Fascicule de TD - UPMC
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<strong>TD</strong> 3 Fonctions à une variable<br />
I. Variations et différentielles (exercices traités en cours) .<br />
On considère :<br />
a. un carré <strong>de</strong> côté a = 10 cm.<br />
b. un cercle <strong>de</strong> rayon a = 10 cm.<br />
Pour chacun <strong>de</strong> ces <strong>de</strong>ux cas :<br />
1. Déterminer la variation δ du périmètre et la variation δS <strong>de</strong> la surface S, lorsque a varie <strong>de</strong> δa.<br />
Calculer δ et δS, pour δa = 0,1 cm puis δa = 0,001 cm.<br />
2. Calculer les dérivées d<br />
et<br />
dS<br />
, et les différentielles d <strong>de</strong> (a) et dS <strong>de</strong> S(a), en fonction <strong>de</strong> a et da.<br />
da da<br />
3. Déterminer les erreurs relatives commises sur les calculs <strong>de</strong> δ et δS, si on utilise respectivement les<br />
différentielles d et dS au lieu <strong>de</strong>s variations exactes δ et δS, en fonction <strong>de</strong> a et δa.<br />
N.B : l'élément différentiel da s'i<strong>de</strong>ntifie alors avec la variation δa.<br />
Calculer ces erreurs pour δa = 0,1 cm puis δa = 0,001 cm.<br />
II. Etu<strong>de</strong> <strong>de</strong> fonctions.<br />
Faire une étu<strong>de</strong> complète <strong>de</strong> la fonction :<br />
f :<br />
+ →<br />
<br />
x <br />
a x<br />
b + x<br />
2 2<br />
III. Développements limités.<br />
où a et b sont <strong>de</strong>ux constantes réelles strictement positives.<br />
1. Utilisation <strong>de</strong>s développements limités pour le calcul numérique.<br />
1 ; 1 2 ;e<br />
− 2x<br />
; ln 1 3<br />
1−<br />
x<br />
1.1. Calculer au voisinage <strong>de</strong> x = 0 jusqu'à l'ordre 3, le développement limité <strong>de</strong> : + x ( + x)<br />
1.2. En déduire les valeurs numériques <strong>de</strong> :<br />
1 ; 15 ; e<br />
0,99<br />
1.3. Au voisinage <strong>de</strong> α = 0, déterminer les 3 premiers termes non nuls du développement limité <strong>de</strong> cosα<br />
puis <strong>de</strong> sinα et préciser l’ordre <strong>de</strong> ces développements.<br />
−0,01<br />
1.4. En déduire le développement limité <strong>de</strong> tanα à l’ordre 3 au voisinage <strong>de</strong> α = 0.<br />
2. Variation <strong>de</strong> la pesanteur avec l'altitu<strong>de</strong>.<br />
On rappelle que le poids d'un objet <strong>de</strong> masse m placée à une altitu<strong>de</strong> z est la force <strong>de</strong> pesanteur :<br />
z =<br />
+ z<br />
2<br />
mM<br />
P( ) G<br />
(R )<br />
où M est la masse <strong>de</strong> la terre et G la constante universelle <strong>de</strong> gravitation.<br />
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