CHIMIE

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COURS
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Modèle quantique de l’atome
1.3.3. Normation
■ Un opérateur O est un objet mathématique qui, appliqué à
une fonction x → f (x) la transforme en une autre fonction :
Exemples :
• L’opérateur « valeur absolue | | » transforme f (x) en | f (x) |.
• L’opérateur « dérivée par rapport à x, » transforme f (x)
en .
■ Les fonctions propres de l’opérateur O sont des fonctions
satisfaisant à l’identité suivante :
Of = a . f, où a est un scalaire
Le résultat de l’application de O à l’une de ses fonctions
Doc. 4 Opérateurs et fonctions propres.
L’interprétation probabiliste de Y lui impose de vérifier certaines conditions :
si nous étendons notre étude à l’univers entier, nous sommes certains d’y trouver
la particule ; la probabilité de trouver la particule dans l’univers est égale
à 1. Y doit donc vérifier la condition suivante, appelée condition de normation
(ou de normalisation) :
1.4 Équation aux valeurs propres de l’énergie
d’un système stationnaire
(9.1)
Les fonctions d’onde Y sont solutions d’une équation appelée «équation de
Schrödinger ». L’étude de cette équation et de sa résolution n’étant pas au programme,
nous allons simplement préciser la nature de cette équation.
1.4.1. Équation de Schrödinger
L’équation de Schrödinger est, en quelque sorte, l’équation fondamentale de
la Physique quantique. Soit E, l’énergie totale du système (somme de l’énergie
cinétique K et l’énergie potentielle Ep), cette équation s’écrit, sous forme
symbolique :
HY = E . Y
(9.2)
Dans cette équation :
• H représente un opérateur (doc. 4), appelé hamiltonien, qui, appliqué à la
fonction Y , la transforme en une autre fonction. L’expression de H dépend du
système considéré, c’est-à-dire de la nature des interactions auxquelles est soumise
la particule.
• E . Y représente le produit de la fonction Y par la valeur de l’énergie E associée
à la fonction Y .
Résoudre l’équation de Schrödinger consiste à déterminer les fonctions Y qui,
après application de l’opérateur H, sont égales au produit de Y par le scalaire
E. Ces fonctions sont appelées fonctions propres de l’opérateur hamiltonien ;
les valeurs de E, qui leur sont associées, sont les valeurs propres de l’énergie
du système.
propres f est égal à f multiplié par un nombre appelé valeur
propre associée à f .
Exemple :
Les fonctions propres de l’opérateur « dérivée par rapport à x,
» satisfont à l’identité :
= a . f (x)
Il est facile de vérifier que les fonctions :
x → l . exp(a . x) (où l et a sont des réels)
sont fonctions propres de l’opérateur et que la valeur
propre associée à l’une de ces fonctions propres est égale au
nombre réel a .