A Faisceaux

A Faisceaux
GROUPE DE TRAVAIL: CONJECTURE DE MANIN
V. FAISCEAUX ET COHOMOLOGIE
Rachel Taillefer
30 juin 2010
On a vu que dans le cas projectif, on ne peut définir les fonctions régulières que localement, sur
des recouvrements ouverts. Les faisceaux permettent de formaliser cela.
A.1 Faisceaux de fonctions
Définition. Soit X un espace topologique et soit E un ensemble. Un faisceau de fonctions sur X à valeurs
dans E est la donnée, pour tout ouvert U de X, d’un ensemble F(U) de fonctions définies sur U et à valeurs
dans E, avec les deux axiomes suivants :
(1) Restriction. Si V est un ouvert inclus dans U et si f ∈ F(U), on a f |V ∈ F(V).
(2) Recollement. Si U est recouvert par des ouverts Ui (i ∈ I) et si on se donne des fi ∈ F(Ui) pour tout
i ∈ I telles que fi|U i∩U j = fj|U i∩U j pour tous i, j, alors il existe une et une seule fonction f ∈ F(U) telle
que f |U i = fi pour tout i ∈ I.
Exemple. ➢ Faisceau de toutes les fonctions
➢ Faisceau des fonctions continues à valeurs dans R ou C.
➢ Si X est un ouvert de R n , faisceau des fonctions différentiables, analytiques...
Remarque. Les “bonnes fonctions” sont donc stables par restriction, et on vérifie qu’une fonction
est une “bonne fonction” localement (axiome de recollement).
Remarque. La restriction définit une flèche rV,U : F(U) → F(V) qui vérifie rU,U = idU pour tout
U et rW,U = rW,V ◦ rV,U pour tous ouverts W ⊂ V ⊂ U.
Notation. On note aussi F(U) = Γ(U, F); ses éléments sont appelés les sections de F sur U, les
éléments de Γ(X, F) les sections globales.
Le lemme suivant sera utile pour interpréter ce que l’on a vu précédemment en termes de
faisceaux.
Lemme A.1. Soient X un espace topologique, U une base d’ouverts de X et E un ensemble. On suppose que
l’on a, pour tout U ∈ U, un ensemble F(U) de fonctions de U dans E vérifiant les conditions suivantes :
(i) si V, U ∈ U avec V ⊂ U et si s ∈ F(U) alors s|V ∈ F(V);
(ii) si un ouvert U ∈ U est recouvert par des Ui, i ∈ I avec Ui ∈ U et si s est une fonction de U dans E
qui vérifie s|U i ∈ F(Ui) pour tout i ∈ I alors s ∈ F(U).
Alors il existe un unique faisceau F de fonctions sur X tel que l’on ait, pour tout U ∈ U, F(U) = F(U).
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Démonstration. Soit U un ouvert de X. Il est recouvert par des ouverts Ui de U et on pose
F(U) = {s : U → E | ∀i, s|U i ∈ F(Ui)} .
➢ F(U) est indépendant du recouvrement de U choisi. En effet, supposons que U =
i Ui =
j Vj avec Ui et Vj dans U et soient
F 1(U) = {s : U → E | ∀i, s|U ∈ F(Ui)} i et F 2(U) = s : U → E | ∀j, s|V ∈ F(Vj)
j .
Soit s ∈ F 1(U).
Pour tout (i, j), il existe un recouvrement de Ui ∩ Vj par des ouverts de U, ce qui fournit un
recouvrement {W k, k ∈ K} de U par des ouverts de U tel que, pour tout k, l’existence d’un
(i, j) tel que W k ⊂ Ui ∩ Vj.
Pour tout i, Ui est recouvert par des W k et, comme s|U i ∈ F(Ui) par définition de F 1, d’après
(i) on a s|W k ∈ F(W k) pour tout k. D’autre part, chaque Vj est recouvert par des W k donc
d’après (ii) on a s|V j ∈ F(Vj) donc, par définition de F 2, on a s ∈ F 2(U).
➢ Restriction. Soient V ⊂ U deux ouverts de X. Soit s ∈ F(U). Il existe un recouvrement de
U par des ouverts Ui ∈ U. De plus, pour tout i il existe un recouvrement de Ui ∩ V par des
ouverts W k ∈ U. Par définition de F, on a s|W k ∈ F(W k) pour tout k. Or s|W k est la restriction
à W k de s|V, donc s|V ∈ F(V).
➢ Soit U un ouvert de X, recouvert par des ouverts Ui de X. Soit s : U → E telle que s|U i ∈
F(Ui) pour tout i. Pour tout i, il existe un recouvrement de Ui par des W ik ∈ U. Pour tout
(i, k) on a s|W ik = (s|U i )|W ik ∈ F(W ik), donc s ∈ F(U).
➢ Unicité : elle découle de la remarque page 3 sur le faisceau associé à un préfaisceau.
A.2 Faisceaux généraux
Définition. Soit X un espace topologique. Un préfaisceau sur X est la donnée, pour tout ouvert U de
X, d’un ensemble F(U) et, pour U et V ouverts avec V ⊂ U, d’applications dites de restriction rV,U :
F(U) → F(V) vérifiant les deux propriétés suivantes :
(i) rW,U = rW,V ◦ rV,U pour tous ouverts W ⊂ V ⊂ U.
(ii) rU,U = idU pour tout U.
On pose alors rV,U( f ) = f |V.
On dit que F est un faisceau s’il vérifie de plus l’axiome de recollement (2) de la définition.
Définition. Soit G un faisceau sur X. Un sous-faisceau F de G est un faisceau sur X tel que pour tout
ouvert U de X on ait F(U) ⊂ G(U) et pour tout couple d’ouverts (U, V) de X avec V ⊂ U le diagramme
suivant commute :
F(U) r′ VU
G(U) rVU
F(V)
G(V)
Remarque. ➢ On peut toujours considérer un faisceau comme un faisceau de fonctions.
Soit X un espace topologique et soit F un faisceau sur X. Soit p ∈ X et soit
Ep = {(U, s) | p ∈ U ouvert de X, s ∈ F(U)} .
On définit une relation d’équivalence sur Ep en posant
(U, s) ∼ (V, t) ⇐⇒ ∃W ouvert de X avec p ∈ W ⊂ U ∩ V tel que rWU(s) = rWV(t).
2
.

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La classe d’équivalence de (U, s) est le germe de s en p, notée sp. On note Fp l’ensemble des
germes en p.
On pose E = ∐p∈X Fp. On définit une injection iU de F(U) dans l’ensemble des fonctions de
U dans E en posant iU(s)(p) = sp qui fait de F un sous-faisceau du faisceau des fonctions de
X dans E.
➢ Si F est un préfaisceau de fonctions sur X, on peut toujours le plonger canoniquement
dans un faisceau F + , appelé faisceau associé à F : on pose, pour tout ouvert U de X,
F + (U) = { f : U → k | ∀x ∈ U, ∃V ouvert avec x ∈ V ⊂ U tq f |V ∈ F(V)} .
De plus, soit U une base d’ouverts de X et soit G un faisceau sur X tel que pour tout U ∈ U
on ait G(U) = F(U). Alors G = F + .
➢ Si F est un faisceau sur X et si U est un ouvert de X, on définit un faisceau F|U de manière
évidente : pour tout ouvert V de U on pose F|U(V) = F(V).
A.3 Faisceaux d’anneaux
Définition. Un faisceau d’anneaux (resp. de k-algèbres) sur X est un faisceau sur X tel que chaque
F(U) soit un anneau (resp. une k-algèbre) et les restrictions soient des morphismes d’anneaux (resp. de
k-algèbres).
La plupart des exemples ci-dessus sont des faisceaux d’anneaux.
Définition. Un espace annelé est un espace topologique X muni d’un faisceau d’anneaux. Ce faisceau est
appelé faisceau structural de X et on le note OX.
Conventions. Dorénavant, k est un corps algébriquement clos. De plus le faisceau structural de
tous les espaces annelés considérés sera un faisceau de fonctions à valeurs dans k, qui est un faisceau
de k-algèbres contenant les fonctions constantes.
Définition. Soient (X, OX) et (Y, OY) deux espaces annelés. Un morphisme d’espaces annelés consiste en
la donnée d’une application continue ϕ : X → Y telle que pour tout ouvert U de Y et toute g ∈ OY(U), on
a g ◦ ϕ| ϕ −1 (U) ∈ OX(ϕ −1 (U)).
Remarque. Soit ϕ : X → Y une application continue. Pour vérifier qu’elle définit un morphisme
d’espaces annelés, il suffit de le faire sur une base d’ouverts de Y.
En effet, soit U une base d’ouverts de Y. Soit V un ouvert quelconque de Y et soit g ∈ OY(V).
Il existe un recouvrement R de V formé d’ouverts de la base d’ouverts U. Pour tout U ∈ R, on a
g|U ∈ OY(U) et (g ◦ ϕ)| ϕ −1 (U) = g|U ◦ ϕ| ϕ −1 (U) ∈ OX(ϕ −1 (U)) par hypothèse. Comme les ϕ −1 (U)
pour U ∈ R recouvrent ϕ −1 (V), l’axiome de recollement donne g ◦ ϕ ∈ OX(ϕ −1 (V)).
A.4 Le faisceau structural d’une sous-variété affine
Pour définir un faisceau sur une sous-variété affine X de A n , il suffit de le définir sur la base
d’ouverts {D( f ) | f ∈ A(X)} où D( f ) = X \ VX( f ) = {x ∈ X | f (x) = 0}.
Définition-Proposition A.2. Soit X une sous-variété affine de A n et soit f ∈ A(X) non nulle. On pose
OX(D( f )) = A(X) f .
Ceci définit un faisceau d’anneaux sur X appelé faisceau des fonctions régulières.
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Remarque. Les éléments de OX(D( f )) peuvent être vus comme des fonctions sur D( f ) puisque
ce sont des fractions avec des puissances de f au dénominateur et f ne s’annule pas sur D( f ).
On a donc défini un faisceau de fonctions OX sur X.
Démonstration. Il faut vérifier que l’on a bien un faisceau de fonctions grâce au lemme A.1.
(i) Si D( f ) ⊂ D(g) alors V(g) ⊂ V( f ) et donc ( f ) = I(V( f )) ⊂ I(V(g)) = (g) (Nullstellensatz).
On en déduit qu’il existe p ∈ N∗ et h ∈ A(X) tels que f p = gh. Soit maintenant
u
qui est bien dans
ps
gs ∈ OX(D(g)) = A(X)g, alors sa restriction à D( f ) s’écrit uhs
gsh f
s = uhs
A(X) f = OX(D( f )).
On démontre de même que, si D( f ) = D(g), alors les localisés correspondant sont égaux.
(ii) On suppose que D( f ) est recouvert par des D( fi) avec f , fi ∈ A(X). Par quasi-compacité on
peut supposer qu’il y a un nombre fini de fi : 1 i r. On a alors V( f ) = V( f1, . . . , fr).
Soit s ∈ D( f ) et notons si = s| D( fi) ∈ A(X) fi , on peut donc écrire si = ai
f n
i
pour tout i (le même
n pour tous puisqu’il y en a un nombre fini) avec ai ∈ A(X).
Si i = j, alors si et sj coïncident sur D( fi) ∩ D( fj) = D( fi fj) donc il existe N ∈ N ∗ tel que
f N
i f N
j
( f n
i aj − f n j ai) = 0 sur D( fi) ∩ D( fj)
(on peut choisir le même N pour toutes ces relations). Cette relation est encore vraie sur X
puisque en dehors de D( fi fj) on a f N
i f N
j = 0.
De plus, f est nulle sur V( f1, . . . , fr) = V( f n+N
1 , . . . , f n+N
r ) donc d’après le Nullstellensatz il
existe m ∈ N∗ tel que f m = ∑ r i=1 bi f n+N
i avec bi ∈ A(X) pour tout i. Posons a = ∑ r i=1 aibi f N
i .
On a alors, sur D( fi),
et donc a
f
ai
= m f n
i
f N
i (ai f m ) =
A.5 Les variétés affines
r
∑
j=1
bjai f n+N
j f N
i =
r
∑
j=1
bjaj f n+N
i f N
j
N N = fi (a fj )
= si sur D( fi), donc s = a
f m ∈ A(X) f = OX(D( f )).
Définition. Une variété algébrique affine est un espace annelé isomorphe à un espace annelé (X, OX) où
X est une sous-variété affine d’un A n et OX est le faisceau des fonctions régulières sur X. Un morphisme
de variétés algébriques affines est un morphisme d’espaces annelés.
On a déjà vu le résultat suivant :
Proposition A.3. Soient X une sous-variété affine de A n et soit f ∈ A(X). L’ouvert D( f ) muni du
faisceau OX restreint à D( f ) est une variété algébrique affine.
Proposition A.4. Soient (X, OX) et (Y, OY) deux sous-variétés de A n et A m respectivement, munies de
leurs structures de variétés affines données par les faisceaux OX et OY. Alors on a des bijections naturelles
HomVar(X, Y) ∼ = {applications régulières de X dans Y} ∼ = Hom k−alg(OY(Y), OX(X)).
Démonstration. On connaît déjà le deuxième isomorphisme. Pour le premier :
➢ Soit ϕ : X → Y un morphisme d’espaces annelés. Soient η1, . . . , ηm les coordonnées sur
Y : elles sont dans OY(Y) donc les ηi ◦ ϕ sont dans OX(ϕ −1 (Y)) = OX(X) et donc ϕ =
(η1ϕ, . . . , ηmϕ) est une application régulière.
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➢ Soit ϕ : X → Y une application régulière. Soit D(g) un ouvert standard de Y. Si f = h
∈
gn OY(D(g)), alors f ◦ ϕ = ϕ∗ (h)
ϕ∗ (g) n donc g ◦ ϕ ∈ OX(D(ϕ ∗ (g))), avec D(ϕ∗ (g)) = ϕ−1 (D(g)).
Donc ϕ est un morphisme de variétés.
A.6 Les variétés algébriques
Définition. Une variété algébrique est un espace annelé quasi-compact localement isomorphe à une variété
algébrique affine. Un morphisme de variétés algébriques est un morphisme d’espaces annelés.
Exemples. ➢ Si X est une variété algébrique et si U est un ouvert de X, (U, OX|U) est une
variété algébrique.
➢ Soit X une variété algébrique et soit Y un fermé de X. On veut définir un faisceau OY. L’idée
naturelle de restreindre les fonctions sur les ouverts de X à Y ne donne qu’un préfaisceau :
O0,Y(V) = { f : V → k | ∃U ⊂ X ouvert avec U ∩ Y = V et ∃g ∈ OX(U) tq g|V = f } .
Il faut donc prendre le faisceau associé :
OY(V) = { f : V → k | ∀x ∈ V ∃U ⊂ X ouvert avec x ∈ U et g ∈ OX(U) tq g|U∩V = f |U∩V}
pour tout ouvert V de Y.
Alors (Y, OY) est une variété algébrique et l’inclusion de Y dans X est un morphisme :
Démonstration. La vérification se faisant localement, on peut supposer que X est affine. Montrons
que OY est égal au faisceau des fonctions régulières sur Y que l’on note ici RY. Pour
cela, il suffit de démontrer que les préfaisceaux sont égaux.
Soit f ∈ A(X) non nulle et soit ¯ f son image dans A(Y). Grâce au lemme A.1, il suffit de
démontrer que RY(D( ¯ f )) = O0,Y(D( ¯ f )).
Comme D( ¯ f ) = D( f ) ∩ Y et comme le morphisme de restriction OX(D( f )) = A(X) f →
A(Y) ¯ f = RY(D( ¯ f )) est surjectif (un élément de A(Y) ¯ f provient d’un polynôme que l’on
restreint pour obtenir un élément de A(X) f ), on a RY(D( ¯ f )) = A(Y) ¯ f ⊂ O0,Y(D( ¯ f )).
Réciproquement, si ¯s ∈ O0,Y(D( ¯ f )), c’est la restriction d’un s ∈ OX(U) avec U ∩ Y =
D( ¯ f ). On recouvre U par des ouverts D(gi); alors les D( ¯gi) recouvrent D( ¯ f ). On a s| D(gi) ∈
OX(Ui) = A(X)g i donc ¯s| D( ¯gi) ∈ A(X) ¯g i = RY(D( ¯gi)). Comme RY est un faisceau, on obtient
s ∈ RY(D( ¯ f )).
Définition. Soit X une variété algébrique. Une sous-variété algébrique de X est une partie localement
fermée Y de X munie de la structure de variété définie ci-dessus.
A.7 Faisceaux de modules
Soit (X, OX) un espace annelé.
Définition. On appelle OX-module un faisceau F tel que, pour tout ouvert U de X, F(U) est un OX(U)module
et tel que les flèches de restriction soient linéaires.
Plus précisément, si rVU : F(U) → F(V) est une flèche de restriction, on a également une flèche de
restriction ρVU : OX(U) → OX(V) qui est un morphisme d’anneaux ; F(U) est un OX(U)-module, F(V)
est un OX(V)-module donc un OX(U)-module par restriction des scalaires via ρVU ; on demande alors que
rVU soit un morphisme de OX(U)-modules, autrement dit rVU est un morphisme de groupes abéliens et
∀a ∈ OX(U), ∀ f ∈ F(U), rVU(a f ) = ρVU(a)rVU( f )
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Remarque. Puisqu’on a supposé que OX(U) est une k-algèbre pour tout U, les F(U) sont des
k-espaces vectoriels.
Exemple. Le faisceau nul, OX lui-même, sont des OX-modules.
On définit de manière évidente la somme directe (ou produit fini) de OX-modules. C’est encore
un OX-module.
Si F et G sont deux OX-modules, on définit leur produit tensoriel F ⊗OX
G qui est le faisceau
associé au préfaisceau F(U) ⊗OX(U) G(U) | U ouvert de X .
Définition. Soient F et G deux OX-modules. Un morphisme f : F → G consiste en la donnée, pour
chaque ouvert U, d’un morphisme f (U) : F(U) → G(U) de OX(U)-modules, compatibles aux restrictions
:
commute pour tous U, V.
F(U) f (U)
rVU
G(U)
r ′ VU
F(V)
G(V)
f (V)
Définition. Soit f : F → G un morphisme de OX-modules. On définit un OX-module Ker f en posant
(Ker f )(U) = Ker( f (U)) pour tout ouvert U. On dit que f est injectif si Ker f est le faisceau nul,
autrement dit, f (U) est injectif pour tout U.
On ne peut pas définir le faisceau image de la même façon :
Exemple. Soient X = C, F le faisceau des fonctions holomorphes sur les ouverts de C, G le faisceau
des fonctions holomorphes sur C qui ne s’annulent pas, et f = exp : F → G.
La condition de recollement sur {Im f (U) | U ouvert de C} n’est pas vérifiée : soient U = C \
{(0, 0)} , V = C \ {z ∈ C | z ∈ R, z 0} et W = C \ {z ∈ C | z ∈ R, z 0} . Alors U = V ∪ W
est un recouvrement de U par des ouverts simplement connexes. Sur V et W, on peut définir
un logarithme, donc idV ∈ Im f (V) et idW ∈ Im f (W). Mais sur U on ne peut pas définir de
logarithme et idU n’est donc pas dans Im f (U) ; on ne peut donc pas recoller les deux identités sur
U.
On a cependant un préfaisceau, et on considère donc le faisceau associé :
Définition. Soit f : F → G un morphisme de OX-modules. On définit un OX-module Im f en posant
(Im f )(U) = {s ∈ G(U) | ∀x ∈ U, ∃V ouvert avec x ∈ V ⊂ U tq s|V ∈ Im( f (V))}
pour tout ouvert U. On dit que f est surjectif si Im f = G.
Exemple. Dans l’exemple ci-dessus, exp : F → G est surjectif.
Définition. Une suite de morphismes de OX-modules F f
−→ G
modules si Ker g = Im f .
g
−→ H est une suite exacte de OX-
Proposition A.5. Si X est affine et si on a une suite exacte de faisceaux 0 → F σ → G p → H(→ 0) alors
on a une suite exacte 0 → F(X) → G(X) → H(X).
Démonstration. ➢ σ(X) est injective puisque σ l’est.
➢ Im(σ(X)) ⊂ (Im σ)(X) = (Ker p)(X) = Ker(p(X)).
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A. Faisceaux GROUPE DE TRAVAIL: CONJECTURE DE MANIN
➢ Soit g ∈ Ker(p(X)) = (Im σ)(X). Il existe un recouvrement (Ui)i de X tel que pour tout
i on ait g|U i ∈ Im(σ(Ui)) donc g|U i = σ(Ui)( fi) avec fi ∈ F(Ui). On pose Uij = Ui ∩ Uj.
On a alors σ(Uij)( f |U ij ) = g|U ij = σ(Uij)( fj|U ij ) donc ( fi − fj)|U ij ∈ Ker(σ(Uij)) = 0. Donc
fi|U ij = fj|U ij et il existe donc f ∈ F(X) tel que f |U i = fi pour tout i (recollement). On a alors
g|U i = σ(Ui)( f |U i ) = σ(X)( f )|U i pour tout i et donc g = σ(X)( f ).
Définition. Soit ϕ : Y → X une application continue et soit F un faisceau sur Y. On définit un faisceau
ϕ∗F sur X en posant
ϕ∗F(U) = F(ϕ −1 (U)) pour tout ouvert U de X.
On l’appelle faisceau image de F par ϕ.
Exemple. Soit X une variété algébrique, soit Y un fermé de X et soit j : Y → X l’inclusion canonique.
Soit FY le faisceau de toutes les fonctions de Y dans k. Alors j∗FY est un faisceau sur X. On
a j∗FY(U) = FY(U ∩ Y) pour tout ouvert U.
On a un morphisme de faisceaux r : OX → j∗FY défini par r(U)(s) = s|U∩Y pour tout ouvert
U de X et toute section s. De plus, le faisceau Im r est j∗OY. On obtient alors une suite exacte de
OX-modules
Ici IY = Ker r est un faisceau d’idéaux.
0 → IY → OX
r
→ j∗OY → 0.
A.8 Faisceaux de modules sur une variété algébrique affine
Soient X une variété algébrique affine et soit A = OX(X). Si F est un OX-module, alors F(X)
est un A-module. On cherche à faire la construction inverse : fabriquer un OX-module à partir d’un
A-module.
Définition. Soit X une variété algébrique affine. Soit A = OX(X) l’anneau des sections globales sur X.
Soit M un A-module.
On définit un OX-module M sur les ouverts standard de X en posant :
M(D( f )) = M f = M ⊗A A f pour tout f ∈ A, f = 0.
La vérification du fait que c’est bien un faisceau est semblable à la démonstration de la définitionproposition
A.2.
Exemple. On a A = OX, M(X) = M(D(1)) = M.
Proposition A.6. L’application qui à un A-module M associe le faisceau M sur X est fonctorielle, exacte
et commute aux sommes directes finies et au produit tensoriel.
Démonstration. ➢ Fonctorialité : si ϕ : M → N est un morphisme de A-modules, on définit
un morphisme de OX-modules ϕ f = ϕ ⊗A idA f : M f = M ⊗A A f → N f = N ⊗A A f . Il est
fonctoriel par fonctorialité du produit tensoriel.
➢ Exactitude : la localisation préserve les suites exactes.
➢ La localisation commute aux sommes directes : (M ⊕ M ′ ) f = M f ⊕ M ′ f .
➢ On a (M ⊗A M ′ ) f = M f ⊗A f M ′ f .
Exemple. Soit Y un fermé de X dont l’idéal est I = IX(W) dans A. On a une suite exacte 0 → I →
A → A/I → 0 de A-modules qui induit donc une suite exacte de OX-modules 0 → I → A →
A/I → 0. Il s’agit en fait de la suite 0 → IY → OX → OY → 0 (en effet, Y est une variété affine et
A(Y) = A/I – ou vérifier sur des ouverts standard).
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Définition. Un OX-module isomorphe à un faisceau M pour un A-module M est dit quasi-cohérent. Si
de plus M est de type fini, M est dit cohérent.
Plus généralement, si F est un OX-module, on dit que F est quasi-cohérent (resp. cohérent) lorsqu’il
existe un recouvrement ouvert affine (Ui)i de X tel que F|U i soit de la forme Mi pour un OX(Ui)-module
Mi (resp. avec Mi de type fini) pour tout i.
A.9 Les variétés projectives
Définition. Soit R un anneau gradué et soit f ∈ R homogène de degré d. Alors R f est gradué : ses éléments
homogènes de degré ℓ sont les g
avec g nul ou homogène de degré n = ℓ + rd. L’ensemble des éléments de
f r
degré 0 est un sous-anneau de R noté R ( f ).
Définition. Soit X une sous-variété projective de Pn . On définit le faisceau structural sur X sur les
D + ( f ) = {x ∈ X | f (x) = 0} pour tout f ∈ S(X) = k[T0, . . . , Tn]/I(X) homogène de degré strictement
positif par
OX(D +
g
( f )) = S(X) ( f ) =
f r | g ∈ S(X) homogène de degré deg( f r
) ∪ {0} .
Proposition A.7. (X, OX) est une variété algébrique.
Démonstration. X est un fermé de P n . Si f ∈ S(X) est l’image d’un polynôme homogène F ∈
k[T0, . . . , Tn] alors D + ( f ) = D + (F) ∩ X et on a une restriction OP n(D+ (F)) → OX(D + ( f )) qui
est surjective. Si on démontre que P n est une variété algébrique, alors (X, OX) sera une variété
algébrique en tant que sous-variété fermée de P n .
Or P n est recouvert par les D + (Ti). Il suffit donc de démontrer que U0 = D + (T0) est une variété
algébrique affine (quitte à faire une permutation des indéterminées).
Soit j : A n → D + (T0) la bijection naturelle.
➢ j est un homéomorphisme :
✦ Si F ∈ k[T0, . . . , Tn] est homogène, alors j −1 (D + (F) ∩ U0) = D(F ♭), donc j est continue.
✦ Si f ∈ k[T1, . . . , Tn] alors j(D( f )) = D + ( f ♯ ) ∩ U0 donc j est ouverte.
➢ j induit un isomorphisme d’espaces annelés (A n , OA n) ∼ = (D + (T0), OP n| D + (T0)). On doit
démontrer que pour F ∈ k[T0, . . . , Tn] homogène de degré d on a un isomorphisme d’anneaux
OP n(D+ (F) ∩ U0) ∼ = OA n(D(F ♭)).
On a D + (F) ∩ U0 = D + (FT0) donc
OPn(D+
G
(F) ∩ U0) = | G homogène de degré r(d + 1) .
(FT0) r
On a (FT0) ♭ = F ♭ donc ♭ induit un morphisme
qui est un isomorphisme :
G
✦ Si 0 = ϕ
injective.
ϕ : OP n(D+ (F) ∩ U0) → k[T1, . . . , Tn]F ♭ = OA n(D(F ♭))
(FT0) r
G
(FT0) r ↦→ G♭ Fr ♭
= G♭ Fr , alors G♭ = 0 et donc G = 0 (car G est homogène). Donc ϕ est
♭
8

B. Cohomologie GROUPE DE TRAVAIL: CONJECTURE DE MANIN
✦ G
F r
♭
= ϕ
Ts 0G♯ Fr
où s = rd − deg G. Donc ϕ est surjective.
Définition. Une variété algébrique projective (resp. quasi-projective) est une variété algébrique isomorphe
à une sous-variété projective (fermée) d’un P n muni du faisceau ci-dessus (resp. à un ouvert d’une
variété algébrique projective).
Définition. Soient X ⊂ Pn une variété algébrique projective et R = S(X).
Pour tout R-module gradué M on définit un OX-module M par
M(D +
m
( f )) = M ( f ) = | m ∈ M, r ∈ N, deg m = r deg f ∪ {0}
f r
pour tout f ∈ S(X) homogène non nul.
En particulier, R = OX.
Remarque. M est quasi-cohérent (et même cohérent si M est un R-module de type fini).
Soit I = I(X). Soient η0, . . . , ηn les fonctions coordonnées (classes des Ti ∈ k[T0, . . . , Tn] dans
S(X) = k[T0, . . . , Tn]/I).
D + (η0) = X ∩ D + (T0) est un ouvert affine d’anneau A0 = R (η0), donc A0 est l’ensemble des
éléments de degré 0 de Rη0
∼= k[T0, . . . , Tn]T0 /IT0
∼= k[T1, . . . , Tn]/I ♭, et D + (η0) = D + (T0) ∩ X =
Va(I ♭).
On veut démontrer que M| D + (η0) ∼ = N où N est un A0-module. On a une base d’ouverts de
D + (η0) formée des D( f ♭) ∩ X = D + ( ¯ f ♭) pour f ∈ k[T0, . . . , Tn], f homogène non nul (classe de f ♭
dans A0 = k[T1, . . . , Tn]/I ♭). Alors d’une part
M| D + (η0)(D( ¯ f ♭)) = M(D + (η0) ∩ D( ¯ f ♭)) = M(D + (η0 ¯ f )) = M (η0 ¯ f )
où ¯ f est la classe de f dans S(X). D’autre part, si N = M (η0) qui est un A0-module, on a
N(D( ¯ f ♭)) = N ¯ f♭ =
=
=
Donc M| D + (η0) = N.
m
ηr 0 ¯ f s
| r, s ∈ N, m ∈ M, deg m = r
♭
s deg
mη ¯ f
0
ηr 0 ¯ f s
| deg(mη s deg ¯ f
0 ) = r + s deg ¯
f
mη s deg ¯ f +s−r
0
(η0 ¯ f ) s
| deg(mη s deg ¯ f +s−r
0 ) = s(deg ¯ f + 1)
On fait de même pour les X ∩ D + (Ti) pour i > 0. Donc M est quasi-cohérent.
B Cohomologie
B.1 Introduction
= M (η0 ¯ f ) .
Soit 0 → F σ
−→ G p
−→ H → 0 une suite exacte de OX-modules. On a alors une suite exacte
0 → F(X) σ(X)
−→ G(X) p(X)
−→ H(X).
Cependant, p(X) n’est pas nécessairement surjectif. Soit h ∈ H(X). A quelle condition h est-il
dans l’image de p(X) ?
Comme p est surjective, il existe un recouvrement (Ui)i de X par des ouverts standard et des
gi ∈ G(Ui) tels que h|U = p(Ui)(gi). Le problème est de recoller les gi.
i
9

GROUPE DE TRAVAIL: CONJECTURE DE MANIN B. Cohomologie
Si fi ∈ F(Ui), alors p(Ui)(gi + σ(Ui)( fi)) = p(Ui)(gi) = h|U i donc on peut modifier les gi à
l’aide d’éléments de F(Ui).
Si on pose fij = gi − gj ∈ Ker p(Ui) sur Uij = Ui ∩ Uj alors f jk − f ik + fij = 0 sur U ijk =
Ui ∩ Uj ∩ U k. On dit que ( fij)i,j est un cocycle.
Puisque G est un faisceau, les gi + σ(Ui)( fi) se recollent ssi gi + σ(Ui)( fi) = gj + σ(Ui)( fj) sur
Uij, autrement dit fij = σ(Ui)( fj) − σ(Ui)( fi). On dit que ( fij)i,j est un cobord.
Donc p(X) est surjective si et seulement si tout cocycle est un cobord. On est donc amenés à
considérer {cocycles} / {cobords} et à voir s’il est nul. Ça sera le premier groupe de cohomologie
de F.
B.2 Algèbre homologique
Définition. Un complexe de groupes abéliens (ou de modules, ou de OX-modules) est une suite de morphismes
de groupes abéliens (ou de modules, ou de OX-modules) :
A • : 0 → A 0 d 1
→ A 1 d 2
→→ · · · → A i−1 d i
→ A i d i+1
→ A i+1 → · · ·
telle que pour tout i on ait d i+1 ◦ d i = 0 (ou de manière équivalente Im d i ⊂ Ker d i+1 ).
On définit les groupes de cohomologie du complexe A • par
H i (A • ) = (Ker d i+1 )/(Im d i ).
Un élément de A i est appelé cochaîne, un élément de Im d i est appelé cobord et un élément de Ker d i+1
est appelé cocycle. Les d i sont appelées différentielles.
Exemple. Soit U un ouvert de R n . On peut considérer le complexe des formes différentielles sur
U avec la différentielle usuelle. Alors les cocycles sont les formes fermées et les cobords sont les
formes exactes. Ceci définit la cohomologie de de Rham.
Le lemme de Poincaré dit que si U est étoilé alors les H i sont nuls.
Définition. Un morphisme de complexes f : A • → B • est la donnée pour tout i d’un morphisme
f i : A i → B i tels que les diagrammes
commutent pour tout i.
A i−1
f i−1
Bi−1 Une suite exacte de complexes est une suite A •
pour tout i la suite A i
f i
gi
→ Bi → Ci soit exacte.
d i
d i
A i
Bi f
→ B •
f i
g
→ C • de morphismes de complexes telle que
Lemme B.1. Un morphisme de complexes f : A • → B • induit des morphismes en cohomologie ¯ f i :
H i (A • ) → H i (B • ).
Démonstration. Soit ¯x ∈ H i (A) et soit x ∈ Ker d ⊂ A i un représentant de ¯x. Alors f i (x) ∈ B i et
d( f i (x)) = f i+1 (d(x)) = f i+1 (0) = 0 donc f i (x) ∈ Ker d ⊂ B i . Sa classe est f i (x) ∈ H i (B).
C’est bien défini : si x ′ est un autre représentant de ¯x, alors x − x ′ = du (c’est un cobord) avec
u ∈ A i−1 . On a alors f i (x) − f i (x ′ ) = f i (x − x ′ ) = f i (du) = d f i−1 (u), c’est donc un cobord et
f i (x) = f i (x ′ ) dans H i (B). On a donc défini une application ¯ f i : H i (A • ) → H i (B • ).
On vérifie facilement que c’est un morphisme.
10

B. Cohomologie GROUPE DE TRAVAIL: CONJECTURE DE MANIN
Théorème B.2 (Lemme du Serpent). On considère un diagramme commutatif de groupes abéliens de la
forme
A ′
u
B ′
π
C ′
0
0
f g
i
A
Si les lignes sont exactes, alors il existe une suite exacte
Ker f
B
ũ
→ Ker g ˜π → Ker h ∂ → A/ Im f
h
v
C.
˜ι
→ B/ Im g ˜v → C/ Im h
De plus, si u est injectif alors ũ l’est aussi, et si v est surjectif alors ˜v l’est aussi.
Démonstration. Le diagramme ci-dessous formé des lignes pleines est commutatif et ses lignes et
ses colonnes sont exactes. On veut construire les lignes en pointillés.
0
0
Ker f
A ′
f
A
p
A/ Im f
0
Ker g
u
B ′
g
i
B
B/ Im g
0
Ker h
π
C ′
h
v
C
C/ Im h
0 0 0
➢ Construction de ũ. On a u(Ker f ) ⊂ Ker g : en effet, si x ∈ Ker f , alors g(u(x)) = i( f (x)) =
i(0) = 0 donc u(x) ∈ Ker g. Par conséquent, l’application u restreinte à Ker f et corestreinte
à Ker g définit une application ũ : Ker f → Ker g.
➢ Construction de ˜π. De façon similaire, π(Ker g) ⊂ Ker h, donc π induit ˜π : Ker g → Ker h
par (co)restriction.
➢ Construction de ˜ι. On a i(Im f ) ⊂ Im g : en effet, si f (x) ∈ Im f , alors i( f (x)) = g(u(x)) ∈
Im g. Par conséquent, i induit une application ˜ι : A/ Im f → B/ Im g par passage au quotient.
➢ Construction de ˜v. Similaire à celle de ˜ι.
➢ Construction de ∂. Soit c ′ ∈ Ker h ⊂ C ′ . Puisque π est surjective, il existe b ′ ∈ B ′ tel que
c ′ = π(b ′ ). On a v(g(b ′ )) = h(π(b ′ )) = h(c ′ ) = 0 donc g(b ′ ) ∈ Ker v = Im i : il existe a ∈ A
tel que g(b ′ ) = i(a). On pose ∂(c ′ ) = p(a).
On doit vérifier que ∂ est bien définie. Les choix qui interviennent sont ceux de b ′ et de a.
Puisque i est injective, une fois que b ′ est choisi, a est bien déterminé. Supposons maintenant
que l’on ait b ′′ ∈ B ′ tel que π(b ′′ ) = c ′ = π(b ′ ). Alors b ′′ − b ′ ∈ Ker π = Im u donc il existe
a ′ ∈ A ′ tel que b ′′ − b ′ = u(a ′ ). Par conséquent g(b ′′ ) = g(b ′ ) + g(u(a ′ )) = i(a) + i( f (a ′ )) =
i(a + f (a ′ )), et p(a + f (a ′ )) = p(a) puisque p ◦ f = 0.
➢ Exactitude en Ker g. On a Ker ˜π = Ker π ∩ Ker g = Im u ∩ Ker g = Im ũ.
11
0

GROUPE DE TRAVAIL: CONJECTURE DE MANIN B. Cohomologie
➢ Exactitude en Ker h. Pour tout x ∈ Ker g, on a ∂( ˜π(x)) = ∂(π(x)). Puisque g(x) = 0 = i(0),
par définition de ∂ on a ∂(π(x)) = p(0) = 0. Ainsi Im ˜π ⊂ Ker ∂.
Soit maintenant y ∈ Ker ∂. On doit démontrer que y ∈ Im ˜π, c’est-à-dire trouver x ∈ Ker g tel
que y = π(x). On a 0 = ∂(y) = p(a) avec a ∈ A, i(a) = g(x ′ ) où x ′ ∈ B ′ est tel que y = π(x ′ ).
Ici a ∈ Ker p = Im f , donc il existe a ′ ∈ A ′ tel que a = f (a ′ ), donc g(x ′ ) = i( f (a ′ )) = g(u(a ′ )).
Par conséquent x := x ′ − u(a ′ ) ∈ Ker g, et π(x) = π(x ′ ) − π(u(a ′ )) = π(x ′ ) = y. Finalement,
y = ˜π(x).
➢ Exactitude en A/ Im f . Pour c ′ ∈ Ker h, on a ˜ι(∂(c ′ )) = ˜ι(p(a)) = i(a) = g(b ′ ) = 0 avec les
notations utilisées dans la construction de ∂, donc Im ∂ ⊂ Ker ˜ι.
De plus, pour p(y) ∈ Ker ˜ι, on a 0 = ˜ι(p(y)) = i(y) de sorte que i(y) ∈ Im g : il existe b ′ ∈ B ′
tel que i(y) = g(b ′ ). Alors ∂(π(b ′ )) = p(y) par construction de ∂ : on a p(y) ∈ Im ∂.
➢ Exactitude en B/ Im g. Pour x ∈ A/ Im f , ˜v(˜ι(x)) = v(i(x)) = 0 donc Im ˜ι ⊂ Ker ˜v.
Si ¯y ∈ Ker ˜v (où ¯y est la classe de y ∈ B dans B/ Im g), alors 0 = ˜v( ¯y) = v(y) donc v(y) ∈ Im h.
Il existe z ∈ C ′ tel que v(y) = h(z). Puisque π est surjective, il existe t ∈ B ′ tel que z = π(t),
de sorte que v(y) = h(z) = h(π(t)) = v(g(t)) et y − g(t) ∈ Ker v = Im i : il existe x ∈ A tel
que i(x) = y − g(t). Finalement, ¯y = i(x) + g(t) = i(x) = ˜ι( ¯x) ∈ Im ˜ι.
➢ Si u est injectif, alors Ker ũ = Ker f ∩ Ker u = 0 donc u est injectif.
➢ Si v est surjectif, alors pour tout ¯y ∈ C/ Im h il existe x ∈ B tel que y = v(x) donc ¯y =
˜v( ¯x) ∈ Im ˜v et ˜v est surjectif.
Proposition B.3. Soit 0 → A • → B • → C • → 0 une suite exacte de complexes. Alors il existe des
morphismes de connexion ∂ : H n (C • ) → H n+1 (A • ) tels que l’on ait une suite exacte longue
0 → H 0 (A • ) → H 0 (B • ) → H 0 (C • ) ∂ → H 1 (A • ) → H 1 (B • ) → H 1 (C • ) ∂ → H 2 (A • ) → · · ·
Démonstration. ➢ Construction de ∂.
On a un diagramme commutatif à colonnes exactes :
B n−1
g n−1
0
0
An
An+1 f n
Bn g n
Cn−1
Cn f n+1
dB
Bn+1 g n+1
0
dA
An+2 f n+2
dB
Bn+2
dC
Cn+1
Cn+2
0 0 0 0
Soit ¯x ∈ H n (C • ) et soit x ∈ Ker dC ⊂ C n un représentant de ¯x. Comme g est surjective, il
existe y ∈ B n tel que x = g n (y). De plus, 0 = dC(x) = dCg n (y) = g n+1 dB(y) donc dB(y) ∈
Ker g n+1 = Im f n+1 donc il existe un unique u ∈ A n+1 tel que dB(y) = f n+1 (u) ( f n+1 est
injective). On a 0 = dBdB(y) = dB f n+1 (u) = f n+2 dA(u) donc dA(u) = 0 puisque f n+2 est
injective. Donc u est un cocycle et on peut considérer ū ∈ H n+1 (A • ).
On pose ∂( ¯x) = ū.
Montrons que c’est bien défini.
12

B. Cohomologie GROUPE DE TRAVAIL: CONJECTURE DE MANIN
✦ Montrons que x ↦→ ū est bien défini. Soit y ′ ∈ B n tel que x = g n (y ′ ). Alors y − y ′ ∈
Ker g n = Im f n donc y − y ′ = f n (z) pour un z ∈ A n . Soit u ′ ∈ A n+1 tel que dB(y ′ ) =
f n+1 (u ′ ). Alors f n+1 (u − u ′ ) = dB(y − y ′ ) = dB f n (z) = f n+1 (dAz) donc u − u ′ = dAz
est un cobord ( f n+1 injective) et donc ū = ū ′ .
✦ On vérifie facilement que x ↦→ ū est un morphisme (si x et x ′ ont y et y ′ comme antécédants
par g alors x + x ′ admet y + y ′ comme antécédent . . . ).
✦ Si x = dC(v) est un cobord, alors v = g n−1 (v1) pour un v1 ∈ B n−1 et x = dCg n1(v1) =
g n dB(v1) donc u est l’élément tel que f n (u) = dB(dB(v1)) = 0 donc u = 0.
✦ Donc x ↦→ ū passe au quotient par les cobords, ce qui donne un morphisme ∂ : H n (C • ) →
H n+1 (A • ).
➢ Exactitude d’une partie de la suite en cohomologie.
On pose Zn A = Ker dn+1
A ⊂ An et de même pour les autres. On a un diagramme commutatif :
0
0
0
0
n−1
ZA
An−1 dA
0
n−1
ZB
Bn−1 dB
0
n−1
ZC
Cn−1
An
Bn
Cn
0
dans lequel les deux lignes du bas sont exactes par hypothèse et la première est exacte d’après
le lemme du Serpent. De plus, Im d ⊂ Z n donc on a :
0
0
0
0
n−1
ZA
An−1 dA
Zn A
H n (A)
0
n−1
ZB
Bn−1 dB
Zn B
n
H (B)
dC
0
n−1
ZC
Cn−1 dC
Zn C
n
H (C)
0 0 0
à colonnes exactes (puisque H n (A) = Zn A / Im d). On obtient alors, toujours grâce au lemme
13
0
0

GROUPE DE TRAVAIL: CONJECTURE DE MANIN B. Cohomologie
du Serpent, un diagramme commutatif à lignes exactes :
0
n−1
ZA
H n−1 (A • ) ¯f n−1
n−1
ZB
H n−1 (B • ) ¯g n−1
n−1
ZC
H n−1 (C• )
0 0 0
➢ Exactitude en H n−1 (C • ) :
∂
n
H (A• )
¯f n
n
H (B• )
¯g n
n
H (C• )
✦ Soit y ∈ B n un cocycle. Dans la construction de ∂( ¯g n−1 ( ¯y)) = ∂(g n−1 (y)) on a dCy = 0
d’où u = 0, donc ∂( ¯g n−1 ( ¯y)) = 0 et donc ∂ ◦ ¯g n−1 = 0.
✦ Soit ¯x ∈ Ker ∂ de représentant un cocycle x ∈ C n−1 . Avec les notations de la construction
de ∂, on a ū = 0 donc il existe v ∈ A n−1 tel que u = dAv. Alors dB(y − f n−1 (v)) =
dBy − dB f n−1 (v) = dBy − f n dA(v) = dBy − f n (u) = 0 donc y − f n−1 (v) ∈ B n−1 est un
cocycle. De plus, g n−1 (y − f n−1 (v)) = g n−1 (y) = x. Donc ¯x = ¯g n−1 (y − f n−1 (v)) ∈ Im ¯g.
✦ Donc Ker ∂ = Im ¯g n−1 .
➢ Exactitude en H n (A • ) :
✦ ¯ f n ◦ ∂( ¯x) = ¯ f n (ū) = f n (u) = dBy = 0 donc ¯ f n ◦ ∂ = 0.
✦ Soit ū ∈ Ker ¯ f n où u ∈ A n est un cocycle. Alors f n (u) est un cobord : il existe y ∈ B n−1 tel
que f n (u) = dBy. On a alors g n−1 (y) ∈ C n−1 et dC(g n−1 (y)) = g n dB(y) = g n ( f n (u)) = 0
donc g n−1 (y) est un cocycle. On peut donc considérer g n−1 (y) ∈ H n−1 (C • ). On a alors
ū = ∂(g n−1 (y)) ∈ Im ∂.
✦ Donc Im ∂ = Ker ¯ f n .
B.3 Cohomologie de Čech
Définition-Proposition B.4. Soient X un espace topologique, F un faisceau de groupes abéliens sur X
et U = {U0, . . . , Un} un recouvrement ouvert fini de X.
On pose Ui0···ip = Ui0 ∩ · · · ∩ Uip . On définit alors un complexe de groupes abéliens C• (U, F) en posant
C p (U, F) =
et d : C p → C p+1 définie par (ds)i0···ip+1
∏i0

B. Cohomologie GROUPE DE TRAVAIL: CONJECTURE DE MANIN
ℓ si ℓ < k
avec a(k, ℓ) =
Le terme si0···iα··· i avec α < β apparaît deux fois : une fois
β···ip+1 ℓ − 1 si ℓ > k.
pour k = α et ℓ = β, donc avec le signe (−1) α (−1) β−1 et une autre fois pour k = β et ℓ = α donc
avec le signe (−1) α (−1) β . Ces deux termes s’annulent et on obtient bien dt = 0.
Définition. Les groupes de cohomologie du complexe ci-dessus sont appelés groupes de cohomologie de
Čech de F définis à l’aide du recouvrement U de X. On les note ˇH n (U, F).
Remarque. Si X est une variété algébrique, alors OX est un faisceau de k-algèbres et si F est un
OX-module les F(U) sont des k-espaces vectoriels, les flèches sont k-linéaires et les ˇH n (U, F) sont
des k-espaces vectoriels.
Définition. Une variété algébrique X est dite séparée si la diagonale ∆ = {(x, y) ∈ X × X | x = y} est
fermée dans X × X.
Remarque. Soit X une variété séparée. Soient U et V deux ouverts affines de X. Alors U ∩ V est un
ouvert de X qui est isomorphe à (U × V) ∩ ∆ qui est un fermé de U × V. Or U × V est isomorphe
à une sous-variété d’un A n × A m donc (U × V) ∩ ∆ aussi et donc U ∩ V est un ouvert affine de X.
Exemple. Les variétés algébriques affines, projectives, quasi-affines, quasi-projectives sont séparées.
Théorème B.5. Soit X une variété algébrique séparée, soit U un recouvrement affine fini de X et soit F
un faisceau quasi-cohérent. Alors la cohomologie de Čech de F ne dépend pas du recouvrement affine fini
U choisi. On la note ˇH i (X, F) = ˇH i (U, F). (Elle s’identifie dans ce cadre à la cohomologie des faisceaux.)
(Admis)
Remarque. La cohomologie est fonctorielle : un morphisme de faisceaux F → G induit un morphisme
de complexes C • (U, F) → C • (U, G) et donc un morphisme ˇH ∗ (U, F) → ˇH ∗ (U, G).
Remarque. La cohomologie commute aux sommes directes finies : ˇH p (U,
i Fi) ∼ =
i ˇH i (U, Fi).
Proposition B.6. ˇH 0 (X, F) = F(X).
Démonstration. Soit ϕ : F(X) → ˇH 0 (X, F) définie par ϕ(s) = (s|U i )i.
Soit ˜s = (si)i ∈ C 0 (F). Il représente un élément de ˜s ∈ ˇH 0 (F) si et seulement si d˜s = 0 (c’est
un cocycle). Or d˜s = (sj − si)i

GROUPE DE TRAVAIL: CONJECTURE DE MANIN B. Cohomologie
➢ Premier cas : p = 1.
Soit α = (αij)i j et alors (B.1) est vraie pour tous i, j, k.
Comme αij ∈ F(Uij) = M fi f j on peut écrire αij = βij
f m
i f m j
αij sont en nombre fini) avec βij ∈ M. Alors (B.1) s’écrit β jk
f m j f m k
f N
i f N
j f N k
( f m
i β jk − f m j β ik + f m k βij) = 0 dans M pour un entier N.
(le même m pour tous puisque les
− β ik
f m
i f m k
+ βij
f m
i f m j
= 0 d’où
On veut démontrer que α est un cobord, c’est-à-dire que αij = γj − γi. Pour se débarasser du
k, on fait une partition de l’unité : puisque X =
i D( f m+N
, . . . , f m+N
n ) = ∅
donc ( f m+N
1
Alors
donc
, . . . , f m+N
n
∑ k
Donc α est bien un cobord.
i
) on a V( f m+N
1
) = A donc 1 = ∑ n k=1 ak f m+N
k . On pose alors γj = − ∑ n k=1 ak f N k
a k f N
i f N
j f N k ( f m j β ik − f m
i β jk) = ∑ k
αij = βij
f m
i f m j
= ∑ k
a k f N k
a k f N
i f N
j f N+m
k
βij = f N
i f N
j βij
βik f m −
i
βjk f m
= γj − γi.
j
βi0···ip
➢ Deuxième cas : p > 0. On écrit αi0···ip =
f m · · · f m , on pose γi0···ip−1
i0 ip
= ∑nk=1 ak f N k
Alors α = dγ.
En effet : on a dα = 0 d’où
p+1
∑ (−1)
t=0
t f N
i0
p+1
∑ (−1)
t=0
t βi0···it···ip+1 f m
i0
N m
. . . fip+1 fit β = 0 et donc
i0···it···ip+1
f m k
βi0···ip =
· · · f m
ip+1
f m
it
p
∑(−1)
t=0
t f m
it βk,i0···it···ip β jk
f m j
β k,i0···ip−1
f m
i0
· · · f m
ip−1
= 0 donc il existe un entier N tel que
. (B.2)
On fait une partition de l’unité 1 = ∑ n k=1 ak f m+N
i et on définit alors γ comme indiqué cidessus.
On a alors
(dγ)i0···ip =
p
∑(−1)
t=0
t γi0···it···ip n
= ∑ ak f
k=1
N p
k ∑(−1)
t=0
t βk,i0···it···ip f m · · · f m f
i0 ip
m
it
n
(B.2)
= ∑ ak f
k=1
N k f m βi0···ip
k
f m · · · f m
i0 ip
= βi0···ip
f m
i0
· · · f m
ip
= αi0···ip .
Corollaire B.8. Si X est affine et si on a une suite exacte de faisceaux quasi-cohérents 0 → F σ → G p →
H → 0 alors on a une suite exacte 0 → F(X) → G(X) → H(X) → 0 de A(X)-modules.
16
.
.

B. Cohomologie GROUPE DE TRAVAIL: CONJECTURE DE MANIN
Démonstration. Grâce à la proposition A.5, il suffit de démontrer que p(X) est surjective. Cela dé-
coule du fait que ˇH 1 (X, F) = 0, le reste de la démonstration est dans l’introduction.
Théorème B.9. Soit X une variété algébrique séparée et soit U un recouvrement fini de X par des ouverts
affines.
Si 0 → F → G → H → 0 est une suite exacte de faisceaux quasi-cohérents alors on a une suite exacte
longue
0 → F(X) → G(X) → H(X) → ˇH 1 (X, F) → ˇH 1 (X, G) → ˇH 1 (X, H) → ˇH 2 (X, F) → · · ·
Démonstration. Notons U = {U0, . . . , Ur} . Les Ui sont des ouverts affines donc les Ui0···ip sont
affines. On applique le corollaire précédent et on obtient des suites exactes :
0 → F(Ui0···ip ) → G(Ui0···ip ) → H(Ui0···ip ) → 0.
On fait le produit sur les (i0, . . . , ip) avec i0 < · · · < ip, pour tout p, ce qui donne des suites exactes :
0 → C p (U, F) → C p (U, G) → C p (U, H) → 0
pour tout p, puis une suite exacte de complexes. On en déduit donc une suite exacte longue en
cohomologie d’après la proposition B.3.
Proposition B.10. Soient X une variété algébrique séparée, Y une sous-variété fermée de X et j : Y ↩→ X
l’inclusion canonique. Soit F un faisceau quasi-cohérent sur Y.
Alors ˇH i (Y, F) = ˇH i (X, j∗F).
Démonstration. Soit (Ui)i un recouvrement fini de X par des ouverts affines. Alors (Ui ∩ Y)i est un
recouvrement de Y par des ouverts affines.
Comme F(Ui ∩ Y) = j∗F(Ui), les complexes de Čech sont les mêmes et les groupes de cohomologie
aussi.
Théorème B.11. Soit Y une variété algébrique projective de dimension n et soit F un faisceau quasicohérent
sur Y.
Alors ˇH i (Y, F) = 0 pour tout i > n.
Lemme B.12. Soit Y ↩→ P N une sous-variété fermée de dimension n < N. Alors il existe un sous-espace
linéaire W de P N de codimension n + 1 telle que Y ∩ W = ∅.
Démonstration. Par récurrence sur N :
➢ Si N = 1 alors Y est de dimension 0 donc est un ensemble fini. On cherche alors W de
dimension 0 donc réduit à un point, et disjoint de Y : c’est possible puisque k est infini.
➢ Si on montre qu’il existe un hyperplan H de P N ne contenant aucune composante irréductible
de Y, alors les traces sur ces composantes de H sont vides ou de dimension n − 1
(puisque ce sont des fermés stricts de ces composantes) et on pourra appliquer l’hypothèse
de récurrence à H et H ∩ Y.
Soit E = k N+1 . Les hyperplans de P(E) sont en bijection avec les hyperplans (vectoriels)
de E. Un hyperplan de E est le noyau d’une forme linéaire sur E, et deux formes linéaires
définissent le même hyperplan si et seulement si elles sont colinéaires. Donc l’espace des
hyperplans de P(E) s’identifie à P(E ∗ ). Concrètement, l’identification est donnée de la façon
suivante : on munit E ∗ de la base duale de la base canonique, {T0, . . . , Tn} . Un hyperplan est
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GROUPE DE TRAVAIL: CONJECTURE DE MANIN B. Cohomologie
donné par une équation ∑ N i=0 aiTi = 0, ce qui correspond à la forme linéaire ∑ N i=0 aiTi et donc
au point (a0 : a1 : · · · : aN) de P(E ∗ ).
Soit Y = Y1 ∪ · · · ∪ Yr la décomposition de Y en composantes irréductibles. Pour tout i, soit
xi = (xi0 : · · · : xiN ) un point de Yi. Soit Ωi l’ensemble des hyperplans ne contenant pas xi.
Alors H ∈ Ωi si et seulement si son équation vérifie ∑ N j=0 ajxi j = 0, donc Ωi est un ouvert non
vide de P(E ∗ ). Alors ∩iΩi est un ouvert non vide de P(E ∗ ) (ce dernier est irréductible), on
peut donc choisir un H ∈ ∩iΩi.
Démonstration du théorème. On prend W fourni par le lemme et, qui à faire une homographie, on
peut supposer que W = V(T0, . . . , Tn) (avec n + 1 équations). Comme Y ∩ W = ∅ on a Y ⊂
D + (T0) ∪ · · · ∪ D + (Tn) donc Y est recouvert par les n + 1 ouverts affines Y ∩ D + (Ti).
Alors les C p du complexe de Čech sont nuls pour p > n, donc les ˇH p aussi.
Remarque. Soit W une sous-variété fermée de dimension n de Y (projective), soit j : W ↩→ Y
l’inclusion canonique et soit F = j∗G où G est un faisceau quasi-cohérent sur W.
Alors ˇH i (Y, F) = 0 pour tout i > n (quelle que soit la dimension de Y), puisque ˇH i (Y, F) =
ˇH i (Y, j∗G) = ˇH i (W, G) = 0 pour i > dim W = n.
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