Recueil d'Examens (2001 - 2004) Contrôle des EDP - lamsin

Université de Tunis El Manar
Recueil d'Examens (2001 - 2004)
Contrôle des EDP
Mastère (DEA) de Mathématiques Appliquées
Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tunis
B.P. 37 – 1002 Le Belvédère Tunis – Tunisie
Tél. (+216) 71 874 700 Fax : (+216) 71 872 729 http://www.enit.rnu.tn

E.N.I.T. DEA de Mathématiques Appliquées
Examen – Contrôle optimal
Enseignants : F. Bonnans – H. El Fekih – J.P. Raymond
Date : 2 mars 2002 Durée : 3H00
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
(Documents autorisés : polycopiés du cours et notes personnelles.)
A.1- Un problème linéaire quadratique
On considère le système dynamique
¨x(t) + 2 ˙x(t) + x(t) = u(t), t ≥ 0,
(1)
x(0) = x0, ˙x(0) = v0,
associé au critère
(2)
J(u, x) = 1
T 2 2 2
2 u(t) + αx(t) + β ˙x(t)
0
avec α ≥ 0 et β ≥ 0.
On considère dans cette section le problème de minimisation de (2) sous contrainte (1).
1. On se ramène au premier ordre en posant h(t) = x(t) et v(t) = ˙x(t), et on note ph, pv les
composantes de l’état adjoint. Montrer que le hamiltonien du problème avec les nouvelles
variables est
H(u, h, v, ph, pv) = 1
2 2 2
2 u + αh + βv + phv + pv(u − h − 2v).
2. Donner l’équation de l’état adjoint.
3. Exprimer la commande en fonction de l’état et de l’état adjoint grâce au principe de
Pontryagin.
4. Donner le principe de l’application de l’algorithme de tir a cet exemple.
A.2- Contrainte sur l’état
Soit γ ∈ R. On ajoute au problème la contrainte sur l’état
(3)
h(t) ≤ γ
On utilisera autant que possible les calculs déjà faits dans la partie précédente.
1. Donner l’équation de l’état adjoint.
2. Montrer que, sur un arc frontière, le multiplicateur est régulier.
3. Montrer que, sur un arc frontière, l’état adjoint est constant, et calculer sa valeur ainsi
que celles de u.
4. En déduire la valeur de ˙η sur un arc frontière. Montrer que, si γ < 0, il ne peut y avoir
d’arc frontière.
5. Comment sera le saut de l’état adjoint en un point de jonction ?

Examen – Contrôle optimal 2 mars 2002
Partie B
(Documents non autorisés)
Partie B.1
Soit L et T deux nombres réels > 0, f ∈ L 2 ((0, L) × (0, T )), z0 ∈ L 2 (0, L) et u ∈ L 2 (0, T ).
On considère l’équation
(4)
⎧
⎨
⎩
zt − zxx + z = f, dans (0, L) × (0, T ),
z(0, t) = 0, zx(L, t) = u(t), dans (0, T ),
z(x, 0) = z0(x), dans (0, L),
et on suppose qu’elle admet une solution faible unique dans C([0, T ]; L 2 (0, L)) vérifiant :
z 2 C([0,T ];L 2 (0,L)) + z2 L 2 (0,T ;H 1 (0,L)) ≤ C(f2 L 2 ((0,L)×(0,T )) + u2 L 2 (0,T ) + z0 2 L 2 (0,L) )
1- Soit J la fonctionnelle définie sur C([0, T ]; L 2 (0, L)) × L 2 (0, T ) par
J(z, u) = 1
2
L
0
z(x, T ) 2 dx + 1
2
On considère le problème de contrôle
(P1) inf
T L
0
0
z(x, t) 2 dx dt + 1
2
T
u 2 (t) dt.
J(z, u) | (z, u) ∈ C([0, T ]; L 2 (0, L)) × L 2 (0, T ) et (z, u) vérifie (4)
1.1 Montrer que ce problème de contrôle admet une solution unique.
1.2 Écrire les conditions d’optimalité permettant de caractériser le contrôle optimal ū à l’aide
d’une équation adjointe.
Partie B.2
2- Pour tout g ∈ R, on note vg la solution de l’équation
(5)
−vxx + v = 0 dans (0, L), vx(0) = g, vx(L) = 0.
Lorsque g ∈ L 2 (0, T ), on note vg(x, t) = v g(t)(x). Cela signifie que vg(x, t) est la solution de
l’équation (5) correspondant à g = g(t), c’est à dire solution de
(6)
−vxx(x, t) + v(x, t) = 0 dans (0, L), vx(0, t) = g(t), vx(L, t) = 0,
pour presque tout t ∈ (0, T ).
On considère le système couplé
(7)
⎧
zt − zxx + z = f,
⎪⎨
z(0, t) = 0, zx(L, t) = vg(L, t),
z(x, 0) = z0(x),
dans (0, L) × (0, T ),
dans (0, T ),
dans (0, L),
⎪⎩
Soit I la fonctionnelle
I(z, g) = 1
2
−vxx(x, t) + v(x, t) = 0 dans (0, L) × (0, T )
vx(0, t) = g(t), vx(L, t) = 0 dans (0, T ).
L
On considère le problème de contrôle
(P2) inf
0
z(x, T ) 2 dx + 1
T
2 0
L
0
0
.
z(x, t) 2 dx dt + 1
T
g
2 0
2 (t) dt.
I(z, g) | (z, g) ∈ C([0, T ]; L 2 (0, L)) × L 2 (0, T ) et (z, g) vérifie (7)
Montrer que ce problème de contrôle admet une solution unique.
DEA Mathématiques Appliquées 2/4
.

Examen – Contrôle optimal 2 mars 2002
3- On note (z(g), v(g)) la solution de l’équation (7). Soit h ∈ L2 (0, T ). Quel est le système
vérifié par le couple (ζ(h), w(h)) défini par
(ζ(h), w(h)) = limλ→0 (z(g + λh), v(g + λh)) − (z(g), v(g)) /λ.
Pour simplifier les écritures, z(g), v(g), ζ(h), w(h) seront notés z, v, ζ et w.
4- On pose F (g) = I(z(g), g). Calculer F ′ (g)h en fonction de z, g, h et ζ.
5-Intégrer par parties l’expression
T L
(ζt − ζxx + ζ)p dxdt,
0
0
où p va jouer le rôle de l’état adjoint associé à z(g). Déterminer l’équation que doit vérifier p
pour que
L
0
T
z(x, T )ζ(x, T ) dx +
0
6-Intégrer par parties l’expression
L
T
z(x, t)ζ(x, t) dxdt = w(L, t)p(L, t) dt.
0
L
(−wxx + w)q dxdt,
0
où q va jouer le rôle de l’état adjoint associé à v. Déterminer l’équation que doit vérifier q pour
que
T
7- Exprimer F ′ (g)h en fonction de g, q et de h.
0
T
w(L, t)p(L, t) dt = − h(t)q(0, t) dt.
0
8- Écrire les conditions d’optimalité permettant de caractériser le contrôle optimal ¯g de (P2) à
l’aide d’un système couplé d’équations adjointes vérifiées par un couple (p, q).
DEA Mathématiques Appliquées 3/4
0

ENIT – Mastère de Mathématiques Appliquées Date : 3 avril 2003
Examen – Contrôle optimal Durée : 3H30
Enseignants : H. El Fekih – J.P. Raymond – H. Zidani Documents non autorisés
Les parties A et B sont indépendantes.
Les étudiants sont priés de remettre des copies séparées pour chaque partie.
Partie A
Soient M > 0 et T > 0 des constantes positives.
I. Contrôle d’une équation elliptique avec conditions de Robin.
1. Soit f ∈ L 2 (0, 1) et u ∈ R. Montrer, avec le théorème de Lax-Milgram, que l’équation
(1)
y − yxx = f dans (0, 1), y(0) = 0, yx(1) + My(1) = Mu,
admet une solution unique dans un espace V que l’on définira avec précision.
2. Pour tout y ∈ L 2 (0, 1) et tout u ∈ R on définit la fonctionnelle
J(y, u) = 1
2
1
0
|y − yd| 2 dx + 1
2 |u|2 ,
où yd ∈ L2 (0, 1). On admet que le problème de contrôle
(PR) inf J(y, u) | u ∈ R, (y, u) vérifie (1) ,
admet une solution unique. Caractériser cette solution en écrivant les conditions d’optimalité
du premier ordre à l’aide d’une équation adjointe.
II. Contrôle d’une équation elliptique avec conditions de Dirichlet.
3. Pour étudier l’équation
(2)
y − yxx = f dans (0, 1), y(0) = 0, y(1) = u ∈ R,
on cherche y sous la forme y = z + w où w = x(2 − x)u. Écrire l’équation vérifiée par z. En
déduire que l’équation (2) admet une solution unique dans H1 (0, 1).
4. On admet que le problème de contrôle
(PD) inf J(y, u) | u ∈ R, (y, u) vérifie (2) ,
admet une solution unique. Caractériser cette solution en écrivant les conditions d’optimalité
du premier ordre à l’aide d’une équation adjointe.
III. Contrôle d’une équation parabolique avec conditions de Robin.
5. On pose
et
Montrer que
(3)
D(A) = {y ∈ H 2 (0, 1) | y(0) = 0, yx(1) + My(1) = 0},
1
0
Ay = yxx pour tout y ∈ D(A).
yxxy dx ≤ 0 pour tout y ∈ D(A).

Examen – Contrôle optimal 3 avril 2003
Nous rappelons que la condion (3) étant vérifiée, avec la question 1, on peut appliquer le
Théorème de Hille-Yoshida pour montrer que (A, D(A)) est le générateur infinitésimal d’un
semi-groupe de contractions dans L 2 (0, 1). Nous rappelons que, pour tout f ∈ L 2 ((0, 1)×(0, T )),
l’équation ⎧⎪⎨
(4)
⎪⎩
yt − yxx = f, dans (0, 1) × (0, T ),
y(0, t) = 0, yx(1, t) + My(1, t) = 0, dans (0, T ),
y(x, 0) = 0, dans (0, 1).
admet une solution faible unique qui vérifie
De plus, si y0 ∈ L 2 (0, 1) l’équation
(5)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y L 2 (0,T ;H 2 (0,1)) + y C([0,T ];H 1 (0,1)) ≤ Cf L 2 (0,T ;L 2 (0,1)).
yt − yxx = 0, dans (0, 1) × (0, T ),
y(0, t) = 0, yx(1, t) + My(1, t) = 0, dans (0, T ),
y(x, 0) = y0, dans (0, 1).
admet une solution unique qui vérifie
y L 2 (0,T ;H 1 (0,1)) + y C([0,T ];L 2 (0,1)) ≤ Cy0 L 2 (0,1).
Pour étudier l’équation
⎧
⎪⎨
yt − yxx = 0, dans (0, 1) × (0, T ),
(6) y(0, t) = 0,
⎪⎩
y(x, 0) = y0,
yx(1, t) + My(1, t) = Mu(t), dans (0, T ),
dans (0, 1).
avec u ∈ L2 (0, T ) on étudie d’abord le cas où u ∈ H1 0 (0, T ). On cherche y sous la forme y = z+w
où w = x(2 − x)u. Écrire l’équation vérifiée par z. En déduire que, si u ∈ H1 0 (0, T ), l’équation
(6) admet une solution unique dans L 2 (0, T ; H 1 (0, 1))∩C([0, T ]; L 2 (0, 1)) (on utilisera l’équation
vérifiée par z). En utilisant directement l’équation (6) montrer que cette solution y vérifie
(7)
y L 2 (0,T ;H 1 (0,1)) + y C([0,T ];L 2 (0,1)) ≤ C(y0 L 2 (0,1) + u L 2 (0,T )).
En déduire que si u ∈ L 2 (0, T ), l’équation (6) admet une solution unique dans L 2 (0, T ;
H 1 (0, 1)) ∩ C([0, T ]; L 2 (0, 1)), et que cette solution vérifie l’estimation (7).
6. On pose
I(y, u) = 1
2
1
0
y(x, T ) 2 dx + 1
T
2 0
avec yd ∈ L 2 (0, T ; L 2 (0, 1)). On admet que le problème de contrôle
1
0
|y(x, t) − yd(x, t)| 2 dxdt + 1
T
|u(t)|
2 0
2 dt,
(P PR) inf I(y, u) | u ∈ L 2
(0, T ), (y, u) vérifie (6) ,
admet une solution unique. Caractériser cette solution en écrivant les conditions d’optimalité
du premier ordre à l’aide d’une équation adjointe.
IV. Passage à la limite.
7. Montrer que la solution y de l’équation (1) vérifie
1
(y
0
2 x + y 2 )dx + M|y(1)| 2 1
= My(1)u +
0
y f dx.
ENIT-Mastère de Mathématiques Appliquées 2/4

Examen – Contrôle optimal 3 avril 2003
En déduire que
|y(1)| ≤ (|u| + f L 2 (0,1)),
si M ≥ 1. En remarquant que la solution y de l’équation (1) vérifie
avec g = y(1), montrer que
y − yxx = f dans (0, 1), y(0) = 0, y(1) = g ∈ R,
où la constante C1 est indépendante de M.
y H 2 (0,1) ≤ C1(|u| + f L 2 (0,1)),
8. Soit y M (u) la solution de l’équation (1) et y ∞ (u) la solution de l’équation (2). Montrer que
lim
M→∞ yM (u) − y ∞ (u)L2 (0,1) = 0.
Indication : On pourra écrire l’équation vérifiée par y M (u) − y ∞ (u) avec des conditions de
Dirichlet ou de Robin.
9. Soit (¯y M , ū M ) la solution de (PR) et (¯y ∞ , ū ∞ ) la solution de (PD). Montrer que la suite
(ū M )M est bornée dans R. Montrer que (¯y M , ū M )M converge dans L 2 (0, 1) × R vers (¯y ∞ , ū ∞ ).
(On pourra montrer la convergence des états adjoints.)
V. Étudier le passage à la limite quand M tend vers l’infini pour le problème parabolique.
Partie B
Exercice 1. Soit h une fonction de classe C 1 sur IR n et soit
U = {u ∈ IR, |u| ≤ 1}.
On considère le problème de contrôle optimal défini par l’équation d’état:
(1) ˙ysx(t) = u(t) pour s < t < T, ysx(s) = x,
et le critère:
(2) J(ysx, u) = h(ysx(T )),
avec encore u ∈ L 2 (]s, T [, U). On note V la fonction valeur :
1. Montrer que:
V (x, s) = Inf{J(ysx, u) | u ∈ L 2 (]s, T [, U), (ysx, u) vérifie (1)}.
(3) V (x, s) = inf
z∈IR n h(z),
,|x−z|≤T −s
pour x ∈ IR n et s < T .
2. Montrer qu’il existe toujours au moins un contrôle optimal.
3. Donner un exemple de non-unicité du contrôle optimal.
4. Ecrire la condition nécessaire d’optimalité fournie par le principe de Pontryagine en
exprimant le contrôle optimal en fonction de l’état adjoint (quand c’est possible). Est
ce toujours une condition suffisante?
ENIT-Mastère de Mathématiques Appliquées 3/4

Examen – Contrôle optimal 3 avril 2003
5. Ecrire l’équation de Hamilton-Jacobi-Bellman vérifiée par V en tout point de différentiabilité
et déterminer un feedback optimal.
Exercice 2. Dans sa phase finale la manoeuvre d’alunissage peut être modélisée (après de
grandes simplification) par l’équation:
(1) ¨ h(t) = m −1 u(t), t ≥ 0,
où h est l’altitude, m la masse de l’engin, et u la somme (normalisée) des forces extérieures
supposée vérifier u(t) ∈] − 1, 1[ à tout instant. Le problème est d’emmener l’engin à vitesse et
altitude nulles en un temps minimal.
On notera v := ˙ h la vitesse, et (vo, ho) := (v(0), h(0) la condition initiale.
1. Ecrire le problème de contrôle optimal. Est ce que le système est commandable?
2. Expliquer pourqoi le problème a une solution unique et écrire les conditions d’optimalité
sous forme de principe de Pontryagin. (Le contrôle optimal et le temps optimal seront
désignés respectivement par ū et ¯ T )
3. Montrer que l’état adjoint ne pourrait pas s’annuler sur tout l’intervalle (0, ¯ T ).
4. En déduir que le contrôle optimal vérifie:
et ū change de signe au plus 1 fois.
ū(t) ∈ {−1, 1}
5. Montrer que si ū ≡ 1 sur (0, ¯ T ), alors la trajectoire atteint la cible si et seulement si
vo = ¯ T , et ho = − 1
2 ¯ T 2 .
Supposons maintenant que ū ≡ 1 sur (0, ¯ T ), sous quelle condition sur vo, ho, la trajectoire
optimale atteint-elle la cible?
6. Donner la synthèse de la solution optimale.
ENIT-Mastère de Mathématiques Appliquées 4/4

E.N.I.T. Mastère de Mathématiques Appliquées
Examen – Session de rattrapage
Contrôle Optimal
Enseignants : H. El Fekih – J.P. Raymond – H. Zidani Durée : 1H30
Date : 30 avril 2003 Documents non autorisés
Exercice 1
On introduit le système dynamique
¨x(t) + 2 ˙x(t) + x(t)
(1)
x(0) = x0, ˙x(0)
=
=
u(t),
v0,
t ≥ 0,
associé au critère
(2) J(u, x) = 1
2
avec α ≥ 0 et β ≥ 0.
T
0
u(t) 2 + αx(t) 2 + β ˙x(t) 2
On considère le problème de minimisation de (2) sous contrainte (1).
1. On se ramène au premier ordre en posant h(t) = x(t) et v(t) = ˙x(t), et on note ph,
pv les composantes de l’état adjoint. Montrer que le hamiltonien du problème avec les
nouvelles variables est
H(u, h, v, ph, pv) = 1
2
2. Donner l’équation de l’état adjoint.
u 2 + αh 2 + βv 2 + phv + pv(u − h − 2v).
3. Exprimer la commande en fonction de l’état et de l’état adjoint grâce au principe de
Pontryagin.

Exercice 2
On considère l’équation différentielle
(1)
˙x(t) + ax(t) = u(t),
x(0) = x0
t ∈ (0, T )
avec T > 0, x0 ∈ R, a ∈ R ∗ + et u ∈ L 2 (0, T ).
1– Donner la solution xu de (1) et montrer qu’elle est dans H 1 (0, T ).
2– Montrer que l’application u ↦→ xu est continue et dérivable de L 2 (0, T ) dans L 2 (0, T ).
3– Soit xd ∈ L 2 (0, T ) et J la fonction objectif définie par
J(x, u) = 1
2
Montrer que le problème de contrôle
(2)
T
0
(x − xd) 2 dt + 1
T
u
2 0
2 dt
min{J(x, u); u ∈ L 2 (0, T ), (x, u) vérifie (1)}
admet une solution unique. Caratériser cette solution en écrivant les conditions d’optimalité
du premier ordre à l’aide d’une équation adjointe. On notera p l’état adjoint, ¯x l’état optimal
et ū le contrôle optimal.
4– On suppose que xd ≡ 0. Montrer que p(t) = F (t)¯x(t) où F est solution de l’équation
différentielle de Riccati :
(3)
˙
F (t) − 2aF (t) − F 2 (t) + 1 = 0.
Soit G(t) = F (T − t). Ecrire l’équation différentielle vérifiée par G en spécifiant la condition
initiale. En déduire une loi de commande reliant le contrôle optimal et l’état optimal.
2

ENIT – Mastère de Mathématiques Appliquées Date : 30 mars 2004
Examen – Contrôle optimal Durée : 3H00
Enseignants : F. Bonnans – H. El Fekih – M. Mnif Documents non autorisés
Les parties A, B et C sont indépendantes.
Les étudiants sont priés de remettre des copies séparées pour chaque partie.
Partie A : Contrôle d’une équation elliptique avec condition de Robin
Soit Ω un domaine borné de R2 , f ∈ L2 (Ω) et u ∈ L2 (Γ), Γ = ∂Ω. On considère le problème :
−∆y = f, dans Ω
(1)
∂y
+ y = u,
∂n
sur Γ
A.1. Ecrire la formulation variationnelle du problème (1).
A.2. Montrer que le problème (1) admet une solution unique y dans H 1 (Ω), vérifiant
y H 1 (Ω) ≤ C(u L 2 (Γ) + f L 2 (Ω))
où C désigne une constante réelle > 0.
A.3. Pour tout u ∈ L 2 (Γ) et y ∈ L 2 (Ω), on définit la fonctionnelle objectif
J(y, u) = 1
2 y − yd 2 H1 1
(Ω) +
2 u2 L2 (Γ)
où yd ∈ H1 (Ω). Montrer que le problème
inf J(y, u) | u ∈ L 2
(2)
(Γ), (y, u) vérifie (1)
admet une solution unique.
A.4. Caractériser cette solution en écrivant les conditions d’optimalité du premier ordre à
l’aide d’une équation adjointe.
A.5. Proposer un algorithme, en décrivant brièvement les principales étapes, pour calculer une
approximation de la commande optimale solution de (2).
Partie B : Gestion de portefeuille
On considère un poblème de gestion de portefeuille en temps continu et sans consommation
sur un horizon fini T > 0. On considère un investisseur possèdant un actif sans risque de prix
S0(t) vérifiant
dS0(t) = rS0(t)dt
avec r > 0 et un actif risqué S1(t) vérifiant
dS1(t) = αS1(t)dt + σS1(t)dW (t).
L’investisseur a la possibilité d’acheter ou de vendre l’actif risqué à tout instant et sans coûts de
transaction. On note s0(t) le capital détenu dans l’actif sans risque, s1(t) le capital investi dans
l’actif risqué et ρ(t) = s0(t) + s1(t) la fortune totale de l’in vestisseur à l’instant t. On appelle
politique d’investissement le processus y(t) = s1(t)
ρ(t) représentant la proportion de capital investi
dans l’actif risqué à chaque instant t. On dira q’une politique y(.) est admissible si ρ(t) ≥ 0,
∀t ≤ T . L’objectif de l’investisseur est de calculer
V (t, ρ) = sup
y(.)admissible
E{log ρ(T )|ρ(t) = ρ}

Examen – Contrôle optimal 30 mars 2004
B.1. Vérifier que ρ(t) suit l’évolution:
dρ(t) = (rρ(t) + ρ(t)(α − r)y(t))dt + ρ(t)σy(t)dW (t), ρ(0) = ρ
B.2. Ecrire l’équation d’Hamiton-Jacobi-Bellman (HJB) satisfaite par la fonction valeur V .
B.3. Résoudre l’équation HJB, pour cela, on cherchera V de la forme V (t, ρ) = log(ρ)+λ(T −t)
où λ est une constante à déterminer.
B.4. En déduire la politique optimale d’investissement.
Partie C: Opérateurs non expansifs et schéma pour l’équation HJB
Opérateurs non expansifs
On étudie quelques propriétés générales liées à la non expansivité.
Soit T : IR n → IR n . On dit que T est croissant si pour tout x et y dans IR n , avec x ≥ y (soit
xi ≥ yi pour tout i) on a T (x) ≥ T (y).
Si x ∈ IR et α ∈ IR, on note x + α le vecteur de coordonnées xi + α. On dit que T translate
les constantes si T (x + α) = T (x) + α pour tout x ∈ IR et α ∈ IR.
C.1. Soient x et y dans IR n . Montrer que
(3)
(4)
T (y) ≤ T (x) + maxi(yi − xi).
C.2. En déduire avec la relation symétrique que
T (y) − T (x)∞ ≤ yi − xi∞.
autrement dit que T est non expansif.
C.3. Vérifier les hypothèses de croissance et de translation des constantes pour l’opérateur
étudié dans la théorie de la commande optimale des chaînes de Markov,
⎧
⎨
T (v) := β inf
⎩ ci(u) +
⎫
⎬
Mij(u)vj , i = 1, . . . , m.
⎭ (5)
u∈Ui
j
sous les notations et hypothèses du cours : Ui compact de IR m , Mij(ui) matrice stochastique
quand ui ∈ Ui pour tout i, et ci(u) fonction continue.
C.4. Soient K1 et K2 deux ensembles quelconques, et Tk1,k2 , pour k1 ∈ K1, et k2 ∈ K2,
une famille d’opérateurs vérifiant chacun les hypothèses de croissance et de translation des
constantes. Montrer que
T (x) := inf sup Tk1,k2 (x)
(6)
k1∈K1 k2∈K2
vérifie aussi les hypothèses de croissance et de translation des constantes. (On pourra pour
commencer supposer que K1 ou K2 est réduit à un seul élément).
Schéma pour l’équation HJB
On s’intéresse à l’équation (sans contrôle, ou si on préfère avec un seul contrôle possible)
−DtV (t, x) = ℓ(t, x) + f(t, x) · DxV (t, x) + ∆V (t, x), t ∈ [0, T ], x ∈ IR n V (T, x)
,
= 0, x ∈ IR n (7)
.
avec ℓ et f lipschitziennes et bornées, et ∆V (t, x) = D2 x2V (t, x) + · · · + D
1
2 x2 V (t, x) opérateur de
n
Laplace.
C.5. Montrer que cette équation a une solution unique au sens de viscosité.
C.6. Interpéter cette solution comme l’espérance d’un critère associé à un système dynamique
stochastique.
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Examen – Contrôle optimal 30 mars 2004
C.7. Formuler un schéma de discrétisation, de type différences finies, qui s’interprète comme
un principe de programmation dynamique pour un problème de commande optimale d’une chaîne
de Markov que l’on explicitera.
C.8. Mêmes questions avec cette fois l’équation
(8)
⎧
⎨
⎩
−DtV (t, x) = ℓ(t, x) + f(t, x) · DxV (t, x)
+ 2
i,j=1 D2 xixj V (t, x), t ∈ [0, T ], x ∈ IRn ,
V (T, x) = 0, x ∈ IR n .
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