CHIMIE

(*) En notant EOP = r . rur, les forces sont
données par les postulats de Coulomb
et de Newton :
(– e) . (+ e)
rfél = + . rur
4π . ε0 r2 rf gr = – G . m e . m p .
Le quotient de leurs modules est :
≈ 2,27 . 10 +39 || rfél|| !
|| rfgr||
x
O
j
z
q
r
M
M 1
ru r
r 2
Doc. 5 Présentation des coordonnées
sphériques.
•La position du point M est repérée
en coordonnées cartésiennes
par le triplet (x, y, z) . On peut également
utiliser le triplet (r, q, j),
dans lequel q et j sont des mesures
d’angle alors que r est une distance :
q = (Oz ; OM) ; j = (Ox ; OM 1)
•Pour couvrir l’espace entier, il
suffit que r varie de 0 à + ∞, q varie
de 0 à π et j varie de 0 à 2 π.
Les relations entre les coordonnées
cartésiennes de M et ses coordonnées
sphériques s’écrivent :
z = r . cosq
x = r . sinq . cosj
y = r . sin q . sinj
y
1.4.2. Quantification de l’énergie
COURS
Les solutions de l’équation de Schrödinger sont des fonctions Y dépendant du
paramètre E. Ces fonctions ne peuvent jouer le rôle de fonction d’onde que si
elles possèdent certaines propriétés : elles doivent, par exemple, satisfaire à la
condition de normation, ce qui n’est réalisé que pour certaines valeurs du paramètre
E. L’énergie E du système ne peut donc prendre que certaines valeurs :
l’énergie du système est quantifiée.
2 Modèle quantique
de l’atome d’hydrogène
2.1 Fonction d’onde et énergies
de l’atome d’hydrogène
2.1.1. Mise en équation
L’atome d’hydrogène est constitué par un proton et un électron en interaction.
La masse du proton étant près de 2000 fois celle de l’électron, on considère le
proton comme fixe (approximation de Born-Oppenheimer) ; le référentiel ayant
pour origine le noyau est donc considéré comme galiléen.
Les forces appliquées à l’électron de masse m e , sont la force gravitationnelle
et la force électrostatique qu’exerce sur lui le noyau, mais l’interaction gravitationnelle
est négligeable devant l’interaction électrostatique (*) .
L’atome d’hydrogène correspond aux états liés de ce système. Dans ce type
d’état, proton et électron restent, en moyenne, au voisinage l’un de l’autre.
L’espace est rapporté à un trièdre (O, x, y, z) dont l’origine coïncide avec la
position du noyau. Pour un atome d’hydrogène isolé, l’espace est isotrope et
la position des axes est parfaitement arbitraire. Comme d’autre part, l’énergie
potentielle du système est d’origine électrostatique et ne fait intervenir que la
distance noyau/électron, il est commode d’utiliser les coordonnées sphériques
d’origine O (doc. 5).
La résolution de l’équation de Schrödinger pour ce système conduit à des fonctions
d’onde Y dépendant des variables r, q et j .
2.1.2. Fonctions d’onde
On pose a priori que Y(r, q, j) est le produit de trois fonctions d’une seule
variable chacune :
Y(r, q, j) = R(r) . Q(q) . F(j)
(9.3)
• R(r) est appelée partie radiale de Y, car elle ne dépend que de la variable r.
•Le produit Q(q) . F(j), souvent noté Y(q, j), est appelé partie angulaire de
la fonction d’onde, car il ne dépend que des coordonnées angulaires q et j.
■ Retour sur les nombres quantiques
Modèle quantique de l’atome
Le sens probabiliste de Y et les implications mathématiques qui en découlent
(carré sommable, dérivabilité, détermination unique en chaque point de l’espace)
imposent au choix des différentes fonctions R, Q et F des restrictions
qui se traduisent par l’existence de paramètres, appelés nombres quantiques
déjà présentés au chapitre 1 (doc. 6, page suivante).
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