Estimation spectrale Méthodes non-paramétriques
Estimation spectrale Méthodes non-paramétriques
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<strong>Estimation</strong> <strong>spectrale</strong><br />
<strong>Méthodes</strong> <strong>non</strong>-<strong>paramétriques</strong><br />
On va considérer le problème de l’estimation de<br />
la densité <strong>spectrale</strong> de puissance (ou spectre) d’un<br />
processus aléatoire stationnaire du second ordre.<br />
Il existe deux grandes approches pour l’estimation<br />
<strong>spectrale</strong>. la première contient des méthodes dites<br />
classiques ou <strong>non</strong>-<strong>paramétriques</strong> qui sont basées sur<br />
le périodogramme. La seconde classe contient des<br />
méthodes dites <strong>non</strong>-classiques ou <strong>paramétriques</strong> qui<br />
utilisent un modèlepourleprocessus.<br />
INRS-EMT J. Benesty
• Rappels<br />
• Motivation<br />
• Le périodogramme<br />
Plan<br />
• Le périodogramme modifié<br />
• La méthode de Bartlett<br />
• La méthode de Welch<br />
• La méthode de Blackman-Tukey<br />
• La méthode de Capon<br />
INRS-EMT J. Benesty 1
Rappels<br />
On considère un processus discret x(n) (n =<br />
0, ±1, ±2, ..., ±N) aléatoire stationnaire du second<br />
ordre de moyenne nulle et dont la fonction<br />
d’autocorrélation est:<br />
rx(k) =E {x(n + k)x ∗ (n)} . (1)<br />
La transformée de Fourier de rx(k) est le spectre de<br />
x(n):<br />
Sx(ω) =<br />
∞<br />
k=−∞<br />
rx(k)exp(−jωk), (2)<br />
où ω est la fréquence angulaire. En fait, la dsp<br />
représente la répartition de la puissance du signal x(n)<br />
sur l’axe des fréquences. On a les propriétés suivantes:<br />
• Sx(ω) est réelle.<br />
• Sx(ω) ≥ 0.<br />
• E{|x(n)| 2 } = rx(0) = 1<br />
2π<br />
π<br />
−π Sx(ω)dω.<br />
INRS-EMT J. Benesty 2
Motivation<br />
Comme le spectre d’un signal est la transformée de<br />
Fourier de sa fonction d’autocorrélation, estimer le<br />
spectre est équivalent à estimer l’autocorrélation. Pour<br />
un processus ergodique, on a:<br />
⎧<br />
⎨<br />
1<br />
lim<br />
N→∞ ⎩2N<br />
+1<br />
N<br />
n=−N<br />
x(n + k)x ∗ ⎫<br />
⎬<br />
(n)<br />
⎭ = rx(k). (3)<br />
Ainsi, si x(n) est connu pour tout n, estimer le spectre<br />
est une tâche simple en théorie, puisqu’il suffit de<br />
calculer rx(k) en utilisant (3) et calculer ensuite sa<br />
transformée de Fourier. Cependant, en pratique, il y a<br />
deux difficultés très importantes:<br />
• le nombre de données est toujours très limité et<br />
• le bruit.<br />
Ainsi, l’estimation du spectre consiste à estimer Sx(ω)<br />
à partir d’un nombre fini de données bruitées.<br />
INRS-EMT J. Benesty 3
Le périodogramme<br />
La méthode du périodogramme fût introduite par<br />
Schuster en 1898.<br />
Pour un processus ergodique, la séquence<br />
d’autocorrélation peut, en théorie, être déterminée avec<br />
une moyenne temporelle:<br />
⎧<br />
⎨<br />
1<br />
rx(k) = lim<br />
N→∞ ⎩2N<br />
+1<br />
N<br />
n=−N<br />
x(n + k)x ∗ ⎫<br />
⎬<br />
(n) . (4)<br />
⎭<br />
Cependant, si x(n) est mesurée sur un intervalle<br />
fini seulement (n = 0, 1, ..., N), alors la fonction<br />
d’autocorrélation doit être estimée avec une somme<br />
finie:<br />
ˆrx(k) = 1<br />
N<br />
N−1 <br />
n=0<br />
x(n + k)x ∗ (n). (5)<br />
Afin de s’assurer que les valeurs de x(n) qui sont en<br />
dehors de cet intervalle [0,N − 1] sont exclus de la<br />
INRS-EMT J. Benesty 4
somme, (5) sera réécrite comme suit:<br />
ˆrx(k) = 1<br />
N<br />
N−1−k <br />
n=0<br />
x(n + k)x ∗ (n), k=0, 1, ..., N − 1, (6)<br />
pour k
On a:<br />
ˆrx(k) = 1<br />
N<br />
∞<br />
n=−∞<br />
xN(n + k)x ∗ N(n)<br />
= 1<br />
N xN(k) ∗ x ∗ N(−k). (10)<br />
En prenant la transformée de Fourier, le<br />
périodogramme devient:<br />
où<br />
ˆSper(ω) = 1<br />
N XN(ω)X ∗ N(ω) = 1<br />
N |XN(ω)| 2 , (11)<br />
XN(ω) =<br />
∞<br />
n=−∞<br />
Code en MATLAB<br />
xN(n)exp(−jωn)=<br />
N−1 <br />
function Px = periodogram(x);<br />
N = length(x);<br />
Px = abs(fft(x(1:N),1024)).^2/N;<br />
n=0<br />
x(n)exp(−jωn).<br />
INRS-EMT J. Benesty 6
Performance du périodogramme<br />
En augmentant le nombre de données, le<br />
périodogramme devrait se rapprocher de la valeur du<br />
spectre Sx(ω). Ons’intéressera donc à si oui ou <strong>non</strong>:<br />
lim<br />
N→∞ E<br />
<br />
2<br />
ˆSper(ω) − Sx(ω)<br />
=0. (12)<br />
Pour que le périodogramme converge en moyenne<br />
quadratique, il faut qu’il soit asymptotiquement <strong>non</strong>biaisé:<br />
lim<br />
N→∞ E<br />
<br />
ˆSper(ω)<br />
= Sx(ω) (13)<br />
et que sa variance converge vers zéro quand N tend<br />
vers l’infini,<br />
lim<br />
N→∞ var<br />
<br />
ˆSper(ω) =0. (14)<br />
En d’autres termes, ˆ Sper(ω) doit estimer le spectre<br />
avec consistance.<br />
INRS-EMT J. Benesty 7
a. Biais<br />
On a, pour k =0, 1, ..., N − 1:<br />
E {ˆrx(k)} = 1<br />
N<br />
= 1<br />
N<br />
= N − k<br />
N−1−k <br />
n=0<br />
N−1−k <br />
n=0<br />
E {x(n + k)x ∗ (n)}<br />
rx(k)<br />
N rx(k) (15)<br />
et, pour k ≥ N, E {ˆrx(k)} = 0. En utilisant la<br />
propriété ˆrx(−k) =ˆr ∗ x(k), on obtient:<br />
où<br />
E {ˆrx(k)} = wB(k)rx(k), (16)<br />
wB(k) =<br />
<br />
N−|k|<br />
N<br />
, |k| ≤N<br />
0, |k| >N<br />
(17)<br />
est une fenêtre (triangulaire) de Bartlett. Ainsi, ˆrx(k)<br />
est un estimateur biaisé delafonctiondecorrélation.<br />
INRS-EMT J. Benesty 8
Maintenant, pour le périodogramme:<br />
<br />
E ˆSper(ω) =<br />
⎧<br />
⎨<br />
E<br />
⎩<br />
N−1 <br />
⎫<br />
⎬<br />
ˆrx(k)exp(−jωk)<br />
⎭<br />
=<br />
=<br />
N−1 <br />
k=−N+1<br />
∞<br />
k=−∞<br />
k=−N+1<br />
E {ˆrx(k)} exp(−jωk)<br />
rx(k)wB(k)exp(−jωk)<br />
= 1<br />
2π Sx(ω) ∗ WB(ω), (18)<br />
où WB(ω) est la transformée de Fourier de la fenêtre<br />
de Bartlett:<br />
WB(ω) = 1<br />
2 sin(Nω/2)<br />
. (19)<br />
N sin(ω/2)<br />
Ainsi, le périodogramme est un estimateur biaisé.<br />
Cependant, puisque WB(ω) converge vers une<br />
impulsion de Dirac quand N tend vers l’infini, le<br />
périodogramme est asymptotiquement <strong>non</strong>-biaisé:<br />
lim<br />
N→∞ E<br />
<br />
ˆSper(ω) = Sx(ω). (20)<br />
INRS-EMT J. Benesty 9
. Variance<br />
Malheureusement, il est difficile d’évaluer la variance<br />
du périodogramme pour un signal x(n) quelconque car<br />
elle dépend des moments d’ordre quatre du processus.<br />
Cependant, dans le cas où x(n) est un signal blanc<br />
Gaussien et de variance σ 2 x, on peut montrer que:<br />
var<br />
<br />
ˆSper(ω)<br />
= σ 4 x. (21)<br />
Ainsi la variance ne tend pas vers zéro quand N<br />
tend vers l’infini et le périodogramme n’est pas un<br />
estimateur consistant du spectre. En fait, puisque<br />
Sx(ω) =σ 2 x,ona:<br />
var<br />
c. Résolution<br />
<br />
ˆSper(ω)<br />
= S 2 x(ω). (22)<br />
Pour un nombre d’observations données N, il y a une<br />
limite pour séparer deux sinusoides très proches. La<br />
résolution du périodogramme est donnée par la formule<br />
suivante:<br />
rés<br />
<br />
ˆSper(ω)<br />
=∆ω =0.89 2π<br />
. (23)<br />
N<br />
INRS-EMT J. Benesty 10
Le périodogramme modifié<br />
On a vu que le périodogramme estime le spectre de la<br />
façon suivante:<br />
ˆSper(ω) = 1<br />
N<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∞<br />
n=−∞<br />
<br />
<br />
<br />
x(n)wR(n)exp(−jωn) <br />
<br />
2<br />
. (24)<br />
Dans le périodogramme modifié, lafenêtre wR(n) est<br />
remplacée par une fenêtre générale w(n), pour obtenir:<br />
ˆSper.m(ω) = 1<br />
NU<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∞<br />
n=−∞<br />
<br />
<br />
<br />
x(n)w(n)exp(−jωn) <br />
<br />
où N est la longueur de la fenêtre et<br />
U = 1<br />
N<br />
N−1 <br />
n=0<br />
|w(n)| 2<br />
2<br />
, (25)<br />
(26)<br />
est une constante introduite pour que ˆ Sper.m(ω)<br />
soit asymptotiquement <strong>non</strong>-biaisé. La variance du<br />
périodogramme modifié est approximativement la<br />
même que celle du périodogramme.<br />
INRS-EMT J. Benesty 11
En fait, la fenêtre introduit un compromis entre la<br />
résolution <strong>spectrale</strong> (largeur du lobe principal) et la<br />
fuite de spectre (amplitude du lobe adjacent).<br />
Code en MATLAB<br />
function Px = mperiodogram(x,win);<br />
N = length(x);<br />
w = ones(N,1);<br />
if (win == 2) w = hamming(N);<br />
elseif (win == 3) w = hanning(N);<br />
elseif (win == 4) w = bartlett(N);<br />
elseif (win == 5) w = blackman(N);<br />
end<br />
U = norm(w)^2/N;<br />
xw = x(1:N).*w;<br />
Px = abs(fft(xw,1024)).^2/(N*U);<br />
INRS-EMT J. Benesty 12
La méthode de Bartlett<br />
La méthode de Bartlett consiste à moyenner le<br />
périodogramme. Elle produit un estimateur consistant<br />
du spectre.<br />
Soient xi(n), i =1, 2, ..., K, K réalisations décorrélées<br />
d’un processus aléatoire x(n) sur un intervalle 0 ≤ n<<br />
L. Si<br />
ˆS (i)<br />
per(ω) = 1<br />
L<br />
<br />
<br />
L−1<br />
<br />
<br />
<br />
xi(n)exp(−jωn) <br />
<br />
<br />
n=0<br />
2<br />
, i =1, 2, ..., K, (27)<br />
est le périodogramme de xi(n), le moyennage de ces<br />
périodogrammes est:<br />
ˆSx(ω) = 1<br />
K<br />
K<br />
i=1<br />
ˆS (i)<br />
per(ω). (28)<br />
L’évaluation de la moyenne d’ensemble de ˆ donne:<br />
Sx(ω)<br />
<br />
E ˆSx(ω) =<br />
<br />
E ˆS (i)<br />
per(ω)<br />
= 1<br />
2π Sx(ω) ∗ WB(ω), (29)<br />
INRS-EMT J. Benesty 13
où WB(ω) est transformée de Fourier de la fenêtre de<br />
Bartlett, wB(k), qui va de −L à L. Ainsi, comme<br />
le périodogramme, ˆ Sx(ω) est asymptotiquement <strong>non</strong>biaisé.<br />
De plus, avec l’hypothèse de données<br />
décorrélées, il s’ensuit que<br />
var<br />
<br />
ˆSx(ω)<br />
= 1<br />
K var<br />
<br />
ˆS (i)<br />
per(ω)<br />
≈ 1<br />
K S2 x(ω) (30)<br />
qui tend vers zéro quand K tend vers l’infini. Ainsi,<br />
ˆSx(ω) est un estimateur consistant du spectre quand<br />
K et L tendent vers l’infini.<br />
Le problème avec cette approche est que des<br />
réalisations décorrélées d’un processus ne sont en<br />
général pas disponibles. Typiquement, une seule<br />
réalisation de longueur N est à notre disposition.<br />
Ainsi, Bartlett proposa que x(n) soit partitionné en<br />
K séquences, de longueur L, qui ne se recouvrent pas,<br />
où N = KL. Ona:<br />
xi(n) =x(n + iL), (31)<br />
n =0, 1, ..., L − 1, i =0, 1, ..., K − 1.<br />
INRS-EMT J. Benesty 14
Finalement, l’estimateur de Bartlett est:<br />
ˆSB(ω) = 1<br />
N<br />
K−1 <br />
i=0<br />
<br />
<br />
L−1<br />
<br />
<br />
<br />
x(n + iL)exp(−jωn) <br />
<br />
<br />
n=0<br />
2<br />
. (32)<br />
Puisque les périodogrammes dans ˆ SB(ω) sont calculés<br />
en utilisant des séquences de longueur L, larésolution<br />
est:<br />
rés<br />
<br />
ˆSB(ω)<br />
=0.89 2π<br />
L<br />
2π<br />
=0.89K , (33)<br />
N<br />
qui est K fois plus grande (ou pire) que celle du<br />
périodogramme.<br />
Code en MATLAB<br />
function Px = bart(x,K);<br />
N = length(x);<br />
L = floor(N/K);<br />
Px = 0;<br />
n1 = 1;<br />
for i=1:K<br />
Px = Px + periodogram(x(n1:n1+L-1))/K;<br />
n1 = n1 + L;<br />
end<br />
INRS-EMT J. Benesty 15
La méthode de Welch<br />
En 1967, Welch proposa deux modifications à la<br />
méthode de Bartlett. La première est de permettre<br />
aux séquences xi(n) de se recouvrir et la seconde est<br />
de rajouter une fenêtre à chacune de ces séquences,<br />
produisant ainsi un ensemble de périodogrammes<br />
modifiés qui sont moyennés.<br />
En supposant que les séquences successives sont<br />
décalées de D (≤ L) échantillons et que chacune<br />
d’entre elles est de longueur L, lai-th séquence est<br />
donnée par:<br />
xi(n) =x(n + iD), n=0, 1, ..., L − 1. (34)<br />
Ainsi, la quantité de recouvrement (overlap) entre<br />
xi(n) et xi+1(n) est L − D points, et si K séquences<br />
couvrent les N données du signal, alors<br />
N = L + D(K − 1). (35)<br />
Par exemple, sans recouvrement (D = L) onaK =<br />
N/L sections de longueur L comme dans la méthode<br />
de Bartlett. D’un autre côté, si les séquences se<br />
INRS-EMT J. Benesty 16
ecouvrent de 50% (D = L/2), alors on peut former<br />
K =2 N<br />
L<br />
− 1 (36)<br />
sections de longueur L. On peut maintenir<br />
la même résolution (longueur de section) que la<br />
méthode de Bartlett tout en doublant le nombre de<br />
périodogrammes modifiés qui sont moyennés (K ≈<br />
2N/L), réduisant ainsi la variance. Cependant, avec<br />
50% de recouvrement, on peut aussi former<br />
K = N<br />
L<br />
− 1 (37)<br />
sections de longueur 2L. On peut donc améliorer<br />
la résolution et maintenir la même variance que la<br />
méthode de Bartlett.<br />
Par conséquent, en permettant les séquences de se<br />
recouvrir, il est possible d’augmenter le nombre et/ou<br />
la longueur des séquences qui sont moyennées, pour<br />
arriver à un compromis entre la réduction de la variance<br />
et une meilleure résolution.<br />
INRS-EMT J. Benesty 17
La méthode de Welch peut s’écrire directement en<br />
fonction de x(n):<br />
ˆSW(ω) = 1<br />
KLU<br />
K−1 <br />
i=0<br />
<br />
<br />
L−1<br />
<br />
<br />
<br />
w(n)x(n + iD)exp(−jωn) <br />
<br />
<br />
n=0<br />
(38)<br />
ou en fonction du périodogramme modifié:<br />
ˆSW(ω) = 1<br />
K<br />
On peut montrer que:<br />
E<br />
<br />
ˆSW(ω)<br />
= E<br />
K−1 <br />
i=0<br />
<br />
ˆSper.m(ω)<br />
ˆS (i)<br />
per.m(ω). (39)<br />
= 1<br />
2πLU Sx(ω) ∗|W (ω)| 2 ,<br />
(40)<br />
où W (ω) est la transformée de Fourier de la<br />
fenêtre w(n). Ainsi, la méthode de Welch est<br />
asymptotiquement <strong>non</strong>-biaisée. La résolution dépend<br />
de la fenêtre. On peut aussi montrer, que pour un<br />
recouvrement de 50% et une fenêtre de bartlett, la<br />
variance est approximativement:<br />
var<br />
<br />
ˆSW(ω)<br />
≈ 9<br />
8K S2 x(ω). (41)<br />
INRS-EMT J. Benesty 18<br />
2<br />
,
Code en MATLAB<br />
function Px = welch(x,L,over,win);<br />
if (over >= 1) | (over < 0)<br />
error(‘Overlap is invalid’)<br />
end<br />
N = length(x);<br />
n1 = 1;<br />
n0 = (1-over)*L;<br />
K = 1+floor((N-L)/n0);<br />
Px = 0;<br />
for i=1:K<br />
Px = Px + mperiodogram(x(n1:n1+L-1),win)/K;<br />
n1 = n1 + n0;<br />
end<br />
INRS-EMT J. Benesty 19
La méthode de Blackman-Tukey<br />
Pour un nombre fini de données N, la variance de<br />
ˆrx(k) pour les valeurs de k proches de N sera grande.<br />
Par exemple, l’estimée de rx(k) pour k = N − 1 est:<br />
ˆrx(N − 1) = 1<br />
x(N − 1)x(0). (42)<br />
N<br />
Il n’y a pas vraiment de moyennage pour |k| ≈N,<br />
même si N est très grand; donc ces estimées seront<br />
toujours peu fiables. Par conséquent, la seule manière<br />
de réduire la variance du périodogramme est de réduire<br />
leurs contributions.<br />
Dans la méthode de Blackman-Tukey (ou periodogram<br />
smoothing), la variance du périodogramme est réduite<br />
en ajoutant une fenêtre à ˆrx(k) afin de réduire la<br />
contribution d’estimées peu fiables du périodogramme.<br />
La méthode de Blackman-Tukey s’écrit donc:<br />
ˆSBT(ω) =<br />
M<br />
k=−M<br />
ˆrx(k)w(n)exp(−jωk), (43)<br />
où w(n) est une fenêtre appliquée à l’estimation de<br />
la fonction de corrélation. Par exemple, si w(n) est<br />
INRS-EMT J. Benesty 20
une fenêtre rectangulaire qui va de −M à M avec<br />
M < N − 1, alors les estimées de rx(n) qui ont<br />
une variance importante sont mises à zéro, et par<br />
conséquent l’estimation du spectre aura une plus petite<br />
variance. Par contre, la résolution sera moins bonne<br />
puisqu’ un plus petit nombre d’estimées sera utilisé.<br />
Code en MATLAB<br />
function Px = persmooth(x,win,M);<br />
N = length(x);<br />
R = covar(x,M);<br />
r = [fliplr(R(1,2:M),R(1,1),R(1,2:M)];<br />
M = 2*M-1;<br />
w = ones(M,1);<br />
if (win == 2) w = hamming(M);<br />
elseif (win == 3) w = hanning(M);<br />
elseif (win == 4) w = bartlett(M);<br />
elseif (win == 5) w = blackman(M);<br />
end<br />
r = r’.*w;<br />
Px = abs(fft(r,1024));<br />
INRS-EMT J. Benesty 21
La méthode de Capon<br />
Soit x(n) un processus aléatoire stationnaire du second<br />
ordre de moyenne nulle et dont le spectre est Sx(ω).<br />
Soit gi(n) un filtre passe-bande idéal, avec une largeur<br />
de bande ∆ et une fréquence centrale ωi,<br />
|Gi(w)| =<br />
1, |ω − ωi| < ∆/2<br />
0, si<strong>non</strong><br />
. (44)<br />
Si le signal x(n) passe à travers le filtre gi(n), alors le<br />
spectre du processus de sortie, yi(n), est:<br />
2<br />
Syi (ω) =Sx(ω)|Gi(w)|<br />
et la puissance du signal yi(n) est:<br />
E |yi(n)| 2 = 1<br />
2π<br />
= 1<br />
2π<br />
= 1<br />
2π<br />
π<br />
−π<br />
π<br />
Syi (ω)dω<br />
Sx(ω)|Gi(w)| 2 dω<br />
−π<br />
ωi+∆/2<br />
ωi−∆/2<br />
(45)<br />
Sx(ω)dω. (46)<br />
INRS-EMT J. Benesty 22
Si ∆ est suffisamment petit pour que Sx(ω) soit<br />
approximé à une constante à travers le filtre bandepasse,<br />
alors la puissance de yi(n) peut être approximée<br />
à:<br />
E |yi(n)| 2 = Sx(ω) ∆<br />
. (47)<br />
2π<br />
Ainsi, il est possible d’estimer la densité <strong>spectrale</strong> de<br />
puissance du signal x(n) àlafréquence ω = ωi à partir<br />
de l’estimation de la puissance du signal yi(n).<br />
Il reste maintenant àdéterminer le filtre gi(n) et ∆.<br />
Soit gi(n) un filtre RIF passe-bande complexe et d’ordre<br />
p. Pour garantir la même puissance à l’entrée et àla<br />
sortie de ce filtre pour la fréquence ωi, Gi(w) doit être<br />
contraint d’avoir un gain égal àunpourω = ωi,<br />
où<br />
Gi(wi) =<br />
p<br />
gi(n)exp(−jωin) =1 (48)<br />
n=0<br />
= g H i ei = e H i gi, g i = gi(0) gi(1) ··· gi(p) T ,<br />
ei = 1 exp(jωi) ··· exp(jωip) T .<br />
INRS-EMT J. Benesty 23
D’autre part:<br />
où<br />
E |yi(n)| 2 = E |g H i x(n)| 2 = g H i Rxg i, (49)<br />
Rx = E x(n)x H (n) <br />
est la matrice d’autocorrélation du signal x(n).<br />
(50)<br />
Le critère pour concevoir le filtre passe-bande est de<br />
minimiser E |yi(n)| 2 avec la contrainte g H i ei =1.<br />
Pour cela, on utilise la méthode de Lagrange:<br />
J = g H i Rxg i + λ(1 − g H i ei). (51)<br />
En minimisant J par rapport à g i et en égalant àzéro,<br />
on obtient:<br />
soit<br />
2Rxg i − λei = 0 (p+1)×1, (52)<br />
g i = λ<br />
2 R−1<br />
x ei. (53)<br />
INRS-EMT J. Benesty 24
En remplaçant gi = λ<br />
2R−1 x ei dans la contrainte gH i ei =<br />
1, on obtient:<br />
D’où la solution:<br />
λ<br />
2 =<br />
1<br />
e H i R−1<br />
x ei<br />
g i = R−1<br />
x ei<br />
e H i R−1<br />
x ei<br />
et la puissance minimale est donc déduite:<br />
E |yi(n)| 2 =<br />
. (54)<br />
1<br />
e H i R−1<br />
x ei<br />
Pour une fréquence quelconque, on a:<br />
où<br />
(55)<br />
. (56)<br />
g = R−1 x e<br />
eHR −1 , (57)<br />
x e<br />
e = 1 exp(jω) ··· exp(jωp) T .<br />
INRS-EMT J. Benesty 25
Maintenant, il reste àdéterminer ∆. Silesignalx(n)<br />
est un bruit blanc de variance σ 2 x,ona:<br />
et<br />
g = R−1<br />
x e<br />
e H R −1<br />
x e<br />
= σ−2<br />
x e<br />
σ −2<br />
x e H e<br />
1<br />
= e (58)<br />
p +1<br />
E |yi(n)| 2 = σ2 x<br />
. (59)<br />
p +1<br />
De plus Sx(ω) =σ 2 x. Comme:<br />
Sx(ω) = E |yi(n)| 2<br />
∆/2π<br />
on en déduit que:<br />
= σ2 x<br />
p +1<br />
Dans le cas général, on aura donc:<br />
2π<br />
, (60)<br />
∆<br />
∆= 2π<br />
. (61)<br />
p +1<br />
ˆSMV(ω) =<br />
p +1<br />
eH ˆ R −1 , (62)<br />
x e<br />
où ˆ Rx est une estimation de Rx. C’est la méthode de<br />
Capon (ou minimum variance spectrum estimate).<br />
INRS-EMT J. Benesty 26
Code en MATLAB<br />
function Px = minvar(x,p);<br />
R = covar(x,p);<br />
[v,d] = eig(R);<br />
U = diag(inv(abs(d)+eps));<br />
V = abs(fft(v,1024)).^2;<br />
Px = 10*log10(p)-10*log10(V*U);<br />
INRS-EMT J. Benesty 27