Fascicule de TD - UPMC

TD 5 Fonctions à plusieurs variables
I. Fonctions à plusieurs variables – dérivées partielles.
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On considère la fonction : F( x, y) = x + a y
1. Comment s’appellent les courbes représentatives des lignes de niveau de F ?
2. A quelle condition ces courbes sont-elles des cercles ?
2
3. Calculer les dérivées partielles de F par rapport à x et y.
4.
Le vecteur gradient de F est défini par (les deux notations pouvant être utilisées) : ( ) ( )
⎛∂∂⎞ grad F =∇ F =
F
⎜ ,
F
∂x ∂y
⎟
⎝ ⎠
Ecrire le vecteur gradient au point de coordonnées (x , y).
5. Tracer les courbes de niveau correspondant à F = 4 et F = 8 (faire un dessin à la règle en choisissant
comme échelle le centimètre).
6. Sur la courbe de niveau F = 4, tracer le gradient aux points d'abscisse 0, 2, 1, 2.
Que peut-on en conclure sur la relation entre courbe de niveau et direction du gradient ?
II. Différentielles totales.
1. On considère l’équation d’état sous la forme implicite :F( P,V,T ) = 0
et la différentielle correspondante : = ∂F ( ) + ∂F ∂F
( ) + ( )
Les coefficients thermodynamiques
:
∂ V ( ∂ ) P
∂ P ( ∂ ) V
∂ V ( )
T
dF dP dV dT
∂P ∂V ∂T
V,T P,T P,V
α= 1
V T
: coefficient de dilatation à pression constante
β= 1
P T
: coefficient d'augmentation de pression à volume
constant
χ = − 1
T V ∂ P
: coefficient de compressibilité
isotherme
peuvent se mettre sous la forme :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
∂F ∂F ∂F
α=− 1
V
∂T ∂F β=− 1
P
∂T ∂F χ = 1
V
∂P
∂F
∂V∂P∂V P,V P,V V,T
;
;
T
P,T V,T P,T
1.1. Vérifier la relation : α = P β χ T ..
1.2. Calculer les coefficients α , β , χ T dans les deux cas suivants :
1.2.a. L’équation d’état d’une mole de gaz parfait : PV = RT
1.2.b. L’équation d’état d’une mole de gaz de Van der Waals : ⎛P a ⎞
⎜ + ( V− b)
=
2 ⎟ RT
⎝ V ⎠
2. Les formes différentielles suivantes sont-elles des différentielles totales ?
Le cas échéant calculer la fonction f(x, y) dont la forme différentielle dérive.
2.1 ω ( x, y) = xy cos x dx+ xy cos y dy
2.2 ω ( x, y) = x dx+ 2 2
x + y
y
dy
2 2
x + y
2
2.3 ω ( x, y) = ( 2xy+ 1) dx+ x dy
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