Estimation spectrale Méthodes non-paramétriques

Estimation spectrale
Méthodes non-paramétriques
On va considérer le problème de l’estimation de
la densité spectrale de puissance (ou spectre) d’un
processus aléatoire stationnaire du second ordre.
Il existe deux grandes approches pour l’estimation
spectrale. la première contient des méthodes dites
classiques ou non-paramétriques qui sont basées sur
le périodogramme. La seconde classe contient des
méthodes dites non-classiques ou paramétriques qui
utilisent un modèlepourleprocessus.
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• Rappels
• Motivation
• Le périodogramme
Plan
• Le périodogramme modifié
• La méthode de Bartlett
• La méthode de Welch
• La méthode de Blackman-Tukey
• La méthode de Capon
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Rappels
On considère un processus discret x(n) (n =
0, ±1, ±2, ..., ±N) aléatoire stationnaire du second
ordre de moyenne nulle et dont la fonction
d’autocorrélation est:
rx(k) =E {x(n + k)x ∗ (n)} . (1)
La transformée de Fourier de rx(k) est le spectre de
x(n):
Sx(ω) =
∞
k=−∞
rx(k)exp(−jωk), (2)
où ω est la fréquence angulaire. En fait, la dsp
représente la répartition de la puissance du signal x(n)
sur l’axe des fréquences. On a les propriétés suivantes:
• Sx(ω) est réelle.
• Sx(ω) ≥ 0.
• E{|x(n)| 2 } = rx(0) = 1
2π
π
−π Sx(ω)dω.
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Motivation
Comme le spectre d’un signal est la transformée de
Fourier de sa fonction d’autocorrélation, estimer le
spectre est équivalent à estimer l’autocorrélation. Pour
un processus ergodique, on a:
⎧
⎨
1
lim
N→∞ ⎩2N
+1
N
n=−N
x(n + k)x ∗ ⎫
⎬
(n)
⎭ = rx(k). (3)
Ainsi, si x(n) est connu pour tout n, estimer le spectre
est une tâche simple en théorie, puisqu’il suffit de
calculer rx(k) en utilisant (3) et calculer ensuite sa
transformée de Fourier. Cependant, en pratique, il y a
deux difficultés très importantes:
• le nombre de données est toujours très limité et
• le bruit.
Ainsi, l’estimation du spectre consiste à estimer Sx(ω)
à partir d’un nombre fini de données bruitées.
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Le périodogramme
La méthode du périodogramme fût introduite par
Schuster en 1898.
Pour un processus ergodique, la séquence
d’autocorrélation peut, en théorie, être déterminée avec
une moyenne temporelle:
⎧
⎨
1
rx(k) = lim
N→∞ ⎩2N
+1
N
n=−N
x(n + k)x ∗ ⎫
⎬
(n) . (4)
⎭
Cependant, si x(n) est mesurée sur un intervalle
fini seulement (n = 0, 1, ..., N), alors la fonction
d’autocorrélation doit être estimée avec une somme
finie:
ˆrx(k) = 1
N
N−1
n=0
x(n + k)x ∗ (n). (5)
Afin de s’assurer que les valeurs de x(n) qui sont en
dehors de cet intervalle [0,N − 1] sont exclus de la
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somme, (5) sera réécrite comme suit:
ˆrx(k) = 1
N
N−1−k
n=0
x(n + k)x ∗ (n), k=0, 1, ..., N − 1, (6)
pour k

On a:
ˆrx(k) = 1
N
∞
n=−∞
xN(n + k)x ∗ N(n)
= 1
N xN(k) ∗ x ∗ N(−k). (10)
En prenant la transformée de Fourier, le
périodogramme devient:
où
ˆSper(ω) = 1
N XN(ω)X ∗ N(ω) = 1
N |XN(ω)| 2 , (11)
XN(ω) =
∞
n=−∞
Code en MATLAB
xN(n)exp(−jωn)=
N−1
function Px = periodogram(x);
N = length(x);
Px = abs(fft(x(1:N),1024)).^2/N;
n=0
x(n)exp(−jωn).
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Performance du périodogramme
En augmentant le nombre de données, le
périodogramme devrait se rapprocher de la valeur du
spectre Sx(ω). Ons’intéressera donc à si oui ou non:
lim
N→∞ E
2
ˆSper(ω) − Sx(ω)
=0. (12)
Pour que le périodogramme converge en moyenne
quadratique, il faut qu’il soit asymptotiquement nonbiaisé:
lim
N→∞ E
ˆSper(ω)
= Sx(ω) (13)
et que sa variance converge vers zéro quand N tend
vers l’infini,
lim
N→∞ var
ˆSper(ω) =0. (14)
En d’autres termes, ˆ Sper(ω) doit estimer le spectre
avec consistance.
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a. Biais
On a, pour k =0, 1, ..., N − 1:
E {ˆrx(k)} = 1
N
= 1
N
= N − k
N−1−k
n=0
N−1−k
n=0
E {x(n + k)x ∗ (n)}
rx(k)
N rx(k) (15)
et, pour k ≥ N, E {ˆrx(k)} = 0. En utilisant la
propriété ˆrx(−k) =ˆr ∗ x(k), on obtient:
où
E {ˆrx(k)} = wB(k)rx(k), (16)
wB(k) =
N−|k|
N
, |k| ≤N
0, |k| >N
(17)
est une fenêtre (triangulaire) de Bartlett. Ainsi, ˆrx(k)
est un estimateur biaisé delafonctiondecorrélation.
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Maintenant, pour le périodogramme:
E ˆSper(ω) =
⎧
⎨
E
⎩
N−1
⎫
⎬
ˆrx(k)exp(−jωk)
⎭
=
=
N−1
k=−N+1
∞
k=−∞
k=−N+1
E {ˆrx(k)} exp(−jωk)
rx(k)wB(k)exp(−jωk)
= 1
2π Sx(ω) ∗ WB(ω), (18)
où WB(ω) est la transformée de Fourier de la fenêtre
de Bartlett:
WB(ω) = 1
2 sin(Nω/2)
. (19)
N sin(ω/2)
Ainsi, le périodogramme est un estimateur biaisé.
Cependant, puisque WB(ω) converge vers une
impulsion de Dirac quand N tend vers l’infini, le
périodogramme est asymptotiquement non-biaisé:
lim
N→∞ E
ˆSper(ω) = Sx(ω). (20)
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. Variance
Malheureusement, il est difficile d’évaluer la variance
du périodogramme pour un signal x(n) quelconque car
elle dépend des moments d’ordre quatre du processus.
Cependant, dans le cas où x(n) est un signal blanc
Gaussien et de variance σ 2 x, on peut montrer que:
var
ˆSper(ω)
= σ 4 x. (21)
Ainsi la variance ne tend pas vers zéro quand N
tend vers l’infini et le périodogramme n’est pas un
estimateur consistant du spectre. En fait, puisque
Sx(ω) =σ 2 x,ona:
var
c. Résolution
ˆSper(ω)
= S 2 x(ω). (22)
Pour un nombre d’observations données N, il y a une
limite pour séparer deux sinusoides très proches. La
résolution du périodogramme est donnée par la formule
suivante:
rés
ˆSper(ω)
=∆ω =0.89 2π
. (23)
N
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Le périodogramme modifié
On a vu que le périodogramme estime le spectre de la
façon suivante:
ˆSper(ω) = 1
N
∞
n=−∞
x(n)wR(n)exp(−jωn)
2
. (24)
Dans le périodogramme modifié, lafenêtre wR(n) est
remplacée par une fenêtre générale w(n), pour obtenir:
ˆSper.m(ω) = 1
NU
∞
n=−∞
x(n)w(n)exp(−jωn)
où N est la longueur de la fenêtre et
U = 1
N
N−1
n=0
|w(n)| 2
2
, (25)
(26)
est une constante introduite pour que ˆ Sper.m(ω)
soit asymptotiquement non-biaisé. La variance du
périodogramme modifié est approximativement la
même que celle du périodogramme.
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En fait, la fenêtre introduit un compromis entre la
résolution spectrale (largeur du lobe principal) et la
fuite de spectre (amplitude du lobe adjacent).
Code en MATLAB
function Px = mperiodogram(x,win);
N = length(x);
w = ones(N,1);
if (win == 2) w = hamming(N);
elseif (win == 3) w = hanning(N);
elseif (win == 4) w = bartlett(N);
elseif (win == 5) w = blackman(N);
end
U = norm(w)^2/N;
xw = x(1:N).*w;
Px = abs(fft(xw,1024)).^2/(N*U);
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La méthode de Bartlett
La méthode de Bartlett consiste à moyenner le
périodogramme. Elle produit un estimateur consistant
du spectre.
Soient xi(n), i =1, 2, ..., K, K réalisations décorrélées
d’un processus aléatoire x(n) sur un intervalle 0 ≤ n<
L. Si
ˆS (i)
per(ω) = 1
L
L−1
xi(n)exp(−jωn)
n=0
2
, i =1, 2, ..., K, (27)
est le périodogramme de xi(n), le moyennage de ces
périodogrammes est:
ˆSx(ω) = 1
K
K
i=1
ˆS (i)
per(ω). (28)
L’évaluation de la moyenne d’ensemble de ˆ donne:
Sx(ω)
E ˆSx(ω) =
E ˆS (i)
per(ω)
= 1
2π Sx(ω) ∗ WB(ω), (29)
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où WB(ω) est transformée de Fourier de la fenêtre de
Bartlett, wB(k), qui va de −L à L. Ainsi, comme
le périodogramme, ˆ Sx(ω) est asymptotiquement nonbiaisé.
De plus, avec l’hypothèse de données
décorrélées, il s’ensuit que
var
ˆSx(ω)
= 1
K var
ˆS (i)
per(ω)
≈ 1
K S2 x(ω) (30)
qui tend vers zéro quand K tend vers l’infini. Ainsi,
ˆSx(ω) est un estimateur consistant du spectre quand
K et L tendent vers l’infini.
Le problème avec cette approche est que des
réalisations décorrélées d’un processus ne sont en
général pas disponibles. Typiquement, une seule
réalisation de longueur N est à notre disposition.
Ainsi, Bartlett proposa que x(n) soit partitionné en
K séquences, de longueur L, qui ne se recouvrent pas,
où N = KL. Ona:
xi(n) =x(n + iL), (31)
n =0, 1, ..., L − 1, i =0, 1, ..., K − 1.
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Finalement, l’estimateur de Bartlett est:
ˆSB(ω) = 1
N
K−1
i=0
L−1
x(n + iL)exp(−jωn)
n=0
2
. (32)
Puisque les périodogrammes dans ˆ SB(ω) sont calculés
en utilisant des séquences de longueur L, larésolution
est:
rés
ˆSB(ω)
=0.89 2π
L
2π
=0.89K , (33)
N
qui est K fois plus grande (ou pire) que celle du
périodogramme.
Code en MATLAB
function Px = bart(x,K);
N = length(x);
L = floor(N/K);
Px = 0;
n1 = 1;
for i=1:K
Px = Px + periodogram(x(n1:n1+L-1))/K;
n1 = n1 + L;
end
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La méthode de Welch
En 1967, Welch proposa deux modifications à la
méthode de Bartlett. La première est de permettre
aux séquences xi(n) de se recouvrir et la seconde est
de rajouter une fenêtre à chacune de ces séquences,
produisant ainsi un ensemble de périodogrammes
modifiés qui sont moyennés.
En supposant que les séquences successives sont
décalées de D (≤ L) échantillons et que chacune
d’entre elles est de longueur L, lai-th séquence est
donnée par:
xi(n) =x(n + iD), n=0, 1, ..., L − 1. (34)
Ainsi, la quantité de recouvrement (overlap) entre
xi(n) et xi+1(n) est L − D points, et si K séquences
couvrent les N données du signal, alors
N = L + D(K − 1). (35)
Par exemple, sans recouvrement (D = L) onaK =
N/L sections de longueur L comme dans la méthode
de Bartlett. D’un autre côté, si les séquences se
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ecouvrent de 50% (D = L/2), alors on peut former
K =2 N
L
− 1 (36)
sections de longueur L. On peut maintenir
la même résolution (longueur de section) que la
méthode de Bartlett tout en doublant le nombre de
périodogrammes modifiés qui sont moyennés (K ≈
2N/L), réduisant ainsi la variance. Cependant, avec
50% de recouvrement, on peut aussi former
K = N
L
− 1 (37)
sections de longueur 2L. On peut donc améliorer
la résolution et maintenir la même variance que la
méthode de Bartlett.
Par conséquent, en permettant les séquences de se
recouvrir, il est possible d’augmenter le nombre et/ou
la longueur des séquences qui sont moyennées, pour
arriver à un compromis entre la réduction de la variance
et une meilleure résolution.
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La méthode de Welch peut s’écrire directement en
fonction de x(n):
ˆSW(ω) = 1
KLU
K−1
i=0
L−1
w(n)x(n + iD)exp(−jωn)
n=0
(38)
ou en fonction du périodogramme modifié:
ˆSW(ω) = 1
K
On peut montrer que:
E
ˆSW(ω)
= E
K−1
i=0
ˆSper.m(ω)
ˆS (i)
per.m(ω). (39)
= 1
2πLU Sx(ω) ∗|W (ω)| 2 ,
(40)
où W (ω) est la transformée de Fourier de la
fenêtre w(n). Ainsi, la méthode de Welch est
asymptotiquement non-biaisée. La résolution dépend
de la fenêtre. On peut aussi montrer, que pour un
recouvrement de 50% et une fenêtre de bartlett, la
variance est approximativement:
var
ˆSW(ω)
≈ 9
8K S2 x(ω). (41)
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2
,

Code en MATLAB
function Px = welch(x,L,over,win);
if (over >= 1) | (over < 0)
error(‘Overlap is invalid’)
end
N = length(x);
n1 = 1;
n0 = (1-over)*L;
K = 1+floor((N-L)/n0);
Px = 0;
for i=1:K
Px = Px + mperiodogram(x(n1:n1+L-1),win)/K;
n1 = n1 + n0;
end
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La méthode de Blackman-Tukey
Pour un nombre fini de données N, la variance de
ˆrx(k) pour les valeurs de k proches de N sera grande.
Par exemple, l’estimée de rx(k) pour k = N − 1 est:
ˆrx(N − 1) = 1
x(N − 1)x(0). (42)
N
Il n’y a pas vraiment de moyennage pour |k| ≈N,
même si N est très grand; donc ces estimées seront
toujours peu fiables. Par conséquent, la seule manière
de réduire la variance du périodogramme est de réduire
leurs contributions.
Dans la méthode de Blackman-Tukey (ou periodogram
smoothing), la variance du périodogramme est réduite
en ajoutant une fenêtre à ˆrx(k) afin de réduire la
contribution d’estimées peu fiables du périodogramme.
La méthode de Blackman-Tukey s’écrit donc:
ˆSBT(ω) =
M
k=−M
ˆrx(k)w(n)exp(−jωk), (43)
où w(n) est une fenêtre appliquée à l’estimation de
la fonction de corrélation. Par exemple, si w(n) est
INRS-EMT J. Benesty 20

une fenêtre rectangulaire qui va de −M à M avec
M < N − 1, alors les estimées de rx(n) qui ont
une variance importante sont mises à zéro, et par
conséquent l’estimation du spectre aura une plus petite
variance. Par contre, la résolution sera moins bonne
puisqu’ un plus petit nombre d’estimées sera utilisé.
Code en MATLAB
function Px = persmooth(x,win,M);
N = length(x);
R = covar(x,M);
r = [fliplr(R(1,2:M),R(1,1),R(1,2:M)];
M = 2*M-1;
w = ones(M,1);
if (win == 2) w = hamming(M);
elseif (win == 3) w = hanning(M);
elseif (win == 4) w = bartlett(M);
elseif (win == 5) w = blackman(M);
end
r = r’.*w;
Px = abs(fft(r,1024));
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La méthode de Capon
Soit x(n) un processus aléatoire stationnaire du second
ordre de moyenne nulle et dont le spectre est Sx(ω).
Soit gi(n) un filtre passe-bande idéal, avec une largeur
de bande ∆ et une fréquence centrale ωi,
|Gi(w)| =
1, |ω − ωi| < ∆/2
0, sinon
. (44)
Si le signal x(n) passe à travers le filtre gi(n), alors le
spectre du processus de sortie, yi(n), est:
2
Syi (ω) =Sx(ω)|Gi(w)|
et la puissance du signal yi(n) est:
E |yi(n)| 2 = 1
2π
= 1
2π
= 1
2π
π
−π
π
Syi (ω)dω
Sx(ω)|Gi(w)| 2 dω
−π
ωi+∆/2
ωi−∆/2
(45)
Sx(ω)dω. (46)
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Si ∆ est suffisamment petit pour que Sx(ω) soit
approximé à une constante à travers le filtre bandepasse,
alors la puissance de yi(n) peut être approximée
à:
E |yi(n)| 2 = Sx(ω) ∆
. (47)
2π
Ainsi, il est possible d’estimer la densité spectrale de
puissance du signal x(n) àlafréquence ω = ωi à partir
de l’estimation de la puissance du signal yi(n).
Il reste maintenant àdéterminer le filtre gi(n) et ∆.
Soit gi(n) un filtre RIF passe-bande complexe et d’ordre
p. Pour garantir la même puissance à l’entrée et àla
sortie de ce filtre pour la fréquence ωi, Gi(w) doit être
contraint d’avoir un gain égal àunpourω = ωi,
où
Gi(wi) =
p
gi(n)exp(−jωin) =1 (48)
n=0
= g H i ei = e H i gi, g i = gi(0) gi(1) ··· gi(p) T ,
ei = 1 exp(jωi) ··· exp(jωip) T .
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D’autre part:
où
E |yi(n)| 2 = E |g H i x(n)| 2 = g H i Rxg i, (49)
Rx = E x(n)x H (n)
est la matrice d’autocorrélation du signal x(n).
(50)
Le critère pour concevoir le filtre passe-bande est de
minimiser E |yi(n)| 2 avec la contrainte g H i ei =1.
Pour cela, on utilise la méthode de Lagrange:
J = g H i Rxg i + λ(1 − g H i ei). (51)
En minimisant J par rapport à g i et en égalant àzéro,
on obtient:
soit
2Rxg i − λei = 0 (p+1)×1, (52)
g i = λ
2 R−1
x ei. (53)
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En remplaçant gi = λ
2R−1 x ei dans la contrainte gH i ei =
1, on obtient:
D’où la solution:
λ
2 =
1
e H i R−1
x ei
g i = R−1
x ei
e H i R−1
x ei
et la puissance minimale est donc déduite:
E |yi(n)| 2 =
. (54)
1
e H i R−1
x ei
Pour une fréquence quelconque, on a:
où
(55)
. (56)
g = R−1 x e
eHR −1 , (57)
x e
e = 1 exp(jω) ··· exp(jωp) T .
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Maintenant, il reste àdéterminer ∆. Silesignalx(n)
est un bruit blanc de variance σ 2 x,ona:
et
g = R−1
x e
e H R −1
x e
= σ−2
x e
σ −2
x e H e
1
= e (58)
p +1
E |yi(n)| 2 = σ2 x
. (59)
p +1
De plus Sx(ω) =σ 2 x. Comme:
Sx(ω) = E |yi(n)| 2
∆/2π
on en déduit que:
= σ2 x
p +1
Dans le cas général, on aura donc:
2π
, (60)
∆
∆= 2π
. (61)
p +1
ˆSMV(ω) =
p +1
eH ˆ R −1 , (62)
x e
où ˆ Rx est une estimation de Rx. C’est la méthode de
Capon (ou minimum variance spectrum estimate).
INRS-EMT J. Benesty 26

Code en MATLAB
function Px = minvar(x,p);
R = covar(x,p);
[v,d] = eig(R);
U = diag(inv(abs(d)+eps));
V = abs(fft(v,1024)).^2;
Px = 10*log10(p)-10*log10(V*U);
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