Fascicule de TD - UPMC

TD 1 NOMBRES COMPLEXES - VECTEURS - MATRICES
I. Utilisation des nombres complexes.
1. On considère les deux nombres complexes : z1 = 1 + 2 i et z2 = − 1 + 2 i .
1.1. Calculer leur somme.
1.2. Calculer leur différence.
1.3. Calculer leur produit.
1.4. Représenter ces nombres complexes dans le plan (O, x, y).
2. On donne z = 1 + i .
2.1. Calculer le module et l’argument de z.
2.2. Calculer z 2 en utilisant les parties réelles et imaginaires.
2.3. Calculer z 2 en utilisant module et argument.
2.4. Représenter ces nombres complexes dans le plan (O, x, y).
3. Calculer module et argument de
2 + i
.
2 − i
4. Factoriser le polynôme suivant : P(x) = x 2 + 1 .
5. On considère le nombre complexe z = a + i b = (ρ,θ)
5.1. Exprimer la puissance n-ième de z
5.2. Exprimer la racine n-ième de z.
5.3. Calculer u tel que u 2 = − 4, en utilisant les parties réelles et imaginaires.
5.4. Calculer v tel que v 2 = i, en utilisant module et argument.
5.5. Calculer les racines cubiques de 1.
II. Utilisation de la trigonométrie.
1. Une couche géologique inclinée de 38° est explorée grâce à un forage vertical. On trouve une épaisseur de
45 m. Quelle est l’épaisseur réelle de la couche ?
h = 45 m
z
5
e
38°
x