Fascicule de TD - UPMC

TD 3 Fonctions à une variable
I. Variations et différentielles (exercices traités en cours) .
On considère :
a. un carré de côté a = 10 cm.
b. un cercle de rayon a = 10 cm.
Pour chacun de ces deux cas :
1. Déterminer la variation δ du périmètre et la variation δS de la surface S, lorsque a varie de δa.
Calculer δ et δS, pour δa = 0,1 cm puis δa = 0,001 cm.
2. Calculer les dérivées d
et
dS
, et les différentielles d de (a) et dS de S(a), en fonction de a et da.
da da
3. Déterminer les erreurs relatives commises sur les calculs de δ et δS, si on utilise respectivement les
différentielles d et dS au lieu des variations exactes δ et δS, en fonction de a et δa.
N.B : l'élément différentiel da s'identifie alors avec la variation δa.
Calculer ces erreurs pour δa = 0,1 cm puis δa = 0,001 cm.
II. Etude de fonctions.
Faire une étude complète de la fonction :
f :
+ →
x
a x
b + x
2 2
III. Développements limités.
où a et b sont deux constantes réelles strictement positives.
1. Utilisation des développements limités pour le calcul numérique.
1 ; 1 2 ;e
− 2x
; ln 1 3
1−
x
1.1. Calculer au voisinage de x = 0 jusqu'à l'ordre 3, le développement limité de : + x ( + x)
1.2. En déduire les valeurs numériques de :
1 ; 15 ; e
0,99
1.3. Au voisinage de α = 0, déterminer les 3 premiers termes non nuls du développement limité de cosα
puis de sinα et préciser l’ordre de ces développements.
−0,01
1.4. En déduire le développement limité de tanα à l’ordre 3 au voisinage de α = 0.
2. Variation de la pesanteur avec l'altitude.
On rappelle que le poids d'un objet de masse m placée à une altitude z est la force de pesanteur :
z =
+ z
2
mM
P( ) G
(R )
où M est la masse de la terre et G la constante universelle de gravitation.
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