Contribution à l'étalonnage géométrique des robots industriels

ECOLE MILITAIRE POLYTECHNIQUE
MEMOIRE
Présenté pour obtenir le diplôme de Magister
Filière :
ROBOTIQUE, AUTOMATIQUE ET INFORMATIQUE INDUSTRIELLE
Président :
Option :
Systèmes mécaniques robotisés
Par : Toufik BENTALEB
Ingénieur d’Etat en Génie Mécanique
Contribution à l’étalonnage
géométrique des robots industriels
Soutenu publiquement le 20 / 12 / 2006 devant le Jury composé de :
BOUKHAROUBA Taoufik Professeur/ U.S.T.H.B
Examinateurs :
BELAIDI Abed El Rahmane Maître de conférences / U.M.B.B
MILOUDI Abed El Hamid Maître de conférences / U.S.T.H.B
CHETTIBI Taha Chargé de cours / E.M.P
Rapporteur :
BELOUCHRANI Med El Amine Maître de conférences / E.M.P

exÅxÜv|xÅxÇàá
Ce manuscrit est l'aboutissement d’une année de recherche au sein du
Laboratoire de Mécanique des Structures EMP. Je tiens à remercier mon directeur de
thèse : Dr BELOUCHRANI M ed El Amine (Maître Conférences à l'EMP et Resp.
d’option), mes remerciements vont aussi à monsieur le directeur de la recherche et
de la formation Post-Graduée : Dr A. Yousnadj, ainsi que le responsable du
Département Mécanique : Dr K. Necib (Maître Conférences à EMP), le chef du
Laboratoire de Mécanique des Structures : Dr T. Saidouni et le codirecteur de thèse :
Mr A.K. Zanadi.
Merci aux membres du jury d'avoir bien voulu analyser et porter un regard
critique sur mon travail, nécessaire à l'aboutissement de tout projet scientifique. Je
tiens aussi à exprimer ma gratitude envers toutes les personnes qui ont contribué
scientifiquement et humainement à la réalisation de ce travail de recherche.
Je remercie Prof. Wisama Khalil de m’avoir envoyé des documents intéressants
sur le sujet de mon travail.
Cette page ne saurait être complète sans remercier Hammache Hakim, Khadraoui
Aek sans oublier mes camarades de la 8ème, 9ème et 10ème promotion.
Merci enfin à mes amis, proches ou lointains, déjà cités ou non, pour leur
présence, ainsi qu'à ma famille et à mes parents, dont le soutien sans faille tout au
long de ces années m'a été plus que précieux : indispensable.

Dédicaces
À ma mère
À mon père
Et à toute ma famille

Abréviation Signification
CAO Conception Assisté par Ordinateur.
DDL Dégrée De Liberté.
EMP Ecole Militaire Polytechnique.
EPFL Ecole Polytechnique Fédérale de lausanne.
LIRMM
I
LISTE DES ABREVIATIONS
Laboratoire d'Informatique, Robotique et Microélectronique de
Montpellier.
LMS Laboratoire de Mécanique des Structure.
MGD Modèle Géométrique Direct.
MGI Modèle Géométrique Inverse.
PC angl. Personal Computer.
SVD angl. Singular Valuer Decomposition.
UGV Usinage Grande Vitesse.

Symbole Désignation
αi
βi
γi
θi
II
LISTE DES SYMBOLES
Angle entre le i e bras et le plan de la base fixe. Par convention, l’angle
αi est positif lorsque le bras est situé du côté de la nacelle.
Angle entre le plan du i e parallélogramme et le plan horizontal,
mesuré dans un plan vertical πi contenant le bras i.
Angle entre le plan vertical πi et une des barres du parallélogramme i.
Angle entre le plan πi et le plan Oxz.
P (px, py, pz) ou X Coordonnées du centre de la nacelle.
R Différence entre les longueurs Ra et Rb.
Ra Distance entre le centre de la base fixe et l’axe de rotation du bras.
Rb
Distance entre le centre de la nacelle et le côté du parallélogramme
solidaire de la nacelle.
r Exposé réel ou exacte.
j Ti
La matrice de passage 4×4 définissant le repère Ri par rapport
au repère Rj.
J La matrice jacobienne.
q Le vecteur des variables articulaires.
m Les mesures seront notées en exposant par m .
Lb Longueur d’une barre parallèle.
La Longueur du bras.
j Ai
Nm
Matrice de rotation (3×3).
Nombre d’équations.

Nc
Nombre de configurations.
ddli Nombre de degrés de liberté de la liaison numéro i.
m Nombre de degrés de liberté du mécanisme.
Nl
mint
NP
Np
Nombre de liaisons entre les solides indépendants.
Nombre de mobilités internes.
Nombre de paramètres.
Nombre de solides indépendants.
i Noté la chaîne. Exemple : P i paramètres de chaîne i.
P Paramètres géométriques.
k
Une configuration.
ρ Valeur d’actionneur.
workspace
Variable booléen qui caractérise l’appartenance de l’effecteur dans
l’espace de travail.
III

Chapitre I
IV
LISTE DES FIGURES
Figure I.1 Structure générale d’un robot industriel...................................... 8
Figure I.2 Le robot IRB 7600-150 (ABB, photo et graphe d’agencement).. 9
Figure I.3 Le robot Hexamove-System, photo et graphe d’agencement... 10
Figure I.4 Le robot FlexPicker (ABB), photo et graphe d’agencement............ 13
Figure I.5 Précision absolue, résolution et répétabilité................................ 15
Figure I.6 Le Robot Delta ................................................................................. 16
Figure I.7 Photographie du robot Delta......................................................... 17
Figure I.8 Schéma cinématique du robot Delta............................................. 18
Figure I.9 Robot Delta, image CAO et graphe d’agencement.................... 19
Chapitre II
Figure II.1
Figure II.2
Figure II.3
Le paramétrage du robot delta sans les déviations
géométriques...................................................................................
26
Le paramétrage d'une chaîne d’articulations du robot delta avec
des déviations géométriques …......................................................... 26
Interprétation géométrique de Modèle 24 comme structure
spatiale 3(R2S) .................................................................................. 31
Figure II.4 Modèle géométrique de robot Delta ................................................. 32
Figure II.5
Figure II.6
Figure II.7
Chaîne cinématique équivalente en considérant que la
nacelle est réduite à un point......................................................... 33
L’interface utilisée pour commander et simuler de la position de
robot Delta par le MGD et MGI......................................................... 37
Longueurs paramétriques et angles caractéristiques du robot
DELTA. .............................................................................................. 38
Figure II.8 Description d’une seule chaîne.......................................................... 39

Figure II.9 Description de la chaîne simplifiée.................................................... 39
Figure II.10
Une approximation du volume de travail du robot Delta [37] :
(a) volume de travail du robot en 3D ; (b) volume de travail du
robot en 3D vue du haut; (c) Vue de profil du robot avec son
volume de travail. .............................................................................
Figure II.11 Organigramme de Calcul test d’appartenance à l’espace de travail 41
Figure II.12
Figure II.13
Figure II.14
Organigramme de calcul des erreurs de position à partir des
paramètres réelles. .......................................................................... 43
Erreur de positionnement du robot Delta en fonction de la
position de l’organe terminal dans le plan (z = -400) pour
une erreur sur le paramètre géométrique La≈ 1 [mm], Lb≈ 1
[mm].…………………………………….........................................
Erreur de positionnement du robot Delta en fonction de la
position de l’organe terminal dans les plans (z = -300, -400, -
500 et -600 [mm]) pour une erreur sur le paramètre
géométrique (La ≈ 1 [mm]) ............................................................
Figure II.15 Simulation de l’étalonnage............................................................. 48
Trois cas de figure où la méthode d’optimisation converge en
présence de bruit de mesure : l’étalonnage améliore (gain
Figure II.12
positif) la connaissance des paramètres géométriques, la
50
détériore (gain négatif) ou n’a pas d’influence (gain nul) ........
Chapitre IV
Figure IV.1
Figure IV.2
Figure IV.3
Figure IV.4
Figure IV.5
Figure IV.6
Figure IV.7
Figure IV.8
Figure IV.9
Résultats méthode directe, sans bruit de mesures, Nc=8, p=1
mm, ................................................................................................... 74
Résultats méthode directe, sans bruit de mesures, Nc=8,
p=0.1 mm, ....................................................................................... 74
Résultats méthode directe, avec bruit de mesures, Nc=8, p=
0.1 mm, pos= L= 0.001 mm, R= 0.001°,....................................... 75
Résultats méthode directe, avec bruit de mesures, Nc=20, p=
0.1 mm, pos= L= 0.001 mm, R= 0.001°,....................................... 75
Résultats méthode directe, avec bruit de mesures, Nc=40, p=
0.1 mm, pos=L=0.001 mm, R=0.001°,.......................................... 76
Résultats méthode directe, avec bruit de mesures, Nc=60, p=
0.1 mm, pos=L=0.001 mm, R=0.001°,.......................................... 76
Résultats méthode directe, avec bruit de mesures, Nc=60,
p=0.1 mm, pos=L=0.01 mm, R=0.01°,........................................ 77
Résultats méthode inverse, sans bruit de mesures, Nc= 8, p=
10 mm, ............................................................................................. 79
Résultats méthode inverse, avec bruit de mesures, Nc=8,
p=10 mm, ........................................................................................ 79
Figure IV.10 Résultats méthode inverse, avec bruit de mesures, Nc=8, p=1
mm, pos=L=0.001 mm, R=0.001°,................................................ 80
Figure IV.11 Résultats méthode inverse, avec bruit de mesures, Nc=8, p=1
mm, pos=L=0.001 mm, R=0.001°,................................................ 80
Figure IV.12 Résultats méthode inverse, avec bruit de mesures, Nc=8, p=1
mm, pos=L=0.01 mm, R=0.01°,.................................................... 81
V
40
44
44

Figure IV.13
Figure IV.14
Figure IV.15
Chapitre V
Résultats méthode inverse, avec bruit de mesures, Nc=20,
p=1 mm, pos=L=0.01 mm, R=0.01°,........................................... 81
Résultats méthode inverse, avec bruit de mesures, Nc=40,
p=1 mm, pos=L=0.01 mm, R=0.01°,........................................... 82
Résultats méthode inverse, avec bruit de mesures, Nc=60,
p=1 mm, pos=L=0.01 mm, R=0.01°,........................................... 82
Figure V.1 Représentation de mécanisme de Blocage ........................................ 89
Figure V.2
Utilisation de la méthode Khalil pour la description de la
chaîne i simplifiée .......................................................................... 91
Figure V.3
Utilisation de la méthode Khalil pour la description de la chaîne
cinématique i. .................................................................................... 92
Figure V.4 Blocage des articulations passives β i et γ i ................................. 93
Figure V.5
Résultats de la méthode auto-étalonnage. Nc=8, p=1 mm,(a) Gain
de l’étalonnage sur les paramètres,(b) Erreur sur les paramètres….. 96
Résultats de la méthode auto-étalonnage. Nc=8, p=1 mm.
Figure V.6
Annexe A
pos=L=0.001 mm, R=0.001°, (a) Gain de l’étalonnage sur les 96
paramètres,(b) Erreur sur les paramètres..........................................
Figure A.1 Géométrie du robot LMD-DELTA 740............................................ 101
VI

Chapitre I
VII
LISTE DES TABLEAUX
Tableau I.1 Représentation normalisée de quelques liaisons.…….……….. 18
Tableau I.2 Conventions des graphes d’agencement………………………. 19
Chapitre II
Tableau II.1
Nombre minimal de paramètres nécessaires à la
modélisation du robot Delta.………………………………….… 25
Tableau II.2
Le paramétrage des trois chaînes articulaires R(2S/2S) du
robot……………………………………………………………….. 28
Tableau II.3 les paramètres du modèle nominal dérivé du tableau II.2….. 31
Tableau II.4
Langueurs caractéristiques et Angles limites du robot
LMS_DELTA……………………………………………………….. 42
Chapitre V
Tableau V.1
Paramétrage Khalil-kleinfinger pour une chaîne cinématique i du
robot Delta …………………………………………………………. 90

IX
SOMMAIRE
LISTE DES ABREVIATIONS….……………………...………………………………………………….……I
LISTE DES SYMBOLES………………………………...…………………………………………………...…II
LISTE DES FIGURES……………………………...………………………………………………………..…IV
LISTE DES TABLEAUX………………………………...……………………………………………………VII
SOMMAIRE………………….…………………………...……………………………………………………IX
INTRODUCTION GÉNÉRALE…………..………………………………………...………………………...1
Chapitre I : GENERALITES
I.1 INTRODUCTION.......................................................................................................................................... 7
I.2 LES ROBOTS INDUSTRIELS..................................................................................................................... 7
I.2.1 LES ROBOTS SERIELS ................................................................................................................................... 9
I.2.1 LES ROBOTS PARALLELES ......................................................................................................................... 10
I.2.2.1 Avantages ....................................................................................................................................... 11
I.2.2.2 Inconvénients ................................................................................................................................. 12
I.2.2.3 Deux générations de robots parallèles........................................................................................ 13
I.3 PRECISION ABSOLUE, REPETABILITE ET RESOLUTION............................................................. 14
I.4 LE ROBOT PARALLELE DELTA ............................................................................................................. 16
I.4.1 CONVENTION ET REPRESENTATION......................................................................................................... 16
I.4.1.1 La photographie............................................................................................................................. 17
I.4.1.2 Le schéma cinématique................................................................................................................. 17
I.4.1.3 Le dessin d'ensemble..................................................................................................................... 18
I.4.1.4 Le graphe d'agencement............................................................................................................... 19
I.5 CONCLUSION............................................................................................................................................. 20
Chapitre II : MODELISATION ET OUTILS DE L'ETALONNAGE
II.1 INTRODUCTION...................................................................................................................................... 22
II.2 MODELISATION DU ROBOT ............................................................................................................... 22
II.2.1 LE TYPE D'ERREUR................................................................................................................................... 22
II.2.1.1 Les erreurs d'origine géométrique ............................................................................................. 22
II.2.1.2 Les erreurs d'origine non-géométrique..................................................................................... 23
II.2.2 LA MODELISATION DU ROBOT ................................................................................................................ 23
II.2.2.1 Paramétrage du robot Delta........................................................................................................ 25
II.2.2.2 Modèle 54 ...................................................................................................................................... 28
II.2.2.3 Modèle 24 ...................................................................................................................................... 29
II.2.2.4 Modèle nominale.......................................................................................................................... 31
II.3 LES MODELES GEOMETRIQUES ........................................................................................................ 32
II.3.1 LES MODELES GEOMETRIQUES DE ROBOT DELTA ................................................................................. 32
II.3.1.1 Le Modèle géométrique Direct (MGD)...................................................................................... 32
II.3.1.2 Le Modèle géométrique Inverse (MGI) ..................................................................................... 36
II.3.1.3 Interface graphique ...................................................................................................................... 36
II.4 DETERMINATION DU VOLUME DE TRAVAIL .............................................................................. 39
II.5 INFLUENCE DES ERREURS SUR LE POSITIONNEMENT DU ROBOT ..................................... 42
II.6 LES MESURES............................................................................................................................................ 45
II.6.1 LES MESURES INTERNES .......................................................................................................................... 46
II.6.2 LES MESURES EXTERNES.......................................................................................................................... 46

II.7 LA SIMULATION...................................................................................................................................... 46
II.8 EVALUATION DES METHODES D'ETALONNAGE ....................................................................... 49
Chapitre III : APERÇU SUR L' ÉTALONNAGE GÉOMÉTRIQUE DES ROBOTS SÉRIE
III.1 INTRODUCTION .................................................................................................................................... 51
III.2 MODELE GEOMETRIQUE DES ROBOTS SERIE............................................................................ 52
III.3 PRENCIPES GENERAUX POUR L'ETALONNAGE......................................................................... 52
III.3.1 ECRITURE DU MODELE D'ETALONNAGE................................................................................................ 52
III.4 DESCRIPTION DES METHODES D'ETALONNAGE ..................................................................... 53
III.4.1 METHODE D'ETALONNAGE CLASSIQUE ................................................................................................ 53
III.4.2 ETALONNAGE AVEC MESURE DE LA SITUATION RELATIVE................................................................... 54
III.4.3 ETALONNAGE AVEC MESURE DE DISTANCES ........................................................................................ 56
III.4.4 ETALONNAGE AVEC LIAISON REPERE OU LIAISON PONCTUELLE ......................................................... 56
III.4.5 ETALONNAGE AVEC LIAISON POINT-PLAN........................................................................................... 58
IV.4.5.1 Etalonnage en utilisant l'équation du plan........................................................................... 58
IV.4.5.2 Etalonnage en utilisant la norme du plan............................................................................. 59
III.5 CONCLUSION.......................................................................................................................................... 60
Chapitre IV : ÉTALONNAGE GÉOMÉTRIQUE DES ROBOTS PARALLÈLES
( LES MÉTHODES DE BASE)
IV.1 INTRODUCTION .................................................................................................................................... 61
IV.2 PRINCIPE................................................................................................................................................... 62
IV.2.1 METHODE DIRECTE ............................................................................................................................... 62
IV.2.2 METHODE INVERSE ............................................................................................................................... 63
IV.3 LES SYSTEMES D'EQUATIONS A RESOUDRE .............................................................................. 64
IV.3.1 UTILISATION DU MGD ......................................................................................................................... 64
IV.3.2 UTILISATION DU MGI ........................................................................................................................... 65
IV.4 RESOLUTION........................................................................................................................................... 66
IV.4.1 LES SYSTEMES ........................................................................................................................................ 67
IV.4.2 LE CALCUL DES JACOBIENNES............................................................................................................... 68
IV.4.2.1 Jacobienne de la méthode directe ............................................................................................. 68
IV.4.2.2 Jacobienne de la méthode inverse............................................................................................. 69
IV.4.3 LA SIMULATION..................................................................................................................................... 70
IV.4.3.1 Principe......................................................................................................................................... 70
IV.4.3.2 Types d'algorithmes des moindres carrés non linéaires, non contraintes .......................... 71
IV.4.4 LES RESULTATS ...................................................................................................................................... 72
IV.4.4.1 Méthode Directe.......................................................................................................................... 72
IV.4.4.1.a Sans bruit de mesure........................................................................................................... 72
IV.4.4.1.b Avec bruit de mesure.......................................................................................................... 72
IV.4.4.2 Méthode Inverse ......................................................................................................................... 77
IV.4.4.1.a Sans bruit de mesure........................................................................................................... 77
IV.4.4.1.b Avec bruit de mesure.......................................................................................................... 77
IV.5 AMELIORATION DE LA ROBUSTESSE DES ALGORITHMES .................................................. 83
IV.5.1 LE NOMBRE DE MESURES....................................................................................................................... 83
IV.5.3 CHOIX DES CONFIGURATIONS DE MESURE............................................................................................ 85
IV.5 CONCLUSION.......................................................................................................................................... 85
CHAPITRE V : ÉTALONNAGE GÉOMÉTRIQUE DES ROBOTS PARALLÈLES (MÉTHODE
AUTONOME)
V.1 INTRODUCTION...................................................................................................................................... 87
V.2 PRINCIPE DE LA METHODE D'AUTO-ETALONNAGE AVEC CONTRAINTES..................... 89
V.3 PARAMETRAGE DE LA CHAINE I ...................................................................................................... 90
V.4 CALCUL DES ANGLES DE LA CHAINE I........................................................................................... 92
V.5 ECRITURE DES EQUATIONS DE CONTRAINTES.......................................................................... 93
X

V.6 RESULTATS DE LA SIMULATION ...................................................................................................... 95
V.6.1 ETALONNAGE SANS BRUITS DE MESURE................................................................................................. 95
V.6.2 ETALONNAGE AVEC BRUITS DE MESURE ................................................................................................ 95
V.7 COMMENTAIRE SUR LA METHODE................................................................................................. 95
V.8 CONCLUSION ........................................................................................................................................... 97
CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES ...................................................................................... 98
ANNEXES ......................................................................................................................................................... 101
BIBLIOGRAPHIE............................................................................................................................................ 112
XI

___________________________________________________________________________
INTRODUCTION

Ecole Militaire Polytechnique INRTODUCTION GENERALE
INTRODUCTION GENERALE
L’utilisation croissante de la robotique dans les domaines de l’industrie, de la
médecine et militaire doit satisfaire une exigence de précision de plus en plus forte.
Pour répondre à cette demande, il est nécessaire de connaître avec exactitude le
modèle géométrique des structures mécaniques sérielles ou parallèles employées.
Quels que soient les modèles employés pour représenter la géométrie des robots,
leur précision dépend de l’exactitude des paramètres implantés dans les calculateurs.
Bien que la conception et à la réalisation des robots se font avec attention, les
paramètres géométriques nominaux fournis par les constructeurs sont entachés
d’erreurs. Ces erreurs peuvent en particulier être attribuées à des défauts d’usinage
ou d’assemblage, au transport ou à l’usure tout au long de la durée de vie du robot.
Le but de l’étalonnage géométrique est de déterminer les valeurs réelles des
paramètres géométriques des robots.
La procédure classique d’étalonnage consiste à mesurer la situation de l’organe
terminal du robot (effecteur) à l’aide d’un capteur externe. Dans le cas des robots
série, les paramètres géométriques sont alors déterminés par minimisation de la
norme de l’écart entre les situations mesurées et celles prévues par le modèle
géométrique direct (MGD). Pour les robots parallèles, on minimise la norme de
l’écart entre les coordonnées articulaires mesurées et celles calculées à partir du
modèle géométrique inverse (MGI) ou (MGD), le MGD de ces robots ne possède pas
toujours de solution analytique et peut comporter des solutions multiples.
Les méthodes d’étalonnage autonome se passent des capteurs externes et sont
basées sur la réalisation de contraintes mécaniques qui fournissent les équations
1

Ecole Militaire Polytechnique INRTODUCTION GENERALE
nécessaires à l’identification des paramètres géométriques. Ces contraintes sont
généralement appliquées à l’organe terminal ou à l’une des chaînes cinématiques des
robots parallèles.
Le problème
Pourquoi ?
L’un des avantages des robots parallèles est leur précision. Dans leurs principales
applications, on utilise donc cette caractéristique pour déplacer le plus précisément
possible une lourde charge à la position et à l'orientation choisies. Par exemple, nous
retrouvons ce mécanisme (voir figure 1):
dans les applications industrielles : soulever les objets légers,
comme machine-outil,
en robotique médicale : opération chirurgicale,
en robotique militaire : déclencheur de bombes.
Mais la réalisation pratique d’un robot diffère de son modèle idéal, ceci en raison
de différentes erreurs, comme les imprécisions dans la fabrication et l’assemblage du
manipulateur. Cette différence aura une influence sur la précision des modèles
géométriques dans lesquels on utilise toujours le modèle théorique. Le problème est
que ces modèles géométriques sont au cœur de tous les algorithmes de commande
des robots. Le but de l’étalonnage géométrique donc est d’améliorer la connaissance
des paramètres géométriques du manipulateur, afin d’améliorer sa commande et en
particulier d’augmenter sa précision de positionnement.
Comment ?
L’étalonnage peut être vu comme la détermination des paramètres géométrique
du robot en fonction d’informations sur son état, obtenues à partir de capteurs
proprioceptifs, c'est-à-dire placés sur le robot et, éventuellement de mesures externes.
L’influence des forces, de la vitesse ou de l’accélération du robot sur les paramètres
géométriques ne sera pas étudiée dans ce travail.
L’objectif est de rendre l’erreur de positionnement du manipulateur la plus petite
possible. Nous devons donc être capables de la mesurer :
2

Ecole Militaire Polytechnique INRTODUCTION GENERALE
soit directement, en faisant appel, par exemple, à une machine à mesurer
qui déterminera le positionnement « exact » du manipulateur, et que l’on
comparera à un positionnement supposé. Nous appellerons ces méthodes
étalonnage externe.
soit indirectement, par exemple en imposant des contraintes géométriques
sur le manipulateur, et en vérifiant que les mesures proprioceptives sont
cohérentes avec les contraintes. Nous appellerons ces méthodes
étalonnage sous contraintes.
(a) -Installation dans une boulangerie ;
cadence 500 par minute [04]. (b)-Machine-outil[04].
(d) -Robot LMS_Delta 740 de
l’EMP
3
(c) -Disposition du robot Delta 1'700
MSS (Microscope Support System) audessus
d’une table d’opération[04].
Figure .1 Différentes applications du robot Delta

Ecole Militaire Polytechnique INRTODUCTION GENERALE
Comme le montre Deblaise dans [12], il est possible de formaliser de manière
générique les équations intervenant dans l’étalonnage. Nous chercherons plusieurs
équations F i , appelées « équations de fermeture » ou « équations de contraintes »,
qui lient les paramètres géométriques (P) du robot à des mesures (M) pratiquées sur
le robot telles que :
F i
( M , P)
= 0
Le problème est d’utiliser ces relations pour calculer les inconnues P en fonction
des mesures M. Dans la plupart des cas, les équations de contraintes obtenues sont
non-linéaires. En général, nous utiliserons des méthodes d’optimisation non-linéaire
pour résoudre ce problème. Mais nous verrons que l’on peut aussi utiliser des
méthodes numériques comme la SVD. Chaque méthode possède ses avantages et ses
inconvénients (robustesse aux erreurs de mesure, convergence, unicité des solutions
etc.) qui seront discutées lors de leur présentation.
Les objectifs
L’objectif de ce travail est de proposer des méthodes pour étalonner un type
particulier de manipulateur parallèle qui est le robot Delta.
Nous avons choisi de nous limiter à ce type de manipulateur pour plusieurs
raisons :
- Ce type de robot est étudié dans LMS (Laboratoire Mécanique des
Structures) depuis quelques années.
- La plupart des méthodes d’étalonnage exposées peuvent être facilement
adaptées à d’autres types de manipulateurs parallèles.
- Une adaptation des méthodes traditionnelles d’étalonnage (en particulier
celles utilisées pour les robots séries) au robot Delta pose, nous le verrons,
de nombreux problèmes qui ont été relativement peu traités dans la
littérature.
Pour mener à terme notre travail on l’a subdivisé en plusieurs chapitres :
4

Ecole Militaire Polytechnique INRTODUCTION GENERALE
Dans le premier chapitre nous allons définir les différents types de robots
industriels, à savoir les robots séries et les robots parallèles, on
s’intéressera particulièrement aux robots parallèles Delta.
Le deuxième chapitre sera consacré à la présentation d’une modélisation
du robot Delta qui définira l'ensemble des paramètres géométriques à
identifier et à discuter, par la suite, on présentera des outils qui seront
nécessaires aux procédures d'étalonnage (par exemples : les modèles
géométriques, influence des erreurs sur les paramètres géométriques, les
mesures, …).
Le troisième chapitre aura pour objectif une présentation des différentes
méthodes d’étalonnage des robots série,
Dans le quatrième chapitre et à partir des méthodes d’étalonnage
classiques des robots série, on développera des méthodes de base pour
l’étalonnage des robots Delta, tout en utilisant les modèles géométriques
(MGD, MGI). Les équations de contraintes obtenues et leurs résolutions
(formelles ou numériques) seront analysées. Nous verrons comment
utiliser certaines techniques d’optimisation pour rendre les résultats plus
robustes par rapport aux erreurs de mesure,
Dans le dernier chapitre, nous verrons comment, en ajoutant des
contraintes (différente de celles utilisées pour les robots série), obtenir
d’autres types d’équations. Les systèmes obtenus seront plus simples :
diminution du degré total des équations. On utilisant l’ensemble des
contraintes introduites sur la mobilité de certaines articulations passives.
5

___________________________________________________________________________
CHAPITRE I

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre I : Généralités
Chapitre I
I.1 INTRODUCTION
Dans ce chapitre nous allons définir dans un premier temps les différents types
de robots industriels, à savoir les robots série et les robots parallèles, les avantages et
les inconvénients seront aussi exposés, puis on s’intéressera particulièrement aux
robots parallèles dont on va présenter ses variétés. On terminera par une
présentation de robot Delta.
I.2 LES ROBOTS INDUSTRIELS
Un robot manipulateur, quelle que soit la fonction qui lui est attribuée (transfert
d’objet, soudage, assemblage), est un mécanisme capable de déplacer et de situer un
objet appelé « organe terminal » ou « point outil » dans une partie de l’espace appeler
« volume de travail ». Afin de différencier les robots que nous allons étudier des
manipulateurs simples dont les mouvements sont déterminés par des butées rigides,
nous parlerons de « robot industriel » dont la définition générale est donnée ci-
dessous.
GÉNÉRALITÉS
« Un robot industriel est un manipulateur à plusieurs degrés de liberté contrôlé
automatiquement, reprogrammable et multitâche qui peut être fixe ou mobile pour une
application en automatisation industrielle » [17].
7

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre I : Généralités
Le robot industriel se compose d’une structure mécanique animée par des
actionneurs, à partir d’ordres élaborés par un calculateur (Figure I.1). Ces ordres
dépendent des informations délivrées par les capteurs. L’utilisation de capteurs
externes, capteurs « extéroceptifs », pour évaluer et mesurer l’interaction du robot
avec l’environnement directement depuis son organe terminal devient une pratique
de plus en plus courante dans les applications robotiques de haute précision.
Capteurs
internes
Electro-mécanique,
optique …
Système de commande
Structure
mécanique
Mécanique
Environnement
Capteurs extéroceptifs
Optique, Vision …
Système intelligent
Stratégie, système expert …
Nous pouvons déjà distinguer d’après la figure I.1, les deux types de
coordonnées que l’on rencontre au niveau d’un robot. Il s’agit des coordonnées
articulaires ou coordonnées généralisées qui décrivent la configuration du robot
(position des articulations motrices) et des coordonnées opérationnelles ou
coordonnées de la tâche, qui définissent la position et l’orientation de l’effecteur dans
le repère de la tâche propre à l’homme. Les modèles géométriques direct et inverse
permettent de passer d’un système de coordonnées à l’autre.
8
Actionneurs
Electro-mécanique,
pneumatique …
Figure I.1 : Structure générale d’un robot industriel.

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre I : Généralités
L’architecture mécanique est la structure qui relie la base du robot à son
effecteur. Elle est constituée de segments connectés entre eux par des articulations
passives ou actives, selon qu’elles sont motorisées ou non.
I.2.1 Les robots sériels
Définition : La plupart des robots industriels construits à ce jour est de type
sériel, c'est-à-dire que leur structure mobile est une chaîne ouverte formée d'une
succession de segments reliés entre eux par des liaisons à un degré de liberté. Chaque
articulation est commandée par un actionneur situé à l'endroit de l'articulation ou sur
un des segments précédents [35]. (Figure I.2).
Les robots séries possèdent l’avantage de disposer d’un grand volume de travail
et d’être relativement simples sur le plan des calculs liés à leur commande. Leurs
principaux inconvénients sont les suivants :
Inertie élevée à cause de la répartition des masses sur toute la chaîne
cinématique (actionneurs, organes de transmission),
Manque de rigidité par la mise en série d’éléments élastiques, fatigue et usure
des liaisons de puissance assurant l’alimentation des actionneurs (câbles,
tuyaux flexibles),
Figure.I.2 : Le robot IRB 7600-150 (ABB, photo et
graphe d’agencement).
Fatigue et usure des liaisons assurant la circulation des informations entre les
capteurs et la commande, ce point est très important lorsque il s’agit de sûreté
9
Bâti
Organe
terminal

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre I : Généralités
de fonctionnement, puisqu’une erreur de transmission peut avoir des
conséquences néfastes sur les mouvements du robot [35].
I.2.2 Les robots parallèles
Pour certaines applications industrielles telles que l’usinage grande vitesse
(UGV) ou la manutention rapide, les manipulateurs à cinématique sérielle ne
semblent plus être les mieux adaptés. En effet, ce type d’architecture implique que
chaque axe motorisé supporte le suivant. Les masses en mouvement sont donc
élevées, ce qui pénalise les performances dynamiques.
C’est pourquoi, les manipulateurs à cinématique parallèle sont aujourd’hui de
plus en plus utilisés. Leurs performances dynamiques élevées ainsi que leurs
capacités de charge importantes sont avantageusement mises à profit dans le monde
industriel [12], ce qui fait des robots parallèles des robots industriels par excellence.
Définition : Un manipulateur parallèle est un mécanisme en chaîne cinématique
fermée, dont l’organe terminal est relié à la base par plusieurs chaînes cinématiques
indépendantes [23], par exemple la figure (I.3).
Les robots parallèles seront présentés comme étant une solution aux limitations
des robots sériels.
Dans ce but, nous allons préciser les avantages des robots parallèles mais aussi
présenter leurs limites et inconvénients.
Remarque : l’explication des paramètres du graphe d’agencement sont données
dans ce qui suit.
Figure I.3 : Le robot Hexamove-System, photo et
graphe d’agencement.
10
Bâti
Organe terminal

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre I : Généralités
I.2.2.1 Avantages
La mise en parallèle de plusieurs chaînes cinématiques entraînées chacune par
un actionneur conduit généralement aux avantages suivants [35] :
Capacité de charge élevée,
Possibilité de mouvements à haute dynamique (accélérations élevées),
Rigidité mécanique élevée,
Faible masse mobile,
Fréquence propre élevée, donc peu d'erreur de répétabilité due à une
oscillation incontrôlée de la structure mobile,
Possibilité de positionner les actionneurs directement sur la base fixe ou très
proche de celle-ci; cette particularité a les conséquences positives suivantes :
o grand choix de moteurs et de réducteurs par le fait que leur masse joue
peu de rôle dans l'inertie du manipulateur,
o simplification importante des problèmes de liaisons entre les moteurs,
les capteurs et le contrôleur (câblage plus simple et plus fiable),
o facilité de refroidissement des actionneurs, donc diminution des
problèmes de précision dûs aux dilatations et puissance potentielle
élevée,
o facilité d'isoler les moteurs de l'espace de travail pour des activités en
atmosphère propre ou avec risque de déflagration ou encore pour les
applications nécessitant des lavages à grande eau,
Facilité d'intégration de capteurs,
Construction mécanique modulaire, simplicité de fabrication et possibilité de
série par la présence de plusieurs composants identiques sur un robot,
Effet des tolérances de fabrication sur la précision limité.
Cette liste d’avantages n’est pas forcément respectée par tous les prototypes de
robots parallèles. En particulier, les premières machines-outils connaissaient des
problèmes de précision et de rigidité.
11

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre I : Généralités
I.2.2.2 Inconvénients
Par rapport aux robots sériels, les inconvénients des robots parallèles peuvent
être résumés de la façon suivante :
Volume de travail limité en regard du volume total du mécanisme. Pour
palier à ce problème, une solution consiste à utiliser des actionneurs linéaires
orientés selon une même direction. Si l’on augmente la course des moteurs, le
volume de travail s’allonge en conséquence. Le rapport volume de travail sur
volume total de la machine augmente alors. Une autre approche consiste à
utiliser des actionneurs rotatifs. En les agençant de manière à ce qu’ils
balayent la plus grande plage commune de l’espace, on obtient un volume de
travail important,
Modèles géométriques directs (MGD) parfois difficiles à déterminer. La
méthode de résolution itérative de Newton et l’approche par intervalles [24]
(qui garantit l’existence de solutions) constituent des éléments de réponse à
cette difficulté. L’ensemble des nouveaux robots parallèles présentés dans ce
manuscrit a pour particularité de posséder des MGD algébriques,
Fort couplage entre le mouvement des différentes chaînes cinématiques. En
conséquence, une trajectoire simple demande souvent une action
parfaitement coordonnée de l’ensemble des moteurs. Si au temps de Pollard
[47], les moyens électroniques et informatiques ne permettaient pas de
commander ce type de robot, de nos jours l’asservissement des robots
parallèles est réalisé sans problème majeur du point de vue temps de calcul. Il
faut noter que certains problèmes demeurent malgré tout ; la génération de
trajectoire pour les machines-outils d’architecture parallèle en est un,
Couplage fortement variable entre les différentes chaînes cinématiques ; cette
particularité complique souvent le réglage ; le surdimensionnement des
actionneurs est une solution pour contourner cette difficulté,
Présence de singularités qui conduisent à une perte de contrôle de la structure
mobile, voire à une détérioration de la mécanique. C’est le point le plus
critique lors de la conception d’une machine à architecture parallèle. Ce
manuscrit propose des pistes pour limiter les problèmes de singularités.
12

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre I : Généralités
I.2.2.3 Deux générations de robots parallèles
Il existe de nombreux historiques concernant les robots parallèles tels ceux de
Bonev [27] ou Merlet [25] qui précisent leurs véritables origines. Nous souhaitons
seulement insister sur l’existence de deux générations essentielles de robot parallèle :
La première génération incarnée par les plates-formes de Gough [41] et
Stewart [15]. On parle aujourd’hui de robots hexapodes [19] : 6 vérins relient
le bâti à une plate-forme mobile (Figure I.3), rendant possible l’exécution de
mouvements complexes par la mise en parallèle des chaînes cinématiques,
La deuxième génération incarnée par la structure Delta de Clavel [36] : les
robots de cette famille sont capables de performances exceptionnelles
(vitesses jusqu’à 10 m/s et accélération jusqu’à 20 G). On parle dès lors de
robots parallèles légers avec pour principales caractéristiques :
o des actionneurs fixes sur le bâti,
o des composants mobiles légers (Figure I.4).
Remarque : Les robots parallèles du LIRMM, présentés dans ce manuscrit,
auront cette particularité d’être de type parallèle léger.
Figure I.4 : Le robot FlexPicker (ABB), photo et graphe
d’agencement.
I.3 PRECISION ABSOLUE, REPETABILITE ET RESOLUTION
13
Bâti
Organe terminal

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre I : Généralités
La précision d’un robot est définie par la déviation entre une position
commandée et la position atteinte de l’effecteur (position et orientation). Cette
déviation est définie dans un repère de référence et est quantifiée par la précision
absolue et la répétabilité [31].
La répétabilité nommée également précision relative, est la capacité d’un robot à
retourner à une position précédente. Elle est définie par la dispersion sur la position
de l’organe terminal visée « n » fois. Elle est influencée essentiellement par les jeux et
le frottement entre les différents composants mécaniques du robot, le bruit électrique,
la résolution des encodeurs, et d’autres erreurs de type stochastique.
La précision absolue correspond à la tolérance à l’intérieur de laquelle l’effecteur
peut être placé par rapport à la position désirée. Elle est principalement limitée par
des facteurs tels que les perturbations de l’environnement de travail, la différence
entre la structure réelle et le modèle géométrique utilisé par le contrôleur, l’effet des
forces de frottement, les jeux dans les articulations, les déflexions des articulations et
des segments de la structure, la boucle de réglage et l’incertitude entre le repère de
référence et celui de l’effecteur.
La résolution d’un robot représente le plus petit incrément de déplacement qui
peut être exécuté. Elle est déterminée par le type d’actionneur et les capteurs de
position. Cependant, la résolution effective par rapport à l’organe terminal peut être
influencée par l’environnement de travail, le frottement, les jeux et l’élasticité dans la
structure du robot.
14

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre I : Généralités
Résolution Position
atteinte
Position
précédente
La figure I.5 montre la relation entre la position commandée, la position atteinte,
la précision, la répétabilité et la résolution. Nous venons de voir que les sources
d’imprécision relatives ou absolues d’un robot sont nombreuses, par soucis de clarté
pour la suite, nous les répartissons ci-dessous en 4 types [17].
Type 1 : erreurs de nature géométrique qui proviennent de la structure
mécanique du robot, telles que les segments et les articulations :
tolérances d’usinage, assemblage, référence,
Type 2 : erreurs issues de non-linéarités, telles que les jeux, le frottement,
l’hystérie et les erreurs dues aux déflexions élastiques dans la structure.
Ces déflexions sont causées par l’élasticité des segments et la compliance
des articulations sous l’effet du poids du robot, des efforts extérieurs ou
des forces d’inertie,
Type 3 : erreurs dans la commande du robot issues de la résolution
limitée des encodeurs, de la capacité limitée des calculateurs, du calcul
de la cinématique inverse et du suivi de trajectoire (erreurs dynamiques),
Type 4 : erreurs générées par l’environnement telles que les variations de
température, l’humidité, les vibrations, les bruits électriques et erreurs de
type stochastique.
Position
commandée
15
-Répétabilité
-Précision
absolue
Figure I.5 : Précision absolue, résolution et répétabilité.

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre I : Généralités
I.4 LE ROBOT PARALLELE DELTA
Le robot Delta est né d'un besoin industriel. Les performances visées (cadence de
travail élevée, grande précision, puissance consommée faible) excluaient l'utilisation
de robots du marché. Il a été développé début des années 80 à l'École Polytechnique
Fédérale de Lausanne (EPFL) par Clavel. Le robot Delta (Figure I.6) qui a une
structure pleinement légère, est constitué d'une base fixe et d'une plate-forme mobile
appelée aussi nacelle. Elles sont liées par trois chaînes cinématiques identiques
constituées d'un bras et de deux barres parallèles formant un parallélogramme.
Chaque bras est entraîné par un moteur-réducteur, solidaire de la base. La nacelle
reste toujours parallèle à la base, les mouvements de translation de cette dernière
résultent du mouvement combiné des trois actionneurs.
Le préhenseur est actionné par un moteur réducteur fixé directement sur la
nacelle (Figure I.6.a), ou par l'intermédiaire d'un bras télescopique couplé à un
moteur solidaire de la base (4 ème degré de liberté) (Figure I.6.b).
I.4.1 Convention et représentation
I.6.a I.6.b
Figure I.6 : Le Robot Delta
Il existe plusieurs représentations afin de rendre un mécanisme plus lisible,
chacune d'elles permet une lisibilité accrue de certains paramètres, mais
16

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre I : Généralités
s'accompagne d'une perte d'informations sur les autres. Parmi les types de
représentations on peut citer :
I.4.1.1 La photographie (vue en perspective)
Dans ce type de représentation, les articulations composant les chaînes
cinématiques ne sont pas facilement visibles et identifiables (Figure I.7). On peut voir
l'aspect général de la machine, mais pas de manière précise la disposition des
articulations. Ce type de représentation n'est donc pas suffisant.
Un modèle équivalent de ce robot, nommé LMS_DELTA, a été réalisé au niveau
de notre laboratoire [40]. L’établissement des modèles relatifs à ce robot est
nécessaire pour simuler ses comportements géométriques et cinématiques, ainsi que
pour l’exploitation ou l’implémentation de la commande.
I.4.1.2 Le Schéma cinématique
Ces schémas (Tableau I.1), très pratiques pour représenter l'agencement des
différentes liaisons composant un mécanisme, sont de lecture aisée pour les
mécanismes plans et les mécanismes spatiaux simples, mais deviennent vite illisibles
pour les mécanismes spatiaux complexes.
Figure I.7 : Photographie du robot Delta
17

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre I : Généralités
Tableau I.1 : Représentation normalisée de quelques liaisons.
I.4.1.3 Le dessin d’ensemble.
Figure I.8 : Schéma cinématique du robot Delta.
Le dessin d’ensemble est utilisé en mécanique. Il sert à définir un mécanisme, son
assemblage et son fonctionnement. Plusieurs vues extérieures, coupes et sections sont
rassemblées sur un document. Ce type de représentation est particulièrement bien
18

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre I : Généralités
adapté pour les mécanismes plans, mécanismes qui sont couramment utilisés en
mécanique. Par contre, l’utilisation de dessins d’ensemble devient rédhibitoire pour
les mécanismes spatiaux complexes tels que les robots parallèles.
I.4.1.4 L e graphe d’agencement.
Les conventions des graphes d’agencements sont présentées sur le tableau I.2.
Nom de la liaison
Rotoïde (pivot)
Prismatique (glissière)
Universelle (cardan)
Sphérique (rotule)
19
Représentation
Liaison passive Liaison motorisée
Avec ce type de représentation (Figure I.9), les informations concernant
l’agencement géométrique des liaisons sont perdues. Par contre la comparaison des
familles de mécanismes parallèles ainsi que le décompte des degrés de liberté est
facilités à l’aide de la formule de Grübler (I.1).
R
P
U
S
Tableau I.2 : Conventions des graphes d’agencement.
Base
R
R
R
R
P
S S
S S
S S
S S
S S
S S
Figure I.9 : Robot Delta, image CAO et graphe d’agencement.
Nacelle

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre I : Généralités
Par exemple, sur la figure I.9, nous constatons que le robot se décompose en trois
chaînes possédant les mêmes articulations, disposées en parallèle entre la base et la
nacelle. Par contre, nous ne pouvons pas affirmer que ces trois chaînes sont
identiques du point de vue de leur géométrie. Le nombre de degrés de liberté de ce
mécanisme se calcule en utilisant la formule de Grübler (I.1) qui donne la mobilité
d’un mécanisme dans le cas général, en dehors des positions et des agencements
singuliers.
m =
6N
P
−
6N
l
Nl
+ ∑ ddl
i=
1
i
− m
int
20
(I.1)
où m est le nombre de degrés de liberté du mécanisme (en dehors des
configurations singulières), Np le nombre de solides indépendants (bâti exclu), Nl le
nombre de liaisons entre ces solides, ddli le nombre de degrés de liberté de la liaison
numéro i et mint est le nombre de mobilités internes.
Nl
Pour le robot Delta de la figure I.9, nous avons N 10 , N = 15,
P
= l
∑ ddl = 39,
m = 6 car chacune des barres à la possibilité de tourner sur elle-même
i=
1
i
int
(axe passant par le centre des deux liaisons rotule) sans que la position de la nacelle
ne change. Finalement, nous obtenons m = 6 ⋅10
− 6 ⋅15
+ 39 − 6 = 3.
Le mécanisme que
nous avons représenté dans le graphe d’agencement de la figure I.9 possède donc
trois degré de liberté utile. Par contre, ce type de calcul ne nous permet pas de
connaître leur nature.
I.5 CONCLUSION
Dans ce chapitre on a présenté les différents types de robots industriels : les
robots série et les robots parallèles ainsi que leur avantages et inconvénients, puis on
s’est intéressés aux robots parallèles vu qu’ils sont plus favorable que les robots série
dans les applications de précision, on a donc présente leurs variétés. Par la suite on
s’est intéressé à l’étude du robot Delta.
Dans le chapitre suivant, on présentera les différents outils de l’étalonnage
géométrique du robot Delta.

___________________________________________________________________________
CHAPITRE II

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
Chapitre II
MODELISATION ET OUTILS DE L’ÉTALONNAGE
II.1 INTRODUCTION
Dans ce chapitre nous allons présenter une modélisation du robot Delta qui
définira l'ensemble des paramètres géométriques à identifier et discutée ; par la suite,
on présentera des outils qui seront nécessaires aux procédures d'étalonnage
(exemples : les modèles géométriques, influence des erreurs sur les paramètres
géométriques, les mesures, etc.).
II.2 MODELISATION DU ROBOT
II.2.1 Le type d’erreur
Dans l’introduction générale nous avons supposé que la modélisation théorique
était différente de la modélisation réelle du robot. Ceci est dû à deux types d’erreurs.
II.2.1.1 Les erreurs d’origine géométrique
On peut distinguer deux origines à ce type d’erreur :
Les tolérances de fabrication et d’assemblage du robot,
Une mauvaise connaissance des biais des valeurs articulaires.
22

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
L’objectif de notre travail sera d’essayer de compenser uniquement ces deux
types d’erreur.
Mais le manipulateur n’est pas seul, il fait partie en général d’un ensemble
robotisé. Afin de réaliser une tâche, il nous faudra donc mettre en correspondance le
repère de base et le repère lié à l’objet (manipulé, usiné etc.), mais aussi le repère du
mobile et le repère lié à l’outil. Ce placement du robot à l’intérieur d’une cellule
robotisée (voir [33]) devra être effectué à chaque changement d’outil ou d’objet.
L’indexation du robot peut se faire d’une manière indépendante de l’étalonnage
intrinsèque du robot parallèle et ne sera donc pas traité dans ce document.
II.2.1.2 Les erreurs d’origine non-géométrique
Plusieurs types d’erreur non-géométriques peuvent détériorer la précision du
manipulateur parallèle :
Les flexions, torsions, compressions, qui s’exercent sur les segments du robot
en fonction de la charge manipulée,
L’influence de la variation de température sur les matériaux composant le
manipulateur,.
Le jeu mécanique dans les articulations. Cette erreur est difficilement
modélisable et elle est dépendante de la qualité des articulations.
Les travaux déjà effectués sur les robots [50, 02, 44] montrent que la majeure
partie des erreurs sont d’origine géométrique.
Pour les robots parallèles, il existe peu de référence sur l’influence des erreurs
d’origine non-géométrique sont difficilement modélisables et ne seront pas prises en
compte dans ce document : l’étalonnage sera donc strictement géométrique.
II.2.2 La modélisation du robot
Comme nous l’avons vu précédemment, nous nous intéressons à un robot
parallèle de type Delta.
La modélisation complète du robot peut poser un certain nombre de problèmes.
En effet, certains paramètres, soit sont mieux estimés que d’autres, soit ont une
23

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
influence négligeable sur l’erreur de positionnement du mobile. Or, le nombre
minimal de mesures nécessaires pour réussir un étalonnage sera fonction du nombre
d’inconnues à déterminer. De plus, la convergence des algorithmes d’optimisation
que nous utiliserons pour calculer les paramètres géométriques, peut être
problématique si on considère un trop grand nombre de paramètres. Il faudra donc
faire un choix sur la nature des inconnues à prendre en compte, ceci en fonction de
leur influence sur l’erreur de positionnement. Il faut ensuite définir le nombre de
paramètres nécessaires pour modéliser géométriquement le problème. Il doit être
suffisant, mais il peut être redondant, par exemple pour simplifier la résolution. Nous
préférerons que le paramétrage soit minimal, ceci afin de diminuer le plus possible le
nombre d’inconnues considérées. Les paramètres sont alors indépendants (voir [46]).
Cette indépendance peut-être vérifiée en considérant le rang de la jacobienne des
paramètres :
Si son rang est maximal, chaque paramètre est indentifiable
indépendamment.
Sinon, il existe une relation qui lie certains paramètres. Dans ce cas il sera
nécessaire de fixer arbitrairement l’un d’eux (ou plusieurs suivant la chute
du rang de la matrice) pour identifier les autres ou de déterminer une
relation qui les lient. Physiquement, cela signifie que certains paramètres
sont redondants pour modéliser le problème.
Vischer [32] a introduit une règle pour calculer le nombre minimal de paramètres
nécessaires à la modélisation du robot.
où
C = 3R + P + SS +E +6L + 6(F – 1)
− C est le nombre minimal de paramètres géométriques,
− R, le nombre de liaisons rotoïdes (1 degré de liberté),
− P, le nombre de liaisons prismatiques (1 degré de liberté),
− SS, le nombre de paires de rotules,
− E, le nombre de capteurs articulaires, c’est-à-dire le nombre de liaisons
instrumentées,
24

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
− L, le nombre de boucles fermées constituées de l’ensemble des chaînes
cinématiques fermées que l’on peut considérer sur le manipulateur,
− et F, le nombre de repères arbitrairement positionnés sur le manipulateur,
Cette règle, appliquée sur le robot Delta, donne pour différents types de
modélisations des paramètres, le tableau II.1 :
robots
articulation -
chaîne - trains
R P SS E L F C
Delta-Cardan 3[5R] 3*5 0 0 3 2 2 66
Linéaire -Delta 3[P(2S/2S)] 0 3*1 3*2 3 5 2 48
Linéaire -Delta 3[P(5R/5R)] 3*10 3*1 0 3 5 2 132
Delta 3[R(2S/2S)] 3*1 0 3*2 3 5 2 54
Delta 3[R(5S/5R)] 3*11 0 0 3 5 2 138
Tableau II.1 : Nombre minimal de paramètres nécessaires à la modélisation du
robot Delta.
Remarque : En général, nous définissons deux repères arbitraires (F=2) : le repère
de référence (ou repère de base (O, x, y, z)) et le repère lié à l’organe terminal (ou plus
généralement lié au mobile (C, xm, ym, zm)).
Dans les paragraphes suivants, nous allons détailler les paramètres géométriques
du robot suivant la modélisation choisie pour ses chaînes.
II.2.2.1 Paramétrage du robot Delta
Remarque : dans la figure II.2 on a imaginé que la nacelle attachée à la base, et
pour la convenance, les repères {0}, {1} et {2} sont représentés dans des positions de
translation. En faite, elles sont reliées par des rotations pures au repaire {B}.
25

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
Terminal attaché
à la base
{ B }
z B
b 0 0
i
z p
+ Di
Base
y p
{ P }
y B
B x
Figure II.2 : Le paramétrage d'une chaîne du robot delta avec des déviations géométriques.
B i
26
O i
0
d
Axe de
Moteur
i
x
p
Lb i
α i
Lb i
C i,
2
C i
C i,
1
Mobile
Figure II.1 : Le paramétrage du robot delta sans les déviations géométriques.

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
Les points, les lignes et les repaires sont définis à partir de la figure II.1 et II.2
comme suit:
Bi,1,2 : les points centraux des articulations sphérique fixées a la nacelle,
en d’autres termes, les articulations sphérique distaux.
Ci,1,2 : les points centraux des articulations sphériques fixées aux bras,
on les appelle aussi les articulations sphériques proximales.
l d , l p : les sections reliant les points Bi,1 à Bi,2 et Ci,1 à Ci,2 ,
respectivement.
Bi , Ci : les points centraux des sections l d , l p ,respectivement.
Oi : la projection du point Ci sur l’axe du moteur.
Oi1,2 : des points appartenant a l'axe du moteur situé à ± l d de Oi .
{B} : le repère {B} est arbitrairement fixé à la base.
{P} : le repère {P} est arbitrairement fixé à la nacelle.
{0} : l’axe z du repère des articulations sphériques distales {0} est
parallèle à l p.
{1} : l’axe z du repère {1} est parallèle à l'axe du moteur.
{2} : le repère {2} obtenu du repère {1} tordu par une angle du moteur.
Les vecteurs et les matrices de rotation contenant les six coordonnées
universelles utilisées dans la modélisation.
B
La matrice de rotation décrivant
P R = Rot 3(
z,
γ)
. Rot 3(
y,
β)
.. Rot 3(
x,
α )
l'orientation du repère {P}
relativement au repère {B}
B
{ x , y , z }
P
{P} relativement au repère {B} avec les
trois coordonnées cartésiennes.
Matrice de rotation contenant les trois coordonnées articulaires.
1
Q 2 i = Rot 3 ( z , θ i )
La matrice de rotation contenant
l'angle θ i du moteur.
Grandeurs scalaires, vecteurs et matrices de rotation contenant les 54
paramètres géométriques:
B P
0 T i = 0 T i = Rot ( z , θ i ) . Rot ( x , α )
Une matrice de rotation décrivant le
repère {0} relativement aux repères
{B} et {P} respectivement.
0
1
= T Le vecteur décrit l'origine du repère
( x , ∆ β ) .. Rot ( y ∆ )
∆ T = Rot
, γ
{ } T
D , D , D
i
i
27
Une matrice de rotation décrivant le
repère {1} relativement au repère {0}.
0
D i = Un vecteur se dirige du point Bi de la
xi yi zi
{ } T
La , La , La
2
La i =
xi yi
avec : Laxi = Lai cos( i
o
α )
zi
nacelle attaché a la base vers le point
Oi sur l'axe de moteur.
Un vecteur se dirige du point Oi vers
le point Ci, comprenant le codeur
offset et la longueur du bras Lai.

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
o α )
Laxi = Lai sin( i
{ } T
0
b i = b , b , b
Un vecteur se dirige de l'origine des
xi yi zi
0
2
{ }
repères {B} et {P} respectivement, au
point Bi.
T
d i = d xi , d , d yi zi
Un vecteur sa composante z est la
moitié de l = B − B )
∆
{ } T
∆ C , ∆ C , C
C i =
∆
xi yi
zi
28
d ( i,
1 i,
2
Un vecteur d’erreur défini comme
différence du vecteur :
OC i 1 = C − O )
, ( i,
1 i,
1
et le vecteur OC i ( = Ci
− Oi
)
Lb La longueur moyenne des avant-bras.
i
∆ Lbi
La moitié de la différence des
longueurs des avant-bras
Tableau II.2 : Le paramétrage des trois chaînes articulaires R(2S/2S) du robot.
II.2.2.2 Modèle 54
Vischer [32] suppose que les avant-bras comme les caractéristiques des
articulations paires, la distance entre deux points appartenant à une articulation
paire peut varier pendant le mouvement de cette dernière, ceci mène à un ensemble
de six équations de fermeture qui ont des variables articulaires passives
dépendantes.
Pour la fermeture d’une chaîne cinématique articulaire, on utilise la norme
euclidienne du vecteur entre l’articulation sphérique proximal et distal, et qui est
égale à la longueur de l'avant-bras correspondant.
Les deux équations de fermeture pour une chaîne cinématique principale i peut
être écrites comme suit :
( ) ( ) ( ) 2
T
Bi,
1,
2 − Ci,
1,
2 . Bi,
1,
2 − Ci,
1,
2 = Lb ± ∆Lb
avec
B
B
0 0 ( b i d )
Bi , 1,
2 = P + PR
. 0T
. ± i
P
i
i
2 2 ⎞
( ) ⎞
La i±
∆C
⎟ ⎟
⎠ ⎠
B
1
⎛ 0 0 0 ⎛ 1
C i,
1,
2 = 0T
i . ⎜ bi+
D i+
∆T
i.
⎜ ± d i+
2Q
i.
1
i
⎝
⎝
i=1…3 (II.1)

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
pour la simplicité l’équation II.1 sera écrite comme :
( ) ( ) ( ) 2
T
B i C i . B i + C i = Lb + ∆Lb
+ i = 1…3 (II.2)
( ) ( ) ( ) 2
T
Bi
C i . B i − C i = Lb − ∆Lb
avec :
CB
i
i
i
i
− i = 1…3 (II.3)
( B i1+
B i2
) −(
C i1+
C i2
)
( B i1−
B i2
) −(
C i1−
C i2
)
= et ∆ i =
2
i
29
d
Par l'addition et la soustraction des équations II.2 et II.3, on obtient le modèle
54, qui est bien adapté au robot delta :
G1:
II.2.2.3 Modèle 24 :
2
i=1..3 (II.4)
Pour établir le modèle 24, on simplifie le modèle 54 en supposant que la nacelle
reste parfaitement parallèle à la base. En d'autres termes, le parallélogramme spatial
reste parfait. C'est la même prétention sur laquelle les modèles nominaux de Clavel
[37] sont basés.
T
T
2
CB i . CB i + ∆d
i . ∆d
i = Lb + ∆ i
G2: CB i . ∆ d i = Lb * ∆Lb
i i
avec :
On peut donc dire que le modèle 24 est un modèle nominal prolongé. Pour l’état
complet (paragraphe II.2.1), trois codeurs d’offsets θ Oi et trois angles d'inclinaison
des moteurs α doivent être ajoutés (tableau II.2). Les codeurs offset ont une
i
influence importante sur l'exactitude résultante, comme on le verre dans la phase
d'identification en chapitre IV. Donc par conséquent, on obtient un modèle
complet à 24 paramètres.
T
Lb
2
i
−T
i.
( b i + D i + T i.
Q i.
La i )
. ( di+
Qi.
Ci)
CB i = P + R.
T i.
b i
∆
∆
di= R.
T.
di−Ti.
∆T
∆

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
Aucun modèle nominal prolongé ne permet des erreurs dans le parallélogramme
spatial, ainsi que la nacelle reste toujours parallèle à la base.
R= I
(II.5)
où : I est la matrice d’identité (3x3).
Le nombre de coordonnées universelles est réduit de six aux trois coordonnées
cartésiennes qui décrient le repère {P}. cette simplification est valide, si et seulement
si, les trois lignes données par l'axe du moteur, la canalisation de raccordement des
articulations sphériques proximaux et la canalisation de raccordement des
articulations sphériques distaux restent parfaitement parallèles. Pour cela 18
paramètres seront fixés à leurs valeurs nominales.
∆ T i = I , ∆ C i= I , ∆ Lb = I Ensemble de paramètres P1 i = 1..3 (II.6)
i
La substitution de l’équation (II.5) et de l'équation (II.6) dans les équations (II.4),
prouve que b i et aussi bien que d i sont des vecteurs contenant encore un ensemble
de 12 paramètres disparaissent.
b i , d i disparaissent Ensemble de paramètre P2 i = l…3 (II.7)
Géométriquement, ceci correspond à la réduction de la nacelle à un seul point et
la dégénération de la chaîne cinématique articulaire [R(2S/2S) ] à une chaîne
cinématique de R2S (figure II.2).
Une autre conséquence de l'équation II.7 est la dégénération du deuxième
ensemble d'équations G2 donné dans II.4 à l'identité 0 = 0, tandis que le premier
ensemble G1 mène au modèle 24 :
T
CB i . CB i=
avec :
Lb
2
i
CB i=
P−T
+
i.
( D i Q i.
La i)
i = 1..3 (II.8)
Ce modèle peut être appliqué au robot delta en supposant que la nacelle reste
toujours parfaitement parallèle à la base.
30

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
Figure II.3 : Interprétation géométrique de Modèle 24 comme structure spatiale 3(R2S).
II.2.2.4 Modèle nominal :
Pour convertir le model 24 en modèle nominal proposé par Clavel [37], la
partie du tableau II.2 contenant les paramètres géométriques sera écrite comme :
( z , θ ) . Rot ( x , π )
T i
i
D i =
i
R=Rb-Ra la différence entre le rayon de la
= Rot
Pour un robot symétrique Delta:
2
θ = 2 * (i-3) * π /2 avec i= 1…3
{ } T
R , 0 , 0
{ }
base et la nacelle.
T
La i = La , 0 , 0
longueur unique de bras sans aucune
excentration du codeur offset
Lbi = Lb longueur unique des avant-bras.
Tableau II.3 : les paramètres du modèle nominal dérivé du tableau II.2
31

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
II.3 LES MODELES GEOMETRIQUES
Pour les robots, il existe deux modèles géométriques:
Le modèle géométrique direct (ou MGD) qui permet, à partir de l'état des
actionneurs, de déduire la position et l'orientation de l'organe terminal,
Le modèle géométrique inverse (ou MGI) qui permet, à partir de la
position et de l'orientation de l'organe terminal, de déduire l'état des
actionneurs.
Ces modèles serviront d'équations de base pour les équations de contraintes
nécessaires pour l'étalonnage. Nous allons donc détailler ces modèles géométriques
pour le robot Delta.
II.3.1 Les Modèles Géométriques du robot Delta
MGD
Paramètres
Géométriques
du Robot
MGI
II.3.1.1 Le Modèle Géométrique Direct (MGD)
Pour la modélisation géométrique des robots à structures fermées, une méthode
(parmi plusieurs [37]) proposée par Khalil et Dombre [42] consisterait à ouvrir les
boucles cinématiques au niveau de la nacelle puis à étudier chaque chaîne
séparément en fonction des contraintes imposées par les autres chaînes (contraintes
de fermeture des boucles). Mais le fait que la nacelle n’effectue que des mouvements
de translation permet une formulation plus simple des modèles géométriques [37].
La simplification de représentation décrite par la figure II.5 est considérée.
αi
P (Position)
Figure II.4 : Modèle géométrique de robot Delta
32

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
avec :
Figure II.5 : Chaîne cinématique équivalente en
considérant que la nacelle est réduite à un point.
Ra : distance entre le centre de la base fixe et l’axe de rotation du bras ;
Rb : distance entre le centre P de la nacelle et le côté du parallélogramme solidaire
de la nacelle ;
La : longueur du bras ;
Lb : longueur d’une barre parallèle ;
R : différence entre les longueurs Ra et Rb ; cette distance définit la position du
point Ai ; cette dernière est obtenue par une translation d’amplitude Rb de la
I ème chaîne cinématique qui amène le point Bi au centre de la nacelle, le point
Oi en Ai et le point Ci en Ci’ ; l’axe de rotation du bras ainsi translaté est
nommé ai.
Les angles caractéristiques de cette structure sont [37] :
αi : angle entre le i ème bras et le plan de la base fixe. Par convention, l’angle αi est
positif lorsque le bras est situé du côté de la nacelle ;
βi : angle entre le plan du i ème parallélogramme et le plan horizontal, mesuré dans
un plan vertical πi contenant le bras i ;
γi : angle entre le plan vertical πi et une des barres du parallélogramme i ;
33

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
θi : angle entre le plan πi et le plan Oxz.
Les trois orientations de l’effecteur de ce robot sont constantes, sur le plan
cinématique, une simplification de la géométrie peut donc être effectuée ; une chaîne
cinématique est représentée à la figure II.5 [37]. Cette simplification est obtenue par
une translation de l’ensemble bras-barres parallèles de telle sorte que les points Oi et
Ai soient confondus, même chose pour les points Bi et P.
Clavel [37] propose une méthode également basée sur la simplification
précédemment présentée. Cette méthode, basée sur les relations de la géométrie
analytique, consiste à exprimer les intersections d’une sphère avec 3 cercles.
Nous nous référons à La figure II.5; le point P peut être considéré comme le
centre d’une sphère de rayon Lb, les points Ai sont les centres de cercles de rayon La
appartenant au plan πi et les points Ci’ sont donnés par les intersections des trois
cercles de rayon La avec la sphère de rayon Lb centrée en P.
Les projections dans le repère de la base donne les coordonnées du point Ci :
[ ( R La cosα ) cosθ
, ( R + La cosα
) sinθ
, −La
sinα
]
+ (II.9)
i
i
L’équation de la sphère de centre P (x, y, z) et de rayon Lb est :
2
2
2 2
( X x)
+ ( Y − y)
+ ( Z − z)
= Lb
i
34
i
− (II.10)
Pour les points Ci appartenant à la sphère, remplaçons les coordonnées de (II.9)
dans l’équation (II.10) :
2
2
2 2
( ( + La cos ) cosθ
− x)
+ ( ( R + La cosα
) sinθ
− y)
+ ( − La sinα
− z)
= Lb
R i i
i
i
D’où :
x
2
− 2 x
α (II.11)
2
( R + La cosα
) cosθ
+ y − 2 y ( R + La cosα
)
i
i
=
Lb
2
i
− La
i
sinθ
+ z
2
− R
2
2
+ 2 z La sinα
− 2 R La cosα
i
i
(II.12)
Les trois équations (II.12) peuvent être résolues selon x, y, z pour obtenir le
modèle géométrique direct et selon α i pour le modèle inverse.
Pour simplifier l’écriture du MGD, nous introduisons les entités suivantes :

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
35
(II.13)
alors :
2
4
2
5
H
H
H
H
z
x +
= (II.14)
2
3
2
1
H
H
H
H
z
y +
= (II.15)
Remplaçons les expressions de x et y dans l’équation (II.15) pour i=1 :
L
N
L
M
M
z
2
4
2 −
±
−
= (II.16)
avec :
(II.17)
1
2
1
3
1
4
2
2
2
3
2
4
1
2
1
1
1
5
2
2
3
1
4
5
2
2
2
1
2
5
2
1
D
H
F
H
E
H
H
H
H
N
G
H
F
H
E
H
H
H
H
H
H
M
H
H
H
L
+
+
−
+
=
−
+
−
+
=
+
+
=
( )
( )
2
3
1
3
3
2
1
2
3
1
2
1
5
2
3
1
3
3
2
1
2
3
1
2
1
4
2
3
1
3
3
2
1
2
3
1
2
1
3
2
3
1
3
3
2
1
2
3
1
2
1
2
2
3
1
3
3
2
1
2
3
1
2
1
1
2
2
2
sin
2
sin
cos
2
cos
cos
2
cos
2
G
F
G
F
G
F
G
F
G
F
G
F
H
D
F
D
F
D
F
D
F
D
F
D
F
H
D
E
D
E
D
E
D
E
D
E
D
E
H
F
E
F
E
F
E
F
E
F
E
F
E
H
G
E
G
E
G
E
G
E
G
E
G
E
H
La
G
tg
E
La
R
F
La
R
E
La
R
R
La
Lb
D
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
+
−
−
+
+
−
=
−
+
+
−
−
=
+
−
−
+
+
−
=
+
−
−
+
+
−
=
−
+
+
−
−
=
−
=
=
+
=
+
=
+
+
+
−
=
α
θ
θ
α
θ
α
α

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
II.3.1.2 Le Modèle Géométrique Inverse (MGI)
Le modèle géométrique inverse vise le calcul des coordonnées articulaires αi
correspondant à une situation donnée (x, y, z) de l’organe terminal. Il faut donc
résoudre les équations (II.12) selon les variables articulaires motorisées, la résolution
donne l’expression suivante [37] [16].
avec :
⎛
⎜ − 2z
±
⎜
i ⎝
tg =
2
α
4
2 2 ( z + R )
Qi = 2 x cosθ
i + 2 y sinθ
i
1
S =
La
2 2 2 2 2 2
( − x − y − z + Lb − La − R )
II.3.1.2 Interface graphique
⎛ 2
⎞
2 2 R ⎞ ⎛ ⎛ R S ⎞ ⎞
− S + Q ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟
⎟
i 1 − + Q − 2
⎜ ⎟
⎜ − 4
2 i
R
⎝ ⎝ ⎠ ⎠
⎟
⎝ La ⎠
La
⎠
⎛
⎛ R ⎞⎞
⎜ − 2R
− S − Qi
⎜ − 1⎟⎟
⎝
⎝ La ⎠⎠
36
(II.18)
(II.19)
Dans le chapitre IV on a choisis les points de simulation pour les méthodes
d’étalonnage d’une manière complètement aléatoire, pour vérifier si on est toujours
dans l’espace de travail, on a mis en place une interface (Interface Graphique
Programmée par MatLab) de simulation qui nous permet de visualiser le déplacement
du robot dans l’espace en fonction des variables opérationnelles et articulaires.

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
Zone pour commander
les mouvements du
robot dans l’espace
opérationnel.
Zone pour commander
les mouvements du
robot dans l’espace
articulaire.
Zone pour l’affichage
des valeurs x, y et z dans
l’espace opérationnel.
Zone pour l’affichage
des valeurs αi dans
l’espace articulaire.
Figure II.6 : L’interface utilisée pour simuler de la position de robot Delta par le MGD et MGI.
II.4 DETERMINATION DU VOLUME DE TRAVAIL
L’objectif de la détermination de l’espace de travail du robot est de déterminer
les points accessibles par l’effecteur du robot et d’éviter les configurations singulières
lors de l’exécution des tâches. Cet espace est la zone que le point P, centre de la
nacelle, peut atteindre ; le montage d’un outil, ou d’un dispositif, provoquera le
37
Zone pour l’affichage
des mouvements du
robot Delta 740.
Quitter le programme.

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
décalage du point vers le point fonctionnel de cet outil et des translations
correspondantes de l’espace de travail.
Il faut donc intégrer un module de calcul qui délimite l’espace de travail pour le
robot LMS_DELTA, pour le cas de ce manipulateur les restrictions doivent être
imposées sur les liaisons actives et passives. Les deux contraintes qui limitent le
déplacement de la nacelle à une portion de l’espace de travail sont [37]. Les angles
α i , β i et γ i sont indiqués dans la figure II.5.
Limite 1 :
( α + β ) min ≤ α + β i ≤ ( α + β ) max
i (II.20)
Pour les deux raisons suivantes [37]:
• Eviter les interférences entre le bras et les barres parallèles ainsi qu’entre les
barres parallèles et les moteurs de bras lorsque α i + β est petit,
• Eviter les ambiguïtés de transformation de coordonnées qui se produisent lorsque
l’angle α i + β i devient supérieur a 180°, ceci donne deux ensembles de consignes
articulaires pour un seul point de l’espace opérationnel.
Limite 2 : − γ max ≤ γ i ≤ γ max
(II.21)
Les contraintes de construction des articulations aux deux extrémités des barres
parallèles limitent cet angle.
Pour le cas du robot LMS_DELTA, les longueurs caractéristiques ainsi que les
valeur des angles limites sont donnés par le tableau (Tableau II.1).
y
x
θ i
βi
Figure II.7 : Longueurs paramétriques et angles caractéristiques du robot
DELTA.
38
α i
γi

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
Les expressions des angles β i et γ i sont trouvées à partir du calcul du modèle
géométrique inverse MGI de la chaîne directe [03].
Considérons la chaîne cinématique de la figure II.8. Elle est constituée par les
liaisons 3, 4, 7 et 8 qui forment un parallélogramme, ceci implique les égalités
q 3 = q7
et 4 q8
q = .
Figure II.8 : Description d’une seule chaîne
La chaîne ouverte simplifiée est donnée par la figure II.9.
Figure II.9 : Description de la chaîne simplifiée
39

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
Le MGI de la structure simplifiée permet d’exprimer les variables articulaires en
fonction de la position du point fonctionnel (centre de la nacelle).
On à :
q1
= −α
i
q2
= π − β i
q3
= γ i
q4
= q3
q5
= π − ( q1
+ q2
)
θ = ; θ = 120°
; θ = 240°
1
0 2
3
(b) (c)
Figure II.10 : Une approximation du volume de travail du robot Delta [37] :
(a) volume de travail du robot en 3D ;
(b) volume de travail du robot en 3D vue du haut;
(c) Vue de profil du robot avec son volume de travail.
40
(II.22)

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
Les angles qui expriment les deux limites précédemment motionnées sont donnés
par les relations suivantes [03] :
For i=1 To 3 Do
⎛ x sinθ
i − y cosθ
i ⎞
γ i = arcsin ⎜
⎟
(II.23)
⎝ LB ⎠
⎡ z + LA sinα
⎤
i cosθ
i
β i = −arctg
⎢
⎥
⎣ R + LA cosθ
i cosα
i + LB sinγ
i sinθ
i − x⎦
41
(II.24)
Ces deux relations sont en fonction de la position du centre de la nacelle
( x y , z)
(x, y, z)
Consigne exprimée dans
l’espace Opérationnel
(x, y, z)
Modèle Géométrique
Inverse (MGI)
Commande à exécuter
(x, y, z ; α1, α2, α3)
(α1, α2, α3)
Consigne exprimée dans
l’espace Articulaire
(α1, α2, α3)
Modèle Géométrique
Direct (MGD)
( ( x ∗ sinθ
i − y ∗ cosθi
) / LB)
;
( z + LA ∗sinα
∗cosθ
) / ( R + LA ∗cosθ
∗ cosα
+ LB ∗ sinγ
∗sinθ
− x)
γ i : = Arcsin
β : = −Arctg
[ ];
i
− i
≤ α i i Than
workspace :=1 ; // point atteignable par la nacelle
Else
workspace :=0 ; // point hors de l’espace de travail
End if
End For
IF ( 50 ≤ γ ≤ 50)
OR 25 ( + β ) ≤145
i
i
, et de la variable motorisée α i , ce qui implique l’appel aux deux modèles
géométriques direct et inverse à chaque exécution d’une commande.
L’organigramme de la figure II.11 est le module que nous avons implémenté dans
nos applications pour tester l’appartenance du point P (centre de la nacelle) au
volume de travail. La valeur de la variable boolienne (workspace) qui nous informe
i
i
i
i

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
sur l’état de la future position (dans ou hors le volume de travail). Une
approximation de ce volume est représentée par la figure II.10 [36].
Pour le cas du robot LMS_DELTA, les langueurs caractéristiques ainsi que les
valeurs des angles limites sont donnés par le tableau (Tab. II.4).
Paramètre Ra Rb La Lb (αi + βi)min (αi + βi)max (γi)max
valeur 194 mm 30 mm 260 mm 480 mm ≅ 50° ≅ 145° ≅ 25°
II.5 INFLUENCE DES ERREURS SUR LE POSITIONNEMENT DU ROBOT
Comme on l’a déjà cité, l'étalonnage a pour objectif l'amélioration de la précision
de positionnement du robot tout en diminuant les erreurs sur les paramètres
géométriques. Dans ce qui suit, nous cherchons à déterminer l'influence de ces
erreurs sur le positionnement de l’organe terminal.
Les modèles géométriques sont déduits des trois équations de fermeture de
boucles suivantes :
i
i
2
2
b
B C = L [25]. Donc il y à 3 équations du MGI, F = 0 , i = 1...
3
i
étaient fonction du positionnement χ et des paramètres géométriques du robot P .
avec
Nous différencions cette équation pour obtenir :
1..
3
∂Fmgi
J χ = et J
∂χ
Nous notons :
P
1..
3
∂Fmgi
= .
∂P
χ ∆χ + J ∆P
= 0
(II.21)
J P
• J X la jacobienne des positionnements ( 3×
3)
avec
positionnement dimension ( 3×
1)
.
42
mgi
T
∆ X = [∆P]
l’erreur de
• J P la jacobienne des paramètres ( 3×
24)
avec ∆ P l’erreur sur les paramètres
de dimension ( 24×
1)
.
Nous obtenons l’erreur de positionnement en fonction de l’erreur sur les
paramètres :
Tableau II.4 : Longueurs caractéristiques et Angles limites du robot LMS_DELTA

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
⎛ ∆Dx1
⎞
⎜ ⎟
⎜ ∆Dy1
⎟
⎜ ∆D
⎟
z1
⎜ ⎟
−1
∆χ
3 × 1 = − J χ 3×
3 J P 3×
24 ⎜ ... ⎟
(II.22)
⎜ ⎟
⎜
∆Lax3
⎟
⎜∆La
⎟ y3
⎜ ⎟
⎝ ∆Lb3
⎠
Nous calculons la norme de l’erreur sur la position erreur globale et ∆ x , ∆y
, ∆z
en fonction de la position de l’organe terminal (x et y sont données en abscisse et en
ordonnée), les couches représentent la variation des erreurs suivant la position en z
(autour de l’axe de l’espace de travail, z=-300, -400, -500 et z=-600).
43
24×
1
avec ( ) ( ) ( ) 2
2
2
erreur globale ∆x
+ ∆y
+ ∆z
(x, y, z)
Ensembles des points dans
l’espace de travail
Paramètres nominauxζ n
Paramètres réels ζ r
(Paramètres nominaux+erreurs)
= ,
Modèle Géométrique
Direct (MGD)
(x’, y’, z’)
Consignes exprimées dans
l’espace Opérationnel
Les Erreurs sur les
positions (∆x,∆y,∆z)
Modèle Géométrique
Inverse (MGI)
(α1, α2, α3)
Consignes exprimées
dans l’espace Articulaire
Figure II.12 : Organigramme de calcul des erreurs de position à partir des paramètres réelles.

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
Figure II.13 : Erreur de positionnement du robot Delta en fonction de la position
de l’organe terminal dans le plan (z = -400) pour une erreur sur le paramètre
géométrique La≈ 1 [mm], Lb≈ 1 [mm].
Figure II.14 : Erreur de positionnement du robot Delta en fonction de la position
de l’organe terminal dans les plans (z = -300, -400, -500 et -600 [mm]) pour une
erreur sur le paramètre géométrique (La ≈ 1 [mm]).
44

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
On choisit un plan pour z=-400 pour une erreur sur le paramètre géométrique
(La≈ 1 [mm], Lb≈ 1 [mm].), ce choix étant complètement aléatoire, les résultats sont
représentés sur la figure II.13, cette dernière nous montre que l’erreur de
positionnement suivant l’axes x, y ou z de l’erreur globale. Puis, on choisit plusieurs
plans et on calcule l’erreur globale de positionnement pour chacun d’eux (z = -300, -
400, -500 et -600 [mm]) les résultats sont représentés sur la figure II.14.
Au vu des résultats, trois remarques sont importantes :
Les erreurs ne sont pas amplifiées de la même façon dans tout l’espace de
travail : la sensibilité de l’erreur sur la position par rapport aux erreurs sur les
paramètres est influencée par le positionnement du manipulateur.
L’accumulation des erreurs n’est pas très importante. si nous ajoutons des
erreurs sur une partie ou sur l’ensemble des paramètres, l’erreur de
positionnement reste approximativement du même ordre de grandeur.
Les erreurs suivant les trois axes de l’espace ne sont pas nécessairement
identique : même si l’erreur globale de positionnement est maximal cela ne
signifie pas que l’erreur est maximal pour les trois axes.
Remarque : L’influence des erreurs des paramètres géométriques sur le
positionnement du mobile est fortement liée à la définition de la géométrie du
robot.
II.6 LES MESURES
Les paramètres du robot sont les inconnues que nous souhaitons déterminer.
Pour cela nous avons besoin d’informations, ou de données, qui seront
principalement fournies par les mesures. Nous distinguons deux types de mesures
pratiquées sur le manipulateur :
Les mesures internes (ou proprioceptives) : pour le manipulateur que nous
étudions, elles sont constituées des mesures des articulations motorisées.
Les mesures externes : ces informations sont fournies par une machine à
mesurer, c’est-à-dire un appareil extérieur au robot. Ces mesures ne
serviront qu’à l’étalonnage du manipulateur. Pour notre problème, elles
seront constituées d’informations indiquant la position du plateau mobile
45

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
ou d’une partie de ces informations, dans un repère associé à cette
machinerie.
Afin de connaître les précisions des mesures nécessaires à l’élaboration d’une
simulation aussi proche que possible de la réalité, nous nous intéressons (sans entrer
dans les détails) aux différents types de capteurs de position et d’instruments de
mesure disponibles sur le marché. La qualité de l’étalonnage sera directement
dépendante de la précision de ces capteurs. La simulation nous permettra de
connaître la précision obtenue sur les paramètres en fonction de l’amplitude de
l’erreur sur les mesures.
II.6.1 Les Mesures internes
Nous exploitons les capteurs angulaires internes au robot. On utilise
généralement des capteurs incrémentaux (très utilisée en robotique) nous offrent une
précision jusqu’à ≈ 0 . 001°
.
II.6.2 Les Mesures externes
Pour mesurer la position, nous avons plusieurs moyens à notre disposition.
Principalement, l’utilisation des capteurs LVDTs [42], de théodolites, de lasers [38]
(triangulation d’un point) ou d’une caméra CCD [03]. Ces machines sont en général
assez chères et leur précision de mesure inversement proportionnelle (voir
quadratique!) à leur coût. Des machines à contacts peuvent être utilisées même si
elles posent des problèmes de force appliquée à l’organe terminal (l’étalonnage se
faisant en statique). Le faible volume de l’espace de travail de ces machines, leur coût
élevé ont incité les recherches à s’orienter vers des systèmes d’étalonnage où le
positionnement du mobile est comparé à un objet de référence. Les précisions prises
en compte pour la simulation seront variables et elles seront approximativement
comprises entre le centième et le millième de millimètres.
II.7 LA SIMULATION
Afin de tester et de comparer les différentes méthodes d’étalonnage, nous
procéderons à leurs simulations par ordinateur. Ceci permet se comparer les résultats
obtenus avec les solutions réelles recherchées. Cette comparaison nous permettra
46

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
d’identifier les problèmes lies aux méthodes et de mieux comprendre le
comportement des algorithmes lors des expérimentations. La simulation se fait en
deux étapes.
Tout d’abord, il nous faut construire un ensemble de mesures. Pour cela, nous
définissons la géométrie d’un robot (dont nous souhaitons simuler l’étalonnage) qui
correspond à l’ensemble des paramètres Pr associe à une modélisation. P r sera
considère comme les paramètres réels du robot, le résultat de l’étalonnage devra
donc être plus proche possible de ces paramètres (voir II.8). A partir de ces
informations et de consignes des positionnements aléatoires nous calculons grâce au
MGI, les angles des articulations motorisées. Les consignes peuvent tout aussi bien
porter sur les articulations motorisées. Ceci implique l’utilisation du MGD afin de
calculer les positionnements simulés du robot. Dans le cas de méthodes imposant des
contraintes (voir chapitre V) sur le robot, les consignes ne seront évidemment pas
choisies aléatoirement mais vérifiant les contraintes désirées.
Les positions obtenues seront considérées comme des mesures provenant
d’informations fournies par une machine à mesures. Afin de simuler les bruits de
mesure, nous ajouterons uns erreur sur la simulation des mesures. Ces erreurs seront
centrées et de distribution gaussienne ou uniforme. L’amplitude de ces erreurs
(mesure bruitée = mesure réelle simulée +/- erreur) pourra varier afin de simuler les
différents types de capteurs et pour montrer la sensibilité des méthodes aux erreurs
de mesure.
Nous pouvons maintenant simuler l’étalonnage lui-même. Dans le cas où on
utilise un algorithme d’optimisation nécessitant une estimée initiale des paramètres.
Nous ajoutons une erreur uniformément distribuée aux paramètres considères
comme réels r P afin de simuler les paramètres nominaux P n (c’est-à-dire
correspondant à la géométrie du robot fournie par le constructeur, ou le paramétrage
dit théorique du manipulateur). A partir de ces données, les méthodes d’étalonnages
explicitées ultérieurement permettent de déterminer ou d’améliorer les paramètres
pour donner P c (paramètres obtenus par l’étalonnage).
L’utilisation de cette approche possède plusieurs avantages. Tout d’abord, nous
simulons la méthode sans erreurs de mesure, ce qui permet de valider la
47

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
modélisation du robot en vérifiant que son paramétrage est minimal (vérification du
rang de la jacobienne des paramètres). Puis, en comparant P r , Pn
, Pc
, nous pouvons
" évaluer " la méthode d’étalonnage (voir le paragraphe II.8). Pour simuler les
différentes méthodes, nous avons utilisé principalement deux outils logiciels : MatLab
pour le calcul numérique et son module optimization toolkit et Maple pour une
manipulation formelle des équations (calcul de la jacobienne, simplification des
équations, etc.).
Figure II.15 : Simulation de l’étalonnage
Dans la plupart des méthodes que nous présenterons, il sera nécessaire de
résoudre un système sur-contraint d’équations non-linéaires. Mais, quel algorithme
d’optimisation utiliser ? Dans ce travail nous utiliserons, principalement, un
algorithme de résolution non-linéaire aux moindre-carrés : la méthode de Levenberg-
Marquardt. Ce choix a été effectué pour plusieurs raisons (voir Annexe B) :
Cette méthode semble un bon compromis entre la méthode du gradient qui
possède un large rayon de convergence, et la méthode de Gauss-Newton qui
converge rapidement lorsqu’on se rapproche du minimum.
48

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
C’est la méthode conseillée par MatLab, le logiciel que nous avons utilisé pour
simuler l’étalonnage.
Toujours dans un esprit de comparaison des différentes méthodes d’étalonnage,
nous utiliserons les mêmes configurations de mesure pour l’évaluation des méthodes
de base, elles seront bruitées afin se simuler les erreurs de mesure et qui serviront de
données de base pour les différentes méthodes.
II.8 EVALUATION DES METHODES D’ETALONNAGE
Nous présenterons dans ce qui suit plusieurs méthodes d’étalonnage. Celles-ci
seront évaluées suivant plusieurs critères :
1. leur capacité à améliorer la connaissance des paramètres géométriques du
robot,
2. leur robustesse aux erreurs de mesure,
3. la simplicité pratique de leur mise en œuvre,
4. le nombre de mesures à effectuer, qui devra être idéalement minimal,
5. le temps d’exécution, qui devra être idéalement minimal,
6. la simplicité d’implantation.
Nous attacherons une attention toute particulière aux deux premiers critères. Le
premier critère n’est autre que le but de l’étalonnage et le second, le principal
problème auquel nous sommes confrontés. Les autres critères, sans les négliger, sont
liés à la facilite de mise en place de la procédure d’étalonnage. Elle ne devrait être
que ponctuelle (à la livraison du robot, ou quand le robot montre des signes
d’imprécision). L’absence de principe de base de l’étalonnage des robots parallèles
nous permet d’y attacher moins d’importance.
Dans le cadre d’une utilisation d’une méthode d’optimisation, l’évaluation du
critère C en la solution P c n’est pas suffisante pour juger de la validité de
l’étalonnage. En effet, en présence des erreurs de mesure, ( P ) ≠ 0
49
C . Si C ( P ) > C(
P )
nous pouvons seulement conclure que l’algorithme converge. Mais il se peut très
bien que Pr − Pc
> Pr
− Pn
, dans ce cas l’algorithme converge vers un minimum local
(ou global) qui rend les paramètres P c plus éloignés de la solution P r que l’on
r
n
c

École Militaire Polytechnique Chapitre II : Modélisation et Outils de l’Étalonnage
souhaite atteindre d’être l’estimer initiale P n : l’étalonnage détériore, en fait, le
système plutôt qu’elle ne l’améliore. Pour mettre en évidence ce phénomène, nous
définissons un gain d’étalonnage G tel que :
G
P − P − P − P
r n r c
= 100 ×
(II.23)
Pr
− Pn
Avec cet index, nous pouvons définir plusieurs cas de figure :
• Un gain négatif signifie que les paramètres sont, après étalonnage, plus
éloignés de la réalité que les paramètres fournis par le constructeur.
• Un gain nul signifie que les paramètres après étalonnage sont égaux aux
paramètres fournis par le constructeur.
• Un gain à cent pour cent donne un étalonnage parfait.
Ce gain sera détaillé pour chaque paramètre du robot G P . i
Dans le chapitre suivant, on présente un aperçu sur l’étalonnage géométrique du
robot série pour pouvoir plus tard adapter ses méthodes d’étalonnage aux robots
parallèles.
a r
r a r a
a c
G > 0
G = 0
G < 0
a
a n
n ac
Convergence de l’algorithme
a
50
a = a n
Distance ar − an
Distance ar − ac
Figure II.16 : Trois cas de figure où la méthode d’optimisation converge en présence de bruit
de mesure : l’étalonnage améliore (gain positif) la connaissance des paramètre géométriques,
la détériore (gain négatif) ou n’a pas d’influence (gain nul).
a
a c

___________________________________________________________________________
CHAPITRE III

École Militaire Polytechnique Chapitre III : Aperçu sur l’Étalonnage Géométrique des Robots Série
III.1
Chapitre III
APERÇU SUR L’ÉTALONNAGE GÉOMÉTRIQUE DES
III.1 INTRODUCTION
Les robots série sont largement représentés dans l’industrie pour des tâches
répétitives une bonne précision (opérations d’assemblage ou de soudage de pièces
par exemple). Le plus souvent, les trajectoires suivies par l’outil du robot sont
générées par apprentissage. Un opérateur définit sur site les différents points de
passage de la trajectoire à suivre pour effectuer la tâche demandée. Cet apprentissage
est relativement coûteux en temps et peut réclamer l’immobilisation du robot
pendant quelques heures. Lors d’un incident survenant sur le robot (panne, choc
avec un obstacle imprévu) ; le modèle géométrique de ce dernier peut être affecté
(robot différent ou modification d’un zéro articulaire) et il est alors nécessaire de
recommencer l’apprentissage.
ROBOTS SÉRIE
Certains outils de conception assistée par ordinateur (CAO) permettent d’éviter
cette phase d’apprentissage. Grâce à ces outils, il est possible d’effectuer les calculs
nécessaires à la génération de trajectoires hors ligne, puis de transférer les données
obtenues dans l’armoire de commande du robot.
Dans les deux cas cités ci-dessus, la difficulté se situe au niveau de la
connaissance du modèle géométrique du robot. Les techniques d’étalonnage
51

École Militaire Polytechnique Chapitre III : Aperçu sur l’Étalonnage Géométrique des Robots Série
géométrique des robots consistent à déterminer avec exactitude les paramètres
géométriques (longueurs, angles et décalages articulaires) qui interviennent dans le
calcul de leur modèle géométrique. Les imprécisions sur ces paramètres sont en effet
néfastes à la précision et posent un problème particulièrement sensible pour
l’interchangeabilité des robots ou pour la programmation hors ligne par des outils de
CAO.
De nombreuses méthodes ont été proposées d’une manière générale pour
l’identification des paramètres géométriques des robots série. On peut classer ces
méthodes en deux catégories principales : d’un côté les méthodes en boucle ouverte
et de l’autre les méthodes en boucle fermée. Les méthodes d’étalonnage en boucle
ouverte sont basées sur la mesure à l’aide de capteurs externes de certaines
coordonnées de l’effecteur pour un nombre suffisant de configurations du robot.
Pour les méthodes d’étalonnage en boucle fermée (appelées aussi méthodes
autonomes), un ou plusieurs degrés de liberté (DDL) de l’organe terminal sont
contraints par un contact ou par le biais d’une liaison.
Notre but est de présenter les différentes méthodes d’étalonnage des robots série
et par conséquent une modélisation de ces robots sera établie.
III.2 MODELE GEOMETRIQUE DES ROBOTS SERIE
La situation (position et orientation) de l’organe terminal (également appelé
effecteur ou outil) d’un robot par rapport à un repère fixe peut être calculée en
fonction de ses paramètres géométriques. Ces paramètres définissent la situation des
corps du robot les uns par rapport aux autres. Le modèle géométrique direct (MGD)
d’un robot consiste à calculer la situation de l’effecteur du robot en fonction des
coordonnées articulaires, tandis que le modèle géométrique inverse (MGI) permet de
déterminer la valeur des coordonnées articulaires en connaissant la situation de
l’effecteur.
III.3 PRINCIPES GENERAUX POUR L’ETALONNAGE
III.3.1 Écriture du modèle d’étalonnage
52

École Militaire Polytechnique Chapitre III : Aperçu sur l’Étalonnage Géométrique des Robots Série
Les méthodes d’étalonnage que nous exposons de comparer diffèrent par les
variables utilisées ainsi que par les outils de mesure qui permettent de les obtenir, en
reprenant l’approche proposée dans [05] on peut unifier la formulation des équations
nécessaires à l’étalonnage sous la forme générale suivante :
( q,
x,
)
0 = f η
(III.1)
r
où x représente les variables externes de l’effecteur (coordonnées de la situation
par exemple),
q est le vecteur ( n × 1)
des variables articulaires,
et r
η est le vecteur ( × 1)
np des paramètres géométriques réels,
Chaque méthode peut être classifiée par un indice d’étalonnage donnant le
nombre d’équations de la fonction f [05].
On peut linéariser le modèle (III.1) pour obtenir l’équation différentielle
suivante :
( q,
x,
η ) = Φ(
q,
η)
∆η
+ ρ
∆ y .
(III.2)
avec ∆η = η r −η
définissant le vecteur des erreurs sur les paramètres
géométriques, η le vecteur des valeurs nominales des paramètres géométriques,
∆y l’erreur de sortie entre le modèle et le robot,
ρ est le vecteur des erreurs observées dues aux erreurs de modélisation,
et Φ est la matrice jacobienne, dérivée de la fonction f par rapport aux
⎛ ∂f
⎞
paramètres géométriquesη⎜ Φ = ⎟ .
⎝ ∂η
⎠
III.4 DESCRIPTION DES METHODES D’ETALONNAGE
III.4.1 Méthode d’étalonnage classique
La méthode d’étalonnage classique consiste à mesurer la situation (position et
orientation) de l’effecteur par rapport à un repère fixe de référence. On doit donc
disposer d’un capteur externe [02], [13] et [22].
L’équation non linéaire de l’étalonnage est alors de la forme :
53

École Militaire Polytechnique Chapitre III : Aperçu sur l’Étalonnage Géométrique des Robots Série
−1
( q ) T ( x)
= 0
−1
T + 1 , r − n+
1
n η (III.3)
Cette équation est fonction de 12 éléments non nuls (termes des matrices de
passage), mais ne possède que 6 degrés de liberté, elle peut donc s’exprimer en
fonction de 6 éléments indépendants :
avec X p
⎧∆X
p ⎫
∆X
= ⎨ ⎬ = 0
(III.4)
⎩∆X
r ⎭
∆ le vecteur de dimension ( 1)
−1
O n+
1 (égale à la différence entre les vecteurs n+
1
3× de l’erreur de positionnement du point
54
P de position réelle et modélisée),
et avec r X ∆ le vecteur ( ) 1 3× de l’erreur en orientation du repère R n+
1,
égal à :
∆ X r = uθ
(III.5)
où u et θ sont obtenus par résolution de l’équation suivante :
avec ( u,
θ )
−1
( x)
rot(
u θ ) . A ( q,
η)
−1
An + 1 , n+
1
= (III.6)
rot la matrice (3×3) d’orientation d’un angle θ autour de u .
Le modèle différentiel linéaire définissant le décalage mesuré au niveau de
l’effecteur du fait des erreurs sur les paramètres géométriques est écrit de la manière
suivante [46] et [45]:
∆X
⎧d
⎨
⎩δ
n
⎫
⎬
⎭
n+
1
( q,
x,
η) = = Ψ(
q,
η)
. ∆η
+ 1
(III.7)
L’indice d’étalonnage de cette méthode est méthode à 6. Dans le cas où seule la
position de l’organe terminal est mesurée, on n’utilise que les 3 premières lignes des
équations (III.7) et l’indice d’étalonnage vaut alors 3.
III.4.2 Étalonnage avec mesure de la situation relative
Dans cette méthode, on utilise un capteur fournissant la situation relative de
l’effecteur entre deux configurations a
q et
b
q . Ce type de capteur est utilisé pour
a
calculer la répétabilité du robot [31]. Soit F b la matrice de passage correspondant à
cette mesure, on a alors :

École Militaire Polytechnique Chapitre III : Aperçu sur l’Étalonnage Géométrique des Robots Série
−1
a −1
−1
b a
[ ( q η ) ] . [ T ( q , η ) ] = F ( x)
Tn + 1 , r
n+
1 r b
L’équation non linéaire utilisée pour l’étalonnage est donnée par :
où η = η + ∆η
r
b −1
a a
( q ) T ( q , η ) . F ( x)
= 0
−1
Tn+ 1 , r − n+
1 r b
55
(III.8)
η (III.9)
Cette équation contient 12 éléments non nuls, mais peut être écrite en fonction de
6 éléments, de la même manière que pour l’équation (III.4).
ordre :
Pour le modèle linéaire on obtient en utilisant un développement au premier
[ b
a a
a b a
( q , η) − Ψ2(
q , η,
Fb
) ] . ∆η
= ∆X
( q , q , η,
Fb
)
Les colonnes de
b ( q , η)
a a
2.1.6, tandis que Ψ 2( q , η,
F ) est calculé à partir de l’expression de
a ( q , η)
Ψ (III.10)
Ψ sont obtenues comme cela est décrit dans la section
b
−1
a
avoir remplacé la matrice de passage ( q , η).
a a ( q , η)
Fb
T .
−1
n+
1
T n+
1
Ψ après
par la transformation
. On intègre en fait la transformation mesurée au modèle du robot
pour la configuration a
q . On pose alors :
Les colonnes de
b ( q , η)
a a
2.1.6, tandis que Ψ 2( q , η,
F ) est calculé à partir de l’expression de
a ( q , η)
Ψ sont obtenues comme cela est décrit dans la section
b
−1
a
avoir remplacé la matrice de passage ( q , η).
a a ( q , η)
Fb
T .
−1
n+
1
T n+
1
Ψ après
par la transformation
. On intègre en fait la transformation mesurée au modèle du robot
pour la configuration a
q , on pose alors :
D
P ⎤
−1
−1
−1
−1
−1
a a
b b
i,
b = Pb
− Pi
avec Tn+ 1(
q , η ) . Fb
= ⎢ ⎥
⎣ 0 1 ⎦
On remplace alors les vecteurs D i,
n+
1 par D i,
b dans les expressions (III.14), (III.15)
et (III.17).
Le membre de droite de l’équation (III.10) est égal à l’erreur différentielle en
−1
b
−1
a a
position et en orientation mesurée entre les termes T n+
1(
q , η).
et T n+
1(
q , η)
. Fb
.
⎡
A

École Militaire Polytechnique Chapitre III : Aperçu sur l’Étalonnage Géométrique des Robots Série
Chaque mesure relative entre deux configurations permet d’écrire 6 équations,
l’indice d’étalonnage de la méthode est donc égal à 6.
III.4.3 Étalonnage avec mesure de distances
Cette méthode d’étalonnage est réalisation dans le cas où l’on peut mesurer la
distance parcourue par l’organe terminal du robot entre deux configurations
et
b
q .
Notons par Dr la distance mesurée entre les positions de l’effecteur d’un robot
pour deux configurations
suivante :
a
q et
b
q , on peut alors écrire l’équation non linéaire
b
a 2
b
a 2
[ Px(
q , η r ) − Px(
q , ηr
) ] + [ Py(
q , η r ) − Py(
q , η r ) ]
b
a 2 2
+ [ Pz(
q , η ) − Pz(
q , η ) ] = Dr
56
r
r
a
q
(III.11)
avec Px, Py et Pz les coordonnées cartésiennes du repère terminal dans le repère
−1
de référence, éléments du vecteur P n+
1 .
et
Le modèle différentiel développé au premier ordre est :
b
a
b
a
{ 2.
[ Px(
q , η)
− Px(
q , η)
] . [ Ψx(
q , η)
− Ψx(
q , η)
]
b
a
b
a
+ 2.
[ Py(
q , η)
− Py(
q , η)
] . [ Ψy(
q , η)
− Ψy(
q , η)
]
b
a
b
a
+ 2.
[ Pz(
q , η)
− Pz(
q , η)
] . Ψz(
q , η)
− Ψz(
q , η)
2 2
[ ]} . ∆η
= Dr − D
où D est la distance évaluée au niveau de l’effecteur entre les configurations
b
q en utilisant le MGD avec les paramètres géométriques nominaux ;
(III.12)
et Ψ x, Ψy
et Ψz sont respectivement les lignes 1, 2 et 3 de la matrice jacobienne
généralisée définie dans l’équation (III.13).
L’indice d’étalonnage de cette méthode est égal à 1.
III.4.4 Étalonnage avec liaison repère ou liaison ponctuelle
Le principal inconvénient des méthodes précédentes provient de la nécessité de
trouver des capteurs externes précis, dont la mise place soit rapide et tout ceci à coût
raisonnable. Pour la grande majorité des robots, il existe plusieurs configurations
permettant d’atteindre une situation (ou une position) identique. On peut alors
a
q

École Militaire Polytechnique Chapitre III : Aperçu sur l’Étalonnage Géométrique des Robots Série
utiliser la méthode avec liaison repère (ou celle avec liaison ponctuelle) pour
identifier les paramètres géométriques du robot [06], [45] et [20].
Soit
a
q et
b
q deux configurations différentes pour lesquelles la situation de
l’effecteur est identique, l’équation non linéaire d’étalonnage est alors :
−1
n+
1
b −1
a
( q ) T ( q , ) = 0
T η η
(III.13)
, r − n+
1
r
Cette équation contient 12 éléments non nuls, mais peut être écrite en fonction de
6 éléments, de la même manière que pour l’équation (III.4).
Le modèle différentiel développé au premier ordre donne :
b
b
a b
{ ( q , η ) , Ψ(
q , η)
} . ∆η
= ∆X
( q , q , η)
Ψ (III.14)
où Ψ est la matrice jacobienne du repère R n+
1 par rapport aux erreurs sur les
paramètres géométriques définie dans l’équation (III.13),
et ∆ X est le vecteur représentant l’erreur de position et d’orientation entre les
−1
a
−1
b
situations de l’effecteur ( q , η)
et ( q , η)
T n+
1
T n+
1
Le calcul des paramètres identifiables est réalisé comme c’est décrit en annexe A,
en étudiant la décomposition QR d’une matrice d’observation W calculée à partir de
l’équation (III.14). Cette matrice est générée pour un nombre suffisant de couples
a b ( q )
q , de configurations aléatoires pour lesquels la situation de l’effecteur est la
même. De tels couples sont obtenus en partant d’une configuration aléatoire
−1
a
laquelle on calcule la situation de l’organe terminal ( q , η)
ce qu’une solution
57
.
T n+
1
b
q soit différente de la configuration initiale
a
q pour
. On cherche ensuite à
De manière analogue, il est possible d’étalonner le robot en considérant des
liaisons ponctuelles. Dans ce cas, seule la position de l’effecteur est identique pour
a b
chaque couple ( q )
a
q .
q , de configurations. On a alors comme équation pour
P q η q η = et seules les trois premières lignes de
, r − Pn
+ 1
−1
b −1
a
l’étalonnage ( ) ( , ) 0
n+
1
l’équation (III.14) sont utilisées.
r
L’indice d’étalonnage de la méthode avec liaison repère est 6, il est réduit à 3
pour la méthode avec liaison ponctuelle.

École Militaire Polytechnique Chapitre III : Aperçu sur l’Étalonnage Géométrique des Robots Série
III.4.5 Étalonnage avec liaison point-plan
Dans le cas des méthodes avec liaison point-plan, l’étalonnage est effectué en
utilisant les coordonnées articulaires d’un jeu de configurations pour lesquelles
l’effecteur est en contact avec le même plan. Plusieurs méthodes basées sur cette
technique ont été proposées, nous distinguerons deux méthodes pour notre étude.
Ces méthodes présentent l’avantage d’être facile à mettre en œuvre : on peut
contrôler le contact entre l’effecteur et le plan à l’aide d’un palpeur, ou bien ajouter
un télémètre qu’on modélise alors par une articulation prismatique supplémentaire.
Cette méthode se subdivise en deux méthodes, la première consiste en
étalonnage en utilisant l’équation du plan et la seconde en utilisant la norme au plan.
III.4.5.1 Étalonnage en utilisant l’équation du plan
Pour cette méthode, la matrice d’observation est construite en écrivant l’équation
du plan qui se trouve en contact avec la pointe de l’effecteur de robot [28] et [49]. Si
ce plan ne passe pas par l’origine du repère de référence, l’équation générale de
l’étalonnage vérifiée par le repère terminal du robot peut s’écrire :
( q,
) b.
Py(
q,
η ) + c.
Pz(
q,
) + 1 0
a. Px η r + r η r =
(III.15)
avec a, b et c les coefficients du plan après normalisation,
et Px, Py et Pz les coordonnées cartésiennes du repère terminal dans le repère
−1
de référence, éléments du vecteur P n+
1 .
Si on néglige les termes du deuxième ordre et si on considère que les coefficients
du plan et les paramètres géométriques sont entachés d’erreurs, l’équation
différentielle du modèle est alors :
{ Px(
q,
η)
Py(
q,
η)
Pz(
q,
η)
a.
Ψx(
q,
η)
+ b.
Ψy(
q,
η)
+ c.
Ψz(
q,
η)
}
= −
{ Px(
q,
η)
Py(
q,
η)
Pz(
q,
η)
} ⎨b⎬
⎪⎭
58
⎧a⎫
⎪ ⎪
⎪
⎩c
⎧∆a
⎫
⎪ ⎪
⎪∆b
⎪
⎨ ⎬ + 1
⎪∆c
⎪
⎪
⎩∆η⎪
⎭
(III.16)

École Militaire Polytechnique Chapitre III : Aperçu sur l’Étalonnage Géométrique des Robots Série
où Ψ x, Ψy
et Ψ z sont respectivement les première, deuxième et troisième
colonnes de la matrice jacobienne définie dans l’équation (III.13).
Les valeurs initiales des coefficients a, b et c sont calculées en considérant
l’équation du plan le plus proche des points atteints par l’effecteur pour l’ensemble
des configurations. Dans le cas où les coefficients du plan sont connus, et si on
considère leur valeur comme étant exacte, ils ne sont alors pas identifiés et les
colonnes correspondantes de l’équation (III.16) sont éliminées :
⎧a⎫
⎪ ⎪
. (III.17)
⎪
⎩c
{ a Ψx(
q, η ) + b.
Ψy(
q, η)
+ c.
Ψz(
q, η)
} . ∆η
+ 1 = −{
Px(
q,
η)
Py(
q,
η)
Pz(
q,
η)
} ⎨b⎬
⎪⎭
L’indice d’étalonnage pour cette méthode vaut 1.
III.4.5.2 Étalonnage en utilisant la normale au plan
On utilise pour cette méthode le fait que le produit scalaire des coordonnées du
vecteur normal au plan de contact et de n’importe lequel des vecteurs joignant deux
points (i et j) du plan est nul [49] et [33]. Le principal avantage de cette méthode
réside dans la facilité à obtenir les coordonnées du vecteur normal au plan en
utilisant un inclinomètre.
Si considère deux configurations
i
q et
59
j
q pour lesquelles l’extrémité de
l’effecteur se trouve en contact avec le plan les coefficients sont a, b et c . Le
vecteur u de coordonnées { a b c}
est alors normal au plan, de contact. En
effectuant le produit scalaire entre u et le vecteur joignant la pointe de l’effecteur
entre les configurations
linéaire :
{ a b c}
i
q et
j
i
( q , η r ) − Px(
q , η r )
j
i
( q , η r ) − Py(
q , η r )
j
i
( q , η ) − Pz(
q , η )
⎧Px
⎫
⎪
⎪
. ⎨Py
⎬ = 0
⎪
⎪
⎩Pz
r
r ⎭
j
q , on obtient comme équation du modèle non
(III.18)
En considérant que les coordonnées de la normale au plan sont connues, si les
paramètres géométriques nominaux η sont différents des paramètres réels η r on a :

École Militaire Polytechnique Chapitre III : Aperçu sur l’Étalonnage Géométrique des Robots Série
{ [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] }
( ) ( )
{ } ( ) ( )
( ) ( ) ⎪ j
i
j
i
j
i
a.
Ψx
q , η − Ψx
q , η + b.
Ψy
q , η − Ψy
q , η + c.
Ψz
q , η − Ψz
q , η .
j
i
⎧Px
q , η − Px q , η ⎫
⎪ j
i ⎪
= − a b c . ⎨Py
q , η − Py q , η ⎬
⎪ j
i
⎩Pz
q , η − Pz q , η ⎭
L’indice d’étalonnage de cette méthode est égal à 1.
III.5 CONCLUSION
60
∆η
(III.19)
Ce chapitre permet de faire le point sur les méthodes d’étalonnage géométriques
des robots série.
Notre but est de donner une présentation détaillée des méthodes d’étalonnage
cité ci-dessus.
Dans le chapitre suivant, à partir des méthodes d’étalonnage classiques des
robots série, on développera des méthodes de base pour l’étalonnage des robots
Delta, tout en utilisant les modèles géométriques (MGD, MGI). Les équations de
contraintes obtenues et leurs résolutions (formelles ou numériques) seront analysées.
Nous verrons comment utiliser certaines techniques d’optimisation pour rendre les
résultats plus robustes par rapport aux erreurs de mesure.

___________________________________________________________________________
CHAPITRE IV

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
Chapitre IV
ÉTALONNAGE GÉOMÉTRIQUE DES ROBOTS PARALLÈLES
IV.1 INTRODUCTION
Le nombre de publications concernant l’étalonnage des robots parallèles est assez
faible comparé aux robots série. Nous pouvons penser que les deux domaines sont
connexes, alors qu’il est difficile d’appliquer les méthodes d’étalonnage des
manipulateurs séries aux manipulateurs parallèles. La structure en boucle fermée, le fait
que les articulations du robot parallèle ne sont pas toutes instrumentées, la difficulté
d’obtenir un MGD formel, nous obligeons à une adaptation des méthodes d’étalonnage
des robots séries. Mais les principes restent les mêmes : soit comparer un
positionnement du manipulateur avec un étalon de mesure, soit ajouter des contraintes
géométriques pour rendre redondantes les informations disponibles sur l’état interne
du manipulateur. Les méthodes de résolution (l’optimisation dans la plupart des cas) et
les problèmes (robustesse aux erreurs de mesure, choix des configurations de mesure)
seront eux aussi les mêmes.
(LES MÉTHODES DE BASE)
61

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
Ce chapitre fera l’objet de l’étude des méthodes de base (classiques) de l’étalonnage
de robot parallèle Delta. On suppose que le positionnement exact de robot manipulateur
est connu (noté par l’exposant r) pour un ensemble de configurations du robot k = 1…Nc ;
c'est-à-dire la position
P : χ . De plus, les angles exacts α de chaque articulation i
r
k
r
k
r r r r
associées au positionnement k sont connus, nous posons [ α , α , α ]
62
r
i, K
α = .
k 1 , k 2,
k 3,
k
Notre but sera de déterminer à partir de ces informations, l’ensemble des
paramètres géométriques P du robot. Celui-ci peut être décomposé en 3 sous-ensembles,
correspondant aux paramètres géométriques Pi de chaque chaîne i.
Nous verrons, dans la suite du chapitre, qu’il est possible d’utiliser principalement
deux méthodes : la première, directement adaptée de l’étalonnage des robots série,
utilise le MGD des robot parallèles ; la seconde le MGI. Afin de comparer les méthodes,
celles-ci seront développées en parallèle, puis simulées. Nous verrons comment ces
méthodes se comportent lorsque nous introduisons un bruit de mesure sur les
positionnements exacts (et sur les angles exactes des articulations motorisées associés)
afin de simuler des mesures réelles pratiquées sur le manipulateur. Les mesures seront
notées en exposant par m :
m m m m
P pour la position, et nous posons α = [ α , α , α ]
m
k
ensemble des angles des actionneurs, pour une configuration de mesure k.
k 1 , k 2,
k 3,
k
Plusieurs types de méthodes de résolution seront introduites, simulées et discutées.
De plus, nous verrons comment certains outils (principalement d’optimisation
numérique) pourront être utilisés afin de rendre les méthodes plus robustes par rapport
aux erreurs de mesure.
IV.2 PRINCIPE
IV.2.1 Méthode Directe
L’objectif de l’étalonnage étant de diminuer l’erreur de positionnements du robot,
cette dernière est causée principalement par une mauvaise connaissance des paramètres
géométriques du manipulateur. La question qui se pose est comment pouvons nous
définir cette erreur ?

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
Une commande sur les actionneurs va permettre au robot de se positionner dans
une configuration X. La position peut être calculée par le MGD des robots parallèles.
Nous pouvons donc obtenir X mgd =Fmgd(P,ρ), en fonction de la connaissance des valeurs
des actionneurs ρ et des paramètres géométriques du manipulateur P .
Si nous obtenons le positionnement réel (ou de référence) du manipulateur X r , nous
pouvons le comparer avec celui obtenu par le MGD et ainsi déterminer l’erreur de
positionnement du manipulateur en fonction des paramètres géométriques (les
inconnues à déterminer).
Erreur de positionnement = X r - X mgd(P, ρ r)
Notre but est d’agir sur les paramètres géométriques afin de rendre l’erreur de
positionnement la plus petite possible.
Besnard [39], Daney [10], Yu [09], Baguenar [48] et Renaud [29] ont appliqués cette
méthode pour des plates-formes de Gough.
IV.2.2 Méthode Inverse
L’erreur de positionnement sera quantifiée indirectement à travers l’erreur sur les
valeurs articulaires, au lieu de l’évaluer directement.
Pour un positionnement de référence connu du manipulateur X r , nous pouvons
calculer par le MGI les coordonnées articulaires en fonction des paramètres
géométriques Pi mgi
r
du robot. Nous obtenons ρ = ( Ρ , ) . L’idée est de comparer cette
i Fmgi i χ
information avec les valeurs réelles des coordonnées articulaires ρ r . Pour le robot Delta,
nous obtiendrons :
r mgi r
Erreur sur articulation motorisée d’un chaîne = ρ − ρ ( Ρ , χ )
(IV.1)
Le but sera, pour chaque chaîne i, d’agir sur les paramètres géométriques afin de
rendre cette erreur la plus petite possible.
Nous pouvons déjà voir le principal avantage de cette méthode. L’erreur fournie
pour une chaîne est indépendante des erreurs sur les autres chaînes du robot.
63
i
i
i

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
L’étalonnage peut donc être décomposé en l’identification successive des paramètres P i
de chaque chaîne. Nous divisons donc le nombre d’inconnues à déterminer par le
nombre de chaîne du manipulateur (3 chaînes pour le robot Delta). Nous verrons que,
grâce à cette subdivision du problème, sa résolution en est facilitée.
Besnard [39], Yu [09], Daney [10] ont appliqué cette méthode pour des plates-formes
de Gough.
IV.3 LES SYSTEMES D’EQUATIONS A RESOUDRE
IV.3.1 Utilisation du MGD
L‘erreur de positionnement mgd
ε k , pour une configuration k du manipulateur, nous
donne un ensemble d’équations de contraintes :
mgd
r mgd r
ε ( Ρ ) = χ − χ ( Ρ,
α )
k
k
Ces erreurs sont nulles pour les paramètres exacts r
Ρ du manipulateur. Le
problème de l’étalonnage revient alors à déterminer
64
k
r
Ρ tel que :
mgd r r mgd r r
ε ( Ρ ) = χ − χ ( Ρ , α ) = 0
(IV.2)
k
k
Pour résoudre un tel problème il faut que le nombre d’équations algébriquement
indépendantes soit égal au nombre d’inconnues. Suivant la nature des grandeurs de
référence, l’erreur mgd
ε k nous fournit Nm équations. Dans le cas d’une instrumentation
nous donnons la position (3 paramètres) de la plate-forme mobile, le vecteur
k
r
χ k nous
fournira 3 informations indépendantes, donc Nm =3. Si nous plaçons le manipulateur
dans Nc configurations de référence, nous obtenons Nc relations de type (l’équation IV.2)
soit Nm x Nc équations. Le nombre Np de paramètres géométriques à identifier est
mgd
dépendant de la modélisation choisie du robot. Pour déterminer P, tel que ε ( P)
= 0,
avec k = 1,
..., N c , il faut que :
N ×
N ≥ N
c
m
p
k

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
Le nombre de paramètres P (inconnues à déterminer) de ce modèle est égal
à = 24
N , soit chaque chaîne 8 paramètres P [ Dx , Dy , Dz , θ , α , Lax , Lay , Lb ]
p
i=1,...,3.
65
i
= pour
Nous obtenons par une instrumentation, la position (3 informations) du plateau
mobile pour chaque configuration de mesure : N = 3 . Le nombre minimal de
configuration de positionnements mesurés du manipulateur sera donc égal à 24/3=8. Le
problème sera donc de trouver P c , ensemble des paramètres obtenus par l’étalonnage,
tel que :
⎧ ε1
⎪
⎪ M
⎪
⎨ ε k
⎪ M
⎪
mgd
⎪⎩
ε Nc
mgd
mgd
c r mgd c r
( P ) = χ − χ ( P α )
1
M
, 1
c r mgd c r
( P ) = χ − χ ( P , α )
k
M
c r mgd c r
( P ) = χ − χ ( P , α )
Nc
k
Nc
= 0
M
= 0
M
i
= 0
m
i
i
i
i
i
i
i
(IV.3)
Avec c N k ..., , 1 = , l’indice de la configuration du robot. Les informations seront
constituées, pour k = 1,
..., N c , de positionnements de référence connus du robot
r
l’ensemble des angles α k des articulations mobiles.
IV.3.2 Utilisation du MGI
r
χ k et de
Pour simplifier l’écriture des équations du MGI, on utilise la différence du carré des
longueurs au lieu d’utiliser l’erreur sur les angles des articulations mobiles telle qu’elle
est introduite dans l’équation (IV.1).
Nous cherchons à modéliser le robot par le Modèle 24. L’ensemble des paramètres
géométriques de chaîne i à identifier sera :
i
[ Dx , Dy , Dz , θ , α , Lax , Lay Lb ]
P =
,
i
i
Pour un positionnement k connu exactement du manipulateur
d’articulation mobile i à étalonner, l’équation du MGI, nous donne :
i
i
i
i
i
i
r
χ k et pour l’angle
T
r r
r r
2
i,
χ k , i,
k ) = CBi
, k CBi
, k Lb
(IV.4)
i,
k
Fmgi ( Ρ α
− i

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
L’équation (IV.4) doit s’annuler pour les paramètres exacts du manipulateur P . Elle
r
sera utiliser comme équation de contrainte. Nous aurons donc, pour P P = :
mgi r r r i,
k r r r
ε Ρ , χ , α ) = ( Ρ , χ , ) = 0
(IV.5)
i, k ( i k i,
k Fmgi i k α i,
k
Afin d’obtenir un ensemble fini de solutions, il nous faut autant d’équations
algébriquement indépendantes que d’inconnues considérées. Or, l’équation (IV.5) nous
fournit une seule (Nm = 1) équation pour chaque chaîne i. pour une configuration k =
1,…,Nc, soit Nc équations de contraintes pour Nc positionnements de référence. Afin
d’identifier l’ensemble des Np paramètres géométriques Pi pour chaque chaîne i, il
faudra c p N N ≥ . Ainsi, pour le Modèle 24, nous avons Np = 8 inconnues par chaîne à
identifier. Il nous faudra donc N ≥ 8 configurations de référence. Étant donnée que les
c
équations de contraintes sont définies indépendamment pour chaque chaîne, nous
pouvons utiliser les mêmes données pour étalonner l’ensemble P i des autres
paramètres du robot. Pour déterminer les 24 paramètres géométriques, il nous faudra
donc au minimum 8 configurations de mesure. Notre problème sera donc de déterminer
c
P i tel que :
IV.4 RESOLUTION
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪⎩
ε
ε
ε
mgi
i;
1
mgi
i;
k
mgi
i;
Nc
c r r
( Ρ , χ , α )
i
1
i,
1
c r r
( Ρ , χ , α
i
i,
k
)
c r r
( Ρ , χ , α
i
M
M
k
Nc
i,
Nc
66
= 0
M
= 0
M
) = 0
i
i
r
i
(IV.6)
Le principal problème de l’étalonnage est que nous ne connaissons pas le
r
r
positionnement χ k et les angles des articulations motorisées associées α k exactement.
Les valeurs obtenues à l’aide d’appareils de mesure ne sont qu’approximatives. On peut
donc poser :
χ =
χ + ε
r
k
m
k
pos

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(Les Méthodes de base)
où
m
χ k est le positionnement mesuré de la configuration k et ε pos l’erreur sur la position
générée par le bruit de mesure, et
α = α + ε
r
k
m
k
m
où α k est l’angle mesuré de l’articulation motorisée i de la configuration k et ε R l’erreur
sur l’angle de l’articulation motorisée i induite par le bruit de mesure.
67
R
Les bruits sur les mesures et de précision numérique des machines ne nous permet
pas d’annuler exactement les erreurs mgd
k
ε ou mgi
ε . Nous allons donc chercher à les
réduire le plus possible en minimisant le carré de la norme de ces erreurs. Ceci revient à
définir un critère c quadratique tel que ε ε
T
c = et chercher à le minimiser. Pour cela,
nous utiliserons une méthode d’optimisation aux moindres carrés non-linéaire qui est
généralement utilisée pour ces problèmes multidimensionnels [18].
IV.4.1 Les systèmes
Nous souhaitons déterminer
• Pour la méthode directe :
Minimum
c
P=
P
i, k
r
P = P afin d’avoir :
Nc
∑
k = 1
ε
mgd
k
⎛
⎜ m m
, ,
⎜ k k 14243 ⎝ mesures k
α χ
• Pour la méthode inverse, pour chaque chaîne i :
}
P
inconnues
}
∑ , , , ,
=
= 1
⎟ ⎟⎟
N ⎛
inconnues⎞
c
mgi⎜
m m
Minimum c
i k
⎜ k i k Pi
Pi
Pi
14243 k
⎝ mesures k ⎠
α χ ε
Le bruit de mesure modifie les coefficients des équations de contraintes : les
systèmes n’ont donc pas de racine exacte. Une méthode d’optimisation nous permet de
chercher une solution qui minimise le critère ε ε
T
c = en P est décrit donc mieux le
problème de l’étalonnage. De plus, ce type de méthode nous permet de prendre en
⎟ ⎟
⎞
⎠
2
2

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
compte la redondance d’information fournie par la multiplication des configurations de
mesure.
IV.4.2 Le calcul des jacobiennes
Pour notre méthode d’optimisation, on utilise la jacobienne des paramètres (c’est la
matrice des dérivées des équations de contraintes mgd
k
paramètres ( P )) pour minimiser le critère.
IV.4.2.1 Jacobienne de la méthode directe
68
ε ou mgi
ε par rapport aux
La détermination de la jacobienne des paramètres mgd
J , revient à calculer la dérivée
du positionnement fournie par le MGD, par rapport aux paramètres P . Elle peut être
obtenue de la façon suivante. Les équations implicites du MGI nous fournissent pour
k,
i
chaque chaîne i et pour chaque configuration de mesure k, l’équation F = 0 .
En différenciant l’équation du MGI de la chaîne i par rapport aux paramètres
géométriques P i [ Dxi,
Dyi,
Dzi
, θi
, αi
, Laxi
, Layi
, Lbi
]
du manipulateur = [ x y z ]
= et par rapport au positionnement
χ , nous obtenons pour les chaînes i = 1...
3 :
k
k
k
∂F
k,
i
mgi
∂P
i
k
k , i
∂Fmgi
∆Pi
+ ∆χ
k = 0
∂χ
Sous une forme matriciel ce système devient :
avec
k
k P
k , 1
k , 1
⎛ ∂F
⎞ ⎛ ∂F
⎞
mgi
mgi
⎜ 0 0 ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ∂P
⎟ ⎜ ∂χ
k ⎟
k , 2
⎜ k , 2
⎜ ∂F
⎟
⎟
mgi
∂Fmgi
⎜ 0
0 ⎟ ∆P
+ ⎜ ⎟ ∆χ
k = 0
⎜ ∂P
⎟ ⎜ ∂χ
k ⎟
k,
3
⎜ , 3
⎜
∂F
k
⎟ ∂ ⎟
mgi F
⎜
0 0
mgi
⎟ ⎜ ⎟
⎝
∂P
⎠ ⎜ ⎟
⎝ ∂χ
1444
4 244443
k
14243
⎠
k
J P
( ) T
T T T
∆P
, ∆P
, ∆P
P = 1 2 3
k
J χ
i, k
mgi
(IV.7)
(IV.8)
∆ (IV.9)

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
T
et ∆ P = ( ∆Dx
, ∆Dy
, ∆Dz
, ∆θ
, ∆α
, ∆Lax
, ∆Lay
, ∆Lb
)
ou encore
Si
donc :
avec
i
i
i
i
i
k
k
3 × 3 k 3×
1 P 3×
24 24×
1
k
J χ est inversible, nous obtenons :
J
mgd k −1
k
k , P = −J
χ J P
La jacobienne mgd
P
i
69
i
i
J χ ∆χ = −J
∆P
(IV.10)
∆ k k,
P
i
J P
mgd
χ = ∆
(IV.11)
J donnée pour l’ensemble des erreurs mgd
ε k avec c N k .. 1 = sera
J
mgd
P
⎛ J
⎜
⎜ M
=
⎜
⎜
J
⎜ M
⎜
⎝ J
mgd
1,
P
mgd
1,
P
mgd
1,
P
⎞ ⎛
⎜ − J
⎟
⎟ ⎜ M
⎟ ⎜
⎟
= ⎜ − J
⎟ ⎜ M
⎟ ⎜
⎠ ⎝−
J
1 −1
χ
k −1
χ
N −1
c
χ
IV.4.2.2 Jacobienne de la méthode inverse
J
J
J
1
P
k
P
Nc
P
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
3×
Nc×
24
(IV.12)
Pour la méthode inverse, La jacobienne des paramètres plus simple à calculer que
pour la méthode directe. L’étalonnage de chaque chaîne étant indépendant, nous
calculons la jacobienne des paramètres mgi
J , de la chaîne i pour une configuration k en
dérivant l’erreur mgi
ε i, k (une seule équation) par rapport aux paramètres P i .
∂ε
k Pi
mgi
mgi i,
k
J k , P = i ∂Pi
(IV.13)
Pour le Modèle 24, nous obtenons la ligne correspondant à la dérivée de chaque
erreur k = 1,…, Nc pour le chaîne i :
mgi
J k , Pi
mgi ⎛ ∂ε
i,
k
= ⎜
⎝ ∂Dxi
∂ε
i,
k
∂Dy
mgi
i
∂ε
i,
k
∂Dz
mgi
i
∂ε
i,
k
∂θ
mgi
i
mgi
∂ε
i,
k
∂α
i
mgi
∂ε
i,
k
∂Lax
i
mgi
∂ε
i,
k
∂Lay
i
∂ε
i,
k
∂Lb
mgi
i
⎞
⎟
⎠
(IV.14)

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
avec ( ) T
P = Dx , Dy , Dz , θ , α , Lax , Lay , Lb
i
i
i
i
i
i
i
i
i
La jacobienne correspondant à la dérivée de l’ensemble des N c erreurs mgi
ε i, k de la
chaîne i par les paramètres P i sera exprimée par :
J
mgi
k , Pi
⎛ ∂ε
⎜
⎜ ∂Dxi
⎜ M
⎜ ∂ε
= ⎜
⎜ ∂Dxi
⎜ M
⎜ ∂ε
⎜
⎝ ∂Dxi
mgi
i,
1
mgi
i,
k
mgi
i,
Nc
IV.4.3 La simulation
IV.4.3.1 Principe
∂ε
∂Dy
M
∂ε
∂Dy
M
∂ε
∂Dy
mgi
i,
1
i
mgi
i,
k
i
mgi
i,
Nc
i
∂ε
∂Dz
M
∂ε
∂Dz
M
∂ε
∂Dz
mgi
i,
1
i
mgi
i,
k
i
mgi
i,
Nc
i
∂ε
∂θ
i
M
∂ε
∂θ
i
M
∂ε
∂θ
mgi
i,
1
mgi
i,
k
mgi
i,
Nc
i
∂ε
∂α
i
M
∂ε
∂α
i
M
∂ε
∂α
70
mgi
i,
1
mgi
i,
k
mgi
i,
Nc
i
∂ε
∂Lax
M
∂ε
∂Lax
M
∂ε
∂Lax
mgi
i,
1
i
mgi
i,
k
i
mgi
i,
Nc
i
∂ε
∂Lay
M
∂ε
∂Lay
M
∂ε
∂Lay
mgi
i,
1
i
mgi
i,
k
i
mgi
i,
Nc
i
mgi
∂ε
⎞ i,
1 ⎟
∂Lbi
⎟
M ⎟
mgi
∂ε
⎟
i,
k
⎟
∂Lbi
⎟
M ⎟
mgi
∂ε
⎟
i,
Nc
⎟
∂Lbi
⎠
Nc
× 8
(IV.15)
Les simulations sont effectuées selon la méthode énoncée à le paragraphe (II.7) afin
d’étalonner le robot Delta.
Nous pratiquons plusieurs simulations en faisant varier un certain nombre de
paramètres afin de tester l’efficacité des méthodes de base. Les graphiques sont
automatiquement générés pour chaque simulation de l’étalonnage.
Dans un esprit de comparaison, nous utiliserons les mêmes configurations de
mesure pour toutes les simulations des deux méthodes de base. Ces configurations sont
générées aléatoirement, à l'intérieur de l'espace de travail du manipulateur. Les
jacobiennes inverses cinématiques associées à ces positionnements sont testées afin de
vérifier qu’elles ne comportent aucune singularité et les équations obtenues sont
génériquement indépendantes (voir le paragraphe IV.5.3). À ces configurations, nous
ajoutons une erreur de mesure uniformément distribuée d'amplitude ε Pos (C’est-à-dire
que la position bruitée est donnée par une valeur aléatoire choisie dans un intervalle
centré en la position réelle simulée et de largeur 2 × ε Position ) sur les positions, Le nombre
de configurations de mesure Nc, peut varier de 8 (minimum requis + 1) à 100. Ces

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
algorithmes nécessitent une estimée initiale des paramètres : nous simulons des valeurs
nominales (théoriquement fournies par le constructeur) en ajoutant une erreur
régulièrement distribuée d'amplitude ε p sur les paramètres géométriques.
Chaque graphique présentera les indications d'amplitude d'erreur citées au-dessus.
Nous ajouterons le nombre de mesures, le temps d'exécution en seconde (utilisation
logicielle MatLab sur une machine PC Hp workstation xw6000 Intel® Xeon CPU 3.06
GHz, 1.00 Go de RAM) et le type d'algorithme d'optimisation aux moindres carrés non
linéaires.
Les résultats fournis par les graphiques sont de 2 types :
• Le premier graphique indique l'erreur après étalonnage, c'est à dire la norme de
l'erreur entre les valeurs réelles des paramètres et celles déterminées par
étalonnage. Nous aurons donc 24 indications pour les 24 paramètres
géométriques du robot.
• Le deuxième graphique fournit le gain d'étalonnage des 24 paramètres
géométriques du robot.
IV.4.3.2 Types d'algorithmes des moindres carrés non-linéaires, non contraints
La recherche en optimisation a donné lieu à beaucoup de travaux, et de nombreuses
méthodes ont été développées. Dans ce qui suit on va donner une idée sur les
algorithmes d'optimisation utilisés dans ce document.
Une brève description des méthodes d'optimisation d'un critère quadratique est
donnée dans l’Annexe B. Nous retiendrons deux méthodes :
• La méthode de Levenberg-Marquardt (LM) lorsque nous ne savons pas si les
paramètres initiaux ont été bien estimés (c'est à dire, lorsque le critère est grand).
• La méthode de Gauss-Newton, lorsque nous savons que les estimées initiales
sont proches de la solution (le critère à minimiser est petit).
Pour cela, nous utilisons un algorithme de résolution intégré au logiciel MatLab sous
l’appellation la fonction « leastsq » (voir Annexe C) dans la version 5.2 et « lsqnonlin »
71

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
dans la version 5.3 afin de minimiser au sens des moindres carrés l'ensemble des erreurs
ε ou mgi
ε [16, 34, 44]. Par défaut, l'algorithme implanté est la méthode de Levenberg-
mgd
k
k , i
Marquardt. Une option permet d'utiliser une méthode de Gauss-Newton avec inversion
de la jacobienne des paramètres par décomposition QR.
Remarque : les deux fonctions de MatLab sont intégrées dans les nouvelles versions.
IV.4.4 Les résultats
IV.4.4.1 Méthode directe
IV.4.4.1.a Sans bruit de mesure
Tout d'abord, nous simulons la méthode sans bruit de mesure, pour des erreurs sur
les estimées initiales des paramètres de l'ordre du millimètre. Les résultats obtenus pour
8 configurations de mesure sont présentés en figure IV.1. Nous obtenons des gains
d'étalonnage proches de 100%, c'est-à-dire que nous avons amélioré grandement
l'estimation des paramètres, jusqu'à converger vers la solution exacte. Les erreurs
obtenues (norme de la différence entre les paramètres estimés par l'étalonnage et les
paramètres réels du robot) sont négligeables.
Pour une erreur sur les estimées initiales plus petite (de l'ordre du centième de
millimètre), les résultats sont présentés dans la figure IV.2.
Pour des erreurs sur les estimées initiales de l'ordre du centimètre, la méthode
directe ne converge pas, la solution obtenue ne pas significative. Ceci se traduit par une
grande instabilité numérique de cette méthode d’étalonnage.
IV.4.4.1.a Avec bruit de mesure
Tout d’abord, On va ajouter un bruit de mesure de l'ordre du micron sur la mesure
de la position de l’organe terminal et sur les mesures des longueurs et de l'ordre du
centième de degré sur la mesure des angles des articulations. Nous procédons à une
simulation d'étalonnage pour 8 configurations de mesure.
72

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
Pour une erreur de l’ordre du dixième de millimètre on obtient un gain négatif, ce
qui veut dire que nous ne peut pas améliorer la connaissance des paramètres
géométriques du robot (voir figure IV.3).
Nous pourrons améliorer les résultats en augmentons le nombre de configurations
de mesure. En procédant au même type de simulation mais avec 20, 40 et 60
configurations de mesures (respectivement les figures IV.4, IV.5, IV.6). Nous obtenons
alors de meilleurs résultats.
Pour des erreurs de mesure supérieures (voir figure IV.7), la méthode directe nous
fournit des résultats peu satisfaisants (gain d'étalonnage négatif).
Conclusion le problème majeur de la méthode directe est que pour un nombre
de paramètres à déterminer, 24 dans notre exemple, les algorithmes d’optimisations
ne converge pas ou difficilement. Nous pouvons dire donc que cette méthode est
peu fiable et lente.
73

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
(a)
Temps = 0.9110 s
Algorithme : Levenberg-Marquardt
Figure IV.1 : Résultats méthode Directe, sans bruit de mesures, Nc=8, p=1 mm,
(a) Norme d’erreur sur les paramètres,
(b) Gain de l’étalonnage sur les paramètres.
(a)
Temps = 1.3950 s
Algorithme : Levenberg-Marquardt
Figure IV.2 : Résultats méthode directe, avec bruit de mesures, Nc=8, p=0.1 mm,
(a) Norme d’erreur sur les paramètres,
(b) Gain de l’étalonnage sur les paramètres.
74
(b)
(b)

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
Erreur [mm, rad]
0.45
Erreur [mm, rad]
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13 1415161718192021222324
Paramètres
Figure IV.3 : Résultats méthode directe, avec bruit de mesures, Nc=8, p= 0.1 mm,
pos= L= 0.001 mm, R= 0.001°,
(a) Norme d’erreur sur les paramètres,
(b) Gain de l’étalonnage sur les paramètres.
0
(a)
Temps = 2.9450 s
Algorithme : Levenberg-Marquardt
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13 1415161718192021222324
Paramètres
(a)
Temps = 4.2560 s
Algorithme : Levenberg-Marquardt
Gain d'étalonnage [%]
Gain d'étalonnage [%]
Figure IV.4 : Résultats méthode directe, avec bruit de mesures, Nc=20, p= 0.1 mm,
pos= L= 0.001 mm, R= 0.001°,
(a) Norme d’erreur sur les paramètres,
(b) Gain de l’étalonnage sur les paramètres.
75
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
-300
-350
100
50
0
-50
-100
-150
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13 1415161718192021222324
Paramètres
(b)
-200
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324
Paramètres
(b)

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
Erreur [mm, rad]
Eruer [mm, rad]
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13 1415161718192021222324
Paramètres
(a)
Temps = 5.2470 s
Algorithme : Levenberg-Marquardt
Figure IV.5 : Résultats méthode directe, avec bruit de mesures, Nc=40, p= 0.1 mm,
pos=L=0.001 mm, R=0.001°,
(a) Norme d’erreur sur les paramètres,
(b) Gain de l’étalonnage sur les paramètres.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13 1415161718192021222324
Paramètres
(a)
Temps =10.9450 s
Algorithme : Levenberg-Marquardt
Gain d'étalonnage [%]
76
Gain d'étalonnage [%]
100
50
0
-50
-100
-150
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324
Paramètres
Figure IV.6 : Résultats méthode directe, avec bruit de mesures, Nc=60, p= 0.1 mm,
pos=L=0.001 mm, R=0.001°,
(a) Norme d’erreur sur les paramètres,
(b) Gain de l’étalonnage sur les paramètres.
100
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
(b)
(b)
-80
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324
Paramètres

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
Erreur [mm, rad]
1.5
1
0.5
0
IV.4.4.2 Méthode inverse
IV.4.4.2.a Sans bruit de mesure
La méthode simulée sans erreur de mesure nous permet de déterminer
exactement les paramètres géométriques du robot (Nc> 7 pour le Modèle 24). La figure
IV.8 nous montre que le rayon de convergence (l'influence de l'erreur sur les estimées
initiales) est bien supérieur à celui des méthodes directes. En effet, pour des erreurs sur
les estimées initiales de l'ordre du centimètre, nous observons une convergence de la
méthode inverse.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13 1415161718192021222324
Paramètres
(a)
Temps = 30.8770 s
Algorithme : Levenberg-Marquardt
Figure IV.7 : Résultats méthode directe, avec bruit de mesures, Nc=60, p=0.1 mm,
pos=L=0.01 mm, R=0.01°,
(a) Norme d’erreur sur les paramètres,
(b) Gain de l’étalonnage sur les paramètres.
IV.4.4.2.b Avec bruit de mesure
Gain d'étalonnage [%]
-1400
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324
Paramètres
Pour des erreurs de mesure assez faibles (Pos= 0.001 mm, R= 0.001°, L= 0.001 mm)
et pour des erreurs sur les estimées assez grandes (de l'ordre du centimètre), la figure
IV.9 nous montre que les paramètres ont été grandement améliorés (gain proche de
100%) et que les erreurs sur les paramètres sont de l'ordre du dixième de millimètre.
Pour des paramètres mieux estimés (figure IV.9), les erreurs sont approximativement les
77
200
0
-200
-400
-600
-800
-1000
-1200
(b)

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
mêmes et donc les gains sont bien entendu moins bons (~ 80%). Les résultats obtenus
avec une méthode de Levenberg-Marquardt dans la figure IV.10, ou pour une méthode
de Gauss-Newton, figure IV.11 sont similaires.
Pour des erreurs de mesure de l’ordre de centième de millimètre (Pos= 0.01 mm, R=
0.01°, L= 0.01 mm), et une erreur sur estimée de 1 mm, les résultats nous montrent
(figure IV.12) que 8 configurations ne suffisent plus pour améliorer la connaissance des
paramètres géométriques (gains d'étalonnage négatifs). Il sera donc nécessaire
d'augmenter les nombres de configurations de mesure (figures IV.13, IV.14, IV.15) afin
d'obtenir des résultats satisfaisants.
Conclusion La méthode inverse est, comparée à la méthode directe, plus robuste
par rapport aux erreurs de mesure, plus rapide, et possède un rayon de convergence
supérieur.
Ceci est dû principalement à deux raisons :
• Le faible nombre de paramètres considérés successivement : 8 au lieu de 24 pour
la méthode directe.
Nous choisirons donc cette solution comme méthode à utiliser pour étalonner le
robot parallèle.
78

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
Errseur [mm, rad]
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
(a)
Temps = 3.3850 s
Algorithme : Levenberg-Marquardt
Figure IV.8 : Résultats méthode inverse, sans bruit de mesures, Nc= 8, p= 10 mm,
(a) Norme d’erreur sur les paramètres,
(b) Gain de l’étalonnage sur les paramètres.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13 1415161718192021222324
Paramètres
(a)
Temps = 2.8770 s
Algorithme : Levenberg-Marquardt
Gain d'étalonnage [%]
Figure IV.9 : Résultats méthode inverse, avec bruit de mesures, Nc=8, p=10 mm,
pos=L=0.001 mm, R=0.001°,
(a) Norme d’erreur sur les paramètres,
(b) Gain de l’étalonnage sur les paramètres.
79
100
99
98
97
96
95
94
93
92
91
(b)
90
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324
Paramètres
(b)

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
Erreur [mm, rad]
Erreur [mm, rad]
0.45
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13 1415161718192021222324
Paramètres
(a)
Temps = 2.9060 s
Algorithme : Levenberg-Marquardt
Figure IV.10 : Résultats méthode inverse, avec bruit de mesures, Nc=8, p=1 mm,
pos=L=0.001 mm, R=0.001°,
(a) Norme d’erreur sur les paramètres,
(b) Gain de l’étalonnage sur les paramètres.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13 1415161718192021222324
Paramètres
(a)
Temps = 1.3160 s
Algorithme : Gauss Newton + SVD
Gaind'étalonnage [%]
Gaind'étalonnage [%]
80
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324
Paramètres
Figure IV.11 : Résultats méthode inverse, avec bruit de mesures, Nc=8, p=1 mm,
pos=L=0.001 mm, R=0.001°,
(a) Norme d’erreur sur les paramètres,
(b) Gain de l’étalonnage sur les paramètres.
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
(b)
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324
Paramètres
(b)

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
Erreur [mm, rad]
Erreur [mm, rad]
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13 1415161718192021222324
Paramètres
(a)
Temps = 2.5780 s
Algorithme : Levenberg-Marquardt
Gain d'étalonnage [%]
Figure IV.12 : Résultats méthode inverse, avec bruit de mesures, Nc=8, p=1 mm,
pos=L=0.01 mm, R=0.01°,
(a) Norme d’erreur sur les paramètres,
(b) Gain de l’étalonnage sur les paramètres.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13 1415161718192021222324
Paramètres
(a)
Temps = 5.7810 s
Algorithme : Levenberg-Marquardt
Gain d'étalonnage [%]
100
50
0
-50
-100
-150
-200
81
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Paramètres
Figure IV.13 : Résultats méthode inverse, avec bruit de mesures, Nc=20, p=1 mm,
pos=L=0.01 mm, R=0.01°,
(a) Norme d’erreur sur les paramètres,
(b) Gain de l’étalonnage sur les paramètres.
100
80
60
40
20
0
-20
(b)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13 1415161718192021222324
Paramètres
(b)

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
Erreur [mm, rad]
Erreur [mm, rad]
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13 1415161718192021222324
Paramètres
(a)
Temps = 8.8770 s
Algorithme : Levenberg-Marquardt
Gain d'étalonnage [mm, rad]
Figure IV.14 : Résultats méthode inverse, avec bruit de mesures, Nc=40, p=1 mm,
pos=L=0.01 mm, R=0.01°,
(a) Norme d’erreur sur les paramètres,
(b) Gain de l’étalonnage sur les paramètres.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13 1415161718192021222324
Paramètres
(a)
Temps = 11.9070 s
Algorithme : Levenberg-Marquardt
Gain d'étalonnage [%]
82
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324
Paramètres
Figure IV.15 : Résultats méthode inverse, avec bruit de mesures, Nc=60, p=1 mm,
pos=L=0.01 mm, R=0.01°,
(a) Norme d’erreur sur les paramètres,
(b) Gain de l’étalonnage sur les paramètres.
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
(b)
(b)
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324
Paramètres

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
IV.5 AMELIORATION DE LA ROBUSTESSE DES ALGORITHMES
Pour rendre nos résultats plus robuste par rapport aux erreurs de mesure, nous
avons agis sur plusieurs paramètres et /ou adapter les méthodes.
IV.5.1 Le nombre de mesures
Le premier critère sur lequel nous pouvons agir est le nombre de configurations de
mesure nécessaires à l'étalonnage. D'une façon générale, nous utilisons au moins une
équation de plus que le minimum nécessaire (soit une de plus que le nombre de
paramètres à identifier), ceci pour supprimer la redondance de solutions.
L’augmentation du nombre de mesures fait diminuer l'erreur sur les paramètres
[11]. Mais ce nombre est limité par les contraintes de la mise en place opératoire du
processus de prise de mesures externes. Il est donc essentiel de déterminer un nombre
optimal.
Afin de bien comprendre cette influence, nous faisons varier l'étalonnage du robot
par les deux méthodes classiques (de base). Pour un nombre de configurations de
mesure allant de 8 à 100, nous obtenons les figures IV.16 et IV.7.
A partir des résultats obtenus, on voit bien que l’erreur sur les paramètres varie
assez peu au-delà de 50 configurations de mesure (pour la méthode inverse). Il n’est
donc pas nécessaire de considérer plus de configurations de mesure.
83

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
Amplitude de l’erreur sur les estimées initiales = 1 mm pour les longueurs
et 1° pour les angles.
Amplitude de bruit de mesures, position =0.001 mm.
Figure IV.16 - Influence du nombre de configuration de mesure sur les résultats de la méthode
inverse en présence d’erreur sur les paramètre εLax= εLay= εDx= εDy= εDz= εLb=1 mm, εα= εγ= εβ=1° et
sur les mesures εPos= 0.001mm.
Amplitude de l’erreur sur les estimées initiales = 10 mm pour les longueurs
Amplitude de bruit de mesures, position =0.01 mm.
Figure IV.17 - Influence du nombre de configuration de mesure sur les résultats de la méthode
inverse en présence d’erreur sur les paramètre εLax= εLay= εDx= εDy= εDz= εLb=10 mm,et sur les
mesures εPos= 0.01mm.
84

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
IV.5.2 Choix des configurations de mesure
Le choix des configurations de mesure est un problème très important pour
l’étalonnage des robots, dans notre étude on a pris en compte de bon choix des
configuration de mesure afin d’avoir de meilleur résultats.
Nous rappelons que notre problème est déterminer P tel que C Soit minimum
T
avec C ε ( P)
ε ( P)
= . Les méthodes d’optimisation utilisent principalement la jacobienne
∂
des paramètres J p =
∂P
ε afin de déterminer une direction de convergence vers un
minimum (voir annexe B). De plus, elle donne la sensibilité des équations de contraintes
aux variations de paramètres.
∂ε
∆ F = . ∆P
∂P
85
(IV.16)
Son étude (voir les paragraphes IV.4.2 et IV.4.3) peut permettre de quantifier la
qualité de l’étalonnage. En effet, en étudiant cette matrice, nous pouvons vérifier que le
système obtenu est observable (et non singulier), mais aussi améliorer la convergence ou
minimiser la sensibilité des méthodes aux erreurs de mesure.
Pour commencer, nous devons nous assurer que le système considéré est observable
(voir [46, 21, 11]). Pour cela, il faut que le rang de la jacobienne soit au moins égal au
nombre de paramètres considérés. Le paramétrage choisi du robot ne doit pas être
redondant, c'est-à-dire que les paramètres doivent être linéairement indépendants. Nous
dirons que le paramétrage est alors minimal.
IV.6 CONCLUSION
Ce chapitre nous avons adapté des méthodes classiques utilisées pour les robots
séries. La simulation nous a permis de mettre en évidence l’intérêt de la méthode
inverse comparée à la méthode directe. La subdivision de l’étalonnage en une
identification des paramètres chaîne par chaîne et la forme formelle des équations de
contraintes en font une méthode rapide et robuste.

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre IV : étalonnage géométrique des robots parallèles
(Les Méthodes de base)
D’une façon générale, la simulation montre un problème commun à toutes les
méthodes numériques d’étalonnage : si nous mettons de côté les problèmes de
convergence des méthodes d’optimisation, elles fournissent une solution qui minimise
le critère mais qui n’est pas la solution recherchée. Ceci est dû au bruit de mesure qui
modifie les équations de contraintes. Pour la solution obtenue, nous pouvons associer
une erreur fonction du bruit de mesure, des types de méthode et de contraintes utilisée,
du nombre et de la qualité des configurations de mesure. Si cette erreur est du même
ordre de grandeur que l’estimée initiale des procédures d’optimisation, nous ne
pouvons garantir la qualité de l’étalonnage. Nous avons vu comment agir sur un certain
nombre de paramètres pour prendre en compte ce problème et améliorer la précision
des résultats.
Nous pouvons :
1. soit augmenter le nombre de configurations de mesure, mais nous en avons
vu les limites : Les résultats ne s’améliorent plus au delà de 50
positionnements considérés.
2. soit prendre en compte la distribution du bruit sur les mesures. Il sera ici
nécessaire d’en avoir un à priori.
3. soit choisir les configurations de mesure. La solution que nous avons
proposée semble offrir des perspectives très intéressantes : là encore, des
améliorations de cette méthode sont possibles.
Par la suite, nous verrons comment ajouter des contraintes pour l’étalonnage autonome, une
adaptation de la méthode inverse sera présentée.
86

___________________________________________________________________________
CHAPITRE V

École Militaire Polytechnique Chapitre V : Auto-étalonnage avec Contraintes Mécaniques
Chapitre V
AUTO-ÉTALONNAGE AVEC CONTRAINTES
V.1 INTRODUCTION
Les mesures internes ou externes pratiquées sur le robot doivent nous fournir
l’information nécessaire à l’étalonnage du robot. Ces mesures étant bruitées, il peut
devenir difficile d’améliorer les paramètres géométriques. Une solution utilisée pour
pallier à ce problème est de multiplier le nombre de mesures. Ce qui revient à ajouter
des équations de contraintes. Mais, nous avons vu (section IV.5.1) les limites de cette
solution. Une alternative est de chercher à obtenir d’autres types d’information sur
l’état du manipulateur. Pour ce faire, nous avons deux possibilités, soit ajouter des
capteurs proprioceptifs, soit imposer des contraintes géométriques physiques pour
bloquer certaines articulations passives. Cette dernière solution nous permet de créer
de nouvelles équations de contraintes qui devront s’annuler pour le modèle exact du
manipulateur. Cette méthode ne nécessite pas l’ajout des capteurs, le robot se sert de
ses propres capteurs.
MÉCANIQUES
Ceci a déjà été étudié pour les robots séries [28] où le principe est d’imposer à
l’organe terminal du manipulateur des contraintes qui peuvent être de plusieurs
types (exemples : toucher un point connu (3 contraintes), tourner autour d’un axe
(une contrainte)…), et on a vu au chapitre III qu’il est possible d’étalonner de
manière autonome les robots série à partir de contraintes sur l’effecteur (méthodes
87

École Militaire Polytechnique Chapitre V : Auto-étalonnage avec Contraintes Mécaniques
avec liaison repère, liaison ponctuelle ou liaison point-plan). Dans ce cas, la
contraintes est comparable à une articulation qui transforme le manipulateur série en
une chaîne fermée. Suivant ces contraintes, nous pouvons obtenir plusieurs
équations de fermeture [14]. Pour une liaison repère-repère, nous pouvons exploiter
la multiplicité des solutions du MGI pour placer le robot dans différentes
configurations [45]. Expérimentalement, nous avons plusieurs possibilités de créer
cette liaison, par exemple à travers un objet de référence. Ces contraintes se
substituent alors aux mesures de positionnement de l’organe terminal.
Ce type de contraintes peut naturellement être appliqué aux robots parallèles [26,
01], par exemple en fixant la position ou l’orientation (ou seulement une partie) de
l’organe terminal. En comparant la partie contrainte du positionnement entre deux
configurations de mesure nous pouvons obtenir des équations fonction des
paramètres géométriques. Mais pour les robots parallèles, ces informations sont
obtenues à travers le MGD numérique qui peut poser des problèmes de convergence
en présence de bruit de mesure et d’une mauvaise estimation des paramètres. Là
encore, nous pouvons avoir une démarche inverse à ce qui est fait pour les robots
séries, soit en s’efforçant d’utiliser le MGI, soit en contraignant directement les
articulations du robot.
Besnard et Khalil [39] introduisent la contrainte sur la direction d’un segment de
la plate-forme de Gough. Pour cela, ils fixent mécaniquement deux angles du cardan
d’une jambe du robot. Leur valeur devant rester constante, ils vont chercher les
paramètres géométriques qui minimisent leurs différences obtenues pour deux
configurations de mesure. Comme les autres [16, 46, 21] chercher à se passer des
mesures externes, ces positionnements seront calculés grâce à un MGD généralisé. La
direction du segment est alors déduite de ces informations. Maurine [30] adapte la
méthode au robot Hexa.
Daney [07] montre que les contraintes sur les segments peuvent servir à auto-
étalonnage de la plate-forme de Gough, c'est-à-dire qu’il se sert uniquement des
mesures des longueurs des segments pour identifier les coordonnées des points
d’attache des segments avec la plate-forme.
88

École Militaire Polytechnique Chapitre V : Auto-étalonnage avec Contraintes Mécaniques
V.2 PRINCIPE DE LA METHODE D’AUTO-ETALONNAGE AVEC CONTRAINTES
La méthode que nous proposons est de limiter les degrés de liberté de l’organe
terminal du robot pour débrayer certaines articulations motorisées et peuvent être
utilisées pour l’auto-étalonnage. Nous étudierons par la suite l’influence de bruits de
mesures sur cette méthode.
Pour cela, nous allons introduire un nouveau type de contrainte pour le robot
Delta, c'est-à-dire à l’aide d’un système mécanique, fixer en même temps deux
articulations passives d’une chaîne (Figure V.1), ceci dans deux buts :
premièrement, pour rendre les résultats de l’étalonnage moins sensibles au
bruit de mesure. Pour cela, les contraintes nous permettront de simplifier la
structure des équations [08].
deuxièment, pour simplifier la mise en œuvre de l’étalonnage, en remplaçant
l’information fournie par les mesures externes par celle obtenue à travers les
contraintes.
Mécanisme de Blocage
Figure V.1 : Représentation de mécanisme de Blocage
Remarque : les points de position d’organe terminale des différentes
configurations de cette méthode décrit un arc de cercle.
89

École Militaire Polytechnique Chapitre V : Auto-étalonnage avec Contraintes Mécaniques
V.3 PARAMETRAGE DE LA CHAINE i
Le robot Delta (Figure II.2) consistait à ouvrir les boucles cinématiques au niveau
de la nacelle et à étudier chaque chaîne cinématique séparément en fonction des
contraintes imposées par les autres chaînes. L’idée de bloc de ce paramétrage est
d’exploiter le fait que ce robot est constitué de trois chaînes cinématiques identiques
disposées en un angle de 120°, il suffit donc d’ouvrir les boucles cinématiques au
niveau de la nacelle, ensuite paramétrer séparément ces chaînes en tenant compte des
contraintes imposées par les autres chaînes (condition de fermeture du mécanisme)
(Figure II.4).
Le paramétrage de Khalil-Kleinfinger [43] (tab. V.1) appliqué au robot Delta.
Permet l’évaluation des matrices élémentaires qui permettent de déterminer les
expressions des variables articulaires q i après avoir appliqué les contraintes de
fermeture des chaînes cinématiques.
q1i, qna : Variables articulaires actives (motorisées).
q2i, q3i , q4i , q5i , q6i , q7i : Variables articulaires passives (non motorisées).
θ i : angle entre le ième bras et le plan de la base fixe, c’est-à-dire entre x0 et x0i autour
de l’axe z0, sa valeur est égale à
( i 1)
2π −
3
90
; i=1, 2, 3.
J (j) µj γi bj j dj qj rj
1 0 1 0 0 π / 2
− Ra q1 0
2 1 0 0 2d 0 La q2 d
3 2 0 0 0 π / 2 0 q3 0
4 3 0 0 0 0 Lb q4 0
5 4 0 0 0 π / 2
6 2 0 0 0 π / 2
− 0 q5 0
− 0 q6 d
7 6 0 0 0 0 Lb q7 0
nacelle 5 1 0 0 π / 2 Rb qna 0
Tableau V.1 : Paramétrage Khalil-kleinfinger pour une chaîne cinématique i du robot Delta
Les matrices élémentaires pour décrire une chaîne cinématique i sont :

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T
⎡Cθi − S
⎢
= ⎢
Sθi
C
⎢ 0 0
⎢
⎣ 0 0
θi
0 θi
0i
2i
5i
T
T
3i
na
avec :
⎡ C3
⎢
⎢
0
=
⎢−
S
⎢
⎣ 0
i
3i
⎡ C
⎢
⎢
0
=
⎢−
S
⎢
⎣ 0
na
na
− S
0
− C
0
3i
3i
− S
0
− C
0
0
0
1
0
na
na
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥
⎥
1⎦
0
1
0
0
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥
⎥
1⎦
T
0i
1i
Rb
⎤
0
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
1 ⎦
= ( q ) ; S = sin(
q )
C cos
na
na
na
0
1
0
0
na
= ( q ) ; S sin(
q )
C cos
ki
ki
ki
T
⎡ C1i
⎢
⎢
0
=
⎢−
S
⎢
⎣ 0
1i
− S
0
− C
0
⎡C4i − S
⎢
= ⎢
S 4i
C4
⎢ 0 0
⎢
⎣ 0 0
1i
1i
4i
3i i
4i
91
0
1
0
0
0
0
1
0
Ra
⎤
0
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
1 ⎦
Lb
⎤
0
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
1 ⎦
= pour k=1, 2, …, 5 et i=1, 2, 3.
ki
Dans notre étude l’angle q na et la longueur d sont nuls.
4i
T
⎡C2i − S
⎢
= ⎢
S 2i
C2
⎢ 0 0
⎢
⎣ 0 0
2i
1i i
2i
T
5i
⎡ C5
⎢
⎢
0
=
⎢−
S
⎢
⎣ 0
i
5i
− S
0
− C
Figure V.2 : Utilisation de la méthode Khalil pour la description de la chaîne cinématique i.
0
5i
5i
0
0
1
0
0
−1
0
0
La
⎤
0
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
1 ⎦
0⎤
d
⎥
⎥
0⎥
⎥
1⎦

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Figure V.3 : Utilisation de la méthode Khalil pour la description de la chaîne i simplifiée.
V.4 CALCUL DES ANGLES DE LA CHAINE i
Indépendamment de la décomposition sous forme de structure sérielle
représentée sur la figure V.3, cette structure est une simplification de la chaîne
ouverte du robot Delta (voir la figure V.2).
Le MGI de la structure simplifiée permet d’exprimer les variables articulaires en
fonction de la position du point fonctionnel (centre de la nacelle).
On à :
q
q
q
q
q
1
2
3
4
5
= γ
θ =
1
= −α
= π − β
i
= q
3
i
= π −
i
( q + q )
1
0 2
3
2
; θ = 120°
; θ = 240°
92
(V.1)

École Militaire Polytechnique Chapitre V : Auto-étalonnage avec Contraintes Mécaniques
Les angles qui expriment les deux limites précédemment mentionnées sont
donnés par les relations suivantes [03] :
⎛x sinθ
i −y
cosθ
i ⎞
γi
= arcsin ⎜
⎟
⎝ LB ⎠
et
⎡ z + La sinα
i cosθ
i ⎤
β i = −arctg
⎢
⎥
⎣ R + La cosθ
i cosα
i + Lb sin γ i sinθ
i − x⎦
V.5 ÉCRITURE DES EQUATIONS DE CONTRAINTES
Blocage des liaisons
Ci
Figure V.4 : Blocage des articulations passives β i et γ i
93
(V.2)
Lorsque les articulations β i et γ i du robot sont bloqués, la plate-forme conserve
2 degrés de liberté (DDL) par rapport à la base (Figure V.4). Par conséquent, la plate-
forme peut être positionnée dans un nombre infini de configurations avec les valeurs
arbitraires de l’articulation motorisée (chaîne de blocage). Les deux autres
articulations angulaires sont alors débrayées (leurs moteurs ne sont pas alimentés).
On calcule le MGD du robot en fonction du vecteur η des paramètres géométriques
Oi
Bi
bloquées

École Militaire Polytechnique Chapitre V : Auto-étalonnage avec Contraintes Mécaniques
nominaux et du vecteur α des positions articulations des trois articulaires
motorisées. Les angles correspondant du cardan i sont calculés en utilisant la
j
méthode décrite en V.4 en fonction du vecteur α et de la situation X obtenue par
MGD et des paramètres géométriques nominaux η :
j ( α , η)
X = f
(V.3)
y
j
ci j ⎧β
⎫ i
j
= ⎨ = g(
α , X , η)
j ⎬
(V.4)
⎩γ
i ⎭
où l’indice c i indique que le cardan i est bloqué, et
j
α est le vecteur des
positions articulaires motorisées dans la configuration j.
Les angles du cardan c i doivent avoir la même valeur pour toutes les
configurations :
− = 0
k j
y y
( j ≠ k)
(V.5)
ci ci
Le vecteur η r des paramètres géométriques réels du robot identifié en
minimisant le critère C C suivant :
i
C
C
i
1 2 ⎧ y ⎫
c − y i ci
⎪ ⎪
⎪ M ⎪
⎪ 1 m
y ⎪
c − y i ci
= ⎨ 2 3 ⎬
⎪ yc
− y i ci
⎪
⎪ M ⎪
⎪ m−1
m ⎪
⎪⎩
yc
− yc
⎪
i
i ⎭
où m est le nombre total de configurations.
Le vecteur Ci
C est de dimension ( . ( m −1)
× 1)
combinaisons de l’ensemble des configurations.
94
(V.6)
m , et se compose de la totalité des
Le problème d’optimisation est résolu par l’algorithme de Levenberg-Marquardt.

École Militaire Polytechnique Chapitre V : Auto-étalonnage avec Contraintes Mécaniques
V.6 RESULTATS DE LA SIMULATION
La méthode d’étalonnage est testée par simulation sur le robot parallèle dont les
paramètres nominaux ont été donnés dans le tableau II.4. Nous ajoutons une erreur
de mesure uniformément distribuée d'amplitude ε Pos sur les positions, Le nombre de
configuration de mesure Nc est de 8. Ces algorithmes nécessitent une estimée initiale
des paramètres : nous simulons des valeurs nominales en ajoutant une erreur
régulièrement distribuée d'amplitude ε = 1 mm sur les paramètres géométriques de
longueurs.
V.6.1 Étalonnage sans bruits de mesure
p
Si on considère que les mesures des coordonnées articulaires du robot sont
parfaites, on peut étalonner le robot en utilisant 8 configurations de mesure. Les
valeurs réelles des paramètres sont identifiées avec une précision de 10 -4 mètre en 1
seconde environ (Figure V.5).
V.6.2 Étalonnage avec des bruits de mesure
Pour simuler des conditions réelles d’étalonnage, on ajoute un bruit
uniformément réparti avec une amplitude de 10 -6 mètre sur les paramètres de
longueurs et sur les coordonnées de position de l’organe terminal ainsi qu’une
erreur de 10 -3 degrés sur les articulations angulaires, ce qui est plus important que les
erreurs que l’on trouve sur les règles de mesure du commerce. Les valeurs réelles des
paramètres sont identifiées avec une précision de 10 -3 mètre en 3 secondes environ
(Figure V.6).
V.7 COMMENTAIRE SUR LA METHODE
Les simulations réalisées sur cette méthode d’étalonnage démontrent sa capacité
à identifier des erreurs très importantes sur les paramètres géométriques d’un robot
parallèle. L’intérêt principal de cette méthode réside dans le fait qu’aucun capteur de
mesure n’est nécessaire. Par conséquent, on peut appliquer cette méthode à
n’importe quel type de robot parallèle.
95

École Militaire Polytechnique Chapitre V : Auto-étalonnage avec Contraintes Mécaniques
On doit cependant noter que les blocages mécaniques à effectuer ne sont pas
forcément pratiques à mettre en œuvre. Tout d’abord, l’encombrement dû à
l’instrumentation et à la motorisation des articulations peut rendre difficile le choix
d’un système de blocage efficace.
Temps de calcul égal à 0.7030 s
Temps de calcul égal à 2.724 s
(a) (b)
Figure V.5 Résultats de la méthode auto-étalonnage. Nc=8, p=1 mm
(a) Gain de l’étalonnage sur les paramètres,
(b) Erreur sur les paramètres.
(a) (b)
Figure V.6 Résultats de la méthode auto-étalonnage. Nc=8, p=1 mm.
pos=L=0.001 mm, R=0.001°,
(a) Gain de l’étalonnage sur les paramètres,
(b) Erreur sur les paramètres.
96

École Militaire Polytechnique Chapitre V : Auto-étalonnage avec Contraintes Mécaniques
V.8 CONCLUSION
Ce chapitre traite de méthode d’étalonnage autonome de robot Delta : sans
l’ajout de capteurs externe ni des capteurs interne. Une méthode d’étalonnage
originale a été proposée.
Cette méthode d’étalonnage avec blocages articulaires permet d’identifier tous
les paramètres définissant le modèle géométrique d’un robot parallèle dans la
mesure où on peut respecter deux conditions suivantes : on doit pouvoir débrayer
certaines articulations motorisées de manière à pouvoir les considérer comme des
articulations passives, et il faut avoir la possibilité de bloquer mécaniquement les
valeurs des articulations passives.
97

___________________________________________________________________________
CONCLUSION

Ecole Militaire Polytechnique CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES
CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES
BILAN
Dans ce travail, plusieurs méthodes d’étalonnage adaptées aux robots parallèles
et plus particulièrement au robot Delta sont décrits. Afin de comparer leurs capacités
à améliorer la connaissance des paramètres géométriques du robot en présence d’un
bruit sur les mesures, nous avons procédé à leurs simulations par ordinateur. Les
méthodes diffèrent en raison de plusieurs facteurs :
− par le type de mesure mis à notre disposition,
o soit des mesures externes : mesures de position du mobile fournies
par une machine à mesurer,
o soit des mesures internes : mesures fournies par les capteurs associés
aux actionneurs,
− par les contraintes imposées sur les articulations passives du robot.
Selon le système obtenu, il faut choisir une méthode appropriée de résolution
(optimisation, méthode algébrique, linéaire…). De plus, nous pouvons améliorer la
qualité des résultats :
− soit en multipliant les mesures (ce qui pose le problème de déterminer le
nombre optimal de mesures au-delà duquel un ajout n’améliore plus
significativement le résultat),
− soit en choisissant les configurations de mesures (la robustesse de
l’étalonnage étant en effet très dépendante de ce paramètre),
− soit en considérant la distribution (si elle est connue) des erreurs sur un
certain nombre de mesures.
98

Ecole Militaire Polytechnique CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES
Afin d’illustrer l’ensemble des techniques d’étalonnage, nous avons proposé un
certain nombre de méthodes.
Dans le chapitre IV, nous avons simulé deux méthodes classiques utilisées pour
identifier les paramètres géométriques des robots manipulateurs. La première est
directement dérivée de l’étalonnage des robots séries. Cette méthode directe consiste à
minimiser la différence entre des mesures de position du robot et l’information
fournie par le MGD, fonction des inconnues et des mesures internes. Nous avons vu
que le grand nombre de paramètres considérés pose des problèmes de convergence
des algorithmes d’optimisations. La seconde méthode, nommée méthode inverse,
consiste à minimiser la différence entre les mesures des variables articulaires fournies
par le MGI, fonction des inconnues et des mesures des coordonnées généralisées.
Cette méthode permet d’obtenir un système implicite d’équations de contrainte et
permet de subdiviser le problème puisqu’elle permet l’identification indépendante
des paramètres de chaque chaîne. Ces avantages en font une méthode
intrinsèquement plus stable et plus rapide que la méthode directe.
Mais nous avons vu aussi que plus l’amplitude du bruit de mesure était grande et
plus l’estimation des paramètres était proche de la réalité, moins nous pouvions être
assurés de l’amélioration de la connaissance des paramètres après étalonnage. Pour
pallier ce problème, nous pouvons augmenter le nombre de mesures, mais nous
avons montré les limites de cette solution. Nous avons alors montré qu’en
choisissant, à l’intérieur de l’espace de travail, les critères d’observabilité de la
jacobienne de système considéré, nous pouvions améliorer très nettement les
résultats.
Dans le chapitre 5, nous avons simulé une méthode autonome, consacrée à l’ajout
de contraintes sur la chaîne du robot (fixer les articulations passives). Nous avons
montré que ces informations, alliées aux mesures externes, permettent d’obtenir des
bons résultats.
Cet ajout de contraintes a, de plus, l’avantage de permettre de se passer des mesures
externes. En fixant deux articulations passives du robot, on limite les degrés de
liberté du mobile à une rotation d’un axe, axe de rotation de l’articulation motorisée
de chaîne utilisé pour le blocage. Les informations fournies par les autres
99

Ecole Militaire Polytechnique CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES
articulations débrayées servent alors à étalonner le robot : des résultats en présence
de bruit de mesures ont été présentés.
PERSPECTIVES
En ce qui concerne les perspectives de cette étude, nous pouvons dégager un
certain nombre de points qu’il nous paraîtrait intéressant d’étudier :
− l’étude de méthodes de résolution autres que l’optimisation.
− une étude des méthodes avec capteurs redondants en fonction du nombre
et de la localisation de capteurs,
− une adaptation, à l’ensemble des méthodes, des outils de prise en compte
de la distribution des erreurs de mesures, et des algorithmes de recherche
des positionnements du robot qui optimise l’étalonnage.
− une adaptation des méthodes aux systèmes des mesures effectivement
utilisés pour l’étalonnage,
− et bien évidemment, une validation expérimentale
- de la modélisation choisie et des hypothèses faites,
- des méthodes présentées dans ce document.
100

___________________________________________________________________________
ANNEXES

Paramètres des chaînes du robot LMS-Delta 740,
Les Fonction du MGI
Et les Paramètres du Jacobienne
La = 260 mm
Lb = 480 mm
Ra = 194 mm
Rb = 30 mm
Le = 35 mm
R=Ra-Rb=164 mm
γmax = 40 °
βmax = 35 °
Figure A.1 Géométrie du robot LMD-DELTA 740
101
ANNEXE A

Les fonctions du MGI :
Fmgi 1
Fmgi 2
2
:= − 1. Lb + 2. X sin( θ ) Dy + 2. Z sin( α ) lax + 2. lay Dy 1
1 1 1 1 1 1
− 2. X cos( θ ) cos( α ) lax − 2. Y cos( θ ) Dy − 2. Y cos( θ ) lay 1 1 1 1 1 1 1
2
2. X cos( θ ) Dx 2. X sin( θ ) lay Dz X 1 1 1 1 1
2 Y 2 Z 2
− + + + + + − 2. ZDz1 − 2. Y sin( θ ) cos( α ) lax + Dy 1 1 1 1 + lay1 + lax1 + Dx1 −
+ 2. cos( α ) lax Dx − 2. sin( α ) lax Dz 1 1 1 1 1 1
2
Dz2 2
2
102
2
2
2. Y sin( θ ) Dx 1 1
:= − 2. ZDz − 2. Y cos( θ ) Dy − 2. Y sin( θ ) Dx − 2. Y cos( θ ) lay 2 2 2 2 2 2 2
+ 2. X sin( θ ) Dy − 2. X cos( θ ) Dx + 2. X sin( θ ) lay − 2. sin( α ) lax Dz 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2. Z sin( α ) lax 2. lay Dy 1. Lb 2. X cos( θ ) cos( α ) lax X 2 2 2 2 2
2 2 2 2 Y 2 Z 2
+ + − − + + +
− 2. Y sin( θ ) cos( α ) lax + lay + Dy + lax + Dx +
2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2. cos( α ) lax Dx 2 2 2
Fmgi := − 2. Y cos( θ ) Dy − 2. ZDz + Dz 3 3 3 3 3 − 1. Lb3 − 2. Y sin( θ ) cos( α ) lax 3 3 3
2. X cos( θ ) cos( α ) lax 2. X sin( θ ) lay X 3 3 3 3 3 2 Y 2 Z 2 2 2
− + + + + + Dy + lax +
3 3
2
Dx3 + + 2. cos( α ) lax Dx − 2. sin( α ) lax Dz + 2. Z sin( α ) lax 3 3 3 3 3 3 3 3
− 2. Y sin( θ ) Dx − 2. Y cos( θ ) lay + 2. X sin( θ ) Dy − 2. X cos( θ ) Dx 3 3 3 3 3 3 3 3
+ 2. lay Dy 3 3
2
lay3 Les paramètres du Jacobienne :
dx := 2. X + 2. sin( θ ) lay − 2. cos( θ ) Dx + 2. sin( θ ) Dy − 2. cos( θ ) cos( α ) lax 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
dy := − 2. cos( θ ) lay + 2. Y − 2. sin( θ ) Dx − 2. cos( θ ) Dy − 2. sin( θ ) cos( α ) lax 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
dz := 2. sin( α ) lax − 2. Dz + 2. Z
1 1 1 1
dDx := − 2. X cos( θ ) − 2. Y sin( θ ) + 2. cos( α ) lax + 2. Dx 1 1 1 1 1 1
dDy := 2. X sin( θ ) − 2. Y cos( θ ) + 2. lay + 2. Dy 1 1 1 1 1
dDz := − 2. sin( α ) lax − 2. Z + 2. Dz 1 1 1 1
dtheta := 2. Y sin( θ ) lay + 2. X cos( θ ) lay + 2. X sin( θ ) Dx + 2. X cos( θ ) Dy 1 1 1 1 1 1 1 1 1
− 2. Y cos( θ ) Dx + 2. Y sin( θ ) Dy + 2. X sin( θ ) cos( α ) lax 1 1 1 1 1 1 1
− 2. Y cos( θ ) cos( α ) lax 1 1 1
dalpha 1
:= 2. lax ( 1
Z cos( α ) − 1. cos( α ) Dz − 1. sin( α ) Dx + X cos( θ ) sin( α ) + Y sin( θ ) sin( α )
1 1 1 1 1 1 1 1 1
)
dLax := 2. Z sin( α ) − 2. sin( α ) Dz + 2. cos( α ) Dx − 2. X cos( θ ) cos( α ) + 2. lax 1 1 1 1 1 1 1 1
1
− 2. Y sin( θ ) cos( α )
1 1
dLay := 2. X sin( θ ) − 2. Y cos( θ ) + 2. lay + 2. Dy 1 1 1 1 1

dLb 1
:= −2. Lb1 dx := 2. X − 2. cos( θ ) Dx − 2. cos( θ ) cos( α ) lax + 2. sin( θ ) lay + 2. sin( θ ) Dy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
dy := 2. Y − 2. sin( θ ) cos( α ) lax − 2. cos( θ ) lay − 2. sin( θ ) Dx − 2. cos( θ ) Dy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
dz := 2. Z − 2. Dz + 2. sin( α ) lax 2 2 2 2
dDx := − 2. X cos( θ ) + 2. Dx − 2. Y sin( θ ) + 2. cos( α ) lax 2 2 2 2 2 2
dDy := 2. lay + 2. Dy + 2. X sin( θ ) − 2. Y cos( θ )
2 2 2 2 2
dDz := − 2. Z + 2. Dz − 2. sin( α ) lax 2 2 2 2
dtheta := 2. X sin( θ ) Dx + 2. X sin( θ ) cos( α ) lax − 2. Y cos( θ ) cos( α ) lax 2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ 2. X cos( θ ) lay + 2. X cos( θ ) Dy + 2. Y sin( θ ) lay − 2. Y cos( θ ) Dx 2 2 2 2 2 2 2 2
+ 2. Y sin( θ ) Dy 2 2
dalpha := −2.
lax ( − 1. X cos( θ ) sin( α ) − 1. Y sin( θ ) sin( α ) − 1. Z cos( α )
2 2 2 2 2 2 2
+ cos( α ) Dz + sin( α ) Dx )
2 2 2 2
dLax := 2. lax − 2. X cos( θ ) cos( α ) − 2. Y sin( θ ) cos( α ) + 2. Z sin( α )
2 2 2 2 2 2 2
− 2. sin( α ) Dz + 2. cos( α ) Dx 2 2 2 2
dLay := 2. lay + 2. Dy + 2. X sin( θ ) − 2. Y cos( θ )
2 2 2 2 2
dLb 2
:= −2. Lb2 dx := 2. X − 2. cos( θ ) cos( α ) lax + 2. sin( θ ) Dy + 2. sin( θ ) lay − 2. cos( θ ) Dx 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
dy := 2. Y − 2. sin( θ ) cos( α ) lax − 2. cos( θ ) lay − 2. sin( θ ) Dx − 2. cos( θ ) Dy 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
dz := 2. Z − 2. Dz + 2. sin( α ) lax 3 3 3 3
dDx := 2. cos( α ) lax − 2. Y sin( θ ) − 2. X cos( θ ) + 2. Dx 3 3 3 3 3
3
dDy := 2. lay + 2. X sin( θ ) − 2. Y cos( θ ) + 2. Dy 3 3 3 3
3
dDz := − 2. Z − 2. sin( α ) lax + 2. Dz 3 3 3 3
dtheta := − 2. Y cos( θ ) cos( α ) lax + 2. X sin( θ ) cos( α ) lax + 2. X cos( θ ) Dy 3 3 3 3 3 3 3 3 3
+ 2. Y sin( θ ) lay − 2. Y cos( θ ) Dx + 2. Y sin( θ ) Dy + 2. X cos( θ ) lay 3 3 3 3 3 3 3 3
+ 2. X sin( θ ) Dx 3 3
dalpha := 2. lax ( − 1. sin( α ) Dx + Y sin( θ ) sin( α ) − 1. cos( α ) Dz 3 3 3 3 3 3 3 3
+ X cos( θ ) sin( α ) + Z cos( α ) )
3 3 3
dLax := 2. cos( α ) Dx − 2. Y sin( θ ) cos( α ) − 2. sin( α ) Dz − 2. X cos( θ ) cos( α )
3 3 3 3 3 3 3 3 3
+ 2. Z sin( α ) + 2. lax 3
3
dLay := 2. lay + 2. X sin( θ ) − 2. Y cos( θ ) + 2. Dy 3 3 3 3
3
dLb 3
:= −2. Lb3 103

Estimation aux moindres carrés non-linéaires
104
ANNEXE B
Afin de déterminer le minimum d’une fonction, nous pouvons utiliser plusieurs
méthodes itératives basées sur une approximation locale des équations non-linéaires
par leurs développements limités au premier ordre.
Soit ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) T
p F p , F p , L,
F p
F 1 1
1
= , un vecteur représentant un ensemble de m
équation non-linéaires en p, vecteur des inconnues de dimension n × 1, avec m ≥ n.
Nous cherchons à estimer au moindre carré non-linéaire, le minimum du critère
1
1
C p = F p F p = ∑ F
i=
1 i p tel que :
2
2
quadratique ( ) ( ) ( ) ( ) 2
T
m
avec p la vecteur de p en la solution.
avec
1
Minimum F
p= p 2
T ( p)
F(
p)
Nous notons J ( p)
la jacobienne de F ( p)
en p :
J
( p)
⎛ ∂F1
⎜
⎜ ∂p
= ⎜ M
⎜ ∂Fm
⎜
∂p
⎝
( p)
∂F
( p)
1
L
L
L
∂p
M
( ) ( )
⎟ ⎟⎟⎟⎟
p ∂F
p
1
1
m
∂p
Dérivons le critère C par rapport aux inconnues p :
∂
∂p
⎛ 1
∑
( p)
⎞
m 2
∂⎜
F
i i ⎟
= 1
m
T
C( p)
⎝ 2
∂Fi
( p)
T
=
⎠
= ∑ Fi
∂p
i=
1 ∂p
( p)
⎡∂Fi
( p)
∂Fi
( p)
∂Fi
( p)
⎤
= , , L , ⎥⎦
∂Fi
∂p
⎢
⎣ ∂p1
∂p2
Son dérivé second nous donnera :
2
∂ C
∂p∂p
T
⎛
∂⎜
⎜
=
⎝
∑
( p)
∂Fi
∂p
∂p
T
∂F
i
( p)
⎞
⎟
⎠
∂p
n
n
n
⎞
⎠
( p)
= J ( p)
F(
p)
(B.1)
(B.2)
(B.3)

( p)
T ⎛ ∂F
⎞ i
∂⎜
⎟
⎜
m p ⎟
⎝ ∂
=
⎠
Fi
( p)
+
i 1
∑i
∂p
m
∑ = = 1
m
= ∑ i=1
= H
⎛ ∂Fi
⎜ 2
⎜ ∂p1
⎜ ∂Fi
⎜
⎜
∂p2∂p
⎜ M
⎜ ∂Fi
⎜
⎝ ∂pn∂p
∂Fi
∂p
( p)
∂F
( p)
∂F
( p)
i
∂p
∂p
( p)
∂F
( p)
∂F
( p)
1
i
∂p
M
( p)
∂F
( p)
∂F
( p)
1
1
i
∂p
∂p
n
2
2
T
T
( p)
F(
p)
+ J ( p)
J ( p)
2
2
L
L
L
L
T ( p)
∂F
( p)
T
i ⎞
⎟
∂p1∂p
n ⎟
i ⎟
∂p
p
⎟
2∂
n ⎟
M ⎟
i ⎟
2
∂p
⎟
n ⎠
i
∂p
F
i
T ( p)
+ J ( p)
J ( p)
avec H ( p)
tenseur représentant le hessien de F ( p)
.
105
(B.4)
Le principe des algorithmes d’optimisation présentés ici, est basé sur une détermination
itérative de p, Partant de
k
p , l’estimée de p à l’itération k associée à la valeur de
k
critère C ( p ) , l’algorithme cherche
k + 1
k +1
k
p tel que C ( p ) < C(
p ) . Afin de déterminer
k + 1
p ,
nous nous servons du développement en série limitée du critère à minimiser qui nous
k +1 k
permettra de déterminer le pas de l’algorithme ∆ p tel que p = p + ∆p
,
Développement en série limitée du critère C
Nous développons le critère C au premier ordre puis au deuxième. Nous obtenons
Au premier ordre :
C
k + 1 ( p ) =
k
C(
p + ∆p)
=
T
k ⎛ ∂C
( ) ( p)
⎞
C p + ⎜ ⎟ ∆p
+ o ∆p
2
⎝
∂p
⎠
k
p=
p
En utilisant l’équation B.3, nous obtenons :
C
T
2
( ) ∆p
+ o ∆p
k + 1
k
k T k
( p ) = C(
p ) + J ( p ) F(
p )
Au deuxième ordre :
C
k + 1 ( p ) =
k
C(
p + ∆p)
=
T
k ⎛ ∂C
( ) ( p)
⎞
C p + ⎜ ⎟
2
1 T ⎛ ∂ C(
p)
⎞
∆p
+ ∆p
⎜ ⎟ + o ∆p
2
⎝
∂p
⎠
k
p=
p
En utilisation l’équation B.4, nous obtenons :
2
⎜
⎝
∂p∂p
⎟
⎠
k
p=
p
(B.5)
(B.6)
(B.7)

C
( )
( )
k + 1 ( p ) =
T
k
k T k
C(
p ) + J ( p ) F(
p ) ∆p
1 T
+ ∆p
k T k
k T k
H ( p ) F(
p ) + J ( p ) J ( p )
2
+ o ∆p
2
Méthode de gradient la méthode de base est la méthode de gradient introduite par
Fermat au début XVII siècle. Elle est basée sur l’approximation du système par son
développement limité au premier ordre (équation B.6).
Pour ∆ p suffisamment petit, la variation ∆C du critère résultant de l’itération k de
l’algorithme vérifie :
∆C
= C
T
( ) ∆p
k +1
k
k T k
( p ) − C(
p ) ≈ J ( p ) F(
p )
Nous souhaitons minimiserC donc minimiser ∆ C , pour cela il nous suffit de choisir
k T k
∆p colinéaire à l’opposé du gradient J ( p ) F(
p ) , soit :
k T k ( p ) F(
p )
1
∆ p = − J
, avec λ > 0
λ
Nous obtenons l’algorithme du gradient :
Remarque :
p
k + 1
=
p
k
1
− J
λ
106
k T k ( p ) F(
p )
T
∆p
(B.9)
• La détermination de λ peut prêter à discussion et nous préférons inviter le
lecteur à se reporter aux documents plus spécialisés. A titre indicatif, si λ est
petit, la convergence devient très lente, dans le cas contraire l’approximation
au premier ordre n’est plus valable, ce qui peut entraîner la divergence de
l’algorithme. En fait, nous préférerons adapter λ à chaque itération k .
k + 1 k 1 k T k
L’algorithme devient p = p − J ( p ) F(
p )
λ
k
• Cette méthode revient à déterminer la plus grande pente et à essayer de
converger dans le sens opposé. Ceci pose de nombreux problèmes de
convergence lorsqu’on se rapproche du minimal. Cette méthode est très
fortement déconseillée. Mais elle sert de base aux méthodes d’optimisations
itératives.
.

• Elle possède plusieurs avantages qui seront utilisés pour d’autres méthodes
(ex : Levenberg-Marquardt). Elle est robuste et rend possible un grand rayon
de convergence.
Méthode de Newton La méthode est basée sur l’approximation du système par son
développement limité au deuxième ordre (équation B.8).
k +1
k
Nous cherchons la décroissance ∆C
= C(
p ) − C(
p )
107
la plus grande possible fonction
de ∆ p , nous devrons donc minimiser ∆C en ∆ p . Ceci est donné par la condition :
Soit,
∆ p = −
∂∆C
= 0
∂∆p
En utilisant l’équation B.8 afin d’approximer ∆ C , nous obtenons :
∂∆C
= 0 ≈
∂∆p
k T k
k T k
k T k
[ H ( p ) F(
p ) + J ( p ) J ( p ) ] ∆p
+ J ( p ) F(
p )
T
T −1
k k
k k
k T k
[ H ( p ) F(
p ) + J ( p ) J ( p ) ] J ( p ) F(
p )
L’algorithme de Newton devient :
p
Remarques :
T
T −1
k k
k k
k T k
[ H ( p ) F(
p ) + J ( p ) J ( p ) ] J ( p ) F(
p )
k + 1 k
= p −
(B.10)
k T k
k T k
• Il est nécessaire d’avoir ( p ) F(
p ) J ( p ) J ( p )
H + inversible, donc non
singulière et définie positive (afin de converger vers un minimum).
• Les calculs sont beaucoup plus lourds que pour la méthode de gradient.
• Le domaine de convergence est beaucoup plus réduit que pour la méthode de
gradient. Bien ne garantit que le pas ∆ p valide l’approximation au second
ordre.
• L’intérêt de cette méthode est un très bon comportement proche de la solution.
La convergence sera rapide (quadratique). Inversement, la méthode risque de
ne pas converger lorsque l’estimée initiale est “ loin “ de la solution.
k T k
k T k
• Il est déconseillé d’inverser la matrice ( p ) F(
p ) J ( p ) J ( p )
H + , il est
préférable de résoudre par décomposition (ex : LU, QR…) le système linéaire :
k T k
k T k
k T k
[ H ( p ) F(
p ) +
J ( p ) J ( p ) ] ∆p
= −J
( p ) F(
p )

Méthode de Gauss-Newton La méthode utilise les mêmes principes que la
méthode de Newton, mais néglige le terme
k T k ( p ) F(
p )
fonction de
k ( p )
H dans l’équation B.10. Ce terme est
H (assimilé à une fonction de sensibilité du deuxième ordre). Il est difficile à
obtenir (par différence finie ou par résolution d’équations différentielles) et apporte peu
d’informations.
Une autre façon de définir la méthode de Gauss-Newton est d’approximer les équations
k ( p )
F par leur développement limité au premier ordre :
F
k
k
( p)
≈ F(
p ) + J ( p ) ∆p
∆ p =
k
Le critère ( p )
k ( p )
C devient :
C
k 1 k T k
k T k
T k T k
( p ) F(
p ) F(
p ) + J ( p ) F(
p ) ∆p
+ ∆p
J ( p ) J ( p ) ∆p
= 2
∂C(
p ) C est minimum pour = 0
∂∆p
k
, soit :
T −1
k k
k T k
( J ( p ) J ( p ) J ( p ) F(
p )
( )
Nous obtenons l’algorithme de Gauss-Newton :
p
T −1
k k
k T k
( J ( p ) J ( p ) J ( p ) F(
p )
108
( )
k + 1 k
= p −
(B.11)
L’intérêt de cette méthode est dû au fait que le terme à inverser, donnant la direction de
k T k
l’algorithme, ( p ) J ( p )
J est toujours défini positif. Ce qui permet d’assurer la convergence
vers un minimum (point stationnaire dans le cas de la méthode de Newton).
k T k
Nous pouvons remarquer que le terme J ( p ) J ( p )
minimise le critère linéaire ( ) ( ) 2
k
k
J p p = −F
p
utilisant une décomposition SVD.
Décomposons J par SVD, nous obtenons :
−1
k T k
( ) ( J ( p ) F(
p )
de équation B.11
∆ , nous préférerons résoudre ce problème en
T
J = Udiag(
si
) V
avec s i les valeur singulières de J, U etVmatrice unitaires.
k
k
Résoudre le problème J ( p ) p = −F
( p )
∆ en ∆ p , nous donnera :

⎡ ⎛ 1 ⎞
∆p
= −⎢V
diag ⎜ U
⎣ s ⎟
⎝ i ⎠
109
T
⎤
⎥F
⎦
(B.12)
La détermination des valeurs singulières de J nous permet de calculer le
conditionnement de la jacobienne (la plus grande valeur singulière divisée par la plus petit). Si
la jacobienne J est proche d’une singularité (due à la mauvaise paramètrisation du robot ou
au choix des configurations de mesures), ou simplement mal conditionnée, nous
remplacerons, dans l’équation B.12, l’inverse des valeurs singulières s i telle que
smas i
/ s > Crit par zéro (Crit sera choisi en fonction de la précision numérique
6
utilisée ( 10 )
que :
≈ ).
Méthode de Levenberg-Marquardt La méthode consiste à déterminer ∆ p , tel
k T k
T
( ( p ) F(
p ) = J ( p)
J ( p)
[ + I ] ∆p
− λ (B.13)
J k
Cette méthode cherche à allier les performances des méthodes du gradient et de Gauss-
Newton (si le terme J J
T
T T
de l’équation B.13 est remplacé par le terme J J + H F ). Si le
terme λk I de l’équation B.13 est négligeable par rapport au terme J J
T
, la méthode sera
semblable à une méthode de Gauss-Newton. Elle aura donc une bonne performance proche de
la solution. Sinon, la méthode ressemble à la méthode du gradient. Elle sera donc robuste et
possèdera un grande rayon de convergence. La méthode consiste à faire décroître λ k à chaque
itération afin d’utiliser au mieux les performances de ces différentes méthodes
d’optimisations.
[ λ I ]
T
Là encore, nous n’inverserons pas la matrice ( p)
J ( p)
résolution du système B.13.
J k
+ , mais nous utiliserons une

Principe
Fonction d’optimisation leastsq
110
ANNEXE C
La fonction leastsq de MatLab est une fonction d’optimisation non linéaire des
moindres carrés se basant sur la méthode de Levenberg-Marquardt.
A partir d’une fonction F ( x)
donnée sous la forme d’un vecteur de longueur m,
le critère C à minimiser par la fonction est défini de la manière suivante :
C
=∑ i i =
= 1
m 2
T
( x)
F ( x)
F(
x)
F(
x)
(C.1)
Afin de minimiser le critère C, la fonction leastsq définit une matrice jacobienne J
et, par son intermédiaire, une direction de convergence du vecteur x .
Direction de convergence
Définition
La direction de convergence d k de x est définie, à l’étape k de l’optimisation, à
partir de l’équation :
avec :
T
T
( J ( x ) J ( x ) I ) d = −J
( x ) F(
x )
J ( x)
matrice jacobienne de F ( x)
λk scalaire positif
A l’étape k+1 nous aurons :
x = x + d
k +1
k
k
k
k
+ λ (C.2)
k
k
Le scalaire λk sert alors à contrôler la direction et la norme de d k . Lorsque
λk tend vers l’infini, k
λk suffisamment grand :
Définition de λ k
Le choix de k
k
k
d tend vers un vecteur nul. Cela veut dire que pour un
( x ) C(
x )
C <
k +1 k
(C.3)
C :
λ se fera en définissant un critère linéarisé estimé ( )
T
( x ) J ( x ) d + F(
x )
k − 1 k −1
−1
p xk
C p k = k
(C.4)

Une estimation du critère minimum ( xk
∗)
cubique entre ( x )
réduit, sinon il est augmenté.
111
C sera obtenu par interpolation
C k −1
et C p ( xk
) . Si C p ( xk
) est plus grand que C ( xk
∗)
alors λk est
Une fois le scalaire λk obtenu, la direction d k est définie. La procédure se
déroule ensuite de manière itérative en assurant. A chaque étape :
Conclusion
( x ) C(
x )
C +1 <
(C.5)
k
k
Afin de minimiser le critère C, la fonction leastsq à de petites variations sur
chaque élément du vecteur x de façon à définir la matrice jacobienne J. Une itération
étant comptabilisée pour chaque calcul du critère, chaque petite variation correspond
à une itération de la fonction. Les étapes de la méthode de Levenberg-Marquardt
correspondent à des itérations que nous appellerons majeures, c’est-à-dire quand
tous les paramètres de x sont modifiés après le choix de la direction de convergence.

___________________________________________________________________________
BIBLIOGRAPHIE

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115

Résumé
Ce travail traite les problèmes généraux de calibrage des robots industriels et
particulièrement celui des structures parallèles. L'amélioration de la précision des robots
parallèles peut être obtenue en déterminant les paramètres géométriques décrivant au mieux
le comportement du mécanisme. Cette identification géométrique est envisagée dans ce
document Un cas des robots parallèles est considéré : le robot Delta à 3 ddl de translation.
Les modèles de calibration de ce robot sont présentés. Les méthodes considérées, sont : la
calibration directe, inverse et auto-calibration avec contraintes.
Les nombres de paramètres géométriques, que mettent en œuvre le modèle de cette
structure étant important (24 pour le robot Delta), une simulation préalable a été menée pour
identifier ceux dont les erreurs influent le plus sur l’erreur en position, ce sont eux qui sont
retenus dans le processus de calibration.
Mots Clés : Calibration, Robot industriel, Identification, Optimisation, Robot Delta.
Summary
Toufik BENTALEB, né le 01 Janvier 1980 à Ouled-Djellal
W de Biskra. Titulaire d’un baccalauréat série Sciences
Exacts et d’un diplôme d’ingénieur d’état en Génie
Mécanique, option Construction Mécanique de
l’Université de Biskra.
Inscrit à l’EMP en novembre 2004.
This work falls under the general calibration problems of the industrials robots and
more particularly that of the parallel structures. The improvement of the precision of the
parallel robots can be obtained by determining the kinematics parameters describing the
behaviour of the mechanism as well as possible. The Delta robot with 3 dof of translation is
considered. The calibration model of this robot is presented. The different methods of
calibration of the parallel structures are clarified and applied. The methods considered are:
direct, inverse, self-calibration with constraints.
The numbers of geometrical parameters applied to this model are much considerable (24
for the Delta robot). A preliminary simulation was implemented to identify those where the
errors have more impact on the position error, they are those retained in the calibration
process.
Key words: Calibration, industrial robot, Identification, Optimisation, Robot Delta.
ﺺـــﺨﻠﻣ
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ﺮﻴﻏ ﺔﻤﻈﻧﻷا ،ﻒﻳﺮﻌﺘﻟا ،ﻲﻋﺎﻨﺼﻟا
تﻮﺑﺮﻟا ،ةﺮﻳﺎﻌﻣ
: ﺔﻴﺤﺎﺘﻔـﻤ ﺕﺎﻤﻠﻜ