Fascicule de TD - UPMC

I. Motivation.
TD 2 Systèmes d'équations linéaires
Déterminer l’intersection des trois plans définis par :
(P1) : x + 2 y - z = 0 ; (P2) : x + 3 y + 3 z = 1 ; (P3) : 2 x + y + z = 1 .
II. Résolution de systèmes d’équations linéaires.
Pour chacun des systèmes d’équations linéaires suivants :
1. Vérifier si le système est régulier ou non régulier.
2. Etudier l’existence ou non de solutions.
3. Calculer les solutions :
3.1. Soit par la méthode de l’échelonnement (Gauss).
3.2. Soit par la méthode des déterminants (Cramer), lorsque cela est possible.
3.3. Soit par la méthode de l’inversion (en posant AX = Y), lorsque cela est possible.
N.B. : les systèmes d’équations non traités en TD constituent un travail personnel à effectuer par l’étudiant.
⎧ x + 3y − 2z = 0
( A) ⎪
⎨ 2x − 3y + z = 0
⎪⎩ 3x − 2y + 2z = 0
réponse : le système admet une solution unique
⎡x⎤ ⎡0⎤ qui est la solution nulle : ⎢y⎥ = ⎢0⎥ ⎢
z
⎥ ⎢
0
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎧ x + y + 2z = 0
( B) ⎪
⎨ x − y − z = 0
⎪⎩ − x + 3y + 4z = 0
réponse : le système admet une infinité de solutions
⎡x⎤ ⎡ 1⎤
de type : ⎢y⎥ =−
1
z ⎢ 3 ⎥ , ∀z
⎢ 2
z
⎥ ⎢
−2
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
SYSTÈMES HOMOGÈNES RÉGULIERS :
( )
− x+ 2y = 0
a { 2x− 3y = 0
SYSTÈMES HOMOGÈNES NON RÉGULIERS :
9
réponse : le système admet une solution unique
⎡x⎤ ⎡0⎤ qui est la solution nulle :
⎢ ⎥
=
⎣y⎦ ⎢
⎣0⎥ ⎦
( )
− x+ 2y = 0
b { 2x− 4y = 0
réponse
: le système admet une infinité de solutions
⎡x⎤ ⎡2⎤ de type :
⎢ ⎥
= y
⎢ ⎥
, ∀ y
⎣y⎦ ⎣1⎦