Les aberrations - Le Repaire des Sciences
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<strong><strong>Le</strong>s</strong> <strong>aberrations</strong><br />
Dans la première fiche 1 ont été définies les images données par un système centré. <strong><strong>Le</strong>s</strong><br />
relations de position et de grandissement qui ont été données permettent de rechercher<br />
la position d'une image et de calculer sa dimension dans les conditions de Gauss, la<br />
source lumineuse étant monochromatique. Dans ces conditions les rayons considérés<br />
sont paraxiaux c'est-à-dire proches de l'axe optique et peu inclinés par rapport à celuici.<br />
Dans le cadre de cette approximation paraxiale, l'image d'un point est un point. Pour<br />
<strong>des</strong> systèmes optiques réels la lumière utilisée est le plus souvent la lumière blanche et<br />
les rayons incidents peuvent être relativement éloignés de l'axe optique et/ou fortement<br />
inclinés. Il apparaît alors certains défauts au niveau de l'image appelés aberration<br />
chromatique et <strong>aberrations</strong> géométriques.<br />
I <strong><strong>Le</strong>s</strong> <strong>aberrations</strong> chromatiques<br />
L'aberration chromatique apparaît lorsque la source lumineuse n'est pas<br />
monochromatique. Elle est due au fait que l'indice de réfraction n d'un matériau dépend<br />
de la longueur d'onde de la lumière, c'est le phénomène bien connu de dispersion de la<br />
lumière par un prisme 2 .<br />
Pour un rayon incident de lumière blanche à la hauteur h de l'axe optique, une lentille<br />
mince peut être considérée comme un petit prisme d'angle au sommet  (figure 1).<br />
h<br />
A<br />
figure 1<br />
La déviation due à un prisme est plus importante pour les composantes bleues. Aussi,<br />
quand une lentille mince convergente est éclairée par un faisceau parallèle de lumière<br />
blanche, le foyer de la lentille pour les composantes bleues est situé plus près de la<br />
lentille que celui pour les composantes rouges (figure 2). L'écart entre ces deux foyers<br />
dépend de la variation de l'indice n du matériau pour les deux longueurs d'onde<br />
correspondant à la lumière bleue et rouge.<br />
1 Voir OPTIQUE ET PHOTONIQUE n° 4 1998<br />
2 Voir OPTIQUE ET PHOTONIQUE n° 3 1999<br />
Aberrations Page 1<br />
D<br />
D
Lumière bleue Lumière rouge<br />
figure 2<br />
La distance focale d'une lentille mince dépend de l'indice et <strong>des</strong> mesures algébriques<br />
<strong>des</strong> rayons de courbure R1 = S1C1 et R2 = S2C2 <strong>des</strong> deux dioptres de la lentille (figure<br />
3) :<br />
C 2<br />
R 2 < 0<br />
Aberrations Page 2<br />
R 1<br />
F'<br />
b<br />
1 1<br />
= (n -1) -<br />
f ' 1 Ê ˆ<br />
Á<br />
˜<br />
Ë ¯<br />
S 1<br />
S 2<br />
figure 3<br />
R 2<br />
R 1 > 0<br />
En général quand la longueur d'onde augmente (passage de la lumière bleue à la<br />
lumière rouge) l'indice de réfraction n diminue, par conséquent la distance focale<br />
augmente. <strong><strong>Le</strong>s</strong> différents points de focalisation correspondants aux différentes couleurs<br />
du spectre se forment à <strong>des</strong> distances plus ou moins gran<strong>des</strong> de la lentille. La distance<br />
F'bF'r mesurée pour les deux longueurs d'onde 486,1 et 656,3 nm s'appelle l'aberration<br />
chromatique longitudinale.<br />
De même si une lentille divergente est éclairée par un faisceau parallèle de lumière<br />
blanche, la déviation est plus importante pour la lumière bleue que pour la lumière<br />
rouge (figure 4). <strong>Le</strong> foyer image <strong>des</strong> composantes bleues de la lumière F'b est situé plus<br />
près de la lentille que F'r foyer image <strong>des</strong> composantes rouges de la lumière.<br />
F' r<br />
C 1<br />
(1)
F'<br />
r<br />
F' b<br />
figure 4<br />
Si on associe une lentille convergente et une lentille divergente dont les <strong>aberrations</strong><br />
chromatiques longitudinales sont de signe contraire mais de mêmes valeurs absolues<br />
(figure 5 a, b), les <strong>aberrations</strong> se compensent, les rayons émergents sont confondus, il<br />
n'y a plus qu'un seul foyer image F' pour l'ensemble <strong>des</strong> deux lentilles (figure 5 c).<br />
L'association de ces deux lentilles constitue un doublet achromatique si la correction est<br />
faite pour deux longueurs d'onde (une radiation bleue et une rouge). En choisissant les<br />
rayons de courbure R1 et R2 appropriés et en utilisant <strong>des</strong> verres d'indice différent, il est<br />
possible d'obtenir un tel doublet. À titre d'exemple, le doublet pourra être constitué<br />
d'une lentille convergente en crown dont l'indice est égal à 1,52238 pour la longueur<br />
d'onde 486,1 nm et 1,51432 pour la longueur d'onde 656,3 nm associée à une lentille<br />
divergente en flint dont les indices pour les deux longueurs d'onde précédentes sont<br />
respectivement 1,74648 et 1,72085.<br />
<strong><strong>Le</strong>s</strong> doublets achromatiques sont également corrigés de l'aberration sphérique qui est<br />
présenté plus loin.<br />
Aberrations Page 3
F' b<br />
F'r<br />
F' b<br />
Aberrations Page 4<br />
F'r<br />
figure 5<br />
II <strong><strong>Le</strong>s</strong> <strong>aberrations</strong> géométriques<br />
Dans ce paragraphe sont présentées les <strong>aberrations</strong> géométriques dans leur ensemble,<br />
chacune <strong>des</strong> quatre <strong>aberrations</strong> est ensuite abordée séparément. Il faut bien garder à<br />
l'esprit que toutes les <strong>aberrations</strong> géométriques sont aussi entachées d'aberration<br />
chromatique.<br />
Dans le cadre de l'approximation de Gauss, <strong>des</strong> approximations du premier ordre sont<br />
faites, seul le premier terme <strong>des</strong> développements en série est retenu. Ainsi, pour le<br />
développement en série de la fonction sin q :<br />
seul le terme q est retenu :<br />
3<br />
q<br />
sin q = q -<br />
3!<br />
F'<br />
5 7<br />
q q<br />
+ - + …<br />
5! 7!<br />
sin q ª q<br />
Pour <strong>des</strong> angles inférieurs à 15°, l'erreur introduite est inférieure à 1%. Si les deux<br />
premiers termes du développement sont conservés, l'écart entre la valeur de sin q et la<br />
valeur approximative au troisième ordre est inférieur à 0,3 % pour <strong>des</strong> angles de l'ordre<br />
de 40°. Avec une approximation du troisième ordre la <strong>des</strong>cription de la formation <strong>des</strong><br />
images par un système optique centré quelconque est plus réaliste.<br />
Soit A' l'image d'un point A situé sur l'axe optique d'un système centré S et B un point<br />
contenu dans le plan de front P contenant A, perpendiculaire à l'axe optique et tel AB<br />
soit dirigé suivant l'axe Oy (figure 6). Dans les conditions de Gauss l'image B'G du point<br />
B est située dans le plan P' image du plan P par le système S. La dimension de l'image<br />
A'B'G est égale à :<br />
(a)<br />
(b)<br />
(c)
A'B G '= g y AB<br />
gy représentant le grandissement transversal associé au couple de plans P, P'. Compte<br />
tenu de la symétrie cylindrique d'un système centré on ne restreint en rien la généralité<br />
du problème en choisissant le point B sur l'axe Oy.<br />
En dehors <strong>des</strong> conditions de Gauss l'image constituée par l'intersection <strong>des</strong> rayons<br />
émergents issus du point B de directions peu différentes de celle du rayon BI se forme<br />
en B' située à dy' et dz' du point B'G. La distance B'B'G mesure l'aberration transversale.<br />
<strong><strong>Le</strong>s</strong> composantes dy' et dz' dépendent de la dimension y de l'objet AB et de la distance h<br />
du point I du système imageur à l'axe optique.<br />
z<br />
P<br />
y<br />
B<br />
A<br />
C<br />
I<br />
h<br />
Aberrations Page 5<br />
J<br />
figure 6<br />
Soit maintenant un point C situé dans le plan de front P, diamétralement opposé au<br />
point B par rapport au point A. Compte tenu de la symétrie cylindrique l'image du point<br />
C donnée par l'ensemble <strong>des</strong> rayons situés autour de CJ est en C' située à (-dy') et (-dz')<br />
de C'G. Du changement de signe de dy' et dz' on en déduit que les composantes dy' et dz'<br />
sont <strong>des</strong> fonctions impaires de y et h, leur développement en série ne contiennent que<br />
<strong>des</strong> termes de degré impair. <strong><strong>Le</strong>s</strong> termes du premier ordre du développement donnent la<br />
position de l'image de Gauss, les termes du 3 ème ordre positionnent l'image par rapport à<br />
l'image paraxiale. Ces derniers mesurent les <strong>aberrations</strong> géométriques.<br />
• <strong>Le</strong> terme en h 3 caractérise l'aberration sphérique. C'est une aberration d'ouverture<br />
du système imageur.<br />
• <strong>Le</strong> terme en y' 3 caractérise la distorsion. Cest une aberration de champ.<br />
• <strong>Le</strong> terme en h 2 y' caractérise la coma. C'est une aberration d'ouverture et de champ,<br />
l'aberration d'ouverture étant plus importante que l'aberration de champ.<br />
• <strong>Le</strong> terme en hy' 2 caractérise l'aberration d'astigmatisme et de courbure. L'aberration<br />
de champ étant plus importante que l'aberration d'ouverture.<br />
Dans les paragraphes suivants sont décrits de façon qualitative les quatre <strong>aberrations</strong><br />
géométriques, pour simplifier le système optique est réduit à une lentille mince.<br />
II.1 Aberration sphérique<br />
C'est une aberration d'ouverture qui peut être expliquée simplement si on considère<br />
qu'une lentille mince est constituée d'une succession de petits prismes d'angles au<br />
sommet de plus en plus faible au fur et à mesure que l'on se déplace de l'extrémité de la<br />
lentille vers son centre optique (figure 7). Or la déviation d'un rayon lumineux par un<br />
prisme d'indice n, de faible angle au sommet A est proportionnelle à A :<br />
D = (n -1)A<br />
z’<br />
dy’<br />
C’ G<br />
A’<br />
B’<br />
y’<br />
dz’<br />
B’ G<br />
C’<br />
x’<br />
P’
figure 7<br />
Par conséquent les rayons marginaux sont plus déviés et convergent plus que les rayons<br />
paraxiaux. <strong><strong>Le</strong>s</strong> premiers convergent en un point F'm appelé foyer marginal et les<br />
seconds en un point F'p appelé foyer paraxial (figure 8). La longueur F'mF'p s'appelle<br />
l'aberration sphérique longitudinale. Tous les rayons situés à une distance h de l'axe<br />
optique de la lentille vont converger en un même point F'h situé entre F'm et F'p. Il y a<br />
accumulation de lumière sur une surface de révolution composée de deux caustiques : la<br />
caustique axiale F'mF'p et la caustique tangentielle ou sagittale en forme de flèche .<br />
(4) (3)<br />
Aberrations Page 6<br />
F' m<br />
Cercle de moindre diffusion<br />
D<br />
Caustique tangentielle<br />
figure 8<br />
Caustique axiale<br />
F' p<br />
(2) (1)<br />
L'image du point objet A situé à l'infini sur l'axe n'est pas un point mais une tache de<br />
diffusion circulaire dont l'aspect dépend de la position de l'écran E. La figure 8 illustre<br />
ces différents aspects, sur la figure les zones rouge et verte correspondent aux zones les<br />
plus lumineuses. <strong>Le</strong> rayon de la tache de diffusion au niveau du plan focal paraxial<br />
position (1) s'appelle l'aberration sphérique transversale. Quand l'écran est situé en<br />
position (3) le diamètre de la tache de diffusion est minimum, celle-ci porte le nom de<br />
cercle de moindre diffusion.<br />
Pour s'affranchir de l'aberration sphérique il faudrait usiner <strong>des</strong> lentilles dont la forme<br />
<strong>des</strong> surfaces compensent le fait que sin q n'est pas égal à q sauf pour un angle de 0°,<br />
mais la réalisation de surfaces asphériques est très complexe et par conséquent<br />
onéreuse. Aussi, pour minimiser cette aberration on se contente de choisir les rayons de<br />
courbure <strong>des</strong> dioptres constituant la lentille de telle façon que l'aberration soit minimale.<br />
•
La distance focale d'une lentille mince ne dépendant que de la différence algébrique de<br />
l'inverse <strong>des</strong> rayons de courbure (relation (1)), il y a une infinité de manières de choisir<br />
ce couple de rayons pour obtenir une distance focale donnée. Ainsi, pour le couple objet<br />
à l'infini et l'image dans le plan focal, la figure 9 donne un exemple de la valeur de<br />
l'aberration sphérique longitudinale en fonction du facteur de forme q défini de la façon<br />
suivante :<br />
q = R 1 + R 2<br />
R 2 - R 1<br />
où R1 et R2 représentent les mesures algébriques <strong>des</strong> rayons de courbure de la lentille.<br />
L'aberration est minimale quand le facteur de forme q est sensiblement égal à 0,7 c'est à<br />
dire quand R2 = - 6R1.<br />
Aberrations en<br />
millimètres<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
-2<br />
Aberration sphérique<br />
longitudinale<br />
Aberration sphérique<br />
transversale<br />
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5<br />
figure 9<br />
<strong>Le</strong> facteur de forme q optimal dépend du couple de plans conjugués considérés. Ainsi,<br />
pour le couple de plans conjugués situés à la position 2f-2f' l'aberration sphérique est<br />
minimale lorsque la lentille est symétrique.<br />
Pour une lentille divergente les rayons marginaux sont eux aussi, plus déviés que les<br />
rayons paraxiaux. Pour une lentille convergente F'mF'p est positif tandis que F'mF'p est<br />
négatif pour une lentille divergente. Par conséquent pour corriger l'aberration sphérique<br />
d'une lentille on réalise comme pour l'aberration chromatique, un doublet en associant<br />
une lentille convergente avec une lentille divergente. <strong><strong>Le</strong>s</strong> rayons de courbure et les<br />
indices <strong>des</strong> matériaux du doublet sont choisis de telle sorte que les <strong>aberrations</strong> <strong>des</strong> deux<br />
lentilles convergente et divergente se compensent exactement. La réalisation d'un<br />
doublet permet, si les indices et les rayons de courbure sont judicieusement choisis, de<br />
corriger simultanément l'aberration chromatique et sphérique.<br />
II.2 Coma<br />
C'est une aberration d'ouverture à faible champ.<br />
Pour illustrer le phénomène on considère un masque constitué d'un écran opaque percé<br />
de deux petits trous diamétralement opposé, placé contre le système optique (figure 10).<br />
Dans le plan image on observe un point de convergence bien défini pour différentes<br />
positions angulaires du masque mais la position du point image dépend <strong>des</strong> différentes<br />
positions angulaires du masque.<br />
Aberrations Page 7<br />
2<br />
q
a)Plan objet<br />
1<br />
1<br />
2<br />
4<br />
1<br />
3<br />
b) Masque c) Plan image<br />
d) Masques annulaires<br />
Aberrations Page 8<br />
2<br />
3 4<br />
1<br />
Masque a Masque b<br />
60°<br />
a bc<br />
Masque c<br />
a)Plan objet e) Plan image<br />
figure 10<br />
<strong>Le</strong> point 1 dans le plan image (figure 10c) est obtenu avec le masque en position 1<br />
(figure 10b). Une rotation du masque pour amener les deux trous en position 2 fait<br />
passer le point de focalisation en 2 et ainsi de suite. Par conséquent, une ouverture de<br />
forme annulaire (figure 10d) donne de la lumière répartie sur un cercle dont le diamètre<br />
dépend du rayon de l'anneau (figure 10e). Au niveau du plan image, le cercle de plus<br />
grand diamètre est obtenu avec le masque annulaire de plus grand diamètre. Lorsque ce<br />
masque est enlevé, une image ayant la forme d'une comète (d'où le nom de " coma "<br />
donné à ce type d'aberration) est obtenue par la superposition <strong>des</strong> différents cercles<br />
a,b,c...<br />
Un système corrigé de la coma mais non corrigé <strong>des</strong> <strong>aberrations</strong> sphériques est appelé<br />
isoplanétique.<br />
Un système optique corrigé de l'aberration sphérique et de la coma est dit aplanétique.<br />
Il permet d'obtenir pour <strong>des</strong> objets transversaux de petites dimensions de bonnes images<br />
même pour <strong>des</strong> rayons fortement inclinés par rapport à l'axe optique. Typiquement un<br />
objectif de microscope est aplanétique.<br />
Un objectif corrigé de l'aberration chromatique pour trois longueurs d'onde, de<br />
l'aberration sphérique et de la coma est apochromatique.<br />
II.3 Astigmatisme<br />
L'astigmatisme est une aberration de champ.<br />
Pour faciliter la <strong>des</strong>cription du phénomène deux plans particuliers sont définis ainsi<br />
qu'un rayon spécifique. <strong>Le</strong> plan contenant l'axe optique et le point objet B éloigné de<br />
4<br />
1<br />
1<br />
2<br />
3
l'axe optique s'appelle le plan tangentiel (figure 11). <strong>Le</strong> rayon issu de l'objet passant par<br />
le centre de la lentille est appelé rayon principal. <strong>Le</strong> plan perpendiculaire au plan<br />
tangentiel qui contient le rayon principal s'appelle le plan sagittal.<br />
<strong>Le</strong> phénomène d'astigmatisme provient du fait que les rayons contenus dans le plan<br />
tangentiel ne convergent pas à la même distance du système optique que les rayons<br />
contenus dans le plan sagittal. Dans notre cas de figure, si l'écran est positionné au<br />
niveau de l'image sagittale, l'image du point B apparaît comme une ellipse très<br />
fortement aplatie de grand axe contenu dans le plan tangentiel. Si l'écran est positionné<br />
au niveau de l'image tangentielle, l'image du point B est une ellipse de grand axe<br />
contenu dans le plan sagittal. La distance entre ces deux images s'appelle la distance<br />
d'astigmatisme. Elle dépend fortement <strong>des</strong> couples de plans conjugués considérés et de<br />
la distance du point B à l'axe. Au niveau d'un plan situé à peu près à mi-distance entre<br />
les images tangentielle et sagittale, l'image B' est un cercle appelé cercle de moindre<br />
diffusion ; c'est la meilleure image que l'on puisse obtenir.<br />
B<br />
Plan tangentiel<br />
Plan sagittal<br />
Image tangentielle<br />
figure 11<br />
Image sagittale<br />
L'astigmatisme se rencontre aussi quand les dioptres <strong>des</strong> lentilles ne sont pas sphériques<br />
mais ellipsoïdaux. L'astigmatisme est très fréquent dans le cas de l'œil. <strong>Le</strong> défaut est<br />
alors corrigé par <strong>des</strong> verres eux-mêmes astigmates.<br />
II.4 Courbure de champ<br />
C'est une aberration de champ qui provient du fait que l'image d'un objet plan de grande<br />
dimension se forme sur une surface paraboloïdale et non sur un plan (figure 12). L'écart<br />
dx' varie comme la dimension au carré de l'objet : y 2 .<br />
L'objectif d'un microscope ne sera en général pas corrigé de la courbure de champ lors<br />
d'une observation visuelle car l'expérimentateur peut facilement ajuster la distance de<br />
mise au point pour une observation au bord du champ. Par contre pour réaliser de la<br />
microphotographie l'objectif aplanétique devra être corriger aussi de la courbure de<br />
champ. Ces objectif sont dits plans.<br />
Aberrations Page 9
Pour une lentille convergente le rayon de courbure de la surface paraboloïdale est<br />
négatif ; pour une lentille divergente le rayon de courbure de la surface paraboloïdale<br />
est positif. Ici encore, pour corriger cette aberration, on associe lentilles convergentes et<br />
divergentes.<br />
II.5 Distorsion<br />
figure 12<br />
Surface image<br />
Ici la qualité de l'image n'est en rien altérée, l'image d'un point reste ponctuelle. L'effet<br />
de la distorsion est une déformation de l'image, de sorte qu'un objet carré apparaît dans<br />
l'image sous la forme d'un coussinet ou d'un barillet (figure 13). Tout se passe comme<br />
si le grandissement dépendait de la distance du point objet à l'axe optique.<br />
Objet Barillet (a)<br />
Coussinet (b)<br />
figure 13<br />
La correction de ce défaut se fait par une répartition correcte <strong>des</strong> puissances dioptriques<br />
autour d'un diaphragme. Ainsi, pour annuler la distorsion, on peut utiliser deux doublets<br />
avec un diaphragme placé entre eux.<br />
III Quelles corrections apporter ?<br />
Il est très difficile de corriger un système optique de toutes les <strong>aberrations</strong>. Il faut<br />
privilégier certaines corrections par rapport à d'autres suivant les applications pour<br />
lesquelles le système est utilisé (tableau 1). L'objectif d'une lunette astronomique par<br />
exemple, devra être corrigé de l'aberration chromatique, l'aberration sphérique et la<br />
coma plutôt que pour l'aberration d'astigmatisme puisque le champ de vision angulaire<br />
de la lunette est petit. Par contre, un appareil photographique avec un champ de vision<br />
large devra nécessairement être corrigé non seulement <strong>des</strong> <strong>aberrations</strong> d'ouverture mais<br />
aussi de l'astigmatisme et la courbure de champ. De ce fait, les calculs <strong>des</strong><br />
Aberrations Page 10<br />
dx’
combinaisons optiques d'un objectif d'appareil photographique sont particulièrement<br />
complexes.<br />
Télescope Microscope Appareil photographique<br />
(grand champ)<br />
• Aberration sphérique • Aberration sphérique • Aberration sphérique<br />
• Coma<br />
• Coma<br />
• Coma<br />
• Courbure de champ • Astigmatisme<br />
(microphotographie) • Courbure de champ<br />
Bibliographie<br />
tableau 1<br />
[1] L. DETTWILLER<br />
<strong><strong>Le</strong>s</strong> instruments d'optique, ellipses, 1997, ISBN 2-7298-5701-X<br />
Type principal<br />
d'aberration<br />
• Ouverture<br />
• Champ<br />
[2] A. MARECHAL<br />
Cours d'optique instrumental, Institut d'optique théorique et instrumental<br />
[3] J. SURREL<br />
Optique instrumentale - Optique de Fourier, Ellipses,1996, ISBN 2-7298-9609-0<br />
[4] N. VANSTEENKISTE-WESTBROOK<br />
Optique instrumentale, les éditions de physique, collection de la SFO, ISBN 2-86883-<br />
282-2<br />
[5] R. GEYL<br />
"<strong>Le</strong> calcul <strong>des</strong> combinaisons", Systèmes optiques, Institut d'étude scientifiques de<br />
Cargèse, les éditions de physique, 145-185, 1991<br />
Joëlle Surrel<br />
Université Jean Monnet<br />
IUT Saint-Étienne<br />
surrel@univ-st-etienne.fr<br />
Article paru dans la revue de la Société française d’Optique (http://www.franceoptique.org/)<br />
: « Optique et Phonique » n°4 – 1999.<br />
Revue dont « Photoniques » (http://www.france-optique.org/revue.html) a pris la<br />
suite en janvier 2001.<br />
Aberrations Page 11