Fascicule de TD - UPMC
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<strong>TD</strong> 9 Echantillonnage et estimation<br />
I. La glycémie chez l’homme est distribuée selon une loi normale, d’espérance µ = 1 g.L −1 et d’écart type σ = 0,2 g.L −1 .<br />
Quel est l’intervalle <strong>de</strong> variation, avec un risque <strong>de</strong> 5 % , <strong>de</strong> la moyenne <strong>de</strong>s glycémies sur un échantillon :<br />
1. <strong>de</strong> 100 personnes ?<br />
2. <strong>de</strong> 1000 personnes ?<br />
II. La longueur totale <strong>de</strong> 60 baleineaux <strong>de</strong> l’espèce Delphinapterus leucas a été mesurée à partir <strong>de</strong><br />
photographies aériennes dans le grand nord canadien.<br />
La moyenne et la variance estimées à partir <strong>de</strong> cet échantillon sont<br />
= σ 2 2<br />
x 199 cm et = 1252 cm .<br />
Déterminer une estimation par intervalle <strong>de</strong> confiance <strong>de</strong> l’espérance <strong>de</strong>s longueurs totales <strong>de</strong>s baleineaux<br />
aux seuils α = 5 % et α = 1 % .<br />
III. Dans le cadre d’une étu<strong>de</strong> sur la dynamique d’une population <strong>de</strong> lézards dans une vallée australienne, on<br />
dispose d’un échantillon <strong>de</strong> 15 individus prélevés au cours <strong>de</strong> la pério<strong>de</strong> estivale et sur lesquels on a mesuré<br />
la longueur totale. Les résultats obtenus sont : ∑ x = 276 mm et ∑ x 2 = 5493 cm 2 .<br />
Peut-on donner un intervalle <strong>de</strong> confiance pour l’estimation <strong>de</strong> l’espérance <strong>de</strong>s longueurs dans la population<br />
<strong>de</strong> lézards et, si oui, quelle est sa valeur :<br />
1. dans le cas <strong>de</strong> l’hypothèse d’une distribution normale <strong>de</strong> la variable aléatoire ?<br />
2. en l’absence <strong>de</strong> toute hypothèse ?<br />
IV. Dans une étu<strong>de</strong> sur les adaptations physiologiques <strong>de</strong>s crabes dans la zone <strong>de</strong> balancement <strong>de</strong>s marées, la<br />
température corporelle en <strong>de</strong>gré Celsius a été mesurée chez 25 crabes <strong>de</strong> l’espèce Carcinus maenas placés<br />
à l’air libre à une température <strong>de</strong> 24,3°C.<br />
Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau ci-<strong>de</strong>ssous :<br />
x i 23 23,5 24 24,5 25 25,5 26 26,5 27 27,5<br />
n i 2 2 3 4 3 4 3 1 2 1<br />
1. Déterminer les estimations <strong>de</strong> l’espérance, <strong>de</strong> la variance et <strong>de</strong> l’écart type <strong>de</strong> la température corporelle<br />
<strong>de</strong>s crabes.<br />
2. En supposant que la variable «température corporelle» suit une loi <strong>de</strong> distribution normale, donner un<br />
intervalle <strong>de</strong> confiance pour l’estimation <strong>de</strong> l’espérance <strong>de</strong>s températures dans la population <strong>de</strong> crabes<br />
aux seuils α = 5 % et α = 1 % .<br />
V. Une étu<strong>de</strong> sur la population laitière annuelle <strong>de</strong> 100 vaches <strong>de</strong> la race Jersey indique que la production<br />
moyenne est <strong>de</strong> 3800 litres avec un écart type <strong>de</strong> 300 litres.<br />
Quel risque d’erreur prend-on en estimant l’espérance <strong>de</strong> la production laitière <strong>de</strong>s vaches <strong>de</strong> la race Jersey<br />
par intervalle <strong>de</strong> confiance à 3800 ± 50 litres ?<br />
VI. On administre <strong>de</strong>s somnifères à <strong>de</strong>ux groupes <strong>de</strong> mala<strong>de</strong>s A et B respectivement <strong>de</strong> 50 et 100 individus.<br />
Les patients A ont dormi en moyenne 7,82 h alors que les patients B ont dormi en moyenne 6,75 h.<br />
L’écart type du groupe A est <strong>de</strong> 0,24 h alors que l’écart type du groupe B est <strong>de</strong> 0,30 h.<br />
Calculer l’intervalle <strong>de</strong> confiance <strong>de</strong> la différence <strong>de</strong>s espérances d’heures <strong>de</strong> sommeil obtenues avec les<br />
<strong>de</strong>ux somnifères aux seuils α = 5 % et α = 1 % .<br />
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