Les chiffres significatifs
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<strong>Les</strong> <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong><br />
<strong>Les</strong> <strong>chiffres</strong> mesurés sont les seuls <strong>chiffres</strong> qui valent la peine d'être utilisés et publiés. Ce sont<br />
les seuls <strong>chiffres</strong> qui veulent vraiment dire quelque chose. Ce sont les seuls <strong>chiffres</strong> importants.<br />
Ce sont les <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong>.<br />
Si vous donnez des <strong>chiffres</strong> non mesurés dans vos rapports, alors pourquoi aller au laboratoire?<br />
Autant rester chez soi bien affalé devant la télé et les inventer là.<br />
<strong>Les</strong> <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> sont les <strong>chiffres</strong> certains et le premier chiffre incertain.<br />
<strong>Les</strong> <strong>chiffres</strong> certains sont toujours donnés par l'appareil, tandis que le premier chiffre incertain doit<br />
être évalué, apprécié, voire deviné par l'expérimentateur.<br />
Exemples :<br />
Valeur<br />
Chiffres<br />
certains<br />
Chiffre<br />
incertain<br />
Nombre<br />
de <strong>chiffres</strong><br />
<strong>significatifs</strong><br />
25,36 ± 0,01 2, 5, 3 6 4<br />
19,4633 ± 0,0002<br />
1, 9, 4, 6<br />
et le 3 de<br />
gauche.<br />
Le 3 à<br />
droite<br />
25,004 ± 0,004 2, 5, 0 et 0 4 5<br />
6<br />
Justification<br />
Le 6 pouvant varier, il est<br />
incertain. <strong>Les</strong> 2, 5 et 3 sont<br />
certains. Le nombre de<br />
<strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> est la<br />
somme du nombre de<br />
<strong>chiffres</strong> certains et du chiffre<br />
incertain.<br />
Le 3 à droite pouvant varier,<br />
il est incertain. <strong>Les</strong> 1, 9, 4, 6<br />
et le 3 de gauche sont<br />
certains. Le nombre de<br />
<strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> est la<br />
somme du nombre de<br />
<strong>chiffres</strong> certains et du chiffre<br />
incertain.<br />
Le 4 pouvant varier, il est<br />
incertain. <strong>Les</strong> 2, 5, 0 et 0<br />
sont certains. Le nombre de<br />
<strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> est la<br />
somme du nombre de<br />
<strong>chiffres</strong> certains et du chiffre<br />
incertain.<br />
Si les ± ne sont pas donnés, le chiffre le plus à droite est le chiffre incertain et les autres sont<br />
certains.
Avantages<br />
Le principal avantage apparaît lorsque vous faites des opérations arithmétiques avec des<br />
mesures imprécises. Ainsi :<br />
• 25,6 * 25,6 = 655 avec la méthode des <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> (vous donnez le même<br />
nombre de <strong>chiffres</strong> au produit que le terme qui en a le moins. Dans ce cas, vous donnez<br />
trois <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong>).<br />
• (25,6 ± 0,1) * (25,6 ± 0,1) = 655 ± 5. Avec la méthode habituelle, ce n'est pas facile de<br />
voir comment vous êtes arrivé à ± 5. Nous y reviendrons dans les sections Méthodes des<br />
extrêmes et Méthode des sommes.<br />
Inconvénients<br />
Qui dit simplification dit approximation. Soient les valeurs suivantes :<br />
• 24,6 ± 0,01<br />
• 24,6 ± 0,02<br />
• 24,6 ± 0,03<br />
Avec les ±, vous voyez très bien que la première valeur a été mesurée avec plus de précision.<br />
Par contre, avec les <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong>, vous écrivez, dans les trois cas, 24,6. Vous savez qu'il y<br />
a trois <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> et que le chiffre 6 est incertain, mais sans plus.<br />
Voici un autre exemple d'inconvénient :<br />
Supposons que vous vouliez connaître la précision de la mesure sur la quantité 2000. Si on ne<br />
vous indique pas le ±, vous pouvez penser :<br />
2000 ± 1 2000 ± 2 2000 ± 4 2000 ± 5 2000 ± 10 2000 ± 20<br />
2000 ± 50 2000 ± 100 2000 ± 200 2000 ± 500 2000 ± 1000 2000 ± 2000<br />
Vous ne savez donc rien de la précision de cette mesure. Il existe un moyen de connaître la<br />
précision dans ce cas précis : il suffit de donner la mesure en exposant de 10, c'est-à-dire<br />
d'utiliser la notation scientifique.<br />
2,000 * 10 3 ou 2,00 * 10 3 ou 2,0 * 10 3 ou 2* 10 3<br />
Il suffit d'écrire le 2 avec le bon nombre de <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong>. Dans cet exemple, 2,000 * 10 3<br />
inclut les cas 2000 ± 1, 2000 ± 2, 2000 ± 4 et 2000 ± 5.
Cas des zéros<br />
S'il y a des zéros dans la mesure, il faut les traiter de façon particulière. Leur position dans la<br />
valeur de la mesure est très importante.<br />
Par exemple :<br />
2,000 a 4 <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong>, tandis que<br />
0,002 n'a qu'un chiffre significatif.<br />
La règle est simple, mais il faut la connaître et surtout ne pas oublier de l'appliquer.<br />
Règle : <strong>Les</strong> zéros à l'extrême gauche ne sont pas <strong>significatifs</strong>; ils ne sont là que pour donner<br />
l'ordre de grandeur du nombre.<br />
Exemples :<br />
Mesure<br />
Résumé<br />
Nombre de <strong>chiffres</strong><br />
<strong>significatifs</strong><br />
Justification<br />
0,0001 1 <strong>Les</strong> zéros de gauche ne comptent pas.<br />
1,0000 5 <strong>Les</strong> zéros de droite comptent.<br />
0,1000 4 Le zéro de gauche ne compte pas.<br />
0,0100 3 <strong>Les</strong> 2 zéros de gauche ne comptent pas.<br />
000001 1 <strong>Les</strong> zéros de gauche ne comptent pas.<br />
1,0001 5 Tous les zéros comptent.<br />
<strong>Les</strong> <strong>chiffres</strong> certains sont les <strong>chiffres</strong> qui ne varient pas lorsque la mesure est répétée.<br />
Le chiffre incertain est le dernier chiffre à droite. C'est le chiffre qui varie si la mesure est répétée.<br />
<strong>Les</strong> <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> sont les <strong>chiffres</strong> certains et le premier chiffre incertain.<br />
L'utilisation des <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> présente des avantages pour effectuer des opérations<br />
mathématiques avec des mesures imprécises, et aussi des inconvénients, lorsque rien n'indique<br />
la précision d'une mesure.<br />
<strong>Les</strong> zéros de gauche ne sont pas <strong>significatifs</strong>; ils ne sont là que pour donner l'ordre de grandeur<br />
de la mesure.<br />
Tous les <strong>chiffres</strong> sont <strong>significatifs</strong> dans les valeurs publiées, les valeurs obtenues par comptage et<br />
les définitions.
Incertitude absolue ou relative<br />
Dans les sections précédentes, vous avez appris à faire des observations qualitatives, à prendre<br />
des mesures, à reconnaître les problèmes liés aux mesures et à voir la nuance entre précision et<br />
exactitude. Dans cette section, vous apprendrez à estimer l'erreur ou l'incertitude qui existe sur<br />
une mesure.<br />
Une mesure ne donne jamais la valeur exacte d'une propriété ou d'une grandeur à cause de tous<br />
les problèmes rencontrés au moment de la mesure. La valeur peut être très proche de la valeur<br />
réelle ou en être plus ou moins éloignée.<br />
Incertitude absolue<br />
Puisqu'il y a toujours un écart (si petit soit-il) entre la valeur mesurée et la valeur vraie, nous ne<br />
sommes jamais sûrs de notre valeur mesurée. Il y a donc une incertitude. Cette incertitude<br />
dépend de l'appareil de mesure, de la méthode suivie et de l'expérimentateur.<br />
Mais quelle est la grandeur, l'importance, l'ampleur de cette incertitude? Nous sommes intéressés<br />
à la quantifier, à la chiffrer pour être capable de nuancer et d'apprécier à sa juste valeur la mesure<br />
obtenue.<br />
Afin de comprendre comment évaluer l'incertitude, utilisons un exemple simple.<br />
Vous voulez mesurer la longueur d'un crayon et vous devez évaluer l'incertitude<br />
maximale de cette mesure. Pour cela, examinez en détail la règle utilisée, de même que<br />
la méthode suivie.<br />
Pour mesurer la longueur du crayon, vous placez la règle près du crayon en prenant soin<br />
de vous assurer qu'un des bouts de la règle soit parfaitement aligné avec l'un des bouts<br />
du crayon. En observant la règle, vous vous apercevez que ses bouts sont légèrement<br />
arrondis par l'usure, ce qui rend difficile l'ajustement de la règle sur le bout du crayon. En<br />
plus, l'autre bout du crayon n'arrive pas exactement vis-à-vis de l'une des graduations.<br />
Vous pouvez être certain que la vraie valeur de la longueur est entre la graduation de la<br />
règle tout juste avant le bout du crayon et la graduation tout juste après le bout du crayon.<br />
Donc la vraie valeur est entre 5,7 et 5,8 cm.<br />
<strong>Les</strong> scientifiques, d'un commun accord, ont établi par convention que l'incertitude maximale due à<br />
un instrument de mesure est égale à la moitié de la plus petite graduation de l'instrument.<br />
En l'occurrence, dans le cas qui nous occupe, celui de l'incertitude maximale, l'incertitude absolue<br />
est 0,05 cm puisque la plus petite graduation est 0,1 cm (5,8 - 5,7).<br />
Il y a donc lieu d'affirmer que le crayon mesure probablement 5,75 cm, qu'il pourrait mesurer<br />
aussi peu que 5,70 cm et autant que 5,80 cm.<br />
Par convention, vous écrivez alors 5,75 ± 0,05 cm. C'est plus court.<br />
L'erreur annoncée est l'erreur de l'instrument de mesure.<br />
Attention! La phrase précédente est extrêmement importante. Nous n'avons tenu compte que de
l'erreur de graduation de l'instrument, de l'erreur fortuite. Nous supposons qu'il n'y a pas d'erreur<br />
systématique, que l'expérimentateur sait mesurer et que la bonne méthode de mesure a été<br />
utilisée. Nous ferons toujours cette hypothèse<br />
Incertitude relative<br />
Une autre façon de donner l'incertitude consiste à la donner en pourcentage. C'est l'incertitude<br />
relative.<br />
Reprenons l'exemple de la mesure du crayon, dans lequel nous avons lu 5,75 ± 0,05 cm.<br />
Nous pouvons écrire cette lecture en pourcentage de la façon suivante :<br />
Incertitude relative =<br />
incertitudeabsolue * 100<br />
valeurmesurée<br />
Exemple : incertitude relative = 0,05 * 100 =<br />
5,75<br />
La valeur mesurée étant 5,75, nous écrivons donc 5,75 cm ± 0,9 %.<br />
Résumé<br />
En général, l'incertitude maximale due à un instrument de mesure est égale à la moitié de la plus<br />
petite graduation de l'instrument. Elle est égale au plus petit chiffre affiché pour les instruments à<br />
affichage numérique.<br />
Il y a deux façons de donner ce chiffre : l'incertitude absolue et l'incertitude relative.
Calculs et <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong><br />
Après avoir pris des mesures, il faut presque toujours faire des opérations arithmétiques comme<br />
la multiplication, la division, l'addition et la soustraction.<br />
Quand des mesures sont utilisées dans des calculs, il convient aussi de donner la précision du<br />
résultat obtenu à partir des calculs.<br />
Faut-il conserver tous les <strong>chiffres</strong> donnés par la calculatrice? Bien sûr que non<br />
Puisque les mesures utilisées dans les calculs sont imprécises, le résultat du calcul est lui aussi<br />
imprécis.<br />
<strong>Les</strong> scientifiques utilisent des règles pour déterminer la précision d'un résultat. La preuve du bienfondé<br />
de ces règles sera donnée plus tard.<br />
Addition et soustraction<br />
Le résultat d'une addition ou d'une soustraction a autant de décimales qu'en a la mesure la moins<br />
précise utilisée dans le calcul.<br />
Exemple 1 :<br />
Vous voulez additionner les 3 mesures suivantes :<br />
15,31 + 17,1 + 1,013<br />
La calculatrice donne 33,423. C'est pourtant faux. Vous n'avez pas cette précision, car 15,31 a 2<br />
décimales, 17,1 a une décimale et 1,013 en a 3. Il ne faut donc donner qu'une décimale, étant<br />
donné que la mesure qui en a le moins en a seulement une.<br />
Donc la réponse est 33,4 après avoir arrondi.<br />
Exemple 2 :<br />
Vous voulez soustraire les deux mesures suivantes :<br />
33,62 - 4,1<br />
La calculatrice affiche 29,52 comme réponse. C'est pourtant faux. Vous n'avez pas cette<br />
précision, car 33,62 a 2 décimales et 4,1 n'en a qu'une. La réponse ne doit donc avoir qu'une<br />
décimale.<br />
La réponse est 29,5 après avoir arrondi
Multiplication et division<br />
Le résultat d'une multiplication ou d'une division a autant de <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> qu'en a la mesure<br />
la moins précise utilisée dans le calcul<br />
Exemple :<br />
Soit 123,45 * 1,23<br />
La calculatrice vous donnera 151,8435, ce qui n'a pas vraiment de sens. C'est comme si vous me<br />
disiez que vous pesez 75,365243 kg. Nous savons pertinemment bien que vous n'avez pas de<br />
pèse-personne aussi précis chez vous.<br />
.<br />
Nombre de <strong>chiffres</strong><br />
<strong>significatifs</strong><br />
Première mesure : 123,45 5<br />
Seconde mesure : 1,23 3<br />
Produit :<br />
123,45 * 1,23 = 152<br />
Voici un autre exemple :<br />
Soit 154,2 / 23,045<br />
.<br />
3<br />
Nombre de <strong>chiffres</strong><br />
<strong>significatifs</strong><br />
Première mesure : 154,2 4<br />
Seconde mesure : 23,045 5<br />
Quotient :<br />
154,2 / 23,045 = 6,691<br />
4<br />
Justification<br />
4 <strong>chiffres</strong> certains et un<br />
chiffre incertain<br />
2 <strong>chiffres</strong> certains et un<br />
chiffre incertain<br />
Le produit a autant de<br />
<strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> que la<br />
mesure qui en a le moins.<br />
Justification<br />
3 <strong>chiffres</strong> certains et un<br />
chiffre incertain<br />
4 <strong>chiffres</strong> certains et un<br />
chiffre incertain<br />
Le quotient a autant de<br />
<strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> que la<br />
mesure qui en a le moins.
Expressions arithmétiques<br />
Quand vous rencontrez une expression arithmétique moins simple, comment tenir compte des<br />
<strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong>?<br />
Voici un exemple un peu plus complexe :<br />
100,5 + 2,1 (30,6 - 27,33)<br />
20,0<br />
Il est préférable de traiter l'exemple partie par partie.<br />
Partie du calcul à<br />
faire<br />
A = (30,6 - 27,33)<br />
B = 2,1 * A<br />
C = 100,5 + B<br />
D = C/20,0<br />
Finalement<br />
Action Raison<br />
Il faut garder 2<br />
<strong>chiffres</strong>.<br />
Il faut garder 2<br />
<strong>chiffres</strong>.<br />
Il faut<br />
conserver 4<br />
<strong>chiffres</strong>.<br />
Il faut<br />
conserver 3<br />
<strong>chiffres</strong>.<br />
Il faut arrondir<br />
la réponse<br />
donnée par la<br />
calculatrice.<br />
Dans une soustraction, il<br />
faut conserver autant de<br />
décimales que le nombre<br />
qui en contient le moins.<br />
Or, 30,6 n'a qu'une<br />
décimale.<br />
Dans une multiplication,<br />
il faut conserver autant<br />
de <strong>chiffres</strong> que le<br />
nombre qui en a le<br />
moins. Or, les deux<br />
nombres à multiplier ont<br />
2 <strong>chiffres</strong> chacun.<br />
La valeur B et 100,5 ont<br />
une décimale. Dans une<br />
addition, il faut conserver<br />
autant de décimales que<br />
le chiffre qui en a le<br />
moins.<br />
Dans une division, il faut<br />
conserver autant de<br />
<strong>chiffres</strong> que le nombre<br />
qui en a le moins. La<br />
valeur C a 4 <strong>chiffres</strong><br />
<strong>significatifs</strong>, tandis que<br />
20,0 en a 3.<br />
La calculatrice affiche<br />
5,36835. Il faut arrondir à<br />
3 <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong>.<br />
Réponse<br />
intermédiaire à titre<br />
indicatif seulement<br />
A = 3,27 (3,3 si on<br />
arrondit à 2 <strong>chiffres</strong><br />
<strong>significatifs</strong>)<br />
B = 6,867 (6,9 si on<br />
arrondit à 2 <strong>chiffres</strong><br />
<strong>significatifs</strong>)<br />
C =107,367 (107,4<br />
si on arrondit à 4<br />
<strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong>)<br />
D = 5,36835 (5,37 si<br />
on arrondit à 3<br />
<strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong>)<br />
La réponse finale<br />
est donc 5,37
Cas des sinus<br />
Le nombre de <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> pour un sinus est égal à la somme des <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong><br />
et des décimales.<br />
Exemples :<br />
sin(89,31 degrés) = 0,999927 La mesure a 4 <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong>, dont 2<br />
décimales. Le résultat a donc 6 <strong>chiffres</strong><br />
<strong>significatifs</strong>.<br />
sin(30,1 degrés) = 0,5015 La mesure a 3 <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong>, dont une<br />
décimale. Le résultat a donc 4 <strong>chiffres</strong><br />
<strong>significatifs</strong>.<br />
Résumé<br />
Le résultat d'une addition ou d'une soustraction a autant de décimales que la mesure qui en<br />
a le moins.<br />
Le résultat d'une multiplication ou d'une division a autant de <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> que la<br />
mesure qui en a le moins.<br />
Il faut arrondir le résultat au bon nombre de <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> une fois que le calcul<br />
complet a été fait<br />
Dans les calculs complexes, il ne faut pas arrondir les résultats intermédiaires, il ne faut<br />
arrondir que le résultat final.<br />
Le nombre de décimales dans la valeur du logarithme est égal au nombre de <strong>chiffres</strong><br />
<strong>significatifs</strong> dans la mesure.<br />
Dans le cas des exposants de 10, le résultat a le même nombre de <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> que<br />
la mesure a de décimales.<br />
Dans le cas des exponentielles, le nombre de <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> du résultat est le même<br />
que le nombre de <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> de la mesure.<br />
Le nombre de <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong> pour un sinus est égal à la somme des <strong>chiffres</strong><br />
<strong>significatifs</strong> et des décimales de la mesure.<br />
.
Méthode des sommes d'incertitudes<br />
Il existe plusieurs méthodes pour tenir compte des incertitudes des mesures. Nommons-en<br />
quatre :<br />
• la méthode des <strong>chiffres</strong> <strong>significatifs</strong><br />
• la méthodes des sommes d'incertitudes<br />
• la méthodes des extrêmes<br />
• la méthode du calcul différentiel<br />
Dans cette section-ci, nous nous attardons à la méthode des sommes d'incertitudes.<br />
La méthode utilise la notion d'incertitude absolue pour les calculs d'addition et de<br />
soustraction et la notion d'incertitude relative pour les calculs de multiplication et de division.<br />
Cas des additions et des soustractions<br />
Règle : Pour les additions et les soustractions de mesures, il faut additionner les incertitudes<br />
absolues.<br />
Exemple d'addition de deux volumes : 10,00 ± 0,01 ml et 15,0 ± 0,2 ml.<br />
• En additionnant,<br />
25,00 ± 0,21 ml.<br />
• En arrondissant,<br />
25,0 ± 0,2 ml.<br />
Exemple de soustraction de deux longueurs : 30,5 ± 0,5 cm et 20,1 ± 0,1 cm.<br />
• En soustrayant,<br />
10,4 ± 0,6 cm.<br />
• En arrondissant, la réponse ne change pas :<br />
10,4 ± 0,6 cm.
Cas des multiplications et des divisions<br />
Règle : Pour les multiplications et les divisions, il faut additionner les incertitudes relatives.<br />
Exemple de multiplication de deux longueurs : 10,5 ± 0,5 cm et 5,2 ± 0,2 cm.<br />
ΔP = 0,5 + 0,2<br />
P 10,5 5,2<br />
où P est le produit des deux nombres et ΔP est l'incertitude sur le produit.<br />
ΔP = 0,08608<br />
P<br />
Donc ΔP = P * 0,08608 = 10,5 * 5,2 * 0,08608 = 54,6 * 0,08608 = 4,70<br />
En arrondissant, on obtient 55 ± 5 cm 2 .<br />
Exemple de division d'une masse par un volume : 9,90 ± 0,01 g et 10,00 ± 0,02 ml<br />
ΔQ = 0,01 + 0,02<br />
Q 9,90 10,00<br />
où Q est le quotient et ΔQ est l'incertitude sur le quotient.<br />
ΔQ = 0,00301<br />
Q<br />
Donc ΔQ = Q * 0,00301 = (9,90/10,00) * 0,00301 = 0,990 * 0,00301 = 0,00298<br />
En arrondissant, on obtient 0,990 ± 0,003 g/ml.