Fascicule de TD - UPMC

L’équation différentielle décrivant l’évolution du processus peut se mettre sous la forme :
dC () t + k C() t = 0 , pour t0
dt V
Résoudre l'équation différentielle correspondante puis représenter les solutions obtenues en supposant
C(0) = C0 .
3.2. Marie fait les suppositions suivantes :
a ) L’apport nutritif est injecté continuellement à débit constant R à partir du temps t = 0.
b ) L’apport nutritif se répartit de manière homogène dans l’eau (de l’aquarium) dont le volume V est
supposé constant au cours du temps.
c ) L’apport nutritif est absorbé par les poissons au cours du temps avec un débit supposé égal au produit
de la concentration C(t) de N présente dans le compartiment, par une constante positive k .
d ) La durée de la répartition de l’apport nutritif dans le volume V est faible en comparaison de la constante
de temps caractéristique du processus d’absorption de N par les poissons.
+ R
V
Q(t) = V C(t)
C(t)
()
− kC t
L’équation différentielle décrivant l’évolution du processus peut se mettre sous la forme :
dC () t + k C() t = R , pour t 0
dt V V
Résoudre l'équation différentielle correspondante puis représenter les solutions obtenues en supposant
C(0) = C0 = 0 .
II. Equations différentielles du deuxième ordre.
1.
Résolution d’équations différentielles du second ordre de type : ax′′ + bx′ + cx = 0.
1.1.
2
Résoudre sur l’équation différentielle :
d x − dx − 2x = 0
2
dt dt
1.2.
2
Résoudre sur l’équation différentielle :
d x + dx + 5x = 0
2
dt dt
1.3.
2
Résoudre sur l’équation différentielle :
d x + 2 dx
+ x = 0
2
dt dt
2. Résolution d’équations différentielles du second ordre de type : ay′′ + by′ + cy = g() t .
L'équation différentielle du second ordre de type : a y′′ + b y′ + c y = g(
t)
avec g() t =αe λt , α∈ et λ∈, admet pour solution particulière la fonction : ϕ () t = t
Ce
λt
⎡
= 0 si λ n'est pas une solution de l'équation
caractéristique
⎢ = 1 si λ est une solution simple de l'équation caractéristique
⎢
⎣
= 2 si λ est une solution double de l'équation caractéristique
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