variables<br />
B. La fonction <strong>à</strong> optimiser<br />
C. Les contraintes<br />
x= le nombre de tee-shirts ven<strong>du</strong>s<br />
y= le nombre de casquettes ven<strong>du</strong>es<br />
Z= 15x+5y-80<br />
x ≥ 0 y ≥ 0<br />
x≥50<br />
y≥3x<br />
x+y ≤ 500
Résolution d’un système d’<strong>inéquation</strong>s <strong>du</strong> <strong>premier</strong> <strong>degré</strong> <strong>à</strong> deux variables.<br />
(Document de préparation #1)<br />
Contrairement au système de deux équations, dont la solution est un couple, un<br />
système de deux <strong>inéquation</strong>s a habituellement une infinité de solutions qui sont<br />
représentées par une région <strong>du</strong> plan cartésien. C'est pourquoi nous ne calculons pas<br />
algébriquement ces solutions: nous représentons plutôt <strong>graphique</strong>ment la<br />
région-solution <strong>du</strong> système d'<strong>inéquation</strong>s donné. Voyons cela <strong>à</strong> l'aide d'un exemple.<br />
Exemple 1 Résoudre <strong>graphique</strong>ment le système d'<strong>inéquation</strong>s suivant:<br />
3x+ y ≤ 0 et 2x- y+4 ≥ 0.<br />
Solution<br />
On doit d'abord tracer la droite correspondant <strong>à</strong> chacune des <strong>inéquation</strong>s sur un<br />
même plan cartésien; la région-solution sera l'intersection des demi-plans délimités<br />
par les deux droites.
La région-solution est celle où les deux régions coloriées se croisent, c'est-<strong>à</strong>-dire la<br />
région commune aux deux <strong>inéquation</strong>s. Tous les couples appartenant <strong>à</strong> cette région<br />
sont des solutions de ce système d'<strong>inéquation</strong>s.<br />
Avez-vous envie de compléter un exemple ?<br />
Exemple 2<br />
Résoudre <strong>graphique</strong>ment le système d'<strong>inéquation</strong>s suivant: y 4x+80.<br />
Solution<br />
Avez-vous obtenu la même région-solution que celle qui est illustrée ci-dessous?
Pause calculatrice
Le polygone de contraintes<br />
(Document de préparation #2)<br />
On appelle polygone de contraintes la région <strong>du</strong> plan cartésien que l'on obtient<br />
lorsque l'on représente <strong>graphique</strong>ment dans un plan cartésien la région-solution de<br />
toutes les <strong>inéquation</strong>s établies <strong>à</strong> partir des contraintes d'un problème d'optimisation.<br />
Si vous avez toujours un peu de difficulté <strong>à</strong> représenter <strong>graphique</strong>ment la<br />
région-solution <strong>d'une</strong> <strong>inéquation</strong>, vous pouvez consulter la section de la mise <strong>à</strong> jour qui<br />
traite de la représentation <strong>graphique</strong> des solutions <strong>d'une</strong> <strong>inéquation</strong>. Dans la<br />
prochaine section de ce sous-mo<strong>du</strong>le, vous apprendrez <strong>à</strong> calculer les coordonnées des<br />
sommets d'un polygone de contraintes, ce qui équivaut <strong>à</strong> trouver les coordonnées <strong>du</strong><br />
point de rencontre de deux droites. Encore une fois, vous pouvez vous référer <strong>à</strong> la<br />
mise <strong>à</strong> jour pour réviser l'une ou l'autre des trois méthodes algébriques utilisées pour<br />
faire ces calculs.<br />
Revenons au problème de la pâtisserie de Mathilda, vu au sous-mo<strong>du</strong>le précédent,<br />
pour illustrer comment l'on représente <strong>graphique</strong>ment les <strong>inéquation</strong>s associées <strong>à</strong> des<br />
contraintes.<br />
Exemple 1 Tracer le polygone de contraintes se rapportant au problème<br />
d'optimisation suivant.<br />
La pâtisserie Le gourmet <strong>du</strong> chocolat vend les meilleurs desserts au chocolat en ville.<br />
Mathilda, la pâtissière et propriétaire, propose <strong>à</strong> sa clientèle deux types de gâteaux:<br />
le petit gâteau <strong>à</strong> 3 $, qui ravit même les palais les plus capricieux, et le gros gâteau <strong>à</strong><br />
5 $, pour les vrais connaisseurs: une montagne de glace <strong>à</strong> la vanille couronnée <strong>d'une</strong><br />
grosse cerise juteuse. Par expérience, elle sait qu'elle vend toujours au moins autant<br />
de petits gâteaux que de gros. Pour assurer la fraîcheur de ses pâtisseries, elle ne<br />
fait jamais plus de 200 gâteaux par jour. Mathilda possède davantage de petits<br />
moules que de gros moules, ce qui l'empêche de préparer plus de 80 gros gâteaux par<br />
jour. Combien de gâteaux de chaque sorte Mathilda doit-elle préparer chaque jour<br />
pour maximiser le montant de ses ventes?
Solution<br />
Nous avions tra<strong>du</strong>it, au sous-mo<strong>du</strong>le précédent, chacune des contraintes rattachées<br />
<strong>à</strong> ce problème par une <strong>inéquation</strong>.<br />
x = le nombre de petits gâteaux<br />
y = le nombre de gros gâteaux<br />
x ≥ 0 et y ≥ 0 : contraintes de non-négativité<br />
x ≥ y : « Elle vend au moins autant de petits que de gros. »<br />
x + y≤ 200 : « Elle ne fait jamais plus de 200 gâteaux. »<br />
y ≤ 80 : «Elle ne fait jamais plus de 80 gros gâteaux.»<br />
Les deux contraintes de non-négativité indiquent simplement que tout point qui peut<br />
être une solution <strong>du</strong> système d'<strong>inéquation</strong>s doit se situer dans le <strong>premier</strong> quadrant<br />
<strong>du</strong> plan cartésien.<br />
C'est pour cette raison que, dans ce sous-mo<strong>du</strong>le, nous prendrons l'habitude de<br />
représenter uniquement la partie positive de l'axe des x etla partie positive de l'axe<br />
des y. Si l'on considère uniquement le <strong>premier</strong> quadrant <strong>du</strong> plan cartésien, il n'est pas<br />
nécessaire de tenir compte des contraintes de non-négativité lorsqu'on représente<br />
un polygone de contraintes.<br />
1. La contrainte x ≥ y<br />
Pour représenter adéquatement la région délimitant les solutions de l'<strong>inéquation</strong> x ≥<br />
y, on trace d'abord la droite d'équation x = y. Un tableau de couples vous permettra<br />
de calculer très facilement les coordonnées de quelques points.
Représentons ces trois points sur le plan cartésien. Ensuite, pour déterminer quel<br />
demi-plan correspond aux solutions de l'<strong>inéquation</strong>, on isole tout simplement y dans le<br />
membre gauche de l'<strong>inéquation</strong>.<br />
x ≥ y y ≤ x<br />
L'avantage d'isoler la variable y dans le membre gauche de l'<strong>inéquation</strong> réside dans le<br />
fait que le signe d'inégalité nous indique immédiatement dans quel demi-plan se<br />
situent les solutions de l'<strong>inéquation</strong>:<br />
• le symbole ≤ indique que les solutions se situent dans la région sous la droite;<br />
• le symbole ≥ indique que les solutions se situent dans la région au-dessus de la<br />
droite.<br />
2. La contrainte x + y ≤ 200<br />
On procède de la même façon pour représenter les solutions de l'<strong>inéquation</strong> x + y ≤<br />
200. Les coordonnées <strong>à</strong> l'origine sont idéales pour tracer la droite, car, en plus de se<br />
calculer rapidement, elles fournissent des points particulièrement faciles <strong>à</strong> situer<br />
sur le plan. Pour les trouver, il vous suffit de remplacer x par 0 pour calculer la<br />
valeur de y, et de remplacer y par 0 pour calculer la valeur de x.
Situons ces trois points sur le plan cartésien et colorions ou hachurons la région <strong>du</strong><br />
plan correspondant aux solutions de l’<strong>inéquation</strong> x + y ≤ 200, ou y ≤ -x + 200<br />
3. La contrainte y ≤ 80<br />
L'<strong>inéquation</strong> y ≤ 80 a la particularité de ne comporter que la variable y. La droite<br />
correspondante, d'équation y=80, sera dans ce cas horizontale. Puisque le symbole<br />
est ≤, colorions ou hachurons la région située sous la droite.<br />
Rappel<br />
Lorsqu'une équation comporte une seule variable, la droite correspondante<br />
est:<br />
• verticale, si l'équation est <strong>du</strong> type x = k;<br />
• horizontale, si l'équation est <strong>du</strong> type y = k.
Le polygone de contraintes contient tous les points <strong>du</strong> plan qui sont des solutions de<br />
toutes les contraintes simultanément.<br />
La figure de droite représente le polygone de contraintes <strong>du</strong> problème<br />
d'optimisation de Mathilda. En effet, chacun des points de cette figure vérifie<br />
chacune des contraintes imposées aux variables <strong>du</strong> problème.
Exemple 2<br />
Tracer le polygone de contraintes se rapportant au problème suivant.<br />
La municipalité de Saint-Jean-de-Matha sera bientôt le théâtre <strong>du</strong> concours<br />
«L'homme fort <strong>du</strong> Québec». Pour l'occasion, Marcel Marchand, un commerçant<br />
ambulant, a décidé de vendre des tee-shirts et des casquettes portant le logo et les<br />
couleurs <strong>du</strong> concours. La vente de chaque tee-shirt lui rapportera 15 $, alors qu'une<br />
casquette lui rapportera 5 $. Il s'attend <strong>à</strong> vendre au moins 50 tee-shirts, et au moins<br />
3 fois plus de casquettes que de tee-shirts. Marcel a dû se procurer un permis au coût<br />
de 80 $ pour avoir le droit de faire <strong>du</strong> commerce sur le site <strong>du</strong> concours. Sa<br />
camionnette ne lui permet pas de transporter plus de 500 articles sur le site. À<br />
combien peut-il estimer le profit maximal qu'il fera pendant la journée?<br />
Solution<br />
Si vous avez une bonne mémoire, vous vous rappelez les <strong>inéquation</strong>s tra<strong>du</strong>isant les<br />
contraintes de ce problème formulées au sous-mo<strong>du</strong>le précédent:<br />
x= le nombre de tee-shirts ven<strong>du</strong>s<br />
y= le nombre de casquettes ven<strong>du</strong>es<br />
x ≥ 0 et y ≥ 0 : contraintes de non-négativité<br />
x ≥ 50 : « Il s'attend <strong>à</strong> vendre au moins 50 tee-shirts. »<br />
y ≥ 3x : « A u moins 3 fois plus de casquettes que de tee-shirts.»<br />
x + y ≤ 500 : « Sa camionnette ne lui permet pas de transporter plus de 500 articles<br />
sur le site.»<br />
On tient compte des contraintes de non-négativité pour les deux variables en<br />
n'illustrant que le <strong>premier</strong> quadrant <strong>du</strong> plan. Mais vous devez représenter<br />
<strong>graphique</strong>ment les solutions des trois autres contraintes.
Si vous avez bien fait vos calculs, votre polygone de contraintes devrait ressembler <strong>à</strong> celui-ci :
Avez-vous réussi votre représentation <strong>graphique</strong>? Comme vous avez pu le<br />
constater, ce n'est pas compliqué quand on sait comment s'y prendre.<br />
Remarquez qu'il n'est pas nécessaire d'avoir gra<strong>du</strong>é les axes exactement de la<br />
même façon pour obtenir un polygone de contraintes équivalent. Mais tentez<br />
toujours de gra<strong>du</strong>er les axes de façon <strong>à</strong> en utiliser une bonne partie au moment de<br />
tracer le polygone de contraintes.
Les sommets d’un polygone de contraintes<br />
(Document de préparation #2)<br />
Maintenant que vous savez comment représenter un polygone de contraintes, vous<br />
apprendrez <strong>à</strong> déterminer les coordonnées de ses sommets. Rien n'est plus simple !<br />
Il suffit de résoudre un système de deux équations pour calculer les coordonnées de<br />
chacun de ces sommets, ces deux équations étant déterminées par les équations<br />
associées aux deux contraintes dont le sommet considéré est le point de rencontre.<br />
Dans certains cas, on peut lire directement sur le <strong>graphique</strong> les coordonnées des<br />
sommets d'un polygone de contraintes, mais il est important de savoir calculer<br />
algébriquement les coordonnées de ces points. Un exemple vous permettra de tirer<br />
tout cela au clair.<br />
Exemple 1<br />
Calculer les coordonnées des sommets <strong>du</strong> polygone de contraintes <strong>du</strong> problème des<br />
gâteaux de Mathilda.<br />
Solution<br />
On désigne par les lettres A, B, C et D les sommets <strong>du</strong> polygone.
1. Le sommet A est situé <strong>à</strong> la rencontre de trois des droites formant le polygone:<br />
x = 0, y = 0 et x = y<br />
Deux des trois droites suffisent pour déterminer les coordonnées de leur point<br />
d'intersection. Et un coup d'oeil suffit pour constater que les équations x= 0 et y=<br />
0 ont pour solution l'origine:<br />
A (0, 0)<br />
2. Le sommet B est situé <strong>à</strong> la rencontre des droites d'équations x=0 et y = 80.<br />
La variable y étant isolée dans chacune des deux équations, nous utiliserons ici la<br />
méthode de comparaison.<br />
x = y<br />
y=80 =»x = 8O<br />
Nous avons ainsi obtenu les coordonnées <strong>du</strong> point B:(80, 80).<br />
3. Le sommet C est situé <strong>à</strong> la rencontre des droites d'équations x+ y= 200 et y=<br />
80.<br />
Procédons cette fois par la méthode de substitution.<br />
y=80<br />
x+ y=200 => x+80 =200<br />
x=200-8O<br />
x = 120<br />
Nous avons ainsi obtenu les coordonnées <strong>du</strong> point C:(120, 80).<br />
4. Le sommet D est situé <strong>à</strong> la rencontre des droites d'équations x+ y= 200 et<br />
y=0.<br />
Utilisons une fois de plus la méthode de substitution.<br />
y=0<br />
x+y=200 => x+0 = 200<br />
x = 200<br />
Nous avons obtenu les coordonnées <strong>du</strong> point D : (200, 0).
Et voil<strong>à</strong> ! En règle générale, il est facile de trouver par la méthode algébrique les<br />
sommets d'un polygone de contraintes, les contraintes d'un problème<br />
d'optimisation donnant le plus souvent lieu <strong>à</strong> des <strong>inéquation</strong>s relativement simples.<br />
Exemple 2<br />
Calculer les coordonnées des sommets <strong>du</strong> polygone de contraintes <strong>du</strong> problème<br />
d'optimisation de Marcel Marchand.<br />
Solution<br />
Désignons par A, B et C les sommets <strong>du</strong> polygone de contraintes.
1. Le sommet A est situé <strong>à</strong> la rencontre des droites d'équations x= 50 et y= 3x.<br />
La méthode de substitution semble tout indiquée, mais vous pouvez utiliser la<br />
méthode de votre choix pour calculer les coordonnées <strong>du</strong> sommet A.<br />
2. Le sommet B est situé <strong>à</strong> la rencontre des droites d'équations x = 50 et x + y= 500.<br />
Une fois de plus, la méthode de substitution semble tout indiquée, mais vous pouvez<br />
aussi utiliser une autre méthode pour calculer les coordonnées <strong>du</strong> sommet B.<br />
3. Le sommet C est situé <strong>à</strong> la rencontre des droites d'équations y= 3xet x+ y=<br />
500. L'une ou l'autre des trois méthodes de résolution que vous connaissez<br />
vous permettra de calculer rapidement les coordonnées <strong>du</strong> sommet C.<br />
Comparez maintenant les coordonnées que vous avez trouvées avec celles qui sont<br />
indiquées sur la figure ci-dessous:
L’appartenance ou non d’un point <strong>à</strong> un polygone de contraintes<br />
(Document de préparation #2)<br />
Vous savez maintenant comment tracer le polygone de contraintes délimité par les<br />
droites dont les <strong>inéquation</strong>s tra<strong>du</strong>isent les contraintes d'un problème<br />
d'optimisation. Dans cette section, vous apprendrez <strong>à</strong> vérifier si un point quelconque<br />
<strong>du</strong> plan cartésien appartient ou non <strong>à</strong> un polygone de contraintes. Il est<br />
généralement très facile de vérifier si un point fait partie d'un polygone de<br />
contraintes. Vous pouvez, certes, vous fier <strong>à</strong> votre œil et vérifier, géométriquement,<br />
si le point donné est situé <strong>à</strong> l'intérieur des limites <strong>du</strong> polygone, mais une vérification<br />
plus rigoureuse, faisant appel <strong>à</strong> l'algèbre, vous permet de vous en assurer. Cette<br />
technique très simple peut aussi vous être fort utile pour vérifier si vous avez<br />
représenté le polygone de contraintes correctement. En voici un exemple.<br />
Exemple 1<br />
Déterminer si le point (100 , 75) appartient au polygone de contrainte délimité par<br />
les droites d’<strong>inéquation</strong>s suivantes :<br />
Solution<br />
Vous avez sans doute reconnu l'expression des contraintes <strong>du</strong> problème<br />
d'optimisation de Mathilda. Pour vérifier géométriquement si le point (100, 75)<br />
appartient au polygone de contraintes, il suffit de situer le point sur le plan<br />
cartésien et de s'assurer qu'il se trouve effectivement <strong>à</strong> l'intérieur des limites <strong>du</strong><br />
polygone de contraintes. On effectue la même vérification algébriquement en<br />
remplaçant x par la valeur 100 et y par la valeur 75 dans les <strong>inéquation</strong>s et en<br />
s'assurant que ces substitutions rendent chacun des énoncés vrai.
Graphiquement : Algébriquement :<br />
Le point (100, 75) est situé dans le<br />
polygone de contraintes.<br />
Lorsque les coordonnées d'un point vérifient chacune des <strong>inéquation</strong>s tra<strong>du</strong>isant les<br />
contraintes, cela signifie que ce point appartient au polygone de contraintes. Dès<br />
qu'une <strong>inéquation</strong> n'est pas vérifiée, le point est situé <strong>à</strong> l'extérieur <strong>du</strong> polygone. Ici,<br />
le point (100, 75) appartient effectivement au polygone de contraintes, ce qui<br />
signifie que si Mathilda confectionne 100 petits gâteaux et 75 gros, alors elle<br />
respecte les contraintes de son problème d'optimisation.<br />
Exemple 2<br />
Déterminer si le point (200, 150) appartient au polygone de contraintes délimité par<br />
les droites d'<strong>inéquation</strong>s suivantes:<br />
Solution<br />
Vous avez probablement reconnu les contraintes <strong>du</strong> problème d'optimisation de<br />
Marcel Marchand. Vous aviez déj<strong>à</strong> tracé le polygone de contraintes au sous-mo<strong>du</strong>le<br />
précédent.
Graphiquement : Algébriquement :<br />
Le point (200, 150) est-il dans le<br />
polygone de contraintes?<br />
Si vous avez bien fait vos calculs, vous avez certainement déterminé que le point<br />
(200, 150) est situé <strong>à</strong> l'extérieur <strong>du</strong> polygone de contraintes, ce qui peut être<br />
confirmé algébriquement par le fait que l'une des contraintes, la quatrième, n'est<br />
pas satisfaite. On peut en dé<strong>du</strong>ire que si Marcel Marchand transporte 200 chandails<br />
et 150 casquettes, alors il ne respecte pas toutes les contraintes de son problème<br />
d'optimisation.<br />
Comme vous pouvez le constater, vérifier si un point donné appartient ou non <strong>à</strong> un<br />
polygone de contraintes est une démarche fort simple. Dans l'exercice qui suit, vous<br />
devrez vérifier si un point donné appartient ou non <strong>à</strong> un polygone de contraintes: les<br />
polygones sont ceux des problèmes d'optimisation des sous-mo<strong>du</strong>les précédents.<br />
Même si vous devez faire une vérification algébrique, rien ne vous empêche de jeter<br />
un coup d'œil aux polygones de contraintes que vous avez tracés au sous-mo<strong>du</strong>le<br />
précédent.
Résolution d’un problème d’optimisation<br />
(Document de préparation #3)<br />
Nous voici déj<strong>à</strong> <strong>à</strong> la dernière section <strong>du</strong> mo<strong>du</strong>le. Cette partie est sans doute la plus<br />
importante, puisqu'elle présente la toute dernière étape de la résolution d'un<br />
problème d'optimisation. Avant de voir en quoi consiste concrètement cette<br />
dernière étape, qui vous permettra d'approfondir les exemples vus dans les<br />
sous-mo<strong>du</strong>les précédents, rappelons les deux premières étapes de la marche <strong>à</strong> suivre<br />
pour résoudre un problème d'optimisation, puis résumons en quoi consiste la<br />
troisième étape.<br />
Étapes <strong>à</strong> suivre pour résoudre un problème d'optimisation<br />
Étape 1<br />
Tra<strong>du</strong>ire le problème en langage mathématique, c'est-<strong>à</strong>-dire:<br />
• identifier les variables;<br />
• poser l'expression de Z, la fonction <strong>à</strong> optimiser;<br />
• poser, sous forme d'<strong>inéquation</strong>, chacune des contraintes auxquelles doivent obéir<br />
les variables recherchées.<br />
Étape 2<br />
Analyser <strong>graphique</strong>ment les contraintes, c'est-<strong>à</strong>-dire:<br />
• tracer le polygone de contraintes correspondant au système d'<strong>inéquation</strong>s<br />
déterminé précédemment;<br />
• calculer les coordonnées des sommets <strong>du</strong> polygone de contraintes.<br />
Étape 3<br />
Déterminer les valeurs des variables x e t y qui optimisent la fonction Z,<br />
c'est-<strong>à</strong>-dire:<br />
• calculer la valeur de la fonction Z pour chacun des sommets <strong>du</strong> polygone de<br />
contraintes;<br />
• choisir les valeurs des variables x et y qui optimisent la fonction Z de la façon<br />
désirée.
Puisque vous maîtrisez déj<strong>à</strong> les deux premières étapes de la résolution des<br />
problèmes d'optimisation, il ne vous reste plus qu'<strong>à</strong> vous familiariser avec la<br />
troisième et dernière étape de cette démarche: déterminer le couple qui optimisera<br />
la fonction décrivant le problème, c'est-<strong>à</strong>-dire les valeurs de x e t de y qui<br />
permettront de maximiser ou de minimiser la quantité qui fait l'objet <strong>du</strong> problème.<br />
Après avoir franchi les deux premières étapes de la résolution d'un problème<br />
d'optimisation, vous devez simplement évaluer la fonction <strong>à</strong> optimiser en chacun des<br />
sommets <strong>du</strong> polygone de contraintes pour déterminer lequel de ces sommets<br />
optimisera cette fonction de la façon désirée. Vous connaissez maintenant très bien<br />
Mathilda et ses gâteaux, qui vous ont mis l'eau <strong>à</strong> la bouche tout au long de ce mo<strong>du</strong>le.<br />
Voici enfin venu le moment de trouver la solution de son problème d'optimisation.<br />
Exemple 1<br />
Trouver la solution <strong>du</strong> problème d’optimisation suivant.<br />
La pâtisserie Le gourmet <strong>du</strong> chocolat vend les meilleurs desserts au chocolat en ville.<br />
Mathilda, la pâtissière et propriétaire, propose <strong>à</strong> sa clientèle deux types de gâteaux:<br />
le petit gâteau <strong>à</strong> 3 $, qui ravit même les palais les plus capricieux, et le gros gâteau <strong>à</strong><br />
5 $, pour les vrais connaisseurs: une montagne de glace <strong>à</strong> la vanille couronnée <strong>d'une</strong><br />
grosse cerise juteuse. Par expérience, elle sait qu'elle vend toujours au moins autant<br />
de petits gâteaux que de gros. Pour assurer la fraîcheur de ses pâtisseries, elle ne<br />
fait jamais plus de 200 gâteaux par jour. Mathilda possède davantage de petits<br />
moules que de gros moules. Elle ne prépare donc jamais plus de 80 gros gâteaux par<br />
jour. Combien de gâteaux de chaque sorte Mathilda doit-elle préparer chaque jour<br />
pour maximiser le montant de ses ventes?<br />
Solution<br />
Au sous-mo<strong>du</strong>le précédent, nous avions obtenu le polygone de contraintes<br />
représentant les solutions <strong>du</strong> système d'<strong>inéquation</strong>s tra<strong>du</strong>isant les contraintes<br />
imposées aux variables, puis nous avions calculé les coordonnées des sommets de ce<br />
polygone.
Évaluons <strong>à</strong> présent la fonction Z pour chacun des sommets <strong>du</strong> polygone de<br />
contraintes. Pour y arriver, il suffit de remplacer x e t y dans la fonction Z = 3x+ 5y<br />
par les coordonnées de chacun des sommets <strong>du</strong> polygone de contraintes.<br />
Une fois la valeur de Z calculée pour chacun des sommets, on détermine le point qui<br />
optimise Z de la façon désirée. Ici, on désirait maximiser le montant des ventes de<br />
gâteaux de Mathilda. Cette dernière maximisera donc ses ventes en confectionnant<br />
120 petits gâteaux et 80 gros gâteaux, pour un total possible de 760$. Si vous avez<br />
bien suivi, vous n'aurez aucune difficulté <strong>à</strong> compléter le second exemple pour<br />
trouver la solution <strong>du</strong> problème d'optimisation de Marcel Marchand.
Exemple 2<br />
Trouver la solution <strong>du</strong> problème d’optimisation suivant.<br />
La municipalité de Saint-Jean-de-Matha sera bientôt le théâtre <strong>du</strong> concours «<br />
L'homme fort <strong>du</strong> Québec». Pour l'occasion, Marcel Marchand, un commerçant<br />
ambulant, a décidé de vendre des tee-shirts et des casquettes portant le logo et les<br />
couleurs <strong>du</strong> concours. La vente de chaque tee-shirt lui rapportera 15 $, alors qu'une<br />
casquette lui rapportera 5 $. Il s'attend <strong>à</strong> vendre au moins 50 tee-shirts, et au moins<br />
3 fois plus de casquettes que de tee-shirts. Marcel a dû se procurer un permis au<br />
coût de 80 $ pour avoir le droit de faire <strong>du</strong> commerce sur le site <strong>du</strong> concours. Sa<br />
camionnette ne lui permet pas de transporter plus de 500 articles sur le site. À<br />
combien peut-il estimer le profit maximal qu'il fera pendant la journée?<br />
Solution<br />
Au sous-mo<strong>du</strong>le précédent, vous aviez déj<strong>à</strong> tracé le polygone de contraintes et<br />
calculé les coordonnées de ses sommets; la fonction <strong>à</strong> optimiser était Z = 15x+<br />
5y-80.
À combien Marcel peut-il estimer son profit maximal pour la journée?<br />
Le profit maximal possible de Marcel est de 3 670 $. Il obtiendra ce profit en<br />
vendant 125 tee-shirts et 375 casquettes. Facile, n'est-ce pas?<br />
Voici venu le moment de terminer cette section par quelques exercices. Avant de<br />
vous attaquer <strong>à</strong> de nouveaux problèmes, vous aurez l'occasion de résoudre les<br />
problèmes d'optimisation sur lesquels vous avez commencé <strong>à</strong> travailler au<br />
sous-mo<strong>du</strong>le précédent. Au besoin, reportez-vous au tableau des étapes <strong>à</strong> suivre<br />
pour résoudre un problème d'optimisation, et vous optimiserez ainsi vos efforts vers<br />
la réussite !