Analyse du flambage local des coques minces par la ... - CSMA 2013

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CSMA 2013
11e Colloque National en Calcul des Structures
13-17 Mai 2013
Analyse du flambage local des coques minces par la méthode Arlequin
et la méthode asymptotique numérique
K. KPOGAN 1 *, Y. CONG 1 , H. ZAHROUNI 1 , H. BEN DHIA 2 , M. POTIER-FERRY 1
1 Université de Lorraine, Laboratoire d’Etude des Microstructures et de Mécanique des Matériaux(LEM3), UMR CNRS
7239, Ile du Saulcy 57045 Metz, France
2 Ecole Centrale Paris, Laboratoire de Mécanique des Sols, Structures et Matériaux(MSSMat), Grande Voie des Vignes,
92295 Châtenay-Malabry Cedex, FRANCE
* Auteur correspondant
Résumé — Dans ce travail, on présente une technique qui combine la méthode Arlequin et la
méthode asymptotique numérique pour étudier le flambage local des coques minces. Cette
contribution consiste à coupler deux modèles discrétisés de coques, un maillage quadratique plus fin
étant appliqué dans la zone où le flambage local apparaît. La formulation de coque utilisée est une
formulation tridimensionnelle, dont les variables cinématiques sont toutes de type déplacement, et qui
utilise une loi de comportement 3-D sans condensation.
Mots clés — Méthode Arlequin, Méthode asymptotique numérique, Flambage, Coque
1. Introduction
Dans cet article, nous présentons une technique qui combine la méthode Arlequin avec la
méthode asymptotique numérique (MAN) pour l'analyse du flambage local des coques minces. Les
applications potentielles concernent par exemple l’étude paramétrique de l’influence de la géométrie
et de la position de défauts très localisés dans une structure élancée sur le flambage.
Pour résoudre ce type de problèmes, nous avons considéré deux niveaux d'analyse. Un premier niveau
correspond au défaut, de l'ordre de quelques centimètres. Sur cette zone, le comportement mécanique,
riche et localisé, de la solution dépend fortement de la géométrie du défaut et influence l'état de
contraintes de la structure sur une distance assez importante. Le deuxième niveau d'analyse, de l'ordre
du mètre, correspond à la structure sans défaut. Il s’agit donc de faire un couplage coque\coque pour
décrire les instabilités locales sur toute la structure. Pour ce faire, nous avons utilisé la méthode
Arlequin. Cette méthode [1] permet de coupler des modèles avec des propriétés différentes ou des
maillages différents, par superposition et collage. L’objectif de cette approche est de proposer une
stratégie permettant de mener les calculs simultanément sur ces différents niveaux, tout en étant à la
fois simple d’emploi et peu coûteuse en temps pour l’utilisateur.
Un avantage important de cette méthode est qu’elle permet de modéliser le défaut dans un ou plusieurs
patchs que nous pouvons placer à différentes régions de la structure permettant ensuite d’étudier
l’influence de ces défauts sur toute la structure sans toutefois refaire le maillage pour chaque cas
d’étude. Nous proposons une illustration de l’un des exemples que nous avons étudié, une tôle en
traction encastrée sur une partie de son bord.
Par ailleurs nous avons utilisé la méthode asymptotique numérique [2]. C'est une technique de
résolution des équations non linéaires basée sur le développement de Taylor à ordre élevé. Le
principal avantage de cette méthode est de permettre un pilotage automatique et un calcul de longueur
de pas de continuation a posteriori ce qui permet d’établir un algorithme à pas naturellement
adaptatif. Comparée aux méthodes de résolution itératives, la MAN génère des gains importants en
temps de calcul puisqu'une seule inversion de la matrice de rigidité permet de décrire une bonne partie
de la branche de solutions. De plus, grâce à la prédiction d’ordre élevé, cette méthode est très bien
adaptée aux problèmes en présence d’instabilités.

1. Formulation
La formulation de base utilisée est une formulation tridimensionnelle de coque à sept variables
cinématiques. Elle est basée sur le concept EAS (Enhanced Assumed Strain) qui permet d’inclure un
champ de déformation supplémentaire, incompatible avec les déplacements, dans le champ de
déformation total. Elle s’écrit :
1t EAS Bu : D : Bu dPe(
u)
(1)
2 e
Où Bu est le champ compatible de la déformation et est la partie additionnelle incompatible. D
est le tenseur des constantes élastiques, Pe( u) est le travail des efforts extérieurs et est un paramètre
de chargement. Nous avons utilisé une discrétisation usuelle basée sur un élément quadrilatéral isoparamétrique
à huit nœuds avec intégration réduite [3].
2. Couplage Arlequin
La méthode Arlequin consiste à partitionner un système mécanique initialement représenté par
(Cf. Fig. 1b).
un domaine (Cf. Fig.1a) en deux sous-domaines 1 et 2 où 1 2 S
a) La structure générale b) Domaines superposés
Fig1. La méthode Arlequin dans un problème de mécanique
Au niveau continu, la méthode Arlequin cherche les points stationnaires d’une fonctionnelle de la
forme :
u u c, u u
1 2
EAS 1 EAS 2 1 2
Pour ne pas compter deux fois l'énergie du système global dans la zone de superposition, les énergies
élémentaires des sous-modèles sont pondérées par des fonctions dites fonctions de pondération qui
sont représentées par et . Leurs distributions peuvent être écrites de la façon suivante :
pond
i
pond
i
pond pond pond pond
1 2 1 2
1 dans S
pond pond
ii1dansi\ S
pond pond
Dans la suite de l’article nous allons considérer
2
i i i
Le point central est l’opérateur de couplage c qui est choisi par analogie avec l’énergie de
déformation de la coque. Le domaine d’intégration est 3D, le multiplicateur est défini à partir d’une
cinématique de coques, les points d’intégration et l’interpolation sont les mêmes que pour le modèle
éléments finis initial:
l l
c , u . u ( ) : D : ( u) d
(4)
(2)
(3)

l
étant la partie linéaire de la déformation compatible. Le multiplicateur et le déplacement u sont
discrétisés comme suit :
8
3
k k
k k k
u( 1, 2, 3) N ( 1, 2) v N( 1, 2)
h w
(5)
k 1
2
Où 1, 2, 3 désignent les coordonnées curvilignes de la coque.
3. Variation de la fonctionnelle et forme à discrétiser
D’où :
La forme stationnaire de la fonctionnelle (1) donne :
t
Bu : D : Bu d P ( u)
EAS e
e
0 uet
C. A.
t
Bu : S d Pe ( u)
0
e
t
: Sd0
(7)
e
S D: ( Bu )
En représentant les valeurs nodales par le vecteur q , le vecteur déplacement et son gradient ainsi que
sa partie virtuelle s’écrivent :
u N q; ( u) Gq; u N q
La non-linéarité est introduite par la déformation compatible :
(8)
c 1
Bu R A u u
2
( ) ( )
3
(6)
. (9)
Où R et Au ( ) représentent respectivement la matrice des composantes de la base covariante
et la matrice des gradients du déplacement.
Par ailleurs la forme vectorielle de la déformation additionnelle s’écrit :
Où :
B a
(10)
add 0000
0 0 0 0
Ba31 d 1 2 1 2
0000
0000
La forme stationnaire de la fonctionnelle (2), nous permet, à partir des équations (6-10), d’écrire le
système d’équation suivant :
(11)

t t
t
( )
di
i i ui Ri A ui ai Ba Si d
e
1
i1
1 c , ui Pe ( ui
, i
)
t
iadi
B a 0
di
Si d
e 1
c,
u1
u20
1
Si Di RiA( ui ) uiB a a
di di
2
4. Méthode asymptotique numérique
4
i 1,2
La MAN permet de chercher une partie de la branche solution du problème (12) en développant
u, , S,
, en séries par rapport à un paramètre « a » qui représente une inconnue
les inconnues
supplémentaire du problème :
Nous obtenons à l’étape p :
k
qi qi qi (1) qi (2) qi ( Nord
)
k
(1)
(2)
(
Nord
)
k 2
N
ord
i
i a i (1) a i (2) . . . a
i ( Nord
)
k
Si S Si (1) Si (2) Si ( Nord
)
i
k
(1) (2)
( Nord
)
t t
l nl k
t
nl k
q B
B ( q )
S ( p)
B ( q ( p))
S
d
i i i i i i
e
1
i1t t
1 qiCi( p)
p1
nl pr (
p) Pe( ui)
i
B( q i )
Si(
r) d
e
r1
1
t
iadi
B a S ( ) 0
di i p d
e 1
t t
C1 q1( p) C2 q2( p)
0
p1
k nl pr
Si ( p) Di Bi ( qi )
qi p i ( p)
B ( q i )
qi
( r)
e
r1
1
qi( p), qi(1) ( p)
(1)
0
nl 0
Pour p=1, on pose:
B ( qi)
0
Cette procédure permet de calculer une bonne partie de la branche solution. Comme les
séries entières ont un rayon de convergence limité, une technique de continuation est utilisée
pour obtenir toute la branche solution même complexe.
(12)
(13)
(14)

5. Résultats
5.1. Etude du flambage local d’une tôle mince
On considère une tôle en traction (Fig. 1). On encastre une partie de l’un de ses bords et on
laisse libres les autres parties. Pour activer le mode de flambage, nous imposons une petite force
5
verticale en un point M de la tôle (10 F)
. La tôle est constituée d’un matériau dont les constantes
d’élasticité sont le module d’Young E 200GPa
et le coefficient de poisson 0.3 . Elle a pour
dimension, la longueur L=1000, la largeur B=50 et l’épaisseur h=0.1.
/
1 3B
encastré
M
Fig.2 : Maillage Arlequin de la tôle.
Fig.3 : Déplacement vertical de la tôle
Fig.4 : Déplacement vertical du point M Fig.5 : Déplacement horizontal du point A
Pour comparer nos résultats avec ceux d’Abaqus, nous avons considéré la structure homogène maillée
avec les éléments finis quadrilatéral de type S8R. Le résultat converge avec 100 éléments sur la
5
A

longueur et 15 éléments sur la largeur, soient 28386 degrés de liberté (ddl). Comparé avec la méthode
Arlequin, nous gagnons suffisamment en degrés de liberté (6528 de ddl utilisés, soit 77% de réduction
de la taille du problème). La figure 3 nous permet de visualiser le flambage local de la tôle qui se situe
sur 1/5 de la longueur de la tôle. Les figures 4 et 5 montrent que les résultats sont en bon accord avec
ceux d’Abaqus. Nous avons donc une bonne distribution d’énergie sur les deux modèles.
5.2. Etude du flambage local d’une coque mince cylindrique avec défauts
On considère une coque cylindrique constituée d’un matériau dont les constantes élastiques sont le
module d’Young E 210GPa et le coefficient de Poisson 03 . . Elle a pour dimension le
rayon R 350mm , la hauteur H 340mm et l’épaisseur e 1. 45mm .
Modélisation de la bosse
La coque cylindrique est localement endommagée par une bosse. La bosse a été modélisée par
une fonction sinusoïdale dans le sens longitudinal et par une fonction exponentielle dans le
sens transversal.
Soit :
2 4z x
t exp cos
W
L
(15)
W z2 W
2 ;
L x2
L
2
Où : t 1. 45mm, 3. 75mm;
W 25mm ; L 112. 5mm représentent respectivement
l’amplitude de défaut, la hauteur et la longueur de la bosse.
Fig.6 : Géométrie de la bosse suivant l’axe transversal et longitudinal de la bosse.
Nous localisons la bosse par un angle d’inclinaison
6
.
1 2
Fig.7 : Modélisation de la bosse (Maillage uniforme; 1 , 2 )
4 4

Conditions aux limites et forces appliquées.
Le cylindre est soumis à une force de compression uniforme F 1000N suivant l’axe du
cylindre. Nous avons bloqué les déplacements des deux bords du cylindre suivant les deux autres axes.
Résultats
Fig.7 Maillage Arlequin (zone de collage en rouge pointillé)
Fig.8 : Déplacement radial (Ux)
7
Zoom de la bosse
Fig.9 : Déplacement radial d’un point milieu de la zone de flambage
La convergence du maillage d’Abaqus considérant la structure entière est atteinte pour 60
éléments suivant la circonférence du cylindre et 20 éléments suivant sa hauteur, soient 1200 éléments

et 43920 ddl. Comparativement au problème résolu à l’aide d’Abaqus, le problème Arlquin-MAN est
maillé avec seulement 13248 ddl, ce qui représente une réduction de 70% de la taille du problème à
résoudre.
La figure 8 montre bien une bonne corrélation entre les trois domaines du problème Arlequin,
donc une bonne distribution de l’énergie sur toute la structure. Ces trois domaines sont présentés sur la
figure 7.
La figure 9 montre dans un premier temps l’évolution de la force appliquée par rapport au
déplacement radial du point situé au milieu de la bosse. Nous pouvons constater que les résultats
obtenus avec notre algorithme sont similaires à ceux obtenus par Abaqus. La différence relative des
charges critiques de flambage est de 2%.
6. Conclusion
Dans notre travail, nous avons combiné la méthode asymptotique numérique et la méthode
Arlequin pour étudier le flambage des coques minces. Nous avons décrit la formulation en non
linéarité géométrique de la coque utilisée. Ensuite nous avons montré l’utilisation de la méthode
Arlequin conformément à la formulation de coque utilisée. Le problème étant non linéaire, pour le
résoudre, nous avons utilisé la MAN qui représente un bon outil pour la résolution des problèmes en
présence d’instabilités. Pour valider le code nous avons présenté deux applications. Dans un premier
exemple, un problème de traction d’une tôle mince présentant des flambages locaux au niveau des
liaisons puis un second exemple concernant le flambage d’une coque cylindrique présentant des
géométriques très localisés. Les résultats de notre étude ont été comparés avec des résultats obtenus en
utilisant le code Abaqus avec un maillage adapté pour bien capturer le flambage. Ces résultats sont
quasi identiques confirmant la validité de la formulation présentée dans cette étude. Nous notons
également que notre procédure peut être facilement utilisée pour prendre en compte la présence de
plusieurs défauts localisés au niveau de la structure et étudier ainsi leur éventuelle interaction.
Remerciements
Cette étude a été réalisée dans le cadre de l’ANR PLATFORM, n° 2012-RNMP-019-07. Les auteurs
remercient l’ANR et le pôle de compétitivité MATERALIA pour leur soutien.
Références
[1] H. Ben Dhia, Multiscale mechanical problems : the Arlequin method, Comptes Rendus de l’Académie des
Sciences,Serie IIb,Paris, 899-904, 1998.
[2] H. Ben Dhia and G. Rateau The arlequin method as a flexible engineering design tool. International Journal
for Numerical Methods in Engineering, (62): 1442-1462, 2005.
[3] B. Cochelin, N. Damil, M. Potier-Ferry. Méthode asymptotique numérique, Hermès Science Publications,
2007
[4] H. Zahrouni, B. Cochelin, M. Potier-Ferry, Computing finite rotations of shells by an asymptotic-numerical
method, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 175 (1999) 71–85.
[5] L. Wullschleger, H.R. Piening Meyer. Buckling of geometrically imperfect cylindrical shells-definition of a
buckling load. International Journal of Non- Linear Mechanics 2002:645–57.
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