Fascicule de TD - UPMC

TD 4 Equations différentielles
I. Equations différentielles du premier ordre.
1.
Résolution d’équations différentielles du premier ordre de type : x′ + ax = b.
1.1. Résoudre sur l’équation différentielle : 3dx= 15x
+ 6
dt
1.2. Résoudre sur l’équation différentielle : − dx = 2x −3
dt
2. Population de bactéries (modèle de Malthus).
On modélise l'effectif d'une population de bactéries par la fonction continue N(t). Cette population connaît un
taux de croissance moyen dN
dt proportionnel à son effectif avec une constante de croissance c = 1,5 jour − 1 .
2.1. Ecrire l’équation différentielle à laquelle satisfait N(t).
2.2. Calculer N(t) en fonction du nombre N0 de bactéries à t = 0.
2.3. Représenter la solution sur un graphe.
2.4. Calculer l’accroissement de population au bout d’une semaine.
3. Application.
Deux étudiantes de LM100, Anne et Marie, gagnent chacune un magnifique aquarium avec de splendides
poissons tropicaux. Malheureusement, lors de la livraison les poissons ont souffert de sous alimentation. Un
apport nutritionnel spécifique (sous forme liquide) est nécessaire pour sauver les poissons.
Anne décide d’injecter en une seule fois l’apport nutritif dans l’aquarium.
Marie préfère injecter continuellement cet apport nutritif dans l’aquarium.
Anne et Marie comparent leur procédé respectif, et pour cela modélisent la cinétique de l’apport nutritionnel N :
3.1. Anne émet les hypothèses suivantes :
a ) L’apport nutritif est injecté en une seule fois à partir du temps t = 0.
b ) L’apport nutritif se répartit de manière homogène dans l’eau (de l’aquarium) dont le volume V est
supposé constant au cours du temps.
c ) L’apport nutritif est absorbé par les poissons au cours du temps avec un débit supposé égal au produit
de la concentration C(t) de N présente dans le compartiment, par une constante positive k .
d ) La durée de l'injection et celle de la répartition de l’apport nutritif dans le volume V sont faibles en
comparaison de la constante de temps caractéristique du processus d’absorption de N par les poissons.
Q(0)
V
Q(t) = V C(t)
C(t)
13
()
− kC t