Fascicule de TD - UPMC

IV. Matrices d’ordre 2.
⎛ 1 1⎞
⎛−1 1⎞
1. On donne les matrices A = ⎜ et .
⎝−1 1
⎟ B = ⎜ ⎟
⎠
⎝ 1 1⎠
1.1. Calculer C = A + B .
1.2. Calculer la matrice − 2A .
1.3. Calculer D = AB et E = BA ; conclure.
1.4. Calculer le déterminant de A.
1.5. Calculer la matrice inverse A −1 de A.
1.6. Les matrices B, C, D et E sont elles inversibles ?
2. On considère la matrice : ( x)
⎛x1⎞ A = ⎜ x⎟.
⎝2⎠ 2.1. Calculer le déterminant de A.
2.2. Discuter l’existence de la matrice inverse A −1 de A en fonction des valeurs de x.
2.3. Calculer la matrice inverse A −1 de A.
⎛cosθ −sinθ⎞ 3. Quelle est la transformation géométrique réalisée par la matrice ⎜
θ θ
⎟ ?
⎝ sin cos ⎠
3.1. Vérifier-le en appliquant cette transformation au vecteur (1, 0).
3.2. Calculer le déterminant de la matrice.
3.3. Quelle est la matrice inverse ? Ecrire sans calcul la matrice correspondante.
3.4. Vérifier par le calcul matriciel que les deux matrices sont bien inverses l'une de l'autre.
⎛1 0⎞
4. Quelle est la transformation géométrique réalisée par la matrice ⎜
−
⎟
⎝0 1 ⎠
?
4.1. Vérifier-le en appliquant cette transformation à un vecteur quelconque.
4.2. Calculer le déterminant de la matrice.
4.3. Quelle est la matrice inverse ? Ecrire sans calcul la matrice correspondante.
4.4. Vérifier par le calcul matriciel que les deux matrices sont bien inverses l'une de l'autre.
V. Matrices d’ordre 3.
⎛1 1 1⎞
⎛−1 1 2⎞
1. On donne les matrices A = ⎜0 −1
1⎟
et B = ⎜ 0 1 0⎟.
⎜ ⎟
⎝1 0 1
⎜ ⎟
⎠
⎝−1 1 1⎠
1.1. Calculer C = A + B .
1.2. Calculer la matrice − 2A .
1.3. Calculer D = AB et E = BA ; conclure.
1.4. Calculer le déterminant de A.
1.5. Calculer la matrice inverse A −1 de A.
1.6. Les matrices B, C, D et E sont elles inversibles ?
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