CHIMIE

© Hachette Livre – H Prépa / Chimie, 1 re année, PCSI –La photocopie non autorisée est un délit
COURS
274
0,5
0,1
0,2
0,1
9
Modèle quantique de l’atome
Étudier la densité radiale de probabilité de l’orbitale
1s dont l’expression est :
Y 1,0,0 =1s= 1
a 0
On a :
2 2
Dr (r)= R1, 0 . r =
1
a0 3
. 4e
Dérivons la fonction Dr(r) pour étudier ses variations :
–2r
a 2
0 .r
dDr (r) 1
=
dr a0 0,318
3/2 r
–
. 2e a0. 2
. 8 r
2 r
–
e a r
0 . 1–
a0 a0 1
4π =R 1, 0 .
APPLICATION 1
Densité de probabilité
1
4 π
.4e –2r
a 0 .r 2
a) 3 2
a0 . Y
b)
La dérivée s’annule pour r = 0, r = a 0 et pour r →∞.
Elle est positive pour r a 0 et négative pour
r a 0 . Les variations de D r(r) sont représentées
sur le document 23.
L’existence d’un maximum permet de retrouver l’idée
de couche électronique, mais cette idée est trompeuse :
entre 0,9 a 0 et 1,1 a 0 , la probabilité de présence de
l’électron n’est que de 10,8 % (cf. ex. 25). Néanmoins,
on appelle conventionnellement rayon de l’orbitale 1s
la valeur de r qui rend D r(r) maximale : le rayon de
l’orbitale 1s est égal au rayon de Bohr a 0 (cf. § 6.4.).
4π . r 1 2 . Y 2 . a0
0 0,5 1 1,5 r/a0
0 1 2 3 r/a0
Doc. 23 Comparaison des variations de la densité de probabilité D(r) (a) et de la densité radiale de probabilité
D r(r) (b) pour l’orbitale 1s.
a 0 . D r (r) 1s
0,54
Le document 24 présente les variations de D r(r) pour les premières O.A. : le
rayon d’une O.A. (défini conventionnellement comme la plus grande valeur de
r qui rend D r(r) maximale (cf. § 6.4.)) dépend peu du nombre quantique secondaire
, mais croît nettement avec le nombre quantique principal n.
0,2
0,1
a 0 . D r (r)
2s
0 1 2 3 r/a0 0 4 8 r/a0 0 2 6 10 r/a0 a 0 . D r (r)
2p
0,12
0,08
0,04
a 0 . D r (r)
3p
0,08
0,02
a 0 . D r (r) 3s
0 1 5 r/a0 0 2 10 r/a0 0 2 10
r/a0 0,12
0,08
0,04
a 0 . D r (r)
Doc. 24 Variations de la quantité a 0 . D r(r) pour quelques orbitales de l’atome d’hydrogène.
L’existence de sphères nodales pour une orbitale se traduit par l’annulation de D r(r) pour une valeur non nulle de r.
On note qu’une O.A. ns admet (n – 1) sphères nodales, tandis qu’une O.A. np en admet (n – 2).
3d