Fascicule de TD - UPMC

MATHS100 Année Universitaire 2008-2009
LM100
Méthodes de calcul et statistiques
Travaux dirigés
1

SOMMAIRE
Page 5 ………...... TD 1 Nombres complexes - Vecteurs - Matrices
Page 5 ………...... I. Utilisation des nombres complexes
Page 5 ………...... II. Utilisation de la trigonométrie
Page 6 ………...... III. Utilisation des vecteurs
Page 7 ………...... IV. Matrices d’ordre 2
Page 8 V. Matrices d’ordre 3
Page 9 ………...... TD 2 Systèmes d’équations linéaires
Page 9 ………...... I. Motivations
Page 10 ………...... II. Résolution de systèmes d’équations linéaires
Page 11 ………...... TD 3 Fonctions à une variable
Page 11 ………...... I. Variations et différentielles
Page 11 ………...... II. Etude de fonctions
Page 11 ………...... III. Développements limités
Page 12 ………...... IV. Primitives et intégrales
Page 13 ………...... TD 4 Equations différentielles
Page 13 ………...... I. Equations différentielles du premier ordre
Page 14 ………...... II. Equations différentielles du deuxième ordre
Page 17 ………...... TD 5 Fonctions à plusieurs variables
Page 17 ………...... I. Fonctions à plusieurs variables – dérivés partielles
Page 17 ………...... II. Différentielles totales
Page 19 ………...... TD 6 Probabilités
Page 21 ………...... TD 7 Variables aléatoires et distributions discrètes
Page 23 ………...... TD 8 Loi normale
Page 25 ………...... TD 9 Echantillonnage et estimation
3

TD 1 NOMBRES COMPLEXES - VECTEURS - MATRICES
I. Utilisation des nombres complexes.
1. On considère les deux nombres complexes : z1 = 1 + 2 i et z2 = − 1 + 2 i .
1.1. Calculer leur somme.
1.2. Calculer leur différence.
1.3. Calculer leur produit.
1.4. Représenter ces nombres complexes dans le plan (O, x, y).
2. On donne z = 1 + i .
2.1. Calculer le module et l’argument de z.
2.2. Calculer z 2 en utilisant les parties réelles et imaginaires.
2.3. Calculer z 2 en utilisant module et argument.
2.4. Représenter ces nombres complexes dans le plan (O, x, y).
3. Calculer module et argument de
2 + i
.
2 − i
4. Factoriser le polynôme suivant : P(x) = x 2 + 1 .
5. On considère le nombre complexe z = a + i b = (ρ,θ)
5.1. Exprimer la puissance n-ième de z
5.2. Exprimer la racine n-ième de z.
5.3. Calculer u tel que u 2 = − 4, en utilisant les parties réelles et imaginaires.
5.4. Calculer v tel que v 2 = i, en utilisant module et argument.
5.5. Calculer les racines cubiques de 1.
II. Utilisation de la trigonométrie.
1. Une couche géologique inclinée de 38° est explorée grâce à un forage vertical. On trouve une épaisseur de
45 m. Quelle est l’épaisseur réelle de la couche ?
h = 45 m
z
5
e
38°
x

2. Deux étudiants, un paléontologue et un géomètre, trouvent près d’un village à 7 km de l’église, un squelette
que le paléontologue attribue à un Rhynchosaurus spenceri . Le géomètre relève la topographie des lieux :
église
C
E
34°
96°
café
A quelle distance du café se trouve le fossile?
III. Utilisation des vecteurs.
7 km
H
F
fossile
1. On considère le vecteur u = ( a,b ) du plan (O, x, y) et l’angle θ entre le vecteur u et l’axe (O x).
1.1. Montrer que : u = u ( cos θ,
sin θ)
.
1.2. Déterminer la valeur de l’angle θ dans le cas où : u = ( −1,1
) .
u = 1, − 3 .
1.3. Déterminer la valeur de l’angle θ dans le cas où : ( )
2. On observe sur une paroi schisteuse, une linéation (trace linéaire inscrite sur le plan de schistosite) décrite
par le vecteur u ⎡⎣Fig. 1⎤⎦, de longueur L, d’azimuth α (dans la direction Nord-Est) ⎡⎣Fig. 2⎤⎦,
plongeant vers le
x
E
L
bas avec un angle de degré δ ⎡⎣Fig. 3⎤⎦.
Exprimer les composantes du vecteur correspondant dans le repère (O, x, y, z) où x pointe vers l’est, y vers le
nord et z vers le haut.
Fig.1
i
k
O
zM
z
δ
L
j
α
M
uL
u
NE
y
N
6
Fig.2
j
O
y
α
u
i
x
Fig.3
k
O
z
δ
u
u L

IV. Matrices d’ordre 2.
⎛ 1 1⎞
⎛−1 1⎞
1. On donne les matrices A = ⎜ et .
⎝−1 1
⎟ B = ⎜ ⎟
⎠
⎝ 1 1⎠
1.1. Calculer C = A + B .
1.2. Calculer la matrice − 2A .
1.3. Calculer D = AB et E = BA ; conclure.
1.4. Calculer le déterminant de A.
1.5. Calculer la matrice inverse A −1 de A.
1.6. Les matrices B, C, D et E sont elles inversibles ?
2. On considère la matrice : ( x)
⎛x1⎞ A = ⎜ x⎟.
⎝2⎠ 2.1. Calculer le déterminant de A.
2.2. Discuter l’existence de la matrice inverse A −1 de A en fonction des valeurs de x.
2.3. Calculer la matrice inverse A −1 de A.
⎛cosθ −sinθ⎞ 3. Quelle est la transformation géométrique réalisée par la matrice ⎜
θ θ
⎟ ?
⎝ sin cos ⎠
3.1. Vérifier-le en appliquant cette transformation au vecteur (1, 0).
3.2. Calculer le déterminant de la matrice.
3.3. Quelle est la matrice inverse ? Ecrire sans calcul la matrice correspondante.
3.4. Vérifier par le calcul matriciel que les deux matrices sont bien inverses l'une de l'autre.
⎛1 0⎞
4. Quelle est la transformation géométrique réalisée par la matrice ⎜
−
⎟
⎝0 1 ⎠
?
4.1. Vérifier-le en appliquant cette transformation à un vecteur quelconque.
4.2. Calculer le déterminant de la matrice.
4.3. Quelle est la matrice inverse ? Ecrire sans calcul la matrice correspondante.
4.4. Vérifier par le calcul matriciel que les deux matrices sont bien inverses l'une de l'autre.
V. Matrices d’ordre 3.
⎛1 1 1⎞
⎛−1 1 2⎞
1. On donne les matrices A = ⎜0 −1
1⎟
et B = ⎜ 0 1 0⎟.
⎜ ⎟
⎝1 0 1
⎜ ⎟
⎠
⎝−1 1 1⎠
1.1. Calculer C = A + B .
1.2. Calculer la matrice − 2A .
1.3. Calculer D = AB et E = BA ; conclure.
1.4. Calculer le déterminant de A.
1.5. Calculer la matrice inverse A −1 de A.
1.6. Les matrices B, C, D et E sont elles inversibles ?
7

2. Calculer les déterminants des matrices suivantes en choisissant la méthode la plus adaptée à chacune.
⎛2 1 1⎞
⎛2 1 1⎞
⎛0 1 0⎞
⎛2 1 4⎞
⎛0 1 1⎞
A = ⎜3 −1
2⎟
; B = ⎜3 −1
2⎟
; C = ⎜0 0 1⎟
; D = ⎜3 −1
1⎟
; E = ⎜0 1 0⎟
⎜ ⎟
⎝1 1 3
⎜ ⎟
⎠ ⎝1 2 1
⎜ ⎟
⎠ ⎝1 0 0
⎜ ⎟
⎠ ⎝1 1 3
⎜ ⎟
⎠ ⎝1 1 0⎠
⎛ 2/2 0 2/2⎞
3. On considère l'opérateur dont la matrice s'écrit ⎜ 0 1 0 ⎟ dans le repère (O, x, y, z).
⎜ ⎟
−
⎟
⎝ 2/2 0 2/2⎠
3.1. Appliquer cet opérateur aux vecteurs unité du repère {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
3.2. Que peut-on en conclure sur la nature de l'opérateur ? Préciser ses caractéristiques.
3.3. Quel est l'opérateur inverse ? Ecrire sans calcul la matrice correspondante.
3.4. Vérifier par le calcul matriciel que les deux opérateurs sont bien inverses l'un de l'autre.
8

I. Motivation.
TD 2 Systèmes d'équations linéaires
Déterminer l’intersection des trois plans définis par :
(P1) : x + 2 y - z = 0 ; (P2) : x + 3 y + 3 z = 1 ; (P3) : 2 x + y + z = 1 .
II. Résolution de systèmes d’équations linéaires.
Pour chacun des systèmes d’équations linéaires suivants :
1. Vérifier si le système est régulier ou non régulier.
2. Etudier l’existence ou non de solutions.
3. Calculer les solutions :
3.1. Soit par la méthode de l’échelonnement (Gauss).
3.2. Soit par la méthode des déterminants (Cramer), lorsque cela est possible.
3.3. Soit par la méthode de l’inversion (en posant AX = Y), lorsque cela est possible.
N.B. : les systèmes d’équations non traités en TD constituent un travail personnel à effectuer par l’étudiant.
⎧ x + 3y − 2z = 0
( A) ⎪
⎨ 2x − 3y + z = 0
⎪⎩ 3x − 2y + 2z = 0
réponse : le système admet une solution unique
⎡x⎤ ⎡0⎤ qui est la solution nulle : ⎢y⎥ = ⎢0⎥ ⎢
z
⎥ ⎢
0
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎧ x + y + 2z = 0
( B) ⎪
⎨ x − y − z = 0
⎪⎩ − x + 3y + 4z = 0
réponse : le système admet une infinité de solutions
⎡x⎤ ⎡ 1⎤
de type : ⎢y⎥ =−
1
z ⎢ 3 ⎥ , ∀z
⎢ 2
z
⎥ ⎢
−2
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
SYSTÈMES HOMOGÈNES RÉGULIERS :
( )
− x+ 2y = 0
a { 2x− 3y = 0
SYSTÈMES HOMOGÈNES NON RÉGULIERS :
9
réponse : le système admet une solution unique
⎡x⎤ ⎡0⎤ qui est la solution nulle :
⎢ ⎥
=
⎣y⎦ ⎢
⎣0⎥ ⎦
( )
− x+ 2y = 0
b { 2x− 4y = 0
réponse
: le système admet une infinité de solutions
⎡x⎤ ⎡2⎤ de type :
⎢ ⎥
= y
⎢ ⎥
, ∀ y
⎣y⎦ ⎣1⎦

⎧ x + 2y − z = 0
( C) ⎪
⎨ x + 3y + 3z = 1
⎪ ⎩ 2x + y + z = 1
réponse : le système admet une solution unique
⎡x⎤ ⎡ 6⎤
qui est la solution non nulle : ⎢y⎥ =
1 ⎢−1⎥ ⎢ 15
z
⎥ ⎢
4
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎧ x + y − z = 2
( )
⎪
D ⎨ 2x + y + z = 1
⎪ ⎩ 3x + y + 3z = 1
SYSTÈMES NON HOMOGÈNES RÉGULIERS :
( )
− x+ 2y = 3
c { 2x− 3y = 1
réponse : le système admet une solution unique
⎡x⎤ ⎡11⎤ qui est la solution non nulle :
⎢ ⎥
=
⎣y⎦ ⎢
⎣ 7⎥
⎦
SYSTÈMES NON HOMOGÈNES NON RÉGULIERS (ÉQUATIONS LINÉAIRES INDÉPENDANTES) :
réponse : le système n'admet pas de solution
⎧ x + y + z = 1
( E) ⎪
⎨ x − y + 2z = 2
⎪⎩ 3x − y + 5z = 5
( )
− x+ 2y = 3
d { 2x− 4y = 1
réponse : le système n'admet pas de solution
SYSTÈMES NON HOMOGÈNES NON RÉGULIERS (ÉQUATIONS LINÉAIRES DÉPENDANTES) :
réponse : le système admet une infinité de solutions
⎡x⎤ ⎡−3⎤ ⎡ 3⎤
de type : ⎢y⎥ =
1
z ⎢ 1⎥+ 1 ⎢−1 ⎥ , ∀ z
⎢ 2 2
z
⎥ ⎢
2
⎥ ⎢
0
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
10
( )
− x+ 2y = 3
e { 2x− 4y = −6
réponse
: le système admet une infinité de solutions
⎡x⎤ ⎡2⎤ ⎡−3⎤ de type :
⎢ ⎥
= y
⎢ ⎥
+
⎢ ⎥
, ∀ y
⎣y⎦ ⎣1⎦ ⎣ 0⎦

TD 3 Fonctions à une variable
I. Variations et différentielles (exercices traités en cours) .
On considère :
a. un carré de côté a = 10 cm.
b. un cercle de rayon a = 10 cm.
Pour chacun de ces deux cas :
1. Déterminer la variation δ du périmètre et la variation δS de la surface S, lorsque a varie de δa.
Calculer δ et δS, pour δa = 0,1 cm puis δa = 0,001 cm.
2. Calculer les dérivées d
et
dS
, et les différentielles d de (a) et dS de S(a), en fonction de a et da.
da da
3. Déterminer les erreurs relatives commises sur les calculs de δ et δS, si on utilise respectivement les
différentielles d et dS au lieu des variations exactes δ et δS, en fonction de a et δa.
N.B : l'élément différentiel da s'identifie alors avec la variation δa.
Calculer ces erreurs pour δa = 0,1 cm puis δa = 0,001 cm.
II. Etude de fonctions.
Faire une étude complète de la fonction :
f :
+ →
x
a x
b + x
2 2
III. Développements limités.
où a et b sont deux constantes réelles strictement positives.
1. Utilisation des développements limités pour le calcul numérique.
1 ; 1 2 ;e
− 2x
; ln 1 3
1−
x
1.1. Calculer au voisinage de x = 0 jusqu'à l'ordre 3, le développement limité de : + x ( + x)
1.2. En déduire les valeurs numériques de :
1 ; 15 ; e
0,99
1.3. Au voisinage de α = 0, déterminer les 3 premiers termes non nuls du développement limité de cosα
puis de sinα et préciser l’ordre de ces développements.
−0,01
1.4. En déduire le développement limité de tanα à l’ordre 3 au voisinage de α = 0.
2. Variation de la pesanteur avec l'altitude.
On rappelle que le poids d'un objet de masse m placée à une altitude z est la force de pesanteur :
z =
+ z
2
mM
P( ) G
(R )
où M est la masse de la terre et G la constante universelle de gravitation.
11

2.1 Calculer le développement limité de P(z) dans le cas où z

TD 4 Equations différentielles
I. Equations différentielles du premier ordre.
1.
Résolution d’équations différentielles du premier ordre de type : x′ + ax = b.
1.1. Résoudre sur l’équation différentielle : 3dx= 15x
+ 6
dt
1.2. Résoudre sur l’équation différentielle : − dx = 2x −3
dt
2. Population de bactéries (modèle de Malthus).
On modélise l'effectif d'une population de bactéries par la fonction continue N(t). Cette population connaît un
taux de croissance moyen dN
dt proportionnel à son effectif avec une constante de croissance c = 1,5 jour − 1 .
2.1. Ecrire l’équation différentielle à laquelle satisfait N(t).
2.2. Calculer N(t) en fonction du nombre N0 de bactéries à t = 0.
2.3. Représenter la solution sur un graphe.
2.4. Calculer l’accroissement de population au bout d’une semaine.
3. Application.
Deux étudiantes de LM100, Anne et Marie, gagnent chacune un magnifique aquarium avec de splendides
poissons tropicaux. Malheureusement, lors de la livraison les poissons ont souffert de sous alimentation. Un
apport nutritionnel spécifique (sous forme liquide) est nécessaire pour sauver les poissons.
Anne décide d’injecter en une seule fois l’apport nutritif dans l’aquarium.
Marie préfère injecter continuellement cet apport nutritif dans l’aquarium.
Anne et Marie comparent leur procédé respectif, et pour cela modélisent la cinétique de l’apport nutritionnel N :
3.1. Anne émet les hypothèses suivantes :
a ) L’apport nutritif est injecté en une seule fois à partir du temps t = 0.
b ) L’apport nutritif se répartit de manière homogène dans l’eau (de l’aquarium) dont le volume V est
supposé constant au cours du temps.
c ) L’apport nutritif est absorbé par les poissons au cours du temps avec un débit supposé égal au produit
de la concentration C(t) de N présente dans le compartiment, par une constante positive k .
d ) La durée de l'injection et celle de la répartition de l’apport nutritif dans le volume V sont faibles en
comparaison de la constante de temps caractéristique du processus d’absorption de N par les poissons.
Q(0)
V
Q(t) = V C(t)
C(t)
13
()
− kC t

L’équation différentielle décrivant l’évolution du processus peut se mettre sous la forme :
dC () t + k C() t = 0 , pour t0
dt V
Résoudre l'équation différentielle correspondante puis représenter les solutions obtenues en supposant
C(0) = C0 .
3.2. Marie fait les suppositions suivantes :
a ) L’apport nutritif est injecté continuellement à débit constant R à partir du temps t = 0.
b ) L’apport nutritif se répartit de manière homogène dans l’eau (de l’aquarium) dont le volume V est
supposé constant au cours du temps.
c ) L’apport nutritif est absorbé par les poissons au cours du temps avec un débit supposé égal au produit
de la concentration C(t) de N présente dans le compartiment, par une constante positive k .
d ) La durée de la répartition de l’apport nutritif dans le volume V est faible en comparaison de la constante
de temps caractéristique du processus d’absorption de N par les poissons.
+ R
V
Q(t) = V C(t)
C(t)
()
− kC t
L’équation différentielle décrivant l’évolution du processus peut se mettre sous la forme :
dC () t + k C() t = R , pour t 0
dt V V
Résoudre l'équation différentielle correspondante puis représenter les solutions obtenues en supposant
C(0) = C0 = 0 .
II. Equations différentielles du deuxième ordre.
1.
Résolution d’équations différentielles du second ordre de type : ax′′ + bx′ + cx = 0.
1.1.
2
Résoudre sur l’équation différentielle :
d x − dx − 2x = 0
2
dt dt
1.2.
2
Résoudre sur l’équation différentielle :
d x + dx + 5x = 0
2
dt dt
1.3.
2
Résoudre sur l’équation différentielle :
d x + 2 dx
+ x = 0
2
dt dt
2. Résolution d’équations différentielles du second ordre de type : ay′′ + by′ + cy = g() t .
L'équation différentielle du second ordre de type : a y′′ + b y′ + c y = g(
t)
avec g() t =αe λt , α∈ et λ∈, admet pour solution particulière la fonction : ϕ () t = t
Ce
λt
⎡
= 0 si λ n'est pas une solution de l'équation
caractéristique
⎢ = 1 si λ est une solution simple de l'équation caractéristique
⎢
⎣
= 2 si λ est une solution double de l'équation caractéristique
14

2.1. Oscillateur harmonique.
L’oscillateur harmonique amorti par frottement fluide est décrit par :
2
mdx+ f dx+
kx = 0
2
dt dt
et l’oscillateur harmonique amorti par frottement fluide, auquel est appliqué une force extérieure de la
forme : F = F0 e λt est décrit par :
ω k f
∈
0 m m 0
On pose : = et γ = ; ( ω ; γ)
2
mdx+ f dx+ kx = F e
λt
(E)
2 dt 0
dt
2
Résoudre sur R l’équation différentielle (E) dans le cas où λ n’est pas solution de l’équation caractéristique.
2.2. Circuit RLC (résistance – self – condensateur en série).
Le circuit RLC (résistance – self – condensateur en série) est décrit par :
2
dq dq
L + R + 1 q = 0
2
dt dt C
et le circuit RLC (résistance – self – condensateur en série), auquel est appliqué une force
électromotrice de la forme : V = V0 e λt est décrit par :
2
dq dq
L + R + 1 q= V e
λt
(E)
2 dt C 0
dt
2
ω 1/ C 1 R
∈
0 L LC L 0
On pose : = = et γ = ; ( ω ; γ)
Résoudre sur R l’équation différentielle (E) dans le cas où λ n’est pas solution de l’équation caractéristique.
15

TD 5 Fonctions à plusieurs variables
I. Fonctions à plusieurs variables – dérivées partielles.
2 2
On considère la fonction : F( x, y) = x + a y
1. Comment s’appellent les courbes représentatives des lignes de niveau de F ?
2. A quelle condition ces courbes sont-elles des cercles ?
2
3. Calculer les dérivées partielles de F par rapport à x et y.
4.
Le vecteur gradient de F est défini par (les deux notations pouvant être utilisées) : ( ) ( )
⎛∂∂⎞ grad F =∇ F =
F
⎜ ,
F
∂x ∂y
⎟
⎝ ⎠
Ecrire le vecteur gradient au point de coordonnées (x , y).
5. Tracer les courbes de niveau correspondant à F = 4 et F = 8 (faire un dessin à la règle en choisissant
comme échelle le centimètre).
6. Sur la courbe de niveau F = 4, tracer le gradient aux points d'abscisse 0, 2, 1, 2.
Que peut-on en conclure sur la relation entre courbe de niveau et direction du gradient ?
II. Différentielles totales.
1. On considère l’équation d’état sous la forme implicite :F( P,V,T ) = 0
et la différentielle correspondante : = ∂F ( ) + ∂F ∂F
( ) + ( )
Les coefficients thermodynamiques
:
∂ V ( ∂ ) P
∂ P ( ∂ ) V
∂ V ( )
T
dF dP dV dT
∂P ∂V ∂T
V,T P,T P,V
α= 1
V T
: coefficient de dilatation à pression constante
β= 1
P T
: coefficient d'augmentation de pression à volume
constant
χ = − 1
T V ∂ P
: coefficient de compressibilité
isotherme
peuvent se mettre sous la forme :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
∂F ∂F ∂F
α=− 1
V
∂T ∂F β=− 1
P
∂T ∂F χ = 1
V
∂P
∂F
∂V∂P∂V P,V P,V V,T
;
;
T
P,T V,T P,T
1.1. Vérifier la relation : α = P β χ T ..
1.2. Calculer les coefficients α , β , χ T dans les deux cas suivants :
1.2.a. L’équation d’état d’une mole de gaz parfait : PV = RT
1.2.b. L’équation d’état d’une mole de gaz de Van der Waals : ⎛P a ⎞
⎜ + ( V− b)
=
2 ⎟ RT
⎝ V ⎠
2. Les formes différentielles suivantes sont-elles des différentielles totales ?
Le cas échéant calculer la fonction f(x, y) dont la forme différentielle dérive.
2.1 ω ( x, y) = xy cos x dx+ xy cos y dy
2.2 ω ( x, y) = x dx+ 2 2
x + y
y
dy
2 2
x + y
2
2.3 ω ( x, y) = ( 2xy+ 1) dx+ x dy
17

I. Soit un jeu de 52 cartes. On tire 1 carte.
1. Quelle est la probabilité de tirer 1 cœur ?
2. Quelle est la probabilité de tirer 1 figure ?
TD 6 Probabilités
3. Quelle est la probabilité de tirer 1 cœur ou 1 figure ?
4. Quelle est la probabilité de tirer 1 figure et 1 neuf ?
II. Sur 100 personnes : 40 personnes ont les yeux bleus, 45 personnes ont les cheveux blonds, 25 personnes
ont à la fois les yeux bleus et les cheveux blonds.
Quelle est la probabilité qu’un individu pris au hasard parmi les 100 personnes ait les yeux bleus ou les
cheveux blonds ?
III. Soient les événements A et B tels que : P(A U B) = 0,85 P(A) = 0,7 P(B) = 0,5
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
IV. La probabilité pour qu’un individu aux yeux bleus soit gaucher est de 1/7.
La probabilité pour qu’un individu gaucher ait les yeux bleus est de 1/3.
La probabilité pour qu’un individu n’ait pas des yeux bleus et ne soit pas gaucher est de 4/5.
Quelle est la probabilité pour qu’un individu pris au hasard ait des yeux bleus et soit gaucher ?
V. Dans une population 10 % des sujets sont atteints de la maladie M.
90 % des sujets atteints de la maladie M portent le signe S.
40 % des sujets porteurs du signe S sont atteints de la maladie M.
Quelle est la proportion parmi les sujets non atteints de la maladie M, qui ne portent pas le signe S ?
VI. De l’art d’être un bon étudiant (examen mai 2007 exercice V.I.).
Un étudiant a une attitude un peu désinvolte face à ses cours. Il n’étudie que pour 1/3 de ses examens, en les
choisissant au hasard. Par le passé, il a réussi 3 fois sur 4 les examens pour lesquels il avait étudié, tandis
qu’il n’a réussi qu’un examen sur 4 lorsqu’il n’étudiait pas.
Cet étudiant a réussi son examen de mathématique. Quelle est la probabilité qu’il ait étudié pour cet
examen ?
VII. La maladie du SIDA (examen juin 2007 exercice IV.2.).
Chaque don du sang est soumis à un test du SIDA. On suppose que ce test a une efficacité de 99%
(= probabilité que le test soit positif pour une personne atteinte du SIDA), et une probabilité de fausse alarme
de 5% (= probabilité que le test soit positif pour une personne non atteinte). Enfin on suppose que la
probabilité d’être atteint du SIDA est 1/10 000.
1. Quelle est la probabilité pour qu’une personne obtenant un test positif soit atteinte du SIDA ?
2. Peut-on en conclure que ce test est réellement efficace, donc utile ?
19

VIII. Où il ne fait pas bon d’être très malade (examen juin 2007 exercice IV.1.).
D’après les statistiques concernant une maladie incurable, on sait que sur 100 malades :
- 70 passent passent le cap de la 1 ére année (événement A)
- 56 passent le cap de la 2 éme année (événement B)
- 50 passent le cap de la 3 ème année (événement C)
1. Représenter graphiquement les événements A, B et C.
2. Rappeler l’expression de la probabilité conditionnelle P(B/A).
3. Calculer la probabilité, pour un malade ayant passé le cap de la 1ère année, de passer le cap de la
2ème année.
4. Calculer la probabilité, pour un malade ayant passé le cap de la 2éme année, de passer le cap de la
3ème année.
20

TD 7 Variables aléatoires et distributions discrètes
I. A chaque naissance, la probabilité d’avoir un garçon est P = 0,53.
On s’intéresse aux familles de 4 enfants.
1. Quelle est l’espérance du nombre de garçons ?
2. Quelle est la probabilité pour que les 4 enfants soient de même sexe ?
3. Chaque chambre d’enfants contient au plus 2 enfants si ils sont de même sexe.
Quelle est la probabilité qu’il y ait 3 chambres d’enfants ?
4. Un immeuble de 20 appartements est entièrement occupé par des familles de 4 enfants.
Quelle est l’espérance du nombre de garçons dans l’immeuble ?
II. Dans un jeu de pile ou face :
Combien de fois faut-il lancer la pièce pour que la probabilité d’obtenir uniquement des « côté face » soit
inférieure à 1 % ?
III. Un tricheur a dans sa poche 2 pièces de monnaies dont l’une est normale et l’autre pipée (le «côté face» sort
2 fois sur 3). Il prend l’une des deux pièces et obtient 4 «côté face» en 6 coups.
Quelle est la probabilité qu’il ait pris la pièce pipée ?
IV. Lors d’une pêche en mer, la probabilité de ramener 1 requin dans le chalut est de 1 %.
En admettant qu’il soit impossible de prendre simultanément plusieurs requins dans le chalut, quelle est la
probabilité de prendre r requins lorsque le nombre de chalutages n est égal à 100 ?
Calculer les premières probabilités.
V. Chaque année en France, en moyenne par jour 2 enfants naissent atteints de mucoviscidose.
Si il n’y a pas d’effet saisonnier dans la distribution des naissances, quelle est la loi du nombre de naissances
journalières d’enfants malades ?
VI. La probabilité qu’un individu soit atteint de la maladie A vaut 0,01 et de la maladie B vaut 0,05.
Les 2 affections A et B sont indépendantes.
1. Quelle est l’espérance du nombre d’individus atteints de l’une ou l’autre maladie, dans un échantillon de
10 000 personnes ?
2. Quelle est la probabilité que 2 individus exactement soient atteints de l’une ou l’autre maladie, dans un
échantillon de 100 personnes ?
VII. 20 % d’individus d’une population ont les yeux bleus.
Quelle est la probabilité pour que, sur 10 personnes tirées au hasard, au moins 3 d’entre elles aient les yeux
bleus ?
21

I. Sachant que U = N (µ = 0 , σ = 1), calculer :
1. P (U > 1,96) ; P (U < − 1,96) ; P (U > 2,575) .
TD 8 Loi normale
2. P (− 1,21 < U < + 1,53) ; P (⎪U⎪ < 1,96) ; P (⎪U⎪ < 2,575) .
3. u tel que P (U < u) = 0,10 ; P (⎪U⎪ < u) = 0,8 .
II. Sachant que X suit une loi normale, U = N (µ = 5 , σ = 2), calculer :
1. P (X > 4) ; P (X < 7) .
2. P (4 < X < 7).
III. Le poids d’une personne adulte suit une loi normale U = N (µ = 70 , σ = 7) en kg.
Quelle est probabilité qu’un groupe de 20 personnes montant dans un ascenseur dépasse la limite de
sécurité de cet ascenseur qui est de 1500 kg ?
IV. En supposant que la distribution des revenus de la population d’un pays suive une loi normale, avec une
espérance 15 unités monétaires, calculer son écart type sachant que 10 % de la population perçoit plus de 20
unités monétaires.
V. Pour des candidats à une section d’apprentissage, la distribution des notes dans un test est normale avec une
espérance égale à 32,3 et un écart type égal à 8,5.
On décide que 10 % des sujets seront orientés ailleurs parce que leur niveau est trop haut,
et que 30 % des sujets seront orientés ailleurs parce que leur niveau est trop bas.
Entre quelles limites la note d’un candidat devra-t-elle se placer pour qu’il soit admis dans la section
d’apprentissage ?
VI. Dans une population de veaux, la masse d’un animal pris au hasard est une variable aléatoire X qui suit une
loi normale d’espérance 500 kg et d’écart type 40 kg.
1. Si on prélève un échantillon de 80 veaux de cette population, quelles seraient les espérances du nombre
de veaux :
1.1. pesant plus de 560 kg ?
1.2. pesant moins de 480 kg ?
1.3. pesant entre 450 et 550 kg ?
2. On sélectionne pour la reproduction les 15 % supérieurs en poids de la population.
A partir de quelle masse un animal sera sélectionné ?
23

Table de la loi normale centrée-réduite
La table indique, pour u ≥ 0 , la valeur F( u) de la fonction de répartition
u
de la loi normale centrée réduite définie par : F( u) = ∫−∞
Pour u < 0,F( u ) = 1−F( −u)
.
1
2π
2
− u
e 2 du.
La table retourne la valeur de F( u) pour la valeur de x lue comme la somme
des valeurs figurant en tête de la ligne et de la colonne correspondantes.
Exemple : u = 0,83 = 0,8 + 0,03 → F( u)
= 0,7967 .
u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
3,1 0,9 3 03 0,9 3 06 0,9 3 10 0,9 3 13 0,9 3 16 0,9 3 18 0,9 3 21 0,9 3 24 0,9 3 26 0,9 3 29
3,2 0,9 3 31 0,9 3 34 0,9 3 36 0,9 3 38 0,9 3 40 0,9 3 42 0,9 3 44 0,9 3 46 0,9 3 48 0,9 3 50
3,3 0,9 3 52 0,9 3 53 0,9 3 55 0,9 3 57 0,9 3 58 0,9 3 60 0,9 3 61 0,9 3 62 0,9 3 64 0,9 3 65
3,4 0,9 3 66 0,9 3 68 0,9 3 69 0,9 3 70 0,9 3 71 0,9 3 72 0,9 3 73 0,9 3 74 0,9 3 75 0,9 3 76
3,5 0,9 3 77 0,9 3 78 0,9 3 78 0,9 3 79 0,9 3 80 0,9 3 81 0,9 3 81 0,9 3 82 0,9 3 83 0,9 3 83
3,6 0,9 3 84 0,9 3 85 0,9 3 85 0,9 3 86 0,9 3 86 0,9 3 87 0,9 3 87 0,9 3 88 0,9 3 88 0,9 3 89
3,7 0,9 3 89 0,9 3 90 0,9 4 00 0,9 4 04 0,9 4 08 0,9 4 12 0,9 4 15 0,9 4 18 0,9 4 22 0,9 4 25
3,8 0,9 4 28 0,9 4 31 0,9 4 33 0,9 4 36 0,9 4 38 0,9 4 41 0,9 4 43 0,9 4 46 0,9 4 48 0,9 4 50
3,9 0,9 4 52 0,9 4 54 0,9 4 56 0,9 4 58 0,9 4 59 0,9 4 61 0,9 4 63 0,9 4 64 0,9 4 66 0,9 4 67
N.B. : La notation 0,9 3 03, par exemple, équivaut à 0,99903.
24
u

TD 9 Echantillonnage et estimation
I. La glycémie chez l’homme est distribuée selon une loi normale, d’espérance µ = 1 g.L −1 et d’écart type σ = 0,2 g.L −1 .
Quel est l’intervalle de variation, avec un risque de 5 % , de la moyenne des glycémies sur un échantillon :
1. de 100 personnes ?
2. de 1000 personnes ?
II. La longueur totale de 60 baleineaux de l’espèce Delphinapterus leucas a été mesurée à partir de
photographies aériennes dans le grand nord canadien.
La moyenne et la variance estimées à partir de cet échantillon sont
= σ 2 2
x 199 cm et = 1252 cm .
Déterminer une estimation par intervalle de confiance de l’espérance des longueurs totales des baleineaux
aux seuils α = 5 % et α = 1 % .
III. Dans le cadre d’une étude sur la dynamique d’une population de lézards dans une vallée australienne, on
dispose d’un échantillon de 15 individus prélevés au cours de la période estivale et sur lesquels on a mesuré
la longueur totale. Les résultats obtenus sont : ∑ x = 276 mm et ∑ x 2 = 5493 cm 2 .
Peut-on donner un intervalle de confiance pour l’estimation de l’espérance des longueurs dans la population
de lézards et, si oui, quelle est sa valeur :
1. dans le cas de l’hypothèse d’une distribution normale de la variable aléatoire ?
2. en l’absence de toute hypothèse ?
IV. Dans une étude sur les adaptations physiologiques des crabes dans la zone de balancement des marées, la
température corporelle en degré Celsius a été mesurée chez 25 crabes de l’espèce Carcinus maenas placés
à l’air libre à une température de 24,3°C.
Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau ci-dessous :
x i 23 23,5 24 24,5 25 25,5 26 26,5 27 27,5
n i 2 2 3 4 3 4 3 1 2 1
1. Déterminer les estimations de l’espérance, de la variance et de l’écart type de la température corporelle
des crabes.
2. En supposant que la variable «température corporelle» suit une loi de distribution normale, donner un
intervalle de confiance pour l’estimation de l’espérance des températures dans la population de crabes
aux seuils α = 5 % et α = 1 % .
V. Une étude sur la population laitière annuelle de 100 vaches de la race Jersey indique que la production
moyenne est de 3800 litres avec un écart type de 300 litres.
Quel risque d’erreur prend-on en estimant l’espérance de la production laitière des vaches de la race Jersey
par intervalle de confiance à 3800 ± 50 litres ?
VI. On administre des somnifères à deux groupes de malades A et B respectivement de 50 et 100 individus.
Les patients A ont dormi en moyenne 7,82 h alors que les patients B ont dormi en moyenne 6,75 h.
L’écart type du groupe A est de 0,24 h alors que l’écart type du groupe B est de 0,30 h.
Calculer l’intervalle de confiance de la différence des espérances d’heures de sommeil obtenues avec les
deux somnifères aux seuils α = 5 % et α = 1 % .
25