Maillage de surfaces étoilées par paramétrisation sphérique - École ...

Maillage de surfaces étoilées par paramétrisation sphérique
Sujet proposé par Steve Oudot
steve.oudot@inria.fr
Fig. 1 – Gauche : surface originale, paramétrée radialement sur la sphère S 2 par la fonction
r(θ, φ) = 2 + sin(θ) sin(8θ) cos(8φ). Droite : maillage obtenu par la méthode présentée dans ce
projet.
Note : Les sections 3 et 4 de ce projet contiennent quelques éléments de calcul différentiel.
Toutefois, les questions à forte composante mathématique sont facultatives et ont pour seul
but de permettre une compréhension plus approfondie du sujet par le lecteur. La partie algorithmique
consiste essentiellement à implémenter un algorithme simplifié de maillage de surfaces,
dans le langage de votre choix. Pour ceux qui choisissent JAVA, une partie du code est
déjà fournie, à partir de laquelle une implémentation basique de l’algorithme peut se faire en
90 lignes de code seulement. En cas de doute ou de problème, n’hésitez pas à me contacter
par email (steve.oudot@inria.fr). Pensez également à consulter la page de suivi du projet
(http://kelen.polytechnique.fr/profs/informatique/Steve.Oudot/cours/PI/suivi/index.html).
1 Introduction
Le maillage de surfaces est très utilisé en informatique graphique et en CAD pour manipuler
des objets tridimensionnels. Le but est de représenter le plus fidèlement possible le bord de
l’objet par une combinaison de points (les sommets), de segments (les arêtes) et de triangles
(les faces), appelée maillage — voir la figure 1. L’intérêt des maillages, comparés à d’autres
types de représentations, est que la plupart des algorithmes de rendu sont câblés dans les puces
des cartes graphiques, ce qui permet de manipuler ces objets en temps réel.
L’objectif de ce projet est de mailler des surfaces étoilées, c’est-à-dire des surfaces S pour
lesquelles il existe un point p ∈ R 3 tel que pour tout point q de S le segment ouvert ]p, q[ se
1

trouve entièrement d’un côté de la surface (]p, q[∩S = ∅). Quitte à opérer une translation de
la surface, nous supposerons que le point p se trouve à l’origine o de l’espace. Ce cas de figure
n’est qu’une instance particulière du maillage de surfaces, qui, considéré en toute généralité,
est un sujet de recherche à part entière et n’a trouvé de solutions certifiées que très récemment
[1, 2, 3].
En quoi notre hypothèse d’étoilement de la surface S simplifie-t-il les choses ? Du moment
que S est étoilée par rapport à l’origine o, elle peut être projetée radialement sur la sphère
unité S 2 de manière bijective. Il existe donc un paramétrage radial de S, i.e. une application
Φ : S 2 → S qui s’écrit comme suit :
∀p ∈ S 2 , Φ(p) = r(p) p,
où r : S 2 → R indique le rayon de la projection radiale. Pour construire un maillage de S, il
suffit donc de mailler la sphère S 2 puis d’envoyer tous les sommets du maillage sur S par Φ,
tout en gardant la même connectivité. Il faut toutefois veiller à adapter la densité locale des
sommets du maillage de S 2 en fonction de la géométrie de S, et donc de Φ. Cette question sera
abordée dans la partie 4 du projet.
Pour mailler S 2 , on peut se contenter d’abord de mailler le disque unité D dans le plan, puis
de remonter les sommets du maillage sur la demi-sphère supérieure par une projection Π. Le
maillage de S 2 est ensuite obtenu en recollant le maillage de la demi-sphère supérieure avec son
symétrique par rapport au plan horizontal, comme montré dans la figure 2 (centre). Il faut pour
cela que les bords des deux maillages concordent dans R 3 , ce qui peut être assuré en choisissant
une projection Π qui laisse le bord du maillage de D dans le plan horizontal. Notre approche
consistera à faire en sorte que les sommets du bord du maillage de D se trouvent sur le bord
C de D, puis à choisir une fonction Π qui laisse C invariant. Le choix de Π sera discuté dans la
partie 3 du projet.
Au final, le travail à effectuer se divise en trois étapes :
1. construire un maillage triangulaire du disque unité D dans le plan, dont la taille des
triangles dépend d’une fonction ϱ : D → R + donnée en argument (section 2) ;
2. relever les sommets du maillage sur la sphère unité S 2 (section 3) ;
3. projeter les sommets du maillage sur la surface S avec la fonction Φ (section 4).
Les étapes ne sont pas indépendantes : la première est nécessaire pour effectuer la deuxième,
qui elle-même est nécessaire pour effectuer la troisième. Chacune contient son lot de difficultés.
À noter toutefois que la première consiste essentiellement à implémenter un algorithme décrit
dans l’énoncé (c’est le minimum à faire), tandis que la deuxième et la troisième ont un caractère
plus mathématique mais ne présentent pas de difficultés d’implémentation particulières.
2 Maillage du disque unité D
2.1 La théorie
Notre objectif ici est de construire un maillage triangulaire de D tel que :
• le bord du maillage soit conforme au bord C de D, i.e. que toute arête du bord du maillage
relie deux sommets consécutifs sur C.
• la densité locale des sommets du maillage corresponde à une certaine fonction de densité
ϱ : D → R + fournie en entrée du programme. Plus précisément, pour tout triangle t du
maillage, on veut que le cercle circonscrit (c, r) de t soit de rayon r ≤ ϱ(c).
2

Fig. 2 – Résultat de l’algorithme pour la fonction radiale r3(θ, φ) = 0.1 + cos2 θ. À gauche, le
maillage de D ; au centre, le maillage de S2 ; à droite, le maillage de S, de densité uniforme.
Soit P l’ensemble des sommets du maillage. Puisque D est convexe, le bord du maillage est
formé des arêtes de Conv(P ), l’enveloppe convexe de P . Pour satisfaire le premier point, il suffit
donc de faire en sorte que tous les points de P situés sur Conv(P ) appartiennent à C.
Pour construire le maillage, nous allons utiliser la triangulation de Delaunay de P , définie
comme suit :
Définition 2.1 Une triangulation d’un ensemble fini P de points du plan est un ensemble
maximal de triangles reliant les points de P , tel que deux triangles ne peuvent s’intersecter que
le long d’un sommet commun ou d’une arête commune.
Définition 2.2 La triangulation de Delaunay d’un ensemble fini P de points du plan est une
triangulation de P telle que tout triangle a un cercle circonscrit vide de points de P . Elle est
notée Del(P ).
Fig. 3 – Pour les définitions 2.1 et 2.2.
À noter que la triangulation de Delaunay de P existe toujours, et qu’elle est unique si les
points de P sont en position générale, i.e. si trois points quelconques ne sont jamais alignés
sur le bord de l’enveloppe convexe de P , et si quatre points quelconques ne sont jamais sur un
même cercle vide d’autres points de P . Cette hypothèse de généricité sera supposée vérifiée tout
au long du projet, donc vous n’aurez pas besoin de vous en soucier.
3

La figure 3 illustre les définitions 2.1 et 2.2. L’image de gauche ne représente pas une triangulation
car les deux triangles en gras ont des intérieurs qui s’intersectent. L’image centrale
montre une triangulation qui n’est pas de Delaunay car le cercle circonscrit au triangle en gras
contient un sommet. Enfin, l’image de droite représente une triangulation de Delaunay.
La triangulation de Delaunay est intéressante à deux titres pour le maillage :
• parmi les triangulations de P , Del(P ) est celle qui maximise le plus petit angle entre deux
arêtes incidentes. En d’autres termes, c’est celle dont les triangles sont les moins aplatis ;
• la propriété du cercle vide permet de construire itérativement un ensemble de sommets
P , en insérant dans P , à chaque itération, le centre d’un cercle vide.
On donne ci-dessous une variante de l’algorithme de Ruppert [4], basée sur la propriété du cercle
vide, qui construit un maillage du disque D :
1. on choisit 3 points de C, que l’on insère dans un ensemble P dont on calcule la triangulation
de Delaunay, Del(P ) ;
2. tant qu’il reste un triangle t de Del(P ) dont le cercle circonscrit (c, r) est tel que r > ϱ(c) :
– si c se trouve dans le disque diamétral (ouvert) d’une quelconque arête e de l’enveloppe
convexe de P , alors il n’est pas inséré dans P ; à la place, on insère le point de C ∩med(e)
le plus proche des sommets de e, où med(e) désigne la médiatrice de e ;
– sinon, c est inséré dans P ;
après chaque insertion, Del(P ) est mis à jour.
3. en sortie de l’algorithme, on retourne Del(P ).
Question 2.1 (facultative) Montrez que si les points choisis en 1. forment un triangle dont
les trois angles internes valent au plus π
2 , alors les points de P situés sur Conv(P ) appartiennent
bien à C, et ce tout au long de l’algorithme.
En pratique, on prendra les points (0, 1), ( √ 3/2, −1/2) et (− √ 3/2, −1/2) pour initialiser l’algorithme.
On déduit immédiatement de la question 2.1 que le bord du maillage de sortie est
conforme à C. Par ailleurs, l’algorithme fait en sorte que les rayons des cercles circonscrits des
triangles de Del(P ) soient petits, donc le maillage de sortie vérifie les deux points énoncés au
début de la section 2.1. Par ailleurs, on admettra que l’algorithme termine toujours. Une preuve
de terminaison se trouve dans [4].
2.2 Implémentation
L’objectif principal de la section 2 est d’implémenter l’algorithme décrit plus haut. Le design
de l’implémentation est libre, tout comme le langage utilisé.
Pour les utilisateurs de C++, nous recommandons la bibliothèque CGAL, disponible sur le
site http://www.cgal.org et installée sur les machines de l’ École. Cette bibliothèque fournit
une implémentation robuste et efficace de la triangulation de Delaunay.
Pour les utilisateurs de JAVA, nous fournissons une implémentation de la triangulation
de Delaunay basée sur une approche incrémentale : les sommets sont insérés un par un et la
triangulation est mise à jour à la volée. Une archive avec le code source se trouve à l’adresse suivante
: http://www.enseignement.polytechnique.fr/profs/informatique/Steve.Oudot/
cours/PI/Delaunay.tgz. Cette archive contient entre autres un fichier lisez moi.txt qui
donne des indications sur la structure de données utilisée, ainsi que sur la manière de compiler
et d’exécuter le programme.
Une implémentation basique de l’algorithme de maillage décrit dans la section 2.1 consiste
à re-générer entièrement la liste des triangles de la triangulation de Delaunay ainsi que celle des
arêtes de l’enveloppe convexe à chaque itération de l’algorithme. Cette version est suffisamment
4

efficace pour générer des maillages de plusieurs milliers de sommets en quelques dizaines de
secondes sur une machine récente, c’est donc un bon point de départ. Le code JAVA fourni
implémente d’ailleurs certaines des routines (calcul du centre du cercle circonscrit à un triangle,
test d’appartenance d’un point au disque diamétral d’un segment, etc.) requises par l’algorithme
de maillage, ce qui devrait vous simplifier la tâche1 .
Pour la visualisation des maillages produits en sortie, nous recommandons le programme
Geomview, installé sur les machines de l’ École. Pour lancer le programme, tapez geomview dans
un terminal. Geomview prend en entrée un fichier au format OFF, structuré comme suit :
OFF
n m 0 ## n = nombre de sommets, m = nombre de faces
x0 y0 z0 ## Coordonnées du premier point
x1 y1 z1 ## Coordonnées du deuxième point
· · ·
xn−1 yn−1 zn−1 ## Coordonnées du dernier point
d p1 p2 · · · pd ## d = nombre de sommets de la face ; p1, p2, · · · , pd = indices
d q1 q2 · · · qd ## des sommets de la face (entre 0 et n − 1)
· · ·
Remarquez que les sommets doivent impérativement avoir 3 coordonnées. Dans le cas d’un
maillage 2-dimensionnel, la troisième coodonnée peut être mise à 0. Le code JAVA fourni contient
une classe Test qui génère des exemples de fichiers OFF.
Dans un premier temps, la fonction de densité ϱ : D → R + pourra être considérée comme
constante. Dans les sections 3 et 4, on essaiera de définir une fonction de densité adaptée à la
sphère S 2 , puis à la surface S.
Question 2.2 Implémentez la version basique de l’algorithme de maillage, avec une fonction
de densité constante ϱ = ϱ0, puis faites tourner votre programme pour diverses valeurs de la
constante ϱ0 et dressez un tableau de l’évolution du nombre de sommets en fonction de ϱ0.
Quelle loi empirique pouvez-vous extraire de vos données ?
Question 2.3 (facultative) La version basique du mailleur n’est pas très efficace car elle recalcule
toute la liste des triangles de Delaunay et toute celle des arêtes de l’enveloppe convexe
après chaque insertion d’un nouveau point, même si ces listes ont très peu changé. Optimisez
la mise à jour des listes, de manière à rendre l’algorithme plus efficace. Dressez un tableau des
temps de calcul obtenus en fonction du nombre de points insérés dans le maillage. Quel ordre
de grandeur de complexité atteignez-vous ?
3 Projection du disque D sur la sphère S 2
Maintenant que nous disposons d’un maillage M de D conforme à C, il nous faut relever les
sommets de M sur S2 par une projection Π qui laisse C invariant, afin d’obtenir un maillage
de la demi-sphère supérieure qui soit lui aussi conforme à C . Le maillage de S2 sera obtenu
en recollant le maillage de la demi-sphère supérieure avec son symétrique par rapport au plan
horizontal2 .
À ce stade, plusieurs fonctions de projection Π sont possibles. La plus simple est la projection
verticale, définie par Πv : (x, y) ↦→ x, y, 1 − x2 − y2
.
1
À l’aide du code JAVA fourni, une version basique du mailleur peut être implémentée en 90 lignes de code
seulement.
2
Attention à ne pas dédoubler les sommets de M se trouvant sur C !
5

Question 3.1 Implémentez Πv et utilisez-la pour construire le maillage de S 2 à partir de M.
Testez votre programme : quel est le problème ? Essayez de modifier la fonction de densité ϱ, par
exemple en la faisant dépendre de la distance au centre du disque D. Le problème se résout-il ?
Expliquez.
On se propose d’utiliser à la place de Πv une projection stéréographique, définie par :
2x
Πs : (x, y) ↦→
1 + x2 2y
,
+ y2 1 + x2 + y2 , 1 − x2 − y2 1 + x2 + y2
.
Question 3.2 Remplacez la projection Πv par Πs dans votre programme et essayez de trouver
expérimentalement une fonction ϱ qui résolve le problème évoqué à la question 3.1.
Remarque. Avant de vous lancer dans le codage, vérifiez à tout hasard que Πs est bien à
valeurs dans S 2 ...
Une fois les sommets du maillage remontés sur S 2 , certains triangles ont plus grossi que
d’autres. C’est un effet de ce qu’on appelle l’étirement. Formellement, étant donné une fonction
f : R 2 → R 3 et un point p ∈ R 2 , l’étirement associé à f en p est la forme quadratique E p
f définie
comme suit :
∀v ∈ R 2 , E p
f (v) = ∂vf(p) T ∂vf(p), (1)
où ∂vf(p) = limh→0 + f(p+hv)−f(p)
∈ R3 est la dérivée partielle de f en p le long de la direction
h
v. En d’autres termes, E p
f = Df (p) T Df (p) ∈ R 2×2 , où Df (p) ∈ R 3×2 est la différentielle de f en
(v) est appelé l’étirement associé à f en p le long de v.
Puisque E p
f est une forme quadratique, sa matrice est diagonalisable dans une base orthonormée.
Il existe donc deux vecteurs unitaires3 v1(p) et v2(p), appelés directions principales,
p. Pour tout vecteur v de R 2 , E p
f
tels que pour n’importe quel vecteur non nul v ∈ R2 , E p
f (v)/vTv est une combinaison linéaire
convexe de E p
f (v1(p)) et de E p
f (v2(p)).
Question 3.3 (facultative) Montrez que l’étirement associé à Πs en tout point (x, y) de D
est isotrope, c’est-à-dire que ses deux valeurs propres v1(p) et v2(p) sont égales en tout point
p ∈ D. En déduire qu’il existe un réel λΠs(x, y) tel que ∀v ∈ R2 , E x,y
Πs (v) = λΠs(x, y) vTv, avec
λΠs(x, y) =
∂Πs
2 2
∂Πs
∂x = ∂y = 4(1 + x2 + y2 ) −2 .
Connaître l’étirement permet de fixer la densité ϱ du maillage M de sorte que les cercles circonscrits
aux triangles du maillage de S 2 aient tous à peu près le même rayon. Dans le cas de
Πs, l’étirement est isotrope donc il ne dépend pas de la direction choisie. Nous pouvons dès lors
fixer ϱ(x, y) = 1/ λΠs(x, y) = (1 + x 2 + y 2 )/2. Ceci nous permet de générer un maillage de la
sphère S 2 de densité uniforme.
Question 3.4 Ajoutez à votre code une fonction qui calcule λΠs, et utilisez-la pour construire
le maillage de S 2 . Vérifiez expérimentalement que le maillage que vous obtenez a une densité à
peu près uniforme. Pour cela, vous pourrez par exemple tracer l’histogramme de la répartition
des rayons des triangles de votre maillage.
3 Ce sont des vecteurs propres associés aux deux valeurs propres de la matrice de E p
f .
6

4 Projection de la sphère S 2 sur la surface S
Puisque S est étoilée par rapport à l’origine o, on peut supposer que la projection Φ : S 2 → S
est radiale, i.e. de la forme :
∀p ∈ S 2 , Φ(p) = r(p) p. (2)
où r est une fonction de S2 dans R + . Voici quelques exemples de fonctions r(p), où p s’écrit
(θ, φ) en coordonnées sphériques :
⎧
r1(θ, φ) = 2 (sphère de rayon 2)
⎪⎨
⎪⎩
r2(θ, φ) = 2 + sin θ sin 8θ cos 8φ (star)
r3(θ, φ) = 0.1 + cos 2 θ (cacahuète)
r4(θ, φ) = 0.1 + sin 2 θ cos 2 φ (cacahuète orientée le long de l’axe des abcisses)
r5(θ, φ) =
1
sin θ+cos θ si θ ≤ π
2
1 si θ > π
2
(toupie)
Question 4.1 Implémentez ces fonctions dans votre programme pour voir les résultats produits.
Des exemples avec les fonctions r2 et r3 sont donnés respectivement dans les figures 1 and 2.
Remarque. La fonction r5 (toupie) n’est pas symétrique par rapport au plan horizontal, ce qui
signifie que les deux moitiés du maillage de la sphère S 2 doivent être traitées séparément avant
d’être recollées (bien vérifier que les deux maillages ont le même bord).
Pour générer un maillage uniforme de S, il faut compenser l’étirement lié à Φ ◦ Πs dans
le calcul de la fonction de densité ϱ. D’après la formule (1), l’étirement en un point dépend
généralement de la direction dans laquelle on regarde. Le cas de la projection stéréographique
était simple puisque cette dernière a un étirement isotrope en tout point de D. En revanche, le
cas général d’un étirement anisotrope est problématique puisqu’on ne sait pas quelle direction
privilégier. Pour s’en sortir, on ne considérera que la composante isotrope de l’étirement, définie
comme la moitié de la trace de la matrice d’étirement :
∀(x, y) ∈ D, λΦ◦Πs(x, y) = 1
2
1
tr Ex,y = Φ◦Πs 2 tr DΦ◦Πs(x, y) T DΦ◦Πs(x, y). (3)
Cette approximation donne d’assez bons résultats en pratique, comme le montre la figure 2. Par
composition, on a DΦ◦Πs(x, y) = DΦ(Πs(x, y))DΠs(x, y), ce qui implique par (3) que
λΦ◦Πs(x, y) = 1
2 tr DΠs(x, y) T DΦ(Πs(x, y)) T DΦ(Πs(x, y))DΠs(x, y)
= 1
2 tr DΠs(x, y) T DΠs(x, y)DΦ(Πs(x, y)) T DΦ(Πs(x, y))
= 1
2
tr Ex,y
Πs EΠs(x,y)
Φ
,
où E x,y
Πs = λΠs(x, y)I, comme vu dans la section 3. On en déduit donc que λΦ◦Πs(x, y) =
λΠs(x, y)λΦ(Πs(x, y)), avec λΠs(x, y) = 4(1+x 2 +y 2 ) −2 . Il reste maintenant à calculer λΦ(Πs(x, y)).
Pour cela, on dérive l’équation (2) en tout point p de la sphère S 2 et tout vecteur v du plan
TpS 2 tangent à S 2 en p :
∀p ∈ S 2 , ∀v ∈ TpS 2 , ∂vΦ(p) = ∂vr(p) p + r(p) ∂vp = ∂vr(p) p + r(p) v.
7

Puisque les vecteurs (p − o) et v sont orthogonaux, on en déduit par Pythagore que
E p
Φ (v) = ∂vΦ(p) T ∂vΦ(p) = ∂vr(p) 2 p T p + r 2 (p) v T v = ∂vr(p) 2 + r 2 (p) v T v. (4)
Par ailleurs, r étant à valeurs dans R, on a ∂vr(p) = ∇r(p) T v, où ∇r(p) ∈ TpS 2 est le gradient
de r au point p ∈ S 2 . On en déduit que ∂vr(p) 2 = v T ∇r(p)∇r(p) T v, où ∇r(p)∇r(p) T est une
matrice symétrique (2 × 2). En combinant ce résultat avec l’équation (4), on obtient :
E p
Φ = ∇r(p)∇r(p) T + r 2 (p) I. (5)
Maintenant, par un calcul standard en coordonnées sphériques, on a :
∀p = (θ, φ) ∈ S 2 , ∇r(p) = ∂r
∂θ
1 ∂r
dθ +
sin θ ∂φ dφ,
où dθ, dφ ∈ TpS 2 sont les vecteurs unitaires associés aux coordonnées sphériques θ et φ. Dans
la base orthonormée (dθ, dφ) de TpS 2 , on a donc ∇r(p) = ( ∂r
∂θ , 1 ∂r
sin(θ) ∂φ ), ce qui, combiné à
l’équation (5), nous donne :
λΦ(p) = 1
2 tr ∇r(p)∇r(p) T + r 2 (p) I = 1
2 ∂r 1
+
2 ∂θ 2 sin2 2 ∂r
+ r
θ ∂φ
2 (p). (6)
Pour générer un maillage à peu près uniforme de la surface S à partir du disque unité D, nous
pouvons donc prendre comme fonction de densité ϱ(x, y) = 1/ λΠs(x, y) λΦ(Πs(x, y)), avec
λΠs(x, y) = 4(1 + x2 + y2 ) −2 et λΦ(p) = 1
∂r 2 1
2 ∂θ +
2 sin2 2 ∂r
θ ∂φ + r2 (p).
Question 4.2 Ajoutez à votre code des méthodes qui calculent les composantes isotropes λΦ des
étirements associés aux projections Φ définies par les fonctions r1, · · · , r5. Vérifiez expérimentalement
que les maillages produits par votre programme ont des densités à peu près uniformes.
5 Améliorations
Les maillages que nous avons produits jusqu’ici ont un défaut : du fait que l’on recolle les
maillages des deux demi-sphères le long de l’équateur, ce dernier apparaît clairement dans le
maillage de S 2 , ainsi que dans celui de S puisque Φ est radiale – voir l’exemple de la figure 2. Une
méthode pour pallier ce défaut consiste à perturber aléatoirement les sommets du maillage de
D se trouvant sur C. La perturbation doit s’effectuer vers l’intérieur de D, pour que les sommets
puissent encore être projetés sur S 2 par Πs. Par ailleurs, l’amplitude de la perturbation doit
bien évidemment dépendre de la fonction de densité ϱ choisie.
Question 5.1 Ajoutez à votre code une méthode qui perturbe les sommets du maillage de D se
trouvant sur C. Observez le résultat sur les maillages de S 2 et de S, pour les fonctions r définies
plus haut. Perturber les sommets a-t-il toujours un intérêt ?
On veut maintenant générer des maillages dont la densité soit adaptée à la courbure locale
de S. Ceci permettra de réduire l’erreur d’approximation. Puisque notre fonction de densité ϱ
nous garantit une densité uniforme, il suffit de la pondérer par la courbure de S, elle-même liée
à la différentielle seconde de r.
Question 5.2 Modifiez votre fonction de densité ϱ pour qu’elle prenne en compte 4 la courbure
de S. Vérifiez visuellement sur plusieurs exemples que les maillages obtenus ont des densités
adaptées à la courbure de S.
4 Il y a mille manières de le faire, sans forcément calculer la différentielle seconde de r. Choisissez la méthode
qui vous convient le mieux, en justifiant votre choix.
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6 Extensions
Plusieurs extensions du travail effectué dans le cadre de ce projet sont envisageables :
• considérer des fonctions Φ : S 2 → S qui ne soient pas radiales. On se place alors dans le
cas général d’un paramétrage sphérique d’une surface connexe sans anse ni bord.
• considérer des surfaces sans anse mais avec des bords. Le paramétrage peut alors se faire
sur un morceau de plan puisque, du point de vue topologique, le plan n’est rien d’autre
qu’une sphère avec un trou. Le domaine des paramètres est alors un domaine du plan avec
le même nombre de bords que la surface S.
• considérer des surfaces avec g anses, comme par exemple le tore (où g = 1). La paramétrisation
de S ne se fait alors plus sur une sphère, mais sur un g-tore.
Références
[1] Jean-Daniel Boissonnat and Steve Oudot. An effective condition for sampling surfaces with guarantees.
In Proc. 9th Symp. on Solid Modeling, pages 101–112, 2004.
[2] Jean-Daniel Boissonnat, David Cohen Steiner, and Gert Vegter. Isotopic implicit surface meshing.
In Proceedings of the thirty-sixth annual ACM symposium on Theory of computing, pages 301 – 309,
2004.
[3] Siu-Wing Cheng, Tamal K. Dey, Edgar A. Ramos, and Tathagata Ray. Sampling and meshing
a surface with guaranteed topology and geometry. In Proc. 20th Annu. ACM Sympos. Comput.
Geom., pages 280 – 289, 2004.
[4] J. Ruppert. A Delaunay refinement algorithm for quality 2-dimensional mesh generation. J. Algorithms,
18 :548–585, 1995.
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